等差等比数列作业

等差等比数列作业（10篇）

1.等差等比数列作业 篇一

专题限时集训(九)

[第9讲 等差数列、等比数列]

(时间：45分钟)

1．一个由正数组成的等比数列，5倍，则此数列的公比为()

A．1B．2

C．3D．4

2．若Sn是等差数列{an}的前n项和，且S8－S4＝12，则S12的值为()

A．64B．44

C．36D．22

3．在正项等比数列{an}中，已知a3·a5＝64，则a1＋a7的最小值为()

A．64B．32

C．16D．8

4．设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和，若S11＝S10，则a1＝()

A．18B．20

C．22D．24

5．在各项都为正数的等比数列{an}中，a1＝2，a6＝a1a2a3，则公比q的值为()

A.23

C．2D．3

6．公差不为零的等差数列{an

}的第2，3，6项构成等比数列，则这三项的公比为()

A．1B．2

C．3D．4

7．已知等差数列{an}的前n项和为n1313＝13，则a1＝()

A．－14B．13

C．－12D．－11

8．已知数列{an}是公差为2的等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，则数列{an}的前5项和S5＝()

A．20B．30

C．25D．40

9．已知等比数列{an}中，各项均为正数，前n项和为Sn，且4a3，a5，2a4成等差数列，若a1＝1，则S4＝()

A．7B．8

C．15D．16

10．已知等差数列{an}的首项a1＝1，前三项之和S3＝9，则数列{an}的通项公式an＝________．

11．已知等差数列{an}的公差为－2，a3是a1与a4的等比中项，则数列{an}的前n项和Sn＝________．

12．已知{an}为等比数列，a2＋a3＝1，a3＋a4＝－2，则a5＋a6＋a7＝________．

13．在数列{an}和等比数列{bn}中，a1＝0，a3＝2，bn＝2an＋1(n∈N*)．

(1)求数列{bn}及{an}的通项公式；

(2)若cn＝an·bn，求数列{cn}的前n项和Sn.14．数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋cn(c是常数，n＝1，2，3，…)，且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列．

(1)求c的值；

(2)求数列{an}的通项公式．

－15．等比数列{cn}满足cn＋1＋cn＝10·4n1(n∈N*)，数列{an}的前n项和为Sn，且an＝log2cn.(1)求an，Sn；

1(2)数列{bn}满足bn＝Tn为数列{bn}的前n项和，是否存在正整数m(m>1)，使得4Sn－1

T1，Tm，T6m成等比数列？若存在，求出所有m的值；若不存在，请说明理由．

专题限时集训(九)

1．B [解析] 设此数列的公比为q，根据题意得q>0且q≠1，由

5a1（1－q2），解得q＝2.1－q

122．C [解析] 由S8－S4＝12得a5＋a8＝a6＋a7＝a1＋a12＝6，则S12(a1＋a12)＝36.2

3．C [解析] 由a3·a5＝64可得a1·a7＝64，则a1＋a7≥2 1a7＝16.4．B [解析] 由S11＝S10得，a11＝0，即a1＋(11－1)×(－2)＝0，得a1＝20.5．C [解析] a1q5＝(a1q)3，q2＝a21，因为各项均为正数，所以q＝a1＝2.6．C [解析] 由(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)得d＝－2a1，因此可罗列该数列的前6项为a1，－a1，－3a1，－5a1，－7a1，－9a1，则公比为3.13（a1＋a13）7．D [解析] 在等差数列中，S13＝13，得a1＋a13＝2，即a1＝2－a13＝22

－13＝－11，选D.8．C [解析] 由数列{an}是公差为2的等差数列，得an＝a1＋(n－1)·2，又因为a1，a2，2a5成等比数列，所以a1·a5＝a22，即a1·(a1＋8)＝(a1＋2)，解得a1＝1，所以S5＝5a1＋

5×（5－1）·d＝5×1＋20＝25.2

9．C [解析] 由4a3＋2a4＝2a5得q2(q2－q－2)＝0，由题意知q＝2，则S4＝1＋2＋4＋8＝15.3（a1＋a3）10．2n－1 [解析] 由＝S3，得a3＝5，故d＝2，an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.2

11．－n＋9n [解析] 由2a1（1－q4）1－q＝a23＝a1·a4n（n－1）可得a1＝－4d＝8，故Sn＝8n＋×(－2)＝2

－n2＋9n.12．24 [解析] 由a2＋a3＝1，a3＋a4＝－2得q＝－2，由a2＋a2q＝1，得a2＝－1，因此a5＋a6＋a7＝8－16＋32＝24.13．解：(1)方法一，依题意b1＝2，b3＝23＝8，设数列{bn}的公比为q，由bn＝2an＋1>0，可知q>0.由b3＝b1·q2＝2·q2＝8，得q2＝4，又q>0，则q＝2，－－故bn＝b1qn1＝2·2n1＝2n，又由2an＋1＝2n，得an＝n－1.(2)依题意cn＝(n－1)·2n.－Sn＝0·21＋1·22＋2·23＋…＋(n－2)·2n1＋(n－1)·2n，①

＋则2Sn＝0·22＋1·23＋2·24＋…＋(n－2)·2n＋(n－1)·2n1，②

①－②得

－Sn＝2＋2＋…＋2－(n－1)·2

＋23nn＋1＝22－2n＋11－2－(n－1)·2n1，＋＋即－Sn＝－4＋(2－n)·2n1，故Sn＝4＋(n－2)·2n1.bn＋1方法二，(1)依题意{bn}为等比数列，则＝q(常数)，bn

