高考数学公式汇总

2024-09-30

高考数学公式汇总（精选6篇）

1.高考数学公式汇总篇一

高考数学必备方差公式

一.方差的概念与计算公式

例1 两人的5次测验成绩如下：X： 50，100，100，60，50 E(X )=72;Y： 73， 70， 75，72，70 E(Y )=72。

平均成绩相同，但X 不稳定，对平均值的偏离大。方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。单个偏离是消除符号影响方差即偏离平方的均值，记为D(X )：直接计算公式分离散型和连续型，具体为：

这里D(X) 是一个数。推导另一种计算公式

得到：“方差等于平方的均值减去均值的平方”。

其中，分别为离散型和连续型计算公式。称为标准差或均方差，方差描述波动

二.方差的性质

1.设C为常数，则D(C) = 0(常数无波动);

2. D(CX )=C2 D(X ) (常数平方提取);

证：特别地 D(-X ) = D(X ), D(-2X ) = 4D(X )(方差无负值)

3.若X 、Y 相互独立，则

证：记则前面两项恰为 D(X )和D(Y )，第三项展开后为当X、Y 相互独立时，，故第三项为零。特别地独立前提的逐项求和，可推广到有限项。

方差公式：

平均数：M=(x1+x2+x3+…+xn)/n (n表示这组数据个数，x1、x2、x3……xn表示这组数据具体数值)

方差公式：S=〈(M-x1)+(M-x2)+(M-x3)+…+(M-xn)〉?n

三.常用分布的方差

1.两点分布

2.二项分布

X ~ B ( n, p )引入随机变量 Xi (第i次试验中A 出现的次数，服从两点分布)

3.泊松分布(推导略)

4.均匀分布

另一计算过程为

5.指数分布(推导略)

6.正态分布(推导略)

7.t分布 :其中X~T(n)，E(X)=0;D(X)=n/(n-2);

8.F分布：其中X~F(m,n),E(X)=n/(n-2);

~正态分布的后一参数反映它与均值的偏离程度，即波动程度(随机波动)，这与图形的特征是相符的。

例2 求上节例2的方差。

解根据上节例2给出的分布律，计算得到

工人乙废品数少，波动也小，稳定性好。

方差的定义：

设一组数据x1,x2,x3・・・・・・xn中，各组数据与它们的平均数x(拔)的差的平方分别是(x1-x拔)，(x2-x拔)・・・・・・(xn-x拔)，那么我们用他们的平均数s2=1/n【(x1-x拔)+(x2-x拔)+・・・・・(xn-x拔)】来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差。

[高考数学必备方差公式]

2.一类问题,一个公式,一些高考题篇二

在学习“圆锥曲线与方程”时，我们会碰到这样一类问题：在“e，α，λ” （其中e为圆锥曲线的离心率，α为焦点弦AB所在直线的倾斜角，λ为焦点F分焦点弦AB所成的比，即=λ，且λ＞0）三个量中“知二求一”.

二、一个公式

下面让我们一起来探究这三个量之间的联系，不妨先设圆锥曲线的焦点在x轴上.

当倾斜角α为锐角时（如右下图），由圆锥曲线的第二定义，知点A到圆锥曲线相应准线的距离|AM|=，同理|BN|=，从而|AD|=|AM|-|BN|=.设=λ，则在Rt△ABD中，有cosα=====.

当倾斜角α为直角时，cosα=0，λ=1，上式也成立.

当倾斜角α为零时，cosα=1，圆锥曲线只能是椭圆，|AF|=a+c，|BF|=a-c，e=,λ===，变形得=1，上式也成立.

当倾斜角α为钝角时，有cos（π-α）====，上式还成立.

综上所述，无论倾斜角α为何值，都有联系这三个量“e，α，λ”之间的一个公式：cosα=.

事实上，在运用这个公式解题时，点A在上方，还是点B在上方，条件给出的是λ，还是，很容易混淆，因为e＞0，故该公式可优化为e= α≠.

若圆锥曲线的焦点在y轴上，则结合图形，有公式e==（α≠0）.

三、一些高考题

例1 （2008年江西理科卷15）过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A，B两点（点A在y轴左侧），则=______.

解依题意，e=1，α=30°，焦点在y轴上，代入公式e= ，易得λ= 或3，又点A在y轴左侧，结合图形|AF|＜|FB|，故=.

例2 （2010年辽宁理科卷20（1））设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，=2，求椭圆C的离心率.

解依题意，有cosα=，λ=2，代入公式e=，易得椭圆C的离心率e=.

评注这个公式不但要会直接运用，而且要掌握其推导过程，当运用其解答题时，需根据题意，适当穿插这个公式的推导过程，这里从略.

1. （2010年全国Ⅰ理科卷16）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且=2，则椭圆C的离心率为_______.

2. （2009年全国Ⅱ理科卷11）已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过F且斜率为的直线交C于A，B两点，若=4，则双曲线C的离心率为（）

A. B. C. D.

3. （2008年全国Ⅱ理科卷15）已知F是抛物线C： y2=4x的焦点，过F且斜率为1的直线交C于A，B两点.设|FA|＞|FB|，则|FA|与|FB|的比值等于_______.

4. （2010年辽宁文科卷20）设F1，F2分别为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F1到直线l的距离为2.

（1）求椭圆C的焦距；

（2）如果=2，求椭圆C的方程.

1. . 2. A. 3. 3+2. 4. （1）4；（2） +=1.

3.高考必记的数学公式定理篇三

⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形

⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形

3.定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆

4.正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n

5.定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形

6.正n边形的面积sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长

7.正三角形面积√3a／4 a表示边长

8.如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为

因此k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=4

9.弧长计算公式：l=nπr／180

10.扇形面积公式：s扇形=nπr2／360=lr／2

11.内公切线长= d-(r-r) 外公切线长= d-(r+r)

12.等腰三角形的两个底脚相等

13.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合

4.高考数学公式汇总篇四

函数、极限和连续

§1.1

函数

一、主要内容

㈠

函数的概念

1.函数的定义:

y=f(x),x∈D

定义域:

D(f),值域:

Z(f).2.分段函数:

3.隐函数:

F(x,y)=

4.反函数:

y=f(x)

→

x=φ(y)=f-1(y)

y=f-1

(x)

