离散数学练习复习题

离散数学练习复习题（共10篇）

1.离散数学练习复习题 篇一

八年级上册数学数据的离散程度练习题精选

1.(2011重庆潼南中考)4.下列说法中正确的是()

A.“打开电视，正在播放《新闻联播》”是必然事件

B.想了解某种饮料中含色素的情况,宜采用抽样调查

C.数据1，1，2，2，3的`众数是3

D.一组数据的波动越大,方差越小

2.(2011衢州市中考)3、在九年级体育中考中，某校某班参加仰卧起坐测试的一组女生(每组8人)测试成绩如下(单位：次/分)：44，45，42，48，46，43，47，45.则这组数据的极差为()

A、2B、4C、6D、8

3.数据0、1、2、3的标准差是()

A.1B.2C.3D.4

4.样本方差的计算式S2=[(x1-30)2+(x2-30)]2+…+(xn-30)2]中，数字20和30分别表示样本中的()

A.众数、中位数B.方差、标准差

C.样本中数据的个数、平均数D.样本中数据的个数、中位数

5.(2011湘潭市中考)2.数据：1，3，5的平均数与极差分别是()

A.3，3B.3，4C.2,3D.2,4

6.一组数据的方差为S2，将该数据每一个数据，都乘2，所得到一组新数据的方差是()

A.B.S2C.2S2D.4S2

7.已知一组数据：-1，x，0，1，-2的平均数是0，那么，这组数据的方差是()

A.B.2C.4D.10

2.离散数学练习复习题 篇二

教师针对授课内容,根据认知规律以及知识点,可以在知识的核心问题上精心设计一些练习,争取在短时间内将重点部分突出练习也就是专项训练,以达到巩固概念,抓住基础知识的效果。

在教师引导学生学完异分母分数加减法的新知后,教师出示练习题。

第一,师:老师要看看同学们学会没有,这组题是我们前面做过的通分题,看谁能口算出结果?

第二,大屏幕出示判断题:

第三,出示例题:人们在日常生活中产生的垃圾叫生活垃圾。(1)废金属和纸张是垃圾回收的主要对象,它们在生活垃圾中共占几分之几?(2)危险垃圾多还是食物残渣多?多多少?

当学生回答后,师:先不着急计算,大家看看第(2)问,你知道危险垃圾多还是食物残渣多?怎么判断呢?

教师精心设计的三道练习题从不同侧面综合地检测了学生对新知的掌握情况。第一道题有效地利用了课前复习中的通分题,在数学知识前后呼应的同时使学生更能进一步体验转化思想的应用价值。第二题主要强化训练了学生的计算能力即基本技能的掌握。三题教师能够注意挖掘教材中例题的设计意图——数学生活化,培养学生利用所学知识解决实际问题的能力。

二、与主体相适,注重学生学习的规律

根据认知心理学的理论,学生学习数学的过程,首先是一个把教材知识结构转化为自己的数学认知结构的过程。在课堂教学中,接收新的知识后学生虽然能形成新的数学认知结构,但这种结构是处于一种框架状态下,是一种不稳定的结构,还需要进一步的夯实和完善。通过对练习题的设计,就能使学生的这个认知结构变得更加自然、灵活、高效、稳定。

如乘数末位有0的乘法,一般有这样的几种情况,一是一个乘数末位有0,另一个乘数末位没有0;二是两个乘数末位都有0;三是相乘时第一部分积的末尾有一个0,也就是第一次相乘时又出现了一个0,如450×40。如果学生掌握了第三情况的计算,就说明学生对乘数末位有0的乘法掌握得比较好。所以教师出题时要突出这种题的练习。在小数乘法中感到困难的是,乘得积的末位有0,到底先划去0再点小数点,还是先点小数点再划0。这就需要我们除了在教学时把相关问题讲清楚外,还要加强这方面的练习。

三、与整体相联,注重前后知识的沟通

学生理解和掌握知识、形成技能等都不是一次性可以完成的,而是要在初步理解的基础上,经过多次练习才能得到巩固、运用、提高,注重前后知识的沟通,促使知识系统化。

如四年级下册“三角形三边的关系”中的一道练习题,在能拼成三角形的各组小棒下面画:√”。(单位:厘米)

(1)3,4,5 (2)3,3,3

(3)2,2,6 (4)3,3,5

教师在指导学生完成该练习时可作一些补充。

第一,补多几个练习题,如第5组小棒的三条长度是6、8、10,第6组小棒的三条长度是4、4、7。

第二,让学生根据三角形三边的关系进行判断解答并在小组交流自己判断的结果和理由。

第三,用课前准备好的相关长度的小棒试摆三角形,特别要注意所围成的三角形的形状有什么特征。

在用小棒试摆三角形的环节,学生又有了惊喜的发现,第1组和第5组小棒围成的三角形是直角三角形;第2组小棒围成的三角形每条边的长度相等;第4、6组小棒围成的三角形有两条边的长度相等。学生甚至直接说出了这几个三角形的种类一直角三角形、等边三角形和等腰三角形。

从这个练习可以看出,学生在参与练习的过程中,会积累一些数学经验知识,但这种数学经验知识是零散的感性认识,需要教师指导学生对不同练习进行深化比较,以便上升为有条理的、系统的知识,这种练习是非常重要的。

四、与思想结合,注重思想方法的培养

数学思想,就是对数学的知识内容和所使用方法的本质认识,就是从某些具体数学认识过程中提炼出的一些观点,它在后继认识运动中被反复证实其正确性,带有一般意义和相对稳定的特征。这是对数学规律的理性认识。

3.加大习题练习 提高数学能力 篇三

关键词：提高数学能力；激活思维；培养能力

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）06-347-01

美国数学家哈尔莫斯也指出“学习数学的唯一方法是做数学”。做数学就是运用数学知识和方法从事数学练习和解决问题的实践活动，它是学生理解和掌握数学知识、探索和认识世界的有效途径，也是发展思维能力和创造性解决问题能力的有效途径。因此，我们应该在教学工作中，以学生的发展为本，让学生在“做”中探索，在“做”中体验求知的无穷乐趣，并不断地产生“做”的需要，以不断地获得新的动力，不断地得到新的发展。

一、在“做”中激发学生学习数学的兴趣，激活思维

“兴趣是最好的老师”。兴趣对学生的学习起着巨大的推动和内驱作用，它能有效地把学生的注意力引导到学习中去；例如：教学人教版初中数学第十一册的《圆的周长》时，在课前运用CAI课件演示一个动感的画面：一只蚂蚁沿着一个圆爬行了一周，并用变色、闪烁的效果把它定格在屏幕上，引导学生观察、比较，问学生怎样算蚂蚁爬行的路程（即圆的周长），这时学生个个积极开动脑筋，想出了多种多样的方法，还积极动手操作、验证。学生的学习兴趣提高了，主动寻求解决问题的方式方法也会多种多样。正如苏联教育家苏霍姆林斯基说：“在人的内心深处，都有一种根深蒂固的需要，就是希望感到自己是一个发现者、研究者、探索者，而在儿童的精神世界中这种需要特别强烈。”；教师的教学并不以知识的传授为最终目的，而是在于增强学生的创新意识、培养学生的创新能力和实践能力。激发学生的问题意识、加深对问题的理解深度、探求解决的办法，特别是形成自己对解决问题的独到见解为目的，即由“要我学”到“我要学”。所以，在课堂上要把复杂、抽象的问题简单化、形象化，达到手、脑并用，使学生愿学、乐学。

