立体几何解题思路

立体几何解题思路（共11篇）

1.立体几何解题思路 篇一

关于高考立体几何复习建议

立体几何是高中数学的重要内容之一。也是高考考查的重要内容，高考对直体几何的考查呈现出比较明显的规律。无论是试题的数量。还是试题的难度，都体现出相对的稳定性。存高考试卷中必有一个立体几何解答题。这个试题一般设有2～3个小问，或证明平行与垂直，或计算角与距离。在突出考查空间想象能力的同时，考查思维能力与运算能力。另外还有1～2个选择题或填空题。这几个小题在考查基础知识的同时，突出考查对图形的理解与想象能力，考查创新意识。从难度来看，立体几何解答题属于中等题，应是大多数同学得分的试题：在选择题、填空题中，近几年考察三视图的题型比较多，对空间想象能力和创新能力要求较高。

一、成绩数据分析

从2012年我校高考成绩数据分析来看，“立体几何”部分占填空1道，大题1道。其中填空题第10题，满分5分，我校得分1.90分，低于同类校0.99分，低于全市校1.07分。解答题第17题，满分13分，我校得分4.68分，低于同类校2.26分，低于全市校2.25分，其中第一问满分4分，我校得分2.71分，低于同类校0.58分，低于全市校0.35分；第二问满分4分，我校得分1.65分，低于同类校1.20分，低于全市校1.03分；第三问满分5分，我校得分0.32分，低于同类校0.48分，低于全市校0.87分。

二、存在问题

在立体几何中，画出空间图形的直观图，对空间图形中位置关系的识别，恰当地变换处理图形，运用空间图形解决问题是学好立体几何的关键，是空间想象能力的核心成分。在高三立体几何复习教学中，我发现学生在画图、识图、用图中存在不少问题。因此，有必要探究个中原因，反思我们的教学。

（1）基本作图能力薄弱

在高三复习中，发现不少学生随手画图，不用直尺；有的学生画出的图形线条不简洁，虚实线不分，缺乏立体感。此外，学生的认知结构中没有储存足够的基本立体几何模型，从而想不到借助基本图形来判断复杂的位置关系。基本作图能力的薄弱影响了学生对图形的观察与分析，制约了识图能力的提高。

（2）数学语言转换能力不强

空间想象能力要求学生能借助图形来反映用文字语言或符号语言所表达的空间图形或位置关系。即从语言或式子中提取关键信息，在头脑中形成空间图形的“表象”，再画出其直观图，就是说先想图，后画图。这里进行了两次转化，一是文字语言或符号语言转化为图形语言，二是空间向平面的转化，而大部分学生就是在转化的过程中出现问题。

（3）识图、用图的能力欠缺

学好立体几何要求学生具有熟练的识图、用图能力，即从复杂的图形中区别出基本图形，并通过对基本图形的分析，识别出基本元素之间的基本关系。学生往往对图形仔细观察不够，推理分析不深，不能克服由空间到平面所产生的错觉，从而不能正确认识各元素的空间位置和图形的空间结构。

三、反思与建议

对上述存在问题，我认为与老师对作图教学重视不够、示范不够、指导不够，学生的作图、识图、用图训练不够有密切关系。由于高考对作图基本不考，所以有的老师干脆把“斜二测画法”晾在一边，砍掉不教了。在实际教学中，图形教学“草草收场”，习题教学“匆忙登场”；重视解题训练，忽视读图、识图能力培养；重视严密推理，忽视耐心观察而获取感性认识的现象屡见不鲜。针对此种现象我提出下列几点建议与老师们共同探讨：

（1）重视基本作图技能的训练，培养学生的作图能力

立体几何离不开图形，学好立体几何应从图形入手，学会画图、识图、用图。教师首先要高度重视作图教学，把图形教学落实到具体行动上来。要认识到培养空间想象能力，必须过好作图这一基础关，而教学不仅仅是为了考试，而是为了学生的数学素质全面提高和终身的发展，老师们应从这个高度出发，重视图形教学。其次要从最基本的平面图形的直观图、几何体的直观图入手，作好示范、严格要求，引导学生作出一个个漂亮而富有立体感的直观图，丰富学生的美感和想象力。

（2）强化概念教学、夯实空间想象的基础

立体几何图形的特征是通过概念来描述的，对概念的深刻理解是解题的基础，学生只有正确理解了概念，才能在头脑中想象并勾画出相应的几何图形，分

解出解题需要的元素。概念既是思维的基本元素，又是空间想象的出发点。要抓住概念的本质特征和关键要素进行教学弄清概念中包含哪些基本元素，以何种位置关系出现。使学生能多角度多层面透视概念，形成对概念的深刻理解。

（3）突出图形变换和转化的训练，提高学生的图形处理的能力

熟练地对空间图形进行变形处理，是学好立体几何的硬功夫，也是空间想象能力深化的标志。在教学中，我们应该有意识地加强这方面的训练，使学生在运动变化中认识图形，理解图形，使空间图形在学生面前不再僵化、呆板，而变得灵活、有生气。一方面要加强对图形的分割、补全、折叠、展开、剪拼等变形的训练，通过对图形的直观处理为解题提供帮助、使解题过程简洁、明快。另一方面要加强对图形的平移变形处理的训练。

（4）渗透数学思想方法提升空间想象能力

数学思想是对数学知识理性的、本质的、高度抽象的和概括的认识；数学方法是解决和研究数学问题，并达到目的的方法、手段、途径或程序。数学思想方法是数学精髓之所在，是教学的重点。立体几何教学中，我们主要要突出降维思想和类比思维方法的教学。

最后还是要引领学生深刻理解课本知识，强化知识重点、弥补知识弱点和盲点，使知识和能力产生良性迁移，争取达到弄通一题带动一类题的效果，提高课堂教学效益，有效提高学生复习效率，使高考复习更见成效。

王珏

2012．10

2.立体几何解题思路 篇二

面积法运用起来比较灵活多变,用得恰当时常可得到巧妙解题法. 而要用好面积法,关键之处则在于如何利用面积的转化,正确建立相关关系式. 笔者认为,一般地可以从以下几个思路入手去建立相关关系式.