定理:如果函数:

y=f(x),D(f)=X,Z(f)=Y

是严格单调增加(或减少)的；

则它必定存在反函数：

y=f-1(x),D(f-1)=Y,Z(f-1)=X

且也是严格单调增加(或减少)的。

㈡

函数的几何特性

1.函数的单调性:

y=f(x),x∈D,x1、x2∈D

当x1＜x2时,若f(x1)≤f(x2),则称f(x)在D内单调增加（）；

若f(x1)≥f(x2),则称f(x)在D内单调减少（）；

若f(x1)＜f(x2),则称f(x)在D内严格单调增加（）；

若f(x1)＞f(x2),则称f(x)在D内严格单调减少（）。

2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称

偶函数：f(-x)=f(x)

奇函数：f(-x)=-f(x)

3.函数的周期性：

周期函数：f(x+T)=f(x),x∈(-∞，+∞)

周期：T——最小的正数

4.函数的有界性：

|f(x)|≤M,x∈(a,b)

㈢

基本初等函数

1.常数函数：

y=c，(c为常数)

2.幂函数：

y=xn,(n为实数)

3.指数函数：

y=ax,(a＞0、a≠1)

4.对数函数：

y=loga

x,(a＞0、a≠1)

5.三角函数：

y=sin

x,y=con

y=tan

x,y=cot

y=sec

x,y=csc

6.反三角函数：y=arcsin

x,y=arccon

y=arctan

x,y=arccot

㈣

复合函数和初等函数

1.复合函数：

y=f(u),u=φ(x)

y=f[φ(x)],x∈X

2.初等函数:

由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数

§1.2

极

限

一、主要内容

㈠极限的概念

1.数列的极限:

称数列以常数A为极限;

或称数列收敛于A.定理:

若的极限存在必定有界.2.函数的极限：

⑴当时，的极限：

⑵当时，的极限：

左极限：

右极限：

⑶函数极限存的充要条件：

定理：

㈡

无穷大量和无穷小量

1.无穷大量：

称在该变化过程中为无穷大量。

X再某个变化过程是指：

2.无穷小量：

称在该变化过程中为无穷小量。

3.无穷大量与无穷小量的关系：

定理：

4.无穷小量的比较：

⑴若,则称β是比α较高阶的无穷小量；

⑵若

（c为常数），则称β与α同阶的无穷小量；

⑶若，则称β与α是等价的无穷小量，记作：β～α；

⑷若,则称β是比α较低阶的无穷小量。

定理：若：

则：

㈢两面夹定理

1．数列极限存在的判定准则：

设：

（n=1、2、3…）

且：

则：

2．函数极限存在的判定准则：

设：对于点x0的某个邻域内的一切点

（点x0除外）有：

且：

则：

㈣极限的运算规则

若：

则：①

②

③

推论：①

②

③

㈤两个重要极限

1．或

2．§1.3

连续

一、主要内容

㈠

函数的连续性

1.函数在处连续：在的邻域内有定义，1o

左连续：

右连续：

2.函数在处连续的必要条件：

定理：在处连续在处极限存在3.函数在处连续的充要条件：

定理：

4.函数在上连续：

在上每一点都连续。

在端点和连续是指：

左端点右连续；

右端点左连续。

5.函数的间断点：

若在处不连续，则为的间断点。

间断点有三种情况：

1o在处无定义；

2o不存在；

3o在处有定义，且存在，但。

两类间断点的判断：

1o第一类间断点：

特点：和都存在。

可去间断点：存在，但，或在处无定义。

2o第二类间断点：

特点：和至少有一个为∞，或振荡不存在。

无穷间断点：和至少有一个为∞

㈡函数在处连续的性质

1.连续函数的四则运算：

设，1o

2.复合函数的连续性：

则：

3.反函数的连续性：

㈢函数在上连续的性质

1.最大值与最小值定理：

在上连续在上一定存在最大值与最小值。

f(x)

-M

有界定理：

在上连续在上一定有界。

3.介值定理：

在上连续在内至少存在一点，使得：，其中：

f(x)

ξ1

ξ2

推论：

在上连续，且与异号在内至少存在一点，使得：。

初等函数的连续性：

初等函数在其定域区间内都是连续的。

第二章

一元函数微分学

§2.1

导数与微分

一、主要内容

㈠导数的概念

1．导数：在的某个邻域内有定义，2．左导数：

右导数：

定理：在的左（或右）邻域上连续在其内可导，且极限存在；

则：

（或：）

3.函数可导的必要条件：

定理：在处可导在处连续

4.函数可导的充要条件：

定理：存在，且存在。

5.导函数：

在内处处可导。

6.导数的几何性质：

是曲线上点

处切线的斜率。

㈡求导法则

1.基本求导公式：

2.导数的四则运算：

3.复合函数的导数：，或

☆注意与的区别：

表示复合函数对自变量求导；

表示复合函数对中间变量求导。

4.高阶导数：

函数的n阶导数等于其n-1导数的导数。

㈢微分的概念

1.微分：在的某个邻域内有定义，其中：与无关，是比较高

阶的无穷小量，即：

则称在处可微，记作：

2.导数与微分的等价关系：

定理：

在处可微在处可导，且：

3.微分形式不变性：

不论u是自变量，还是中间变量，函数的微分都具有相同的形式。

§2.2

中值定理及导数的应用

一、主要内容

㈠中值定理

1.罗尔定理:

满足条件:

2.拉格朗日定理：满足条件:

㈡罗必塔法则：（型未定式）

定理：和满足条件：

1o；

2o在点a的某个邻域内可导，且；

则：

☆注意：1o法则的意义：把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限。

2o若不满足法则的条件，不能使用法则。

即不是型或型时，不可求导。

3o应用法则时，要分别对分子、分母

求导，而不是对整个分式求导。

4o若和还满足法则的条件，可以继续使用法则，即：

5o若函数是型可采用代数变

形，化成或型；若是型可

采用对数或指数变形，化成或型。

㈢导数的应用

1．切线方程和法线方程：

设：

切线方程：

法线方程：

2．曲线的单调性：

⑴

3.函数的极值：

⑴极值的定义：

设在内有定义，是内的一点；

若对于的某个邻域内的任意点，都有：

则称是的一个极大值（或极小值），称为的极大值点（或极小值点）。

⑵极值存在的必要条件：

定理：

称为的驻点

⑶极值存在的充分条件：

定理一：

当渐增通过时，由（+）变（-）；

则为极大值；

当渐增通过时，由（-）变（+）；则为极小值。

定理二：

若，则为极大值；

若，则为极小值。

☆注意：驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点。

4．曲线的凹向及拐点：

⑴若；则在内是上凹的（或凹的），（∪）；

⑵

；则在内是下凹的（或凸的），（∩）；

⑶

5。曲线的渐近线：

⑴水平渐近线：

⑵铅直渐近线：

第三章

一元函数积分学

§3.1

不定积分

一、主要内容

㈠重要的概念及性质：

1．原函数：设：

若：

则称是的一个原函数，并称是的所有原函数,其中C是任意常数。

2．不定积分：

函数的所有原函数的全体，称为函数的不定积分；记作：

其中：称为被积函数；

称为被积表达式；

称为积分变量。

3.不定积分的性质：

⑴

或：

⑵

或：

⑶

—分项积分法

⑷

(k为非零常数)

