初中数学考点分析

2024-10-10

初中数学考点分析（精选7篇）

1.初中数学考点分析篇一

2011年武汉中考数学解析

考试内容及要求

(一)基础知识与基本技能

了解数的意义，理解数和代数运算的意义、算理，能够合理地进行基本运算与估算。

能够借助不同的方法探索几何对象的有关性质；能够使用不同的方式表达几何对象的大小、形状以及相对应位置关系；能够在头脑里构件几何对象，进行几何图形的分解与组合，能对某些图形进行简单的变换；能够借助数学证明的方法确认数学命题的正确性。

正确理解数据的含义，能够结合实际需要展开调查，收集数据，有效地表达数据特征，会根据数据结果作合理的预测；了解概率的基本涵义，能够借助概率模型或通过设计具体活动解释一些事件发生的概率。

（二）数学活动过程（略）(三)数学思考（略）

（四）解决问题的能力

(五)对数学的基本认识(不同数学知识之间的联系、不同数学方法之间的类比等)

试卷结构

全试卷包括I卷和II卷。I卷为选择题，II卷为非选择题。包括选择题、填空题和解答题三种题型。选择题共12小题，每题3分，共36分；填空题共4小题，每题3分，共12分；解答题共9题，共72分。数与代数、空间与图形、统计与概率、实践与综合四个领域在试题中所占的比重与它们在教学中所占课时的百分比大致相同，数与代数约占45%，空间与图形约占40%，统计与概率约占15%，综合与实践的考查结合在三领域当中。解读：

今年数学考试说明，对考点的表述趋于规范化，从表面上看，删除了一些知识点，但实际上这些删除的点都在其他的知识点上有所体现。值得一提的是，今年中考增加了一些知识点，对一些重点知识的考查力度有所加强，要特别引起关注。

如“有理数的运算”，要求考生“掌握”，提升了能力要求；“方程与方程组”知识点中，将“用公式法解一元二次方程”调整为“解一元二次方程”，放宽了学生思维的宽度；增加“一元二次方根的判别”、“一元二次方程根与系数的关系”，这样的调整可能会在综合题中体现，也可能在选择题中“做文章”，考生要重视。

“函数”知识点上，增加“用函数的观点看方程和不等式”，并要求学生“掌握”，这预示着今年中考第23题的应用题可能会有较大的变化。

“圆”的知识点上，增加“正多边形与圆的有关计算”，这一处增加可能会体现在中考的选择题或是填空题中。“图形的相似”知识点上，增加“平行线分线段成比例”，这一知识点非常重要，可能体现在几何证明或几何计算中，会有一定难度。今年，“三角形相似的性质及判定”、“特殊角的三角函数值”2个知识点上，提升了能力要求，要求考生“灵活运用”，由此可判断，这将是一道压轴题，会有一定难度。

尽管今年武汉市数学中考重要考点增加，且部分考点能力要求提升，样题的难度也比较大，但这不能简单地说中考的难度就会提升。近年来，该市数学中考难度趋于稳定，整体平和。

从样题上，今年中考可能会有几个明显的调整，具体为第13、14、21、22、23题，已经体现出改变的想法，具体说就是考查的知识点没变，但命题的方式有所创新。这种变化符合新课标的要求。

备考建议

每年的中考注重对基础的考查，今年也不例外，所以考生要依据教材来复习。1.注重双基训练，把教材上的试题吃透，并学会其表述模式，规范答题。2.会做题不丢分、难题多得分，这就需要考生注重细节，注重规范性训练。在这里提醒考生，教材是最好的复习材料，中考是依据常规思想来命制的，所以陷入题海，而不做总结归纳、不能规范答题，是取得不了好成绩的。3.复习重视中低档试题，中考时这两类题是占了绝对的“大头”。

另外，考生要认真研读考试说明，关注其中的变化和趋势，在平时的训练和模拟考试中，总结教训、积累经验对答题规范性要求高

【考试变化】考试成绩由等级制改为分数制呈现，对于数学成绩优异（115分以上）的学生利好。学生要分分必争，在原有程度上提高做题档位。为了划出区分度，难点设置会增加，即难点较为分散，但总难度系数会保持不变。根据去年情况来看，网上评卷高效公平，对答题规范性要求高。

【备考建议】

1、基础性原则。中考七成是基础题。

2、针对性原则。归纳整合，查漏补缺。

3、诊断功能。重视试题的检测，及时发现自己存在的问题。学会“一题多解”和“多题一解”。

4、规范性原则。推理符合逻辑，书写要规范。教材是最好的复习材料，要将教材上的试题吃透，并学会其表述模式。

5、复习重视中档试题。还要重视综合题的训练，例如圆、二次函数等试题。从近几年中考24、25题综合题来看，平时注重训练，善于归纳总结的学生得分较高。做题时要注意发现隐含条件。

2.初中数学考点分析篇二

考点1 分类加法计数原理

在利用分类加法计数原理解题时, 首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准, 标准要统一, 不能遗漏;其次要确保每类做法中每一种方法都能完成这件事情, 类与类之间是独立的.

例1 有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学, 在数学检测时要求每位教师不能在本班监考, 则监考的方法有 ( ) .

(A) 8种 (B) 9种

解析:设四位监考教师分别为A, B, C, D, 所教班级分别为a, b, c, d.假设A监考b, 则余下三人监考剩下的三个班级, 共有3种不同方法.同理, 当A监考c, d时, 也分别有3种不同方法.由分类加法计数原理知, 监考方法共有3+3+3=9种.故选B.

考点2 分步乘法计数原理

在利用分步乘法计数原理解题时, 首先要明确题目中的“完成这件事”是什么, 然后将完成这件事划分成几个步骤来完成, 每步都是独立的, 且各步骤之间有一定的连续性, 只有当所有步骤都完成了, 整个事件才算完成, 这是分步的基础, 也是关键.

例2 一个乒乓球队里有5名男队员, 4名女队员, 从中选出男、女队员各1名组成混合双打, 共有___种不同的选法.

解析:“完成这件事”需选出男、女队员各1名, 可分两步进行:第一步选1 名男队员, 有5种选法;第二步选1名女队员, 有4种选法.所以共有5×4=20种选法.

考点3 两个计数原理的综合应用

在考题中, 两个计数原理一般是联合在一起来考查的, 经常是先分类再分步.常见的题型有: (1) 与数字有关的问题; (2) 涂色问题; (3) 方程解的个数问题.

例3 有一个圆被两相交弦分成四块, 现在用5种不同颜料给这四块涂色, 要求共边两块颜色互异, 每块只涂一色, 共有多少种涂色方法?

解析:如图所示, 分别用a, b, c, d表示这四块区域, a与c可同色也可不同色, 可先考虑给a, c两块涂色, 需分两类:

(1) 给a, c涂同种颜色共5种涂法, 再给b涂色有4种涂法, 最后给d涂色也有4种涂法.由分步乘法计数原理知, 此时共有5×4×4种涂法.

(2) 给a, c涂不同颜色共有5×4=20种涂法, 再给b涂色有3种涂法, 最后给d涂色也有3种涂法, 此时共有20×3×3种涂法.

故由分类加法计数原理知, 共有5×4×4+20×3×3=260种涂法.

考点4 排列

解决有限制条件的排列问题的主要方法有:“在”与“不在”问题的原则是谁“特殊”谁优先, 既可以从元素入手, 也可以从位置入手.相邻问题的解决方法是“捆绑法”, 但要注意捆绑元素的内部排列.不相邻问题的解决方法是“插空法”.定序问题可以先不考虑顺序限制, 排列后, 再除以定序元素的全排列.有些问题从正面考虑比较复杂, 可采用“间接法”, 从其反面入手解决问题.

例4 将A, B, C, D, E排成一列, 要求A, B, C在排列中顺序为“A, B, C”或“C, B, A” (可以不相邻) , 这样的排列共有 ( ) .

(A) 12种 (B) 20种

解析:五个元素没有限制时的全排列数为A55, 由于要求A, B, C的次序一定 (按A, B, C或C, B, A) , 因此除以这三个元素的全排列数A33, 可得满足题意的排列共有种.故选C.

考点5 组合问题

组合问题中典型的问题有: (1) “含”与“不含”的问题.若“含”, 则先将这些元素取出, 再取另外的元素;若“不含”, 则先将这些元素剔除, 再从剩下的元素中去选取. (2) 对于“至少”“最多”的问题可以用直接法或间接法来求解, 但是用直接法分类复杂时, 可用间接法减少计算量.

例5 某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2 个项目作为本年度要启动的项目, 则重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法的种数是 ( ) .

(A) 15 (B) 45

解析:从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度启动的项目, 所有的选法种数是C42×C62=90.

重点项目A和一般项目B都没有被选中的选法种数是C32×C52=30, 因此重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法种数是90-30=60.故选C.

考点6 排列与组合的综合应用

解排列组合问题要遵循两个原则:一是按元素 (位置) 的性质进行分类;二是按事情发生的过程进行分步.具体地说, 解排列组合问题常以元素 (位置) 为主体, 需先满足特殊元素 (位置) , 再考虑其他元素 (位置) .

例6 将标号为1, 2, 3, 4, 5, 6的6张卡片放入3个不同的信封中.若每个信封放2张, 其中标号为1, 2的卡片放入同一信封, 则不同的放法共有_____种.

解析:先放1, 2的卡片有C31种放法, 再将3, 4, 5, 6的卡片平均分成两组再放置, 有种放法, 故共有C31·C42=18种放法.

考点7 二项展开式问题

常见的二项展开式问题有: (1) 求二项展开式中的第n项, 则可依据二项展开式的通项公式直接求出第n项. (2) 求二项展开式中的特定项, 则可依据条件写出第 (r+1) 项, 再由特定项的特点求出r值即可. (3) 已知二项展开式的某项, 求特定项的系数, 则可由某项得出参数项, 再由通项公式写出第 (r+1) 项, 由特定项得出r值, 最后求出参数值.

例7的展开式中x2y2的系数为_____ (用数字作答) .

解析:二项展开式的通项, 由此可知要求x2y2的系数, 需满足, 解得r=4.所以x2y2的系数为 (-1) 4C48=70.

考点8 二项式系数或展开式各项系数之和

“赋值法”普遍适用于恒等式, 是一种重要的方法, 对形如 (ax+b) n, (ax2+bx+c) m (a, b∈R) 的式子, 求其展开式的各项系数之和, 常要用到赋值法, 只需令x=1即可;对形如 (ax+by) n (a, b∈R) 的式子求其展开式的各项系数之和, 只需令x=y=1即可.

例8 若展开式的各项系数的绝对值之和为1024, 则展开式中x的一次项的系数为_____.

因为展开式的各项系数的绝对值之和为Cn0+| (-3) 1Cn1|+ (-3) 2Cn2+| (-3) 3Cn3|+…+| (-3) nCnn|=1 024,

所以 (1+3) n=1 024, 解得n=5.

令, 解得r=1.

所以展开式中x的一次项的系数为 (-3) 1C51=-15.

考点9 展开式中系数的最值问题

若求二项式系数最大的项, 根据二项式系数的性质可知, 当n为奇数时中间两项的二项式系数最大, 当n为偶数时中间一项的二项式系数最大.但是注意求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的, 求解时需注意各项系数的正、负变化情况, 一般采用列不等式、解不等式的方法求得.

例9 设m为正整数, (x+y) 2m的展开式中二项式系数的最大值为a, (x+y) 2m+1的展开式中二项式系数的最大值为b, 若13a=7b, 则m= ( ) .

