初中数学问题结构性变式教学的实践研究

初中数学问题结构性变式教学的实践研究（11篇）

1.初中数学问题结构性变式教学的实践研究 篇一

初中数学变式教学研究论文

一、什么是变式教学

在新课程标准指导下，数学的教学方式正在不断的改进.数学教学已经不再是局限在一个狭隘的课本知识领域里，更应该让学生们在对于知识和技能的初步认识之后，进行进一步的深化和运用的熟练，让学生们在学会运用课本知识的同时来举一反三，运用数学变式教学的方法是十分有效的手段之一.所谓的“变式教学”，就是授课老师对于书本上的知识进行有目的、有计划地合理转化.

1.变式教学法的概念

变式教学中最重要的概念就是“变”，不能局限于书本原先给出的公式及知识点，在掌握必要了解的知识点以后，教师可以不断更换原命题中的非本质特点，变换原问题中的条件及结论，转换问题的内容和形式，让学生在不同的角度上来进行知识点的加深和运用.

2.变式教学的教学原则

首先，变式教学中的最主要原则是变式的合理性，对于学生来说，变式应该具有多样性和一定深度，如果只是单纯的将原型中的条件和结果变式，那么学生们不但得不到好的练习，更多的只是在重复劳动罢了.其次，变式教学应当符合教学进度，具有一定的针对性.在数学课中，一般分为新课的教授、复习课以及习题练习课，变式教学应该符合老师安排课的性质.如果老师安排的是新课教授，那么变式题型应该针对当天授课的新知识点来进行.而在进行复习课时，老师应当在当天所安排的复习内容中进行合理的题型变式.例如如果课程安排复习一元二次方程，那么老师就应该对所有关于一元二次方程的题型和公式上进行合理变式，来让学生们从不同的角度进行解题和讲解.大多数时候，复习课所涉及的都是本单元所学知识，或者上个单元的知识等;而习题课所涵盖的面应该更广泛一些，往往涉及到前面所学习的所有知识，尤其是在初三临中考之前的习题课，老师更应该对前面所有的内容进行汇总、变式以及讲解.

二、变式教学在初中数学教学中的作用

变式教学的目的是要让教师有意识地引导学生在变化的现象中学习不变的本质，再从不变的本质中探寻变的规律性，从而帮助学生将所学的知识点融会贯通.在平时的解题当中，让学生们在多变的学习中学习数学的魅力所在，加深学生们对于学习数学的`热情和兴趣.

1.变式教学的方法，可以调动学生数学学习的积极性

也就是说，学生在变式教学法中可以真正做到成为课堂的主人，从概念到习题他们都可以参与，不仅如此，原先照本宣科式的公式学习，变成了一题多样化，多题重组的学习方法，让学生们对于新的题型总抱有一种新鲜感，唤醒了学生的原始学习欲望，让他们在不同的习题环境中来发掘对数学的喜爱和好奇心，从而提高学生们的学习能力，保持他们对于数学学习的热衷.

2.变式教学的方法，可以让学生们在学习数学时有更多的创新性

创新，是个人在自我的学习和提高过程中所得到的独特技能.每一位学生创新的结果都各不相同，这是创新中的独特性.正由于每位同学在创新过程中得到的答案不同，所以才会让学生们有想法想要去创新，创新意识的输入关键，是培养学生的问题性.学生对于变式题型有疑惑，想要解答，想要寻求答案，就会去思考，就是我们所说的“穷则变，变则通”的道理.通过学生对变式题目的思考，探讨和争论，学生会得出各种不同的解题思路和答案，因此便加深了学生们对于题目的参与性，训练其思维性的多方位转化，提高他们对数学解题的兴趣.

3.变式教学方法，可以培养学生们的不同思维，让他们深刻了解知识点

变式教学所变换的是问题的结论与条件，在多项问题和条件的不同转变下，虽然改变了问题的形式，但是从本质上来说，并没有对原题型的根本进行改动，也就是说学生是在多样变化下来对同一个本质进行学习和解答，从中更加深刻地对原概念进行了合理的深入，不但牢牢抓住了原问题的核心，更是学习了多种不同的解答方式，不仅注意了事物表面上的内容，而是通过本质的不变全面学习了解事物之间变换下的联系之处，学会全面地去看待问题的本质.在很大程度上，克服了思维僵硬的问题，使得思维的灵动性更加活跃，减少了思维惰性.由此，我们便可以看出，变式教学方法对于数学教学是非常重要的，在不断的变化中，让学生们提高对数学学习的自信心，减少挫败感，也更加深了对知识本质的学习.

作者:殷新毅 单位:江苏省苏州市吴江区黎里中学

2.初中数学问题结构性变式教学的实践研究 篇二

一、增强学生的主动性, 促进变式教学的应用

课堂教学效果基本由学生参与情况决定, 因为教学的对象为学生, 没有学生就不能形成教学的过程, 更无法实现良好的课堂教学质量。在新课程改革不断深入的大背景下, 对课堂教学的重要要求之一就是遵循“以人为本”的理论, 增强学生在课堂教学中的主体地位, 促使其真正参与数学课堂教学活动, 因此, 教师要充分利用学生的创造性和能动性, 为课堂教学目标的实现奠基。

如苏教版初中数学七年级《从面积到乘法公式》一课中有两部分教学内容, 即:《单项式乘多项式法则的再认识———因式分解 (一) 》和《乘法公式的再认识———因式分解 (二) 》, 有一个相关练习题要求学生分析多个数学式子从左到右的变形, 辨别哪些属于因式分解, 哪些不是, 原因又是什么?三个因式分别为“ (x+2) (x-2) =x2-4”、“x2-9= (x+3) (x-3) ”和“x2-y2-1= (x+y) (x-y) -1”, 某教师要求学生结合因式分解的规律对因式进行分析。部分学生认为 (x+2) (x-2) =x2-4”和“x2-9= (x+3) (x-3) ”属于分解因式, 也有部分学生认为“x2-y2-1= (x+y) (xy) -1”属于分解因式。学生出现错误的主要原因就是因为他们没有真正理解分解因式的概念。

在这个教学过程中, 教师发挥的主要作用就是要对教材中的数学规律、概念以及案例进行详细的讲解。决定学生数学水平的真正因素还是学生对知识的应用。因此, 学生在独立探索和检验规律的过程中, 要不断增强自身的数学水平。同时, 这充分说明变式在初中数学中的应用必须先增强学生的主动性。

二、充分利用学生的创新能力, 实现变式在初中数学教学中的应用

举一反三是学生学好数学应该具备的基本能力, 举一反三这个过程也充分体现了教学知识的融会贯通与否, 这对加深学生对教学知识的理解具有十分重要的意义。通过教师的观察发现, 大部分学生学不好数学主要是因为缺乏举一反三的能力, 思维方式过于呆板, 这也是学生常常向教师抱怨“老师, 我真的上课非常认真地听讲, 而且你讲的内容我也能够听懂, 可是为什么考试的时候我每一个题都不会做了”的原因。这个时候就需要教师引导学生认识到自身缺乏举一反三的能力, 从而促使学生认识到养成创新能力的重要性。

以苏教版中初中数学与“一元一次方程”有关的一个练习题为例, 题目为:小明和小刚处于同一起跑点, 小明以每秒32米先跑45米, 为了追上小刚, 如果小明以每秒35米的速度跑, 多少秒才能追上小刚?某教师在课堂教学过程中引导学生对题目进行了分析, 并为学生提供了正确的解题思路。然后对题目进行变式并作为学生的课后探究作业, 变式为:小明和小刚处于同一起跑点, 小明以每秒32米先跑2秒, 为了追上小刚, 如果小明以每秒35米的速度跑, 多少秒才能追上小刚?改变题目已知条件, 解题思路就会发生非常大的变化。这种例题创新非常简单, 学生在数学学习过程中就可以独立完成题目的创新, 然后对创新题目进行探究, 改变题目的出现形式, 掌握各种形式下正确的解题思路。这样他们就可以实现对数学知识的真正掌握, 这对提高初中数学教学水平具有极为重要的意义。

三、引导学生多角度、深层次思考问题, 实现变式在初中数学教学中的应用

3.初中数学问题结构性变式教学的实践研究 篇三

关键词：变式 数学教学 策略

中图分类号：G633.6 文献标识码：A文章编号：1674-098X（2012）12（a）-0-01

新课程标准提出：“教育应该面向全体学生，让每个孩子都成为对社会有用的人才”。教育者应该努力让每一位学生都能快乐学习、幸福成长，教育者要为学生提供广泛的发展空间，重视学生的独立人格，发展学生的个性才能。教育者要运用各种方法、创造各种条件引导学生主动探究和创造学习。“变式教学”是很好的载体，该文拟结合笔者的中学数学教学实践，谈谈变式的运用以及策略。

