《随机事件》教学反思

《随机事件》教学反思（精选8篇）

1.《随机事件》教学反思 篇一

篇一：随机事件的概率教学反思

教学反思

根据本节课的内容及学生的实际水平，在教学中，采用启发、引导、探索、讨论交流的方式进行组织教学。充分调动学生的主动性、积极性使学生真正成为学习主体.整个教学过程贯穿“怀疑”—“思索”—“发现”—“解惑”四个环节，学生随时对所学知识产生有意注意，符合学生认知水平，培养了学习能力。

“概率”概念枯燥抽象，学生似懂非懂；抛币试验简单无趣，道理似易实难；教学活动，单调乏味；思辩之美，无从体会——“随机事件的概率”对许多高中教师而言，“食之无味、弃之可惜”．抛币试验是取是舍？频率估计概率的题型训练是否必要？再三权衡，笔者认为，抛币试验是本节课的精华，唯有亲历随机过程，体会其随机性与规律性，才能真正理解概率概念；另外，关于频率估计概率的题型训练，笔者则一笔带过——因为频率估计概率，重在其思想方法，而非具体操练，而且对具体估计值的处理，没有确信的统一方法．希望通过这节课的教学，能使学生感受到随机现象有趣的一面，纠正生活中一些错误常识，更客观的看待一些“偶然”情况；能使学生在紧张而活泼的教学环节中，亲历随机性和规律性的统一过程；能使学生初步理解随机性，并感受利用统计方法处理随机性中的规律性——随机性是表象，规律性才是我们研究的主题．

当然，课堂是一个动态的过程，为使严谨的课堂更具弹性，我还做了其他准备，比如模拟抛掷骰子试验，赌徒分金币等学生感兴趣的且与本节课相关的问题，以便适时的给学生拓宽知识，让学生更充分地感受到数学知识在生产、生活、娱乐、服务等方面的广泛应用。创设情境，引导经历概念和模型构建的过程.概率涉及到很多的新概念和模型，要使这些新概念变为学生自己的知识，必须与学生已有的知识经验建立起广泛的联系这就要求我们在概念和模型的教学过程中，必须根据学生的生活，学习经验，创设丰富的问题情境，引导学生自己去生成概念、提炼模型，发现计算的法则，教师且不可因教学时间紧而淡化概念、模型构建的过程否则，学生因获得孤立的概念、模型，无法在纷繁的问题情景中去辨认，从而导致解题思想僵化.构建知识网络，引导把握各知识点间的联系与区别.学生能否准确迅速地运用概念和模型解题，主要取决于他们对概念和各模型之间的联系和区别是否真正把握，我们平时说“夯实基础，提高能力”，从本质上说就是引导学生把握知识间的联系和区别，即教材的知识结构是否转化为自己的认知结构因此，在概率的教学过程中，教师要随时引导学生将获得的新概念、新模型和已有的概念和模型进行对照和比较，找出它们之间的联系和区别，优化自己的认知结构充分展示建模的思维过程，引导感悟模型提取的思维机制.概率问题求解的关键是寻找它的模型，只要模型一找到，问题便迎刃而解而概率模型的提取往往需要经过观察、分析、归纳、判断等复杂的思维过程，常常因题设条件理解不准，某个概念认识不清而误入歧途因此，在概率应用问题的教学中，教师应随时充分展示建模的思维过程，使学生从问题的情境中感悟出模型提取的思维机制，获取模型选取的经验，久而久之，感受多了，经验丰富了，建模也就容易了，解题的正确率就会大大提高

篇二：随机事件的概率教学反思及说课稿

《3.1.1随机事件的概率》说课稿

梁潇

一、教材的地位和作用

“随机事件的概率”是人教a版《数学必修3》第三章第一节的内容，本节课是其中的第一课时．课程标准要求：“在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别”．并指出：“概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义”．要求“教师应通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验，正确理解随机事件发生的不确定性及其频率的稳定性，并尝试澄清日常生活遇到的一些错误认识．”本节课“随机事件的概率”主要研究事件的分类，概率的意义，概率的定义及统计算法。现实生活中存在大量不确定事件，而概率正是研究不确定事件的一门学科。作为“概率统计”这个学习领域中的第一节课它在人们的生活和生产建设中有着广泛的应用，它以初中概率学为基础，又为选修2-3重新进行了知识建构，所以它在教材中处于非常重要的位置。

二、教学目标

1、教学目标：

（1）知识目标：使学生了解必然事件，不可能事件，随机事件的概念；理解频率和概率的含义和两者的区别和联系.（2）能力目标：培养学生观察和思考问题的能力，提高综合运用知识的能力和分析解决问题的能力.（3）德育目标：结合随机事件的发生既有随机性，又存在着统计规律性，了解偶然性寓于必然性之中的辨证唯物主义思想.（4）情感目标：通过师生、生生的合作学习，培养学生团结协作的精神和主动与他人合作交流的意识.同时，概率的定义与性质是学生学习概率的基石，其中也蕴含了重要的数学思想，因此，我确定重点、难点和教学方法如下：

2、教学重点：①事件的分类；②概率的统计定义；③概率的性质.3、教学难点：随机事件的发生所呈现的规律性.4、教学方法：以多媒体教学课件为教学辅助.三、学情分析

学生在初中阶段学习了概率初步，对频率与概率的关联有一定的认识，有阅读、观察的基础，具备一定的合作交流，自主探究能力。但学生的表达能力、归纳能力相对较弱，教学过程中要不断增强学生学习的兴趣，让学生主动发掘本节课的重点。

四、教材的重点和难点

随机现象在日常生活中随处可见，概率是研究随机现象规律的学科，它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法，所以我依据课程标准确定以下重难点。

重点：事件的分类；了解随机事件发生的不确定性和概率的稳定性；正确理解概率的定义。

难点：随机事件的概率的统计定义。由于概念比较抽象，突破难点的重要途径是注重它们的实际意义，通过实例、实验来加深学生对概念的理解。

五、学法与教学用具：

1、引导学生对身边的事件加以注意、分析，结果可定性地分为三类事件：必然事件，不可能事件，随机事件；指导学生做简单易行的实验，让学生自主发发现随机事件发生可能性的大小及确定其大小的方法；

2、教学用具：硬币，幻灯片，计算机及多媒体教学设备．

六、教学过程

篇三：随机事件的概率教学案例分析与教学反思

随机事件的概率教学案例分析与教学反思

李代友

案例的背景：

教材：人民教育出版社出版高中数学第二册（下）

课题：随机事件的概率

【教案设计说明】 1.作为高中数学必修内容的最后一个部份，本章在整个高中数学中占有重要地位 概率，在概率论与数理统计已获得今日社会的广泛应用、概率已成为日常生活的普通常识的今天，对它进行初步学习更是显得十分重要：可以获得概率的一些基本知识，了解其中的一些基本观念和思考方法，运用它解决一些简单的实际问题，并为到高中三年级以及进一步学习概率统计知识打好必要的基础

2、以学生为主体，问题探索为主线，体现新课改的理念与发展方向。教师激发学生的学习主动性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索与合作交流的过程中，真正理解和把握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引领者与合作者。为了培养学生的探究能力，因而本课的设计主要在转变学生学习方式、培养探究能力方面作一尝试。

