动点轨迹问题

动点轨迹问题（精选6篇）

1.动点轨迹问题 篇一

高一数学平面动点的轨迹说课稿

本节课是高中数学第二册第七章《曲线和圆的方程》第五节《曲线和方程》，这是一节教学研讨课，是在大力提倡改革课堂教学模式、提高课堂效益、开发学生智力等多方面能力的前提下开设的，目的是努力寻求一种全新的课堂教学模式，能够让信息技术和数学课本知识有效的融合在一起，让学生知道，学习数学，不仅仅是做题目，而且是研究题目，提高了学生的学习数学的兴趣。

一、教材分析

《平面动点的轨迹》这部分内容从理论上揭示了几何中的“形”与代数中的“数”相统一的关系，为“作形判数”与“就数论形”的相互转化开辟了途径，同时也体现解析几何的基本思想。轨迹问题具有深厚的生活背景，求平面动点的轨迹方程涉及集合、方程、三角平面几何等基础知识，其中渗透着运动与变化、数形结合的等思想，是中学数学的重要内容，也是历年高考数学考查的重点之一。

二、对数学目标的阐述

“以知识为载体，注重学生的能力、良好的意志品质及合作学习精神的培养”是本教学设计中贯穿始终的一个重要教学理念。为此本课的知识目标设定为三条：

（1）了解解析几何的基本思想、明确它所研究的基本问题

（2）了解用坐标法研究几何问题的有关知识和观点

（3）初步掌握根据已知条件求曲线方程的方法，同时进一步加深理解“曲线的方程、方程的曲线”的概念。

三、对学生能力目标的培养

本节课的设计着眼点是让学生集体参与、主动参与，培养学生动手、动脑的能力，鼓励多向思维、积极活动、勇于探索。知识的学习和能力的提高是同步的，从本课的设计不难看出对学生能力目标是：通过自我思考、同桌交流、师生互议、实际探究等课堂活动，获取知识。同时，培养学生探究学习、合作学习的意识，强化数形结合、化归与转化等数学思想，提高分析问题、解决问题的能力。

四、对学生个性品质和情感教育的培养

设计者试图利用动画演示轨迹的形成过程，使课堂气氛活跃，让学生感受动点轨迹的动态美，使课堂教学内容形象化，从而激发学生学习数学的兴趣和学好教学的信心。而鼓励学生积极思考、勇于探索，培养学生良好的意志品质，树立竞争意识与合作精神，感受合作交流带来的成功感，树立自信心，激发提出问题和解决问题的勇气则是本节课要达成的个性品质和情感目标。

五、关于教学方法与教学法手段的选用

新课程强调教师要调整自己的角色，改变传统的教育方式，教师要由传统意义上知识的传授者和学生的管理者，改变成为以学生为中心，让学生真正成为学习的`主人而不是知识的奴隶，基于此，根据本节课的教学内容和学生的实际水平，采用的是引导发现法和计算机软件——《几何画板》实验辅助教学。

六、、关于教学程序的设计

1、创设情景，引入课题

平面解析几何的核心是“坐标法”，用代数的方法研究几何图的性质。主要包括两个部分：求曲线的方程；通过研究方程研究曲线的性质。在传统的教学中，动点并不动。《几何画板》的特点是“动”。可以在动态中观察数学现象，探究几何图形的性质。在《几何画板》支持下，“动点”真的动起来了。在动态中观察，观察变动中不变的规律触及到问题的本质，可以更好地让学生参与到教学过程中来。让学生动手操作，发现数学规律。

例 1、已知点P是圆上的一个动点，点A是X轴上的定点，坐标是（12、0）当点P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹是什么？