4.基本积分公式：

㈡换元积分法：

⒈第一换元法：（又称“凑微元”法）

常用的凑微元函数有：

2.第二换元法：

第二换元法主要是针对含有根式的被积函数，其作用是将根式有理化。

一般有以下几种代换：

(当被积函数中有时)

㈢分部积分法：

1.分部积分公式：

2.分部积分法主要针对的类型：

⑴

⑵

⑷

⑸

其中：

（多项式）

3.选u规律：

⑴在三角函数乘多项式中，令，其余记作dv;简称“三多选多”。

⑵在指数函数乘多项式中，令，其余记作dv;简称“指多选多”。

⑶在多项式乘对数函数中，令，其余记作dv;简称“多对选对”。

⑷在多项式乘反三角函数中，选反三角函数

为u，其余记作dv;简称“多反选反”。

⑸在指数函数乘三角函数中，可任选一函数

为u，其余记作dv;简称“指三任选”。

㈣简单有理函数积分：

1.有理函数：

其中是多项式。

2.简单有理函数：

⑴

⑵

⑶

§3.2定积分

f(x)

一．

主要内容

（一）.重要概念与性质

1.定积分的定义：

xi-1

ξi

xn-1

定积分含四步：分割、近似、求和、取极限。

定积分的几何意义：是介于x轴，曲线y=f(x),直线x=a,x=b之间各部分面积的代数和。

x轴上方的面积取正号，y

轴下方的面积取负号。

2.定积分存在定理：

若：f(x)满足下列条件之一:

若积分存在，则积分值与以下因素无关：

3.牛顿——莱布尼兹公式：

牛顿——莱布尼兹公式是积分学中的核心定理，其作用是将一个求曲边面积值的问题转化为寻找原函数及计算差量的问题。

4.原函数存在定理：

5.定积分的性质：

f(x)

g(x)

f(x)

（二）定积分的计算：

1.换元积分

2.分部积分

3.广义积分

4.定积分的导数公式

(三)定积分的应用

1.平面图形的面积:

与x轴所围成的图形的面积

f(x)

①.求出曲线的交点，画出草图；

②.确定积分变量，由交点确定积分上下限；

③.应用公式写出积分式，并进行计算。

2.旋转体的体积

及x轴所围图形绕x轴旋转所得旋转体的体积：

及y轴所围成图形绕y轴旋转所得旋转体的体积：

第四章

多元函数微积分初步

§4.1

偏导数与全微分

一.主要内容：

㈠.多元函数的概念

二元函数的定义：

二元函数的几何意义：

二元函数是一个空间曲面。（而一元函数是平面上的曲线）

㈡.二元函数的极限和连续：

1.极限定义：设z=f(x,y)满足条件：

2.连续定义：设z=f(x,y)满足条件：

㈢.偏导数：

㈣.全微分：

1.定义：z=f(x,y)

在点(x,y)处的全微分。

3.全微分与偏导数的关系

㈤.复全函数的偏导数：

1.2.㈥.隐含数的偏导数：

1.2.㈦.二阶偏导数：

㈧.二元函数的无条件极值

1.二元函数极值定义：

极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点。

2.极值的必要条件：

两个一阶偏导数存在，则：

★

而非充分条件。

例：

∴驻点不一定是极值点。

极值的充分条件：

求二元极值的方法：

极值点。

二倍角公式：(含万能公式)

①

②

③

④

⑤

第五章排列与组合（1）加法原理：完成一件事情与分类有关，即每一类各自独立完成，此事即可完成。

（2）乘法原理：完成一件事情与步骤有关，即一次完成每一步骤，此事才能完成。

排列：从n个不同元素里，任取个元素，按照一定的顺序排列成一列，称为从n个不同元素里取出m个元素的一个排列，计算公式：

组合：从n个不同元素里，任取个元素组成一组，叫做从n个不同元素里取出m个元素的一个组合，组合总数记为，计算公式：

第六章概率论

符号

概率论

集合论

样本空间

全集

不可能事件

空集

基本事件

集合的元素

事件

子集

A的对立事件

A的余集

事件A发生导致

事件B发生

A是B的子集

A=B

A与B两事件相等

集合A与B相等

事件A与事件B

至少有一个发生

A与B的并集

事件A与事件B同时发生

A与B的交集

A-B

事件A发生而事件B不发生

A与B的差集

事件A与事件B互不相容

A与B没有相同元素

由于随机事件都可以用样本空间中的某个集合来表示，于是事件间的关系和运算就可以用集合论的知识来讨论和表示，为了直观，可以用集合的韦恩图来表示事件的各种关系和运算法则，一般用某个矩形区域表示样本空间，该区域的一个子区域表示某个事件。于是各事件的关系运算如图中的图示所示。

各事件的关系运算如图示：

9.完备事件组

n个事件，如果满足下列条件：

（1）；

（2），则称其为完备事件组。

显然任何一个事件A与其对立事件构成完备事件组。

10.事件运算的运算规则：

（1）交换律

（2）结合律

（3）分配律

（4）对偶律

率的古典定义

定义：在古典概型中，若样本空间所包含的基本事件总数为n，事件A包含的基本事件数为m，则事件A发生的概率为。

概率的基本性质与运算法则

性质1.0≤P(A)≤1

特别地，P(Φ)=0，P(Ω)=1

性质2.若，则P(B-A)=P(B)-P(A)

性质3.（加法公式）．对任意事件A，B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)。

推论1.若事件A，B互不相容（互斥），则P(A+B)=P(A)+P(B)