由bn＝2an＋1>0，可知q>0.由2an＋1＋1

2an＋12an＋1－an＝q，得an＋1－an＝log2q(常数)，故{an}为等差数列．

设{an}的公差为d，由a1＝0，a3＝a1＋2d＝0＋2d＝2，得d＝1，故an＝n－1.(2)同方法一．

14．解：(1)a1＝3，a2＝3＋c，a3＝3＋3c，∵a1，a2，a3成等比数列，∴(3＋c)2＝3(3＋3c)，解得c＝0或c＝3.当c＝0时，a1＝a2＝a3，不符合题意，舍去，故c＝3.(2)当n≥2时，由a2－a1＝c，a3－a2＝2c，…，an－an－1＝(n－1)c，n（n－1）则an－a1＝[1＋2＋…＋(n－1)]c2

33又∵a1＝3，c＝3，∴an＝3＋n(n－1)＝(n2－n＋2)(n＝2，3，…)． 22

3当n＝1时，上式也成立，∴an2－n＋2)． 2

15．解：(1)因为c1＋c2＝10，c2＋c3＝40，所以公比q＝4，－－由c1＋4c1＝10，得c1＝2，cn＝2·4n1＝22n1，－所以an＝log222n1＝2n－1.Sn＝a1＋a2＋…＋an＝log2c1＋log2c2＋…＋log2cn＝log2(c1·c2·…·cn)＝log2(21·23·…·22n－1＋＋…＋2n－1))＝log22(13＝n2.111－1(2)由(1)知bn＝22n－12n＋1，4n－12

111111n于是Tn＝[(1－)＋()＋…＋()]＝.23352n－12n＋12n＋1

假设存在正整数m(m>1)，使得T1，Tm，T6m成等比数列，则 m216m4m2－7m－2＝0，2m＋1＝3×12m＋1

1解得m＝－或m＝2.4

*由m∈N，m>1，得m＝2.因此存在正整数m＝2，使得T1，Tm，T6m成等比数列．

2.等差等比数列作业 篇二

定理1.等差数列{an}, a1, a2, …, an中, 有as, as+1, as+2, an, …仍成等差数列, 且数列中的任意一项at=as+ (t-s) d。

例1:等差数列{an}中, 已知:a3=13, d=4, 求a10.

解:a10=a3+ (10-3) d=13+7×4=41

对比一般的求解思路避免了求a1, 并且, 当t比s小时, 此公式仍然成立。

定理2:等差数列{an}, a1, a2, …an中, 有as, a2s, a3s, …, ams (s为任意给定的正数) , 也成等差数列, 且公差为sd。即等差数列中相同间隔的项组成的数列仍是等差数列。

∴{ams}成等差数列

推论:等差数列{an}, a1, a2, …an中, 有as, as+t, as+2t, …, as+mt仍成等差数列, 且公差为td。

即:等差数列中, “下标成等差数列的项仍成等差数列”。

证明略。

例2:在等差数列中, 已知a3=3, a10=20, 求a24。

解:∵3, 7, 10, 17, 24成等差数列。

∴a3, a10, a17, a24也成等差数列。

且公差为d=a10-a3=20-3=17

解题方法简捷明了。

定理3:等差数列{an}, 若正整数p+q=s+l=2t, 则aP+aq=as+al=2at

证明:∵aP+aq=a1+ (p-1) d+a1+ (q-1) d=2a1+ (p+q-2) d

例3:在等差数列中, 已知a12+a13+a14=93,

求a15+a16+a17。

解:∵a12+a13+a14+a18+a19+a20=93+107=200

定理4:一般地等差数列{an}, a1, a2, …, an中, 有 (1) ma1, ma2, …, man, (2) a1+k, a2+k, …, an+k, (3) m a1+k, ma2+k, man+k均成等差数列。即等差数列同乘以一个常数或同加上一个常数或同乘以一个常数再加上一个常数仍成等差数列。

原题得证。

定理5:等比数列{an}中, am, am+1, am+2, …, an成等比数列, 且an=amqn-m

证明显然。

定理6:等比数列{an}中, 有at, a2t, …, amt成等比数列, 公比为qt。

证明:{an}为等比数列, 即

∴{amt}为等比数列.

即“等比数列间隔相同的项成等比数列”

推论:等比数列an中, 有as+t, as+2t, …, as+mt成等比数列.即“等比数列中下标成等差数列的项仍成等比数列”

例6:在等比数列中, 已知a4=3, a8=48, 求a16

解:∵4, 8, 12, 16成等差数列.

∴a4, a8, a12, a16成等比数列.

定理7:等比数列{an}中, 若s+l=m+n=2t (m, n, s, l, t, e∈N) , 有as, al=an, am=at2

证明∵asal=a1qs-1a1ql-1=a12qs+l-2

同理:aman=a12qm+n-2

例7:在等比数列中, 已知a3a9=64

求a6

解:∵3+9=2×6

定理8:等比数列{an}中, 有{kan} (k≠0)

{anm}也成等比数列。

例8:已知数列{an}是首项为2, 公比为3的等比数列, 求a12+a22+…+a102

解:∵{an}为等比数列

参考文献

[1]数学 (五年制高等职业教育文化基础课教学用书) [M].苏州:苏州大学出版社.

[2]数学 (全日制普通高级中学教科书) [M].北京:人民教育出版社.