1 运用变式教学减负增效

1.1 变式能更好地揭示数学本质

《认知心理》认为，变式是指在教学活动中使本质属性保持恒定而从不同角度、不同方面和不同方式变换事物的非本质属性，以便揭示其本质特征的方法。“万变不离其宗”，这里变式的“宗”—事物在数与形方面的本质特征。一言以蔽之，是数学概念、公式、法则以及相应的数学思想，变的只是题目的外部表现形式，变化的目的是让学生归纳到“宗”上。

如在学习《三角形的高线》时，笔者曾提供各种高的变式（锐角三角形、钝角三形、直角三角形）位置的不同三角形，让学生进行思维加工、明确：①是一条垂线段；②是每个顶点向它的对边作垂线段；③“对边”是指对边所在的直线。有效地纠正以前学生在钝角三角形钝角的邻边上作高出错的毛病。

1.2 变式教学能提高训练效率，减轻学生学业负担

数学教学离不开解题。学生在形成初步概念和技能以后，需进一步的深化与熟练。心理学认为：教师在安排教学过程时，应在以下方面加强注意：①教学过程要根据学生的认识新事物的自然顺序和认知结构的组织顺序来安排；②重视那些具有较高概括性、和强有力的解释效应的基本概念和原理，将它置于教学的中心地位；③教学目标应加强概念和原理及章节之间的联系，应引导学生注意并认清同一概念或原理的不同表达方式，找出共性，能恰当地利用有关的旧知识来学习新知识。“变式教学”围绕一两道数学问题中所需反映的数学实质进行一系列的问题变化，使学生得以掌握与提高，培养学生举一反三、灵活转换、独立思考能力，是减轻学生学业负担，提高训练效率的有益途径之一。

2 运用变式教学推进数学教学

2.1 以变式促进知识的系统性

知识的系统性主要反映在当前所学的知识以及前后逻辑联系性和层次性。因为在新课教学中，学生所接触到的问题概括起来有三个特点。一是当前知识的各个侧面反映出的问题；二是由知识的前后逻辑联系而提出的问题；三是由知识的横向联系而提出的问题。运用变式教学可以帮助学生形成良好的数学知识结构，促进知识的系统性。例如：“同底数幂的乘法”中，变式可以沿着：乘方的意义→同底数幂的加法→同底数幂的乘法→整式的乘法（底数由单项式）→多项式乘法的教学顺序来设置。这样的变式让学生在“跳一跳就摘到桃子”中体验了成就感，产生积极的课堂情绪，也促进了建构完整的知识系统。

2.2 变式促进数学思维活动的质量

变式教学摆脱了“教师示范，学生模仿”的模式，给开放式教学提供了条件。在变式教学中，学生可以从多角度、多层面去探究。这就为创造性思维提供了有利条件，提高了学生思维活动的质量。保持了思维的延续性、完整性、敏锐性。

2.3 以变式促进数学能力的发展

变式教学中，教师为学生创造了主动进行思维活动的环境，学生为了将学习进行下去，不得不主动地探究、积极地思考。在发展数学能力方面，变式带来的直接效应就是：①消除学习定势的消极影响；②比较、概括能力得以加强。例如：教学“二元一次方程组的解法”，可以利用课后习题和例题组成一个问题序列：使例题的方程①不变，变换方程②的不同呈现形式。使学生体会代入消元的关键是方程的变形，继而对消元思想有了更深刻的理解。

3 变式教学的实施策略

3.1 确立变式实施的支点

要达到教学目标，就必须明确变式实施的条件：变式目的即教学目的；变式的时机；变式的渐进性。变式的实施最好是在学生对于数学原理（概念、法则等）有了初步理解但还不十分了解、清楚时进行，所选的问题一定要有层次性、阶段性，使学生不轻易解答出来，也不要百思不得其解。

3.2 找准变式题编写的起点

一个数学问题可以分解成问题要件、解决过程、问题的结论。使学生全面地认识数学概念，变式题对变式教学的成功起着非常重要的作用。我们可以从以下方面进行讨论。

3.2.1 变换问题的条件或结论

在学习“平行四边形的判定”时，问题“已知平行四边形ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，求证：四边形EBFD为平行四边形”。可以设置变式为：求证：①EF∥AD∥BC；②AE=CF；③ED=FB。这样围绕着平行四边形的性质呈现不同的结果，培养思维多样性、完整性、变通性。

3.2.2 对已有数学模型进行延伸

在学习“直线和圆的位置关系”时，情景变式可以设置为：①风暴是否影响；②船只能否触礁；③噪声源行进。使学生在不同的情景中，领悟直线与圆的位置主要是借助距离与半径大小来确定这一常用几何模型。更好地体会数学来源于生活，服务于生活。

3.3 走出变式教学的误区

日常的数学课堂教学中，可能存在如下误区：①变式不能覆盖概念的内涵；②变式列中小题跨度不合适；③为了变式而变式，或的典型性；④变式的目标指向性不明确，不能循序渐进。这些都将影响对数学知识的理解和掌握，制约了良好的数学思维习惯和思维品质的形成，在教学实践中应极力避免。

4 结语

“变式教学”是基于教学中的问题，进行不同角度，不同层次，不同背景的考虑。以暴露问题本质特征，揭示不同知识间内在联系的一种教学设计方法。它以知识变式、题目变式、思维变式、方法变式为途径，以培养具有创新精神和创新能力为目标。合理而有效地运用变式教学不仅可以事半功倍，还可以让学生展示个性，激发潜能，使之全面、健康发展。

参考文献

[1]数学课程标准[M].北京师范大学出版社，2007-12-01.

[2]高玉祥.认知心理[M].辽宁大学出版社，2000-10.

[3]曹才翰.初中数学课堂结构[M].湖南教育出版社，2011-05-16.

[4]毛永聪.中学数学创新教法—思维训练方案[M].学苑出版社，1999-06.

4.初中数学变式训练的应用研究 篇四

摘要：新课程改革以来，越来越多的中学数学教师经常用到“变式”练习，这是一种数学教学中的变换方式，通过变式练习可以让学生准确地掌握数学解题方法。同时使学生多角度地理解数学方法，使学生从“知识型”向“智力型”转换。变式训练源于课本，高于课本，循序渐进，有的放矢，纵向联系，温故知新。

关键词：变式训练；课本；分层教学

有些初中学生遇到题目就做，而不注重归纳解题的方法、解题规律，致使在问题解答过程中不能很好地将知识点纳入自己的知识体，日后一遇到复杂题目和图形也就无法从中分离出其熟悉的题型。因此，纯粹地将每个知识点以习题形式让学生翻来覆去训练，虽然也能收到一定的效果，但终究还是囿于同样类型的题目，无法跳出做题的灵活性与拓展性。通过变式训练能使学生多角度地理解数学方法，也是切实提高初中学生数学能力的重要一环，在教学过程中必须渗透，并且多多益善。

一、变式训练遵循的原则

（一）立足于课本

观察近几年的数学中考题我们可以发现，有不少题目的命题范围立足于课本，有些试题的原型来自课本。因此在教学中，教师要以传授课本上的知识为基础，有目的地以课本习题为主线，从不同角度、不同层次、不同背景对概念、性质、定理、公式以及基础问题做出变化，使其条件或结论的形式或内容发生变化，而我们要面对的很多问题虽然存在不同的层次，但其中的解题方法总有其内在的必然联系。作为初中数学教师要让学生把蕴含在教材中的数学思想与方法运用到问题解决的全过程，以期达到做一题通一类的教学效果，善于“类比”“转化”，实现最优化的学习效果。

（二）适度和梯度

在几何变式训练的过程中，既要注意由简单到复杂，由具体到抽象，有一定的梯度，同时又要有一定的深度，否则变式训练就会降格为一种低水平的重复。但又不能一味地拔高，否则大多数学生无法理解和掌握，那么就失去教学的意义。

（三）基于学生的认知规律

变式训练应用要结合教与学的需要，基于学生的认知规律而设计，从学生的认知基础出发，在一系列的变式训练中拓展思路，形成解题技能，完成“知识-应用-理解-形成技能-培养能力”的认知过程，最终达成知识向能力迁移的实现。总之，变式训练要根据学生掌握的情况，制定变式训练的目的。

二、变式训练在教学中的应用

（一）变式教学诠释概念，突破难点

在教学中有许多概念，因内容相近致使学生在学习中发生混淆，也有些知识点比较抽象难以理解。通过变式教学让学生抓住概念的本质，理解掌握相关的概念和突破难点。

（二）变式教学挖掘例题，触类旁通

教学中，如果静止地、孤立地只解答某个题目。那么题目再好，充其量也只不过是解决了一个问题而已；如果对它深入研究，通过变式教学，可以开阔学生的解题思路，培养学生思维的灵活性和深刻性，具有较好的教学价值。例如：在讲授一元一次方程应用题时，我把一道有关两车相遇的行程问题的应用题设计成七种变式的题目，在一次次变式的练习中，学生找到了不同的解决方法，呈现了一个广阔有趣的数学世界。通过一个题解决了一类问题，同时归纳出各量之间最本质的东西，今后碰到类似问题学生思维指向必定准确，很好培养了学生思维的深刻性。学生也不必陷于题海而机械、辛?谇业托А?