第一步：让学生借助画板动手探究轨迹

第二步：要求学生求出轨迹方程、验证轨迹

解法一：设M（x,y）则，由点p是圆上的点得，，化简得：

2、问题提出，引入新课

例2、已知B是定圆A内一定点，C是圆上的动点，L是线段BC的垂直平分线。交点为P，M为L与直径CD的交点，当点C在圆上运动时，探索直线L上哪个点的运行时椭圆？

设计意图：借助数学实验，把原本属于教师行为的设疑激趣还原于学生，让学生自己在实践过程中发现疑问，更容易激发学生学习的热情，促使他们主动发现、主动学习。

第一步：分解动作，向学生提出几个问题：

问题1：当点C在圆上运动时，直线 围成一个椭圆，上哪个点在这个椭圆上？（为什么）注意观察点P与点M

问题2：CD是圆A的直径，直线L与CD交于M，求M的轨迹方程。

问题3、改变点B的位置，当点B在圆外时，你的结论该做怎样的修改呢？

学生活动：第一步：利用网络平台展示学生得到的轨迹（教师有意识的整合在一起）

第二步：课堂完成学生归纳出来的问题1，问题2和3课后完成。

整个教学过程，体现了四个统一：既学习书本知识与投身实践的统一、书本学习与现代信息技术学习的统一、书本知识与资源拓展的统一、课堂学习与课外实践的统一。本节课学生精神饱满、兴趣浓厚、合作积极，与教师保持良好的互动，还不时产生一些争执，给我提出了一些新的问题，折射出我不足的方面，促进了我的进步与提高，师生间的教与学就像一面镜子，互相折射，共同进步。

通过本节课的学习，学生不仅掌握了动点轨迹的求法，而且通过作图掌握了《几何画板》这个软件，通过方程的推导，更加熟悉了动点轨迹的求法，而且通过作图掌握了几何的基本思想“以数论形，数形结合”，提高了运用数形结合、等价转化等数学思想方法解决问题的能力，通过思路的探索和轨迹方程的推导，学生的思维品质得以优化，学会辩证地看待问题，享受了数学的美。

2.动点轨迹问题 篇二

例1已知O是平面上一定点, A, B, C是平面上不共线的三个点, 若动点P满足, 则点P的轨迹一定通过△ABC的 () .

A.外心B.垂线C.内心D.重心

解析由已知得所在直线必过BC边的中点, ∴点P也必在BC边的中线上, ∴点P的轨迹一定通过△ABC的重心.故选D.

例2已知A, B, C是坐标平面内的不共线的三点, O是坐标原点, 动点P满足, (λ∈R) , 则点P的轨迹一定经过△ABC的 () .

A.内心B.垂心C.外心D.重心

解析令λ=0, 则, P为△ABC的重心.故选D.

例3, O是平面上一定点, A, B, C是平面上不共线的三个点, 动点P满足, λ∈[0, +∞) , 则点P的轨迹一定通过△ABC的 () .

A.外心B.内心C.重心D.垂心

解析如图1所示, ∵

则, 即是平行四边形的对角线,

又, ∴四边形ADQE为菱形.

∴Q在∠CAB的平分线上.

∵, ∴点P在∠CAB的平分线上.

故P点的轨迹过△ABC的内心.故选B.

例4已知O是平面上一定点, A、B、C是平面上不共线的三个点, 动点P满足, λ∈[0, +∞) , 则P点的轨迹一定通过△ABC的 () .

A.重心B.垂心C.内心D.外心

解析由已知等式可知, 在等式两边同时乘, 即, ∴AP⊥BC.故P点的轨迹一定通过△ABC的垂心.故选B.

例5 O为△ABC所在平面内的一个定点, 动点P满足, λ∈[0, +∞) , 则P点的轨迹一定通过△ABC的 () .

A.重心B.垂心C.内心D.外心

解析如图2所示, 取BC的中点D,

由已知条件可得:

两边同乘向量, 取数量积得, ∴DP⊥BC, 所以DP是BC边上垂直平分线, 所以P点的轨迹一定通过△ABC的外心.故选D.

在平面几何中学习过的三角形“四心”的基础上, 从平面向量视角研究三角形的“四心”, 考查学生把平面向量知识与三角形的一些基本知识和基本理论相结合的能力, 同时提高学生综合运用数学知识解决问题的基本能力, 引导学生继续探索向量在中学数学中的应用, 并激发和培养学生探索精神和创新意识.