3.等差、等比数列考点全析 篇三

1. 对等差、等比数列基本概念及运算的考查

本部分内容在高考中大都以填空题的形式出现，题目难度不大，属于中、低档题，主要涉及到数列的基本概念及基本的公式运算问题。

【例1】 设等比数列{an}的公比q=2，前n项和为Sn，则S4a2= .

解析 解法一：利用公式S4=a1(1-q4)1-q,a2=a1q，则S4a2=a1(1-q4)1-qa1q=1-24-2=152.

解法二：由题意，知S4=a1+a2+a3+a4=a22+a2+2a2+4a2，得S4a2=152.

点拨

本题在解法一中直接选择公式，求解S4较繁琐，而解法二中从定义出发，围绕a2 展开，可顺利解决此题，方法简捷方便。

2. 等差、等比数列基本性质的考查

本部分是高考的必考内容，主要以填空题的形式出现，一般为中、低档题，有时也在难度较大的解答题中出现性质的应用。

【例2】 已知{an}是等比数列，a2=2，a5=14，则a1a2+a2a3+…+anan+1= .

解析 本题主要考查等比数列通项的性质，由a5=14=a2•q3=2•q3，解得q=12.

数列anan+1仍是等比数列:其首项是a1a2=8，公比为14.

∴a1a2+a2a3+…+anan+1=81-14n1-14=323(1-4-n).

点拨

对于数列问题化归到基本量a1,d(q)是通法，但有时运算量较大，熟练运用性质能大幅度简化运算。

3. 等差、等比数列的综合应用

本内容往往出现在解答题的压轴题中，具有较高难度。

【例3】 将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：

a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10……

记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，…构成的数列为{bn}，b1=a1=1．Sn为数列{bn}的前n项和，且满足2bnbnSn-S2n=1(n≥2)．

(1) 证明数列1Sn成等差数列，并求数列{bn}的通项公式；

(2) 上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当a81=-491时，求上表中第k(k≥3)行所有项的和．

解析 (1) 证明：由已知，当n≥2时，2bnbnSn-S2n=1，又Sn=b1+b2+…+bn，

∴2(Sn-Sn-1)(Sn-Sn-1)Sn-S2n=12(Sn-Sn-1)-Sn-1Sn=11Sn-1Sn-1=12，

又S1=b1=a1=1．所以数列1Sn是首项为1，公差为12的等差数列．

由上可知1Sn=1+12(n-1)=n+12Sn=2n+1．

∴当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=2n+1-2n=-2n(n+1)．

因此bn=1，n=1，-2n(n+1)，n≥2. 

(2) 设上表中从第三行起，每行的公比都为q，且q>0．

因为1+2+…+12=12×132=78，

∴表中第1行至第12行共含有数列{an}的前78项，故a81在表中第13行第三列，

因此a81=b13•q2=-491．又b13=-213×14，所以q=2．

记表中第k(k≥3)行所有项的和为S，

则S=bk(1-qk)1-q=-2k(k+1)•(1-2k)1-2=2k(k+1)(1-2k)(k≥3)．

点拨

本题中已知an,Sn的等量关系，根据目标，统一到Sn上，用定义判断1Sn为等差数列，先确定Sn，由Sn求bn时，要紧扣定义，不要忽视验证n=1时是否满足通项公式，故本题用分段函数表示。

牛刀小试

1. 记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=12，S4=20，则S6= .

2. 数列{an}是等差数列，公差d≠0，且a2 046＋a1 978-a22 012＝0，{bn}是等比数列，且b2 012＝a2 012，则b2 010•b2 014＝ .

3. 已知数列{an}和{bn}满足：①a1<0，b1>0；②当ak-1+bk-12≥0时ak=ak-1，bk=ak-1+bk-12；当ak-1+bk-12<0时，ak=ak-1+bk-12，bk=bk-1(k≥2,k∈N*).

(1) 如果a1=-3，b1=7，试求a2，b2，a3，b3；

(2) 证明：数列{bn-an}是一个等比数列；

(3) 设n(n≥2)是满足b1>b2>b3>…>bn的最大整数，证明：n>log2a1-b1a1.

【参考答案】

1. 48.

2. 4.

3. (1) 因为a1+b12=2>0,所以a2=a1=-3,b2=a1+b12=2.

因为a2+b22=-12<0，所以a3=a2+b22=-12，b3=b2=2.

(2) 当ak-1+bk-12≥0时,bk-ak=ak-1+bk-12-ak-1=bk-1-ak-12;

当ak-1+bk-12<0时,bk-ak=bk-1-ak-1+bk-12=bk-1-ak-12.

因此不管哪种情况,都有bk-ak=bk-1-ak-12，所以数列{bn-an}是首项为b1-a1，



公比为12的等比数列.

(3) 由(2)可得bn-an=(b1-a1)12n-1 ，

因为b1>b2>b3>…>bn(n≥2),所以bk≠bk-1(2≤k≤n)，

所以ak-1+bk-12<0不成立，所以ak-1+bk-12≥0. 

此时对于2≤k≤n,都有ak=ak-1,bk=ak-1+bk-12,

于是a1=a2=…=an,所以bn=a1+(b1-a1)12n-1.

