柯西不等式与排序不等式练习题

柯西不等式与排序不等式练习题（精选12篇）

1.柯西不等式与排序不等式练习题 篇一

学科

数学

课型

习题课

课时

15-16课时

课题

解集与区间

班级

高一

教材

山东省中等职业教育规划教材《数学》（第一册）

教学 目标

知识目标

理解区间概念，掌握用区间表示不等式解集方法，并能在数轴上表示出来．

能力目标

培养学生观察、分析、比较的能力，并初步掌握对比的思想方法；

情感目标

在本节课的教学过程中，渗透数形结合的思想，并使学生初步学会运用数形结合的观点去分析问题、解决问题.教学 重点

用区间表示数集

教学用具

多媒体教学自制课件

教学 难点

对无穷区间的理解．

2.2.2不等式的解集与区间 学习目标：

1、了解不等式的解集及一元一次的概念，会解次一元一次不等式

2、掌握一元一次不等式组的解集的概念，会解一元一次不等式组

3、理解并掌握闭区间、开区间、半开半闭区间的表示方法。了解什么是端点。学习重、难点：1.求解一元一次不等式；

2.求解一元一次不等式组；

3.闭区间、开区间、半开半闭区间的表示。自主学习：1.解下列不等式（组），并复述出解不等式的步骤过程。（1）（2）

2.概念总结：

（1）不等式的解集：

___________________________________________ ；

(2)不等式的解集一般可用________________________来表示；

（3）解不等式：_____________________________________________________.(4)一元一次不等式：___________________________________________________________;一元一次不等式组：___________________________________________________________。区间：设，且，则： 满足__________________________________，叫做闭区间，记作__________;(2)满足__________________________________，叫做开区间，记作__________;满足__________________________________，叫做半开半闭区间，记作__________;（4）a 与b叫做区间的________, 在数轴上表示区间时,端点属于这个区间,用_________表示,不属于这个区间,用__________表示.(5)实数集R,也可用区间表示为________,符号"+ ∞”读作_______, 符号”-∞”读作_______.满足的全体实数，可记作_________;满足的全体实数，可记作_________;满足的全体实数，可记作_________;满足的全体实数，可记作_________;典型例题

例1

解不等式。

试一试：解方程，你发现了什么？ 例2

解不等式组

例3.用区间记法表示下列不等式的解集：（2）

例4.用集合的性质描述法表示下列区间，并在数轴上表示：（2）

小结：不等式的解集一般可用_______和______________表示。当堂检测：课本30页练习2-3 总结反思：1.本节课你学会了哪些概念？

2.本节课你学会了哪些运算？

3.本节课你体会了数学思想和方法？

2.柯西不等式与排序不等式练习题 篇二

数学通报在2011年5月刊上登载了该题的解法.在考虑本题时发现利用排序不等式也可以解决本问题.

首先, 将排序不等式叙述如下:

设有两组数a1, a2, …, an;b1, b2, …, bn满足a1≤a2≤…≤an, b1≤b2≤…≤bn

则有a1b1+a2b2+…+anbn (顺序和)

≥a1bi1+a2bi2+…+anbin (乱序和)

≥a1bn+a2bn-1+…+anb1 (逆序和)

其中i1, i2, …, in是1, 2…, n的一个排列, 当且仅当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时取“=”.

证明 (问题1) :由题易得0<a, b, c<1,

于是, 由排序不等式得到

再结合 (1) , (2) 式, 可得

即证.

问题2:对任意x, y∈R, 且x+y=2, 求x2x+y2y的最小值.

解:由x, y的对称性, 不妨设x≤y, 则2x≤2y,

再根据排序不等式得

x2x+y2y≥y2x+x2y, 当且仅当x=y时取“=”,

故2 (x2x+y2y) ≥x2x+y2y+y2x+x2y, 当且仅当x=y时取“=”.

又因为

所以x2x+y2y, 当且仅当x=y时取“=”.

于是, x2x+y2y的最小值为4.

解:不妨设a1≤a2≤…≤an, 则2a1≤2a2≤…≤2an,

3.课本题改编题练习(不等式) 篇三

□ 易雪梅

1. （必修5P71习题第5（2）题） 已知不等式x2-2x+k2-1＞0对一切实数x恒成立，求实数k的取值范围.

1-1. （改编）解关于x的不等式12x2-ax＞a2（a∈R）.

1-2. （改编）已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，求实数a，b的值.

1-3. （改编）若不等式ax2+4x+a＞1-2x2对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是.

1-4. （改编）若不等式x2+ax+3≥a对任意x∈［-2，2］恒成立，求a的取值范围.

2. （必修5P84习题第4题） 若x，y满足约束条件x+y-2≥0，x≤2，y≤2，求z=2x+y的最大值和最小值.