（三）变式教学拓展习题，开拓学生思维

初中数学习题课要坚持因材施教，根据学生的情况制定教学目标和教学的方式和内容。恰当的变式教学起点难度低，逐步实现知识螺旋式上升，既满足中下层学生的需求，也能培养优秀生良好的思维品质。在习题教学时，教师要充分预估学生解题过程中可能遇到的各种困难，对知识的关键点、重难点都要有针对性地进行铺垫、变式、拓展以及延伸，使学生解题过程更能水到渠成。

例如，原题：已知二次函数y=x2-4x-12，求x=0和x=4时的函数值，试比较这两个函数值的大小。

变式1：将例题的“x=0和x=4”改为“x=0和x=6”呢？若不通过计算你可否直接比较？

变式2：已知二次函数y=x2+bx+c的对称轴是x=2，试比较x=0和x=5时的函数值的大小。

分析：第一个变式中函数值的大小虽然经过计算获得解答，不过若是不经计算则就需要学生利用函数对称性加以解决了。在x>2时，函数值y随x的增大而增大，x=0和x=4的函数值是相同的，所以，问题转化为比较x=4和x=5时的函数值的大小。第二个变式中的函数已经不是一个具体的函数了，要比较x=0和x=5时的函数值的大小，就需通过函数的对称性来解决。在教学中，数学教师应依据学生需求的层次性对原型题目进行适度或梯度的变式，这样既充分调动了学生的思维，又拓展了学生的比较思维空间，也促进了学生的个性和潜能的发展。

（四）变式教学梳理知识点，形成知识网络

根据初中学生数学学习的特点、认知规律和心理特征，数学课程分为“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”和“综合与实践”四大部分。新课程标准在各学段中，都安排了四部分的课程内容，而这四部分课程内容分别穿插在3个学年中，数字中考复习就是要让这些零散的知识系统化，内化成学生自己的知识，形成知识网络。变式教学就是通过一组例题把多个知识点串联起来。

（五）变式教学体现数学思想

中考数学除了着重考查基础知识外，还十分重视数学思想方法的考查。比如动点问题、数形结合、折叠问题，数学问题工具化等，而这些题目一向是学生最为头疼的题目。为此通过一些体现数学思想方法的题目变式练习挖掘其隐含的数学思想，提高综合运用所学知识求解问题的能力。

折叠问题是这两年中考的热点和难点，如果学生能找出折叠隐含的条件，题目迎刃而解。如果找不到，题目就无法解决。在平时的教学中，不但让学生动手折叠纸片，找相等的角和线段，而且通过改变题目的背景，引导学生思考。

通过变式训练的形式，由浅入深，循序渐进、层层推进的方式把题目隐含的数学条件让学生“主动”的发掘出来，启发学生寻找解题思路，同时也满足不同层次学生的需求。

参考文献：

[1]赵晓楚，周爱东.如何在数学课堂中实施变式教学.中小学教学研究[J].2015（8）.[2]张俊.新课标视野下的变式教学.中学数学研究[J].2014（5）.[3]芦霞.变式训练在初中数学中的应用研究，小作家选刊[J].2015（32）.作者简介：

5.初中数学问题结构性变式教学的实践研究 篇五

[摘要]将变式教学法应用于初中数学教学中能够有效帮助学生解决其在知识理解上的问题，并且能够激发学生学习的兴趣，提高学生的思维能力和创新能力。在代数知识教学、几何教学及提高学生思维能力方面都可以应用变式教学法。

[关键词]变式教学法初中数学教学

[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2015）090025

数学是一门工具课程，变式教学法在初中数学课堂中的应用较为广泛，也能取得较好的效果。

一、在代数知识教学中应用变式教学法

在初中代数教学中，教师一般会通过与学生原来具有的认知结构来对比，让学生能够更加容易构建新知识，这种方法是变式的一种，称为对比变式。变式教学法在代数教学中可分为对比变式、巩固变式和辨析变式。辨析变式是指教师在进行教学时，在将需要学习的新概念引入后，通过分析概念的意义及引申设计出一些能够引导学生进行理解的辨析型问题，让学生对这些问题进行分析和探讨，以便学生更好地明确所学概念的本质，更加深刻地理解概念。

如教师在进行正数、负数的教学时，可以结合概念的内容来设置一个问题，让学生思考：某天的天气预报报道大连的最高温度是8℃，最低温度是零下8℃，这两个温度是一样的吗？若不一样，又该用怎样的数字来进行表达？这种方式能够在引入概念前引起学生探究的兴趣，从而提高学生上课时的注意力，在学习之后，学生也能够利用新学到的概念来解决上课前提出的问题。巩固变式指教师在向学生引入新的代数概念并帮助其理解时，应同时让学生熟悉新学概念的应用，让学生能够更加深刻地理解，并学会应用所学的概念来解决问题，同时达到对所学的代数概念进行巩固的目的。如教师可以设计一些应用概念的练习题，让学生相互讨论并解决，让学生能够更加熟悉概念，提高学生解决数学问题的能力。

二、在几何教学中应用变式教学法

学生在学习具体的概念前，脑中的科学概念大都是从日常生活中抽象发展得来的，但这些概念具有多义性、宽泛性等，并且其在学生的认知中已根深蒂固，因此学生在学习一些抽象概念的时候容易理解错误。教师在教学中应当注意学生学习的模式，引导学生在实际生活中积累一些正确的概念，同时也应合理利用学生的生活经验，来辅助学生理解概念。随着学生的不断成长，其获得概念的能力也不断增强，并且更加依靠自己已有的一些经验。但实际生活中的一些经验也有可能对学生的几何概念学习产生不利的影响，因此教师在进行几何概念的教学时应当适当采用变换反映几何概念的图形来帮助学生更加准确地理解概念的含义。几何概念很多都与图形相关，有时根据图形可直观地理解几何概念的含义。但教材中提供的图形比较有限，因此，教师应当对图形进行变式，让学生能够更好地掌握概念的多种延伸，从而掌握概念的本质。几何概念还具有一定的逻辑判断性，在进行几何教学时，教师要让学生掌握概念及其引申概念的意义，同时熟悉由定义变换得来的命题，并在具体的应用中使用一些定义的性质，进行判定。

如平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。教师在向学生解释这个定义时，可以对平行四边形的概念进行语言变式（如平行四边形的两组对边分别平行），然后引导学生将其他图形与平行四边形进行比较，让学生意识到正方形、长方形、菱形等也有相同的特征。教师在进行几何教学时，还应注意学生学习的系统性，让学生能够循序渐进地构建系统的知识概念，让学生能够将学到的知识整合起来。教师应当引导学生通过变式来将所学的相关概念整合成一个完整的概念体系，让学生能够进行几何概念的对比和总结，从而更好地理解和掌握几何概念的本质属性。

三、在提高学生思维能力方面应用变式教学法

变式教学法能够让学生在学习中做到对知识的活学活用，并能够引导学生更加深刻地理解问题。并且变式教学法能够有效揭示概念的本质，可以使学生的思维更加深刻，还能够提高学生学习的积极性，培养学生的创新能力，有利于培养学生思维的灵活性和全面性。同时，采用变式教学法能够提高学生的归纳思维和抽象思维能力。归纳思维是指通过个别事物来归纳出一般规律的思维。归纳思维对学生的学习来说是很重要的一种思维方式，掌握这种思维方式有利于学生对概念的理解。抽象思维是指通过事物的表象，更加深入事物内部，从而发现事物的本质。其中变式教学法对培养学生的抽象思维有着很大的作用。

如通过加强或减弱一个概念的条件来表示概念变式后的内在联系。例如在全等三角形的概念中去掉“面积相等”的条件就可以得出相似三角形的概念，若去掉“形状相似”的条件就可以得到等面积的三角形的概念。相反，在等面积三角形和相似三角形的概念中加入适当的条件就能得出全等三角形的概念。这种变换方式能够有效揭示相关概念之间的联系，并且能够增强学生的抽象思维能力，还很实用。

总之，将变式教学法应用于初中数学教学中能够有效帮助学生解决其在知识理解上的问题，并且能够激发学生学习的兴趣，提高学生的思维能力和创新能力。

6.浅谈初中数学教学中的变式训练 篇六

松江区茸一中学 沈菊华

素质教育是以培养具有创造性思维和创造能力的人才为目标而进行的创新教育为归宿的教育。在课堂教学中落实素质教育，就要贯穿“学生为主体，训练为主线，能力为主攻”的原则。现代数学课程标准指出：数学教学不仅仅要使学生获得数学基础知识,基本技能，更要获得数学思想和观念，形成良好的数学思维品质,要通过各种途径，让学生体会数学思考和创造的过程，增强学习的兴趣和自信心,不断提高自主学习的能力。所以加强在教学中注重变式训练，可以促使学生的思维向多层次、多方向发散，帮助学生在问题的解答过程中去寻找解类似问题的思路、方法，有意识地展现教学过程中教师与学生数学思维活动的过程，充分调动学生学习的积极性、主动地参与教学的全过程，培养学生独立分析和解决问题的能力，以及大胆创新、勇于探索的精神，从而真正把学生能力的培养落到实处。