1. 利用图形面积不变,得出底或高的关系

如新人教版八年级《数学》上册第44页中的一道习题:

从C地看A,B两地的视角∠C是锐角,从C地到A,B两地的距离相等. A到路段BC的距离AD与B到路段AC的距离BE相等吗? 为什么?

分析这个题目常规方法就是通过全等( AAS) 来证明得到. 而其实在没学全等之前,我们也可以用面积法来解决的,只需要紧抓住分别以AC,BC为底的△ABC的面积不变来解则可.

证明 ( 略)

又如图2,已知△ABC中,AB = AC,DE⊥AB,DF⊥AC, BG⊥AC,垂足分别是点E,F,G. 求证: DE + DF = BG.

分析: 此题目的常用方法是采用线段补割法,主要是通过综合全等、矩形等知识来解决,思路较简单,但步骤较多. 而从另一角度来看,在连接AD后,结论中的DE,DF,BG都可分别视为△ABD,△ACD,△ABC的高,这样一来,如果能通过抓住图形的面积不变的关系来解题,也就显得更简单, 更易于明白得多了.

略证连接AD,则S△ABC= S△ABD+ S△ACD,

即1/2 AC·BG =1/2AB·DE +1/2AC·DF.

∵ AB = AC,∴ BG = DE + DF.

可见面积法也是证明线段问题的方法之一,而利用面积的转化,也可以作为证明有关两角相等的一种方法选择.

例如图3,在□ABCD中,E, F是线段AD,AB上两点,BE = DF, 且两线相 交于点P. 求证: ∠BPC = ∠DPC.

分析证角相等往往想到利用全等或相似证明,但本题从全等或相似来证明均缺乏条件,而利用面积来证明就比较容易. 要证∠BPC = ∠DPC,即要证CP是∠BPD的角平分线,只需证点C到∠BPD的两边距离相等即可. 连接CE,CF,由面积关系 可知两个三角形的面积相等,再由已知BE = DF,则其高相等,就是说点C到PD和PB的距离相等,因而必有∠BPC = ∠DPC,问题得证.

2. 如果两个三角形的高相等,那么它们的面积比等于 对应底的比

这个知识点,可在证明比例式时给我们帮助. 例如“三角形内角平分线性质定理”的证明.

如图5,已知: △ABC中,AD是角平分线. 求证:BD /CD=AB /AC.

分析此题的证明方法多种多样,现只介绍面积法的证明.

略证作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,则由角平分线的性质定理可知: DE = DF.

3. 如果同底而不同顶点( 顶点在底边的同侧) 的两三角 形面积相等,那么顶点的连线平行于底

如图6,若S△ABC= S△ABD,

则 CD∥AB.

例如图7,已知点M,E分别是AB, CD的中点,MN⊥CD于N,EF⊥AB于F, 且MN =1 /2AB,EF =1 /2CD. 求证:AD∥BC.

分析从结论看,若AD∥BC, 则四边形ABCD是梯形,而EM则为这个梯形的中位线,必有EM∥AD∥BC,但在这里要直接证AD∥BC是困难的,可尝试利用面积法, 通过分别证EM∥BC,EM∥AD来作为突破口,予以实现.

略证连接EM,EB,MC.

由此可见,在证明线段平行时,面积法也是可选择的方法之一.

4. 两个相似三角形的面积比等于相似比的平方

这个结论,通常可在证明有关线段的平方比时加以运用.

例如 图8,已知AD切⊙O于点A,割线BD交⊙O于点B,C. 求证:

分析若用常规方法来证明此题,一般都会是先证△ACD∽△BAD得出AC /AB=AD/ BD,两边平方后再结合切割线定理来得到. 但若能结合相似比及上述2的内容,问题则更显得简单,迎刃而解.

略证易证△ACD∽△BAD,

从以上几个例题可以看出,有些几何题的证明巧用了面积转化,就比较容易得多.

3.立体几何解题思路 篇三

类型一 平行关系

原型：《必修2》立体几何复习题—思考应用16题： 

正方体ABCDA1B1C1D1中，若E是DD1的中点,求证：BD1平行于面EAC.

变式一 在直三棱柱ABCA1B1C1中,AC=BC,D是AB的中点,求证：AC1平行于面CDB1．

分析 求线面平行是立体几何中的一个基本问题,解答这类问题的方法通常是两个：

1. 通过面面平行证明线面平行,这一般要找到或者构建一个和面平行的平面,要求这个平面平行或者包含该直线；

2. 通过线面平行的判定定理,即证明直线与平面内的一条直线平行。

本题可以利用线线平行和通过线面平行的判定定理来解答。这和上面的原型解题方法一样,都可以借助中位线来证明线线平行,从而解决本题。

证明 连接BC1交B1C于E,连接DE,则BE=EC1.

又D是BA的中点,

∴AC1∥DE,∵DE面CDB1,∴AC1∥面CDB1.

变式二 如图,在多面体中,四边形ABCD是正方形,BA∥EF,EF⊥FB,AB=2EF,∠BFC=90°,BF=FC,H是BC的中点.

求证:FH∥面EDB.

思路一 证明一个面面平行，从而推证出线面平行,想法是这样的：平面显见的直线就三条,DE,BE,DB,我们可以过F或者H作这三条线中一条的平行线,那么就能得到要求的那个平行面,通过观察我们发现能过F作DE的平行线,方法是：取DC中点M,连接FM,得到一个平行四边形,由EF平行且等于DM,得到DE平行FM,这样平面EDB平行于FHM,只要再证明HM平行于DB即可,这正好是条中位线。

思路二 要在平面内找一条和FH平行的直线,平面就三个端点,E,B,D,我们将FH平行移动到这三个端点时,发现当移动到E点时,平行可以很好得证,这也是用到平行四边形对边平行了。

类型二 垂直关系

原型：《必修2》立体几何122课后练习5：

在正方体ABCDA1B1C1D1中,求证：B1D⊥平面ACD1.