推论2.对任一事件A,有

推论3.对任意事件A，B，C，有P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

条件概率、乘法公式、事件的独立性

条件概率

定义1：设有事件A，B，且P(B)>0,称

类似地，如果P(A)>0，则事件B对事件A的条件概率为

概率的乘法公式

乘法公式可推广到有限多个事件的情况，例如对事件A,B,C,有

事件的独立性

一般地说,P(A︱B)≠P(A)，即说明事件B的发生影响了事件A发生的概率。若P(A︱B)≠P(A)，则说明事件B的发生在概率意义下对事件A的发生无关,这时称事件A，B相互独立。

定义：对于事件A，B，若P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立。独立试验序列概型

在相同的条件下，独立重复进行n次试验，每次试验中事件A可能发生或可能不发生，且事件A发生的概率为p，则在n次试验中事件A恰好发生k次的概率为

一维随机变量及其概率分布

（一）随机变量

1.随机变量

定义：设Ω为样本空间，如果对每一个可能结果，变量X都有一个确定的实数值与之对应，则称X为定义在Ω上的随机变量，简记作。

2.离散型随机变量

定义：如果随机变量X只能取有限个或无限可列个数值，则称X为离散型随机变量。

（二）分布函数与概率分布

1.分布函数

定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，则函数称为随机变量X的分布函数。

分布函数F(x)有以下性质：

（2）F(x)是x的不减函数，即对任意

（4）F(x)是右连续的，即

（5）对任意实数a＜b,有P{a＜X≤b}=F(b)-F(a)

2.离散型随机变量的概率分布

则称上式为离散型随机变量X的概率分布（或概率函数或分布列）。

离散型随机变量X的概率分布也可以用下列列表形式来表示：

3.分布函数与概率分布之间的关系

若X为离散型随机变量，则。

随机变量的数字特征

1.数学期望

（1）数学期望的概念

定义：设X为离散型随机变量，其概率函数为

若级数绝对收敛，则称为X的数学期望，简称期望或均值，记作EX，即

（2）数学期望的性质

①若C为常数，则E(C)=C

②若a为常数，则E(aX)=aE(X)

③若b为常数，则E(X+b)=E(X)+b

④若X,Y为随机变量，则E(X+Y)=E(X)+E(Y)

2.方差

（1）方差的概念

定义：设X为随机变量，如果存在，则称为X的方差，记作DX，即

方差的算术平方根称为均方差或标准差，对于离散型随机变量X，如果X的概率函数为，则X的方差为

（2）方差的性质

①若C为常数，则D(C)=0

②若a为常数，则

③若b为常数，则D(X+b)=D(X)

④

基本公式

由

（1）对数的性质：

①负数和零没有对数；②1的对数是零；③底数的对数等于1。

（2）对数的运算法则：

①

②

③

④

3、对数换底公式：

由换底公式推出一些常用的结论：

（1）

（2）

（3）

（4）

三角函数的单调区间：的递增区间是，递减区间是；的递增区间是，递减区间是，的递增区间是，1、数列极限的存在准则

定理1.3（两面夹准则）若数列{xn},{yn},{zn}满足以下条件：

（1），（2），则

定理1.4

若数列{xn}单调有界，则它必有极限。

2、数列极限的四则运算定理。

（1）

（2），（3）当时，3、当x→x0时，函数f（x）的极限等于A的必要充分条件是

这就是说：如果当x→x0时，函数f（x）的极限等于A，则必定有左、右极限都等于A。

反之，如果左、右极限都等于A，则必有。

4、函数极限的定理

定理1.7（惟一性定理）如果存在，则极限值必定惟一。

定理1.8（两面夹定理）设函数在点的某个邻域内（可除外）满足条件：

（1），（2），则有。

推论

：（1）

（2），（3）

5、无穷小量的基本性质

性质1　有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；

性质2　有界函数（变量）与无穷小量的乘积是无穷小量；特别地，常量与无穷小量的乘积是无穷小量。

性质3　有限个无穷小量的乘积是无穷小量。

性质4　无穷小量除以极限不为零的变量所得的商是无穷小量。

6、等价无穷小量代换定理：

如果当时，均为无穷小量，又有且存在，则。

7、重要极限Ⅰ

8、重要极限Ⅱ是指下面的公式：

9、（2）

（3）

（4）

10、函数在一点处连续的性质

由于函数的连续性是通过极限来定义的，因而由极限的运算法则，可以得到下列连续函数的性质。

定理1.12（四则运算）设函数f（x），g（x）在x0处均连续，则

（1）f（x）±g（x）

在x0处连续，（2）f（x）·g（x）在x0处连续

（3）若g（x0）≠0，则在x0处连续。

定理1.13（复合函数的连续性）设函数u=g（x）在x=

x0处连续，y=f（u）在u0=g（x0）处连续，则复合函数y=f[g（x）]在x=

x0处连续。

定理1.14（反函数的连续性）设函数y=f（x）在某区间上连续，且严格单调增加（或严格单调减少），则它的反函数x=f-1（y）也在对应区间上连续，且严格单调增加（或严格单调减少）

闭区间上连续函数的性质

在闭区间[a，b]上连续的函数f（x），有以下几个基本性质，这些性质以后都要用到。

定理1.15（有界性定理）

如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则f（x）必在[a，b]上有界。

定理1.16（最大值和最小值定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则在这个区间上一定存在最大值和最小值。

定理1.17（介值定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且其最大值和最小值分别为M和m，则对于介于m和M之间的任何实数C，在[a，b]上至少存在一个ξ，使得

f（ξ）=C11、闭区间上连续函数的性质

在闭区间[a，b]上连续的函数f（x），有以下几个基本性质，这些性质以后都要用到。

定理1.15（有界性定理）

如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则f（x）必在[a，b]上有界。

定理1.16（最大值和最小值定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则在这个区间上一定存在最大值和最小值。

f（ξ）=C12、推论（零点定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（a）与f（b）异号，则在[a，b]内至少存在一个点ξ，使得