(A) 5 (B) 6

解析:已知m为正整数, 由题意及二项式系数的性质可知, a, 所以1, 即, 则13· (m+1) =7 (2m+1) , 解得m=6.故选B.

考点10 整除问题

利用二项式定理解决整除问题时, 求解的关键是对二项式进行合理地变形构造, 应注意:要证明一个式子能被另一个式子整除, 只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.求余数问题时, 应明确被除式f (x) 与除式g (x) (g (x) ≠0) , 商式q (x) 与余式的关系及余式的范围.

例10 设a∈Z, 且0≤a≤13, 若512016+a能被13整除, 则a=_____.

解析:由题意, 得512016+a= (1-13×4) 2016+a=a+1-C12016×13×4+C22016× (13×4) 2+…+ (13×4) 2016, 显然当a+1=13k (k∈Z) 时, 512016+a的各项都是13 的倍数, 因此能被13整除.所以此时a=13k-1 (k∈Z) .又0≤a≤13, 所以当k=1时, a=12.

配套练习:

1.我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数” (如2 013是“六合数”) , 则“六合数”中首位为2的“六合数”共有 ( ) .

(A) 18个 (B) 15个

2.从2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数, 则可以组成不同对数值的个数为 ( ) .

(A) 56 (B) 54

3.若自然数n使得作竖式加法n+ (n+1) + (n+2) 均不产生进位现象, 则称n为“良数”.例如:32是“良数”, 因为32+33+34不产生进位现象;23不是“良数”, 因为23+24+25产生进位现象.那么小于1000 的 “良数”的个数为 ( ) .

(A) 27 (B) 36

4.数列{an}共有12项, 其中a1=0, a5=2, a12=5, 且|ak+1-ak|=1, k=1, 2, 3, …, 11, 则满足这种条件的不同数列的个数为 ( ) .

(A) 84 (B) 168

5.由1, 2, 3, 4, 5, 6组成没有重复数字的六位数, 要求奇数不相邻, 且4不在第四位, 则这样的六位数共有_______个.

6.全国运动会举行期间, 某校4名大学生申请当A, B, C三个比赛项目的志愿者, 组委会接受了他们的申请, 每个比赛项目至少分配一人, 每人只能服务一个比赛项目, 若甲要求不去服务A比赛项目, 则不同的安排方案共有_____种.

7.若二项式 (2x-a/x) 7的展开式中1/x3的系数是84, 则实数a=.

8.若的展开式中各项系数的和为2, 则该展开式中的常数项为_____.

9.设的展开式的各项系数的和为P, 所有二项式系数的和为S, 若P+S=272, 则n=______.

10.32n+2-8n-9 (n∈N*) 被64除的余数是.

练习答案:

1.B. 2.D. 3.D.

4.A.因为|ak+1-ak|=1, k=1, 2, 3, …, 11, 所以前一项总比后一项大1或小1.易知a1到a5有3次增加1, 1次减少1, 从a5到a12有5次增加1, 2次减少1, 所以满足题意的数列有C41·C72=84个.

5.120. 6.24. 7.1.

8.40.令x=1, 即可得到 (x+a/x) (2x-1/x) 5的展开式中各项系数的和为1+a=2, 所以a=1.因此 (x+a/x) (2x-1/x) 5= (x+1/x) (2x-1/x) 5, 要找其展开式中的常数项, 需要找 (2x-1/x) 5的展开式中含x和1/x的项. (2x-1/x) 5的展开式的通项是Tr+1=Cr5 (2x) 5-r (-1/x) r= (-1) r·25-r·Cr5x5-2r.令5-2r=1, 得r=2;令5-2r=-1, 得r=3.所以有80x和- (40) /x项, 将其分别与1/x和x相乘, 再相加, 即得该展开式中的常数项为80-40=40.

9.4.

(安徽余其权)

十、统计及统计案例部分

考点1 简单随机抽样

简单随机抽样是一种不放回抽样, 是等概率抽样, 抽签法适用于总体中个体数较少的情况, 随机数法适用于总体中个体数较多的情况.

例1 对于简单随机抽样, 下列说法中正确的命题为_____ (填序号) .

(1) 它要求被抽取样本的总体的个数有限, 以便对其中各个个体被抽取的概率进行分析; (2) 它是从总体中逐个地进行抽取, 以便在抽取实践中进行操作; (3) 它是一种不放回抽样; (4) 它是一种等概率抽样, 不仅每次从总体中抽取一个个体时, 各个个体被抽取的概率相等, 而且在整个抽样过程中, 各个个体被抽取的概率也相等, 从而保证了抽样的公平性.

解析: (1) (2) (3) (4) .

考点2系统抽样

在系统抽样的过程中, 要注意分段间隔, 需要抽取几个个体, 样本就需要分成几个组.

例2 某校高一、高二、高三的学生人数分别为495, 493, 482, 现采用系统抽样方法, 抽取49人做问卷调查, 将高一、高二、高三学生依次随机按1, 2, 3, …, 1470编号, 若第1组由简单随机抽样方法抽取的号码为23, 则高二应抽取的学生人数为 ( ) .

(A) 15 (B) 16

解析:由系统抽样方法知, 按编号依次每30个编号作为一组, 共分49组, 高二学生的编号为496到988, 在第17组到第33组内, 第17组抽取的编号为16×30+23=503, 为高二学生, 第33组抽取的编号为32×30+23=983, 为高二学生, 因此抽取高二学生的人数为33-16=17.故选C.

考点3 分层抽样

分层抽样一般有三个步骤:首先, 将总体进行分层.其次, 确定每个分层在总体上的比例.利用这个比例, 可计算出样本中每层应抽取的个数.最后, 用简单随机抽样从每层中抽取样本.

例3 某校有教师200 人, 男学生1200人, 女学生1000人, 用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本, 已知女学生抽取的人数为80, 则n的值为______.

解析:根据分层抽样的意义, , 解得n=192.

考点4 频率分布直方图的绘制与应用

解决频率分布直方图的有关问题时要抓住以下几点: (1) 直方图中各小长方形的面积之和为1. (2) 直方图中纵轴表示因此每组样本的频率为, 即矩形的面积. (3) 直方图中每组样本的频数为频率×总体数.

例4 样本容量为1000的频率分布直方图如图1所示.根据样本的频率分布直方图计算, x的值为_____, 样本数据落在[6, 14) 内的频数为_______.

解析:由0.02+0.08+x+2×0.03=1/4, 得x=0.09, 样本数据落在[6, 14) 内的频数为 (0.08+0.09) ×4×1000=680.

考点5 茎叶图的画法及其应用

平均数反映了数据取值的平均水平.标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小:标准差、方差越大, 数据的离散程度就越大, 越不稳定;标准差、方差越小, 数据的离散程度越小, 越稳定.

例5 甲、乙两位学生参加数学竞赛培训, 现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次, 记录如下:

(1) 用茎叶图表示这两组数据.

(2) 现要从中选派一人参加数学竞赛, 从统计学的角度考虑, 你认为选派哪位学生参加合适?请说明理由.

解析: (1) 作出茎叶图如图2.

(2) 派甲参赛比较合适, 理由如下:

因为, s2甲<s乙2, 所以甲的成绩较稳定, 派甲参赛比较合适.

考点6 用样本的数字特征估计总体的数字特征

同学们要理解“众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系”, 众数:取最高小长方形底边中点的横坐标作为众数;中位数:在频率分布直方图中, 把频率分布直方图分成左、右面积相等的两部分的分界线与x轴交点的横坐标称为中位数.平均数:平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.

例6 某校100名学生期中考试的语文成绩的频率分布直方图如图3所示, 其中成绩的分组区间是[50, 60) , [60, 70) , [70, 80) , [80, 90) , [90, 100].

(1) 求图中a的值;

(2) 根据频率分布直方图, 估计这100名学生语文成绩的平均分;

(3) 若这100名学生的语文成绩在某些分数段的人数 (x) 与数学成绩在相应分数段的人数 (y) 之比如下表所示, 求数学成绩在[50, 90) 之外的人数.

解析: (1) 由频率分布直方图可知, (2a+0.04+0.03+0.02) ×10=1, 解得a=0.005.

(2) 由频率分布直方图估计这100名学生语文成绩的平均分为55×0.005×10+65×0.04×10+75×0.03×10+85×0.02×10+95×0.005×10=73 (分) .

(3) 由频率分布直方图及表中数据, 得

故数学成绩在[50, 90) 外的人数是100-5-20-40-25=10.

考点7 相关关系的判断

判定两个变量正、负相关性的方法:

(1) 画散点图:点的分布从左下角到右上角, 两个变量正相关;点的分布从左上角到右下角, 两个变量负相关. (2) 相关系数:当r>0时, 两个变量正相关;当r<0时, 两个变量负相关. (3) 线性回归系数^b:当^b>0时, 两个变量正相关;当^b<0时, 两个变量负相关.

例7 四名同学根据各自的样本数据研究变量x, y之间的相关关系, 并求得相应的回归直线方程, 现得到以下四个结论:

其中一定的结论的序号是 () .

(A) (1) (2) (B) (2) (3)

解析:在 (1) 中, y与x不是负相关, (1) 一定不正确;同理 (4) 也一定不正确.故选D.

考点8 线性回归方程

求回归方程的关键在于正确求出参数由于的计算量大, 计算时应仔细谨慎, 避免因计算而产生错误.另外, 在根据回归方程进行预报时, 得出的仅是一个预报值, 而不是真实发生的值.

例8 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价, 将该产品按事先拟定的价格进行试销, 得到如下数据:

(2) 预计在今后的销售中, 销量与单价仍然服从 (1) 中的关系, 且该产品的成本是4元/件, 为使工厂获得最大利润, 该产品的单价应定为多少元? (利润=销售收入-成本)

(2) 设工厂获得的利润为L元, 依题意, 得L=x (-20x+250) -4 (-20x+250) =-20x2+330x-1000=-20 (x-8.25) 2+361.25.当且仅当x=8.25时, L取得最大值.

故当单价定为8.25元时, 工厂可获得最大利润.

考点9独立性检验

独立性检验的关键是根据2×2列联表准确计算出K2的观测值k.若2×2列联表没有列出来, 则要先列出此表.

例9某研究小组为了研究中学生的身体发育情况, 在某学校随机抽出20名15至16周岁的男生, 将他们的身高和体重制成如下所示的2×2的列联表, 根据列联表的数据, 可以有______%的把握认为该学校15至16周岁的男生的身高和体重之间有关系.

附:

解析:由表中数据得K2的观测值.

所以有97.5%的把握认为该学校15至16周岁的男生的身高和体重之间有关系.

配套练习:

1.总体由编号为01, 02, …, 19, 20的20个个体组成, 利用下面的随机数表选取5个个体, 选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列的数字开始由左到右依次选取两个数字, 则选出来的第5个个体的编号为 () .

(A) 08 (B) 07

2.将参加夏令营的600名学生编号为001, 002, …, 600, 现采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本, 且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区, 从001到300在第Ⅰ营区, 从301到495在第Ⅱ营区, 从496到600在第Ⅲ营区, 三个营区被抽中的人数依次为 () .

(A) 26, 16, 8 (B) 25, 17, 8

3.某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3500人, 其中高三学生是高一学生的两倍, 高二学生比高一学生多300人, 现在按1/ (100) 的抽样比例用分层抽样的方法抽取样本, 则高一学生应抽取的人数为 () .

(A) 8 (B) 11

4.根据如下样本数据

得到的回归方程为, 则 () .