所谓数学变式训练，即是指在数学教学过程中对概念、性质、定理、公式，以及问题从不同角度、不同层次、不同情形、不同背景做出有效的变化，使其条件或形式发生变化，而本质特征却不变。数学教学，使学生理解知识仅仅是一个方面，更主要的是要培养学生的思维能力，掌握数学的思想和方法。.变式其实就是创新。当然变式不是盲目的变，应抓住问题的本质特征，遵循学生认知心理发展，根据实际需要进行变式。实施变式训练应抓住思维训练这条主线，恰当的变更问题情境或改变思维角度，培养学生的应变能力，引导学生从不同途径寻求解决问题的方法。通过多问、多思、多用等激发学生思维的积极性和深刻性。下面本人结合理论学习和数学课堂教学的实践，谈谈在数学教学中如何进行变式训练培养学生的思维能力。

一、在形成数学概念的过程中，利用变式启发学生积极参与观察、分析、归纳，培养学生正确概括的思维能力。

从培养学生思维能力的要求来看，形成数学概念，提示其内涵与外延，比数学概念的定义本身更重要。在形成概念的过程中，可以利用变式引导学生积极参与形成概念的全过程，让学生自己去“发现”、去“创造”，通过多样化的变式提高学生学习的积极性，培养学生的观察、分析以及概括能力。

如在讲分式的意义时，一个分式的值为零是指分式的分子为零而分母不为零，因此对于分式x1的值为零时，在得到答案x1时，实际上学生对“分2x3子为零而分母不为零”这个条件还不是很清晰，难以辨析出学生是否考虑了“分母不为零”这个条件，此时可以做如下变形：

x21变形1：当x__________时，分式的值为零？（分子为零时x=1）

2x3x21变形2：当x__________时，分式的值为零？（x1时分母为零因此要舍

x1去）

x23x4变形3：当x__________时，分式2的值为零？（此时分母可以因式分

x5x6解为(x6)(x1)，因此x的取值就不能等于6且不能等于-1）

通过以上的变形，可以对概念的理解逐渐加深，对概念中本质的东西有个非常清晰的认识，因此教师在以后的练习中也明确类似知识点的考查方向，防止教师盲目出题，学生盲目练习，在有限的时间内使得效益最大化。

二、在理解定理和公式的过程中，利用变式使学生深刻认知定理和公式中概念间的多种联系，从而培养学生多向变通的思维能力。

数学思维的发展，还赖于掌握、应用定理和公式，去进行推理、论证和演算。由于定理和公式的实质，也是人们对于概念之间存在的本质联系的概括，所以掌握定理和公式的关键在于明确理解定理和公式中概念的联系，对于这种联系的任何形式的机械的理解，是不能熟练、灵活应用定理和公式的根源，它是缺乏多向变通思维能力的结果。因此在定理和公式的教学中，也可利用变式，展现相关定理和公式之间的联系以及定理、公式成立依附的条件，培养学生辨析与定理和公式有关的判断，运用。

如在初一学习垂径定理时：学生对定理“如果圆的直径平分弦（这条弦不 是直径），那么这条直径垂直这条弦，并平分这条弦所对的弧”理解不透，经常在判断中出错，甚至到了初三时还会发生错误，实际上学生的错误是可以理解的，而教师却要去思考学生出错的根源是什么？我认为是学生没有理解这句话中几个关键字或词：直径、平分、不是直径，因此我们可以通过变式给出如下语句让学生去判断，并在错误的判断中给出反例，让学生理解错误的原因。

（1）平分弦的直线垂直这条弦（×）见图1（2）平分弦的直径垂直这条弦（×）见图2（3）平分弦的半径垂直这条弦（×）见图3

图1图3图2

通过上述三个小判断，指出直径与直线的区别，弦是直径时对结论的影响等，理解了为什么要附加条件：这条弦不是直径，学生的辨析能力得到提高，思维更加缜密。

可以通过变式来继续提问学生：在“如果圆的直径垂直于弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧”这条性质中“如果圆的直径垂直于弦”后面没有附加条件，这是为什么？

图4图5

（4）垂直于弦的直线平分这条弦（×）见图4（5）不与直径垂直的弦，不可能被该直径平分（×）见图5 通过以上变式训练，是要防止形式地、机械地背诵、套用公式和定理提高学生变通思考问题和灵活应用概念、公式以及定理的能力。

三、在解题教学中，利用变式来改变题目的条件或结论，揭示条件、目标间的联系，解题思路中的方法之间的联系与规律，从而培养学生联想、转化、推理、归纳、探索的思维能力。

（一）、多题一解，适当变式，.培养学生求同存异的思维能力。

许多数学习题看似不同，但它们的内在本质（或者说是解题的思路、方法是一样的），这就要求教师在教学中重视对这类题目的收集、比较，引导学生寻求通法通解，并让学生自己感悟它们之间的内在联系，形成数学思想方法。如：题1：如图A是CD上一点，ABC、ADE都是正三角形，求证CE=BD 题2：如图，ABD、ACE都是正三角形，求证CD=BE 题3：如图，分别以ABC的边AB、AC为一边画正方形AEDB和正方形ACFG，连接CE、BG，求证BG=CE

题4：如图，有公共顶点的两个正方形ABCD、BEFG，连接AG、EC，求证AG=EC 题5：如图，P是正方形ABCD内一点，ABP绕点B顺时针方向旋转能与CBP’重合，若PB=3，求PP’

上述五题均利用正三角形、正方形的性质，为证明全等三角形创造条件，并利用全等三角形的性质进行进一步的计算或证明。教师要把这类题目成组展现给学生，让学生在比较中感悟它们的共性。

（二）、一题多解，触类旁通，培养学生发散思维能力，培养学生思维的灵活性。

一题多解的实质是以不同的论证方式，反映条件和结论的必然本质联系。在教学中教师应积极地引导学生从各种途径，用多种方法思考问题。这样，既可暴露学生解题的思维过程，增加教学透明度，又能使学生思路开阔，熟练掌握知识的内在联系。这方面的例子很多，尤其是几何证明题。通过一题多解，让学生从不同角度思考问题、解决问题，可以引起学生强烈的求异欲望，培养学生思维的灵活性。

例如在教学等腰三角形的判定时，例2是这样的已知：如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，∠1=∠2 求证：三角形等腰三角形

AD12EBC

这题学生一般想到利用两个三角形全等来证明AB=AC利用等腰三角形的定义得到三角形ABC是等腰三角形，教师继续引导学生思考能否有其它的方法证明，并适时提问还有没有其他方法证明△ABC是等腰三角形，学生马上想到

刚学的在一个三角形中等角对等边的知识，于是把问题转化到如何证明∠ABC=∠ACB，通过学生讨论得到两种证明角的方法，一利用等角的余角相等，二利用外角或三角形内角之和为180度得到两个角相等。又如在讲解“求解相交两圆的圆心距”的问题时学生往往会犯得出一个解而丢掉另一个解的错误。我先用运动的观点向学生解释两圆相交的形成，当两圆相切时，如果一圆的圆心继续向另一圆的圆心靠拢，当两圆有两个公共点时叫两圆相交。然后我在黑板上画出了圆心在公共弦两侧的相交两圆，待学生根据已知求出圆心距以后，让一圆的圆心继续向另一圆的圆心靠拢，当两圆的圆心在公共弦的同侧时，再让学生计算两圆的圆心距，这时学生发现在相同已知条件下两种情况算得的结果并不相同。由此得出两圆相交有圆心在公共弦的两侧或同侧两种情况的结论。这两题题从不同的角度进行多向思维，把各个知识点有机地联系起来，发展了学生的多向思维能力。

（三）、一题多变，总结规律，培养学生思维的探索性和深刻性。通过变式教学，不是解决一个问题，而是解决一类问题，遏制“题海战术”，开拓学生解题思路，培养学生的探索意识，实现“以少胜多”。

伽利略曾说过“科学是在不断改变思维角度的探索中前进的”。故而课堂教学要常新、善变，通过原题目延伸出更多具有相关性、相似性、相反性的新问题，深刻挖掘例习题的教育功能。

譬如书本上有这样一道题，求证：顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。教师可以不失时机地进行变式，调动起学生的思维兴趣。变式（1）顺次连接矩形各边中点所得四边形是什么图形？变式（2）顺次连接菱形各边中点所得四边形是什么图形？变式（3）顺次连接正方形各边中点所得四边形是什么图形？做完这四个练习，教师还可以进一步引导学生概括影响组成图形形状的本质的东西是原来四边形的对角线所具有的特征。