2-1. （改编）若实数x，y满足不等式组x+3y-3≥0，2x-y-3≤0，x-my+1≥0，且x+y的最大值为9，则实数m=.

2-2. （改编）设不等式组x-y+8≥0，x+2y-19≥0，2x+y-14≤0表示的平面区域为D，若指数函数y=ax的图像上存在区域D上的点，则a的取值范围是.

2-3. （改编）若不等式组x≥0，x+3y≥4，3x+y≤4所表示的平面区域被直线y=kx+分为面积相等的两部分，则k的值是.

2-4. （改编）已知2x+y-2≥0，x-2y+4≥0，3x-y-3≤0，求z=x2+y2的最值，并求出z取得最值时x，y的值.

3. （必修5P88例2）已知函数y=x+，x∈（-2，+∞），

求此函数的最小值.

3-1. （改编）求函数y=x+（x≠0）的值域.

3-2. （改编）已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈（a，＋∞）上恒成立，则实数a的最小值为.

3-3. （改编）若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是.

3-4. （改编）若直线ax－by＋2＝0（a>0，b>0）和函数f（x）=ax+1+1（a>0且a≠1）的图像恒过同一个定点，则当＋取最小值时，函数f（x）的解析式是.

3-5. （改编）设a＞b＞0，则a2++的最小值是.

3-6. （改编）设a＞b＞c＞0，则2a2++-10ac+25c2的最小值是.

第Ⅱ部分（人教版教材）

□ 谢印智 张海军

1. （A版必修5P84习题A组第2（2）题） 比较+与+的大小.

1-1. （改编）下面结论：①若a＞0且a≠1，则loga（1+a）＞loga1+；②存在x∈R，使x＜x；③对任意的x∈R，存在m∈Z，使m2-m＜x2+x+1.其中正确结论的个数是（）

A. 0B. 1C. 2D. 3

1-2. （改编）当a＞-时，比较2a+lg（a+2）+6与3-lg2的大小.

1-3. （改编）已知数列{an}的通项公式为an=，求证数列{an}为递减数列.

1-4. （改编）若正整数m满足10m-1＜2512＜10m，则m= .（lg2≈0.301 0）

2. （B版必修5P78习题3.2B第2题）已知a，b∈（0，+∞），且3a+2b=2，求ab的最大值以及相应的a与b的值.

2-1. （改编）求函数f（x）=2+log2x+（0＜x＜1）的最值.

2-2. （改编）设x＞0，y＞0，且x2+=1，则x的最大值是 .

2-3. （改编）已知正项等比数列{an}满足：a7=a6+2a5，若存在两项am，an，使得=4a1，则+的最小值为（）

A. B. C. D.

2-4. （改编）已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（）

A. 3 B. 4C. 5 D.

2-5. （改编）若实数x，y满足4x+4y=2x+1+2y+1，则t=2x+2y的取值范围是（）

A. 0＜t≤2 B. 0＜t≤4

C. 2＜t≤4 D. t≥4

2-6. （改编）已知函数f（x）=|lgx|.若a≠b且f（a）=

f（b），则a+b的取值范围是（）

A. （1，+∞）B. ［1，+∞）

C. （2，+∞）D. ［2，+∞）

3. （A版必修5P90习题A组第4题）已知 A={x|x2＜16}，B={x|x2-4x+3＞0}，求A∪B.

3-1. （改编）已知不等式x2-3x-4＜0的解集为A，不等式x2+x-6＜0的解集为B，不等式x2+ax-b＜0的解集为A∩B，则a-b等于（）

A. 1 B. 3C. -3 D. -4

3-2. （改编）已知函数f（x）=x2，g（x）=x-1，若存在x∈R使f（x）＜bg（x），求实数b的取值范围.

3-3. （改编）已知函数f（x）=x2+1，x≥0，1，x＜0，则满足不等式f（1-x2）＞f（2x）的取值范围是 .

4. （B版必修5P103习题3.5B第3题）已知二次函数f（x）的图像过原点，且-1≤f（-1）≤2≤f（1）≤4，求

f（-2）的取值范围.

4-1. （改编）已知平面区域如图1，z=-mx-y（m＜0）在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个，则m的取值为（）

A. B. -C. 2 D. -2

4-2. （改编）若关于x，y的不等式组x-y≤1，2x+y≥1，ax+y≤2表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是

.

4-3. （改编）已知关于x的方程x2+（1+a）x+1+a+b=0（a，b∈R）的两根分别为x1，x2，且0＜x1＜1＜x2，则的取值范围是 .

4-4. （改编）设x，y满足约束条件2x-y+2≥0，8x-y-4≤0，x≥0，y≥0，若目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为8，则a+b的最小值为（）

A. 2B. 4C. 6D. 8

4-5. （改编）已知实数x，y满足条件x-y+2≥0，x+y-4≥0，2x-y-5≤0，求z=|x+2y-4|的最大值.