摘要：平面向量是高中数学新课程教材中新增的内容, 平面向量在中学数学代数、几何各方面广泛应用.在向量问题解答中应将平面向量基本知识和三角形的基本知识相结合, 找出更好的解题方法.

3.空间动点轨迹的求解策略 篇三

一、 直觉法

直觉法就是根据试题的结构特征，对动点的位置进行分析，从而排除题目中的选项，得出正确答案.通常要取特殊点、特殊图形、特殊数字加以分析，有的情况需要进行不止一次的尝试方能得出答案.

例1 （2008年浙江卷）如图1，AB是平面α的斜线段，A为斜足，若点P在平面α内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（ ）



图1

A 一个圆 B 一个椭圆

C 一条直线 D 两条平行直线

解析采取排除法.直线是不可能的，因为在无穷远处，点到直线的距离为无穷大，故面积也为无穷大，从而排除C与D.又题目在“斜线段”下标注重点符号，试着改成“垂线段”来处理，则轨迹为圆.故剩下的椭圆即为答案，选B.

图2

解题回顾本题其实就是一个平面斜截一个圆柱的问题（如图2），注意截面与圆柱的轴线所成的角不同时，得到的截面形状也不同.由平面与圆柱的截面的性质判断，可得点P的轨迹为椭圆.

二、 定义法

许多空间动点的轨迹问题的求解都要利用化归思想，先将空间的动点问题转化为几何体的某一个侧面或底面上的动点问题，再利用圆或圆锥曲线的各种定义进行判断，从而得出动点的轨迹.

图3

例2 （2004年北京卷改编）如图3，在正方体ABCDA1B1C1D1的侧面AB1内有一个动点P到直线A1B1的距离是到直线BC的距离的2倍，则动点P的轨迹为（ ）

A 圆的一部分（弧）

B 椭圆的一部分 

C 双曲线的一部分

D 抛物线的一部分

解析由题意知在正方体ABCDA1B1C1D1的侧面AB1内有一个动点P到直线A1B1的距离是到点B的距离的2倍，符合椭圆的第二定义，所以动点P的轨迹是椭圆的一部分.故选B.

解题回顾本题是基础题，解题的关键是利用BC⊥侧面AB1，将点P到直线BC的距离转化为PB的长.

图4

例3 已知P是正四面体SABC的面SBC上一点，点P到面ABC的距离与到点S的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（ ）

A 圆 

B 离心率为223的椭圆 

C 离心率为3的双曲线

D 抛物线

解析设正四面体SABC的棱长为2a，取BC的中点D，则AD=SD=3a，且∠ADS是二面角ABCS的平面角.先求出cos∠ADS，再求出sin∠ADS.从而可将点P到平面ABC距离与到点S的距离相等转化成点P到点S的距离与到直线BC的距离之比是一个常数.

图5

在△ADS中，有4a2=3a2+3a2-2×3a2cos∠ADS，所以cos∠ADS=13，所以sin∠ADS=223.

如图5，过P作PO1⊥平面ABC，垂足为O1，过P作PE⊥BC，垂足为E，连结O1E，则O1E⊥BC，所以∠O1EP也是二面角ABCS的平面角，所以有sin∠O1EP=223.

在Rt△PO1E中，O1PPE=sin∠O1EP=223,故PSPE=O1PPE=223＜1.由椭圆的第二定义，知动点P的轨迹所在的曲线是椭圆.故选B.

解题回顾本题主要考查立体几何与圆锥曲线知识的综合运用能力，具体涉及轨迹方程的求法及二面角、余弦定理与椭圆的第二定义等相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化.

三、 推理法

有的试题无法利用直觉法或定义法求解，但可通过分析动点的特征，发现动点的变化引发出一个平面或直线与另一个平面或直线的位置关系，于是动点的轨迹问题就转化为空间中直线与平面、平面与平面的位置关系问题，再利用公理、判定定理与性质定理等推证出动点的轨迹.