教案及其分析：

【教学内容】人民教育出版社出版高中数学第二册（下）第十一章第一节 《随机事件的概率》

【知识与技能】随机事件及其概率

【过程能力与方法】

教学目标：

1.了解必然事件，不可能事件，随机事件的概念 2.理解随机事件在大量重复试验的情况下，其发生呈现规律性

3.掌握概率的统计定义及概率的性质

教学重点：随机事件的概念及其概率

教学难点：随机事件的概念及其概率

能力练习：以实验沟通频率与概率之间的桥梁，培养学生综合分析问题解决问题的能力。

【态度情感与价值观】

在概率综合应用的教学过程中，渗透数学实验思想及探索精神，培养学生思维的广阔性和严谨性。

【教学模式】探究讨论式

【探究过程】

（一）.设置情景： 1名数学家＝10个师

在第二次世界大战中，美国曾经宣布：一名优秀数学家的作用超过10个师的兵力．这句话有一个非同寻常的来历．

1943年以前，在大西洋上英美运输船队常常受到德国潜艇的袭击，当时，英美两国限于实力，无力增派更多的护航舰，一时间，德军的“潜艇战”搞得盟军焦头烂额．

在自然界和实际生活中，我们会遇到各种各样的现象．如果从结果能否预知的角度来看，可以分为两大类：一类现象的结果总是确定的，即在一定的条件下，它所出现的结果是可以预知的，这类现象称为确定性现象；另一类现象的结果是无法预知的，即在一定的条件下，出现哪种结果是无法预先确定的，这类现象称为随机现象．

确定性现象，一般有着较明显的内在规律，因此比较容易掌握它．而随机现象，由于它具有不确定性，因此它成为人们研究的重点．

随机现象在一定条件下具有多种可能发生的结果，我们把随机现象的结果称为随机事件．

（二）.探索研究： 1．随机事件

（出示投影）下列哪些是随机事件？

（1）导体通电时发热；

（2）某人射击一次，中靶；（3）抛一石块，下落；

（4）在常温下，焊锡熔化；

（5）抛一枚硬币，正面朝上；

（6）在标准大气压下且温度低于 时，冰融化．

由一名学生回答，然后教师归纳：

在一定条件下必然要发生的事件，叫做必然事件；在一定条件下不可能发生的事件，叫做不可能事件；在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件．

可让学生再分别举一些例子．

[目的在于让学生认清、分清几种事件的区别] 篇四：9上25.1《随机事件与概率》教学反思

教学反思

1．成功之处

历经实验操作、观察、思考和总结，归纳出三种事件的各自的本质属性，并抽象成数学概念.概念也让学生来完成，把课堂尽量多地还给学生，以此来体现自主学习，主动参与原理念.体验从事物的表象到本质的探究过程，感受到数学的科学性及生活中丰富的数学现象.本节课我主要采用“引导—发现教学法” ．在教学过程中特别注重通过各种教学手段，激励、启发、引导学生在探索和研究中获取知识、提高能力，从发现问题、探究方法、解决问题到归纳总结，很多环节都是教师引导、鼓励学生大胆地自主活动．

在教学活动中，我注重加强课堂的趣味性以及生动性，提高了教学效率．

2．不足之处

生活中事件包含丰富的随机性以及随机中有规律性的辨证思想．从学生的思维发展情况看，初中阶段只是辨证思维的萌芽，还很不成熟.在具体内容的处理上，没有过分注意体现对教学方法和学习方式的指导.今后的教学中应更有效地改变教师的教学方法和学生的学习方式，培养学生的动手能力和合作精神，创

篇五：相互独立事件的概率教学案例分析及教学反思

相互独立事件的概率教学案例分析及教学反思

------重庆市巴南区大江中学 唐君奇

教学案例的背景

1、教材：人们教育出版社高中数学高二（下）第十章第六节 2、2009年我校举行青年教师汇报课实例。

3、教学背景：本章在高中数学中有很重要的地位，概率在现实生活中的运用广泛，通过学习可以获得概率的一些基本知识，了解其中的一些基本观念和思考方法，运用它解决一些简单的实际问题，并为到高中三年级以及进一步学习概率统计知识打好必要的基础。

4、教学主体思路：以学生为主体，问题探索为主线，教师激发学生的学习主动性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索与合作交流的过程中，真正理解和把握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。

教学过程设计

教学目标：1知识目标：相互独立事件的定义，相互独立事件的概率的计算 2能力目标：会计算相互独立事件的概率

3情感目标：培养学生的数学概率思维，团结互助的精神。教学重点：相互独立事件的概率计算

教学难点：理解辨别相互独立事件

教学方法：分析引导

教学过程：

一：复习

1、随机事件，互斥事件有一个发生的概率的定义。

2、随机事件，互斥事件有一个发生的概率的计算方法。（学生回答，老师总结）二：新课引入

1、小明能买到火车票与小强能买到火车票这两件事之间有没有相互影响？

2、如果要他们两个都买到火车票才能去旅游，问他们能去的概率是多少？

在现实生活中这样的事件非常多，而我们需要去估计一些事件的发生可能性，才可以作出正确的判断，这对于我们来说非常重要，数学知识是用来解决实际问题的，我们一点要出生活中去发现问题，并总结出规律，反过来解决生活中的实际问题。

学生看教科书5分钟。

（老师提问）定义：1相互独立事件： 事件a(或b)是否发生对事件b(或

a)发生的概率没有影响，这样的两个事件交相互独立事件。

2相互独立事件的概率：两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的乘积，即p(a*b)=p(a)*p(b)。3如果事件ab相互独立，则事件a与b相互独立,事件a与b相互独立，事件a与b相互独立。

学生说此题解题思路。

此题解析：设事件a 小明能买到火车票

事件b小强能买到火车票 故事件a b为相互独立事件

而两个要同时买到火车票为相互独立事件同时发生即：

p(a*b)=p(a)*p(b)=0.7*0.8=0.56 所以他们两个能去旅游的概率为0.56 三：例题讲解

例

1、俗话说“三个臭皮匠顶个诸葛亮”，这句话有没有道理呢？

三个臭皮匠中的老大能独立解出一道数学题的概率是0.5，老二能独立解出一道数学题的概率是0.6，老三能独立解出一道数学题的概率是0.4，而诸葛亮能独立解出一道数学题的概率是0.8，问三个臭皮匠与诸葛亮能解出此题的概率那个大？

解：设事件 a老大独立解出一道数学题

b老二独立解出一道数学题

c老三独立解出一道数学题

d诸葛亮独立解出一道数学题

故事件abcd是相互独立事件。

p=1-p(a?b?c)=1-0.5*0.4*0.6=0.88 p(d)=0.8 所以p>p(d)，故三个臭皮匠比诸葛亮解出此题的概率大。

老师总结：单看三个臭皮匠中的任一个都没有诸葛亮的解题能力大，但是把他们放在一起的话就力量大了，这就是我们常说的“众人拾柴火焰高”，“人多力量大”的道理，从而引出学生德育教育内容，这样对学生的情感教育的目的就达到了。

练习：1北京奥运会女子双人10米跳水中，若要两人都正常发挥才能拿金牌，甲正常发挥的概率是0.95，乙正常发挥的概率是0.91，假设她们之间正常发挥相互没有影响。问她们能拿金牌的概率是多少，两人不能拿金牌的概率又是多少？