4-6. （改编）设不等式组y≤|x|，y≥0，-2≤x≤2表示平面区域D，区域D绕y轴旋转一周所得的几何体的体积V=

.

4-7. （改编）已知点M（a，b）在由不等式组x≥0，y≥0，x+y≤2确定的平面区域内，则点N（a＋b，a－b）所在平面区域的面积是（）

A. 8B. 4C. 2D. 1

第Ⅰ部分

1. 将一元二次不等式与相应的一元二次函数图像相结合，题干条件可转化为一元二次函数图像全在x轴上方.又由于抛物线开口向上，只需Δ=4-4•（k2-1）＜0，即k＜-或k＞.

1-1. 12x2-ax-a2＞0（4x+a）（3x-a）＞0x+•x-＞0.

①a＞0时，-＜，解集为xx＜-或x＞；

②a=0时，x2＞0，解集为{x|x∈R，x≠0}；

③a＜0时，-＞，解集为xx＜或x＞-.

说明 解一元二次不等式时最好不要机械地记结论，因为影响不等式解的因素很多，比如一元二次函数的开口、判别式、与轴交点的坐标等.为了避免顾此失彼，最好结合二次函数的图像来解决.

1-2. 结合对应一元二次函数图像可知a＞0，且x1=1与x2=b是方程ax2－3x＋2=0的两个实数根，且b>1.由根与系数的关系，得1+b=，1•b=，解得a=1，b=2.

1-3. 原不等式可化为（a+2）x2+4x+a-1＞0.此时二次项系数带有参数，应讨论其是否为0.显然a=-2时不等式不是恒成立，所以要使不等式对于任意的x均成立，必须有a＋2＞0，且Δ=16-4（a+2）（a-1）<0，解得a＞2.

1-4. 令f（x）=x2+ax+3=x+2+3-.

①当－＜－2，即a＞4时，［f（x）］min＝f（－2）＝－2a＋7，由－2a＋7≥a，得a≤，所以a∈；

②当－2≤－≤2，即－4≤a≤4时，［f（x）］min＝3－，由3－≥a，得－6≤a≤2，所以－4≤a≤2；

③当－＞2，即a＜－4时，［f（x）］min＝f（2）＝2a＋7，由2a＋7≥a，得a≥－7，所以－7≤a＜－4.

综上，a∈［-7，2］.

2. 当x=0，y=2时，目标函数z=2x+y取得最小值2；当x=2，y=2时，目标函数z=2x+y取得最大值6.

2-1. 1. 说明 本题是常规线性规划问题的逆问题.

2-2. 作出区域D，如图2中阴影部分，联系指数函数y=ax的图像，能够看出当图像经过区域的边界点B（1，9）时，a可以取到最大值9；当图像经过区域的边界点C（3，8）时，a可以取到最小值2.所以a∈［2，9］.

2-3. . 说明 这是一道略微灵活的线性规划问题.

2-4. 目标函数z=x2+y2不是线性函数，但具有特定的几何意义：表示区域上的点到原点的距离的平方.

作出可行域（如图3中阴影部分），易知在这个区域中，点C到原点O的距离最远，即z的最大值是22+32=13，这时x=2，y=3.又过点O作直线AB：2x+y-2=0的垂线，知垂足为D，，故在点D到原点的距离最近，即z的最小值是+=，此时x=，y=.

说明 此题是线性规划问题的推广.实际上，只要目标函数具有某种特定的几何意义，都可以用数形结合的方法来完成.如线性规划问题中的目标函数可以联系直线在y轴上的截距，本题中的目标函数可以联系两点间的距离.又如目标函数z=可以联系可行域内的点与定点（2，1）连线的斜率.由此可见，线性规划问题的本质就是数形结合.

3. 6. 3-1. （-∞，-4］∪［4，+∞）.

说明 若a＜0，b＜0，则根据基本不等式可以得到a+b=-［（-a）+（-b）］≤-2=-2.

3-2. 因为x＞a，所以2x＋＝2（x－a）＋＋2a≥2＋2a＝2a＋4.由题意，2a＋4≥7，所以a≥，即a的最小值为.

3-3. 因为x＞0，所以x+≥2（当且仅当x=1时取等号），所以有=≤=.由题意，得a≥.

3-4. 函数f（x）=ax+1+1的图像恒过定点（－1，2），故a+b=1.

则+=a+b+=++≥+，当且仅当b=a时取等号.将b=a代入a+b=1，得a=2-2，故f（x）=（2-2）x+1+1.

3-5. a2++＝a2-ab+ab++=ab++a（a-b）+≥2+2=4，当且仅当ab＝1，a（a－b）＝1时等号成立.如取a＝，b＝满足条件.

3-6. 4.