分析 要证明B1D⊥平面ACD1,只要证明B1D垂直于平面ACD1内的两条相交直线。利用分析法,可以将B1D⊥平面ACD1看成是已知条件,则根据线面垂直的定义,有B1D垂直于平面ACD1内的所有直线,所以只要选取其中的两条来证明即可。接下来问题就转化成为证明B1D⊥AC和B1D⊥CD1,即两条异面直线垂直,常用的方法就是构造线面垂直。先来证明B1D⊥AC,利用分析法,B1D⊥AC可以看成是已知条件,由于A、C、D处于下底面,只要过D有一条垂线垂直于AC的直线即可,因为底面是一个正方形,故对角线互相垂直,所以只要连接BD,就应有AC⊥平面BB1D。这样问题就转化为证明AC⊥平面BB1D。由于AC⊥BD,AC⊥B1B,即可证明。然后同理可证B1D⊥CD1,证明过程略。

点拨 其实这个题,如果用三垂线定理,应该是比较容易想到连接BD,因为BD是B1D在下表面内的射影。但由于课改后,在必修2中对三垂线定理只字不提,增大了此类题目的难度。

变式一 如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,M是PA的中点,PD⊥平面ABCD,且PD=AD=2,CD=1.

证明：MC⊥BD.

思路一 通过线面垂直证明线线垂直。

用这种办法的话就要找到一个与MC垂直且包含BD的平面,或者是与BD垂直且包含MC的平面,也就是找一条直线的垂面,根据线面垂直的判定定理,我们只要找到与这条直线垂直的两条相交直线就可以。

我们看题目发现题目中给出了一个线面垂直,很容易得出：PD⊥BD,这样,我们只需要过M(或者是C,不过这里M点更好些)作一条PD的平行线这个垂面就作出来了。

我们假设过M且和PD平行的直线交AD于N,连接CN,如图所示.

则BD⊥平面MNC,只要再证明NC⊥BD就行了。

证明 过M作PD的平行线交AD于N,连接CN,则MN⊥平面ABCD,∴MN⊥BD,

∵M是PA的中点,∴MN是三角形PAD的中位线,∴AN=ND,

∵NDCD=ABAD,∴Rt△NDC∽Rt△BAD,

∴∠DNC=∠DBA,∴BD⊥CN,

∴BD⊥平面MNC,∴BD⊥MC.

思路二 通过平行移动将两条直线放在同一平面内,然后用平面几何的知识解决它。

我们可以平移MC或者是BD,使两条直线相交就找到这个平面了。

我们做如图辅助线：

连接AC交BD于E，则AE=EC,取AM的中点N,连接NE,则NE∥MC,

这样我们把两条直线放在同一个平面内了。

证明 连接AC交BD于E，则AE=EC，

取AM的中点N，连接EN，DN，DM.

∵NE是△AMC的中位线，

∴NE∥CM且NE=12CM.

∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD，PD⊥DC.

∵PD=AD=2，M是PA的中点，

∴PA=AD2+PD2=2，AM=12PA=1，

∴DM⊥AM，MN=12AM=12，

DM=AD2-AM2=1，DN=DM2+MN2=52.

∵ABCD是矩形，∴AD⊥DC，

∴DC⊥平面PDA，∴DC⊥DM，

∴CM=DM2+DC2=2，∴NE=22.

∵DE=12BD=12AD2+AB2=32,

∴DE2+NE2=DN2,∴NE⊥DE,∴MC⊥BD.

变式二 平面EFGH分别交空间四边形ABCD中的BD、AD、AC、BC于E、F、G、H,平面EFGH∥CD，平面EFGH∥AB，CD⊥AB.求证EFGH为矩形.

分析 要证明EFGH为矩形先证明其是平行四边形，再证明其中两条相邻的边是垂直的即可。

证明 平面EFGH∥CD,CD∥HE，CD∥GFHE∥GF，

平面EFGH∥ABAB∥GH，AB∥EFEFGH为平行四边形.

又∵AB⊥CDEF⊥FGEFGH为矩形．



牛刀小试

1. 在正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F、G、H分别为棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点,O为AC与BD的交点(如图).

求证：(1) EG∥平面BB1D1D；

(2) 平面BDF∥平面B1D1H.

2. 在直三棱柱ABCA1B1C1中,CA=CB=CC1,∠ACB=90°,E、F分别是BA、BC的中点,G是AA1上一点,且AC1⊥EG.试确定点G的位置.

【参考答案】

1. (1) 欲证EG∥平面BB1D1D,须在平面BB1D1D内找一条与EG平行的直线,构造辅助平面BEGO′及辅助直线BO′,显然BO′即是.

(2) 按线线平行线面平行面面平行的思路,在平面B1D1H内寻找B1D1和O′H两条关键的相交直线,转化为证明：B1D1∥平面BDF,O′H∥平面BDF.

2. 方法一:取AC的中点D,连接DE、DG,

则ED∥BC.

∵BC⊥AC,∴ED⊥AC．

又CC1⊥平面ABC,而ED平面ABC,

∴CC1⊥ED．

∵CC1∩AC=C,∴ED⊥平面A1ACC1．

又∵AC1⊥EG,∴AC1⊥DG.

连接A1C,∵AC1⊥A1C,∴A1C∥DG．

∵D是AC的中点,∴G是AA1的中点.

方法二:以C为原点,分别以CB、CA、CC1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设CA=2,

则F(1,0,0),E(1,1,0),A(0,2,0),C1(0,0,2),

AC1=(0,-2,2),

设G(0,2,h),则EG=(-1,1,h).

∵AC1⊥EG,∴EG•AC1=0.