在数学课堂教学中，教师要让学生亲历知识的发生发展过程，尽量培养学生主体意识，问题让学生自己去揭示，方法让学生自己去探索，规律让学生自己去发现，知识让学生自己去获得。课堂上，教师只提供给学生现实情境、充足的思考时间和活动空间，给学生表现自我的机会和成功的体验，培养学生的自我意识，发挥学生的主体作用，从而真正实现《数学课程标准》中提出的“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者”这一教学理念。

二、在“做”中促使学生获得求知的方法

苏霍姆林斯基曾说：“在手与脑之间有着千丝万缕的联系，这些联系起着两方面的作用：手使脑得到发展，使他更加明智；脑使手得到发展，使它变成创造的、聪明的工具”。《新课程标准》指出“让学生在做中学”。学生的思维离不开实践活动。开放学生的双手，让学生动手操作的过程，其实质是学生手、眼、脑等多种感官协同活动并参与学习活动的过程。它不仅能使学生学得生动活泼，而且能启迪大脑思维，对所学过的知识理解更深刻。我们力图“让课堂成为一个各抒已见的场所，一个探索问题的场所，一个聆听他人发言、互相启发、取长补短的场所。”在课堂教学中创设应用性操作的情境或条件，使学生在操作中掌握知识技能，提高数学能力，正如瑞士的教育心理学家皮亚杰说的“知识来源于动作”和前苏联教育家苏霍姆林基说的“儿童的智慧在他手指尖上”讲的就是这个道理。

每次在学生体验到探索给他们带来的乐趣时，我也体验到“做中学”这种科学教育理念给我的工作带来的快乐和丰硕的收获。事实上，当学生在“做中学”的同时我也在“做中学”，我们都在“做中学”的科学乐园里一起经历着探究和发现的快乐，体验着成功的喜悦！

三、在“做”中培养学生解决问题的能力

著名教育家陶行知先生说：“单纯的劳动，不能算做，只能算蛮干；单纯的想，只是空想；只有将操作与思维结合起来才能达到思维之目的。”因此，动手操作是帮助学生掌握知识，发展潜能的“金桥”，是学生求知增智的重要环节。

学生在教师创设的学习情镜中，愉快学习，学得轻松，学得开心，他们在“玩中学、”“做中学”、“思中学”，他们有了充分自主活动的时空，有了广泛交流思想的机会，他们大胆发表个人见解，在争论中活跃了思维，在碰撞中喷发出朵朵智慧的火花。

例如：教学人教版初中数学第十一册《圆的周长》时，学生动手操作测量圆的周长时，有一组学生把一个圆平均分成64份，然后沿着半径剪开，再拉直，求出圆周率。这说明学生的思维动起来了，能够发挥想象，思维得到了发展，能力得到了提高，真正体现了学生思维的迸发。

4.离散数学函数复习题答案 篇四

一、选择题（每题3分）

1、设A{a,b,c},B{1,2,3}，则下列关系中能构成A到B函数的是（C）

A、f1{a,1,a,2,a,3}B、f2{a,1,b,1,b,2}

C、f4{a,1,b,1,c,1}D、f1{a,1,a,2,b,2,c,3}

2、设R、Z、N分别为实数集、整数集，自然数集，则下列关系中能构成函数的是（B）

A、{x,y|(x,yN)(xy10)}B、{x,y|(x,yR)(yx2)}

C、{x,y|(x,yR)(y2x)}D、{x,y|(x,yZ)(xymod3)}

3、设Z为整数集，则二元关系f{a,baZbZb2a3}（B）

A、不能构成Z上的函数B、能构成Z上的函数

C、能构成Z上的单射D、能构成Z上的满射

4、设f为自然数集N上的函数，且f(x)

10若x为奇数若x为偶数，则f（D）

A、为单射而非满B、为满射而非单射C、为双射D、既非单射又非满射

5、设f为整数集Z上的函数，且f(x)为x除以5的余数，则f（D）

A、为单射而非满B、为满射而非单射C、为双射D、既非单射又非满射

6、设R、Z分别为实数集、整数集，则下列函数为满射而非单射的是（C）

A、f:RR,C、f:RZ,A、f:RR,C、f:RR,f(x)x6B、f:RR,f(x)[x]D、f:RR,2f(x)(x6)f(x)x6x 627、设R、R、Z分别为实数集、非负实数集、正整数集，下列函数为单射而非满射的是（B）f(x)x7x1 B、f:ZR,f(x)lnx； f(x)xD、f:RR,f(x)7x

18、设Z、N、E分别为整数集，自然数集，偶数集，则下列函数是双射的为（A）

A、f : ZE , f(x)2xB、f : ZE , f(x)8x

C、f: ZZ,f(x)8D、f : NNN,f(n)n,n1

9、设X3,Y4，则从X到Y可以生成不同的单射个数为（B）．

A、12B、24C、64D、8110、设X3,Y2，则从X到Y可以生成不同的满射个数为（B）．

A、6B、8C、9D、6411、设函数f:BC，g:AB都是单射，则fg:AC（A）

A、是单射B、是满射C、是双射D、既非单射又非满射

12、设函数f:BC，g:AB都是满射，则fg:AC（B）

A、是单射B、是满射C、是双射D、既非单射又非满射

13、设函数f:BC，g:AB都是双射，则fg:AC（C）

A、是单射B、是满射C、是双射D、既非单射又非满射

14、设函数f:BC，g:AB，若fg:AC是单射，则（B）

A、f是单射B、g是单射C、f是满射D、g是满射

15、设函数f:BC，g:AB，若fg:AC是满射，则（C）

A、f是单射B、g是单射C、f是满射D、g是满射

16、设函数f:BC，g:AB，若fg:AC是双射，则（D）

A、f,g都是单射 B、f,g都是满射 C、f是单射, g是满射 D、f是满射, g是单射

二、填充题（每题4分）

1、设Xm,Yn，则从X到Y有2mn 种不同的关系，有nm 种不同的函数．

2、设Xm,Yn，且mn，则从X到Y有Anm 种不同的单射．

3、在一个有n个元素的集合上，可以有2不同的双射．

1，若x为奇数



4、设f为自然数集N上的函数，且f(x)x

若x为偶数2，n

种不同的关系，有nn 种不同的函数，有n!种,则f(0)0，f[{0}]{0}，f[{1,2,3}]{1}，f[{0,2,4,6,}]N．

5、设f,g是自然数集N上的函数,xN,f(x)x1,则fg(x)2x1，gf(x)2(x1)．

g(x)2x，三、问答计算题（每题10分）

1、设A{2，3，4}，B{2，4，7，10,12}，从A到B的关系

R{a,baA,bB,且a整除b}，试给出R的关系图和关系矩阵，并说明此

关系R及其逆关系R1是否为函数？为什么？

解：R{2,2,2,4,2,10,2,12,3,12,4,4,4,12}，则R的关系图为：

R的关系矩阵为MR



100

000

1

1 1

关系R不是A到B的函数，因为元素2，4的象不唯一

逆关系R1也不是B到A的函数 因为元素7的象不存在．

2、设Z为整数集，函数f：ZZZ，且f(x,y)xy，问f是单射还是满射？ 为什么？并求f(x,x),f(x,x)．

解：xZ, 0,xZZ，总有f(0,x)x，则f是满射；

对于1,2,2,1ZZ,，有f(1,2)3f(2,1)，而1,22,1，则f非单射；

f(x,x)2x,f(x,x)0．

3、设A{1,2}，A上所有函数的集合记为AA, “”是函数的复合运算，试给出AA上运算“”的运算表，并指出AA中是否有幺元，哪些元素有逆元？ 解：因为A2，所以A上共有224个不同函数，令A

f

1(1)1,f(2)2;