2小王、小张、小唐从墨西哥回来，他们三人分别感染甲型h1ni病毒的概率分别为0.6，0.7，0.4，假设他们三人感染病毒相互没有影响。

（1）他们三人中有一人被感染的概率是多少？

（2）他们三人中至少有一人被感人的概率是多少?（3）他们三人同时被感染的概率是多少？

3由学生自己在生活中找出实例写到黑板上，其余学生讨论完成。

四：教学总结

1、知识点，易错点。（主体由学生完成，老师补充）

2、预习独立重复实验。

案例分析及反思

一：知识理解

1、什么是相互独立事件，相互独立事件有什么特点，一点要与前面所讲的互斥

事件区别。还可以用表格的形式给出，由学生填写，这样知识点更清晰。

2、相互独立事件同时发生表示什么意思，a*b是什么意思与前面的a+b有什么

不同，怎么去运用此公式解决问题。

3、解题过程中，要明确事件中的“至少有一个发生”，“至多有一个发生”，“恰

有一个发生”，“都发生”，“不都发生”等词语的意义。

4、解决概率问题要先建立概率模型，互斥事件用加法公式，相互独立事件用乘

法公式，同时还要结合排列、组合有关知识求解。

5、一节课的内容不在于多，知识点最好是要单一，这对我们学校基础的学生很

重要，关键是要学生充分掌握理解和过手问题。

二：情感应用

1、概率问题在我们的日常生活中应用非常广泛，我们会常常遇此类问题，教学

过程中应加强这方面的强调。

2、由于概率在生活中应用广泛，我们应用此充分调动学生的积极性和学习兴趣，让学生在自己想学的状态中去学习会效果加倍，让他们感到数学学习非常有用，能广泛的解决生活中的问题。在教学过程中应充分调动学生积极性和学习兴趣，我们在讲解例题中应用生活中的实际例子，让学生感悟数学思想在生活中的体现，并能很好的理解数学知识，这样就把枯燥的数学课堂教学变得生动有趣。

3、在教学过程中应以学生为主体，老师不要以为你讲一道题讲得有多好，学生

就学得有多好，我们要明白不是我们讲够没有，而是学生通过大脑掌握没有，过手没有。你调查会发现大多数学生会说我听懂了的也，就是做不起题个，这样的原因就是老师讲多了，学生没有真正通过大脑自己去理解，这样的教学就像看电影一样的，怎么会有深刻的记忆嘛？所以我们应把大部分时间还给学生，一般这样控制比较好，一节课45分钟。老师讲解最好不要超过20分钟，学生25分钟。老师应从分相信学生，这样效果会更好。

4、学生主体学习可以采用：学生相互提问讨论式。学生与学生之间相处的时间

很长，他们之间没有什么隔阂，更容易相互之间交流。很多学生他都不敢问老师问题，而明明他有不懂的问题。当然这有很多因素，老师的性格转变是一方面，但建立起学生间的相互学习机制会效果会更好。

5、学生作业的处理方式：我认为学生之间相互检查是最好的方式，但老师在过

程中要抽查，抽查比例为20﹪左右为宜。具体操作方式为老师把学生按成绩分组，每组选取两个成绩好而且负责的学生负责检查其余学生的作业，并且规定错了的要再次到组长处检查，最后由每个组长把此次作业错得多的总结交与老师以备讲解强化，而老师每次随机抽查完成情况和组长的监督情况。在此过程中学生之间会相互帮助，大大提高做家庭作业的效果，使成绩差的会请教成绩好的，而成绩好的通过检查学生的作业把知识点都过了几遍，会掌握很多易错点，这样知识点会掌握得更好。而老师会从烦躁的批改作业中解脱出来，并且通过组长的总结会从学生的眼光去看易错点，这样对学生的掌握会更全面，此方式非常有效果，但还是要注意组长的选择，作业的监督，易错点的讲解等，我已经实践了一年半效果非常突出。

2.《随机事件》教学反思 篇二

概率论是研究随机现象的统计规律性的一门数学学科，既然与随机现象有关，那么借助于计算机，用计算机内自动产生的各类随机数来研究随机事件与概率不失为一种好的引入方法，并在此基础上构思更多的算法，用编写程序的手段去解决概率论中的问题，成为一种新的研究概率问题的思路；也为讲授概率论的教师提出了新的挑战。

下面分别讨论随机数在《概率论》中随机事件与概率这节不同内容中的应用方法：

1 古典概型

抛硬币是古典概型中经常说明的一个典型问题，为了说明等概率的情况，我们可以用数学软件MatLab编程说明，具体算法思路如下：生成一个随机数，四舍五入后可能取得的所有值为0,1，将0设为硬币的反面，1设为硬币的正面，做实验若干次，相当于重复了若干次这个程序，程序如下：

表1为当试验次数分别为10、100、1000、10000、100000时硬币出现正反面的比例，从表中可以看出，出现正面和反面的次数是接近的，比例近似于1:1，而且随着试验次数的增加，这个比例离1:1越近，也就是说出现正面的反面的可能性是相同的。

对于掷骰子问题，我们可以按照同样的方法来处理，重复产生（0,1）内的随机数，若该数小于1/6，则相当于出现一点，大于1/6而小于1/3，则相当于出现两点，以此类推，……，在5/6和1之间，相当于出现了6点，运行该程序后从结果可以看到，出现每个点的比例是近似相等的。这个例子同样说明6个点出现的可能性是相等的。

类似的方法可以用于更多的古典概型问题的说明和计算中，在此不再详述。

2 几何概型

以下面问题为例：

罗密欧和朱丽叶约定在某时刻见面，每个人到达约会地点的时间都会延迟，延迟时间在0～1小时。第一个到达约会地点的人会在那儿等待15分钟，之后若对方还没有到达，先到者会离开。问他们能够相会的概率有多大？

这个问题是个典型的几何概型问题，因而可以考虑用直角坐标系的单位正方形表示样本空间，即Ω=[0,1]×[0,1]。正方形内每个点的两个坐标恰好可以分别表示两个人到达时可能的延迟时间,并且显然每个点都是等可能的。这样,罗密欧与朱丽叶两人可能相会的事件可用图1中阴影部分表示,知道了阴影部分的面积,就知道了两人相会的概率有多大了。

另外，还可以使用蒙特卡洛模拟法来解决这个问题，算法思路如下：先设置一个预先确定的随机点总数，用来表示正方形的面积；再用随机数的方法产生随机点，最后计算落在阴影内的随机点个数，这些阴影内随机点个数与总个数的比值就是两人相会的概率。算法如下：

(1)设置产生随机点的总数n；(2)初始化：m=0,P=0(m为阴影内的随机点个数的累计值，P为相会的概率）；(3)对i=1,2，…，n，进行第4～6步；(4)产生随机坐标xi和yi，满足0燮xi燮1,0燮yi燮1；(5)若-0.25燮yi-xi燮0.25,m=m+1，否则进行第6步；(6)若i=n,P=m/n，停止；否则，转第4步。

实际相会的概率答案应该是0.4375，表2列出了将随机点数的总数定为10、100、1000、10000时，利用上述算法编制的程序得到的相会概率，由于篇幅有限，本文只列出每种情况下求得的四个概率值（以下各表同）。从表1中可以看出，当随机点的总数取的越大时，计算结果与实际理论值的误差呈现越来越小的趋势。

另外，这个问题还可以演变为更复杂的形式，比如每个人等待时间也是在0～15分钟随机变化的，或者一个人在0～15分钟变化，而另一个人在0～10分钟变化，这样，程序上只不过增加了一两个随机数，但能解决的问题的范围则大大扩展了，使得解决问题的灵活性显著提高，这点笔者认为正是使用随机数法的积极作用表现。