∴－1×0+1×(－2)+2h=0.∴h=1,

即G是AA1的中点．

4.法向量在立体几何解题中的应用 篇四

法向量在立体几何解题中的应用

作者：魏庆鼎

来源：《理科考试研究·高中》2013年第08期

高中数学教材引进了向量知识以后，为我们解决数学问题提供了一套全新的方法——向量法.向量法在解决求立几中的角和距离两大问题中，是行之有效的方法，它解决了以前旧版教材立几中的这两个难点.在旧版教材中，运用几何法解决这两类问题，要通过“作”、“证”、“求”，既要有较强的空间想象能力，又要求学生对空间中，线、面之间的判定、性质等定理非常熟悉并能熟练应用，对学生，特别是中下水平的学生是一大难点.而现在向量法则很好解决了这个难点，所以它对人们研究立几问题有着普及的意义.同时向量法对立几中的线面平行和线面垂直、面面垂直和面面平行等位置关系的证明，也非常简便.空间向量的引入使立体几何的解题变得直观、易懂.而“法向量”的灵活应用，给解决空间问题提供了一个很方便、实用的工具，会使我们在高考中快捷地解决立体几何问题.以下是本人在教学过程中总结出来的关于“法向量”在立体几何中的一些应用.现把教学中得到的这些方法进行归类，供同行参考.4.用法向量求二面角平面角的大小

5.高考数学概率几何解题方法 篇五

(2)整体平衡，重点突出：对直线、圆、圆锥曲线知识的考查几乎没有遗漏，通过对知识的重新组合，考查时既注意全面，更注意突出重点，对支撑数学科知识体系的主干知识，考查时保证较高的比例并保持必要深度。近四年新教材高考对解析几何内容的考查主要集中在如下几个类型：

①求曲线方程(类型确定、类型未定);

②直线与圆锥曲线的交点问题(含切线问题);

③与曲线有关的最(极)值问题;

④与曲线有关的几何证明(对称性或求对称曲线、平行、垂直);

⑤探求曲线方程中几何量及参数间的数量特征;

(3)能力立意，渗透数学思想：一些虽是常见的基本题型，但如果借助于数形结合的思想，就能快速准确的得到答案。

6.初三数学解题思路 篇六

1.2.3.4.5.土的可松性：自然状态下的土经开挖后，其体积因松散而增加，虽经回填压实，仍不能恢复到原来的体积，这种性质成为土地基处理：是指利用物理或化学的方法对地基中的不良土层进行置换、改良、补强，形成满足建筑要求的人工地基的过程。轻型井点降水：井点降水法是在基坑开挖前，先在基坑四周埋设一定数量的井点管和滤水管，挖方前和挖方过程中利用抽水“三 一”砌砖法：一块砖、一铲灰、一揉压，并随手将挤出的砂浆刮去的砌筑方法。砼保护层厚度及保护作用：砼保护层厚度是指纵向受力钢筋外边缘至砼构件表面的距离。保护砼中钢筋不受锈蚀。的可松性。设备，通过井点管抽出地下水，使地下水位降至坑底以下，避免产生坑内涌水、塌方和坑底隆起现象，保证土方开挖正常进行。

四、简答题

1.沉管灌柱桩施工工艺？

答：场地平整、定桩位→沉管设备就位→设桩靴→吊套管对位→校垂度→沉管→检查沉管质量→浇封底混凝土→放钢筋笼→浇筑桩身混凝土。

2.量度差值？

答：钢筋弯曲后，外边缘伸长，内边缘缩短，而中心线既不伸长也不缩短。由于钢筋下料长度系指中心线长度，而标注尺寸为外包尺寸，故钢筋弯曲后存在一个量度差值。因此，在计算下料长度时必须加以扣除，否则将形成下料太长造成浪费，或弯曲成型后钢筋尺寸大于要求造成保护层不够，甚至由于钢筋尺寸大于模板尺寸而无法安装。

3.为什么要进行施工配合比换算？

答：砼实验室配合比是根据完全干燥的砂、石骨料制定的，而施工现场的砂、石均有一定的含水率，且含水率大小又会随气候、季节发生变化。为保证现场拌制砼用料准确，故应将砼实验室配合比换算成骨料在实际含水率情况下的施工配合比。

4.分件安装法？

答：分件安装法是指起重机在车间内每开行一次仅吊装一种构件，待这一类构件安装完后，再吊装另一类构件，通常分三次开行安装完全部构件。第一次开行：吊装全部柱子，并对柱子进行校正和最后固定。第二次开行：吊装吊车梁和连系梁及柱间支撑等。第三次开行：分节间吊装屋架、天窗架、屋面板及屋面支撑等。

5.什么是施工缝?施工缝留设的一般原则是什么?

答：(1)混凝土不能连续浇筑完成,停歇时间又超过混凝土运输和浇筑允许的延续时间, 先、后浇筑的混凝土接合面称为施工缝.(2)施工缝的留设位置应在结构受剪力较小且便于施工的部位。

6.自行式起重机的工作参数？

答：在选择自行式起重机时，主要考虑起重量Q、起重半径R、起重高度H这三个工作参数。起重量是指起重机在一定起重半径范围内起重的最大能力；起重半径是指起重机回转中心到吊钩中心的水平距离；起重高度是指起重机吊钩中心到停机面的垂直距离。

7.孔道灌浆的作用？

答：一是保护预应力筋免遭锈蚀；二是使预应力筋与构件砼有效的粘结，以控制超载时裂缝的间距与宽度，并减轻两端锚具的负荷。

8.单层排架工业厂房柱子安装的施工工序？

答：单层砼排架结构工业厂房构件的安装施工包括绑扎、吊升、对位、临时固定、校正、最后固定等工序。

9.什么是先张法施工？其适用范围?

答：先张法施工，是在砼浇筑之前张拉预应力筋并将预应力筋用夹具临时固定在台座或钢模板上，待砼达到一定强度（一般不低于砼设计强度标准值的75%）时，放松或切断预应力筋，使预应力筋弹性回缩，借助预应力筋与砼间的粘结力传递预应力，使构件受拉区的砼获得预压应力。

适用于生产定型的中小型构件，如空心板、屋面板、吊车梁、檩条等。

10.什么是后张法施工？其适用范围？

答：后张法是先制作构件，并在构件中按设计规定的位置预留孔道，待砼强度达到设计规定的数值后，在孔道内穿入预应力筋进行张拉，使构件产生预应力，并用锚具将预应力筋锚固在构件的端部，最后进行孔道灌浆。预应力筋的张拉力主要是靠构件端部的锚具传递给砼，使砼产生预压应力。

适用于在现场生产大型构件，特别是大跨度构件，如薄腹梁、吊车梁和屋架等。

11什么是后张法? 答:后张法是在混凝土硬化至一定强度后,再张拉预应力筋的预应力混凝土生产方

法。它是在构件设置预应力筋的部位,预先留有孔道,然后灌筑混凝土,待达到规定强度后,将钢筋(丝)

穿入预留孔道中,按设计要求的张拉控制应力进行张拉,并且专门的锚具将钢筋(丝)锚固在构件的两

7.例析高中立体几何的解题技巧 篇七

立体几何当中最基础的便是线与线, 线与面, 面与面之间的位置关系的证明与应用, 我们通过下面这道例题多方面、更通透地了解线面之间的关系.也从侧面初步领会一下立体几何中的多种解题模式.