A

{f1,f2,f3,f4}，其中：

f(1)1,f(2)1;f(1)2,f(2)2;f(1)2,f4(2)1

A

f1为A中的幺元，f1和f4有逆元．

4、设R为实数集，函数f：RRRR，且f(x,y)xy,xy，问f是双射吗？为什么？并求其逆函数f



1(x,y)及ff(x,y)．

解： x1,y1,x2,y2RR，若f(x1,y1)f(x2,y2)，有x1y1,x1y1x2y2,x2y2，则x1,y1x2,y2，故f是单射；

2且f(x,y)xy,xyu,v，则f是满射，故为双射； xyxy, ； 22

ff(x,y)f(xy,xy)f(2x,2y)． f

1

u,vRR，令x

uv，y

uv，则x,yRR，(x,y)

四、证明题（每题10分）

1、设函数f：AB，g：BC，g和f的复合函数gf：AC，试证明：如果gf是双射，那么f是单射，g是满射． 证明：x1,x2A且f(x1)f(x2)B，则gf(x1)g[f(x1)]g[f(x2)]gf(x2)，因gf是单射，有x1x2，故f是单射；

cC，因gf是满射，aA，使cgfa()g[fa()]，而f(a)B，故g是满射．

注：如果gf是单射，那么f是单射；如果gf是满射，那么g是满射．

2、设f是A上的满射，且fff，证明：fIA．

证明：因f是满射，则对aA，存在a1A，使得f(a1)a，则ff(a1)f[f(a1)]f(a)，由 fff，知a1a，于是f(a)a，由a的任意性知fIA．

3、设函数f：AB，g：BA，证明：若f证明： 因f



11

g,fg

1，则gfIA,fgIB．

g,则yB,g(y)f

1

(y)xA，有g(y)x,f(x)y，于是，对yB，有fg(y)f[g(y)]f(x)yIB(y)，知fgIB；

1

又fg1，则对xA,f(x)g(x)y，有f(x)y,g(y)x，于是，对xA，有gf(x)g[f(x)]g(y)xIA(x)，知gfIA．

4、设函数f：AB，g：BA，证明：若gfIA,fgIB，则f



1g,fg

1

．

证明：因恒等函数IA是双射，则gf是A上的双射，有f是单射，g是满射； 同样，恒等函数IB是双射，则gf是B上的双射，有f是满射，g是单射； 所以，f和g都是双射函数，其反函数都存在，故有f注：设函数f：AB，g：BA，证明： f

1

1

g,fg

1

1

．

g,fg

 gfIA,fgIB．

5、设函数f：AB，g：B(A)，对于bB，g(b){xxAf(x)b}，(A)为A的幂集，证明：如果f是A到B的满射，则g是B到(A)的单射．

5.离散数学复习重点 篇五

1、集合的运算以及运算律；

2、关系的三种表示方法，以及他们之间的转化；

3、常见关系的定义；

4、哈斯图的画法，以及最大最小元、极大极小元、上下界，上下确界的求法；

5、单射、满射以及双射的证明（尤其是在代数系统中）；

6、代数系统的概念以及代数系统的常用性质，能够证明具体的代数系统的运算律，找出单

位元，零元、以及逆元等；

7、环和格只要记住不同的环和格满足的运算律就好；

8、各种图和树的概念及相关的结论，比如：欧拉图的充要条件，哈密顿图的充分条件、必

要条件、充要条件等；

9、图的矩阵计算；

10、会画一些简单的树；

11、五种联结词的真值表；

12、一些要求记住的命题公式；

13、命题公式的证明；

14、命题公式的析取范式，合取范式，主析取范式和主合取范式的求法。

题型：填空题、证明题和解答题。

友情提醒：

1、周三下午一点半到三点半在逸夫楼519答疑。

2、概念、定理和公式请务必记住，可能会出填空题；

3、考试内容不会超出我们的重点；

6.离散数学习题与参考答案 篇六

一、填空题

1、设是偏序集,如果_________, 则称是(偏序)格.2、设〈B,∧,∨,′，0，1〉是布尔代数，对任意的a∈B,有a∨a′=____,a∧a′=______.3、一个格称为布尔代数，如果它是______格和______格.4、设<>是有界格，a,bL,若ab=0,则a=b=_____；若ab=1,则a=b=____.二、证明题

1、设是格，a,b,c,dL。试证：若ab且cd，则

a∧cb∧d2、证明：在有补分配格中，每个元素的补元一定唯一。

3、设是一布尔代数，则

R={ | ab=b}是S上的偏序关系

4、若是一个格，则对任意a、b、cA，有若a≤c且b≤c，则a∨b≤c。

5、若是一个格，则对于任意a，bA，证明以下两个公式等价；

（1）a≤b

（2）a∨b =b6、证明：如果格中交对并是分配的，那么并对交也是分配的，反之亦然。

7、如果是有界格，全上界和全下界分别是1和0，则对任意元素aA，证明：

7.数学课堂练习题教学设计的探索 篇七

一、注重单项练习, 突出重点, 突破难点

教完新知识后, 为让学生领悟新知识或矫正学习中存在的某些缺陷与障碍, 应当进行针对性的单项练习.习题可取自课本练习, 或教师自行设计, 以达到突出重点, 突破难点之功效.

例如, 教师在教授“含30°的直角三角形的性质”后, 不应立即进行范例教学, 而是完成下列一组练习.

找出下列图形中含30°的直角三角形, 并指出哪两条边具有倍半关系: (1) 等边△ABC中, AD是高 (图1) ; (2) Rt△ABC中, ∠ACB=90°, CD是高, ∠A=30° (图2) ; (3) 在△ABC中, ∠A=60°, CD、BE分别是两条高 (图3) .

这组练习, 紧扣教学重点, 为新知识的再现与理解提供了条件, 通过知识的初步应用, 学生能基本掌握解题方法, 形成技能.

二、设计深化性练习, 防止思维定势, 促进知识迁移

新知识点经过单项练习得到初步强化后, 教师应根据教材内容, 作深化性练习, 如讨论问题的一题多解、问题的特殊情形、问题的推广、可逆性等;或者与此相关的不同类型的习题, 对知识点子以迁移性的应用, 消除思维定势, 以提高学生的辨析能力, 培养其解决问题的能力.