第Ⅱ部分

1. 平方作差，+＞+.

1-1. loga（1+a）-loga1+=1，所以①正确；=x，当x＜0时，x＜1，所以②正确；对于任意的x∈R，x2+x+1的最小值为，而当m=1时，m2-m=0，所以③正确.答案为D.

1-2. 作差，2a+lg（a+2）+6＞3-lg2.

1-3. an+1=， 所以==.

因为2（2n2+n-1）-（2n2+n）=2n2+n-2，而当n≥1时，2n2+n-2＞0，所以2（2n2+n-1）＞2n2+n＞0.

所以＜1，即an+1＜an，所以{an}为递减数列.

1-4. 115.

2. 由2=3a+2b≥2，得ab≤.由3a=2b，ab=，解得a=，b=.

2-1. 无最小值，最大值为2-2.

2-2. . 2-3. A.

2-4. x+2y=8-x•（2y）≥8-2，整理得（x+2y）2+4（x+2y）-32≥0，即（x+2y-4）（x+2y+8）≥0，又x+2y＞0，所以x+2y≥4，故选B.

2-5. 由2x+2y≤2＝2，解得t≤4.又（2x）2+（2y）2=2（2x+2y）=（2x+2y）2-2•2x•2y，得2t=t2-2x+y+1＜t2，解得t＞2.故选C.

2-6. 不妨设a＜b，根据图像可得0＜a＜1，b＞1.由

f（a）=-lga，f（b）=lgb，所以lgab=0，即ab=1，故a+b≥2=2.又由于a≠b，所以选C.

说明 若a＞0，b＞0，则［a，b］min≤≤≤≤≤［a，b］max，这个不等式组及其变形在求最值时有着广泛的应用.

3. {x|-4＜x＜1或3＜x＜4}. 3-1. C.

3-2. 存在x∈R使x2-bx+b＜0， 则Δ=（-b）2-4b＞0，解得b＜0或b＜4.

3-3. 当x=-1时，无解；当-1＜x≤0时，1-x2＞0，f（1-x2）＞f（2x）化为（1-x2）2+1＞1，恒成立；当0＜x≤1时，1-x2≥0，2x＞0，f（1-x2）＞f（2x）化为（1-x2）2+1＞（2x）2+1，即0＜x＜-1；当1-x2＜0时，无解.

综上，答案为-1＜x＜-1.

4. ［-1，10］.

4-1. 当直线y=-mx-z与直线AB重合时满足题目要求，此时-m==，故答案为B.

4-2. -1＜a＜2.

4-3. 设f（x）=x2+（1+a）x+1+a+b，若满足f（x）有两个零点x1，x2，且0＜x1＜1＜x2，只需x1+x2＞0，f（1）＜0，f（0）＞0，即-1-a＞0，2a+b+3＜0，a+b+1＞0.画出可行域，可看成可行域内的点（a，b）与点（0，0）连线的斜率，可得答案为-，.

4-4. B.

4-5. 将目标函数z=|x+2y-4|转化为z=•，问题化归为求可行域内的点（x，y）到直线x+2y-4=0距离的最大值，画出可行域，易得答案为21.

4-6. .

4-7. 由题意得a≥0，b≥0，a+b≤2.设m=a+b，n=a-b，得a=，b=，所以线性约束条件可转化为m+n≥0，m-n≥0，m≤2.如图4，求得阴影部分的面积S=4.故答案为B.

4.一元一次不等式与实际问题练习 篇四

1、在一次绿色环保知识竞赛中，共有20道题，对于每一道题，答对了得10分，答错了或不答扣5分，则至少要答对几道题，其得分才会不少于80分？

2、某次数学竞赛有50道选择题,评分标准为答对一题2分,答错一题倒扣1分, 不答题不得分,也不扣分,某学生4道题没有答,但得分超过70分,取得了复赛资格,问他可能答对多少道题?

3、有人问一位老师,他所教的班有多少学生,老师说:“一半学生在学数学,四分之一的学生在学英语,七分之一的学生在学音乐,还剩不足六位同学在操场上踢足球”.试问这个班有多少学生?

4.七年级6班组织有奖知识竞赛，小明用100元班费购买笔记本和钢笔共30件，已知笔记本每本2元，钢笔每支5元，那么小明最多能买钢笔多少支.5、某个体商店第一天以每件10元的价格购进某种商品15件，第二天又以每件12元的价格购进同种商品35件，然后以相同的价格卖出，如果商品销售这些商品时，至少要获得10%的利润，这种商品每件的售价应不低于多少元？

6、某物流公司，要将300吨物资运往某地，现有A、B两种型号的车可供调用，已知A型车每辆可装20吨，B型车每辆可装15吨，在每辆车不超载的条件下，把300吨物资装运完，问：在已确定调用5辆A型车的前提下至少还需调用B型车多少辆？