【例1】如图1, 已知α⊥β, β⊥γ, α∩β=a, 求证:α⊥γ.

解法一:设α∩γ=b, β∩γ=c,

在α内作直线m, 使得m⊥b, 则m⊥γ.

在β内作直线n, 使得n⊥c,

则n⊥γ, ∵m∥n, ∴m∥β, m∥a, ∵m⊥b, ∴α⊥β.

解法二:设α∩γ=b, β∩γ=c,

在α上取一点A, 分别在α, β内作直线使AB, AC, 使得AB⊥a, AC⊥a,

∵AC⊥a, ∴AC⊥α,

∵α⊥γ, ∴AC∥γ,

同理可得AB∥γ, ∴α⊥γ.

【例2】如图2所示, ABCDEFG为多面体, 平面ABED与平面AGFD垂直, 点O在线段AD上, OA=1, OD=2, △AOB, △OAC, △ODE, △ODF都是正三角形.

(1) 证明直线BC//EF.

解法一: (传统方法)

设G是线段DA与EB延长线的交点, 则OB∥DE, OG=OD=2, 同理设G′是线段DA与线段FC延长线的交点,

则OG′=OD=2, 又由于G′和G都是在线段DA的延长线上, 所以G和G′重合.

在△GED和△GFD中, 由于OB∥DE和OC∥DF, 可知B和C是GE和GF的中点, 所以BC是△GFE的中位线, 得BC∥EF.

解法二: (向量方法)

过点F作FQ⊥AD交AD于点Q, 然后连接QE,

∵平面ABDE⊥平面ADFC, ∴FQ⊥平面ABDE.

以Q为坐标原点, 以QE作为x轴, 以QD为y轴, 以QF为z轴, 建立空间直角坐标系 (如图2) .

【例3】如图3所示, 已知正三棱柱:ABC-A1B1C1的每个棱长都是4, E是BC的中点, 动点F在侧棱CC1上, 且不与点C重合, 当CF=1时, 求证:EF⊥A1C.

解法一: (传统方法)

过点E作EN⊥AC于N, 连结NF、AC1, 由直棱柱的性质可以知道, 底面ABC⊥侧面A1C.又因为面ABC∩侧面A1C=AC, 且EN在底面ABC上, EN⊥侧面A1C, NF为EF在侧面A1C内的射影.

在直角△CEN中, CN=CE, 因为, 得NF//AC1, 因为AC1⊥A1C得NF⊥A1C, 根据三垂线定理可以得出EF⊥A1C.

解法二: (向量方法)

建立如图3所示的空间直角坐标系, 则:

A (0, 0, 0) , B (, 2, 0) , C (0, 4, 0) , A1 (0, 0, 4) , E (, 3, 0) , F (0, 4, 1) , 则= (0, -4, -4) , , 1, 1) , 得= (0, -4, 4) (-, 1, 1) =0-4-4=0, 所以EF⊥A1C.

8.立体几何解题思路 篇八

【关键词】割补法  高中立体几何  应用研究

在高中立体几何中，割补法是一种特殊的方法，通过对已知几何体的割补，能够得到一个新的几何体，新的几何体和原来的几何体具有一定的联系，从而可以将所求问题进行转化，达到简化问题的目的。割补法中蕴含着构造的思想，也是对立统一哲学思想的反映，培养学生的割补思想，对于学生的数学能力和创新能力的培养具有重要的意义。

一、补形法

补形法就是将原有的立体几何图形补充一部分，形成一个新的立体几何图形，在新的立体几何图形中研究图形的体积等性质。一般使用补形法时，原有的立体几何图形的相知和数量求取方法比较复杂，通过补充后，新的图形和补充的部分数量关系求法比较简单。

1.构造正方体法

正方体是一个比较特殊有简单的几何体，通过割补法构造正方体，可以将复杂的问题简单化，可以找到解题的简单方法。

例1：过正方形ABCD的顶点A作PA⊥面AC，且PA=AB。求平面PAB和面PCD所成二面角。

分析：由于是正方形ABCD，PA垂直该面且PA=AB，这样构造出一个正方体，正方体的边长与AB长相同，所求的平面PAB和面PCD所成二面角，就是正方体的一条边所在的面和其所在的对角面所成的夹角，为45°。

例2：一个四面体的所有棱长都为

，四个顶点在一球面上，求此球的表面积。

分析1：正四面体ABCD的棱长为

，四个顶点都在球上，球的球心与四面体的中心相同，设ΔACD的重心为E，则球心在线段BE上，可以通过直角三角形求出，但是计算比较复杂。

分析2：将四面体ABCD补成正方体，补成的正方体与正四面体的外接球是同一个球，由于正四面体棱长为    ，所以正方体的棱长为1，外接球的半径为     ，所以球的面积为3π。

2.台体补成锥体法

台体与锥体具有一定的关系，台体可以通过锥体截取一部分得到，它们的性质相似，如果台体中有些性质比较难解答时，可以将台体补充一个小的锥体，得到一个大的锥体，使问题得到转化，从而找到简便的解答办法。

例3：已知三棱台ABC-A′B′C′的侧面A′ACC′是底角互余的梯形，且该侧面垂直于底面，∠ACB=90°，求证：三棱台另两个侧面互相垂直。

分析：要证明三棱台ABC-A′B′C′的侧面A′ABB′与侧面B′BCC′互相垂直，可以使用面面垂直判定定理或者证明这两个面所成的二面角是直二面角，但是两种方法只靠原立体图形是很难证明的，可以考虑将三棱台ABC-A′B′C′补成三棱锥P-ABC。