若an+bn2≥0,则bn+1=an+bn2，bn+1=a1+(b1-a1)12n，

所以bn+1-bn=a1+(b1-a1)12n-a1+(b1-a1)12n-1=-(b1-a1)•12n<0，

所以bn>bn+1，这与n是满足b1>b2>b3>…>bn(n≥2)的最大整数相矛盾，

因此n是满足an+bn2<0的最小整数. 

an+bn2<0a1+(b1-a1)12n<0b1-a1-a1<2nlog2a1-b1a1

4.等差等比数列学生版 篇四

1.等差数列的基本问题(1)定义：(2)通项公式：(3)等差中项(4)前n项和公式

2.等差数列的性质已知数列{an}是等差数列,Sn是其前n项和.(1)(2)(3)(4)

一、等差数列的基本运算

例1（1）设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1＝1,公差d＝2,Sk＋2－Sk＝24,则k＝()

（2）Sn为等差数列{an}的前n项和,S2＝S6,a4＝1,则a5＝________.练习：已知等差数列{an}满足a10＝20,a20＝10,＝求a30.例2(1)设等差数列的前n项和为Sn,已知前6项和为36,Sn＝324,最后6项的和为180(n>6),求数列的项数n及a9＋a10;

Sn3n－1a8(2)等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn,且＝求的值.Tn2n＋3b8

a练习：已知数列{an}<－1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使Sn>0的a10

n的最大值为()A．11B．19C．20D．21

二、等差数列的定义

anan＋1例3已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且Sn＝，n∈N*.2

1(1)求证：数列{an}是等差数列；(2)设bn＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求Tn.2Sn

练习：已知数列{an}中，a1＝－1，an＋1·an＝an＋1－an，则数列的通项公式为________． 等比数列基础梳理

1.等比数列的基本问题(1)定义：(2)通项公式：(3)等比中项(4)前n项和公式

2.等比数列的性质已知数列{an}是等差数列,Sn是其前n项和.(1)(2)(3)(4)

一、等比数列的基本运算

例1（1）等比数列{an}对一切正整数n都有Sn＝2an－1,Sn是{an}的前n项和,公比q的值为

(2)若等比数列{an}满足anan＋1＝16n,则公比为()

11111练习：{an}是各项均为正数的等比数列,且a1＋a2＝2(3＋a4＋a5＝64(＋).a1a2a3a4a5

12(1)求{an}的通项公式;(2)设bn＝(an),求数列{bn}的前n项和Tn.an

例2已知各项不为0的等差数列{an}满足2a2－a27＋2a12＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b3b11等于()

练习：（1）已知等比数列{an}中，an>0，a1，a99为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a20·a50·a80的值为()A．32B．64C．256D．±64

2）等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有()项

二、等比数列的定义

例3设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1＝1,Sn＋1＝4an＋2.an(1)设bn＝an＋1－2an,证明数列{bn}是等比数列;(2)证明数列{n}是等差数列.2练习:在本例条件下,设cn＝

巩固练习

11.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝，an＝－2SnSn－1(n≥2)． 2

1(1)求证：数列S是等差数列；(2)求Sn和an.n

2.数列{an}中，Sn＝1＋kan(k≠0，k≠1)．

5.等差数列与等比数列的证明方法 篇五

高考题中，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何处理这些题目呢？

证明或判断等差（等比）数列的方法常有四种：定义法、等差或等比中项法、数学归纳法、反证法。

一、定义法

10.证明数列是等差数列的充要条件的方法：

an1and(常数)an是等差数列

a2n2a2nd(常数)a2n是等差数列

a3n3a3nd(常数)a3n是等差数列

20.证明数列是等差数列的充分条件的方法：

anan1d(n2)an是等差数列

an1ananan1(n2)an是等差数列

30.证明数列是等比数列的充要条件的方法：

an1q(q0且为常数，a10)an为等比数列 an

40.证明数列是等比数列的充要条件的方法：

anq（n>2，q为常数且≠0）an为等比数列 an

1注意事项：用定义法时常采用的两个式子anan1d和an1and有差别，前者必须加上“n≥2”，否则n1时a0无意义，等比中一样有：n≥2时，有（常数0）；②nN时，有an1． q（常数0）ananqan1

例1.设数列a1,a2,,an,中的每一项都不为0。

证明：an为等差数列的充分必要条件是：对任何nN，都有

111n。a1a2a2a3anan1a1an1

证明：先证必要性

设{an}为等差数列，公差为d，则

当d=0时，显然命题成立 当d≠0时，∵

1111

 anan1danan1

∴

再证充分性：

∵

1n111

„„„① 

anan1a1an1a1a2a2a3a3a

411n1111

„„„② 

anan1an1an2a1an2a1a2a2a3a3a4

∴

②﹣①得：

1n1n 

an1an2a1an2a1an1

两边

anan1a1得：a1(n1)an1nan2 „„„③

同理：a1nan(n1)an1„„„④ ③—④得：2nan1n(anan2)

即：an2an1an1anan为等差数列

例2.设数列{an}的前n项和为Sn，试证{an}为等差数列的充要条件是

Sn

n(a1an),(nN*)。

2证：）若{an}为等差数列，则

a1ana2an1a3an2……，故

2Sn(a1an)(a2an2).......(ana1)

Sn(a1an)

n

（）当n≥2时，由题设，Sn1)(a1an1)n(a1an1



(2,Sn)

n2

所以a(a1a2)(n1)(a1an1)nSnSn1

n22

同理有a1)(a1an1)n(a1ann1

(n2)

从而a(n1)(a1an1)(n1)(a1an1an

2n(aan1)

1n)2

整理得：an+1－an=an－an－1，对任意n≥2成立.从而{an}是等差数列.例3.已知数列an是等比数列（q1），Sn是其前n项的和，Sk，S2kSk，S3kS2k，„，仍成等比数列。