例4 （2006年北京卷）平面α的斜线AB交α于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交α于点C，则动点C的轨迹是（ ）

A 一条直线 B 一个圆

C 一个椭圆 D 双曲线的一支

图6解析如图6，设l与l′是动直线的两个任意位置，则这两条直线确定一个平面β，且α的斜线AB⊥β.由过直线上一点有且只有一个平面与这条直线垂直，可知过定点A且与AB垂直的所有直线在且都在这个平面内，故动点C在且都在平面β与平面α的交线上，故选A.

说明无独有偶，2008年高考湖南卷中本题再次出现：

平面α的一条斜线l与平面α交于点P，Q是l上一定点，过点Q的动直线m与l垂直，那么m与平面α交点的轨迹是（ ）

A 一条直线B 一个圆

C 一个椭圆 D 一条抛物线

例5 已知点P是棱长为2的正八面体的一个对角面上的一个动点，若P到不在该对角面上的一个顶点的距离是到在该对角面上的某个顶点的距离的2倍，则动点P的轨迹是（ ）

A 圆（弧）的一部分 

B 抛物线的一部分

C 双曲线的一部分

D 椭圆的一部分

图7解析如图7，设不在该对角面上的一个顶点为A，在该对角面上的某个顶点为B.若点P到点A的距离为点P到点B的距离的2倍，由平面上到两个定点的距离之比是定值的点的轨迹为一个圆，知点P的轨迹为一个球.又点P是正八面体的一个对角面上的一个动点，该对角面截上述球所得的轨迹为一个圆.故选A.

四、 解析法

如果题目中的几何体是长方体、正方体、三条棱两两互相垂直的三棱锥等，我们可以考虑建立平面（或空间）直角坐标系，找出相关的几何等量关系，建立平面上动点的坐标x，y之间的关系式，从而得到动点的轨迹方程，这就是解析法.

例6 已知正方体ABCDA1B1C1D1棱长为2，M为AB的中点，P是底面ABCD上的动点，且满足条件PD1=3PM，则动点P在底面ABCD上形成的轨迹是（ ）

A 圆 B 椭圆

C 双曲线 D 抛物线

解析在底面ABCD上建立平面直角坐标系，设出点P的坐标，写出点M的坐标，根据正方体的性质，利用两点之间的距离公式，写出等式PD1=3PM中涉及的线段的长，代入该等式并整理出关于x，y的方程.

以DA为x轴，DC为y轴建系，故M（2，1），设P（x，y），故PD1=x2+y2+4，PM=（x-2）2+（y-1）2，再代入PD1=3PM，化简得x-942+y-982=7764，故点P的轨迹是圆.故选A.

4.动点轨迹问题 篇四

【学情分析】

动点一般在中考都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路。动点类题目一般都有好几问，前一问大都是后一问的提示，就像几何探究类题一样，如果后面的题难了，可以反过去看看前面问题的结论 【教学目标】

知识与技能：

1、利用特殊三角形的性质和定理解决动点问题；

2、分析题目，了解有几个动点，动点的路程，速度（动点怎么动）；

3、结合图形和题目，得出已知或能间接求出的数据。

过程与方法：

1、利用分类讨论的方法分析并解决问题；

2、数形结合、方程思想的运用。

情感态度价值观：通过动手操作、合作交流，探索证明等活动，培养学生的团队合作精神，激发学生学习数学的兴趣。【教学重点】

根据动点中的移动距离，找出等量列方程。【教学难点】

1、两点同时运动时的距离变化；

2、运动题型中的分类讨论 【教学方法】教师引导、自主思考 【教学过程】

一、动点问题的近况：

1、动态几何

图形中的点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题.它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题.这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力.动态几何特点－－－－问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）它通常分为三种类型：动点问题、动线问题、动形问题。在解这类问题时，要充分发挥空间想象的能力，不要被“动”所迷惑，而是要在“动”中求“静”，化“动”为“静”，抓住它运动中的某一瞬间，寻找确定的关系式，就能找到解决问题的途径。本节课重点来探究动态几何中的第一种类型----动点问题。所谓动点问题：是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放新题目。