二、分割法

分割法是将几何体分割成若干个部分，利用整体与部分的关系来解决所求问题。使用分割法时，要将原有的几何体分割成比较常见的几何体，使原来所求的问题更加简单。

1.从整体分割出部分已知几何体

例4：已知一个斜三棱柱的ABC-A′B′C′的一个侧面A′ABB′的面积为S，侧棱CC′到侧面A′ABB′的距离为h，求该三棱柱的体积。

分析：根据三棱柱的体积公式，要求三棱柱的体积，要知道三棱柱的底面积和高度，但是这道题根据已知条件无法求出底面积和高。根据已知条件侧面A′ABB′的面积为S，侧棱CC′到侧面A′ABB′的距离为h，可以看作为将侧面A′ABB′作为底面，C为顶点的四棱锥C-A′ABB′的底面积和高，再根据四棱C-A′ABB′与三棱柱之间的关系求出三棱柱的体积。

2.把整体分割成几个相互关联的部分

例5：已知正四面体的棱长为a，求其内部任一点P到各个面的距离之和。

分析：由于PS是正四面体内部的任一点，具有不定性，无法确定点P到个面的距离。可以将P作为顶点，将P点与其他顶点连接，可以得到四个以P为顶点的三棱锥，P点到各面的距离是各个三棱锥的高，利用正四面体的体积是四个三棱锥体积之和的关系，就可以求出P点到各面的距离之和。

解：连接PA、PB、PC、PD，把正四面体ABCD分成四个三棱锥：三棱锥P-ABC、三棱锥P-BCD、三棱锥P-ABD和三棱锥P-ACD。设P到各个面的距离分别为h1、h2、h3和h4，由于是正四面体，各个面的面积都相等，设为S，则这四个三棱锥的体积分别为：  Sh1、

Sh2、 Sh3、 Sh4，正四面体的体积为

aS，所以有等式  Sh1+  Sh2+  Sh3+

Sh4=     aS，解得h1+h2+h3+h4=     a。

三、小结

割补法在高中立体几何中具有广泛的应用，立体几何中的许多定理和结论都来自于生活实践，与平面几何之间具有很重要的关联。所以在教学中要引导学生联想实际模型，加强学生的立体想象能力，使学生的头脑中形成立体几何图形的模型，对于割补法具有更形象的理解，从而提高学生解决立体几何问题的能力。

【参考文献】

[1] 黄永云、李素云. 巧用割补法解高考立体几何题[J].课程教材教学研究，2013.2（8）：17-19.

[2] 王建忠. 割补法及其应用[J].中学物理，2011.3（4）：43-45.

[3] 闫峰. 例析割补法在高中物理中的应用[J].中学物理（高中版），2014.32 （8）：82.

9.立体几何解题思路 篇九

一、解题主观题的技巧

1．解答的一般思维过程：①阅读题目及材料，认真审题，看清题目的要求、规定的角度、答题的指向等。②根据关键词，确定题目类型，思考解题思路、方法。③根据关键词，联想与题目相关的基本知识点。如果知识点较多，根据题目要求需要多角度作答的就要多角度作答。如果题目已规定了角度就要选择规定的角度知识作答。④运用相关基本知识点，根据解题思路，按题目要求作答。

2．只要题目有材料，答案中就必须要有概括材料、联系材料的内容。

3．不仅要看清题目作答，还要看清分数作答，一般几分就是几点。

4．要从多角度、多方面思考问题的答案，全面作答。

5．答案分点（一问一答，一答一点），字迹工整，在指定区域作答。

6．尽量用政治术语，尽可能用学过的课本知识，课本词句组织答案作答。

二、常见题型的解题思路

①道理（书上的知识点）①含义

1、启示题

2、为什么 ②原因、现状

②怎么做（重点写）（必要性）③重要性（意义＋地位）/ 危害

①含义

3、重要性②意义、地位

③体现的道理

①内因①积极影响

4、原因、影响②外因②消极影响

①总说：相互联系、影响等①写出A是什么（或A的相关知识）

6、关系②分说：、从A②写出 A与B之间的联系

谈③根据B的题型来组织答案

8、评析、辨析类：

评析型题目首先要分析题中含有几种观点；

哪一个人或哪几个人有哪些言行，如果观点较多，人数较多、人物的言行较多就必须要分别对每种观点，每个人物的每种言行进行评析，否则会出现遗漏评析而失分的现象。

（一）观点评析

(1)全对型①正确②分析正确的原因（课本上的道理等）③对我们的启示。

(2)全错型：①错误②分析错误的原因（正确的观点是什么？为什么？观点错误的原因等）③对我们的启示？

(3)正误混杂型：①观点是片面的②分析正确的观点（分析正确的原因、对我们的启示）③分析

错的观点（用关联词“但”；指出正确的观点是什么、为什么；观点错误的原因；对我们的启示等）。

（二）行为评析

(1)全对型①某某行为是正确的②行为对的原因（行为的性质；符合法律、道德的依据；意义；不这样做的危害等）。③对我们的启示。

(2)全错型①某某行为是错误的②错误的原因

（行为的性质；违反法律、道德的依据；危害等）③写出正确的行为及对我们的启示。

(3)正误混杂型：①分析正确的行为：某某行为是正确的，行为正确的原因（行为的性质；符合法律、道德的依据；意义；不这样做的危害等）②分析错误的行为：某某行为是错误的、错误的原因（行为的性质；违反法律、道德的依据；危害；不这样做的好处等）③写出正确的行为及对我们的启示。