f（ξ）=013、初等函数的连续性

定理1.18　初等函数在其定义的区间内连续。

利用初等函数连续性的结论可知：如果f（x）是初等函数，且x0是定义区间内的点，则

f（x）在x0处连续

也就是说，求初等函数在定义区间内某点处的极限值，只要算出函数在该点的函数值即可。

14、可导与连续的关系

定理2.1　如果函数y=f（x）在点x0处可导，则它在x0处必定连续。

15、由这个定理可知：若函数f（x）在x0不连续，则f（x）在x0处必定不可导。

16、导数的计算

1.基本初等函数的导数公式

（1）（C）＇=0

（2）（xμ）＇=μxμ-1

（3）（4）

（5）（ax）＇=axlna（a＞0,a≠1）

（6）（ex）＇=ex

（7）（8）

（9）（sinx）＇=cosx

（10）（cosx）＇=

-sinx

（11）（12）

（13）（secx）＇=secx·tanx

（14）（cscx）＇=

-cscx·cotx

（15）（16）

（17）（18）

2.导数的四则运算法则

设u=u（x），v=v（x）均为x的可导函数，则有

（1）（u±v）＇=u＇±v＇

（2）（u·v）＇=u＇·v+u·v＇

（3）（cu）＇=c·u＇

（4）

（5）

（6）（u·v·w）＇=u＇·v·w+u·v＇·w+u·v·w＇

3.复合函数求导法则

如果u=φ（x）在点x处可导，而y=f（u）在相应的点u=φ（x）处可导，则复合函数y=f[φ（x）]在点x处可导，且其导数为

同理，如果y=f（u），u=φ（v），v=ψ（x），则复合函数y=f[φ（ψ（x））]的导数为

4.反函数求导法则

如果x=φ（y）为单调可导函数，则其反函数y=f（x）的导数

17、微分的计算

dy=f′(x)dx

求微分dy只要求出导数f′(x)再乘以dx，所以我们前面学过的求导基本公式与求导法则完全适用于微分的计算。于是有下列的微分公式及微分法则：

（1）d（c）=0（c为常数）

（2）（为任意实数）

（6）d（ex）=exdx

（7）d（sin

x）=cos

xdx

（8）d（cos

x）=-sin

xdx

（17）d（c·u）=cdu18、微分形式不变性

设函数y=f(u)，则不论u是自变量还是中间变量，函数的微分dy总可表示为

dy=f′(u)du19、常用的凑微分公式：

1）、②，③

④，⑤，⑥

①，②③，④，⑤

⑥　⑦

20、常用的换元类型有：

被积函数类型

所用代换

代换名称

正弦代换

正切代换

根式代换

21、定积分的基本性质

（1）。（k为常数）。

（2）。

（3）。

（4）如果f（x）在区间[a,b]上总有f（x）≤g（x），则。

（5）

（6）设M和m分别为f（x）在区间[a,b]上的最大值和最小值，则有

（7）积分中值定理　如果f（x）在区间[a,b]上连续，则在区间[a,b]上至少存在一点，使得

22、变上限定积分求导定理

1.变上限定积分定义

定义

积分上限x为变量时的定积分称为变上限定积分。变上限定积分是积分上限x的函数，记作，一般有

2.变上限定积分求导定理

定理

如果函数f（x）在区间[a,b]上连续，则有

推论　①，②

③

23、计算定积分

1.牛顿——莱布尼茨公式

如果f(x)在区间[a,b]上的连续，且，则有

推论：(1)若f(x)为奇函数，则

(2)若f(x)为偶函数，则

2、定积分的分部积分法

24、定积分的应用

1.计算平面图形的面积

(1)X型：曲线y=f(x)，y=g(x)(f(x)≥g(x))和直线x=a,x=b(a≤b)所围成的平面图形的面积A为。

(2)Y型：曲线和直线y=c,y=d(c≤d)，所围成的平面图形的面积A为。

2.旋转体的体积

(1)X型

由连续曲线y=f(x)(f(x)≥0)和直线x=a,x=b(a

(2)Y型

由连续曲线和直线y=c,y=d(c

25、全微分

26、二元隐函数

设三元方程F(x,y,z)=0确定隐函数z=z(x,y)，如果F(x,y,z)对x,y,z存在连续偏导数，且，则z对x、y的偏导数为。

27、概率的基本性质与运算法则

性质1.0≤P(A)≤1，特别地，P(Φ)=0，P(Ω)=1

性质2.若，则P(B-A)=P(B)-P(A)

性质3.（加法公式）．对任意事件A，B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)。

推论1.若事件A，B互不相容（互斥），则P(A+B)=P(A)+P(B)

推论2.对任一事件A,有

推论3.对任意事件A，B，C，有P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

28、条件概率

定义1：设有事件A，B，且P(B)>0,称

29、概率的乘法公式，30、（1）数学期望的性质

①若C为常数，则E(C)=C，②若a为常数，则E(aX)=aE(X)

③若b为常数，则E(X+b)=E(X)+b　④若X,Y为随机变量，则E(X+Y)=E(X)+E(Y)

（2）方差的性质

①若C为常数，则D(C)=0；②若a为常数，则

③若b为常数，则D(X+b)=D(X)；

5.高考数学公式汇总篇五

●知识梳理 1.设A（x1，y1），B（x2，y2），则AB=（x2－x1，y2－y1）.22∴|AB|=（x2x1）（y2y1）.2.线段的定比分点是研究共线的三点P1，P，P2坐标间的关系.应注意：（1）点P是不同于P1，P2的直线P1P2上的点；（2）实数λ是P分有向线段P1P2所成的比，即P1→P，P→P

2x1x2x，1的顺序，不能搞错；（3）定比分点的坐标公式（λ≠－1）.yy2y113.点的平移公式描述的是平移前、后点的坐标与平移向量坐标三者之间的关系，xxh，yyk.特别提示

1.定比分点的定义：点P为P1P2所成的比为λ，用数学符号表达即为P1P=λPP2.当λ＞0时，P为内分点；λ＜0时，P为外分点.2.定比分点的向量表达式：

P点分P1P2成的比为λ，则OP=

11OP1+

1OP2（O为平面内任一点）.3.定比分点的应用：利用定比分点可证共线问题.●点击双基

1.（2004年东北三校联考题）若将函数y=f（x）的图象按向量a平移，使图象上点的坐标由（1，0）变为（2，2），则平移后的图象的解析式为

A.y=f（x+1）－2

B.y=f（x－1）－2 C.y=f（x－1）+2

D.y=f（x+1）+2 解析：由平移公式得a=（1，2），则平移后的图象的解析式为y=f（x－1）+2.答案：C 2.（2004年湖北八校第二次联考）将抛物线y=4x沿向量a平移得到抛物线y－4y=4x，则向量a为