又如应用题教学是初中教学中的一个难点，在教学中就可以把同类型的题目通过变式的方式展现给学生，把学生的思维逐步引向深刻。

例如在讲解一元一次方程的实践和探究这节课时，教师从奥运冠军孟关良训练为题材编了一题关于追及问题的应用题，一膄快艇与孟关良的皮艇同在起点，快艇以每秒5米的速度先行了20米孟关良为了追上快艇，必须奋力前划，同学们，请你想一想他如果以每秒6米的速度划行多少秒才能追上快艇？然后教师可

对本例作以下变式。

变式1：一膄快艇与孟关良的皮艇同在起点，快艇以每秒5米的速度先行了20秒，孟关良为了追上快艇，必须奋力前划，同学们，请你想一想他如果以每秒6米的速度划行多少秒才能追上快艇？（从先行20米改为先行了20秒）

变式2：我们学校有一块300米的跑道在比赛跑步时经常会涉及到相遇问题和追及问题

现有甲、乙两人比赛跑步，甲的速度是10米/秒，乙的速度是8米/秒，他们两人同地出发

（1）两人同时相向而行经过几秒两人相遇。（2）两人同时同向而行经过几秒两第一次相遇。

（3）乙先出发5秒，然后甲开始出发，问甲经过几秒两人第一次相遇。这题该为平时学生熟悉的操场环形跑道，这里三题也是一组变式题，（1）、（2）是同时同地出发的相遇和追及问题，（3）是不同时出发相遇和追及问题，这题还蕴涵着分类讨论的思想。

变式3：一膄快艇与孟关良的皮艇同在起点，快艇以每秒5米的速度先行了10秒，教练要求他用45秒追上快艇，孟关良为了追上快艇，必须奋力前划，他以每秒6米的速度划行，划了5秒后他发现用这样的速度不能在规定的时间内追上，请问他的想法用45秒不能追上快艇对不对？如果他要追上请你算一算孟关良后来要用多少速度才能在规定的时间内追上快艇？

这样的变式覆盖了同时出发相遇问题、不同时出发相遇问题、同时出发和不同时出发的追及问题等行程问题的基本类型。这样通过一个题的练习既解决了一类问题，又归纳出各量之间最本质的东西，今后碰到类似问题学生思维指向必定准确，很好培养了学生思维的深刻性。学生也不必陷于题海而不能自拔。

（三）、一题多问，通过变式引申发展，扩充、发展原有功能，培养学生的创新意识和探究、概括能力

牛顿说过：“没有大胆的猜想就做不出伟大的发现。”中学生的想象力丰富，因此，可以通过例题所提供的结构特点，鼓励、引导学生大胆地猜想，以培养学生的创造性思维和发散思维。

教学中要特别重视对课本例题和习题的“改装”或引申。数学的思想方法都

隐藏在课本例题或习题中，我们在教学中要善于对这类习题进行必要的挖掘，即通过一个典型的例题，最大可能的覆盖知识点，把分散的知识点串成一条线，往往会起到意想不到的效果，有利于知识的建构。如，八年级第二学期练习册中有这样一个习题：

如图

（一）在ABC中，B=C，点D是边BC上的一点，DEAC，DFAB，垂足分别是E、F，AB=10cm，DE=5cm，DF=3 cm，求（1）SABC。（2）AB上的高。

上题通过连接AD分割成两个以腰为底的三角形即可求解SABC=40 cm2 ；借助于添加AB上的高CH，利用面积公式和第一题的结论，不难求的AB上的高为8cm.我在教学中并未把求得结论作为终极目标，而是继续问：3+5=8，在此题中是否是一个巧合？探究DE、DF、CH之间的内在联系，（学生猜想CH=DE+DF）。

引出变式题（1）如图

（二）在ABC中，B=C，点D是边BC上的任一点，DEAC，DFAB，CHAB，垂足分别是E、F、H，求证：CH=DE+DF 在计算例题的基础上，学生已经具有了用面积的不同求法把各条垂线段联系起来的意识，此题的证明很容易解决。

在学生思维的积极性充分调动起来的此时，我又借机给出变式（2）如图

（三）在等边ABC中，P是形内任意一点，PDAB于D，PEBC于E，PFAC于F，求证PD+PE+PF是一个定值。

通过这组变式训练，面积法在几何计算和证明中的应用得到了很好的体现，同时这一组变式训练经历了一个特殊到一般的过程，有助于深化、巩固知识，学生猜想、归纳能力也有了进一步提高，更重要的是培养学生的问题意识和探究意识。

总之，在数学课堂教学中，遵循学生认知发展规律，根据教学内容和目标加强变式训练，对巩固基础、培养思维、提高能力有着重要的作用。特别是，变式训练能培养培养学生敢于思考，敢于联想，敢于怀疑的品质，培养学生自主探究能力与创新精神。当然，课堂教学中的变式题最好以教材为源，以学生为本，体现出“源于课本，高于课本”，并能在日常教学中渗透到学生的学习中去。让学生也学会“变题”，使学生自己去探索、分析、综合，以提高学生的数学素质。

参考文献：

1、中小学数学（2004第4期）

2、《数学教育改革与研究》2004年3月

3、上海市普通中小学数学课程标准

4、《全国中小学教师继续教育》

7.初中数学变式教学应用研究 篇七

[关键词]初中 数学 变式教学

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 16746058（2015）120040

随着我国新课改的实施，传统的教学模式已经不能满足当下社会环境对教育的要求。为实现新课改的教学目标，教学模式与方法的创新是提高教学效率最好的解决办法之一。以初中数学为例，传统的数学教学常受限于狭窄的课本知识范围内，尽管学生初步掌握了理论知识点，但对于后续技能举一反三的深化理解和熟练应用并没有达到理想化的效果。在新课改标准的引导下，为了更好地让学生运用知识解决实际问题，初中数学教学模式正在不断地进行创新和改进，变式教学便成为初中数学的有效教学方法之一。本文将浅析初中数学教学中变式教学的应用研究，探讨变式教学的原则、方法和重要意义。

一、初中数学教学中变式教学的原则

（一）变式教学的针对性原则

数学课堂上会分阶段进行新知识讲解和已学知识复习。在这个过程中，变式教学的应用极为常见，其针对服务的对象也在转换的过程中不断变换。在对新知识进行讲解时，对于知识点和逻辑概念的变式教学应该服务于课前安排的教学目的；在复习阶段，变式教学应以该章节内容为主，注重对学生数学逻辑和解题思想方法的培养，针对这些方法，继续进行发散的联系和总结。

（二）变式教学的适用性原则和参与性原则

根据数学课本上的知识点或概念进行变式教学。在“变”的过程中，要注意变式教学的适用性原则，掌握好“变”的度。不能“变”得过于简单，重复的类似劳动不会使学生的数学思维得到应有的提高；也不能“变”得过于复杂，难度过高容易打击学生对于学习的积极性，使变式教学不能达到应有的效果。在“变”的过程中，教师不能永远作为“变”的主导者，要适当鼓励学生自主合作地参与变式教学中，以达到教学目的，使学生的思维能力得到最大限度的锻炼与提高。

二、初中数学教学中变式教学的方法

（一）通过直观教学角度进行变式教学

数学课本上的内容多以概念和理论为主，其抽象性较强，空间性也较强，这加深了学生理解知识点的难度。此时教师可以转换教学的角度，将目光从书本上移植到生活中，以直观的角度对某些基础概念进行解答。例如，在诠释轴对称图形的概念时，教师可以用实物或图片向学生解释什么是轴对称图形。在学生自己观察理解，逐渐对轴对称图形有了模糊的笼统认识之后，让学生总结出轴对称图形的概念，并举出生活中轴对称图形概念的例子，以证实学生确实掌握了该知识点，提升学生发散思维的能力和数学逻辑思维深度。

（二）利用变换思维进行变式教学

逆向思维是数学解题模式中常用的思维方式。其过程是将题目的最终问题和解题条件进行合理的调换，进行逆向思考，从而找到解题思路。这种变式教学的方式在数学习题讲解中应用广泛，利用这种方式，教师可以了解到学生对知识点的掌握程度，了解学生是否可以灵活利用逆向思维进行知识迁移。初中数学涉及的“点、线、角”知识与习题多用到逆向思维进行解题。因此，在教师讲解平面图形“点、线、面、角”的知识时，就可以利用变换思维进行变式教学，从而培养学生逆向思维的灵活程度，使其养成良好的灵活思维模式。

（三）层层递进的变式教学

推进变式教学也是初中数学教学中经常应用的一种变式教学手段。这种方式可以让接受能力与理解能力较差的学生，由浅入深地逐步接受并理解数学概念和问题，使学生的数学思维逐渐建立并坚固，变得广泛。

三、初中数学教学中变式教学应用研究的意义

新课改指出的教学标准不同于以往的传统教学，只关注知识点的单向灌输。其更注重人性化的教育，目标是让教育融入生活中，将知识运用到生活中，要培养学生的各项思维能力以及沟通能力，以达到培养全面型人才的目的。在初中数学教学中，变式教育的应用可以引导学生，使学生学会多角度考虑问题的本质，培养其逻辑思维能力与数学思维能力，使之思维的灵活性得到质的提高，并可以将这种思维带入生活，为将来高中数学、大学数学的学习提供一定的基础便利。

通过对知识与原题的图形、条件与问题进行改动变换，实现变式教学法，对提升学生的应变能力、改善思维灵活性、提高解决问题的能力效果是非常明显且有益无害的。作为教育工作者，要不断对教学方法进行改良和创新，以提高教学质量以及学生的学习素质。综上所述，在初中数学教学中，变式教学法的强大作用不可忽视。

[ 参 考 文 献 ]

[1]严昌宝.变式教学在初中数学中的运用与思考[J].新课程学习（基础教育），2011（7）.