1.设计一题多解练习, 让学生举一反三, 善于发现, 有所前进

对于“一题多解”, 如果是不同角度的解法, 在思路上拉开的距离较大, 应用的知识改换较多, 能够加深对题目本质的理解、加深对每个解法本质的理解、加深对所用概念、定理公式及相互联系的理解.这样的一题多解, 这样才是有价值的.

例如对于“已知a、b、c、x都是实数, 并且a<b<c, 试求|x-a|+|x-b|+|x-c|的最小值”的一题的三种解法.

解法1:首先, 运用实数绝对值定义, 分情况打开绝对值号, 得原式

$=\{\begin{array}{l}-(x-a)-(x-b)-(x-c)‚(x\le a)\\ x-a-(x-b)-(x-c)‚(a<x\le b)\\ x-a+x-b-(x-c)‚(b<x\le c)\\ x-a+x-b+x-c‚(x>c)\end{array}$

整理得, 原式

$=\{\begin{array}{l}a+b+c-3x‚(x\le a)\\ -a+b+c-x‚(a<x\le b)\\ -a-b+c+x‚(b<x\le c)\\ 3x-(a+b+c)‚(x>c)\end{array}(*)$

由 (*) 得函数f (x) =|x-a|+|x-b|+x-c|的图象如图1所示,

显然, f (x) 的图象在x=b时为最低点, 即x=b时, f (x) 得到最小值, 为f (b) =|b-a|+|b-b|+|b-c|=c-a.

解法2:|x-a|表示点x和点a之间的距离, |x-a|+|x-b|+|x-c|表示了点x到点a、b、c的距离之和, 当三条线段没有重叠部分时, 该和最小, 此时x=b, 这最小和为点a、c间的距离, 为|a-c|=c-a.如图2所示.

接着, 再让学生独立思考, 合作交流, 将问题加以推广, 得到其一般规律:

当给出a<b<c<d时, x取点b、点c间 (包括b、c) 的任一值, |x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|皆得最小值, 它为 (d-a) + (c-b) ;

当给出a<b<c<d<e时, 取x=c时, |x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|得最小值, 它为 (e-a) + (d-b) ;

以此类推, a、b、c、d、…有奇数个时, 使x为中间的1个;a、b、c、d、……有偶数个时, 使x为中间的两个之间的任一值 (包括这两个值) , 皆可得到所求式的最小值.

2.设计一题多变练习, 促进知识的融会贯通

例如, 已知:如图3, 在四边形ABCD中, E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.

求证:四边形EFGH是平行四边形.

在讲解完这一道题后, 引导学生作一题多证的课堂练习, 提示学生可从证“两组对边分别平行”或“两组对边分别相等”两方面考虑, 从而得到两种不同证法 (如图4) .这样, 不但帮助学生开拓了思路, 学生的解题能力也得到了提高, 知识得到了深化.

在此基础上, 还可以再做一题多变的深化性练习:将例题中的题设“四边形ABCD”换为“平行四边形ABCD”或“矩形ABCD”或“菱形ABCD”或“正方形ABCD”或“梯形ABCD”或“等腰梯形ABCD”等六种情况, 所得的四边形分别是什么图形?

这样, 通过对问题的深化, 学生将所学知识融会贯通, 思维的广阔性、深刻性、灵活性都能得到进一步的提高.

三、利用综合性练习, 揭示知识间的纵横联系, 提高解题能力

教师在组织综合练习时要有明确的目的, 要精选题目, 使其具有典型性、代表性、综合性.让学生应用已经理解的公理、定理、公式、概念、数学方法等知识去解决一些复杂的综合练习题.

例如, 在学习二次函数后, 为了使学生理解二次函数与二次方程、二次不等式间的联系, 可设计一道综合题:

已知二次函数y=2x2-4x-6.

(1) 求此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标, 并画出图象;

(2) 求图象与x轴、y轴的交点的坐标, 并求出以此三点为顶点的三角形的面积;

(3) x为何值时, 有y>0, y=0, y<0

(4) 求图象向左移3个单位, 再向上平移2个单位后, 所得的图象的函数解析式.

这道综合题由几个不同类型的基础题组成, 可使学生举一反三, 触类旁通.知识间的纵横联系得到体现, 课堂容量增大, 且减轻了学生的课业负担, 教学效果显著提高.

四、设计层次性练习, 实施分层达标

为了面向全体学生, 大面积地提高教学质量, 我们在教学中设计了层次性的作业, 分A、B、C三组.A组题以模仿为主, 题目与教材中的示范相似;B组题以熟练掌握为主, 题目条件稍复杂;C组题以灵活运用为主, 题目综合性较强, 涉及的知识面较宽, 解题方法具有一定的技巧.

例如, 学完“平方差公式”一节后, 可设计下列三组练习.

A组计算:

(1) (a+b) (a-b) ; (2) (p-q) (p+q) ;

(3) (a+b) (-b+a) ; (4) (-y+z) (y+z) ;

(5) (x+2y) (x-2y) ;$(6)(\frac{1}{5}-m)(\frac{1}{5}+m).$

B组计算:

(1) (-1+2y) (-1-2y) ; (2) (-7-x) · (7-x) ;

(3) (3x3+4) (3x3-4) ;$(4)(4m{}^2-\frac{1}{2})(\frac{1}{2}+4m{}^2).$

C组计算:

(1) (a+b+c) (a-b-c) ; (2) 962-42;

(3) (2x-y) (2x-y) - (2y-3x) (3x+2y) .

在练习中, 要求基础较弱的学生只做A组和选做B组, 中等生必须做A、B组和选做C组, 优等生A、B、C三组全做, 这样, 让每位学生都能找到适合自己的练习进行尝试, 体验到成功的喜悦, 增强学习的信心.

五、在学生练习的反馈教学中, 突出数学思想方法对解题的指导

例如, 在因式分解复习课的教学中, 我设计了下面的例1和例2, 并让学生先独立做题, 教师再讲解, 在讲解过程中, 重点突出整体思想对解题的指导.

(1) 通过换元明确整体思想

【例1】 分解因式: (x2+x) 2-14 (x2+x) +24.

在变量思想的指导下, 学生很快就能想到用换元法进行分解因式, 即设x2+x=u, 则原式=u2-14u+24= (u-2) (u-12) = (x2+x-2) (x2+x-12) = (x+2) (x-1) (x+4) (x-3) .在此基础上, 引导学生抓住换元法的特点是把x2+x看作一个整体, 使学生明确整体思想.

(2) 通过解题发展整体思想

【例2】 分解因式: (x2-3x+2) (x2-3x-4) -72.

在整体思想的指导下, 学生很容易就得到以下三种解题方案.

方案1:将 (x2-3x) 看作一个整体, 则原式= (x2-3x) 2-2 (x2-3x) -80=…= (x—5) (x+2) (x2-3x+8) .

方案2:将x2-3x+2看作一个整体, 则原式= (x2-3x+2) 2-6 (x2-3x+2) -72=…= (x-5) (x+2) · (x2-3x+8) .

方案3:将x2-3x-4看作一个整体, 则原式= (x2-3x-4+6) (x2-3x-4) -72= (x2-3x-4) 2+6 (x2-3x-4) -72=…= (x-5) (x+2) (x2-3x+8) .