9、请谈谈对理解、认识、看法，劝说题，方法类似问题于---评析题，也可采用：判断＋3W（是什么、为什么、怎么办）

①个人自己（知识、能力、觉悟、法律道德素养、人生价值等）

10、（没有主语）意义②他人

（用有利于的句式）③国家、社会

④家庭、企业、学校、班级

有主语的意义类：围绕主语从多个方面（如个人可从思想品德、学习、身心健康等角度分析;国家社会：可从政治、经济、文化、和谐等方面分析）分析意义。

11、危害题的角度：类似于意义题，请用---不利于、破坏了的句式

12、怎么做、建设题、计策题，前面没有主语或者说我们应该怎么做时，必须要下列角度全面分析 ①自己个人的做法（思想上、行动上等）

②国家的做法（道德、法律、宣传教育等）

③社会做法

④家庭、企业、学校、班级的做法

如果有主语就必须围绕主语，从多个方面思考解答。

①思想上：树立-----意识

13、个人（青少年）怎么做②行动上：自觉行动（理论＋具体的行为事例）

宣传----重要性、作斗争、举报投诉、向相关部门提建议

①知识：有利于了解------的知识，开拓了视

14、参加实践活动

（一）开展活动的原因、目的、意义、收获有②能力：有利于增强创新、实践、组织、搜索信息、分析问题解

决问题等的能力

③情感觉悟：有利于增强------意识或者情感，有利于使我们自

觉落实------行动。

（二）活动途径（研究的方法）：（１）上网查询；（２）实地考察；（３）访问专家；（４）查阅资料等。

（三）活动形式：（１）主题班会；（２）演讲；（３）黑板报；（4）手抄报等。

（四）开展研究收集信息、资料的主要方法有：查阅资料、上网查询、调查采访、实地考察、问卷调查等。

（五）小课题研究（研究性学习）的一般过程为：①发现问题，确定主题，制定计划（活动方案）—→②通过多种途径、开展调查，收集资料（信息）—→③整理、分析、归纳资料（信息）—→④撰写研究（调查）报告—→⑤提出相关建议措施，交流、展示活动成果等。

（六）成果展示形式：小论文、调查报告、建议书、手抄报、黑板报、专题讲座等。

10.高考数学解题思路技巧 篇十

一、数形结合法

高中数学题目对我们的逻辑思维、空间思维以及转换思维都有着较高要求，其具有较强的推证性和融合性，所以我们在解决高中数学题目时，必须严谨推导各种数量关系。很多高中题目都并不是单纯的数量关系题，其还涉及到空间概念和其他概念，所以我们可以利用数形结合法理清题目中的各种数量关系，从而有效解决各种数学问题。

数形结合法主要是指将题目中的数量关系转化为图形，或者将图形转化为数量关系，从而将抽象的结构和形式转化为具体简单的数量关系，帮助我们更好解决数学问题。例如，题目为“有一圆，圆心为O，其半径为1，圆中有一定点为A，有一动点为P，AP之间夹角为x，过P点做OA垂线，M为其垂足。假设M到OP之间的距离为函数f(x)，求y=f(x)在[0，?仔]的图像形状。”

这个题目涉及到了空间概念以及函数关系，所以我们在解决这个题目时不能只从一个方面来思考问题，也不能只对题目中的函数关系进行深入挖掘。从已知条件可知题目要求我们解决几何图形中的函数问题，所以我们可以利用数形结合思想来解决这个问题。首先我们可以根据已知条件绘出相应图形，如图1，显示的是依据题目中的关系绘制的图形。

根据题目已知条件可知圆的半径为1，所以OP=1，∠POM=x，OM=|cos|，然后我们可以建立关于f(x)的函数方程，可得所以我们可以计算出其周期为，其中最小值为0，最大值为，根据这些数量关系，我们可以绘制出y=f(x)在[0，?仔]的图像形状，如图2，显示的是y=f(x)在[0，?仔]的图像。

二、排除解题法

排除解题法一般用于解决数学选择题，当我们应用排除法解决问题时，需掌握各种数学概念及公式，对题目中的答案进行论证，对不符合论证关系的答案进行排除，从而有效解决数学问题。当我们在解决选择题时，必须将题目及答案都认真看完，对其之间的联系进行合理分析，并通过严谨的解题思路将不符合论证关系的条件进行排除，从而选择正确的答案。

排除解题法主要用于缩小答案范围，从而简化我们的解题步骤，提高接替效率，这样方法具有较高的准确率。例如，题目为“z的共轭复数为z，复数z=1+i，求zz-z-1的值。选项A为-2i、选项B为i、选项C为-i、选项D为2i。”

当我们在解决这个题目时，不仅要对题目已知条件进行合理分析，而且还要对选项进行合理考虑，并根据它们之间的联系进行有效论证。我们可以采取排除法来解决这个问题，已知z=1+i，所以我们可以求出z的共轭复数，由于题目中含有负号，所以我们可以排除B项和D项;然后我们可以将z的共轭复数带进表达式，可得zz-z-1=(1+i)(1-i)-1-i-1=-i，所以我们可以将A项排除，最终选择C项。

三、方程解题法

很多数学题目中有着复杂的数量关系，而且涉及到许多知识点，当我们在解析题目中的数量关系时，如果直接对其数量关系进行分析，不仅增加我们解题过程，还会提高题目整体难度，这样我们就难以理清题目中的各种关系，给我们有效解决题目带来较大麻烦。

数学题目中的各种数量关系大都具有紧密联系，所以我们可以利用方程解题法建立多种数量关系，简化解题步骤，帮助我们更好解决数学问题。例如，题目为“双曲线C的离心率是2，其焦点主要为F1和F2，双曲线C上有一点A，如果|F1A|=2|F2A|，求cos∠AF2F1的值。”

这个问题中存在着较抽象的数量关系，如果直接利用已知条件求cos∠AF2F1的值，不仅会增加我们的解题步骤，而且很容易出现错误，所以我们可以利用方程解题法来解决这个问题。首先，由已知条件双曲线C的离心率是2可得出C=2a;然后可根据双曲线上点A建立表达式，2a=|F1A|-|F2A|，所以可计算出|F1A|=4a，|F2A|=2a，|F1F2|=2c;最后我们可以通过余弦定理建立方程式，

所以最后我们可以得出cos∠AF2F1的值为。

二.高中数学解题小技巧

1.圆锥曲线中最后题往往联立起来很复杂导致k算不出，这时你可以取特殊值法强行算出k过程就是先联立，后算代尔塔，用下伟达定理，列出题目要求解的表达式，就ok了。

2.选择题中如果有算锥体体积和表面积的话，直接看选项面积找到差2倍的小的就是答案，体积找到差3倍的小的就是答案，屡试不爽!

3.三角函数第二题，如求a(cosB+cosC)/(b+c)coA之类的先边化角然后把第一题算的比如角A等于60度直接假设B和C都等于60°带入求解。省时省力!