[2]欧翠荣.变式教学在初中数学教学中的应用举例[J].中学课程辅导（教学研究），2013（7）.

8.初中数学问题结构性变式教学的实践研究 篇八

——新受概念课教学的三个环节

代金珍

顾泠概念教学突出对概念内涵的理解，注重概念的情景引入、语言转换等，逐步从概念的“标准变式”转向概念的“非标准变式”，使学生获得对概念的多角度的理解；同时突出对概念外延的应用，注重知识之间的联系和拓展，通过对概念多角度的理解，使数学教学有层次地递进。一堂新授的概念课，总的来说，主要侧重概念性变式教学，因为这一阶段不适宜作高难度的知识综合训练。

我们课题组下一阶段的重点将放在新授课概念教学的环节的探索上，下面我们就新授概念课教学应注意的三个环节作些研究和探讨，并从大家熟知的等差数列新授课教学谈起。

一、设置情景，揭示概念的本质特征

（1）知识背景的创设

每节新授课要从学生最为熟悉的现实背景、生活背景、历史背景、数学知识背景等出发，设置最能体现新授概念本质特征的知识背景。

这是概念性变式教学的切入点。老师要列举学生学习经验中感受最深的例子。概念引入的背景可多可少，原则只有一条：尽可能地揭示概念的本质特征。

①班级同学的鞋子尺码：27.5，27，26.5，26，25.5，25，24.5，24，23.5，23。②每个同学的统一营养午餐费：5，5，5，„，5。③能被3整除的所有正整数：3，6，9，„

这里列举的三个例子，前两个例子源于学生的生活背景，第三个例子源于学生的数学知识背景。第一个例子中公差小于零，第二个例子中公差等于零，第三个例子中公差大于零。

等差数列概念的本质特征是：从第二项起，后一项与前一项的差是一个常数。这个常数d（公差）可以是任意的实数。即当n2,nN时，anan1d,dR。

（2）特殊情形的考虑

从概念的一般性出发，探讨概念的特殊情形。这在新授概念教学中，是学生容易接受的一个学习过程，这样的教学情景不可忽视，它是理解概念一般性结论的基础。我们在这里把对特殊情形的考虑视作为概念性变式教学的特殊情景。这个情景实际上是从概念的局部来解释概念的本质特征，是从学生容易理解的方面入手的。①三个数成等差数列的充要条件：

*a,A,b成等差数列AabA2AabA项。

②等差数列{an}中，任意相邻三项也成等差数列：

ab。称A为a,b的等差中2an1,an,an1(n2,nN*)成等差数列an是an1和an1的中项 2anan1an1由n的任意性，数列{an}成等差数列。

③等差数列{an}中，奇数项组成的数列a1,a3，成等差数列，其公差为2d；偶数项组成的数列a2,a4,成等差数列，其公差为2d；每隔相同的项组成的新数列am,amk,am2k，(m,kN*)„也是等差数列，其公差为kd。

（3）基本结论的推出

从概念的本原出发，进行演绎推理，得出一些基本的结论，如概念衍生出来的性质、定理、公式等。这些结论和新授概念一起成为新授课中的学习要点。我们在这里把基本结论的推演过程视作为概念性变式教学的一般情景。

① 归纳推广：

由等差数列的定义，得到：

a2a1d，a3a2da12d，a4a3da13d，„，ana1(n1)d。② 数列是特殊的函数。

从函数的角度来看等差数列的通项公式，当公差不为零时，其表达式是关于n的一次函数；当公差为零时，是常量函数。点(n,an)是直角坐标系中直线上离散的点。

作为新授概念，从以上的三个方面来理解，是概念性变式教学的三个不同角度，也是概念性变式教学的三个基本维度。在变式教学中，创设背景是概念呈现的孕育过程，是帮助学生进行知识建构的前提。得出了概念，不是概念教学的终结，还需要寻找概念的“知识固着点”，从两个方向进行寻找，最近的方向和较远的方向。最近的方向我们考虑的是概念的特殊情况，较远的方向是从概念出发的一般性推理，直到我们找到本节课新授概念所能依附的“知识固着点”为止，我们把这个环节称之为新授课概念性变式教学的第一个环节。等差数列新授课我们可以把等差数列的通项公式作为概念性变式教学中的“知识固着点”。在“知识固着点”未找到之前，新授概念与“知识固着点”之间存在一个“潜在距离”，我们可以理解为学生的“最近发展区”。为了完成第一环节的教学要求，从变式教学的层面上来说，老师要围绕新授的概念，多角度地设置问题情景，使学生在第一环节就找到“知识的固着点”，使新授概念有一个稳固的外显的“知识抓手”，为后续的概念应用作好充分的准备。

二、拓展外延，凸显概念的不变内涵

（1）概念的简单外延

我们把概念应用的较小适用范围称之为概念的简单外延。较小是一个模糊的量化。在讲完等差数列定义后，一些老师接下来请学生判断给出的具体数列是不是等差数列，如果是的话，说出首项和公差等。这个层次的能力训练要求比较低，实际上我们在背景设置当中，已经做过了这样的训练，这里可以再提高一步，如进行下列层次的变式训练：

①已知等差数列的首项和第二项，求出等差数列中的任意项； ②已知等差数列的前三项，求出等差数列中的任意项；

③已知等差数列的公差和某一项，求出等差数列中的任意项；

④已知等差数列中的任意两项，求出等差数列中的公差和通项公式。上面的问题比较简单，其中的实例就不再列举。我们在以上的变式中所凸显的不变内涵是：只要给出两个独立的条件，就可以求出等差数列的首项和公差，所有的问题变式最终都可转化为能够知道等差数列的首项和公差，就可以写出通项公式了。

总结数学思想方法，以不变应万变是概念性变式教学第二环节的着力点。一节课从知识的层面来说，不变的是等差数列的定义和通项公式；从方法层面来说，不变的是突出基本 2 量的数学思想方法。在四个量a1,d,n,an中，知三必可求一。

（2）概念的复杂外延

我们把概念应用的较大适用范围称之为概念的复杂外延。这也是一个模糊的量化，复杂到什么程度，直到概念应用的边界。如果外延复杂的程度较大就从概念性变式教学过渡到过程性变式教学中去了，概念性变式教学和过程性变式教学的分界在于概念外延中是不是与其他数学知识进行了整合。如果没有和其他知识进行整合，我们还是把这一阶段的变式教学视作为概念性变式教学。

如果把等差数列这节新授课限定在四十分钟的时间内完成，恐怕下面的变式教学就来不及了，但我们不能说，概念性变式教学就完成了。本节课的教学重点是等差数列定义和通项公式的应用。即使在第一节课内来不及完成，我们还要延续到下一节课作进一步的变式。

①已知等差数列某一项和另外两项的和（差、积、商），求数列的通项；

如：在等差数列{an}中，已知a11,a2a46，求数列{an}的通项公式。②已知等差数列两组相邻两项（三项、若干项）的和，求数列的通项；

如：在等差数列{an}中，已知a1a23,a3a46，求数列{an}的通项公式； ③利用等差数列的中项性质，求数列的通项；

如：在等差数列{an}中，已知a1a32,a2a4a66，求数列{an}的通项公式； ④已知等差数列两项的和与两项的积，求数列的通项。

在等差数列{an}中，已知a2a36,a1a55，求数列{an}的通项公式。

以上所作的变式都是停留在通项公式本身应用基础上的训练，没有涉及到和其他知识的整合，这些变式问题在知识层面和方法层面上，与概念的简单外延变式问题所要凸显的不变内涵都是相同的，因此，我们把这一环节作为新授课概念性变式教学的第二个环节，第二环节的变式教学的特征是突出不变的概念内涵，是从总结不变的基础知识和基本的方法为着落点的，因此，第二阶段的教学目标仍然是落实数学的双基教学和训练。在第一环节我们找到了“知识固着点”，在第二环节我们又找到了“方法固着点”，这样的概念性变式教学，使得新授的概念得到牢固的掌握。

能够和等差数列定义和通项公式进行整合的知识点很多，比如后面我们要学习的等差数列的求和公式等，又比如和后面要学习的等比数列的知识进行综合等，当然在这节课里绝对不能出现，因为等差数列的求和公式与等比数列的概念都是我们即将要学习的新授概念。但我们可以出现等差数列定义及通项公式与三角、直线方程、一般函数以及应用问题等知识的整合，但这已经从概念性变式教学过渡到了过程性变式教学了，不属于本文所要探讨的范畴。