3 条件概率

问题：如前所述，在抛掷骰子的试验中一共有6种等概率的试验结果，现已知试验的结果是偶数，即2,4,6这三种情况必有一种发生，在此情况下，求出现点数为6的概率。算法简述如下：

(1)设置产生随机点数的次数m；(2)初始化：n1=0,n2=0,P=0(n1为出现6点的累积次数，n2为出现偶数点的累积次数，P为条件概率）；(3)对i=1,2，…，m，进行第4～7步；(4)产生一个随机数（随机数对应随机出现的骰子的点数）；(5)若对应的点数为偶数，n2=n2+1；(6)若对应的点数为6,n1=n1+1；(7)若i=m，则P=n1/n2，停止；否则转第4步；在这部分内容中，对于要应用到乘法定理的内容或问题，有了随机数法，我们完全可以撇开乘法定理，直接编程计算。

表3给出当抛掷骰子数分别为10、100、1000、10000、100000时，得到的点数为6的条件概率，很明显，随着试验次数m的增加，概率P越来越稳定在1/3附近。

4 全概率公式

问题：张三参加一个棋类比赛，赛手中50%是一类棋手，对这些棋手取胜的概率为0.3;25%是二类棋手，赢的概率为0.4；剩下的为三类棋手，赢得比赛的概率为0.5。从这些棋手中任选一位，求张三取胜的概率。假设张三比赛了很多次，用其中赢的次数除以比赛的次数就是，赢得比赛的频率概率。算法设计的思路重点在于我们只要设一个一行二列的随机数组，其中第一个数表示张三遇到的对手情况，第二个数表示他取胜的可能性范围即可。具体算法如下：

(1)设置产生随机数组的次数m；(2)初始化：n=0,P=0(n为赢得比赛的累积次数，P为最终取胜的概率）；(3)对i=1,2，…，m，进行第4～8步；(4)产生一个随机数组；(5)若数组的第一个数在0～0.5之间，第二个数在0～0.3之间，则n=n+1；(6)若数组的第一个数在0.5～0.75之间，第二个数在0～0.4之间，则n=n+1；(7)若数组的第一个数在0.75～1之间，第二个数在0～0.5之间，则n=n+1；(8)若i=m，则P=n/m，停止；否则转第4步；

表4给出当比赛次数分别为10、100、1000、10000、100000时，棋手赢得比赛的概率，从表中可以看出，随着次数m的增加，概率P越来越稳定在准确值3/8附近。

对于涉及到贝叶斯公式的问题，我们可以采取近似的方法，在此不再详述。

5 事件的独立性

问题：一产品的生产分4道工序完成，第一、二、三、四道工序生产的次品率为别为2%，3%，5%，4%，各道工序独立完成，求该产品的次品率。

思路：产生一个一行4列随机数组，每个数表示一道工序中产品所在范围，观察该范围是否在合格范围内。

算法：

(1)设置产生随机数组的个数m（表示生产的零件件数）；(2)初始化：n=0,P=0(n为出现次品个数，P为最终出现次品的概率）；(3)对i=1,2，…，m，进行第4～7步；(4)产生一个一行四列随机数组；(5)若数组的第一个数在0～0.02之间，或第二个数在0～0.03之间，或数组的第三个数在0～0.05之间，或第四个数在0～0.04之间，则n=n+1；(6)若i=m，则P=n/m，停止；否则转第4步。

表5给出当随机数组中次数分别为10、100、1000、10000、100000时，产品为次品的概率，从表中可以看出，随着试验次数m的增加，概率P越来越稳定在准确值0.1331附近。

通过浦丰问题，我们得知可以用概率方法求圆周率。类似地，通过以上这些粗浅的思考，我们可以发现对于有些复杂的、难以用常规方法求解的概率问题，我们完全可以撇开传统的思路，用随机数法来构造问题模型，直接获取概率问题的答案，这对于我们解决问题无疑带来一种新的思路；而在传统的板书授课的基础上，使用计算机编程即多媒体技术结合具体内容进行讲授，也为教师带来了一种新的授课方式。

摘要：本文对在随机事件与概率中的常见问题提出了一种新的借助于计算机实现的解决思路,即通过机器自动产生随机数后构建相应的数学模型,再通过编程计算得到最后结果。该方法既为概率论的教学带来了创新性思维,也为当前的教师提出了新的挑战。

关键词：随机数,蒙特卡洛模拟,古典概型,几何概型

参考文献

[1]《概率导论》Dimitri P.Bertsekas,John N.Tsitsiklis人民邮电出版社2009.12.

[2]丁正生.概率论与数理统计简明教程.高等教育出版社,2005.6.

3.随机事件的概率易错点反思 篇三

例1 下列事件中，哪些是确定事件？哪些是不确定事件？

（1）纸放到火上不燃烧；

（2）明天太阳从西边升起；

（3）通常情况下，水在零摄氏度以下时会结冰；

（4）打开电视，正在播广告.

错解 确定事件：（3）；不确定事件：（1）（2）（4）.

分析 错解中把不可能事件判断为不确定事件.不可能事件是指该事件一定不会发生，题中（1）（2）两事件都属于不可能事件，是确定事件.不确定事件是指事件有可能发生，也有可能不发生，题中（4）的事件就是不确定事件.因此在解答此题时一定要弄清楚“不可能”与“不确定”的区别.

正解 确定事件：（1）（2）（3）；不确定事件：（4）.

反思 表现为把不可能事件错判为不确定事件.不可能事件是指事先能肯定一定不会发生的事件，不可能事件既然事先就能肯定不会发生，就应属于确定事件.

2. 对频率与概率区分不清

例2 下面的说法是否正确？为什么？

（1）为了考察掷出“6”的概率有多大，明明掷了500次骰子，其中“6”点向上的有150次，所以掷出“6”的概率大约为0.3.

（2）某彩票的中奖概率是0.03，所以买100张一定会有3张中奖.

错解 （1）正确.因为掷500次骰子，“6”点向上的有150次，所以掷出“6”的概率约为0.3.

（2）正确.因为彩票的中奖概率是0.03，所以买100张一定有3张中奖.

分析 错解（1）中没有真正理解频率与概率的关系，认为在任何情况下实验中的频率都约等于概率.事实上，只有当频率值逐渐稳定时，才能用这个频率值估计概率.错解（2）中认为概率是一定的，事件就是必然的.实际上（2）中的事件是不确定事件.因此，解答此类问题时，一定要准确理解概率的定义，认真地区分频率与概率之间的不同.

正解 （1）错误.因为通过实验估计概率的大小，只有当频率值逐渐稳定时，才能用这个频率值估计该事件发生概率的大小.实际上，出现“6”的概率≈0.167.

（2）错误.因为买100张彩票有3张中奖是随机事件，不是必然事件.

反思 虽然不确定事件的发生是随机的、无法预测的，但是随着试验次数的增加，会发现不确定事件的发生具有一定的规律.我们可以用平稳时的频率值，去估计这一事件在每次试验中所发生的概率，如果我们没有认识到这一点，将会判断失误.

3. 凭想当然来预测事件发生机会的多少

例3 抛掷两枚硬币，看看“出现两个正面”和“出现一正一反”的机会各是多少？做试验验证一下你的猜测是否准确？

错解 一枚硬币，一个正面一个反面，因此，当抛掷两枚硬币时，不是两个正面，就是两个反面，要不然就是一正一反，所以，出现的机会各是三分之一.