A.（－1，2）C.（－4，2）

B.（1，－2）D.（4，－2）

2xxhxxh，解析：设a=（h，k），由平移公式得 yykyyk，代入y2=4x得

（y－k）2=4（x－h），y2－2ky=4x－4h－k2，第1页（共10页）

即y－2ky=4x－4h－k，∴k=2，h=－1.∴a=（－1，2）.答案：A 22思考讨论

本题不用平移公式代入配方可以吗? 提示：由y2－4y=4x，配方得（y－2）=4（x+1），∴h=－1，k=2.（知道为什么吗?）

3.设A、B、C三点共线，且它们的纵坐标分别为2、5、10，则A点分BC所得的比为 A.382

3B.83

8C.－

8D.－

3510解析：设A点分BC所得的比为λ，则由2=答案：C，得λ=－.834.若点P分AB所成的比是λ（λ≠0），则点A分BP所成的比是____________.解析：∵AP=λPB，∴AP=λ（－AP+AB）.∴（1+λ）AP=λAB.∴AB=1AP.∴BA=－

1AP.答案：－1

5.（理）若△ABC的三边的中点坐标为（2，1）、（－3，4）、（－1，－1），则△ABC的重心坐标为____________.解析：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），x1x22，2y1y21，2x1x33，xx2x32242则

∴1∴重心坐标为（－，）.33y1y2y34y1y34，2xx321，2yy321.2答案：（－23，43）

（文）已知点M1（6，2）和M2（1，7），直线y=mx－7与线段M1M2的交点M分有向线段M1M2的比为3∶2，则m的值为____________.第2页（共10页）

63232解析：设M（x，y），则x=

1=

1552732=3，y=

132=

4215=5，即M（3，5），代入y=mx－7得5=3m－7，∴m=4.答案：4 ●典例剖析

【例1】已知点A（－1，6）和B（3，0），在直线AB上求一点P，使|AP|=|AB|.31剖析：|AP|=|AB|，则AP=3113AB或AP=

13BA.设出P（x，y），向量转化为坐标运算即可.解：设P的坐标为（x，y），若AP=41x1，x，3解得3此时y62.y4.13AB，则由（x+1，y－6）=

13（4，－6），得

P点坐标为（，4）.3131若AP=－13AB，则由（x+1，y－6）=－（4，－6）得

477x1，x，3解得3∴P（－3y62.y8.，8）.综上所述，P（，4）或（－3173，8）.深化拓展

本题亦可转化为定比分点处理.由AP=λ=1213AB，得AP=

12PB，则P为AB的定比分点，代入公式即可；若AP=－1413AB，则AP=－

14PB，则P为AB的定比分点，λ=－.由两种方法比较不难得出向量的运算转化为坐标运算，是解决向量问题的一般方法.【例2】已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（4，1），B（3，4），C（－1，2），BD是∠ABC的平分线，求点D的坐标及BD的长.剖析：∵A、C两点坐标为已知，∴要求点D的坐标，只要能求出D分AC所成的比即可.解：∵|BC|=25，|AB|=10，∴D分AC所成的比λ=由定比分点坐标公式，得

ADDCABBC22.第3页（共10页）

24（1）2xD952，21∴D212y2.D212点坐标为（9－52，2）.22（24）=104682.∴|BD|=（9523）评述：本题给出了三点坐标，因此三边长度易知，由角平分线的性质通过定比分点可解出D点坐标，适当利用平面几何知识，可以使有些问题得以简化.深化拓展

本题也可用如下解法：设D（x，y），∵BD是∠ABC的平分线，∴〈BA，BD〉=〈BC，BD〉.∴BABD|BA||BD|BCBD|BC||BD|，即BABD|BA|=BCBD|BC|.又BA=（1，－3），BD=（x－3，y－4），BC=（－4，－2），∴x33y1210=4x122y820.① ∴（4+2）x+（2－32）y+92－20=0.又A、D、C三点共线，∴AD，AC共线.又AD=（x－4，y－1），AC=（x+1，y－2），∴（x－4）（y－2）=（x+1）（y－1）.x952，由①②可解得

y2.②

∴D点坐标为（9－52，2），|BD|=104682.思考讨论

若BD是AC边上的高，或BD把△ABC分成面积相等的两部分，本题又如何求解?请读者思考.【例3】已知在□ABCD中，点A（1，1），B（2，3），CD的中点为E（4，1），将 □ABCD按向量a平移，使C点移到原点O.（1）求向量a；

（2）求平移后的平行四边形的四个顶点的坐标.解：（1）由□ABCD可得AB=DC，设C（x3，y3），D（x4，y4），第4页（共10页）

则，x3x41y3y42.x42y4292①②

x3又CD的中点为E（4，1），则y397x4，x3，由①－④得22即y2，y0，434，1.③

④C（，2），D（72，0）.∴a=（－92，－2）.72（2）由平移公式得A′（－●闯关训练

夯实基础，－1），B′（－

52，1），C′（0，0），D′（－1，－2）.1.（2004年福州质量检查题）将函数y=sinx按向量a=（－式为

A.y=sin（x－C.y=sin（x+π4π4，3）平移后的函数解析）+3

B.y=sin（x－D.y=sin（x+

π4）－3 π4）+3

π4）－3

πxxh，xx，π解析：由得4∴y－3=sin（x+）.4yyk，yy3.∴y=sin（x+答案：C π4）+3，即y=sin（x+

π4）+3.2.（2003年河南调研题）将函数y=2sin2x的图象按向量a平移，得到函数y=2sin（2x++1的图象，则a等于

A.（－C.（π3π3π3），1）

π3

B.（－D.（π6π6π6，1），－1），1）

π6解析：由y=2sin（2x+答案：B）+1得y=2sin2（x+）+1，∴a=（－，1）.3.（2004年东城区模拟题）已知点P是抛物线y=2x+1上的动点，定点A（0，－1），若点M分PA所成的比为2，则点M的轨迹方程是____________，它的焦点坐标是____________.解析：设P（x0，y0），M（x，y）.第5页（共10页）

x0xx03x，3代入y0=2x02+1得3y+2=18x2+1，即18x2=3y+1，y03y2，yy023x2=16y+118=162（y+），∴p=31611112，焦点坐标为（0，－

724724）.答案：x=（y+）

（0，－

32）

24.把函数y=2x－4x+5的图象按向量a平移后，得到y=2x的图象，且a⊥b，c=（1，－1），b·c=4，则b=____________.解析：a=（0，0）－（1，3）=（－1，－3）.设b=（x，y），由题意得则b=（3，－1）.答案：（3，－1）