2、三年中考概况；

近年来运动问题是以三角形或四边形为背景，用运动的观点来探究几何图形变化规律的问题．这类题的特点是：图形中的某些元素(如点、线段、角等)或整个图形按某种规律运动，图形的各个元素在运动变化过程中相互依存，相互制约．

3、解题策略和方法：

“动点型问题” 题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。解决动点问题的关键是“动中求静”.动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。

从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

4、动点问题所用的数学思想：

解决运动型问题常用的数学思想是方程思想，数学建模思想，函数思想，转化思想等；常用的数学方法有：分类讨论法，数形结合法等。

二、探究新知

1、一个动点：图形中一个动点所形成的等腰三角形 【自主探究】

例

1、如图：已知平行四边形ABCD中，AB=7，BC=4，∠A=30°(1)点P从点A沿AB边向点B运动，速度为1cm/s。

若设运动时间为t(s)，连接PC,当t为何值时，△PBC为等腰三角形？

分析：若三角形PBC为等腰三角形

则PB=BC

7-t=4

t=3

ADCB温馨提示：等腰三角形的性质：腰相等、底角相等、三线合一

教师活动：利用几何画板进行动态演示，在某一时刻静止，让学生观察图形的特点，利用等腰三角形的性质解决问题。

学生活动：仔细观察几何画板中图形的运动过程，在静止时刻时，图形的特点，将相关线段用含有t的式子表示出来，从而列出方程。归纳方法：

1、定图形；

2、t已知；

3、列方程。

【合作探究】

变式：若点P从点A沿射线AB边向点B运动，速度为1cm/s。当t为何

DC值时，△PBC为等腰三角形？

AB学生活动：小组合作探究点P在射线上运动所形成几种情况，在利用（1）中得到方法。尽可能的将画出静止时的图形，从而解决问题。教师活动：利用几何画板展示几种情况。

2、两个动点：图形中有两个动点的情况。【自主探究】

例2：:如图．△ABC中AB=6cm，BC=4cm，∠B=60°，动点P、Q分别从A、B两点同时出发．分别沿AB、BC方向匀速移动；它们的速度分别为2cm/s和1cm/s．当点P到达点B时．P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s）．当t为 ______时，△PBQ为直角三角形．

P8师：

1、根据刚才的方法，请同学们试着画出静态图形，注意两个动点的速度问题。（两名学生在黑板上板演）

2、用代数式表示图中有用的线段：AP=2t,BQ=t,所以：BP=6-2t。（学生讲解）

3、找出等量关系（三角函数关系），构建方程模型。

温馨提示：含有30度的直角三角形的性质；

教师活动：利用几何画板演示动态图形，让学生能感知静态时的图形。学生活动：画出静态时的图形，并试着列出方程。

【变换拓展】

4（2014•新疆）如图，直线x8与x轴交于A点，与y轴交于B点，动

3点P从A点出发，以每秒2个单位的速度沿AO方向向点O匀速运动，同时动点Q从B点出发，以每秒1个单位的速度沿BA方向向点A匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t≤3）．

（1）写出A，B两点的坐标；

（2）设△AQP的面积为S，试求出S与t之间的函数关系式；并求出当t为何值时，△AQP的面积最大？（3）当t为何值时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABO相似，并直接写出此时点Q的坐标．

考点：一次函数综合题 专题：压轴题 分析：（1）分别令y=0，x=0求解即可得到点A、B的坐标；

（2）利用勾股定理列式求出AB，然后表示出AP、AQ，再利用∠OAB的正弦求出点Q到AP的距离，然后利用三角形的面积列式整理即可得解；（3）根据相似三角形对应角相等，分∠APQ=90°和∠AQP=90°两种情况，利用∠OAB的余弦列式计算即可得解．