三、变换问题，建构概念的内在体系

（1）问题的逆向提出

从逆向思维的角度来理解概念。前面的两个环节都是从正面，概念的“标准状态”来理解的，在第三个环节我们试图从概念的“非标准状态”来理解。

①已知等差数列的通项公式，求首项和公差；

②已知一个数列的通项公式是关于n的一次函数式，判断这个数列是不是等差数列？常数列是不是等差数列；

③已知一个数列的通项公式，判断这个数列是不是等差数列？

如：an1,n1n3,n2,nN2是不是等差数列？ann是不是等差数列？ n*④给出一个递推式，判断这个数列是不是等差数列？

如：数列{an}满足a11,an1ann，这个数列是不是等差数列？

第一和第二个例子，实际上是从等差数列通项公式结论展开的逆向变式，第二个例子实际上是寻找数列通项公式成为等差数列的充要条件。

第三和第四个例子，也是从数列的通项公式出发进行研究的，也是一个思维的逆向过程。实际上是给出了不是等差数列的反例，这在概念性变式教学中，是十分重要的，反例的构造，可以进一步强化学生对概念正面的理解。（2）问题的异化形式

变式教学中有一个重要的理论叫作“马顿理论”，认为新授概念的学习，是和其他知识进行比较和鉴别的过程，“鉴别”和“差异”是这个理论的核心。我们已经从概念的正面和反面进行了比较和鉴别，但还没有从过程性变式教学的角度，把等差数列的定义以及通项公式的学习放到与其他知识的综合环境中加以鉴别和联系，但对于具有异化形式的相近问题，我们可以在新授课概念性变式教学中作出初步的鉴别，鉴别的过程是对差异的进一步认识。

①设数列{an}满足a10且

111，求数列{an}的通项公式；

1an11anan，求数列{an}的通项公式。

12an1}，学生还是能够鉴别出来1an②设数列{an}满足a11，an1第一个问题实际上是鉴别由{an}生成的一个新数列{的。第二个问题有点困难了，需要作如下变形：

12an112，然后再来鉴别。an1anan异化形式的问题比较困难。因此，我们把它放在第三个环节加以呈现，这也是概念性变式教学的重要环节，我们把它设定为新授课概念性变式教学的最后一个环节，我们要把握好异化问题出现的时机，过早出现，适得其反，不利于概念正面的理解，但缺乏这个环节，学生的鉴别能力得不到提高。

整个第三个环节，我们都是从学生思维能力提高的层面提出的，新授概念课教学，不能形成这样的教学模式：先匆忙推出结论，然后举几个例子。例子之间又缺乏关联，这样的教学是不能健全学生完整的知识体系的，不但新学的知识不牢固，而且学到的知识也不成体系。

9.初中数学问题结构性变式教学的实践研究 篇九

甘肃省正宁县第一中学郭永红745300***

摘要：对于高中阶段而言，数学学科的学习具有一定难度，高中数学教师在对学生解题能力方面进行训练时，需要对传统训练方式进行调整，避免通过题海战术等对学生进行训练；变式训练的方法可以对传统解题教学中存在的不足进行改变，并且可以使学生解题训练效果明显提高，为学生减轻压力的同时可以使学生的成绩得到提高，因此已经被我国广大一线教师广泛的应用在教学过程中。关键词：高中；数学；解题教学；变式训练；研究

若想使学生数学学科的成绩得到提高，需要对学生解题能力等方面进行训练，因此高中教师在以往的解题教学中通过为学生布置大量的习题锻炼学生的解题能力，然而这种做法不但无法取得很好的效果，同时也会浪费学生的时间及精力，基于此，教师将变式训练的方法应用到教学工作中，使学生的思维能力得到了很好的锻炼，最终使解题教学达到应有效果。

一、变式训练方法

通过对原有题目内容进行形式的改变，为题目添加一些干扰因素等即为变式题目的设置过程，学生在进行解题时需要对无用的干扰信息进行过滤，从而对问题的本质进行了解并加以分析，最终完成对排除干扰信息后的标准题解答，下面将对训练方法方面内容进行分析：

（一）变式训练中对题设不做过多变动，对问题进行调整

教师利用变式训练对学生解题能力进行训练时，可以不对题设内容做过多变动，仅对问题进行调整，例如，教师为学生布置例题中，给出椭圆方程，然后可以对提出的问题进行调整：第一，根据椭圆方程这一已知条件，让学生求一个点M与F1及F2两个焦点形成的连线成90度；第二，在椭圆方程这一条件未做改动的基础上，对问题进行改进，将问题改变为：当F1MF2大于90度，M点的横坐标所在的区间为？第二点中问题的改变在一定程度上受到了第一点的启发，将直角作为参照，教师在对学生进行解题教学时，可以向学生讲授很多解题方法，其中几何法是比较容易掌握且比较简单的一种；教师通过对学生的变式训练可以使学生对问题中的相关知识进行总结，为解题方面提供更多思路。

除此之外，教师可以对问题进行进一步的延伸，例如在椭圆方程中，将某一

x2y2数值进行调整，但是保证题设的背景未做过多变动，比如将1中的a

ab进行改变，变为n2+1，在原题目中教师要求学生进行坐标的求解，而在变式后教师可以要求学生对n的取值进行求解；教师对学生进行该题目的解题教学变式训练时，可以对学生进行指导，使学生对两者解题方法的统一性进行了解和掌握，保持M与两焦点形成的直线成90度即可求出问题的答案；教师可以使学生加入到问题的编制过程中，对问题的本质不做改动，仅仅改变设问，并且在题目中增加干扰因素使问题难度系数得到提高，最终完成编写工作，而学生通过参与这一过程也会对变式训练、解题技巧等方面有更好的把握，提高学生解题能力。

（二）应用变式训练时将题设与问题都进行一定程度的调整

在上一点中笔者对椭圆相关问题的解题教学进行分析，在保证题设未变的基础上仅对问题进行调整，除上述改动方法外，人们可以对题设进行调整，例如将椭圆变为双曲线，求双曲线上存在一点M，并且M与两焦点形成的直线互成90度角，将问题设置成M点与x轴相距多少？在该类变式训练中，教师在学生原本掌握知识的基础上对问题及解法方面进行分析，使学生的思维能力得到更多锻炼，使学生的潜力被充分发挥；通过解题教学中的变式训练，学生的学习习惯以及探究能力等方面得到锻炼，最终使学生的解题能力及学习成绩得到明显提高。

（三）变式训练中在不改变本质的情况下对表达方式进行调整

高中数学教师在对学生进行解题教学时，可以通过变式训练的方式对学生解题能力进行训练，教师可以对题目中的知识背景不做过多变动，对表达方面的文字描述内容进行调整，下面将就这一方面内容进行举例说明：

存在两个已知点A（-5,0）以及B（3,0），如果存在一个移动的点M（x,y）与两个定点形成的AMB维持在90度，那么M点的轨迹方程是什么？

第一种变式：经过A（-5,0）的动态直线与经过B（3,0）动态直线之间形成90度的直角关系，那么垂足M轨迹为？

第二种变式：存在两个已知点A（-5,0）以及B（3,0），如果存在一个移动的点M（x,y）符合MAMB的关系，那么M轨迹为？

学生需要在变式训练中进行思考，看穿变式及原题之间的本质是相同的，仅仅在表达方面存在一定差异；学生需要将干扰因素进行过滤，了解到以AB作直径的圆即为M点的运行轨迹；在第二个变式中教师可以指导学生使用不同的方式进行求解，从而使学生更好的将知识进行结合，对思维能力方面进行培养，使学生可以利用活跃的思维进行问题的思考；变式训练可以使学生的潜力被最大程度的激发出来，最终使学生创新能力有所提高，使解题教学的效果大幅度提升。结束语：

综上所述，高中教师在对学生进行数学解题方面的教学时，可以通过变式训练等手段对学生进行解题能力的培养，以变式训练取代原有题海战术可以使学生的压力减小，并且可以达到事半功倍的训练效果，使学生的成绩得到提高；本文对变式训练的相关内容进行分析研究，希望相关教学工作者可以对文中内容进行借鉴，使学生的解题能力、思维能力等多方面得到提高，达到解题教学目标。参考文献：

10.初中数学复习变式训练的实践探究 篇十

【关键词】初中数学；变式训练；实践探究

对初中数学的学习，是学生较为系统地接受中学数学知识的开端，在这个过程中，学生数学思维方式和理性分析能力的养成，对其以后的数学知识的学习和思维模式习惯的运用都有很大的影响。在初中数学的复习阶段，学生应该对知识有了较为系统的掌握。在这个过程中，老师运用变式训练的方法来启发学生建立属于自己的解题技巧和解题思路，不仅可以提高学生的学习效率，而且锻炼了学生广阔的思维。