5.已知向量OA=（3，1），（－1，2），OB=OC⊥OB，BC∥OA.试求满足OD+OA=OC的OD的坐标.解：设OD=（x，y），则OC=（x，y）+（3，1）=（x+3，y+1），BC=OC－OB=（x+3，y+1）－（－1，2）=（x+4，y－1），（x3）（2y1）0，x3y0，x3，xy4，y1，则（（3y1）0.x4），x11y6，所以 OD=（11，6）.13146.已知A（2，3），B（－1，5），且满足AC=D、E的坐标.AB，AD=3AB，AE=－

AB，求C、解：用向量相等或定比分点坐标公式均可，读者可自行求解.C（1，E（114113），D（－7，9），52）.培养能力

7.（2004年福建，17）设函数f（x）=a·b，其中a=（2cosx，1），b=（cosx，3sin2x），x∈R.（1）若f（x）=1－3，且x∈［－

π3，π3］，求x；

π2（2）若y=2sin2x的图象按向量c=（m，n）（|m|＜）平移后得到函数y=f（x）的图象，第6页（共10页）

求实数m、n的值.解：（1）依题设f（x）=2cos2x+3sin2x=1+2sin（2x+由1+2sin（2x+∵|x|≤π3π6π6），）=1－3，得sin（2x+≤2x+

π6π6）=－

π332.π4，∴－π2≤

5π6.∴2x+

π6=－，即x=－.（2）函数y=2sin2x的图象按向量c=（m，n）平移后得到函数y=2sin2（x－m）+n的图象，即y=f（x）的图象.由（1）得f（x）=2sin2（x+8.有点难度哟！

（2004年广州综合测试）已知曲线x+2y+4x+4y+4=0按向量a=（2，1）平移后得到曲线C.（1）求曲线C的方程；

（2）过点D（0，2）的直线与曲线C相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，设DM=λMN，求实数λ的取值范围.解：（1）原曲线即为（x+2）2+2（y+1）2=2，则平移后的曲线C为x2+2y2=2，即x2π12）+1.又|m|＜

π2，∴m=－

π12，n=1.222+y=1.2（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），则

x2x，221x12y12，122由于点M、N在椭圆x+2y=2上，则 222y2yx22y22，.112y22x22（）（2）2，11即消去22x2y2.22234x2得，2λ+8λy2+8=2λ+4λ+2，即y2=

2.∵－1≤y2≤1，∴－1≤又∵λ＞0，故解得λ≥故λ的取值范围为［

1223412≤1..，+∞）.思考讨论

本题若设出直线l的方程y=kx+2，然后与x2+2y2=2联立，利用韦达定理能求解吗?（不要忘记讨论斜率不存在的情况）读者可尝试一下.探究创新

9.甲船由A岛出发向北偏东45°的方向做匀速直线航行，速度为152 n mile/h，在甲船从A岛出发的同时，乙船从A岛正南40 n mile处的B岛出发，朝北偏东θ（θ=arctan

12）

第7页（共10页）的方向作匀速直线航行，速度为105 n mile/h.（如下图所示）

（1）求出发后3 h两船相距多少海里?（2）求两船出发后多长时间相距最近?最近距离为多少海里? 解：以A为原点，BA所在直线为y轴建立如下图所示的坐标系.设在t时刻甲、乙两船分别在P（x1，y1），Q（x2，y2），则12x1152tcos4515t，y1x115t.由θ=arctan，可得cosθ=

255，sinθ=

55，x2=105tsinθ=10t，y2=105tcosθ－40=20t－40.（1）令t=3，P、Q两点的坐标分别为（45，45），（30，20）.22（45－20）=850=534，|PQ|=（4530）即两船出发后3 h时，两船相距534 n mile.2（y2y1）（2）由（1）的解法过程易知|PQ|=（x2x12）222210t15t）（20t4015t）=50t400t1600=50（t4）800≥202.=（∴当且仅当t=4时，|PQ|的最小值为202，即两船出发4 h时，相距202 n mile为两船最近距离.●思悟小结

1.理解线段的定比分点公式时应注意以下问题：（1）弄清起点、分点、终点，并由此决定定比λ；

（2）在计算点分有向线段所成比时，首先要确定是内分点，还是外分点，然后相应地把数量之比转化为长度之比.也可直接由定义P1P=λPP2获解.2.线段的定比分点的坐标表示，强化了坐标运算的应用，确定λ的值是公式应用的关键.3.关于平面图形的平移，主要确定的是平移向量.注意公式正、逆使用，并特别注意分清

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新旧函数解析式.4.配凑法、待定系数法、对应点代入法是确定平移向量的重要方法.●教师下载中心

教学点睛

1.线段的定比分点公式P1P=λPP2，该式中已知P1、P2及λ可求分点P的坐标，并且还要注意公式的变式在P1、P2、P、λ中知三可求第四个量.2.定比分点坐标公式要用活不要死记.可设出坐标利用向量相等列方程组.该解法充分体现了向量（形）与数之间的转化具有一般性.3.平移前后坐标之间的关系极易出错，要引导学生弄清知识的形成过程不要死记硬背.拓展题例

【例1】（2004年豫南三市联考）已知f（A，B）=sin22A+cos22B－3sin2A－cos2B+2.（1）设△ABC的三内角为A、B、C，求f（A，B）取得最小值时，C的值；（2）当A+B=π2且A、B∈R时，y=f（A，B）的图象按向量p平移后得到函数y=2cos2A的图象，求满足上述条件的一个向量p.解：（1）f（A，B）=（sin2A－

32）2+（cos2B－

12）2+1，ππ3，A或A，sin2A2π632得由题意∴C=3cos2B1，Bπ.62或C=

π2.（2）∵A+B=π2，∴2B=π－2A，cos2B=－cos2A.π3∴f（A，B）=cos2A－3sin2A+3=2cos（2A+从而p=（π6）+3=2cos2（A+

π6）+3.，－3）（只要写出一个符合条件的向量p即可）.3【例2】设曲线C的方程是y=x－x，将C沿x轴、y轴正向分别平移t、s单位长度后，得到曲线C1.（1）写出曲线C1的方程；（2）证明：曲线C与C1关于点A（t2s2，）对称.t2（1）解：C1：y－s=（s－t）3－（x－t）.（2）分析：要证明曲线C1与C关于点A（s2