8.谈谈小学数学复习课的练习设计 篇八

【关键字】 复习 练习设计 误区 设计原则 设计方法与要求

小学数学复习课就是把平时相对独立进行教学的知识，以再现、整理、归纳等形式串起来，进而加深学生对知识的理解、沟通，并使之条理化、系统化。复习课是小学数学教学中常见的课型，它有别于新课和练习课，它的主要功能是通过查漏补缺，迸一步巩固、深化基础知识，提高学生的技能、学习能力和解决实际问题的能力。据统计，复习课占据了教学总课时的三分之一。因此，改革传统复习课教学模式，上好复习课，使复习课更好地服务于素质教育就显得尤为重要，它是完善和发展课堂教学改革十分关键的一步。

复习课有三个基本的环节：知识整理、练习、反馈。这三个环节相辅相承，不可或缺。本文笔者以小学五年级数学《长方体和正方体》这一单元的复习为例，谈谈自己对“复习课的练习设计”这个环节的看法。

《长方体和正方体的整理和复习》的教学设计

1．教学内容：课本56页

2．教学目标：

（1）通过学生自己动手，归纳整理出本单元的知识点，培养学生的复习归纳和整理的能力。

（2）能运用长方体、正方体的相关知识解决生活中的实际问题，培养学生善于观察，敢于提出不同的见解。并能用数学思想解决问题，培养学生合理、灵活的解题能力。

3．教学重点与难点：

让学生自己整理知识要点；让学生运用长方体、正方体的相关知识解决生活中的实际问题，从感性的认识转化为理性的认识。

教学过程：

一、 以练带理

1.老师课前叫各小组准备的长方体和正方体都带来了吗？

2.让学生量出它们的长、宽、高并计算表面积和体积。

二、知识整理

1.在解答这道题的过程中，我们应用到哪些知识？同学们能说说这个单元还学过哪些知识吗？指名让学生回答。

2.我们这节课主要复习两个方面的内容：一是长方体和正方体的特征，二是表面积、体积、容积的概念及计算方法。

3.出示课件，让学生根据课件的要求进行小组讨论学习。

学生汇报长方体和正方体的特征。

4.出示课件：长方体和正方体的特征。

让学生说长方体和正方体的相同点和不同点。

5.做课本56页第一题。

6.让学生汇报长方体和正方体相关的概念和计算公式。

三、要点检查

出示课件：

一.判断题：

1. 棱长6厘米的正方体的表面积和体积相等。

2. 一个长方体木块锯成两块，表面积比原来的大。

3. 计算一个木箱的体积和容积的方法一样，所以体积和容积是相等的。

二.选择题:

1.做一个长方体的水箱需要多少铁皮是求水箱的（），水箱所占空间的大小是求水箱

的（），水箱能装多少升水是求水箱的（）。

A.体积 B.容积 C.表面积

2. 正方体的棱长扩大2倍，它的体积就扩大( )倍。

A.2 B.4 C.8

三.计算题：

1.一个长方体鱼塘长8m,宽5m,深2m，这个鱼塘的容积大约是多少立方米？

2.一正方体总棱长为120厘米，它的表面积是多少平方厘米？

3. 公园南面要修一道长30m，厚20cm，高3m的围墙。如果每立方米用砖500块，这道围墙一共用砖多少块？

让学生独立完成，并汇报点评。

小结：求长方体和正方体的表面积、体积和容积需要知道的条件：长、宽、高。

四、拓展运用

1.下面我们一起去看看发生在小明家的一个小片段，请同学们看大屏幕，并仔细听听爸爸与小明之间的对话。(出示课件)

2.同学们敢接受小明的挑战吗？让学生独立完成，并汇报点评。

出示课件，爸爸要小明求假珊瑚石的体积，让学生说说可以用什么办法，并利用排水法所得的数据求出珊瑚石的体积。

利用排水法可求得最大的珊瑚石为：10×3×（3－2）=30(dm3)

小结：求不规则物体的体积方法：排水法。

五、质疑与小结

六、布置课外实践活动。

1.长方体和正方体表面积和体积的知识在实际生活中运用是非常广泛的。现在我们一起来看一个案例：

某乳品厂要定做一种牛奶箱，规格：240mL×12盒，每一小盒牛奶的长、宽、高分别为6cm、4cm、10cm（纸盒的厚度忽略不计）。如果要你来当设计师，你会怎样设计？

当前，小学数学复习课中练习题设计普遍存在的问题与误区：

1．部分教师把复习课的练习等同于新授课练习

当前，有部分教师对练习的认识不深，只是机械的照搬课本的练习重复做，只是让学生停留在熟练与巩固的层次上，殊不知复习课中的练习既不同于新授课，更不同于练习课。新授课目标集中，只需攻下知识上的一个或几个“点”；练习课是将某一点或一部分知识转化为技能技巧；复习课不是旧知识的简单再现和机械重复，而是把平时相对独立地进行教学的知识，其中特别重要的是把带有规律性的知识，以再现、整理、归纳等办法串起来，进而加深学生对知识的理解、沟通，并使之条理化、系统化。

2．部分教师沉溺于题海战术

部分教师受应试教育思想的影响，认为学生多做多练就能学好，觉得练习必然是旧知识的简单再现和机械重复，搞面面俱到和题海战术。结果是学生乏味，教师烦恼。有些教师上复习课，先是一大段复习讲解，几乎占去大半节课的时间。这样的复习课，事实上好比是压缩饼干式的新授课，把五、六节课的内容压缩在一节课里重新讲解一遍，学生被迫跳进题海，期望以多取胜，到头来常常是事倍功半。究其原因，许多教师在帮助学生复习的过程中为解题而解题，满足解对求出为止，至于从解题中可获得哪些启示，既无时间顾及也无此意识，降低了解题的收益率。其实，在实际的数学复习课中最忌讳的就是题海战术。

如何设计出既高效率又能提升学生综合能力的练习题是上好复习课的关键。主要可从两个方面入手：

一、设计原则

1．紧贴教学目标原则

复习课的练习必需紧贴教学目标，教学目标起着导教导学的作用。我们在确定一节复习课的复习目标时，要考虑目标必须全面、准确、有度，复习课上教师应紧紧围绕目标组织教学，引导（ben文由wuyanrenjia收集整理）学生在复习课堂上带着目标学习。复习课的练习题千千万万，有难有易，就象散落的珍珠，这就要求教师，能根据教学目标和课的类型，以及生源情况，围绕一个小主题，去精心筛选，然后再串成一条线，为主题服务。可以个个是简单题，可以是由易到难，也可以只由一个难题而展开。因此，要求数学教师胸中要有无数题，而且对每道题的结构了如指掌，落实到课上只有几道题。只有这样，学生的复习工作才有了方向性，学生才不会迷失方向。

2．少而精原则

设计数学练习时，既要考虑练习的质量，也要考虑练习的数量，要辩证地处理好练习“质与量”的关系，做到少而精。复习课练习的精选题非常重要，精选题可以是：（1）本册新授例题。（2）学生作业常错题。（3）本册单元测试经典题。（4）历届期末试题经典。（5）其他学习资料好题剪切。