证明一：

（1）当q=1时，结论显然成立；（2）当q≠1时，Sa11qk1q2ka11q3kk

1q,S2k

a11q,S3k

1q

Sq2ka11qka1qk1qk2kSk

a111q



1q



1q 3kSa11q11q2ka1q2k1qk3kS2k

1q



a1q



1q

2kk2

S2

1q21qSa11qka1q2k1qka22k1q12kSk

a(1q)2

k(S3kS2k)1q1q

qk

(1q)2

∴S2

2kSk

=Sk(S3kS2k)

∴Sk，S2kSk，S3kS2k成等比数列.则

证明二：S2k－Sk=(a1a2a3a2k)－(a1a2a3ak)=ak1ak2ak3a2k=qk(a1a2a3ak)=qkSk0 同理，S3k－S2k=a2k1a2k2a2k3a3k= q2kSk0 ∴Sk，S2kSk，S3kS2k成等比数列。

二、中项法

(1).(充要条件)

若2an1anan2an是等差数列

(注：三个数a,b,c为等差数列的充要条件是:2bac)(充分条件)2an

an1an1(n2){an}是等差数列，（2）.(充要条件)

若 anan2an12(an0){an}是等比数列(充分条件)

2anan1an1（n≥1）

{an}是等比数列，注:

b(ac0)是a、b、c等比数列的充分不必要条件

b是a、b、c等比数列的必要不充分条件

.b(ac0)是a、b、c等比数列的充要条件.任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac＞0，则等比中项一定有两个.三、通项公式与前n项和法

1.通项公式法

（1）.若数列通项an能表示成ananb（a，b为常数）的形式，则数列an是等差数列。(充要条件)

(2).若通项an能表示成ancqn(c，q均为不为0的常数，nN)的形式，则数列an是等比数列．(充要条件)

2.前n项和法

(1).若数列an的前n项和Sn能表示成Snan2bn(a，b为常数)的形式，则数列an是等差数列；(充要条件)

(2).若Sn能表示成SnAqnA(A，q均为不等于0的常数且q≠1)的形式，则数列an是公比不为1的等比数列．(充要条件)

四、归纳—猜想---数学归纳证明法

先根据递推关系求出前几项，观察数据特点，猜想、归纳出通项公式，再用数学归纳法给出证明。

这种方法关键在于猜想要正确，用数学归纳法证明的步骤要熟练，从“nk时命题成立”到“nk1时命题成立”要会过渡．

五、反证法

解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑．

六、等差数列与等比数列的一些常规结论

若数列{an}是公比为q的等比数列，则

（1）数列{an}{an}（为不等于零的常数）仍是公比为q的等比数列；（2）若{bn}是公比为q的等比数列，则数列{anbn}是公比为qq的等比数列；（3）数列

11

是公比为的等比数列；

qan

（4）{an}是公比为q的等比数列；

（5）在数列{an}中，每隔k(kN)项取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍

为等比数列且公比为qk1；

（6）若m，n，p(m，n，pN)成等差数列时，am，an，ap成等比数列；（7）Sn，S2nSn，S3nS2n均不为零时，则Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列；（8）若{logban}是一个等差数列，则正项数列{an}是一个等比数列．

若数列{an}是公差为d等差数列，则

（1）{kanb}成等差数列，公差为kd（其中k0，k，b是实常数）；（2）{S(n1)kSkn}，（kN，k为常数），仍成等差数列，其公差为k2d；（3）若{an}{，bn}都是等差数列，公差分别为d1，d2，则{anbn}是等差数列，公差为d1d2；

（4）当数列{an}是各项均为正数的等比数列时，数列{lgan}是公差为lgq的等差数列；

6.等差等比数列作业 篇六

(1)在等差数列｛an｝中, a7=9, a13=-2, 则a25=()

A-22B-24C60D64

(2)在等比数列｛an｝中, 存在正整数m, 有am=3，am+5=24, 则am+15=()

A864B1176C1440D1536

(3)已知等差数列an的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列, 则a2=()

A–4B–6C–8D–10

(4)设数列an是等差数列，且a26,a86,Sn是数列an的前n项和，则()

AS4>S3BS4=S2CS6

(5)已知由正数组成的等比数列｛an｝中,公比q=2, a1·a2·a3·…·a30=245, 则a1·a4·a7·…·a28=5101520A 2B2C2D2

(6)若{an}是等差数列，首项a10,a2003a20040,a2003.a20040，则使前n项和Sn0成立的最大自然数n是：()

A．4005B．4006C．4007D．4008

(7)在等比数列｛an｝中, a1<0, 若对正整数n都有an

Aq>1B0

a1(3n1)(8)设数列{an}的前n项和为Sn，Sn=(对于所有n≥1)，且a4=54，则a1=__________.2

(9)等差数列｛an｝的前m项和为30, 前2m项和为100, 则它的前3m项和为_________.(10)定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列an是等和数列, 且a1=2, 公和为5,那么a18的值为_______,这个数列的前21项和S21的值为.(11)已知等差数列｛an｝共2n+1项, 其中奇数项之和为290, 偶数项之和为261, 求第n+1项及项数2n+1的值.(12)设an是一个公差为d(d0)的等差数列，它的前10项和S10110且a1，a2，a4成等比数列.（Ⅰ）证明a1d；（Ⅱ）求公差d的值和数列an的通项公式.(13)已知等比数列｛an｝的各项都是正数, Sn=80, S2n=6560, 且在前n项中, 最大的项为54, 求n的值.(14)ΔOBC的三个顶点坐标分别为（0,0）、（1,0）、（0,2）, 设P1为线段BC的中点,P2为线段CO的中点,P3为线段OP1的中点,对于每一个正整数n, Pn+3为线段PnPn+1的 中点,令Pn的坐标为(xn,yn), an