①，）对称，只需证明曲线C1上任意一个点关于A点的对称点都在曲线C上，反过来，曲线C上任意一个点关于A点的对称点都在曲线C1上即可.证明：设P1（x1，y1）为曲线C1上任意一点，它关于点A（t2s2，）的对称点为

P（t－x1，s－y1），把P点坐标代入曲线C的方程，左=s－y1，右=（t－x1）3－（t－x1）.由于P1在曲线C1上，∴y1－s=（x1－t）3－（x1－t）.∴s－y1=（t－x1）3－（t－x1），即点P（t－x1，s－y1）在曲线C上.同理可证曲线C上任意一点关于点A的对称点都在曲线C1上.第9页（共10页）

6.高考数学公式汇总篇六

关键词:势函数;原函数;零点;积分上限;积分下限

中图分类号:G633.7 文献标识码:A文章编号:1003-6148(2009)11(S)-0078-2

数学是学习和研究物理学的重要工具,运用数学工具解决物理问题是大学物理教学中的重要环节,善于利用数学分析方法,能够更好地理解物理公式的含义。

首先,切莫淡化物理公式中变量的物理含义,而过分强调数学关系。学生在运用数学知识解决物理问题的过程中,往往撇开公式的物理意义,忘记公式所表达的物理现象之间的因果关系,容易造成错误。如电磁学中的场强公式:

E=FQ(1)

学生们往往会从公式的数学形式上得出结论:E正比于F或反比于Q。事实上,方程左端代表一物理事实,而右边代表一种定义的方法(测定方法),描述的是这样一个事实:将电量为Q的点电荷放在待测电场中时,受到的电场力为F,并不存在E正比于F或反比于Q的问题。克服这种思维偏差的主要措施,一是要强调公式的物理意义,理解公式所描述的物理现象与物理事实之间的因果关系、决定关系。二是要明确公式的来龙去脉,增强公式的物理色彩,突出对其物理意义的分析。

然而有一些物理公式,在保持其物理色彩的前提下,强调其数学本质,有时甚至过分地强调。实践证明,对于初学者来说,强调其数学本质可以帮助其更加深刻地理解物理公式的本质含义。

例如,大学物理中有关“势”函数的概念,与高等数学中“原”函数概念,有着对应关系。所以,在讲授“势”概念时,将其还原回到数学公式,利用掌握的微积分知识,可以澄清一些容易出错的概念。

高等数学知识告诉我们,如果一个函数f(x)有原函数F(x),则由牛顿-莱布尼茨公式可得到:

∫xx0f(x)dx=∫xx0dF(x)=F(x)-F(x0)(2)

x、x0分别为积分上、下限,且在同一数轴上,在学习“势”概念之前,学生对这一公式应该有了较深刻的理解。

静电场中“电势”φ(r)是这样定义的:

φ(r)-φ(r0)=∫r0rE(r)•dr(3)

公式(3)带着明显物理含义,与具有普遍意义的积分公式(2)有着一定的差别。显然,这种差别是表面上的,式中E为电场强度,r0、r分别为积分上、下限,且上限r0一般定义为电势的“零点”。

为了更好地理解这些变化的含义以及场强与电势之间的关系,将(3)式形式地还原为数学形式:

φ(r)-φ(r0)=∫rr0dφ(r)=∫r0rE(r)•dr=-∫rr0(E•dr )(4)

可以得到:

dφ=-E•dr=-dW(5)

我们一般定义电势的改变量为电势能增量的负值,之所以这样定义,从数学公式角度考察,“故意”将积分上下限颠倒,必然会得到这种结果;从物理含义角度来考察,之所以将上下限颠倒,是为了迎合物理习惯:一般情况下,保守力做功导致势能的减少,而数学只采用末态值减去初态值的方式来描述积分过程。

从(4)式还可以看出,积分变量不再局限于某一坐标轴上变化,可以是描述数量变化的任何变量。在力学、电磁学中,它通常是三维空间位置向量的大小。

从上述对比、分析过程不仅可以更加深刻地理解保守力做功的含义,而且有关“零点”定义的含义也搞清楚了。如果将上限r0处定义为零点,则任意点处电势为:

φ(r)-φ(r0)|=0=∫rr0-(E•dr)=∫rr0dφ(r)=φ(r)-φ(r0)(6)

值得注意的是,方程左端的φ(r0)=0,是“人为”的,是我们定义的零点,明显具有物理含义,而方程右端的φ(r)、φ(r0) ,取具体的数学计算结果(真实结果),φ(r0)不见得取“零”值。从式(6)亦可以看出,如果没有人为地将方程左端的φ(r0)设定为φ(r0)=0,那么,必须将r处真实值φ(r)修正为φ(r)-φ(r0)。

一般将有限带电体无穷远处定义为电势零点,即有:

φ(r)=∫∞rE•dr=∫r∞dφ(r)=φ(r)-φ(∞)(7)

一般情况下,有限带电体的φ(∞)=0,与左端“人为”定义的结果相同(巧合),故有:

φ(r)=∫∞rE(r)•dr(8)

初学者通常会将上式牢记在心, 并且习惯于解决无穷远处电势零点问题, 而容易把(6)、(7)式忽略,忽略的后果是,当遇到变换零点问题时,往往无计可施。例如,如果问题中涉及将零点定义在某有限距离r0处时,只要清楚“人为”的、“数学”的零点的含义,很自然地会利用(6)式来求任意点r处的电势。例如,任意点r处点电荷Q的电势φ(r),可以直接写为:

φ(r)=∫rr0-(E•dr)=∫rr0dφ(r)=∫rr0d(Q4πε0r)=Q4πε0(1r-1r0)(9)

显然,若生硬照搬公式,则(8)式爱莫能助。

总之,有些物理公式,可以通过将其数学化,来加深对其物理含义的理解。这样,将有助于培养学生运用数学知识、数学方法描述物理问题的能力,真正建立起物理上的数量关系的能力,增强运用数学知识的意识,提高运用数学工具的能力。

参考文献

[1]张三慧. 电磁学[M]. 北京:清华大学出版社, 2004:60-87.

[2]赵凯华, 罗蔚茵. 力学[M]. 北京:高等教育出版社, 2004:106-132.

[3]沈永欢等. 实用数学手册[M]. 北京:科学出版社, 2004:175-200.

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