7.某市自来水公司按如下标准收取水费，若每户每月用水不超过5cm3,则每立方米收费1.5 元；若每户每月用水超过5cm3，则超出部分每立方米收费2元。小童家某月的水费不少于 10元，那么她家这个月的用水量至少是多少？

8.某城市一种出租车起价为5元，（即行驶路程在2.5千米以内都只需付5元，达到或超过2.5千米后每增加1千米加价1.2元，（不足1千米按1千米算）.现在某人乘这种出租车从甲地到乙地，支付车费13.4元，则甲地到乙地路程大约是多少千米？

9.某体育用品商场采购员要到厂家批发购进篮球和排球共100只，付款总额不得超过11 815元．已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如右表，试解答下列问题：

（1）该采购员最多可购进篮球多少只？

（2）若该商场把这100只球全部以零售价售出，为使商场获得的利润不低于2580元，则 采购员至少要购篮球多少只，该商场最多可盈利多少元？

10、某电信公司的“全球通”手机用户的收费标准是：不管通话时间长短，每月必须缴月租费30元，另外每通话１分钟交费0.4元；“快捷通”手机用户的收费标准是：没有月租费，但每通话１分钟交费0.6元。

（1）设每月通话时间为x分，试分别写出“全球通”每月应交费和“快捷通”每月应交费。

（2）当每月的通话时间x在什么范围时，选择“全球通”较合算？

5.基本不等式练习题 篇五

一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若aR，下列不等式恒成立的是（）

A．a21aB121C．a296aD．lg(a1)lg|2a| 2a

12.若0ab且ab1，则下列四个数中最大的是（）

Ａ．1Ｂ．

2xa2b2Ｃ．2abＤ．a3.设x>0,则y33x的最大值为（）

Ａ．3Ｂ

．3 Ｃ．

3Ｄ．－1

4.设x,yR,且xy5,则3x3y的最小值是()

A.10

B.C.D.5.若x, y是正数，且141，则xyxy有（）

Ａ．最大值16 Ｂ．最小值11 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值 1616

6.若a, b, c∈R，且ab+bc+ca=1, 则下列不等式成立的是（）

A．a2b2c22B．(abc)23

C

．1

a1

b1

cD

．abc7.若x>0, y>0,且x+y4,则下列不等式中恒成立的是（）

A．11111B．1C

2D．1 xy4xyxy

8.a,b是正数，则

Ａ

．

ab,22ab三个数的大小顺序是（）ab ab2abab2abＢ

．2ab2ab

2ababＤ

．ab22ababab2Ｃ

．9.某产品的产量第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，设这两年平均增长率为x，则有（）

Ａ．xpqpqpqpqＢ．xＣ．xＤ．x 2222

10.下列函数中，最小值为4的是（）

Ａ．yxＢ．ysinx

x

Ｃ．yex4eＤ．

x

4(0x)sinx

ylog3x4loxg 3

二、填空题, 本大题共4小题，每小题3分，满分12分，把正确的答案写在题中横线上.11.函

数y的最大值为12.建造一个容积为18m3, 深为2m的长方形无盖水池，如果池底和

池壁每m2 的造价为200元和150元，那么池的最低造价为_________元.13.若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是.14.判断下列不等式的证明过程中的正误，并指出错因。（1）若a、b∈R，则