4.空间几何证明过程中有一步实在想不出把没用过的条件直接写上然后得出想不出的那个结论即可。如果第一题真心不会做直接写结论成立则第二题可以直接用!用常规法的同学建议先随便建立个空间坐标系，做错了还有2分可以得!

5.立体几何中第二问叫你求余弦值啥的一般都用坐标法!如果求角度则常规法简单!

6.选择题中考线面关系的可以先从D项看起前面都是来浪费你时间的

7.选择题中求取值范围的直接观察答案从每个选项中取与其他选项不同的特殊点带入能成立的就是答案

8.线性规划题目直接求交点带入比较大小即可

11.中学数学几何解题思维教学反思 篇十一

【关键词】 初中数学 几何教学 机械化思维 创新思维

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1992-7711（2015）10-032-01

数学能力就像语言能力一样，是每个人都可以拥有的能力，只是数学家和科学家在这方面的能力更强一些罢了，你并不需要特别聪明或者有特别的才能，才能学好数学。对于数学几何的学习也一样，可能不需要复杂考虑，也可能需要发散思维用非正常的解题角度解析，看题下手，得心应手。本文主要是以以本人所教授的人教版数学几何为例，深入剖析在几何教学上的一些思考。

首先，我们应该大概了解一下中学几何到底是什么样的？

中学几何内容主要包括度量几何学、欧氏几何的公理化体系、平面几何证题方法、平面几何名题欣赏、中学几何教学的综述、立体几何研究与解题、解析几何研究与解题、球面几何学初步以及几何定理的机器证明等内容。简单总结来说就是三角形，四边形，多边形，圆，以及与之有关的定律、定理的综合。常见的题型基本就是几何综合计算题和证明题。本文主要以例题为例分别从两个不同角度解析。

一、机械化思维解析问题

纵观当前我国的中学数学教育，素质教育的思想虽然早已深入人心，但是鉴于我国当前教育现状，应试教育也的确占据了更大的比例。鉴于这种特殊情况，称之为应试教育向素质教育的“转折期”。但现实中为提高学生的数学几何解题效率，在各种数学考试中有更好的表现，有些经典老师就总结出一些经典解题思路，在理论上叫做机械化思维解析，换句话说就是每一个具体的题型都提出相对固定有据可依的解题策略，并能按部就班的写出几何问题的解题过程。以典型的证明例题为例阐述。

已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F.求证：∠DEN=∠F.

解析：这道题不需要深入挖掘，重要的是做好辅助线，这是常规思路。

连接AC并取其中点为Q，连接QN、QM由相似三角形原理，∠QMF=∠F.

∠QNM=∠DEN，∠QMN=∠QNM从而得出∠DEN=∠F.

这道题属于八年级难度的典型的证明题，不需要灵活选择应用哪个定律，只需要辅助线就可以简单完成。这方面属于规律技巧性的解题，学生们需要日常积累题集，学会分类解决问题，总结一些做题规律，有些题型的解析甚至可以用“死记硬背”的方法，这样对于解题效率会有很大的提高。在国际的数学教育领域，中国学生的数学教育测试（IAEP，TIMSS，PISA）成绩都是十分优异的，但是中国学生的数学学习能力给人的深刻印象是善模仿、重记忆、多练习、会考试，缺乏创新思维能力，这就是所谓的数学学习的“中国学习者悖论”。这就是说，除了解题规律、技巧的培养，还应该注意对学生创新思维能力的培养，毕竟不是所有的题型都有固定的解析模式，有些需要学生们发散思维，用超出一般解题思路的思维去看问题，这就要求学生能够培养对知识灵活应用的能力只有思维能力得到提高，才能更好地掌握解题技巧与规律。

二、创造性思维解析问题

江泽民同志指出，“创新是一个民族进步的灵魂，是一个国家兴旺发达的不竭动力”，可见创新的作用之大。数学具有抽象性、简约性、形式化、逻辑性和优美性的特征，现如今数学命题人对新颖题型的热爱正逐渐增强，不再是保守的传统题型，因此学生和教师都必须学会适应进步后的实际情况，使用以前的那种传统的中学数学教育方式和学习方法是会被淘汰的，这无疑对中学数学教师和学生提出了更高、更新的要求，不断促使中学数学教师在教学中运用新的教学方式和方法，学生也要有创新学习思维。

同样以例题为例：如图，首先将一张长方形纸片按图①的虚线对折，得到图②，然后将图②沿虚线折叠得到图③，再将图③沿虚线BC剪下△ABC，展开即可得到一个五角星.若想得到一个正五角星（如图④，正五角星的5个角都是36°），则在图③中应沿什么角度剪即∠ABC的度数为（ ）

这道题属于剪纸问题，需要学生用发散性思维，想象纸折过之后打开各个角度对应位置，如④添加辅助线之后A点对应的就是五角星的中心位置，B、C位置如图，由题意知道∠ACB为正五角的一半即18°，∠BAC=360°/10=36°根据三角形的内角和是180°所以∠ABC=180°-18°-36°=126°

对于这方面的思维培养，要从学生和老师两方面进行教育改革。首先，学生们不能只是一味实行题海战术，要善于思考，同时将知识灵活应用于现实生活中，就如上图例题，用生活中的剪纸试验一下，一目了然，例如还有一些纸盒的伸展折叠问题，需要学生真实了解立体事物之后，有想象立体空间的发散思维才能真正明白题解的真正原因。

总结

数学就存在于人们的日常生活中，每個人都会在生活中运用到数学能力，学生在数学学习尤其是几何学习上需要把数学能力发挥到极致，因为几何既贴近生活又能应用与生活。对于几何的学习既要循规蹈矩打好扎实基础，牢记概念、定律，在吸收老师灌输知识的同时还要善于发现生活中的几何，善于思考，培养自己的创新思维，为提高学习效率做出自己的努力。

[ 参 考 文 献 ]

[1]陈瑶.中学几何的教育价值，硕士论文，南京师范大学，2003.

[2]张杰.关于中学数学几何机械化解题教学研究，硕士论文，中央民族大学，2011.