（Ⅰ）求a1,a2,a3及an;（Ⅱ）证明yn41

(Ⅲ)若记bny4n41ynyn1yn2.2yn,nN;4y4n,nN,证明bn是等比数列.答案:1-7 BDBDA BB8.29.21010.3, 5211.29, 19

7.等差等比数列作业 篇七

这里,我们给出下列定理:等差数列{a+bn}(ab≠0)中包含一个无穷的等比数列子数列的充要条件是。

证明:(1)设等差数列{a+bn}(ab≠0)中存在一个等比数列子数列:a+bn1,a+bn2,a+bn3,…,(n1

(2)反过来,如果,不妨设a,b∈Z,且b>0取自然数n1,使得c1=a+bn1①,设a+bn2=c1q②,a+bn3=c1q2③,②-①:b(n2-n1)=c1(q-1),取q-1=b,则q=1+b,n2=n1+c1,③-②:b(n3-n2)=c1q(q-1)=c1bq⇒n3=n2+c1q,由归纳法易知a+bnk=c1qk-1,其中q=b+1,nk+1=nk+c1qk-1,即子数列{a+bnk}(k∈N+)成等比数列,充分性满足。

这里,必要性的证明思路自然,符合新课标的要求,同学也容易领悟出来。充分性的证明在给出等比数列的第一项c1=a+bn1后,由c2=c1q、c2=a+bn2,比较易知q=b+1,n2=n1+c1q…由归纳法可以构造等比数列。

定理条件中的b实际上是等差数列的公差,又,故首项与公差的比也是有理数。因而,公差d非零的等差数列{an}存在一等比数列子数列的充要条件是,以此为出发点,我们可以快速地对相关问题做出判断,找到解题方向。同时,我们提醒同学运用时应给出证明。

公差d非零的等差数列{an}存在一等比数列子数列的必要条件是,其等价形式是:公差d非零的等差数列{an}中,则其一定不存在等比数列子数列。

必要性的证明思路有一定的代表性,是研究这类问题的通法。通常在等差数列存在等比数列子数列时,都可以这样下手,其结论提供了我们寻找不存在等比数列子数列的等差数列的快捷途径。充分性的证明过程,为我们构造符合条件的等比数列提供了方法。如果熟悉二项式定理,则更方便。

题1:求证:对于一个给定的正整数n(n≥4),存在一个各项及公差都不为零的等差数列b1,b2,……bn,其中任意三项(按原来顺序)都不能组成等比数列。

[简析]假设对于某个正整数n,存在一个公差为d的n项等差数b1,b2,……bn,其中b1,b2,b3(1≤n,

题2:设等差数列{an}中包含1和,求证:{an}中的任意三项不构成等比数列。这道题是一道经典的赛題,一般的数学竞赛教材,都选它作为数列的典型例题。但其解答都是一个面孔,而这个解答让人看起来很费解。我们从上述定理出发,给出下列分析。

[简析]第一步:先证明,等差数列{an}存在一等比数列子数列的必要条件是,d是等差数列{an}的公差且d≠0。第二步:设an=1,(1≤n

这里提供的解法远远比原来的解答简捷优美。此命题可以推广到一般情形:若等差数列{an}中有一项是有理数a,另一项是无理教δ,那么{an}中任意三项都不可能构成等比数列。我们还可以研究对称命题:若等比数列{an}中包含1和,问:{an}中的任意三项能否构成等差数列?

题3:已知{an}是等差数列,{bn}是公比为q的等比数列,a1=b1,a2=b2≠a1若b3=ai(i是某一正整数),求证:q是整数,且数列{bn}中每一项都是数列{an}中的项。这题是2007年高考江苏数学卷压轴题最后一题中最难的一小题,涉及定理的充分性,评分标准给出的解答篇幅较大。我们给出以下分析。

[简析]已知等差数列{an}中a1,a2,ai(i>2)成等比数列,设{an}公差为d,则由,也就是说,取时,1,6,,,…成等比数列,即a3=1符合要求,,因此我们可以判断等差数列{an}存在等比数列子数列a1,a2,ai,…(i≥4),此等比数列就是数列{bn}。具体证明如下:{bn}的公比显然是整数。而是数列{an}的项,故结论成立。对不熟悉二项式定理的文科同学而言,可以这样来思考:bn=a1(i-2)n-1=a1+a1[(i-2)n-1-1]=a1+a1[(i-2)-1]·[(i-2)n-2+(i-2)n-3+…+(i-2)+1]=a1+[(i-2)n-2+(i-2)n-3+…+(i-2)+1]d,显然(i-2)n-2+(i-2)n-3…+(i-2)+1是正整数,故bn是{an}中的项,结论成立。

题4:(改编题)设数列{an}是一个公差不为零的等差数列,且a5=6。若a3∈A时,存在自然数n1,n2,…,nt,…,满足5

[简析]由a5=a3+2d且a5=6⇒2d=6-a3,又=a3+(a1-3)d,由a3,a5,,成等比数列,有,当a3=1时,,因为n1>5,所以a3必是12的约教:1,2,3,4,6,12。。在这里,a3=1∈A。亦可按题3的方法二求解。同理2,3,4,12∈A。所以A={1,2,3,4,12}。这里a3在A中随意取一个值来验证都是一道高质量的能力训练题。