(A) ^a>0, ^b>0 (B) ^a>0, ^b<0

5.春节期间, “厉行节约, 反对浪费”之风悄然吹开, 某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动, 得到如下的列联表:

附:

参照附表, 得到的正确结论是 () .

(A) 在犯错误的概率不超过1%的前提下, 认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”

(B) 在犯错误的概率不超过1%的前提下, 认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”

(D) 有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”

6.为了解本市的交通状况, 某校高一年级的同学分成了甲、乙、丙三组, 从13点到18点, 分别对三个路口的机动车通过情况进行了实际调查, 并绘制了频率分布直方图 (如图1) .若定义“总体平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和”, 则甲、乙、丙三组所调查数据的总体平均数的估计值的大小关系为_______.

7.从某校随机抽取100名学生, 获得了他们一周课外阅读时间 (单位:小时) 的数据, 整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图如下:

(1) 从该校随机选取一名学生, 试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率;

(2) 求频率分布直方图中的a, b的值;

(3) 假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替, 试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组 (只需写出结论) .

8.已知某单位有50名职工, 现要从中抽取10名职工, 将全体职工随机按1~50编号, 并按编号顺序平均分成10组, 按各组内抽取的编号依次增加5进行系统抽样.

(1) 若第5组抽出的号码为22, 写出所有被抽出职工的号码;

(2) 分别统计这10名职工的体重 (单位:公斤) , 获得体重数据的茎叶图如图3所示, 求该样本的方差;

(3) 在 (2) 的条件下, 从这10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤 (≥73公斤) 的职工, 求体重为76公斤的职工被抽取到的概率.

9.某地最近十年粮食需求量逐年上升, 下表是部分统计数据:

(1) 利用所给数据求年需求量 (y) 与年份 (x) 之间的线性回归方程;

(2) 利用 (1) 中所求出的线性回归方程预测该地2016年的粮食需求量.

练习答案:

1.D.2.B.3.A.4.B.5.C.

7. (1) 根据频数分布表, 100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有6+2+2=10名, 所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是.

所以从该校随机选取一名学生, 估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9.

(2) 课外阅读时间落在组[4, 6) 内的有17人, 频率为0.17, 所以.

课外阅读时间落在组[8, 10) 内的有25人, 频率为0.25, 所以.

(3) 样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组.

8. (1) 由题意, 第5组抽出的号码为22.因为k+5× (5-1) =22, 所以第1组抽出的号码应该为2.所以抽出的10名职工的号码分别为2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37, 42, 47.

(3) 从10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤的职工, 共有10种不同的取法: (73, 76) , (73, 78) , (73, 79) , (73, 81) , (76, 78) , (76, 79) , (76, 81) , (78, 79) , (78, 81) , (79, 81) .记“体重为76公斤的职工被抽取”为事件A, 它包括的事件有 (73, 76) , (76, 78) , (76, 79) , (76, 81) , 共4个.故所求概率为.

9. (1) 由所给数据看出, 年需求量与年份之间是近似直线上升的, 下面来求线性回归方程, 先将数据处理如下:

由表中数据容易算得

所以所求线性回归方程为.

(2) 利用所求得的线性回归方程, 可预测2016年的粮食需求量大约为6.5× (2016-2010) +260.2=6.5×6+260.2=299.2 (万吨) .

(安徽余其权)

十一、概率、离散型随机变量及其分布部分

考点1 随机事件的关系

互斥事件是不能同时发生的, 而对立事件除了不能同时发生外, 其并事件应为必然事件, 这些可类比集合进行理解, 具体应用时, 可把所有试验结果写出来, 看所求事件包含哪些试验结果, 从而断定所给事件的关系.

例1 给出下列命题: (1) 将一枚硬币抛两次, 设事件M:“两次出现正面”, 事件N:“只有一次出现反面”, 则事件M与N互为对立事件; (2) 若事件A与B互为对立事件, 则事件A与B为互斥事件; (3) 若事件A与B为互斥事件, 则事件A与B互为对立事件; (4) 若事件A与B互为对立事件, 则事件A∪B为必然事件.其中, 真命题是 ( ) .

(A) (1) (2) (4) (B) (2) (4)

解析:对于 (1) , 一枚硬币抛两次, 共出现{正, 正}, {正, 反}, {反, 正}, {反, 反}四种结果, 则事件M与N是互斥事件, 但不是对立事件, 因此 (1) 错.对于 (2) , 对立事件首先是互斥事件, 因此 (2) 正确.对于 (3) , 互斥事件不一定是对立事件, 如 (1) 中两个事件, 因此 (3) 错.对于 (4) , 若事件A, B互为对立事件, 则一次试验中A, B一定有一个要发生, 因此 (4) 正确.故选B.

考点2 随机事件的频率与概率

频率是个不确定的数, 在一定程度上频率可以反映事件发生的可能性的大小, 却无法从根本上刻画事件发生的可能性的大小, 但从大量重复试验中发现, 随着试验次数的增多, 事件发生的频率就会稳定于某一固定的值, 该值就是概率.

例2 某企业生产的乒乓球被奥运会指定为乒乓球比赛专用球, 目前有关部门对某批产品进行了抽样检测, 检查结果如下表所示:

(1) 计算表中乒乓球优等品的频率;

(2) 从这批乒乓球产品中任取一个, 质量检查为优等品的概率是多少 (结果保留到小数点后三位) ?

解析: (1) 依据公式f=m/n, 计算出表中乒乓球优等品的频率依次是0.900, 0.920, 0.970, 0.940, 0.954, 0.951.

(2) 由 (1) 知, 抽取的球数n不同, 计算得到的频率值不同, 但随着抽取球数的增多, 频率在常数0.950的附近摆动, 所以质量检查为优等品的概率约为0.950.

考点3 互斥事件、对立事件的概率

求解某些较复杂的概率问题, 通常有两种方法:一是将其分解为若干个彼此互斥的事件的和, 然后利用概率加法公式求其值;二是求此事件A的对立事件的概率, 然后利用可得解.

例3 某工厂的产品分为合格品和次品两类, 而合格品又分为一级品、二级品、三级品三档, 在正常生产的条件下, 出现“一级品”的概率为0.5, 出现“二级品或三级品”的概率为0.45, 求出现次品的概率.

解析:设A={出现一级品}, B={出现二级品或三级品}, C={出现合格品}, D={出现次品}.

故出现次品的概率为0.05.

考点4古典概型的求法

解答有关古典概型的概率问题, 关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数, 这常用到计数原理与排列、组合的相关知识.

例4 一个三位自然数百位, 十位, 个位上的数字依次为a, b, c, 当且仅当a>b, b<c时称其为“凹数” (如213, 312等) , 若a, b, c∈{1, 2, 3, 4}, 且a, b, c互不相同, 则这个三位数为“凹数”的概率是______.

解析:由1, 2, 3组成的三位自然数为123, 132, 213, 231, 312, 321, 共6个;同理, 由1, 2, 4组成的三位自然数共6个;由1, 3, 4组成的三位自然数也是6个;由2, 3, 4组成的三位自然数也是6个.所以共有6+6+6+6=24个三位自然数.

当b=1时, 有214, 213, 312, 314, 412, 413, 共6个“凹数”.当b=2时, 有324, 423, 共2个“凹数”.所以三位数为“凹数”的概率.

考点5 与长度有关的几何概型

解答关于长度的几何概型问题, 只要将所有基本事件及事件A包含的基本事件转化为相应长度, 即可利用几何概型的概率计算公式求解.此处的“长度”可以是线段的长短, 也可以是时间的长短等.

例5在区间[-π/2, π/2]上随机取一个数x, 则cos x的值介于0到1/2之间的概率为_______-.

解析:当-π/2≤x≤π/2时, 由0≤cos x≤1/2, 得.由几何概型概率公式, 得所求概率为1/3.

考点6 与面积有关的几何概型

当题目中的基本事件与二维数组有关时, 可以将问题转化为与面积有关的几何概型的概率问题.

例6 P为圆C1:x2+y2=9上任意一点, Q为圆C2:x2+y2=25 上任意一点, PQ的中点组成的区域为M , 在C2内部任取一点, 则该点落在区域M上的概率为________.

解析:设Q (x0, y0) , 中点M (x, y) , 则将P (2x-x0, 2y-y0) 代入x2+y2=9, 得 (2x-x0) 2+ (2y-y0) 2=9, 化简, 得.又x02+y20=25表示以原点为圆心、半径为5的圆, 易知M的轨迹是以为圆心、以3/2为半径的圆绕原点一周所形成的图形, 即以原点为圆心、宽度为3的圆环带, 应有x2+y2=r2 (1≤r≤4) .故在C2内部任取一点落在M内的概率为.

考点7 与体积有关的几何概型

对于与体积有关的几何概型问题, 求解的关键是计算问题的总体积 (总空间) 以及事件的体积 (事件空间) , 对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求.

例7 已知正四面体ABCD的体积为V, P是正四面体ABCD内部的点.

(1) 设 “VP-ABC≥ (1/4) V”的事件为X, 求概率P (X) ;

(2) 设的事件为Y, 求概率P (Y) .

解析: (1) 分别取DA, DB, DC上的点E, F, G, 并使DE=3EA, DF=3FB, DG=3GC, 连结EF, FG, GE, 则平面EFG∥平面ABC.

当P在正四面体DEFG内部运动时, 满足.

(2) 在AB上取点H, 使AH=3 HB, 在AC上取点I, 使AI=3IC, 在AD上取点J, 使AJ=3JD, 则P在正四面体AHIJ内部运动时, 满足.结合 (1) , 当P在正四面体DEFG的内部及正四面体AHIJ的内部运动, 即P在正四面体EMNJ内部运动时, 同时满足, 于是.

考点8 离散型随机变量的分布列的性质

在解题中, 常需利用分布列中各概率之和为1求有关参数的值, 此时要注意检验, 以保证每个概率值均为非负;另外, 若ξ为随机变量, 则2ξ+1, |ξ-1|等仍然为随机变量, 求它们的分布列时, 可先求出相应的随机变量的值, 再根据对应的概率写出分布列.

例8 设离散型随机变量X的分布列为

求: (1) 2 X+1的分布列;

(2) |X-1|的分布列.

解析:由分布列的性质知, 0.2+0.1+0.1+0.3+m=1, 所以m=0.3.

首先列表为

从而由上表及题意可得所求两个分布列如下:

(1) 2 X+1的分布列为

(2) |X-1|的分布列为

考点9 求离散型随机变量的分布列

求离散型随机变量X的分布列的步骤: (1) 理解X的意义, 写出X可能取的全部值; (2) 求X取每个值的概率; (3) 写出X的分布列.求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率, 在求解时, 要注意应用计数原理、古典概型等知识.

例9 某校校庆, 各届校友纷至沓来, 某班共来了n位校友 (n>8且n∈N*) , 其中女校友6位, 组委会对这n位校友登记制作了一份校友名单, 现随机从中选出2位校友代表, 若选出的2位校友是一男一女, 则称为“最佳组合”.

(1) 若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于1/2, 求n的最大值;

(2) 当n=12时, 设选出的2位校友代表中女校友人数为X, 求X的分布列.

解析: (1) 由题意可知, 所选2人为“最佳组合”的概率为, 化简, 得n2-25n+144≤0, 解得9≤n≤16.

故n的最大值为16.

(2) 由题意, 得X的可能取值为0, 1, 2, 则.

所以X的分布列为

考点10 超几何分布

超几何分布描述的是不放回抽样问题, 随机变量为抽到的某类个体的个数, 随机变量取值的概率实质上是古典概型.