3．培养学生梳理知识能力原则

复习课的练习设计要能充分发挥学生的自主性，让学生积极、主动参与复习全过程，在练习中让学生参与归纳、整理，不要用教师的归纳代替学生的整理。在复习中要体现：知识让学生疏理；规律让学生寻找；错误让学生判断。充分调动学生学习的积极性和主动性，激发学生学习兴趣。

4．查漏补缺原则

平时学习中，学生不可避免地存在一些缺漏。教师要通过课堂练习、课外作业等，掌握这方面的情况，有的错误和缺点，教师虽然作了纠正，但不一定能完全解决问题。因此，对于教材上那些容易混淆和学生在练习时容易出差错的地方，要通过复习课来补缺。

二、复习课练习的设计方法与要求

1．增强复习课练习的趣味性

复习课与新授课不同，复习课上的练习往往都是学生已经见过和练过的，因此，往往缺乏新意。在帮助学生整理与复习时，如果只是机械的安排一些课本的题目给学生做，学生往往在复习课上提不起精神，感到没有兴趣。那么怎样的练习才能激发学生的兴趣呢?

（1）创设问题情境，让练习显得生动有趣。机械的重复是任何人都会觉得枯燥乏味的，所以我在上复习课的时候就想办法创设一些故事情境，把他们吸引过来，把复习题一道一道的融入到故事情境中，让他们去闯关、去游戏、去玩，这样吸引他们的兴趣，从而更好地复习。例如，我在《长方体和正方体的整理和复习》的第四部分“拓展应用”中，创设了小明和爸爸做鱼缸的一个情境，学生不仅表现得十分积极主动，而且因为小明的挑战而兴趣盎然，很快就把这道题中所涉及到的两个知识要点掌握：一个是长方体的表面积，一个是不规则物体体积的求法。学生的实际应用能力得到了很大的提升。

（2）可采取游戏练习法提高学生的兴趣。先让学生根据自己喜好选择书上复习题做，还要说用到哪些知识解决问题的。后来采取做游戏的形式，写成一张张单个纸条，你抽到哪道题就做哪道，做对了还要说一说用什么知识解决的，得到大家认可就将名字写在纸条后面，把纸条贴到教室里固定的一面墙上，这样每人都有自己的题目，极大的调动了学生的积极性。我也用过这种方法：在复习课之前，让学生把学过的知识用表格形式或大括号形成行成知识体系图，已经掌握的和没掌握的都制成体系图，在小组内合作学习，交流解决，再全班解决剩下的内容，最后教师组织学生进行知识的梳理达到复习的目的。

2．练习题的设计要有针对性

复习中对学生掌握知识的薄弱环节，对一些易混、易错的知识应设计针对性练习，让学生从比较中区分掌握知识。

3．练习的设计要有典型性

复习课的练习要具有知识的概括性，能抓住知识理解的关键，突出揭示知识的特征。例如:我在复习《长方体和正方体》的时候，出示了三道练习题：

（1）一个长方体鱼塘长8m,宽5m,深2m，这个鱼塘的容积大约是多少立方米？

(2)一正方体总棱长为120厘米，它的表面积是多少平方厘米？

(3)公园南面要修一道长30m，厚20cm，高3m的围墙。如果每立方米用砖500块，这道围墙一共用砖多少块？

在这三道练习中，包括了长方体和正方体的总棱长、表面积、体积、容积，学生只要解决了这三道题，几乎这个单元的知识点都包括在里面了。

4．练习的设计要有层次性

我们所面对的是一个班集体，在一个班集体里有优生，当然也有中差生，这就要求我们在设计练习的时候要设计不同类型、不同层次的练习题，从模仿性的基础练习到提高的变式练习再到拓展性的思考练习，照顾不同层次的学生需要，这样才能使学生始终保持高昂的学习热情。例如，我在复习《长方体和正方体的整理和复习》的时候，在第一题的设计中，让学生求长方体和正方体的表面积和体积，只要把长宽高的数据直接代入公式即可求出，这样有利于提高学生的学习信心，特别是中差生的信心。然后，在接下去的练习中逐渐的增加难度。从这个练习的设计我们可看出了习题的坡度与层次，这样既让学生通过训练提高了能力，又能够适应不同层次的学生。

5．练习的设计要有探究性和开放性

学生和教师在课堂教学中是辩证统一的关系，教师不能只把学生当作学习知识的工具，学生是生动活泼、有思维的主体，教师应该要设计一些有探究性和开放性的练习，让学生在动脑、动手、动口的同时不断探究新问题，以培养学生的创新意识和问题意识。例如：我在《长方体和正方体的整理和复习》这节课的第六部分“布置课外实践活动”，让学生通过设计牛奶的箱子，既动脑，又动手，可以培养学生的创新意识和实际问题解决能力。

9.离散数学课后习题答案 篇九

（1）p∨(q∧r) 0∨(0∧1)0（2）（p↔r）∧(﹁q∨s)（0↔1）∧(1∨1)0∧10.（3）（p∧q∧r）↔(p∧q∧﹁r)（1∧1∧1）↔(0∧0∧0)0(4)（r∧s）→(p∧q)（0∧1）→(1∧0)0→01 17．判断下面一段论述是否为真：“是无理数。并且，如果3是无理数，则2也是无理数。另外，只有6能被2整除，6才能被4整除。”

答：p: 是无理数

q: 3是无理数

0

r: 2是无理数

s: 6能被2整除t: 6能被4整除

0

命题符号化为： p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。19．用真值表判断下列公式的类型：（4）(p→q)→(q→p)（5）(p∧r)(p∧q)（6）((p→q)∧(q→r))→(p→r)答：

（4）

p

q

p→q

q

p

q→p

(p→q)→(q→p)

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

所以公式类型为永真式

（5）公式类型为可满足式（方法如上例）（6）公式类型为永真式（方法如上例）

第二章部分课后习题参考答案

3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.1(1)(p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)(p∨(p∨q))∨(p∨r)p∨p∨q∨r1

所以公式类型为永真式

(3)P

q

r

p∨q

p∧r

（p∨q）→(p∧r)0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0 0

0

0 1

0

0

0

0 1

0

1

0

0

0 1

所以公式类型为可满足式

4.用等值演算法证明下面等值式：(2)(p→q)∧(p→r)(p→(q∧r))(4)(p∧q)∨(p∧q)(p∨q)∧(p∧q)证明（2）(p→q)∧(p→r)(p∨q)∧(p∨r)p∨(q∧r))p→(q∧r)（4）(p∧q)∨(p∧q)(p∨(p∧q))∧(q∨(p∧q)(p∨p)∧(p∨q)∧(q∨p)∧(q∨q)1∧(p∨q)∧(p∧q)∧1 (p∨q)∧(p∧q)5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值

(1)(p→q)→(q∨p)(2)(p→q)∧q∧r(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)解：

（1）主析取范式

(p→q)→(qp)(pq)(qp)(pq)(qp)(pq)(qp)(qp)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)m0m2m3