等差数列与等比数列,是两种不同的数列模型,但二者也不是绝对不相容的,即等差数列中的某些项可以构成等比数列,甚至可以找到一无穷的等比数列子数列,上述定理揭示了等差数列存在等比数列子数列的条件。

8.等差等比数列作业 篇八

1.学习一个数学公式的基本任务有哪些？

（1）等差数列、等比求和公式内容是什么？公式怎么用？

（2）推导公式的方法怎么用？

2.拿到一个新题目怎么想？

（1）现有的相关公式能否用上？

（2）非等差、等比数列求和能否化为等差、等比数列求和？

（3）已经用过的相关方法能否用上？

问题一：求数列，，，…，，…的前n项和;

分析：数列的分子成等差数列，分母成等比数列，可用错位相减法求和;

Sn=+++…++其中等比数列的公比q=;

Sn=+++…++;

两式错位相减得：

Sn=++++…-

=-+2（++++…+）-

∴Sn=3-

小结：设数列an的等比数列，数列bn是等差数列，则数列anbn的前n项和Sn求解，均可用错位相减法.

问题二：已知a≠0，求数列a，2a2，3a3，…，nan，…前n项和.

点拨：字母的系数等差，字母项等比，但需要对字母讨论.

解：Sn=a+2a2+3a3+…+nan，

当a=1时，Sn=1+2+3+…+n=，

当a≠1时，Sn=a+2a2+3a3+…+nan，

aSn=a2+2a3+3a4+…+nan+1，

两式相减（1-a）Sn=a+a2+a3+…+an-nan+1，

=-nan+1

∴Sn=.

小结：采用乘公比，错位相减，可以得到一组等比数列，求和用公式但必须注意公比是否为1，否则须讨论.

问题三：设Sn=-1+3-5+7-9+…+（-1）n（2n-1），则Sn=（-1）nn

方法一：分析：由此数列的通项an=（-1）n（2n-1）;其是等差数列与等比数列的积这一类型的数列求和，故用错位相减法.

所以Sn=-n（n为奇数）

n（n为偶数），即Sn=（-1）nn.

总结：一个数列cn可以看成是一个以公差为d的等差数列（d不等于零）和一个是公比为q的等比数列（q不等于1）的乘积形式，则数列cn的前n项求和的方法可采用做错位相减法.

方法二：分析：通过观察可发现此数列具有正负相间，且正数项和负数项分别成等差数列这一特征.因此可以将正数项和负数项分别进行分组求和.但此数列有多少正数项和负数项呢？还要对项数n的奇偶性进行讨论.

略解：Sn=-n（n为奇数）

n（n为偶数），即Sn=（-1）nn.

总结：我们通过分组转化成两个等差数列，然后通过已有的等差数列求和求解。这种方法叫做分组求和法。

方法三：分析：通过观察可发现此数列具有这样的特征，即第一项与第二项，第三项与第四项，第五项与第六项，……，第n-1项与第n项的和都等于2，共多少个2呢？还要对项数n进行奇偶性讨论.

总结：通过将数列相邻的两项并成一项得到一个新的容易求和的数列，这种方法叫做并项求和。

通过对以上问题几种方法的探讨，不难看出，实际上所有与项的序号的奇偶性有关的数列求和问题，通过认真审题，抓住数列的通项，灵活地运用分类讨论、转化和化归数学思想，就可将其变为熟悉、简单的等差数列或等比数列来处理，辅助以适当的解题方法技巧，问题就会迎刃而解.

9.等差数列专题 篇九

【方法总结1】

(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．

(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．

【方法总结2】

1.一般地，运用等差数列的性质，可以化繁为简、优化解题过程．但要注意性质运用的条件，如m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)，需要当序号之和相等、项数相同时才成立．

2.将性质mnpqamanapaq与前n项和公式Sn

题过程．

3.等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．

(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．

(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．

(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．

(5)S2n－1＝(2n－1)an.(6)若n为偶数，则S偶－S奇ndn为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)． 2n(a1an)结合在一起，采用整体思想，简化解

2【方法总结3】

1.公差不为0的等差数列，求其前n项和的最值，一是把Sn转化成n的二次函数求最值；二是由an≥0或an≤0找到使等差数列的前n项和取得最小值或最大值的项数n，代入前n项和公式求最值．求等差数列前n项和的最值，2.常用的方法：

(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；

(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；

(3)利用等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)为二次函数，根据二次函数的性质求最值． 与其他知识点结合则以解答题为主.【规律总结】

一个推导：利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式：

Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，①Sn＝an＋an－1＋…＋a1，②①＋②得：Sn

n(a1an)

.2

两个技巧：已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元．

(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，….(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．

四种方法：等差数列的判断方法

(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数；(2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立；(3)通项公式法：验证an＝pn＋q；(4)前n项和公式法：验证Sn＝An2＋Bn.注：后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列．

热点一 等差数列基本量的计算

1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷文科）】设Sn为等差数列an的前n项和，S84a3,a72，则a9=（）

（A）6（B）4（C）2（D）2

2,【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理】 在等差数列an中,已知a3a810,则3a5a7 _____.3．（2012年高考辽宁文）在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则a2+a10=（）A．12