baba

＋≥2＝2（）abab



（2）若x,yR，则lgx＋lgy≥2lgxlgy（）

（3）若x0，则x＋

4≥－2x＝－4（）xx

（4）若x∈R，则2x＋2x≥22x2x＝2（）

三、解答题, 本大题共4小题，每小题12分，共48分，解答应写出

必要的文字说明、证明过程和演算步骤.15..16.设a, b, c(0,),且a+b+c=1，求证：(1)(1)(1)8.a

1b

1c

17.已知正数a, b满足a+b=1（1）求ab的取值范围;的最小值.18.2）求ab

ab

（基本不等式

1.若a,bR，则aba

b2

2（当且仅当ab时取“=”）

2.若a,bR*，则ab2ab（当且仅当ab时取“=”）

3.若

x0，则

x

2(当且仅当x

x1时取“=”）;若x0，则x12(当且仅当

x

x1时取“=”）

注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植

时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．

（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”。

应用一：求最值

例1：求下列函数的值域

（1）y＝3x＋

12x

（2）y＝x＋

x

解：（1）y＝3x＋

2≥22x

3x·

2＝2x

6∴值域为[6，+∞）

（2）当x＞0时，y＝x＋ ≥2

x

1x· ＝2；

x

x· =－2

x

当x＜0时，y＝x＋ = －（－ x－）≤－2

xx

∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）

1.已知2.当3.若

4已知

时，求

x，求函数y4x2

1的最大值 4x

5yx(82x)的最大值。

x,yR且2xy1，求

11的最小值 xy

a,b,x,yR且

ab

1，求xy

xy的最小值

应用二：利用均值不等式证明不等式

5.已知

6.正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc

7.已知a、b、cR，且



a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2b2c2abbcca

111

abc1。求证：1118

abc

应用三：均值不等式与恒成立问题

8.已知

x0,y0且

1，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。xy

应用四：实际应用题及比较大小

1ab)，则P,Q,R的大小关系是例：若ab1,Palgb,Q(lgalgb),Rlg（22

分析：∵ab1 ∴lga0,lgb0Q（lgalgb)algbp

ab1Rlg()lgablgabQ∴R>Q>P。

6.不等式练习题1 篇六

A．有最大值－2 ；B．有最小值2；C．无最大值和最小值；D．无法确定

2．设x，y满足x＋y＝40且x，y都是正整数，则xy的最大值是()

A．400 ；B．100；C．40 ；D．20

43．已知x≥2，则当x＝____时，x＋有最小值____． x

124．已知f(x)＝＋4x.x

(1)当x＞0时，求f(x)的最小值；(2)当x＜0 时，求f(x)的最大值．

一、选择题

1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是()

11－A．x＋ ；B．x2－1C．2x＋2x； D．x(1－x)2xx－1

62．函数y＝3x2＋()x＋1

A．32－3 ；B．－3；C．62；D．62－3

3．已知m、n∈R，mn＝100，则m2＋n2的最小值是()

A．200 ；B．100；C．50 ；D．20

4．给出下面四个推导过程：

ba①∵a，b∈(0，＋∞)，∴＋≥2＝2； abab

②∵x，y∈(0，＋∞)，∴lgx＋lgy≥2lgx·lgy；

4③∵a∈R，a≠0a ≥a＝4； aa

xyxy④∵x，y∈R，xy＜0，∴[(－)＋(－)]≤－－－＝－2.yxyxyx

其中正确的推导过程为()

A．①②；B．②③；C．③④ ；D．①④

115．已知a＞0，b＞0，则＋2ab的最小值是()ab

A．2 ；B．22；C．4 ；D．5

6．已知x、y均为正数，xy＝8x＋2y，则xy有()

11A．最大值64 ；B．最大值C．最小值64 ； D．最小值 6464

二、填空题

17．函数y＝x＋(x≥0)的最小值为________． x＋1

8．若x＞0，y＞0，且x＋4y＝1，则xy有最________值，其值为________．

xy＋9．(2010年高考山东卷)已知x，y∈R，且满足＝1，则xy的最大值为________． 34

三、解答题

x2＋8410．(1)设x＞－1，求函数y＝x＋＋6的最小值；(2)求函数y＝x＞1)的最值．x＋1x－1

11111．已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求证：(((－1)≥8.abc

7.一元一次方程和不等式巩固练习 篇七

A.（0，1） B.（-1，0）

C.（0，-1） D.（1，0）

2.把不等式组x+1>0x-1≤0的解集表示在数轴上，正确的表示为图中的（ ）.

A. B. C. D.

3.直线l1：y=k1x+b与直线l2：y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图1所示，则关于x的不等式k1x+b>k2x的解为（ ）.

A. x>-1

B. x<-1

C. x<-2

D.无法确定 图1

4.若不等式组5-3x≥0x-m≥0有实数解，则实数m的取值范围是（ ）.

A.m≤ B.m<

C.m> D.m≥

5.已知关于x的不等式kx-2>0（k≠0）的解集是x<-3，则直线y=-kx+2与x轴的交点是__________.

6.如图2所示，在一块展示牌上整齐地贴着许多资料卡片，这些卡片的大小相同，卡片之间露出了三块正方形的空白，在图中用阴影标明，已知卡片的短边长度为10cm，想要配三张图片来填补空白，需要配边长为_______cm的正方形图片.

图2 图3

7.如图3，已知函数y=3x+b和y=ax-3的图象交于点P（-2，-5），则根据图象可得不等式3x+b>ax-3的解集是_______________.

8.如图4，一次函数y1=k1x+b1与y2=k2x+b2的图象相交于A（3，2），则不等式（k2-k1）x +b2-b1>0的解集为__________. 图4

9.如果x，y满足不等式组x≤3x+y≥0x-y+5≥0，那么你能画出点（x，y）所在的平面区域吗？

10.我市某中学要印制本校高中招生的录取通知书，有两个印刷厂前来联系制作业务，甲厂的优惠条件是：按每份定价1.5元的八折收费，另收900元制版费；乙厂的优惠条件是：每份定价1.5元的价格不变，而制版费900元则六折优惠.且甲乙两厂都规定一次印刷的数量至少是500份.

（1）分别求两个印刷厂收费y（元）与印刷数量x（份）的函数关系，并指出自变量x的取值范围.