师：对于第一道题快速解决即可。

解：（1）令y=0，则﹣x+8=0，解得x=6，x=0时，y=y=8，∴OA=6，OB=8，∴点A（6，0），B（0，8）；

师：对于第二道题只需求解出三角形APQ的高，做出图形的高，发现三角形APQ 与三角形AOB是相似三角形，利用相似比解决问题，得出高后，利用三角形面积公式表示出S与t的关系式，发现是一个开口向下的抛物线，顶点是（5,20），注意自变量t的取值范围，再求解最大面积。此题对学生进行一定的引导。

（2）在Rt△AOB中，由勾股定理得，AB=

=

=10，记点Q到AP的距离为h ∵点P的速度是每秒2个单位，点Q的速度是每秒1个单位，∴AP=2t，AQ=AB﹣BQ=10﹣t，而三角形APQ与三角形AOB相似，∴hAQh10t ∴ ∴h=（10﹣t）OBAB810

22∴△AQP的面积S=×2t×（10﹣t）=﹣（t﹣10t）=﹣（t﹣5）+20，∵﹣＜0，顶点为（5,20）而0＜t≤3，∴当t=3时，△AQP的面积最大，S最大=﹣（3﹣5）+20=

2；

师：对于第三题：让学生讲解画图——引导其讲解等量关系是：三角形相似比——列出方程。

（3）若∠APQ=90°，则cos∠OAB=∴解得t==，，若∠AQP=90°，则cos∠OAB=∴解得t==，∵0＜t≤3，∴t的值为，=，）×=），），此时，OP=6﹣2×PQ=AP•tan∠OAB=（2×∴点Q的坐标为（综上所述，t=，秒时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABO相似，此时点Q的坐标为（点评：本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数与坐标轴的交点的求法，三角形的面积，二次函数的最值问题，相似三角形对应角相等的性质，锐角三角函数，（2）要注意根据t的取值范围求三角形的面积的最大值，（3）难点在于要分情况讨论

三、课堂小结

本节课主要探究了动态几何中的动点问题，其实是在动中求静，抓住它运动中的某一瞬间，寻找确定的关系式，就能找到解决问题的途径，总结：定图形、t已知、列方程。

5.动点轨迹问题 篇五

知识与技能:

几何图形的折叠与动点问题

过程与方法:

让学生经历求几何图形的折叠与动点问题探索过程,理解几何图形的折叠与动点问题的求法

情感态度与价值观:

进一步培养数型结合方法研究问题

教学重点：

几何图形的折叠与动点问题

教学难点：

几何图形的折叠与动点问题的有关计算

教学模式：

三疑三探

学法：

自学

合作

探究

教学设计

设疑自探(10分钟)

(一)创设情境, 导入新课

我们学习了哪几种类型的几何图形的折叠与动点问题求法 它们又有哪些性质和联系

(二)根据课题,提出问题.看到这个课题,你想知道什么 请提出来,预设:自主学习,合作探究

多媒体展示(让学生先独立计算几何图形的折叠与动点问题,通过观察找出解法,然后同桌交流)

对照问题 总结规律

巩固练习

(积极参与探索图像之间的位置能否通过适当的变换得到,多和同学交流,并虚心才拿别人合理的意见)

(三)出示自探提示,组织学生自探(20分钟)

6.中考动点问题类型及解题策略 篇六

一、了解动点问题

所谓“动点问题”是指题设图形中存在一个或多个动点, 它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目. 解决这类问题的关键是动中求静, 灵活运用有关数学知识解决问题.

二、动点问题的类别与解题策略

动点问题按动点的个数分类可以分为: 一个动点问题、两个动点问题、多个动点问题. 按运动轨迹分类可以分为:直线上的动点问题、曲线 (比如抛物线、圆) 上的动点问题、平面上的动点问题.

动点问题一直是中考热点, 近几年考查探究运动中的特殊性, 如等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值. 下面就此问题的常见题型作简单介绍, 关键给以点拨.

