切线不等式的应用

2024-09-13

切线不等式的应用（精选8篇）

1.切线不等式的应用篇一

圆的切线教学设计

如何学好圆的切线?

圆的切线是圆这一章的重点内容之一，它的判定定理、性质定理及其推论，是学习其他有关圆的知识的理论基础，是进行圆内线段相等、角相等、弦相等、弦平行、线段成比例的证明与计算的主要依据.因此，要想学好圆的知识，学好圆的切线是关键.要想学好这部分知识，同学们应注意以下几个问题.一、正确理解切线的含义

切线的研究是从直线与圆的三种位置关系开始的，从而引出了切线的定义：直线与圆有唯一的公共点时，叫做直线与圆相切.这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点.这一定义告诉我们，圆的切线是直线，它和圆有唯一的公共点，也就是有且只有一个公共点，与有一个公共点的含义不同.需要注意的是，如果直线和圆有一个公共点，那么直线和圆相切，这种说法是错误的.二、正确理解切线的定义、判定定理和性质定理的内在联系

判定一条直线是否是圆的切线，常用的方法有如下三种.（1）运用切线的定义：若直线与圆有唯一的公共点，则这条直线就是圆的切线.（2）运用圆心到直线的距离：若圆心到直线的距离等于半径，则这条直线就是圆的切线.（3）运用切线的判定定理：经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线就是圆的切线.这三种判定方法，实质上均可用图1来表示.显然，三种判定方法是等价的，只是研究角度不同而已.解题时，可根据题目的不同特点，选择适当的判定方法.切线的判定定理中，经过半径外端和垂直于该半径这两个条件缺一不可，否则结论就不成立.如图2，直线AB经过半径外端，但不垂直于该半径，所以直线AB不是该圆的切线.如图3，直线AB与CD都垂直于半径，但都没有经过该半径的外端，所以直线AB与CD都不是该圆的切线.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.这一定理有两个推论.为了便于理解记忆，我们进行归纳整理.如果一条直线：

①垂直于切线；②过切点；③过圆心.由①和③可以推出②，这就是切线的性质定理的推论1；由①和②可以推出③，这就是切线的性质定理的推论2.综上所述，切线的主要性质可以归纳如下：

（1）切线和圆只有一个交点；

（2）切线到圆心的距离等于圆的半径；

（3）切线垂直于过切点的半径；

（4）经过圆心垂直于切线的直线必经过切点；

（5）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心.其中，（1）是切线的定义；（2）是切线的判定定理的逆命题；（3）、（4）、（5）是切线的性质定理及推论.注意：切线的判定定理和性质定理是互逆的，它们有着截然不同的用途.切线的判定定理是在未知相切而要证明相切的情况下使用；切线的性质定理是在已知相切需要推出一些结论的时候使用.三、熟练掌握处理切线问题时所要添加的辅助线

在应用切线的判定定理和性质定理解题时，常常需要添加适当的辅助线，不少同学对此感到困惑.事实上，处理切线问题时辅助线的添加，还是有规律可循的，即“有点连圆心，无点作垂线”.1.已知一直线是某圆的切线时，切点的位置也确定，这时可以连结圆心和切点，得到半径，则有半径垂直于切线.例1如图4，AB是⊙O的直径，DC是切线，D为切点，OC∥AD.求证：BC是⊙O的切线.分析：观察图形可知，要证明BC是⊙O的切线，只需证明∠ABC=90°.连结OD，利用全等三角形即可获证.证明：连结OD.因为DC是⊙O的切线，D为切点，所以∠CDO=90°.因为OC∥AD，所以∠OAD=∠BOC，∠ODA=∠COD.又因为OA=OD，所以∠OAD=∠ODA，所以∠BOC=∠COD.又因为OC为公共边，OB=OD，所以△OBC≌△ODC，所以∠OBC=∠ODC=90°，故BC是⊙O的切线.说明：本题是切线的判定定理和性质定理的综合运用，显然，连结过切点的半径是求证的关键.2.要证明一直线是圆的切线时，如果已知直线过圆上某一点，则可以作出这一点的半径，再证明直线垂直于这条半径；如果直线与圆的交点没有确定，则可以经过圆心作出直线的垂线，再证明圆心到直线的距离等于半径即可.例2如图5，在△ABC中，CD是AB边上的高，CD=1/2AB，E、F分别是AC、BC的中点.求证：以EF为直径的⊙O与AB相切.分析：欲证AB与⊙O相切，只需过圆心O作OG⊥AB于G，再证OG之长等于⊙O的半径即可.证明：过圆心O作OG⊥AB于G.因为E、F分别是AC、BC的中点，所以EF∥AB，EF=1/2AB.设EF与CD交于点H，则H也是CD的中点.又因为CD=1/2AB，所以HD=1/4AB，所以EF=2HD.因为CD是AB边上的高，OG⊥AB，EF∥AB，所以四边形OGDH是矩形，所以OG=HD，所以OG=1/2EF，故以EF为直径的⊙O与AB相切.说明：用切线的判定定理证明直线与圆相切时，首先找到圆心到直线的距离，然后推出这个距离等于该圆的半径.四、正确理解“直线切于圆”和“圆切于直线”