例10 在15个村庄中有7个村庄交通不方便, 现从中任意选10个村庄, 用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数, 则下列概率中等于的是 ( ) .

(A) P (X=2) (B) P (X≤2)

解析:X服从超几何分布, , 则k=4.故选C.

考点11 条件概率

求条件概率, 一般有两种方法:一是对于古典概型类题目, 可采用缩减基本事件总数的办法来计算, 二是根据条件概率公式求解.

例11 将三个骰子各掷一次, 设事件A为“三个骰子掷出的点数都不同”, 事件B为“至少有一个骰子掷出3点”, 则条件概率P (A|B) 是 ( ) .

解法一:“至少有一个骰子掷出3点”的情况共有6×6×6-5×5×5=91种, “三个骰子掷出的点数都不相同且只有一个3点”的情况共有C31×5×4=60种, 所以P (A|B) = (91) / (60) .故选A.

解法二:.由条件概率公式可得.故选A.

考点12 相互独立事件的概率

求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有: (1) 利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解; (2) 正面计算较繁琐或难以入手时, 可从其对立事件入手计算.

例12 某企业有甲、乙两个研发小组, 他们研发新产品成功的概率分别为2/3和3/5.现安排甲组研发新产品A, 乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立.

(1) 求至少有一种新产品研发成功的概率.

(2) 若新产品A研发成功, 预计企业可获利润120万元;若新产品B研发成功, 预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列和数学期望.

解析:记E={甲组研发新产品成功}, F={乙组研发新产品成功}.由题设知P (E) =2/3, , 且事件E与F, E与与F, 都相互独立.

(1) 记H = {至少有一种新产品研发成功}, 则.

故所求的概率为.

(2) 设企业可获利润为X万元, 则X的可能取值为0, 100, 120, 220.

所以所求的分布列为

考点13 独立重复试验与二项分布

独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验.二项分布满足的条件: (1) 每次试验中, 事件发生的概率是相同的. (2) 各次试验中的事件是相互独立的. (3) 每次试验只有两种结果:事件要么发生, 要么不发生. (4) 随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数.

例13 已知一个口袋中装有n个红球 (n≥1且n∈N*) 和2个白球, 从中有放回地连续摸三次, 每次摸出两个球, 若两个球的颜色不同则为中奖, 否则不中奖.

(1) 当n=3时, 设三次摸球中 (每次摸球后放回) 中奖的次数为X, 求X的分布列;

(2) 记三次摸球中 (每次摸球后放回) 恰有两次中奖的概率为P′, 当n取多少时, P′最大?

解析: (1) 当n=3时, 每次摸出两个球, 中奖的概率.

由题意知, X的可能取值为0, 1, 2, 3.

所以X的分布列为

(2) 设每次摸球中奖的概率为p, 则三次摸球 (每次摸球后放回) 恰有两次中奖的概率为P (X=2) =C32·p2· (1-p) = -3p3+3p2, 0<p<1.

令f (p) =-3p3+3p2, 0<p<1, 则f′ (p) =-9p2+6p= -3p (3p-2) , 可知在 (0, 2/3) 上, f (p) 为增函数, 在 (2/3, 1) 上, f (p) 为减函数.所以当p=2/3时, P′取得最大值.

所以当n=1或n=2时, P′最大.

配套练习:

1.从某校高二年级的所有学生中, 随机抽取20人, 测得他们的身高 (单位:cm) 分别为:162, 153, 148, 154, 165, 168, 172, 171, 173, 150, 151, 152, 160, 165, 164, 179, 149, 158, 159, 175.

根据样本频率分布估计总体分布的原理, 在该校高二年级的所有学生中任抽一人, 估计该生的身高在155.5cm~170.5cm之间的概率约为 ( ) .

2.如图1, △ABC和△DEF是同一圆的内接正三角形, 且BC∥EF.将一颗豆子随机地扔到该圆内, 用M表示事件“豆子落在△ABC内”, N表示事件 “豆子落在△DEF内”, 则P (N|M) = ( ) .

3.10件产品中有7件正品, 3件次品, 从中任取4 件, 则恰好取到1 件次品的概率是_____.

4.已知一只蚂蚁在边长分别为5, 12, 13的三角形的边上随机爬行, 则其恰在离三个顶点的距离都大于1的地方的概率为_______.

5.在长为1的线段上任取两点, 则这两点之间的距离小于1/2的概率为____-.

6.如图2, 在长方体ABCD-A1B1C1D1中, 有一动点在此长方体内随机运动, 则此动点在三棱锥A-A1BD内的概率为______.

7.随机变量X的分布列如下:

其中a, b, c成等差数列, 则P (|X|=1) =_____, 公差d的取值范围是________.

8.根据以往统计资料, 某地车主购买甲种保险的概率为0.5, 购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.

(1) 求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率;

(2) 求该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.

9.某射手射击一次所得环数X的分布列如下:

现该射手进行两次射击, 以两次射击中最高环数作为他的成绩, 记为ξ.

(1) 求ξ>7的概率;

(2) 求ξ的分布列.

10.从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动.

(1) 求所选3人中恰有1名男生的概率;

(2) 求所选3人中男生人数X的分布列.

11.某次飞镖比赛中, 规定每人至多发射三镖.在M处每射中一镖得3分, 在N处每射中一镖得2分, 如果前两次得分之和超过3分即停止发射, 否则发射第三镖.某选手在M处的命中率q1=0.25, 在N处的命中率为q2.该选手选择先在M处发射一镖, 以后都在N处发射, 用X表示该选手比赛结束后所得的总分, 其分布列为

(1) 求随机变量X的分布列;

(2) 试比较该选手选择上述方式发射飞镖得分超过3分的概率与选择都在N处发射飞镖得分超过3分的概率的大小.

12.电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收看情况, 随机抽取了100名观众进行调查.图3是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图:

将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”, 将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中, 采用随机抽样方法每次抽取1 名观众, 抽取3次, 记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的, 求X的分布列、期望E (X) 和方差D (X) .

练习答案:

8.记A表示事件“该车主购买甲种保险”, B表示事件“该车主购买乙种保险但不购买甲种保险”, C表示事件“该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种”, D表示事件“该车主甲、乙两种保险都不购买”.

(1) 由题意, 得P (A) =0.5, P (B) =0.3.

又C=A∪B,

所以P (C) =P (A∪B) =P (A) +P (B) =0.5+0.3=0.8.

(2) 因为D与C是对立事件, 所以P (D) =1-P (C) =1-0.8=0.2.

9. (1) P (ξ>7) =1-P (ξ=7) =1-0.1×0.1=0.99.

(2) ξ的可能取值为7, 8, 9, 10.P (ξ=7) =0.12=0.01, P (ξ=8) =2×0.1×0.4+0.42=0.24, P (ξ=9) =2×0.1×0.3+2×0.4×0.3+0.32=0.39, P (ξ=10) =2×0.1×0.2+2×0.4×0.2+2×0.3×0.2+0.22=0.36.

所以ξ的分布列为

10. (1) 所选3人中恰有1名男生的概率.

(2) X的可能取值为0, 1, 2, 3.

所以X的分布列为

11. (1) 设“该选手在M处射中”为事件A, “该选手在N处射中”为事件B, 则事件A, B相互独立, 且.

根据分布列知, 当X=0时, ,

所以1-q2=0.2, q2=0.8.

所以随机变量X的分布列为

(2) 该选手选择上述方式发射飞镖得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72.该选手选择都在N处发射飞镖得分超过3分的概率为.

所以该选手选择都在N处发射飞镖得分超过3分的概率大.

12.由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25, 将频率视为概率, 即从观众中抽取1名“体育迷”的概率为1/4.

由题意, 得X~B (3, 1/4) , 从而X的分布列为

(安徽余其权)

十二、算法、程序框图以及推理与证明部分

考点1 顺序结构和条件结构

顺序结构是最简单的算法结构, 语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的.利用条件结构解决算法问题时, 重点是分析判断框, 判断框内的条件不同, 对应的下一图框中的内容和操作要相应地进行变化.

例1 如图1 所示, 程序框图的输出结果是 ( ) .

(A) 3 (B) 4

解析:由图1知, x≤4, 所以y=4.故选B.

考点2循环结构

利用循环结构表示算法时, 要注意以下三方面:第一要先确定是利用当型循环结构, 还是利用直到型循环结构;第二要选择准确的累计变量;第三要注意在哪一步开始循环, 满足什么条件不再执行循环体.

例2 图2 给出的是计算的值的一个程序框图, 则图中判断框内的 (1) 处和执行框中的 (2) 处应填的语句是 ( ) .

(A) i>100, n=n+1

(B) i>100, n=n+2

(D) i≤50, n=n+2

解析:因为共50个数, 所以程序框图应运行50次, 所以变量i应满足i>50.因为是求偶数的和, 所以应使变量n满足n=n+2.故选C.

考点3 归纳推理

常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类.在利用归纳推理解决问题时, 应从特殊情况入手, 通过观察、分析、概括, 进而猜想出一般性结论.

例3已知, 经计算得, 则当n≥2, n∈N*时, 有一般性的结论_____.

考点4类比推理

常见的类比推理有类比定义型、类比性质型和类比方法型.类比推理的一般步骤是:先找出两类对象之间可以确切表达的相似性 (一致性) ;再用一类对象的性质去推测另一类对象的性质, 从而得出一个猜想;最后验证猜想, 但类比推理的结论不一定正确.

例4已知双曲正弦函数和双曲余弦函数.我们学过的正弦函数和余弦函数有许多类似的性质, 请类比正弦函数和余弦函数的和角或差角公式, 写出双曲正弦函数或双曲余弦函数的一个类似的正确结论_____.

考点5 演绎推理

演绎推理一般是以三段论的形式进行的, 在证明问题时, 首先应该明确什么是问题中的大前提和小前提, 但是在证明的过程中, 往往大前提不写出来.

例5 数列{an}的前n项和记为Sn, 已知a1=1, .证明:

(1) 数列{}是等比数列;

(2) Sn+1=4an.

证明: (1) 因为an+1=Sn+1-Sn, ,

故{}是以1 为首项, 2 为公比的等比数列.

又因为a2=3S1=3, S2=a1+a2=1+3=4=4a1,

所以对于任意正整数n, 都有Sn+1=4an.

考点6直接证明

直接证明有两种基本的方法———分析法和综合法.我们常用分析法寻找解决问题的突破口, 然后用综合法来写出证明过程, 有时候, 分析法和综合法交替使用.

例6已知a, b, m为非零实数, 且a2+b2+2-m=0, .

(2) 求证:m≥7/2.

证明: (1) (分析法) 要证成立, 只需证, 即证, 即证.根据基本不等式, 有成立, 所以原不等式成立.

(2) (综合法) 已知a2+b2+2-m=0, , 由 (1) 知, (m-2) (2m-1) ≥9, 即2m2-5m-7≥0, 解得m≤-1或m≥7/2.

又a2+b2=m-2>0, 则m>2.所以m≤-1舍去.故m≥7/2.

考点7 间接证明

很多数学问题若用直接法证明难以下手, 常常采用间接法证明.反证法就是间接法中的一种基本方法.反证法的基本步骤是: (1) 写出与求证结论相反的假设; (2) 将反设作为条件, 并由此通过一系列的正确推理导出矛盾; (3) 说明假设不成立, 从而肯定原命题成立.

例7 已知△ABC的三边为a, b, c, 且C=90°, 求证:.