正解 一枚硬币，一个正面一个反面，因此，当抛掷两枚硬币时，会出现四种情况：两个正面，两个反面，一正一反，一反一正，所以，出现两个正面和出现两个反面的机会是四分之一，而出现一正一反的机会是二分之一.

反思 准确理解随机试验的条件、结果等有关定义，并会用其表示一些事件.在得出试验结果时，一般都采用列举法写出，通常按从左向右、由小到大的顺序来写，注意要做到不重不漏.

4. 不理解事件中每一种情况的发生是等可能的

例4 同时掷两枚骰子，问：

（1）“两点的和等于7”的事件与“两点的和等于8”的事件，哪一个发生的机会多？

（2）最容易出现的和的点数是多少？并求出它的概率.

错解 （1）∵每次掷骰子的可能结果有6种，∴“两点的和等于7”的事件与“两点的和等于8”的事件，发生的机会相同.

（2）出现的和的点数相同，概率为[636=16].

分析 错误地将掷一枚骰子出现的6种结果与掷两枚骰子出现两点和的事件当作一回事处理.

正解 设掷两枚骰子，一枚出现[x]点，另一枚出现[y]点，如下表：

（1）从表中可得出：“两点的和等于7”的事件有6个，“两点的和等于8”的事件有5个，∴前者比后者容易发生.

（2）从表中比较得，最容易出现的和是7，它的概率是[636=16].

反思 在一次试验中出现的随机事件是否等可能的关键是：看这一试验中所有可能出现的结果中各种结果出现的机会是否均等. 虽然都是随机现象，但发生的概率是不一样的.如该题中出现7点的概率就最大，还可以计算出现2点和12点的概率最小，都是[136].

5. 未弄清互斥事件与对立事件的关系

例5 判断下列命题的真假：（1）将一枚硬币抛掷两次，设事件[A]：“两次都出现正面”，事件[B]：“两次都出现反面”，则事件[A]与[B]是对立事件. （2）在5件产品中有2件是次品，从中任取2件.事件[A]：“所取2件中最多有1件是次品”，事件[B]：“所取2件中至少有1件是次品”，则事件[A]与[B]是互斥事件. （3）若事件[A]与[B]是互斥事件，则[P（A+B）=P（A）+P（B）].

错解 命题（1）（2）（3）都是真命题.

分析 （1）概念不清，未区分互斥事件与对立事件.因为事件[A与B]是对立事件还要满足[A∪B]是必然事件，显然这是错误的；（2）未弄清“最多”“至少”的意义，因为它们都包括“所取2件中有1件是次品”，当然事件[A与B]就不是互斥事件了；（3）概率的加法公式，当然是正确的.

正解 （1）是假命题；（2）是假命题；（3）是真命题.

反思 两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生一个，但可以都不发生；而两事件对立则表明它们有且只有一个发生.

4.《随机事件的概率》教学设计 篇四

白月霜

教学目标：

1、知识与技能

（1）了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解频率的意义及频率与概率的区别；

（2）在正确理解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性的基础上，能辨析生活中的随机现象，澄清生活中对概率的一些错误认识，并通过做大量重复试验，用频率对某些随机事件的概率进行估计。

2、过程与方法

通过对现实生活中一些问题的探究，运用“掷硬币”随机试验，体会随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，理解概率的统计定义在实际生活中的作用，初步掌握利用数学知识思考和解决实际问题的方法。

3、情感、态度与价值观

通过本节的教学，引导学生用随机的观点认识世界，使学生了解偶然性与必然性的辩证统一，培养辩证唯物主义思想。

教学重点：通过实验活动丰富对频率与概率关系的认识，知道当试验次数较大时，频率 稳定于理论概率。

教学难点：运用频率估算概率，解决实际问题。教学方法：

本节课采用自主探究、合作探究法，辅之以其它教学法，在探索新知的过程中，通过抛硬币活动来组织学生进行有效的学习，调动学生的积极性，在实验的过程中实现对数据的收集、整理、观察、分析、讨论，最后通过合作交流等方式，归纳出当试验次数大很大时，事件发生的频率稳定一个常数附近。

教学手段：采用多媒体辅助教学,促进学生自主学习，丰富完善学生的认知过程，使有 限的时间成为无限的空间。事先教师准备导学案、电脑、硬币等。教学流程：

一、情境导入

教师首先让学生重温守株待兔的故事：宋人有耕田者。田中有株，兔走触株，折颈而死。因释其耒而守株，冀复得兔。

提出问题：农夫会像他预期的等到兔子吗？

[设计意图]：这样从实际问题抽象出数学问题，充分体现了数学来源于生活，又服务于生活的数学应用意识，能激发学生的好奇心和求知欲，为顺利实施本节课的教学目标打下了良好的基础.接着教师提出：守株待兔的结局：兔不可复得，而身为宋国笑。得出结论：事件具有偶然性、随机性。

教师要求学生根据已掌握的知识，完成自主探究，从结果能够预知的角度看，能够发现事件的共同点吗？

学生总结，发现事件可以分为以下三类：

必然事件：在条件S下一定会发生的事件叫相对于条件S的必然事件。

不可能事件：在条件S下一定不会发生的事件叫相对于条件S的不可能事件。随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件叫相对于S随机事件。[设计意图]：通过回忆初中概率的定义，为探究新课作好铺垫。举例说明同一事件在不同条件下，会产生不同结果，分类也不相同。

[设计意图]：强调事件的结果是相应于一定条件而言的。因此，要弄清某一事件，必须明确何为事件发生的条件，何为在此条件下产生的结果。例1.指出下列事件是必然事件、不可能事件、还是随机事件？（1）同性电荷，相互排斥。

（2）在标准大气压下，且温度低于零度时，冰融化。

（3）从分别标有1,2,3,4,5,6的6张号签中任取一张，得到4号签。（4）常温下，石头一天风化。（5）木柴燃烧，产生能量。（6）掷一枚硬币，出现正面。

二、合作探索（生生合作、师生合作）

1、做数学试验，观察频率是否体现出规律性

做如下试验：从一定高度按相同方式让一枚质地均匀的硬币自由下落，可能正面朝上，也可能反面朝上，观察正面朝上的频率。

试验要求：学生六人一组，两两配合，一人掷硬币，一人做好记录，每组试验10次，注意试验条件要求：从一定高度按相同方式下落。◆试验步骤：

答：实际上，从长期实践中，人们观察到，对于一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定的常数附近摆动，显示出一定的稳定性。（再利用计算机模拟掷硬币试验说明问题）讨论：0.5 的意义引出概率的概念。

揭示新知

归纳：一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率m/n会稳定在某个常数P附近，那么事件A发生的概率P(A)=P 教师指出这是从统计的角度给出了概率的定义，也是探求概率的一种新方法，列举法仅限于试验结果有限个和每种结果出现的可能性相等的事件求概率，而用频率估计概率的方法不仅适用于列举法求概率的随机事件，而且对于试验的所有可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等的一些随机事件，我们也可以用频率来估计概率。讨论：事件A的概率P(A)的范围，频率与概率有何区别和联系？ 频率与概率的区别和联系（重点、难点）

⑴频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会稳定在概率附近。⑵频率本身是随机的，在试验前不能确定。