一、初中数学复习变式训练的方法

变式训练，是指老师对课本上的例题或有代表性的习题，运用一法多用、一题多解或一题多变的方法对它们进行形式上的改动或迁移，从而组合成新的题目，进而达到锻炼学生的数学思维方式和理性分析能力。在变式训练中，老师最常用的方法主要包括：一题多解、一法多用、一题多变以及开放题这四种方法。下面，本文就对前三种常用的方法进行简单的分析。

1.一题多解

主要指在对题目进行多角度、多侧面分析的前提下，通过对题目中的条件和学过的概念、原理进行不同的组合和建模，从而找出多种不同的解题方法。这种训练方法所蕴含的信息量特别大，学生对该方法的掌握能加深对所学知识点的系统性的理解。例如，通过添加常数项的方式进行因式分解，原式=x3+3x2-12x+8=（x+2）（x2-2x+4）+3（x-2）（x+2）=（x+2）（x2+x-2）=（x-1）（x+2）2。对它的另一种解法为，原式=x3-x2+4x2-4=x2（x-1）+4（x-1）（x+1）=（x-1）（x+2）2。这样就实现了对一个题目的多种解答。

2.一法多用

该方法主要指一种解题思路或方法能够解决多个同类型的题目，学生对该方法的熟练掌握，能促使学生建立认知体系，从而做到触类旁通，举一反三。例如，对题目“3x-（2a-3）=5x+（3a+6）的解为负数，试求实数a的取值范围。”的变式“已知二元一次方程组5x+3y=26与x+y=a的解大于0，求a的取值范围”，可以看出，两个题目都是求参数的取值范围，虽然一个是等式一个是方程组，但解题思路是一样的。学生可以通过对一法多用的掌握，举一反三。

3.一题多变

一题多变主要指对题目中的信息和条件进行变式，从而达到虽然题目的叙述发生了很大变化，但解题的思路和所运用到的概念、原理等知识点却一致的目的。初中数学考试大多都是对例题或是经典习题进行变式，学生掌握该方法后，能从很大程度上了解出题者的意图，从而提高学习效率。例如，在初中几何的学习过程中，梯形、平行四边形、正多边形等图形，都有很多平行、垂直、对角、等边的特征，在具体的图形中，通过对限定条件或是关键信息的改变，就会形成一个完全不同的题目。但通过仔细的分析还是会发现它们在对原理的考查上没有什么不同。

二、初中数学复习变式训练的意义

初中数学复习进行变式训练的意义，对学生而言，表层意义是促进了他们学习成绩和学习效果的提高、学习方法和解题思路的掌握，深层意义是促进了学生思考习惯、思维模式以及分析能力的提高。

1.能让学生加深对数学概念、原理的理解

概念和原理都具有高度的概括性，学生在刚接触时，由于知识的欠缺很难对它完全掌握，在数学复习阶段，在老师不断将这三种方法与具体例题相结合的训练中，学生会逐渐加深对概念的理解及其应用范围。对原理、概念的掌握是初中数学学习的基础，也是学生熟练进行解题运算的关键，所以，变式训练在复习阶段的原理概念方面的应用，能为学生打下良好的基础。

2.能让学生提高解题能力和解题方法

对数学知识的学习，不应该仅仅停留在知识的层面，还必须学以致用，尤其是在数学复习阶段，学生应该从很大程度上形成自己的解题方法和答题技巧。老师在对初中数学进行全面复习的过程中，关键是对全书知识点、解题思路和答题技巧的梳理，学生如果掌握情况良好的话，可以节约很多复习时间。

3.能促进学生数学思维模式的转变

对初中数学知识进行周期性、阶段性的复习，能让学生的数学思维模式得到周期性的加深和强化。初中学生在刚接触初中数学时的思维模式必定与复习阶段的思维模式存在很大差别，这种模式发生转变的原因主要在于，随着知识量的不断增加，老师会将初中数学所学过的知识点进行汇总，并在此基础上结合变式训练的方法，让学生温故而知新，达到思维模式上的周期性突破。

为了在提高初中生数学成绩的同时，促进他们数学思维模式和理性分析能力的培养，老师必须在教学过程中加强对学生这方面的引导和强化。变式训练的运用，能让学生在复习阶段，全面了解数学题目的设计技巧，在对方法透彻理解的情况下，学会从多角度、多侧面分析问题，触类旁通，举一反三。掌握初中数学的学习方法，不仅能使学生提高学习效率，还能培养学生对数学的学习兴趣。

参考文献：

[1]刘长春，张文娣.中学数学变式教学与能力培养[M].上海：上海出版社，2006

[2]耿秀荣.数学变式教学的理论框架及其实验研究[J].牡丹江教育学院学报，2009（01）

[3]刘健.变式教学中习题引申应注意的几个问题[J].中学数学教学参考，2002 （05）

作者简介：

11.初中数学问题结构性变式教学的实践研究 篇十一

学生创新思维能力的形成,是在多种知识积累和能力发展的基础上发展起来的,是各种能力的综合反应。学生创新能力的培养,旨在培养他们的创新学习精神、创新学习意识、创新学习思维、创新学习技巧及方法。

初中阶段,是思维最为活跃的阶段之一。学生的求知欲最为强烈,并且理解能力和学习能力是最为活跃的,因此,对初中学生进行创新能力的培养,从某种意义上来讲,是最有成效的。而数学是一门应用广泛、最能培养创造性思维和问题解决能力的基础课程,其在培养学生的创新能力上具有独特的优势。因此,应当注重在初中数学教学中,将培养学生的创新能力放在突出的位置上,以适应转型时代发展的需要。

在整个初中数学过程中,怎样来培养学生的创新能力?笔者的做法是:在数学的题解过程中,通过“变式训练”来培养学生的创新思维能力。

1、选题。变式训练的题目要具有代表性,能包容大部分所学知识点,不能过于复杂,但也不能流于简单。过难挫伤学生研究学习的积极性,过于简单学生没有兴趣,这一步对激发学生的学习研究兴趣很重要。

例如,如图，AE＝DB，∠A＝∠D，∠C＝∠F，求证：AC＝DF

证明：在△ABC和△DEF中

∵AE＝DB，∴AB＝DE，又∵∠A＝∠D，∠C＝∠F ∴ △ABC≌△DEF

∴ AC＝DF

变式训练1：如图，AE＝DB，AC＝DF，∠A＝∠D，求证：∠C＝∠F

变式训练2：如图，∠C＝∠F，AC＝DF，∠A＝∠D，求证： AE＝DB，变式训练3：如图，AE＝DB，AC∥DF，BC∥EF，求证：AC＝DF

通过这一例题的教学,不仅能使学生掌握新知识，还能起到复习巩固旧知识的作用，使学生对证明线段（角）相等的方法有了更进一步的明确，同时能活跃课堂气氛，使学生对数学学习产生浓厚的兴趣，也培养了学生的一种钻研精神，使学生在思考问题上具有灵活性、多变性，避免了学生在几何证明中钻死胡同的现象，所以教师在教学过程中，要重视“变式训练”的教学，特别在备课中要根据教学内容、学生情况适当地进行教材处理和钻研，要对知识进行横向和纵向联系，这堂课才能做到丰富多彩。

2、要注意培养发散思维。发散思维是指从同一来源材料探求不同答案的思维过程。它具有流畅性、变通性和创造性的特征。加强发散思维能力的训练是培养学生创造思维的重要环节。根据现代心理学的观点,一个人创造能力的大小,一般来说与他的发散思维能力是成正比例的。在教学中,要通过一题多变、一题多思等培养学生的发散思维能力。

问题一：下图，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上．

(1)设长方形的一边AB＝x m，那么AD边的长度如何表示？(2)设长方形的面积为y m2，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？

分析：(1)要求AD边的长度，即求BC边的长度，而BC是△EBC中的一边，因此可以用三角形相似求出BC．由△EBC∽△EAF，得＝3(40－x)． 4EBBC40xBC即．所以AD＝BCEAAF40303(2)要求面积y的最大值，即求函数y＝AB·AD＝x·(40－x)的最大值，就转化为数学

4问题了．

将问题一变式：“设AD边的长为x m，则问题会怎样呢？” 对问题一再变式：如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中点A和点D分别在两直角边上,BC在斜边上。(1)、设矩形的一边BC=xm,那么AB边的长度如何表示？(2)、设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少?

MB30AmCOD40mN从上例可以看出,学生对选题很感兴趣,思维活跃,勇于探究,学习效果很明显。“变式训练”和“一题多变”的教学是加深和巩固所学知识的有效途径和方法，充分运用学过的知识，从不同的角度思考问题，采用多种方法解决问题，这有利于学生加深理解各部分知识间的纵、横方向的内在联系，掌握各部分知识之间的相互转化。提高学生应用所学的基础知识与基本技能解决实际问题的能力，逐步学会举一反三的本领，并培养学生创新思维能力。

作 者：杜兆逵