证明:假设.因为△ABC是直角三角形, 且C=90°, 所以c2=a2+b2, 即.又由假设可知, , 则有 (a+b) 2>2 (a2+b2) , 得a2+2ab+b2>2 (a2+b2) , 化简, 得a2-2ab+b2<0, 即 (a-b) 2<0, 显然不成立.故假设错误, 原命题得证.

考点8 数学归纳法

数学归纳法主要用于研究与正整数有关的数学问题, 但并不是所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法来证明.在使用数学归纳法证明问题时, 在归纳假设后, 归纳假设就是证明n=k+1时的已知条件, 把归纳假设当已知条件证明后续结论时, 可以使用综合法、分析法、反证法等.

例8 设数列{an}的前n和为Sn, Sn=2nan+1-3n2-4n, n∈N*, 且S3=15.

(1) 求a1, a2, a3的值;

(2) 求数列{an}的通项公式.

解: (1) 易得a1=3, a2=5, a3=7.

(2) 由 (1) 猜想an=2n+1, 以下用数学归纳法来证明:

(1) 由 (1) 知, 当n=1时, a1=3=2×1+1, 结论成立.

(2) 假设当n=k时, 结论成立, 即ak=2k+1.

当n=k+1 时, 将ak+1和Sk代入Sk=2kak+1-3k2-4k, 得k (k+2) =2kak+1-3k2-4k, 化简, 得2ak+1=4k+6, 则ak+1=2 (k+1) +1.由此可知, 当n=k+1时, 结论成立.

从而由 (1) (2) 可知, 对一切n∈N*, an=2n+1.

配套练习:

1.图1 所示的程序框图描述的算法称为欧几里得辗转相除法, 若输入m=2010, n=1541, 则输出的m的值为 ( ) .

(A) 2010

(B) 1541

(D) 67

2.用火柴棒摆“金鱼”, 如图2所示:

按照上面的规律, 第n条“金鱼”需要火柴棒的根数为______.

3.定义“等和数列”:在一个数列中, 如果每一项与它的后一项的和都为同一常数, 那么这个数列叫做等和数列, 这个常数叫做该数列的公和.已知数列{an}是等和数列, 且a1=2, 公和为5, 则

(1) a18=______;

(2) 该数列的前n项和Sn=_________.

4.数列A:a1, a2, a3, …, an (n≥3, n∈N*) 中, 令TA={x|x=ai·aj, 1≤i<j≤n, i, j∈N*}, card (TA) 表示集合TA中的元素的个数.若 (c为常数, 且|c|>1, 1≤i≤n-1) , 则card (TA) =_________.

5.△ABC的三个内角A, B, C成等差数列, A, B, C的对边分别为a, b, c.

6.求证:方程2x+x=6 有且只有一个实根2.

7.已知点Pn (an, bn) 满足an+1=an·bn+1, (n∈N*) , 且点P1的坐标为 (1, -1) .

(1) 求过点P1, P2的直线l的方程;

(2) 试用数学归纳法证明:对于任意n∈N*, 点Pn都在 (1) 中的直线l上.

练习答案:

1.D. 2.6n+2.

4.2n-3. 5.证明略.

6.先证存在性:显然x=2是方程2x+x=6的根.

再证唯一性:假设方程2x+x=6有一个非2的实根y, 则有2y+y=6, 将其与2x+x=6相减, 得2y-2x=x-y.因为x≠y, 所以x>y或x<y.当x>y时, 2y-2x<0, 而x-y>0, 相矛盾.当x<y时, 2y-2x>0, 而x-y<0, 也矛盾.

因此假设方程有一个非2 的实根是错误的.所以不存在非2的实根y, 即方程仅有唯一实根2.

(2) (1) 当n=1时, 2a1+b1=2×1+ (-1) =1成立.

(2) 假设当n=k (k≥1且k∈N*) 时, 2ak+bk=1成立, 则, 所以当n=k+1时, 2ak+1+bk+1=1也成立.

由 (1) (2) 知, 对于任意n∈N*, 都有2an+bn=1, 即点Pn在直线l上.

(安徽余其权)

十三、复数部分

从近年高考试题的命题情况来看, 复数是每年高考的必考点, 主要考查对复数概念的理解及复数的四则运算, 且试题多位于前三题, 属于简单题.本部分有如下常见考点:

考点1 对复数有关概念的考查

高考中对复数概念的考查, 一般涉及复数的实部、虚部、模、虚数、纯虚数、实数、共轭复数等, 在解题时, 一定要先看复数是否为a+bi (a, b∈R) 的形式, 以确定其实部和虚部, 然后再进行后续的计算.

例1已知a∈R, 复数z1=2+ai, z2=1-2i, 若为纯虚数, 则复数的虚部为 () .

(A) 1 (B) i

解析:已知是纯虚数, 由此可得a=1, 此时, 其虚部为1.故选A.

考点2 对复数几何意义的考查

由复数的定义可知, 复数与复平面内的点一一对应, 复数与以原点为起点的向量一一对应.此外, 复数的几何意义常与复数的模相结合, 它们结合起来可以构建点的轨迹问题.

例2 已知复数x2-6x+5+ (x-2) i在复平面内对应的点在第三象限, 则实数x的取值范围是_____.

解析:因为x为实数, 所以x2-6x+5和x-2都是实数.由题意, 得即1<x<2.故实数x的取值范围是 (1, 2) .

考点3 对复数计算的考查

复数的计算是高考考查的重点内容, 主要考查对复数定义的理解及运算能力, 在解答过程中除要正确运用复数的运算法则之外, 还要多观察所给式子的特点, 灵活变形, 恰当利用一些常见结论, 以提高解题的准确率和速度.

例3 已知, 则复数z= ( ) .

(A) 1+i (B) 1-i

解析:由题意, 得.故选D.

考点4 对复数的模的考查

高考中的求模问题多与轨迹、最值问题相联系, 除了考虑模的代数表示式外, 要多结合模的几何意义来分析问题.

例4若复数z满足, 则|z|=________.

考点5 对复数与其共轭复数关系的考查

复数z=a+bi与其共轭复数有许多性质, 如等, 恰当利用这些性质能够为解题带来很大的便利.

例5 已知复数是z的共轭复数, 则=_______.

配套练习:

1.若复数z= (x2-1) + (x-1) i为纯虚数, 则实数x的值为 ( ) .

(A) -1 (B) 0

2.已知0<a<2, 复数z的实部为a, 虚部为1, 则|z|的取值范围是 ( ) .

(A) (1, 5) (B) (1, 3)

3.复数的共轭复数是 () .

4.已知f (x) =x2, i是虚数单位, 则在复平面中复数对应的点在 ( ) .

(A) 第一象限 (B) 第二象限

5.设复数z满足i (z+1) = -3+2i, 则z的实部是______.

6.复数 (3+i) m- (2+i) 对应的点在第三象限内, 则实数m的取值范围是_________.

7.已知复数z1满足 (z1-2) (1+i) =1-i, 复数z2的虚部为2, 且z1·z2是实数, 求z2.

8.已知复数, 若是实数, 求实数a的值.

练习答案:

1.A.2.C.3.C.4.A.

5.1.6.m<2/3.

7.由 (z1-2) (1+i) =1-i, 得z1=2-i.设z2=a+2i, a∈R, 则z1·z2= (2-i) (a+2i) = (2a+2) + (4-a) i.因为z1·z2∈R, 所以a=4.所以z2=4+2i.

故a=3.

(河南胡银伟)

十四、选修4部分

选修4模块是每年课标高考的必考内容, 高考中对选修4-1 (几何证明选讲) , 选修4-4 (坐标系与参数方程) , 选修4-5 (不等式选讲) 分别命题为第22 题, 第23 题, 第24 题, 三选一, 均为10分, 属于送分题.本部分有如下常见考点:

考点1 对三角形与圆的综合应用的考查

解决几何证明问题需要用到各种判定定理、性质定理、推理和现有的结论, 要熟悉各种图形的特征, 要会利用平行、垂直、相似、全等的关系, 并会适当添加辅助线和辅助图形, 这些都有利于问题的解决.另外, 解题时需注意: (1) 证明等积式时, 通常转化为证明比例式, 再证明四条线段所在的三角形相似, 此外也可利用平行线分线段成比例定理来证明; (2) 圆内接四边形的性质要熟练掌握, 利用这些性质可得到角相等, 进而为三角形的相似创造条件.

例1 如图1, D, E分别为 △ABC边AB, AC的中点, 直线DE交△ABC的外接圆于F, G两点.若CF∥AB, 证明:

(1) CD=BC;

(2) △BCD∽△GBD.

证明: (1) 因为D, E分别为AB, AC的中点, 所以DE∥BC.

又已知CF∥AB, 所以四边形BCFD是平行四边形.所以CF=BD=AD.

而CF∥AD, 如图1, 连结AF, 所以四边形ADCF是平行四边形.所以CD=AF.

因为CF∥AB, 所以BC=AF

故CD=BC.

(2) 因为FG∥BC, 所以GB=CF.

由 (1) 可知BD=CF, 所以GB=BD.所以∠BGD=∠BDG.

由BC=CD知, ∠CBD=∠CDB.

又因为∠DGB=∠EFC=∠DBC,

所以△BCD∽△GBD.

考点2 对极坐标与参数方程的综合应用的考查

对于参数方程和极坐标方程的综合题, 其求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后再求解.另外, 解题时需注意: (1) 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化思路:对于简单的我们可以直接代入公式ρcosθ=x, ρsinθ=y, ρ2=x2+y2来转化, 但有时需要作适当的变化, 如将式子的两边同时平方, 两边同时乘以ρ等; (2) 将参数方程化为普通方程常用的消参技巧:代入消元、加减消元、平方后加减消元等.

例2 已知曲线C1的参数方程为

以坐标原点为极点, x轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ.

(1) 把C1的参数方程化为极坐标方程;

(2) 求C1与C2交点的极坐标 (ρ≥0, 0≤θ<2π) .

所以 (x-4) 2+ (y-5) 2=25 (cos2t+sin2t) =25, 即C1的直角坐标方程为 (x-4) 2+ (y-5) 2=25.

把x=ρcosθ, y=ρsinθ代入 (x-4) 2+ (y-5) 2=25,

化简, 得ρ2-8ρcosθ-10ρsinθ+16=0.

(2) C2的直角坐标方程为x2+y2=2y.

所以C1与C2交点的直角坐标为 (1, 1) , (0, 2) .

所以C1与C2交点的极坐标为.

考点3 对解含参的绝对值的不等式的考查

解绝对值不等式的基本方法: (1) 利用绝对值的定义, 通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式; (2) 当不等式两端均为正号时, 可通过两边平方的方法, 转化为解不含绝对值符号的普通不等式; (3) 利用绝对值的几何意义, 通过数形结合来求解.

例3 已知函数f (x) =|2x-1|+|2x+a|, g (x) =x+3.

(1) 当a=-2时, 求不等式f (x) <g (x) 的解集;

(2) 设a> -1, 且当时, f (x) ≤g (x) , 求a的取值范围.

解: (1) 当a=-2时, 不等式f (x) <g (x) 化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<0.

其图象如图2所示, 由图象可知, 当且仅当x∈ (0, 2) 时, y<0,

所以原不等式的解集是{x|0<x<2}.

所以a的取值范围为 (-1, 4/3].

考点4对不等式证明的考查

证明不等式的方法灵活多样, 我们要根据试题条件的具体情况选择证明方法.如作差比较法适用的主要类型是多项式、分式、对数式、三角式, 作商比较法适用的主要类型是高次幂乘积结构;用综合法证明不等式是“由因导果”, 用分析法证明不等式是“执果索因”, 它们是思路截然相反的两种证明方法, 在实际应用时, 往往用分析法找思路, 用综合法写步骤.