⑶概率是一个确定的数，是客观存在的，与每次试验无关。讨论探究、例题演练——深化概率认识，巩固所学知识。例2.某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示。

（1）填写表中击中靶心的频率；

（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？

设计意图：通过对生活中实例的辨析，进一步揭示概率的内涵──概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中反映出来.反过来，试验次数太少时，有时不能合理估计概率.误区警示：因频率与概率的概念混肴而致错

四、课堂总结

1.本节课学习了哪些知识？ 2.频率与概率的区别和联系？ 3.留给你印象最深的是什么？

[设计意图]：新课程理念尊重学生的差异，鼓励学生的个性发展，所以，对于课堂小结我既设置了总结性内容，又设置了开放性的问题，期望通过这些问题使学生体验学习数学的快乐，增强学习数学的信心．

五、分层作业

1．课本113页练习1，2，3.2.选做题：导学案的拓展练习。

[设计意图]：在布置作业环节中，设置了必做题和选做题，这样可以使学生在完成基本学习任务的同时，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而激发学生饱满的学习兴趣．

5.《随机事件的概率》教学设计说明 篇五

教材：北师大版高中《数学》必修3第三章第一节第一课时

授课教师： **市第**中学 ***

一、教学内容的本质、地位与作用

《随机事件的概率》是北师大版数学《必修3》第三章第一节的内容，是学生学习《概率》的入门课，也是学习后续知识的基础，现实生活中存在着大量的不确定事件，而概率正是研究不确定事件的一门学科．新教材在教学内容的编排上，采用了模块化、螺旋上升的方式．学生在初中阶段已经接触过随机事件、不可能事件、必然事件的概念，高中数学必修三第一章刚刚学习了统计内容，了解了频数、频率等概念，因此本节课是对已学内容的深化和延伸；同时，本节课对于后面学习的古典概型、几何概型以及选修2-3离散型随机变量的分布列等内容又是一个铺垫，具有承上启下的地位．

本节课就知识的应用价值上来看:概率反映了随机事件发生的可能性大小,为人们做出正确决策提供依据．就内容的人文价值上来看：研究概率涉及了必然与偶然的辨证统一关系，是培养学生应用意识和思维能力的良好载体．

二、教学目标分析

（1）通过生活实例让学生进一步认识日常生活中的随机现象，理解必然事件、随机事件、不可能事件的概念，了解随机事件发生的不确定性及其频率的稳定性，从而更好的理解概率的统计定义．

（2）让学生经历抛掷硬币试验的过程，由此激发学生的学习兴趣和求知欲，通过抛硬币试验，学生获取数据，归纳总结试验结果，体会随机事件发生的随机性和规律性，在探索中不断提高；同时让学生明确概率与频率的区别和联系，掌握利用频率估计概率的思想方法．

（3）让学生亲历试验过程，培养学生观察、动手和总结的能力，以及同学之间的交流合作能力；强化辨证思维，通过数学史渗透，培育学生刻苦严谨的科学精神；通过师生互动、生生互动，让学生在民主、和谐的课堂氛围中，感受必然性与偶然性的辩证统一．

基于以上教学内容分析和教学目标分析，确定本节课的教学重点是：通过抛掷硬币了解概率的统计定义、明确其与频率的区别和联系.三、教学问题诊断

现阶段大部分学生学习的自主性较差，主动性不够，学习有依赖性，并且学习的信心不足，对数学存在或多或少的恐惧感．但学生在日常生活中，对于概率已经有一些模糊的认识，同时学生思维比较灵活，有较强的动手操作能力和较好的实验基础，根据学生的心理特征和认知规律，我采用以教师为主导，学生为主体的探究式教学方法，力求引导学生从以下几个角度来认识随机事件的概率．

1.频率是随机的，试验前并不能确定，频率反映了随机事件发生的频繁程度，通过分组试验，每一组所做的80次试验中得到的频率不尽相同，而概率是一个客观存在的常数，与试验无关．

2.概率反映的是大量重复试验下频率的稳定性，学生常会错误理解抛两次硬币一定是一正一反．

3.出现个别频率偏离概率较大的情形是很正常的，这是随机现象的特性．在概率的教学中，对一些学生容易产生误解的地方，可以采用试验的办法帮助学生理解，比如随机事件的概率能否为0和1的问题，都可以通过试验来解决．

通过对随机事件概率的学习，学生充分体会了对立统一、相互联系、相互转化的思想，并且探究能力、逻辑思维能力也得到了一定的锻炼．

基于以上分析，确定本节课的教学难点是：掌握利用频率估计概率的方法，体会随机事件发生的随机性和规律性．

四、教法特点及预期效果分析

（1）教法特点

抛硬币试验是本节课的精华，唯有亲历随机过程，体会其随机性与规律性，才能真正理解概率概念，才能真正让学生体会频率稳定于概率的过程.课堂教学中不好处理的就是数据的统计分析，以及如何呈现出大量重复试验下频率的稳定性，根据本节课教材内容的特点和学生的认知情况，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，利用flash动画，快速、准确的计算各组的频率，绘制出频率折线图，并能方便快速的画出累积的频率折线图．另外通过动态的演示，观察大量重复试验下的频率呈现出的规律性，让教学更直观、更生动.（2）预期效果

6.随机事件教案 篇六

教学者：冯跃华

【教学目标】

知识与技能：

1．了解必然事件、不可能事件、随机事件的概念以及随机事件的发生存在规律性.2．理解随机事件的概率的统计定义.过程与方法：

通过概率统计定义的形成过程，提高探究问题、分析问题的能力，体会归纳过程，掌握对实验数据进行有效的分析和处理的方式和方法.情感态度价值观：

通过概念的形成过程，渗透归纳思想，优化思维品质，体会“实践出真知”的含义，了解偶然性寓于必然性之中的辩证唯物主义思想.教学重点：了解随机现象及其概率的意义.教学难点：概率定义的形成过程.【教学方法】

教学方法：引导发现法 直观演示法 学习指导：学会学习【教学手段】通过多媒体辅助教学 【教学过程】

一，课题引入

由古诗“春眠不觉晓，处处闻啼鸟。夜来风雨声，花落知多少”出发，从今天会不会下雨这个问题，引入可能性这一问题。导入课题《随机事件》。二，探究新知 活动一：体验必然事件

游戏①

（找两名同学，师生共同完成，游戏主要任务是在个黑色盒子里全部放置蓝色棋子，抓出任一个均为蓝色）

完成游戏后提问：下一个棋子会是什么颜色？是蓝色，一定是蓝色吗？ 学生回答说一定。

一定在数学上称之必然。板书：必然事件

必然事件是生活中一种可以确定的现象。

活动二：体验不可能性 游戏②

（游戏主要任务在盒子中放置不同颜色的棋子，但未放置红色棋子，对于要摸出红色棋子，然后让学生感受这叫不可能事件）

板书：不可能事件

不可能事件也是生活中的一种可以确定的现象。

活动三：体验随机事件 游戏③

既然盒子里面没有红棋子，那么咱们想想办法，要想在盒子里面摸出红棋子，该怎么办？ 学生回答问题（只要在盒子中放入红色棋子就可以）提问：你一定能摸到红色棋子吗？为什么