8.分式不等式练习 篇八

f(x)f(x)f(x)00(或01）标准化：移项通分化为(或)；g(x)g(x)g(x)

f(x)0)的形式，g(x)

2）转化为整式不等式（组）

f(x)g(x)0f(x)f(x)0f(x)g(x)0；0 g(x)g(x)g(x)0

解分式不等式：

x52x3001、2、x4x2

2x312x104、3、x2x3

9.解一元一次不等式练习题 篇九

（1）7>4（2）3x ≥ 2x+1（3）20（4）x+y>1（5）x2+3>2xx1、解下列的一元一次不等式（并在数轴上表示出来，自己画数轴）

（1）x－5<0（2）x+3 ≥ 4(3)3x > 2x+1(4)-2x+3 >-3x+1

(1)2x > 1(2)–2x ≤ 1(3)2x >-1(4)22x2（5）x2（6）x2 33

（1）2（x+3）<7(2)3x－2（x+1）>0

(3)3x－2（x－1）>0(4)－(x－1)>04、下列的一元一次不等式(1)xx1xx2x1x2xx1（3）1（4）1 （2）323223231、解下列不等式

12（1）x（2）(x1)2（3）x2＋x23

2x1x21（4）(x1)2（5）323

－2x1x32（7）－3（6）23

10.不等式的证明练习 篇十

111． abbcac

112．设a、bR，求证：log1(ab)ab1． 4421．已知abc，求证：

1x2x13． 3．设xR，求证：22x12

4．设nN*，求证：

1112(n11)12n． 23n

5．设a、b、c、分别是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，求证：

abc． 1a1b1c

226．若x2y21，求证：x2xyy2．

a2b2

(ab)2． 7．若0＜x＜1，求证：x1x

45． 8．设x(0,)，求证：sinxsinx

9．已知：xyz0，xyyzzx0，xyz0．

求证：x0，y0，z0．

参考答案

111(aa)2(bc)2(ca)2

1．0． abbcac2(ab)(bc)(ac)

2．log1（2111)log2log221abab1． 1abab4442

3．用判别式法证明．

1222(k1k)及 kkkk1k

2222(kk1)，再由不等式的同向可加性即得． kk1kkk

ababab11c115．． 1a1b1ab1ab1ab1ab1c1c

xrcos026．换元 01即可得证． yrsin

a2b21x2x2227．[x(1x)]ababa2b22ab(ab)2． x1xx1x

13)235． 8．(sinxsinxsinx4．由

9．用反证法，假设结论不成立，由xyz＞0知x、y、z中应有两个负数，一个正数，不妨设x＞0，y＜0，z＜0．由已知条件，得：

11.柯西不等式与排序不等式练习题 篇十一

(总分：100分

时间45分钟)姓名　　　　　分数

一、选择题（每题4分，共32分）

1、下列不等式组中，解集是2＜x＜3的不等式组是()

A、B、C、D、2、在数轴上从左至右的三个数为a，1＋a，－a，则a的取值范围是（）

A、a＜

B、a＜0

C、a＞0

D、a＜－

3、（2007年湘潭市）不等式组的解集在数轴上表示为（）

A

B

C

D4、不等式组的整数解的个数是（）

A、1个

B、2个

C、3个

D、4个

5、在平面直角坐标系内，P（2x－6,x－5）在第四象限，则x的取值范围为（）

A、3＜x＜5

B、－3＜x＜5

C、－5＜x＜3

D、－5＜x＜－36、（2007年南昌市）已知不等式：①，②，③，④，从这四个不等式中取两个，构成正整数解是2的不等式组是（）

A、①与②

B、②与③

C、③与④

D、①与④

7、如果不等式组无解，那么不等式组的解集是（）

A.2－b＜x＜2－a

B.b－2＜x＜a－2

C.2－a＜x＜2－b

D.无解

8、方程组的解x、y满足x＞y，则m的取值范围是（）

A.B.C.D.二、填空题（每题4分，共32分）

9、若y同时满足y＋1＞0与y－2＜0，则y的取值范围是______________.10、（2007年遵义市）不等式组的解集是

．

11、不等式组的解集是

.12、若不等式组无解，则m的取值范围是

．

13、不等式组的解集是_________________

14、不等式组的解集为x＞2，则a的取值范围是_____________.15、若不等式组的解集为－1＜x＜1，那么（a＋1）（b－1）的值等于________.16、若不等式组无解，则a的取值范围是_______________.三、解答题（每题9分，共36分）