例4设a, b, c均为正数, 且a+b+c=1.

证明: (1) ab+bc+ac≤1/3;

证明: (1) 由a2+b2≥2ab, b2+c2≥2bc, c2+a2≥2ac, 得a2+b2+c2≥ab+bc+ac.

由题设, 得 (a+b+c) 2=1, 即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1.

所以3 (ab+bc+ac) ≤1, 即ab+bc+ac≤1/3.

配套练习:

1.如图1, 已知△ABC中, AB =AC, D是△ABC外接圆劣弧上的点 (不与点A, C重合) , 延长BD至E.

(1) 求证:AD的延长线DF平分∠CDE;

(2) 若∠BAC=30°, △ABC中BC边上的高为, 求△ABC外接圆的面积.

2.如图2, ⊙O和⊙O′相交于A, B两点, 过A作两圆的切线分别交两圆于C, D两点, 连结DB并延长交⊙O于点E.证明:

(1) AC·BD=AD·AB;

(2) AC=AE.

3.已知曲线C的参数方程为

曲线D的极坐标方程为.

(1) 将曲线C的参数方程化为普通方程.

(2) 曲线C与曲线D有无公共点?试说明理由.

4.在平面直角坐标系中, 以坐标原点为极点, x轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 已知点A的极坐标为, 直线l的极坐标方程为, 且点A在直线l上.

(1) 求a的值及直线l的直角坐标方程;

(2) 圆C的参数方程为

试判断直线l与圆C的位置关系.

5.已知函数f (x) =|x-a|.

(1) 若不等式f (x) ≤3的解集为{x|-1≤x≤5}, 求实数a的值;

(2) 在 (1) 的条件下, 若f (x) +f (x+5) ≥m对一切实数x恒成立, 求实数m的取值范围.

6.设a, b, c>0, 且ab+bc+ca=1.

练习答案:

1. (1) 如图, 因为A, B, C, D四点共圆, 所以∠CDF=∠ABC.

又AB = AC, 所以∠ABC=∠ACB, 且∠ADB=∠ACB.

所以∠ADB=∠CDF.

又由对顶角相等, 得∠EDF= ∠ADB.所以∠EDF= ∠CDF, 即AD的延长线DF平分∠CDE.

(2) 设O为外接圆圆心, 连结AO并延长交BC于H , 如图, 则AH⊥BC, 连结OC.

由题意, 得∠OAC=∠OCA=15°, ∠ACB=75°, 所以∠OCH=60°.

设圆的半径为r, 则, 解得r=2.所以外接圆的面积为4π.

2. (1) 由AC与⊙O′相切于A, 得∠CAB=∠ADB, 同理∠ACB=∠DAB.所以△ACB∽△DAB.从而, 即AC·BD=AD·AB.

(2) 由AD与⊙O相切于A, 得∠AED=∠BAD.又∠ADE = ∠BDA, 得 △EAD ∽△ABD, 从而, 即AE·BD=AD·AB.结合 (1) 的结论知, AC=AE.

(2) 由, 得曲线D的普通方程为x+y+2=0.

故曲线C与曲线D无公共点.

4. (1) 由点在直线ρcos (θ-π/4) =a上, 可得.

所以直线l的方程可化为ρcosθ+ρsinθ=2, 从而直线l的直角坐标方程为x+y-2=0.

(2) 由已知, 得圆C的直角坐标方程为 (x-1) 2+y2=1.

所以圆C的圆心为 (1, 0) , 半径r=1.

因为圆心C到直线l的距离, 所以直线l与圆C相交.

5. (1) 由f (x) ≤3, 得|x-a|≤3, 解得a-3≤x≤a+3.

又已知不等式f (x) ≤3的解集为{x|-1≤x≤5}, 所以解得a=2.

(2) 法一:当a=2时, f (x) =|x-2|.

设g (x) =f (x) +f (x+5) ,

所以当x<-3时, g (x) >5;当-3≤x≤2时, g (x) =5;当x>2时, g (x) >5.

综上可得, g (x) 的最小值为5.

从而, 若f (x) +f (x+5) ≥m, 即g (x) ≥m对一切实数x恒成立, 则实数m的取值范围为 (-∞, 5].

法二:当a=2时, f (x) =|x-2|.

由|x-2|+|x+3|≥| (x-2) - (x+3) |=5 (当且仅当-3≤x≤2时等号成立) , 得g (x) 的最小值为5.

从而, 若f (x) +f (x+5) ≥m, 即g (x) ≥m对一切实数x恒成立, 则实数m的取值范围为 (-∞, 5].

6. (1) 由于a, b, c>0, 要证, 因此只需证明 (a+b+c) 2≥3, 即证a2+b2+c2+2 (ab+bc+ca) ≥3.而ab+bc+ca=1, 故需证明a2+b2+c2+2 (ab+bc+ca) ≥3 (ab+bc+ca) , 即证a2+b2+c2≥ab+bc+ca.

又 (当且仅当时, 等号成立) , 所以原不等式成立.

在 (1) 中已证, 因此要证原不等式成立, 只需证明, 即证, 即证.

所以原不等式成立.

3.初中数学考点分析篇三

1.酸碱指示剂在遇到酸性或是碱性溶液时会变色，怎样选择指示剂已经成为中考的热点。此外该类题目还和学生的日常生活相结合，通过自制的指示剂对溶液的酸碱性进行检测，主要考查学生应用所学知识解决实际问题的能力。中考中主要的题型有：选择题、填空题和简答题。

2.考查溶液pH和酸碱性之间的关系。溶液的pH的测定以及日常生活中对pH的应用，通常是中考的热点，常常和人们的生产、生活以及环保活动产生联系。主要题型有：选择、填空和实验探究题。

3.盐酸、硫酸、氢氧化钠和氢氧化钙等酸碱物质的性质和主要作用，在中考命题中出现的几率十分高，考察物质的基本性质、物质之间的相互转化以及在实际生活中的用途。常以推断、探究等命题出现，在选择和填空等基础知识的命题中也会存在。

4.关于中和反应的概念和实质一直是中考中比较重要的命题，主要对如何判断中和反应以及中和反应的过程变化进行分析，尤其是中和反应在生活和生产中的应用，对学生利用知识分析和探究问题的能力进行考查，将会成为未来的命题方向。常见于选择、填空和实验探究等类型题中。

5.常见盐的性质以及用途，尤其是氯化钠和碳酸钙与酸碱的性质实现统一检查，此类知识是中考命题中比较重要的部分，题型的设置一般较为广泛，不但有对物质的推理和判断，还有制备、实验设计等题型，此外还十分注重实验探究和开放性评价题设置。

6.复分解反应的条件和应用，其中最常见的是物质和离子在溶液中的共存，主要考查了学生对复分解反应概念的理解和掌握，判断反应能否发生，常出现在选择和填空题中。

7.单质、氧化物、酸、碱、盐等之间的关系是中考中的重点类型，主要的出现形式为选择、填空以及推断。

二、例题分析

例1（2014年永州）很多植物的花瓣浸出液在遇到酸或碱性溶液时会呈现出不同的颜色，在化学实验中，可以被视为酸碱指示剂，现在将提取出的花瓣浸出液滴入三种溶液中，实验现象见表1。

通过以上表格中的反应现象，对以下问题进行回答：

（1）上述花瓣的浸出液中，无法成为酸碱指示剂的是。

（2）如果将牵牛花浸出液滴入食用醋中，溶液则会变为色，如果将玫瑰花浸出液中加入某无色溶液中，随后溶液变为绿色，则该溶液的pH 7（可填“>”、“<”或是“=”）。

解析本题目主要对酸碱指示剂的性质和作用进行了考查，实际上也对学生的探究能力和实验创新能力进行了考查。在酸或碱性溶液中可以显示出不同颜色的物质可以被当成是酸碱指示剂，结合表格中的信息可知：万寿菊的浸出液在酸或碱性溶液以及中性溶液中的颜色无任何变化，可以被判定他无法作为酸碱指示剂；牵牛花的浸出液在酸性溶液中出现红色变化，因此在食醋中也会出现相同的颜色变化——红色；玫瑰花的浸出液在碱性溶液中表现为绿色，碱性溶液的pH是大于7的。

答案：（1）万寿菊。（2）红， >。

例2（2014年南京）图1中的U形管中装着滴有酚酞的蒸馏水，向左右两边的管中同时逐渐滴入一定量的氢氧化钠稀溶液和稀盐酸。

图1（1）开始阶段管的溶液出现红色。

（2）充分反应后U形管中的溶液变为无色，除了酚酞外，此时的溶液中一定含有的溶质成分为，可能存在的溶质的化学式为，将上述反应的化学方程式写出。

解析氢氧化钠是碱性物质；可以将酚酞变为红色，稀盐酸是酸性物质，遇酚酞后颜色不会发生变化，因此在最开始滴入了氢氧化钠溶液的左边出现红色，当氢氧化钠和盐酸完全反应后U形管中变为无色，此时溶液中除了水、酚酞以外，还有氯化钠，溶液呈现无色，说明氢氧化钠已经完全反应了，但是稀盐酸可能会有一定的剩余。

答案：（1）左。

（2）氯化钠，HCl，

NaOH+HClNaCl+H2O

4.2013数学分析考点篇四

一、不作考试要求的知识点：

近似计算、应用问题、带*号的内容、第十、十五章。

二、考试题型：

选择题、填空题、判断题、计算题、证明题。

三、考试知识点：

第九章定积分

1、理解定积分概念、性质和可积条件。

2、理解积分上限函数的概念、有关定理及其应用；会求积分上限函数的导数、极限。

3、会用微积分基本公式和换元积分法与分步积分法求定积分。

第十一章反常积分

1、理解无穷限的反常积分和无界函数的反常积分的概念。

2、理解反常积分绝对收敛和条件收敛的概念。

3、掌握两类p—积分的收敛性。会计算反常积分的值。

4、掌握反常积分的比较原则（柯西判别法）。

5、掌握反常积分的狄利克雷（Dirichlet）判别法和阿贝尔（Abel）判别法。第十二章数项级数

1、理解数项级数收敛的概念及性质；会用定义及等比级数求数项级数的和。

2、理解数项级数绝对收敛和条件收敛的概念。

3、掌握正项级数收敛判别法（比较原则、比式判别法或根式判别法）、交错级数收敛的莱布尼茨判别法；会用级数收敛的必要条件判别级数发散。

4、熟记等比级数、p—级数、调和级数的敛散性。

第十三章函数列与函数项级数

1、理解函数列与函数项级数一致收敛的概念。

2、理解一致收敛函数项级数的性质：连续性，逐项求积，逐项求导。第十四章幂级数

1、理解幂级数的概念及性质。

2、熟悉阿贝耳定理，会求幂级数的收敛半径、收敛域。

3、熟记常用函数的幂级数展开式。

4、会利用逐项求积，逐项求导求幂级数的和函数。

第十六章多元函数的极限与连续

1、会计算二重极限，累次极限。

2、理解二元函数连续的概念，重极限与连续的关系。

第十七章多元函数微分学

1、理解偏导数、全微分的定义，可偏导、可微、连续的关系，可微的必要条件和充分条件，会用定义证明函数的可微性、连续性、可偏导。

2、掌握复合函数求导法则及应用；会求函数的全微分。

3、掌握高阶导数求导法；会求复合函数的高阶偏导数。

5.初中数学考点分析篇五

一、试卷的总体情况

无论是上海市的数学中考，还是外地的中考数学，都是严格按照中考数学考试纲要制定的。大体上都是从知识与技能、数学与思考、解决问题、情感态度与价值观等四个方面对学生加以考查。试卷的知识点覆盖面广，基础知识多，很能体现出适合不同层面的学生来完成，这一点，上海市与外地没有太大的其别。