B．16

C．20

D．24

4．（2012年高考北京文）已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和.若a1,Sa3,则 22

a2________;Sn=________.5.（2012年高考重庆理）在等差数列{an}中,a21,a45,则{an}的前5项和S5=（）A．7B．15C．20D．25

6．（2012年高考福建理）等差数列an中,a1a510,a47,则数列an的公差为

A．1

B．2C．3

D．4

（）

27．（2012年高考广东理）已知递增的等差数列an满足a11,a3a24,则an______________.8.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国理科】

2等差数列{an}的前n项和为Sn.已知S3a2，且S1,S2,S4成等比数列，求{an}的通项公式.9.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）文科】已知等差数列an的公差d=1，前n项和为Sn(I)若1,a1,a3成等比数列，求a1；

10．（2012年高考（山东文））已知等差数列{an}的前5项和为105,且a202a5.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)对任意mN*,将数列{an}中不大于72m的项的个数记为bm.求数列{bm}的前m项和Sm.

(II)若S5a1a9，求a1的取值范围。

热点二 等差数列性质的综合应用

11.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）文】在等差数列an中，若a1a2a3a430，则

a2a3．

12．（2012年高考辽宁理）在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11=（）

A．58

B．88

C．143

D．176

13．（2012年高考江西理）设数列an,bn都是等差数列,若a1b17,a3b321,则a5b5__________ 14．（2012年高考四川文）设函数f(x)(x3)x1,{an}是公差不为0的等差数列,f(a1)f(a2)f(a7)14,则a1a2a7（）

A．0 B．7 C．14 D．21

15.（2012年高考大纲理）已知等差数列an的前n项和为Sn,a55,S515,则数列（）A．



1

的前100项和为

anan1

B．

101

C．

100

D．

16．（2012年高考山东理）在等差数列an中,a3a4a584,a973.(Ⅰ)求数列an的通项公式;

(Ⅱ)对任意mN*,将数列an中落入区间(9,9)内的项的个数记为bm,求数列bm 的前m项和Sm.m

2m

17.【2013年高考新课标Ⅱ数学（文）卷】已知等差数列｛an｝的公差不为零，a1=25，且a1，a11，a13成等比数列.（Ⅰ）求an的通项公式；（Ⅱ）求a1+a4+a7+…+a3n-2.热点三 等差数列的定义与应用

18.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科】下面是关于公差d0的等差数列an的四个命题：

p2:数列nan是递增数列； p1:数列an是递增数列；

a

p4:数列an3nd是递增数列； p3:数列n是递增数列；

n

其中的真命题为（）

（A）p1,p2（B）p3,p4（C）p2,p3（D）p1,p4 19．（2012年高考四川理）设函数f(x)2xcosx,{an}是公差为

f(a1)f(a2)f(a5)5,则[f(a3)]a1a3（）

的等差数列, 8

A．0

B．

 16

C．

D．

132

 16

20．（2012年高考浙江理）设S n是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{a n}的前n项和,则下列命题错误的是（）．．A．若d<0,则数列{S n}有最大项B．若数列{S n}有最大项,则d<0

C．若数列{S n}是递增数列,则对任意的nN*,均有S n>0D．若对任意的nN*,均有S n>0,则数列{S n}是递增数列

10.等差数列教案 篇十

难点：

①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。

②理解等差数列是一种函数模型。

关键：

等差数列概念的理解及由此得到的“性质”的方法。

六、教学过程

教学环节 情境设计和学习任务 学生活动 设计意图 创设情景 在南北朝时期《张邱建算经》中，有一道题“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给，问各得金几何，及未到三人复应得金几何“。

这个问题该怎样解决呢? 倾听 课堂引入 探索研究 由学生观察分析并得出答案：

在现实生活中，我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：0，5，___，___，___，___，…

水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼。如果一个水库的水位为18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列(单位：m)：18，15.5，13，10.5，8，5.5 观察分析，发表各自的意见 引向课题 发现规律 思考：同学们观察一下上面的这两个数列：

0，5，10，15，20，…… ①

18，15.5，13，10.5，8，5.5 ②

看这些数列有什么共同特点呢? 观察分析并得出答案：

引导学生观察相邻两项间的关系，得到：

对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 ;

对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 -2.5 ;

由学生归纳和概括出，以上两个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数(即：每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点)。 通过分析，激发学生学习的探究知识的兴趣，引导揭示数列的共性特点。 总结提高 [等差数列的概念]

对于以上几组数列我们称它们为等差数列。请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征，尝试着给等差数列下个定义：

等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。

这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。那么对于以上两组等差数列，它们的公差依次是5，5，-2.5。 学生认真阅读课本相关概念，找出关键字。 通过学生自己阅读课本，找出关键字，提高学生的阅读水平和思维概括能力，学会抓重点。 提问：如果在 与 中间插入一个数A，使 ，A， 成等差数列数列，那么A应满足什么条件? 由学生回答：因为a，A，b组成了一个等差数列，那么由定义可以知道：A-a=b-A

所以就有 让学生参与到知识的形成过程中，获得数学学习的成就感。 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做a与b的等差中项。

不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项。

如数列：1，3，5，7，9，11，13…中5是3和7的等差中项，1和9的等差中项。

9是7和11的等差中项，5和13的等差中项。

看来，

从而可得在一等差数列中，若m+n=p+q

则 深入探究，得到更一般化的结论 引领学习更深入的探究，提高学生的学习水平。 总结提高 [等差数列的通项公式]

对于以上的等差数列，我们能不能用通项公式将它们表示出来呢?这是我们接下来要学习的内容。