(一 ) 三角形边上动点

例1 (2012贵州遵义) 如图1, △ABC是边长为6的等边三 角形 , P是AC边上一动点, 由A向C运动 (与A, C不重合 ) , Q是CB延长线上一点 , 与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动 (Q不与B重合) , 过P作PE⊥AB于E, 连接PQ交AB于D.

(1) 当∠BQD = 30°时 , 求AP的长 ;

(2) 运动过程中线段ED的长是否发生变化 ? 如果不变 , 求出线段ED的长;如果变化, 请说明理由.

考点动点问题, 等边三角形的性质, 全等三角形的判定和性质, 含30°度角的直角三角形的性质.

分析 (1) 由△ABC是边长为6的等边三角形, 可知∠ACB = 60°, 再由∠BQD = 30°, 可知∠QPC = 90°, 设AP = x, 则PC = 6 - x, QB = x, 在Rt△QCP中 , ∠BQD = 30°, PC =1/2QC, 即6 - x =1/2 (6 + x) , 解得x = 2.

(2) 作QF⊥AB, 交线段AB的延长线 于点F, 连接QE, PF, 由点P, Q做匀速运动且速度相同 , 可知AP = BQ, 再根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF, 再由AE = BF, PE = QF且PE∥QF, 可知四边形PEQF是平行四边形 , 进而可得出EB + AE = BE + BF = AB, DE =1/2AB, 由等边三角形ABC的边长为6可得出DE = 3, 故当点P, Q运动时 , 线段DE的长度不会改变.

(二 ) 四边形边上动点

例2 (2011贵州遵义) 如图2, 梯形ABCD中, AD∥BC, BC = 20 cm, AD =10 cm, 现有两个动点P, Q分别从B, D两点同时出发, 点P以每秒2 cm的速度沿BC向终点C移动, 点Q以每秒1 cm的速度沿DA向终点A移动 , 线段PQ与BD相交于点E, 过E作EF∥BC交CD于点F, 射线QF交BC的延长线于点H, 设动点P, Q移动的时间为t (单位:s, 0 < t < 10) .

(1) 当t为何值时 , 四边形PCDQ为平行四边形 ?

(2) 在P, Q移动的过程中 , 线段PH的长是否发生改变 ?如果不变, 求出线段PH的长;如果改变, 请说明理由.

考点动点问题, 相似三角形的判定与性质, 平行四边形的性质, 梯形.

分析 (1) 如果四边形PCDQ为平行四边形, 则DQ = CP, 根据P, Q两点的运动速度, 结合运动时间t, 求出DQ, CP的长度表达式, 解方程即可.

(2) PH的长度不变 , 根据P, Q两点的速度比 , 即可推出QD∶BP = 1∶2, 根据平行线的性质推出三角形相似 , 得出相似比, 即可推出PH = 20.

(三 ) 抛 物线上动点

例3 (2010贵州遵义 ) 如图3, 已知抛物线y = ax2 + bx + c (a≠0) 的顶点坐标为Q (2, -1) , 且与y轴交于点C (0, 3) , 与x轴交于A, B两点 (点A在点B的右侧) , 点P是该抛物线上一动点, 从点C沿抛物线向点A运动 (点P与点A不重合) , 过点P作PD∥y轴, 交AC于点D.

(1) 求该抛物线的函数关系式 ;

(2) 当△ADP是直角三角形时 , 求点P的坐标 ;

(3) 在问题 (2) 的结论下 , 若点E在x轴上 , 点F在抛物线上, 问:是否存在以A, P, E, F为顶点的平行四边形? 若存在, 求点F的坐标;若不存在, 请说明理由.

考点动点问题, 抛物线, 直角三角形, 四边形.

分析 (1) 将Q (2, -1) , C (0, 3) 分别代入y = ax2 + bx + c (a≠0) 中即可确定a的值 , 然后配方后即可确定该抛物线的函数关系式.

(2) 分两种情 况 : 当点P1为直角顶 点时 , 点P1与点B重合;当点A为△APD2的直角顶点时, 分别计算得P1 ( 1 , 0 ) , P2 ( 2, -1) .