二、试卷的内容与结构

1、代数和几何的比例

试卷的题型分为：选择题、填空题和解答题（包括：计算题、证明题、应用题以及探索、开放性试题等）。外地试卷的内容分布：数与代数约占48.7％；空间与几何占42％；统计与概率约占9.3％。上海市《考纲》要求：数与代数的内容约占50％，空间与图形的约占35％，通过对近几年上海市各个区的中考试卷分析，我们可以看出，中考试卷150分内代数约占90分，几何约占60分，比例在6∶4。

2、各章节分值情况

1、上海市中考方程（28分左右）和函数（32分左右）占较大的比重，函数部分（包括一次函数、二次函数、反比例函数）所涵盖的知识点基本考查到位，但是难度降低，这与外地的考点有比较大的区别，外地二次函数是中考重点考察的内容，且难度很大，属于综合类的大题。

2、统计的分值约占10%，这与外地没有太大的区别。

3、锐角三角比板块分值与统计类似，约占10% ；

4、二次根式、因式分解、不等式分值统计；

-1/6-

因式分解3分左右，不等式分值大于二次根式，同学们在复习的过程中要关注不等式知识点复习的有效性。

三、考点分析

1、方程：

（1）解方程（组）：主要是解分式方程、无理方程及二元二次方程组；无理方程与二元二次方程组在外地没有出现过，这些内容是上海市自己独立命题的。

（2）换元（化为整式方程），外地中考没有这一考点。

（3）一元二次方程根与系数关系的应用，主要是求方程中的系数；

（4）列方程解应用题；

“方程与不等式”的考法一般可分为如下的三大类： ①技能层面上的题目——多以考方程与不等式的解法为主；

②能力层面上的题目（“列方程或不等式”解应用题）——多以情境化的形式出现；

③“方程思想”层面上的应用——一是以“横向”联系、“知识综合”、“解决实际问题或变化过程的即时性（阶段性）问题”为主。二是关注试题和现实生活紧密联系的一些热点问题。

2、函数（1）求函数值；

（2）二次函数与一元二次方程结合求系数的值；（3）函数与几何结合求值或证明；（4）求函数解析式及定义域。

3、几何证明及计算

（1）特殊三角形的边、角计算；

-2/6-

（2）特殊三角形、特殊四边形的性质应用；（3）三角形中位线；

（4）全等三角形、相似三角形的判定和性质应用；（5）正多边形的对称性问题；

（6）圆的垂径定理，圆的切线判定及性质；（7）图形运动问题（平移、旋转、翻折）；（8）几何图形与锐角三角比结合证明或计算；（9）几何图形与函数结合证明或计算；

相似三角形的性质的考察加大力度，主要考察学生的思维及能力解决。

4、统计

（1）求平均数；（2）求中位数；（3）求数据总数；（4）求频率；（5）与方程结合；

（6）根据图像回答有关问题，如补齐图形；（7）用统计学知识判断某些统计方法的合理性。

重视数学与生活的联系，尤其是热点问题及背景模型的能力解决。

四、出现得比较多的考点

1、圆与正多边形知识的考查；

2、统计方面的知识点；

至少有一道大题是关于统计方面，而且都与图表相联系。

3、一元二次方程根与系数关系、根的判别式；

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由于一元二次方程和二次函数有较大的关系，因此，这方面的内容有较多的考查点及考查形式，但是新教材中由于一元二次方程根与系数关系出现在拓展2中，已经不在属于或不会进入考试范围。外地的考点中，一元二次方程根与系数关系是考察的中点，学生必须要对这块知识掌握。

4、几何图形运动，有2题左右出现;上海市近年来重点考查几何图形运动，包括直线形的计算与证明、单动点与双动点问题，图形的翻折问题等，考查的题目灵活多变，考查学生的灵活应变能力。

5、几何和代数结合；

单纯的考查几何证明题可能性不大，很多都是与代数的内容相结合，特别是和函数的内容结合起来，综合考查数形结合、分类讨论及方程思想。

五、值得关注的几个问题

1、基础题量大，特别注意速度，但保证准确率；

2、试题趋向简约流畅，不是拘泥于数学知识、技巧，而是突出对数学思想方法的考查，多收集类似题型；

3、创设具有实际背景的应用性问题，考查学生运用知识的能力。

应用类试题为各种类型的应用问题，创设比较熟悉的生活背景，结合社会热点设计，如2000年的第27题“拖拉机的噪声影响问题”，2007年第21题“学生上网时间调查”、药品降价问题，2008年的“旅游问题”，“建筑图纸缩略图”等。突出考查学生用数学知识、思想方法解决实际问题的能力。这类问题把重心放在了分析问题、解决问题上，对技能的要求不是很高。2011年的应用问题与增长率问题和统计结合，是一道强调问题解决的好题，难度不大。但注意基本知识的灵活运用。

4、对学生的探究能力开始有一定的要求。

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去年在最后两大题的最后一问中都有体现，许多考生考到140分以上的学生就是最后这两小问的探索中没有考虑到分类讨论需要全面，关键找到分类的标准和对临界问题的思考。

总的说来，这类试题不拘一格，无现成的模式可套，突出探索、发现和创造。设问方式灵活多样，探求的结论广泛、灵活，甚至隐去结论，留出空间让学生想象、发挥和创造。

5、几何证明题注重对探索、分析、猜想、归纳能力的考查。几何题在内容上和函数、三角比等相结合，综合考查学生的应用知识的能力。2010年的第23题，是一道纯粹的几何论证，考查的知识点有等腰三角形、菱形和正方形的判定。论证方法灵活，过程简单，大部分同学都有办法解决，这是今后几何证明考查的方向。尤其是本题是课本习题的条件变式，从课本习题演化而来，学生不会感觉陌生。今年的最后一道几何题还是与函数相结合的综合问题，与往年比较，难度在提高，但是在模拟考中已经有很多体现。

6、考点的隐蔽性：有些问题进行了“改头换面”需要对问题分析后才能找到解决问题的方法。如2009年第22题，似乎是考统计，实际是方程增长率问题。2011年的第24题的第2小题也是如此，对于点的位置有两种情况，也有一定的隐秘性。

六、考试策略

1、确保基础题细心做，不丢分：提高题努力做，少失分；难题（最后一题）尽量做，多得分。

2、作试卷的答题原则与技巧：在数学答题过程中，要正确、仔细、认真地审题，将审题贯穿整个解题过程之中。要遵循先易后难，先简后繁，合理用时，-5/6-

审题要慢，答题要快，积极联想，大胆类比，立足一次成功的解题原则。最后要重视复查收尾和分段得分的环节，就一定能取得满意的成绩！

3、对于压轴题：多思考关联知识点的常规图形，几何部分找函数关系时等式的建立大多数是利用勾股定理和相似三角形的性质等，最后一问的求值往往和上一问相关，多想一想数学课本中几何部分有哪些等式，从而采用方程思想来解决问题。

总之，今后的中考题型在保留开放型、动手操作型、识图、阅读理解型、读图、画图、读表型、会增加方案设计型、猜想型、探索“存在”或“可能”型等新的试题形式。几何证明题是同一体系内纵向整合，注重基本知识基本能力的融合，应用题是圆的垂径定理和列方程解应用题的横向整合，体现了实际应以用思想，压轴题把几何论证、计算和数形结合、分类讨论、运动问题联系起来，而应用题的情景将更新，如“磁悬浮、洋山深水港、东海大桥等、国际汽油涨价、台湾水果零关税进入、人民币升值、利息税、个税起征点的调整”等新的问题情境将进入命题人的视野，在技巧、方法的要求上不会过高，但运用的数学知识的难度在一元一次方程的基础上会有所加大。具体复习做到：

1、主要记忆课本中的公式，定义，要熟练，做到张口就来。

2、要多做习题，目的是要从习题中掌握学习的技术和巧门，不同的题有不同的方法，不同的技巧，由其是函数中的动点题是现在出题的热点要多做，但不要做太难的题，以会为主。学习重点是函数（包括一次函数，正比例函数，反比例函数，二次函数），重点是意义和性质；三角形（包括基本性质，相似，全等，旋转，平移，对称等）；四边形（包括平行四边形，梯形，棱形，长方形，正方形，多边形）的性质，定义，面积。

6.初中成语考点梳理篇六

色彩不当。例：我们要虚张声势把大家的学习积极性调动起来。（“虚张声势”是贬义词，指假装出强大的气势，用在这里感情色彩明显褒贬不当。）

轻重不分。例：全厂涌现出四个“先进集体”，一百多位“先进个人”，可歌可泣的事迹不胜枚举。（“可歌可泣”是指悲壮的事迹使人非常感动，用在这里明显大词小用。）词义不明。例：听到有儿童落水了，正在江边消夏的人们，纷纷忘乎所以地跃入水中去营救。（“忘乎所以”是指由于过度兴奋或骄傲自满而忘记了一切。这个句子只断取了这个成语中的“忘”字意思，造成误用。）

对象不辨。例：黄山的石、雾、松是大自然的造化，无不巧夺天工，令人赞叹不已。（“巧夺天工”一般指精巧的人工胜过天然，形容技艺极其精巧，显然这句中对象搞错了。）谦敬误用。例：我的成功经验最主要的一条是做到海纳百川，虚怀若谷。（“虚怀若谷”形容非常谦虚，能容纳别人的意见，它是敬词，当作谦词明显不当。）

前后矛盾。例：同学们听到集合铃声响起，一个接一个争先恐后地往操场跑去。（“一个接一个“指秩序井然”，与“争先恐后”意思茅盾。）

语境不合。例：当我纵横决荡于纽约街头时，他又来信勉励，劝我用英文写作。（“纵横决荡”的意思是纵横驰骋，冲杀追击，一般用于战斗方面，不符合本句语境。）

词意相近而混淆。例：随着他位高权重，周围巴结奉承的人也越来越多，开始人家送上研究他都不收，让人家拿回去，时间长了他就以为是小事一桩，犯不着太认真，也就不以为然了。（“不以为然”表示不同意，多含贬义，“不以为意”表示不认真对待，本句中后者误用为前者。）

下面句子中画横线的成语运用不恰当的一项是（A）

张教授的报告非常具有吸引力，中途退场的听众真是凤毛麟角。

在毕业联欢会模仿秀节目中，张萍模仿的宋丹丹惟妙惟肖，活脱脱一个宋丹丹。

“八荣八耻”的社会主义荣辱观言简意赅，寓意深远，在对比中把构建和谐社会的理念体现得淋漓尽致。

做学问是一项艰辛的劳动，应脚踏实地，来不得半点虚假，更不可好高骛远。

【试题分析】“凤毛麟角”是褒义词，比喻珍贵而稀少的人或事物，用在这里感情色彩明显褒贬不当。

下例各句中，画横线的成语使用恰当的一项是（C）

Ａ．为了做好太湖蓝藻治理工作，省委主要领导赶赴无锡，下车伊始便亲临现场查看情况。Ｂ．班长提议星期天去敬老院参加义务劳动，大家随波逐流，纷纷表示赞同。Ｃ．真实的月球与传说中美丽的月亮大相径庭，它其实是一块冰冷的“大石头”。Ｄ．取缔黄色网站，净化网络环境，眼前当务之急的任务是加大执法力度。