∑(0,2,3)主合取范式：

(p→q)→(qp)(pq)(qp)(pq)(qp)(p(qp))(q(qp))1(pq)(pq) M1

∏(1)(2)主合取范式为：

(p→q)qr(pq)qr (pq)qr0 所以该式为矛盾式.主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7)矛盾式的主析取范式为 0(3)主合取范式为：

(p(qr))→(pqr)(p(qr))→(pqr)(p(qr))(pqr)(p(pqr))((qr))(pqr))11 1 所以该式为永真式.永真式的主合取范式为 1 主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案

14.在自然推理系统P中构造下面推理的证明：(2)前提：pq,(qr),r 结论：p(4)前提：qp,qs,st,tr 结论：pq

证明：（2）

①(qr)前提引入 ②qr ①置换 ③qr ②蕴含等值式 ④r 前提引入 ⑤q ③④拒取式 ⑥pq 前提引入 ⑦￢p（3）⑤⑥拒取式

证明（4）：

①tr 前提引入 ②t ①化简律 ③qs 前提引入 ④st 前提引入

⑤qt ③④等价三段论 ⑥（qt）(tq)⑤ 置换 ⑦（qt）⑥化简 ⑧q ②⑥ 假言推理 ⑨qp 前提引入 ⑩p ⑧⑨假言推理(11)pq ⑧⑩合取

15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理：

4(1)前提：p(qr),sp,q 结论：sr 证明

①s 附加前提引入 ②sp 前提引入 ③p ①②假言推理 ④p(qr)前提引入 ⑤qr ③④假言推理 ⑥q 前提引入 ⑦r ⑤⑥假言推理

16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：

(1)前提：pq,rq,rs 结论：p 证明：

①p 结论的否定引入 ②p﹁q 前提引入 ③﹁q ①②假言推理 ④￢rq 前提引入 ⑤￢r ④化简律 ⑥r￢s 前提引入 ⑦r ⑥化简律 ⑧r﹁r ⑤⑦ 合取

10.离散数学练习复习题 篇十

1、设下面所有谓词的论域D={a、b、c}。试将下面命题中的量词消除，写成与之等值的命题公式。分析：本题主要是考察对全称量词、存在量词的理解，然后通过合取词、析取词把全称量词和存在量词消去。（1）xRxSx

解：R(a)R(b)R(c)S(a)S(b)S(c)（2）xPxQ(x)

解：P(a)Q(a))P(b)Q(b)P(c)Q(c)（3）x7P(x)xP(x)

解：7P(a)7P(b)7P(c))P(a)P(b)P(c)

2、指出下列命题的真值：

分析：本题主要是考察合式公式的解释的定义，已经判定给定解释下合式公式的真值。（1）xPQ(x))R(e)

其中，P:“3＞2”,Q(x):“x3”,R(x):“x＞5”,e:5，论域D={-2，3，6} 解：假。

（x为-2时不成立）（2）xP(x)Q(x)

其中，P(x):“x＞3”,Q(x):“x4”，论域D={2}。解：真。

3、在一阶逻辑中，将下列命题符号化：

分析：本题主要是考察存在量词、全称量词已经基本的连接词的运用。（1）凡有理数均可表示为分数。

解：令：P(x)： x是有理数；Q（x）:x可表示为分数。

x(P(x)Q(x))

（2）有些实数是有理数。解：P（x）：:x是实数，Q(x)：x是有理数。

xPxQ(x)

（3）并非所有实数都是有理数。解：P（x）：:x是实数，Q(x)：x是有理数。

x(P(x)Q(x))

（4）如果明天天气好，有一些学生将去公园。

解：P（x）: x去公园

S（x）: x是学生

W：明天天气好

Wx(P(x)S(x))

（5）对任意的正实数，都存在大于该实数的实数。解：P（x）: x是实数；

G（x, y）：:x大于y。

x(P(x)y(P(y)G(y,x)))（6）对任意给＞0，x0a,b，都在存在N，使当n＞N时，有

fx0fnx解：G（x，y）: x＞y, Sx:xa,b

＜

x0G,0Sx0Nn(Gn,NG(,f(x0)fn(x))))

4、指出下列公式中的自由变元和约束变元，并指出各量词的作用域。

分析：本题主要是考察自由边缘、约束变元的定义，以及量词的作用域的概念。（1）xPxQxxRxQz

解；自由变元z, 约束变元x, 第一个x的作用域是PxQx，第二个是R(x)。

（2）x(P(x)y(Q(y))(xP(x)Q(z))

中的Px 解：自由变元z，约束为元：x，y。第一个x的作用域为PxyQy



第二个x的作用域为第二个P(x)； y的作用域为Q(y)。（3）x(P(x)Q(x))yR(y)s(z)

解：自由变元：z，约束变元：x和y；

x的作用域为(P(x)Q(x))，y的作用域为R(y)

（4）x(F(x)yH(x,y))

解：无自由变元

约束变元x，y；

x的作用域：(F(x)yH(x，y))，y的作用域：H(x,y)

（5）xF(x)G(x,y)

解：自由变元：y与G(x，y)中的x，约束变元：F(x)中的x；

x的作用域：F(x)（6）xy(R(x,y)Q(x,z))xH(x,y)

解：自由变元：Z与H(x，y)中的y；

约束变元：x,y, x和y的作用范围：(R(x,y)Q(x,z)，x的作用范围：H(x,y)

5．设谓词公式x(P(x,y)Q(x,z))。判定以下改名是否正确 ：

分析：本题主要是考察改名规则的定义，以及它的适用范围。有兴趣的同学可以顺便了解一下代替规则情形。

（1）u(P(u,y)Q(x,z))

解：错误（2）u(P(u,y)Q(u,z))

解：正确（3）x(P(u,y)Q(u,z))

解：错误（4）u(P(x,y)Q(x,z))

解：错误（5）y(P(y,y)Q(y,z))

解：错误 6．设I是如下一个解释 ：

D:a，b，P(a，a):1，P(a,b):0，P(b,a):0，P(b,b):1。

试确定下列公式在I下的真值：

分析：本题主要考察合式公式在特定解释下的真值。（1）xyP(x,y)

解：真

（2）xyP(x,y)

解：假

（3）xy(P(x,y)P(y,x))解：真（4）xP(x,x)

解：真

7．判断下列公式的恒真性和恒假性

分析：本题主要是根据已知的命题公式、合式公式的基本等值式来进行推导，看该合式公式是与1等值还是与0等值。

（1）xF(x)xF(x)

解：恒真（2）xF(x)(xyG(x,y)xF(x))

解：恒真（3）xF(x)(x(F(x)yG(y))

解：恒真（4）(F(x,y)F(x,y))

解：恒假

8．设G（x）是恰含自由变元x的谓词公式，H是不含变元x的谓词公式，证明：（1）x(G(x)H)xG(x)H（2）x(G(x)H)xG(x)H 分析：本题根据量词作用域的扩张进行证明。证明（1）

x(G(x)H)x(7G(x)H)x7G(x)H7(xG(x))HxG(x)H

证明（2）

x(G(x)H)x(7G(x)H)x7G(x)H7(xG(x))HxG(x)H

9．设G（x，y）是任意一个含x，y自由出现的谓词公式，证明：（1）xyG(x，y)yxG(x，y)