学生回答：不一定，因为还有其他颜色的棋子，有的学生说可能是红色的，有的同学说可能是黄色的，有的同学说可能是蓝色的，有的同学说这三种颜色都有可能。

教师总结：老师注意到你们用了一个词叫“可能”。可能在数学上称之为随机事件 教师板书：随机事件

随机事件是生活中我们不能确定的一种现象。

通过刚才的游戏，我们发现了一件事情的发生通常有可能发生、不可能发生、一定发生这三种情况。有些事情发生的结果不可以确定，这时就该用“可能”；有些事情是不会发生的，这时就用上“不可能”。还有些事情结果是可以确定的，这时我们就会用上“必然”。

三，概念提炼

例1试判断以下事件发生的可能性（必然发生?不可能发生？有可能发生？）

（1）木柴燃烧，产生热量；（2）明天,地球仍会转动；（3）实心铁块丢入水中,铁块飘浮；（4）在标准大气压0C以下，雪融化；（5）转动转盘后，指针指向黄色区域；

（6）两人各买1张彩票，均中奖

要求四人一组展开讨论，注意我们不但要把现象描述清楚，还要说出理由

我们将（1）（2）称作必然事件.（3）（4）称作不可能事件.（5）（6）称作随机事件.请学生归纳出这三种事件的定义.强调“在一定条件下”.必然事件：在一定条件下必然要发生的事件叫必然事件.不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件叫不可能事件.随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件.0

分析事件（5）的条件和结果，给出试验的定义：在数学里对于某个事件让它的条件实现一次就称为做了一次试验.引导学生分析随机事件和试验结果的关系：一个随机事件包括试验结果的一个或多个但不是全部.刚才我们已经学会了用一定 不可能 和可能来判断生活中和大自然中得事情，实际上这样的例子在我们身边还有很多，你能用一定不可能和可能来说一说么？先和你小组内的同学说一说

四，巩固新知

课本第89叶练习第一题

五，小结与作业

小结：同学们，这节课我们学习了可能性，通过今天的学习我们知道了在生活中有些事件的发生是一定的，有些事件的发生是不可能的，还有些事件的发生是可能的，所以同学们平时还要细心的观察生活，因为我们的生活中处处有数学。

作业.课本: P89习题27.1第1、2题

板书设计

随机事件

必然事件 试验

随机事件 课本习题

7.随机事件独立性的三个认识误区 篇七

误区一:如果事件A与B相互独立, 则事件B发生与否不受事件A发生与否的影响。

为了更好的分析误区一, 我们从两事件独立的定义出发。现有的教材中, 对于两事件的独立性, 大多采用以下两种方式:

定义1:两个事件A与B, 如果其中任何一个事件发生的概率不受另外一个事件发生与否的影响, 则称事件A与B是相互独立的。

定义2:如果事件A与B满足P (AB) =P (A) P (B) , 则称事件A与B相互独立。

定义1是随机事件独立性的直观定义, 但是具有局限性, 如果两个事件中至少有一个事件发生的概率为0时, 很难通过定义1判定这两个事件是否独立。定义2弥补定义1的不足, 因为如果P (A) =0或P (B) =0, P (AB) =P (A) P (B) 这个等式必然成立, 进一步地, 我们还可以证明更为一般的结论概率为零的事件与其它任何事件都相互独立。

通过定义我们可以发现, 如果事件A与B相互独立, 则事件B发生的概率不受事件A发生与否的影响, 并非B发生与否不受事件A发生与否的影响。这也告诉我们, 独立性是建立在概率层面的。我们通过一个具体的例子加以说明。

例1:掷一次骰子, 记录投掷的点数。记

根据定义可得事件A与B相互独立。我们看一下事件B发生是否受到事件A发生与否的影响。就例1而言, 事件A发生是指1、6这两个样本点中有一个出现, 如果是1这个样本点出现引起的A发生, 此时事件B也发生;如果是6这个样本点出现引起的A发生, 此时事件B不发生。由此看来, 事件B的发生确实受到事件A发生与否的影响, 但事件B发生的概率却没有受到事件A发生与否的影响。

误区二:两两相互独立则三个事件独立。

为了更好的分析误区二, 我们从三事件独立的定义出发。

定义3:对于任意三个事件A, B, C, 如果

(1) P (AB) =P (A) P (B) , P (AC) =P (A) P (C) , P (BC) =P (B) P (C)

(2) P (ABC) =P (A) P (B) P (C)

则称事件A, B, C相互独立。

定义3中的 (1) 式成立, 表明事件A, B, C中任意两个事件都独立, 称为A, B、C两两独立。不少同学认为该定义中的 (2) 式是无用的, 认为由定义3中的 (1) 式可以推出 (2) 式。其实, 这种看法是不正确的。我们通过两个具体的例子加以说明。

例2:一个正四面体, 第一面涂红色, 第二面涂白色, 第三面涂黑色, 第四面涂红、白、黑三色, 抛掷此物体, 记事件A=朝下的面有红色, B=朝下的面有白色, C=朝下的面有黑色。

P (A) =P (B) =P (C) =1/2, P (AB) =P (BC) =P (AC) =1/4, P (AB) =P (A) P (B) , P (BC) =P (B) P (C) , P (AC) =P (A) P (C)

定义3中 (1) 式成立, A、B、C两两独立, 但是

定义3中 (2) 式不成立。通过此例, 我们可以发现, 两两独立不能保证三个事件一定独立。

例3:一个正八面体, 第1, 2, 3, 4面有红色, 1, 2, 3, 5面有白色, 1, 6, 7, 8面有黑色, 抛掷此物体, 记事件A=朝下的面有红色, B=朝下的面有白色, C=朝下的面有黑色。

通过此例, 我们可以发现, 定义3中 (2) 式成立不能保证 (1) 式成立, 即仅仅通过定义3中的 (2) 式, 甚至还不能保证三个事件中任意两个是相互独立的。

误区三:若A与B独立, 则A与B互斥;若A与B互斥, 则A与B独立。

通过例1可发现, A与B独立 (此时P (AB) =P (A) P (B) ) ) , 但A与B并不互斥 (A∩B={1}≠φ) , 所以独立不一定能推出互斥;反之, 在例1中定义事件C={4, 5}, A与C互斥 (A∩C=φ) , 但A与C不独立 (P (AC) ≠P (A) P (C) ) , 所以互斥也不一定能推出独立。

其实, 独立与互斥之间还是存在内在的联系, 下面给出的定理1揭示了两者之间的关联。

定理1:如果事件A和B满足P (A) >0, P (B) >0, 则A、B独立与A、B互斥不能同时成立。证明: (1) 首先证明若A与B互斥, 则A与B一定不独立。若A与B互斥, 即 (AB=φ) , 则P (AB) =O, 又P (A) P (B) >0, 故 (P (AB) ≠P (A) P (B) ) , 即A与B不独立。

(2) 下面证明若A与B独立, 则A与B一定不互斥。若A与B独立, 则P (AB) =P (A) P (B) >0, 故 (AB≠φ) , 即A与B不互斥。值得一提的是, 此定理的前提P (A) >O且P (B) >0是必不可少的。例如, 不可能事件与其它任一事件A是既独立又互斥。

上述三个误区, 都是在多年的教学中, 通过和学生的深入沟通总结的。深度分析这三个误区, 有助于学生更加深入地理解独立的定义, 掌握独立与互斥之间的联系与区别, 以及运用独立性解决实际问题。下面我们以独立性在比赛机制方面的应用为例说明独立性在解决实际问题中的重要作用。

例4:甲乙两名选手进行乒乓球单打比赛, 已知在每局中甲胜的概率为0.6, 试分析对于甲而言比赛采用三局两胜制还是五局三胜制更有利?