17、解下列不等式组

（1）

（2）

（3）2x＜1－x≤x＋5

（4）

18、（2007年滨州）解不等式组把解集表示在数轴上，并求出不等式组的整数解．

19、求同时满足不等式6x－2≥3x－4和的整数x的值.20、若关于x、y的二元一次方程组中，x的值为负数，y的值为正数，求m的取值范围.参考答案

12.柯西不等式与排序不等式练习题 篇十二

一选择题：

1、如图1给出下列四组条件： A D

①AB=DE，BC=EF，AC=DF

②ABDE，BE，BCEF；

③BE，BCEF，CF；

B E ④ABDE，ACDF，BE．

图其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（）

A．1组B．2组C．3组D．4组

2、等腰三角形底边长为7，一腰上的中线把其周长分成两部分的差为3，则腰长是

（）

A、4B、10C、4或10D、以上答案都不对

3、如图2，AE⊥AB，BC⊥AB，EA=AB=2BC，D为AB中点，有以下结论：(1)DE=AC；

(2)DE⊥AC；(3)∠CAB=30°；(4)∠EAF=∠ADE其中结论正确的是（）

A、(1)，(3)B、(2)，(3)C、(3)，(4)D、(1)，(2)，(4)

4、下列不等式变形正确的是（）

A．由ab，得acbcB．由ab，得2a2b

C

．由，得abD．由ab，得a2b

24、设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平秤两次，情况 如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为（）A．■、●、▲ B．▲、■、● C．■、▲、● D．●、▲、■图图2

5、已知不等式x10，此不等式的解集在数轴上表示为（）

6、下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等；③等腰三角形的最小边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形.其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个 7.如图3，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，如果 cm，cm，那么△的周长是（）

A.6 cmB.7 cmC.8 cmD.9 cm

8.等腰三角形的底边长为a，顶角是底角的4倍，则腰上的高是（）

A.32aB.3aC.6a

D.2a

9、下列说法中，错误．．的是（）A.不等式x2的正整数解中有一个B.2是不等式2x10的一个解

C.不等式3x9的解集是x3D.不等式x10的整数解有无数个 10．如图4示，一次函数y＝kx＋b（k、b为常数，且k0）与正比例函数y＝ax（a为常数，且a0）相交于点P，则不等式kx+b>ax的解集是（）

A．x>1B．x<1C．x>2D．x<

2二、填空题

11、等腰三角形的两边长分别为5或6，则这个等腰三角形的周长是．

12、已知函数y＝3－2x，当x＿＿＿＿＿时，y≤0．

13、如图5，△ABC中，∠C=Rt∠，AD平分∠BAC交BC于点D，BD∶DC=2∶1，BC=7.8cm，则D到AB的距离为cm.14、如图6，一次函数yaxb的图象经过A、B两点，则关于x的不等式axb0的解

集是．

15、△ABC中，AM平分∠，cm，则点M到AB的距离是_________.16、如图7，已

知的垂直平分线

交于

点，则

.图5 图7图

4图6

三、解答题

17、解不等式并把解集在数轴上表示出来。3x212x13x22x

153

118、已知不等式x＋8＞4x＋m(m是常数)的解集是x＜3，求m。

19、如图⊿ABC中，∠ACB的平分线交AB于E，∠ACB的补角∠ACD的平分线为CG，EG∥BC交AC于F，EF会与FG相等吗？为什么？

20、有20名工人，每人每天加工甲种零件5个或乙种零件4个．在这20名工

人中，派一部分工人加工甲零件，其余的加工乙种零件．已知每加工甲种零件可获利16元，每加工乙种零件可获利24元．

（1）写出此车间每天所获利润y（元）与生产甲种零件人数x（人）之间的函数关系

式（用x表示y）．

（2）若要使车间每天获利不少于1800元，问最多派多少人加工甲种零件？

21、一家小型放映厅的盈利额y（元）同售票数x（张）之间的关系如图所示，其中保险部门规定：超过150人时，要缴纳公安消防保险费50元。试根据关系图，回答下列问题：（1）当售票数满足0＜x≤150时，盈利额y（元）与x之间的函数关系式是___________；（2）当售票数满足150＜x≤200时，盈利额y（元）与x之间的函数关系式是_____________；

（3）当售票数x为____________时，不赔不赚；当售票数x满足_________时，放影厅要赔本；当售出的票数x为____________时，此放映厅能赚钱；（4）当售出的票数x为何值时，此时所获得利润比x＝150时多？

22、某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配x（x≥2）个羽毛球，供社区居民免费借用．该社区附近A、B两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为30元，每个羽毛球的标价为3元，目前两家超市同时在做促销活动： A超市：所有商品均打九折（按标价的90%）销售； B超市：买一副羽毛球拍送2个羽毛球．

设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yA（元），在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yB（元）．请解答下列问题：（1）分别写出yA、yB与x之间的关系式；

（2）若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？

（3）若每副球拍配15个羽毛球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案．

23、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形，使C点与AB边上的一点D重合．

(1)当∠A满足什么条件时，点D恰为AB的中点?写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明D为AB的中点；