分析：本题主要是根据两个合式公式等值的定义进行证明。证：设D是论域，I是G（x，y）的一个解释。

（a）若xyG(x，y)在I下的为真，则在I下，对任意的x,yD,G(x,y)即yxG(x,y)是真命题，反之亦然。

（b）若xyG(x,y)在I下为假，则在I下必存在x0D或y0D，使得G（x0, y）或G（x, y0）为假，于是，此xo或yo亦弄假yxG(x,y)，反之亦然。

（2）xyG(x，y)yxG(x，y)

分析：本题主要是根据两个合式公式等值的定义进行证明。

证：设D是论域，I是G（x, y）的一个解释。

（a）若xyG(x，y)在I下为真，则在I下存在x0D与y0D,使G（x0,y0）为真命题，于是，yxG(x,y)也是真命题，反之亦然。

（b）若xyG(x，y)在I下为假，则对任意x，yD，G（x, y）均为假，故yxG(x,y)亦为假，反之亦然。

10．将下列公式化成等价的前束范式：

分析：本题主要是根据已知的基本等值式通过消去蕴含连接词、等价连接词，依据改名规则、代替规则进行等值演算化成前束范式。

（1）xF(x)xG(x)

解：xF(x)xG(x)xF(x)xG(x)x(F(x)G(x))（2）xF(x)xG(x)解：

xF(x)xG(x)xF(x)xG(x)x(7F(x))xG(x)x(7F(x)G(x))

（3）(xF(x,y)yG(y))xH(x,y)

解：

(xF(x,y)yG(y))xH(x,y)(7(xF(x,y))yG(y))xH(x,y)(x(7F(x,y))zG(z))xH(x,y)xz(7F(x,y)G(z))xH(x,y)xz(F(x,y)7G(z))uH(u,y)xzu((F(x,y)G(z))H(u,y))

（4）x(P(x)yQ(x,y))

解：x(P(x)yQ(x,y))x(7P(x)yQ(x,y))xy(7P(x)Q(x,y))

11．给出下面公式的skolem范式：

分析：本题主要是根据已知的基本等值式通过消去蕴含连接词、等价连接词，依据改名规则、代替规则进行等值演算化成前束范式，然后根据前束范式写出对应的skolem范式。

（1）7(xP(x)yzQ(y,z))解：

7(xP(x)yzQ(y,z))(xP(x)yzQ(y,z)xyz(P(x)Q(y,z))

∴所求为:xz(P(x)Q(f(x),z))

（2）x(7E(x,o)(y(E(y,g(x))zE(z,g(x))E(y,z)))))解: 原式x(7E(x,o)(yz(E(y),g(x)E(z),g(x)E(y,z))))

x(7E(x,o)7(yz(E(y)g(x))E(y,g(x)E(y,z))))x(7E(x,o)(u7(E(y),g(x))E(,g(x)E(y,z))))

x(7E(x,o)u((7(E(u),g(x)))(7E(1g(x)))E(y,z))

xu(E(x,o)((7E(u,g(x)))(7E(,g(x)))E(y,z))

即为所求

（3）7(xP(x)yP(y))

解：7(xP(x)yP(y))7(7xP(x)yP(y)7(x7P(x)yP(y)

7(xy(7P(x)P(y)))xy(P(x)7P(y))即为所求。

12．假设xyM(x，y)是公式G的前束范式，其中M（x, y）是仅仅包含变量x，y的母式，设f是不出现在M（x, y）中的函数符号。证明：G恒真当且仅当xyM(x,f(x))恒真。

分析：本题主要是用反证法，根据解释的定义来证明结论成立。

证：设GxyM(x，y)恒真。若xM(x,f(x))不真，则存在一个解释I, 使得对任意的x0D（论域），M(x0,f(x0))为假。于是，G在I下也为假。此为矛盾。

反之，设xM(x,f(x))恒真。若xyM(x，y)不是恒真，则存在一个解释I’，使得对任意xiD，存在yiD，使M(xi，yi)为假。由于f是不出现在M(x，y)中的函数符号，故可定义函数f:使得f(xi)yi。于是，xM(x,f(x))在I’下为假。矛盾。

故结论成立。13．证明

DD，(x)(P(x)Q(x))(x)(Q(x)R(x))(x)(P(x)R(x))

分析：本题是根据基本的等值式、蕴含式、以及US、UG、ES、EG规则证明结论成立。证：（1）(x)(P(x)Q(x))(x)(Q(x)R(x))前提引入

(2)(x)(P(x)Q(x))

化简（1）

（3）P(y)Q(y)

US规则，根据（2）（4）(x)(Q(x)R(x))

化简（1）

（5）Q(y)R(y)

US规则，根据（4）

（6）P(y)R(y)

假言三段论，根据（3），（5）（7）(x)(P(x)R(x))

ES规则，根据（6）

14．构造下面推理的证明：

分析：本题是根据基本的等值式、蕴含式、以及US、UG、ES、EG规则证明结论成立。前提：x(F(x)H(x)),x(G(x)H(x))结论：xG(x)7F(x)

证：（1）x(F(x)H(x))

前提引入

（2）x(7F(x)7H(x))

等价式（1）（3）x(H(x)7F(x))

等值式（2）（4）H(y)7F(y)

US规则（3）（5）x(G(x))H(x)

前提引入（6）G(y)H(y)

US规则（5）（7）G(y)F(y)

假言三段论（4），（6）

（8）x(G(x)7F(x))

UG规则（7）

15．指出下面两个推理的错误。

分析：本题主要是考察US、UG、ES、EG规则的适用范围，也就是前提条件。（1）x(F(x)G(x))

前提引入

（2）F(y)G(y)

US规则，根据（1）（3）xF(x)

前提引入

（4）F（y）

ES,(3)（5）G（y）

假言推理，（2），（4）（6）xGx

UG,(5）

解：（4）错误。Fy中的变元y与（2）中的变元重名。

（1）xyx，y

前提引入（2）yF(z,y)

US规则，（1）（3）F(z,c)

ES规则，（2）（4）xFx,c

UG，（3）（5）yxF(x,y)

EG，（4）解：（3）错误。在yF(z,y)中变元并非只有y。

16.每个学术会的成员都是知识分子并且是专家，有些成员是青年人。证明：有的成员是青年专家。分析：本题主要是首先把明天符号化，符号化前提，结论。然后根据US、UG、ES、EG规则证明结论成立。

解：P（x）：x是学术会的成员；

E（x）：x是专家；

G（x）：x是知识分子；

Y（x）：x是青年人。

前提：x(P(x)G(x)E(x)),(x)(P(x)Y(x))结论：x(P(x)Y(x)E(x))

证明：（1）x(P(x)G(x)E(x)))

前提引入

（2）P(c)(G(x)E(c))

US,(1)

（3）x(P(x)Y(x))

前提引入（4）P(c)Y(c)

ES,（3）（5）P（c）

化简（4）

（6）G(c)E(c)

假言推理,（2），（5）（7）E（c）

化简,（6）

（8）Y(c)

化简,（4）

（9）P(c)Y(c)E(c)

合取（5）（7）（8）（10）x(P(x)Y(x)E(x))