解:记A=甲胜, 通过题目我们可以发现比赛中甲胜或者乙胜相互独立。

(1) 三局两胜时, P (A) =C32 (0.6) 20.4+C33 (0.6) 3=0.648;

(2) 五局三胜时, P (A) =C53 (0.6) 3 (0.4) 2+C54 (0.6) 4 (0.4) 1+C55 (0.6) 5=0.674。

由此, 我们可以判别五局三胜对甲更有利。

如今, 概率在经济、计算机、交通和机械工业等诸多方面都有着重要的应用。概率论研究对象的随机性, 决定了概率问题解决的方法与其它数学问题有很大不同, 易混淆和难以理解的概念也更多, 这就要求教师在授课的过程, 要选用接近生活的实例为引导, 激发学生的学习兴趣, 提升学生学习的主动性, 这对于学生学好概率论具有非常重要的作用。

摘要：事件的独立性是概率论中的重点和难点。通过详细分析独立性的三大认识误区, 探索独立性与事件发生、两两独立和互斥之间的区别和联系, 进一步加深对独立性的理解。

关键词：独立性,两两独立,互斥

参考文献

[1]茆诗松, 程依明, 濮晓龙.概率论与数理统计教程[M].北京:高等教育出版社, 2012.

[2]张福利.随机事件独立性的教学探讨[J].产业与科技论坛, 2010, (8) :212-213.

8.例析随机事件的概率 篇八

例1 请指出下列事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是随机事件？

（1）抛一石块，下落；

（2）在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化；

（3）某人射击一次，中靶；

（4）抛掷一枚硬币4次出现两次正面和两次反面；

（5）导体通电后，发热；

（6）从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签；

（7）某电话机在1分钟内收到2次呼叫；

（8）没有水份，种子能发芽；

（9）在常温下，焊锡熔化.

解析 事件（1）（5）是必然事件；事件（2）（8）（9）是不可能事件；事件（3）（4）（6）（7）是随机事件.

点拨 （1）虽然随机事件在一次试验中是否发生不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，它的发生呈现出一定的规律性.（2）事件的结果是对“一定条件”而言的.因此，要弄清某一随机事件，必须明确何为事件发生的条件、何为此条件下产生的结果.

考点2 概率与频率的关系

例2 某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：

[射击次数[n]＼&10 ＼&20 ＼&50 ＼&100 ＼&200 ＼&500＼&击中靶心次数[m] ＼&8＼&19＼&44＼&92＼&178＼&455＼&击中靶心的频率[mn]＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&]

（1）填写表中击中靶心的频率；

（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是什么？

分析 事件[A]出现的频数[m]与试验次数[n]的比值即为事件[A]的频率，当事件[A]发生的频率[fn（A）]稳定在某个常数上时，这个常数即为事件[A]的概率.

解 （1）表中依次填入的数据为：0.80，0.95，0.88，0.92，0.89，0.91.

（2）由于频率稳定在常数0.89，所以这个射手击一次，击中靶心的概率约是0.89.

点拨 概率实际上是频率的科学抽象，求某事件的概率可以通过求该事件的频率而得之.

考点3 等可能性事件的概率

例3 设有[n]个人，每个人都等可能地被分配到[N]个房间中的任意一间去住（[n]≤[N]），求下列事件的概率.

（1）指定的[n]个房间各有一个人住；

（2）恰好有[n]个房间，其中各住一人.

分析 每个人有[N]个房间可供选择，所以[n]个人住的方式共有[Nn] 种，它们是等可能的.

解 （1）指定[n]个房间各有一个人住记作事件A：可能的总数为[n]！则 [P（A）=n！Nn].

（2）恰好有[n]个房间其中各住一人记作事件[B]，则这[n]个房间从[N]个房间中任选共有[CnN]个， 由（1）可知：[P（B）=CnN?n！Nn].

点拨 （1）对于等可能的事件，我们可以利用组合分析法来计算其概率，关键是寻求等可能事件的总数和事件的发生数.（2）“至少”型的问题一般有正向思考与逆向思考两种思路，且逆向思考可使一些较为复雜的问题得到简化.

考点4 互斥事件和对立事件的概率

例4 如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心（事件[A]）的概率是[14]，取到方块（事件[B]）的概率是[14]，问：

（1）取到红色牌（事件C）的概率是多少？

（2）取到黑色牌（事件D）的概率是多少？

分析 事件[C]是事件[A]与事件[B]的并，且[A]与[B]互斥，因此可用互斥事件的概率和公式求解. 事件[C]与事件[D]是对立事件，因此[P（D）=1-P（C）].

解 （1）[P（C）=P（A）+P（B）=14]+[14]=[12].

（2）[P（D）=1-P（C）=12].

例5 一盒中装有各色球共12只，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球.现从中随机取出1球，求：

（1）取出1球是红球或黑球的概率；

（2）取出的1球是红球或黑球或白球的概率.

解析 法一：（1）从12只球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得红球或黑球共有5+4=9种不同取法，任取1球，有12种取法.故任取1球得红球或黑球的概率为[P1=912=34].

（2）从12只球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得白球有2种取法，从而得红球或黑球或白球的概率为[P2=5+4+212=1112].

法二：（利用互斥事件求概率）

记事件[A1]={任取1球为红球}，[A2]={任取1球为黑球}，[A3]={任取1球为白球}，[A4]={任取1球为绿球}，则[P（A1）=512，P（A2）=412，P（A3）=212，P（A4）=112].

根据题意知，事件[A1，A2，A3，A4]彼此互斥，由互斥事件概率加法公式，得

（1）取出1球为红球或黑球的概率为[P（A1+A2）=P（A1）+P（A2）=512+412=34]；

（2）取出1球为红球或黑球或白球的概率为

[P（A1+A2+A3）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=512+412+212=1112.]

法三：（利用对立事件求概率的方法）

（1）由解法二知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1白球或绿球，即[A1+A2]的对立事件为[A3+A4]，所以取得1红球或黑球的概率为[P（A1+A2）=1-P（A3）-P（A4）=1-212-112=34].

（2）[A1+A2+A3]的对立事件为[A4]，所以[P（A1+A2+A3）=1-P（A4）=1-112=1112].

点拨 （1）解决此类问题，首先应结合互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件和对立事件，再决定使用哪个公式，不要乱套公式而导致出错.（2）注意分类讨论和等价转化数学思想的运用.

练习

1. 下列事件中，是随机事件的是（ ）

①从10个玻璃杯（其中8个正品，2个次品）中，任取3个，3个都是次品 ②同一门炮向同一个目标发射多发炮弹，其中50%的炮弹击中目标 ③某人给其朋友打电话，却忘记了朋友电话号码的最后一个数字，就随意在键盘上按了一个数字，恰巧是朋友的电话号码 ④异性电荷，相互吸引 ⑤体操运动员滕海滨将在2008年奥运会上夺得冠军 ⑥某人购买福利彩票中得大奖

A. ②③④ B. ①③⑤⑥

C. ②③⑤⑥ D. ②③⑤

2. 甲、乙两个人下棋，甲胜的概率为0.4，甲不输的概率为0.9，则甲、乙两人下和棋的概率为 .

3. 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为[13]，得到黑球或黄球的概率是[512]，得到黄球或绿球的概率也是[512]，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？

参考答案