【试题分析】“下车伊始”指新馆刚到任，用得不恰当。“随波逐流”比喻自己没有主见，只是随着别人走，感情色彩明显褒贬不当。“当务之急”指当前任务中，最急需要办的事，和句中的“任务”重复。

【应对策略】

中考成语运用的考查形式已基本定型，设题形式已大致形成惯性，因此复习应考时，应做好以下工作：

①丰富词汇库提高库存量。

要想准确运用成语，关键在于要了解成语，只有在熟知的基础上才能达到会用，因而在进行成语复习时，首先要清点自己的语汇仓库，并从课本中、报刊中不断吸收新鲜词汇，尤其要注意在生活中常用而又易误用的成语。这些成语往往是中考考查的重点，像常考的一些成语如“查强人意、炙手可热、万人空巷、雨后春笋”等都属此类。②把正确运用成语的突破口放在“适用的对象、范围”上。

在中考成语题的设题中，成语的适用对象、范围是设题重点之一，所以，在复习时一定要注意这一点。特别是学习新成语时一定要弄清适用的对象和范围，这样，我们可以轻而易举地把握考题的命脉，从而一矢中的，准确解答。③适量练习，适应各种命题形式。

在丰富词汇，把握好词语使用对象、范围之后，可以适量地做些练习，不要求多，不做偏题怪题，不做有争议的题，对于一些较为新颖的命题需要加以注意，因为中考毕竟是在不断地求变，当然这种变是“稳中求变”，不会是大变。

【附录1】

【容易误用的成语】

①容易因误解意义而误用的成语

（1）明月黄花：比喻过时的事物或消息。

（2）火中取栗：不予被别人利用去干冒险事，付出了代价而得不到好处。（3）万人空巷：形容庆祝、欢迎等盛况。（4）不刊之论：指正确的不可修改的言论。

（5）不为已甚：指对人的责备或责罚要适可而止。

（6）望洋兴叹：比喻做事时因力不胜任或没有条件而感到无可奈何。（7）不足为训：不值得作为效法的准则或榜样。（8）因人成事：依靠别人把事情办好。

（9）弹冠相庆：指旧社会官场中一人当了官或升了官，同伙就互相庆祝将有官可做。（10）久假不归：长期地借用，不归还。

（11）司马青衫：比喻因遭遇相似而表示的同情。（12）数典忘祖：比喻对于本国历史的无知。（13）大动干戈：比喻大张声势地行事。（14）高山流水：比喻知己或知音。（15）不绝如缕：形容形式危急。

（16）不翼而飞：比喻东西突然丢失。也比喻消息传得极快。②容易因把握不准对象而误用的成语

（1）“美轮美奂”用于形容屋舍高大华美，不能用来形容艺术品。

（2）“相敬如宾，琴瑟之好，破镜重圆”只能用于夫妻之间，不能用于朋友、同学、同事。（3）“青梅竹马”只能用于幼年的男女之间。

（4）“休戚相关”只能用于任务之间，不能用于事物之间。（5）“置若罔闻”不可用于视觉方面。

（6）“筚路蓝缕”只用来形容创业艰苦，不可用来形容生活艰辛。（7）“汗牛充栋”形容书籍多，不能形容其他东西多。

（8）“耳提面命”用于长辈对晚辈，平辈、朋友之间不可用。（9）“三令五申”用于上级对下级。

（10）“络绎不绝”用于人、马、车、船。

（11）“挥洒自如”用于写作、画画的运笔，不可用于举止风度。（12）“豁然开朗”不能用来形容人的性格。（13）“不可磨灭”与痕迹、印象、功绩、事业、道理等搭配，若与情感、友谊搭配则错。（14）“人老珠黄”只用于妇女。

（15）“巧夺天工”只能形容人工的精巧而不能用来形容天然的精巧。（16）“循序渐进”只用于学习、工作。③容易把褒义误用贬义的成语

（1）拭目以待：形容期望很迫切。

（2）神机妙算：形容预料准确，善于估计形势，决定策略。（3）名不虚传：指实在很好，不是空有虚名。（4）凤毛麟角：比喻珍贵而稀少的人或事物。（5）洋洋大观：形容美好的事物众多丰盛。

（6）沁人心脾：形容诗歌和文章优美动人，给人清闲爽朗的感觉。（7）别有天地：形容风景或艺术创作的境界引人人胜。（8）有口无心：指不是有心说的。

（9）别出心杼：比喻写作不因袭前人，另辟新路。（10）惨淡经营：指苦心费力经营。

（11）来日方长：未来的日子还很长。表示事有可为，劝人不必急于做某事。④容易把贬义误用褒义的成语

（1）满城风雨：比喻某一事件传播很广，到处议论纷纷。（2）形形色色：形容很多，各种各样的都有。（3）无独有偶：不止一个，竟然还有配对的。（4）无所不为：指什么坏事都干了。（5）长此以往：长期如此这样下去。

（6）趋之若鹜：比喻很多人争着去追逐不好的事物。（7）半斤八两：比喻彼此一样，不相上下。（8）等量齐观：不管事物间的差异，同等看待。（9）绞尽心机：挖空心思，想尽办法。

（10）大言不惭：说打滑，吹牛皮，一点也不害臊。（11）明目张胆：形容公开放肆地干坏事。

（12）明哲保身：指因怕连累自己而回避原则斗争的处世态度。（13）忘乎所以：指因过分兴奋或得意而忘了应有的举止。（14）高谈阔论：指不着边际地大发议论。

（15）始作俑者：比喻第一个做某项坏事的人或恶劣风气的创始人。（16）好高骛远：指在学习或工作上不切实际地追求过高的目标。（17）邯郸学步：比喻模仿人不到家，反把自己原来会的东西忘了。（18）如丧考妣：好像死了父母一样地伤心和着急。（19）一丘之貉：比喻彼此同是丑类，没有什么差别。（20）咄咄逼人：形容气势汹汹，盛气凌人，使人难堪。（21）虎视眈眈：形容恶狠狠地盯着看，等待机会下手。（22）别有用心：指言论或行动另有不可告人的企图。

（23）衣冠楚楚：一毛穿戴得很整齐，很漂亮，外表内心不一样。（24）巧言令色：形容花言巧语，虚伪讨好。（25）好为人师：指不谦虚，喜欢以教育者自居。（26）人模人样：或指小儿有成人相（亲昵语），或指人态度举止俨然与身份不相称（讽）。（27）神气活像：表现出自鸣得意或傲慢的神态。（28）趾高气昂：形容骄傲自满，得意忘形的样子。（29）为所欲为：想干什么就干什么。（30）呜呼哀哉：指死亡或完蛋。

（31）天花乱坠：形容说话有声有色，极其动听，多指夸张而不符合实际。（32）巧舌如簧：形容花言巧语，能说会道。

（33）一团和气：指互相之间只讲和气，不讲原则。

（34）改头换面：表面上改一下，实质上和原来的还是一样。⑤容易造成隐含义与句子语义重复的成语（1）劳苦大众民不聊生。（2）广大灾民哀鸿遍野。（3）百姓生灵涂炭。

（4）连着几天几夜通宵达旦地忙活。

（5）山冈和田野上，到处都是漫山遍野的果树林。（6）说话音量大，声如洪钟。（7）一天天地日臻完善。

（8）暗含着不言而喻的潜台词。（9）众多的莘莘学子。（10）寒舍真是蓬荜生辉。（11）活蹦乱跳的生猛海鲜。（12）目前当务之急。（13）妄自菲薄自己等。

（14）时下的名店和商品名在吸收外来词时，追求时髦，哗众取宠，令人费解。这些叫人看不懂的名称，只能让人贻笑大方。⑥容易望文生义用字面意义的成语（1）进退维谷：形容进退两难。

（2）如坐春风：比喻得到教益或感化。（3）春风化雨：比喻良好的教育。（4）间不容发：形容情势极其危急。（5）祸起萧墙：指祸乱从内部发生。

（6）炙手可热：形容权势大，气焰盛，使人不敢接近。

（7）一衣带水：指虽有江河湖海相隔，但距离不远，不足以成为交往的阻隔。（8）下车伊始：比喻带着工作任务刚到一个地方。

（9）开门见山：比喻说话或写文章直截了当了当谈本题，不拐弯抹角。（10）水清无鱼：比喻过分计较人的小缺点就不能团结人。（11）盲人瞎马：比喻盲目行动，后果十分危险。（12）独步天下：天下没有第二个。

（13）独辟蹊径：自己开辟一条路。比喻独创一种风格或新的方法。⑦容易谦敬错位使用的成语

（1）虚怀若谷：形容非常谦虚，表示对人的敬意，只能对人，不能对自己。

7.初中数学考点分析篇七

综观《2009年浙江省普通高考考试说明》及调研卷,数学学科的新高考可归结为一句话——铁打的重点,变化的考点。解答题(大题)的考查范围仍然是六大重点知识;同时,不少知识点的要求比往年有所降低或者升高;新增或删去了部分知识点。这些变化在高考考点的分布上必有所体现,也就是“新”的所在。

那么,重点内容会怎么考?考点究竟有哪些变化?自选模块考什么?应用题型如何应对……针对老师和同学们所关注的这些焦点问题,本刊特别邀请新课程工作专业指导委员会专家组成员与省内数学名师,一一为大家答疑解惑,指点迷津,以帮助同学们更有效地复习。

平稳过渡是原则能力要求需重视

今年是新课程高考第一年,“平稳过渡”应是首次命题的指导原则。

试卷仍会是10个选择题、7个填空题和5个解答题的结构。

根据“重点内容重点考”的原则,解答题估计仍会以六大题型内容为主,从中选择五个(见表1)。

表1

《考试说明》明确提出“注重通性通法,淡化特殊技巧。要注意数学概念、数学本质和解决数学问题的常规方法。试题设计力求公平,力求入口宽,方法多样,并且具有层次”。这些话提醒我们应特别注意以下几点:

巩固主干知识

根据《考试大纲》和《考试说明》,重点知识将重点考查。函数、不等式、数列、三角函数、空间线面位置关系、解析几何中的坐标法、直线与圆锥曲线的关系等历来是高考中的重点和难点,这些内容在复习中要重点保证。

落实新增知识

新增内容包括函数零点、五个幂函数、三视图、程序语言和框图、空间直角坐标系和空间向量、几何概型、茎叶图、全称量词和存在量词、全称命题和特称命题、含有一个量词的命题否定、导数及应用、合情推理和演绎推理等。这些知识在今年的新高考中必定有所体现,但难度不会很大,一般为客观题。复习时要牢牢把握这些知识点,并落实到具体问题中去。

重视方法提炼和解题层次

解题训练中要重视数学思想的渗透和数学方法的提炼,还要注意大题中各小题间的层次和联系,往往第(1)小题是宽入口或提示性问题,要充分利用和把握。

适当运用技巧

要学会适当运用辅助技巧,如极端情况、端点验证和合理猜想等,可以大大节约解题时间,避免造成“隐性失分”。

关注能力要求

今年的《考试说明》中尤其值得关注的是能力要求由“四能力一意识”变为了“五能力二意识”,即空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识、创新意识。

针对这一变化,首先要重视的是对于能力的理解要走出误区。空间想象能力的应用并不仅限于立体几何中,还包括识图判别和数形结合等方面。有些客观题甚至可以直接由图形分析得到结论。

抽象概括能力也不是我们平常所想的那么“抽象”“虚无”,其实质是要求同学们学会从给定的大量信息材料中,分析归纳出有用的、明确的条件以及需要解决的问题,学会将问题(条件和结论)进行不断转化。

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