把“直线切于圆”和“圆切于直线”理解为相互的是可以的，但在画图中却有个先后顺序问题：“圆切于直线”是以直线为已知，而后画一个圆与这条直线相切，做法是：先画一条直线l，在直线上选定一点A（也可以是已知点），过点A作l的垂线AB，在AB上取半径AC=r，以C为圆心，r为半径的圆必与直线l相切，如图6.“直线切于圆”是以圆为已知，而后画直线与圆相切，做法是：先画一个

⊙O，在圆上选定一点A（也可以是已知点），作半径OA，过点A作半径OA的垂线l必与⊙O相切，如图7.五、会过圆外一点向圆引切线

如何从圆外一点向圆引切线？

我们不妨先做个假设：过⊙O外一点A的切线AB已经画好，B为切点，连结OB，则OB⊥AB，显然△AOB是一个直角三角形，其中AO是定长（点A为已知，AO的距离已经确定），即△AOB是一个斜边确定的直角三角形；它的直角顶点在⊙O上，并且就是切点.于是，就可以AO为直径画⊙D与⊙O相交，得到点B、C，点B、C就是我们要找的直角三角形的直角顶点，也就是切点.连结AB、AC，它们就是要求作的两条切线了.显然，过圆外一点引圆的切线有两条，如图8.至于为什么AB、AC就是⊙O的切线，理由是：因为OA是⊙D的直径，所以∠ABO=90°，即AB⊥OB；又因为AB过⊙O半径OB的外端，所以AB切⊙O于点B.同理可证AC切⊙O于点C.

2.切线不等式的应用篇二

调强放射治疗 (intensity-modulated radiation therapy, IMRT) 是近10年来发展起来的一种精确的放射治疗技术。正向调强放射治疗技术是由专业放疗医生在患者的CT影像上勾画出靶区轮廓, 由医学物理师根据靶区形状及大小设计照射野的入射方向、数目及各个照射野的权重配比, 由计算机进行剂量计算, 显示剂量分布及DVH (剂量体积直方图) , 然后进行计划评估, 如果剂量分布不符合临床要求, 再次调节主野、子野的入射方向、MLC屏蔽范围及权重大小, 重新计算, 如此反复进行, 直至满意。这种计划设计的计算次数仅仅需要几次, 子野数也很少, 但缺点是对于复杂而且形变较大的靶区如鼻咽癌、上颌窦癌、宫颈癌等, 靠人脑正向调强远远不如计算机逆向调强的设计效果好, 但对于乳腺癌靶区简单而表浅, 危及器官少的特点, 采用正向调强技术完全可以满足临床的剂量学要求。在实际工作中, 乳腺癌的逆向调强一般给常规5野治疗, 虽然靶区剂量分布的适形度及均匀性尚好, 但肺及心脏的放射性损伤较大, 尤其对左侧乳腺癌患者, 肺及心脏的毒副作用就更加明显。再加上逆向计划设计时间、加速器治疗时间都较长, 增加了病人的疲劳度, 难以长时间维持良好的正常体位, 增加了摆位的误差, 无法保证治疗效果。为了解决这一棘手问题, 我科率先开展了乳腺癌的切线半束“野中野”正向调强 (Tangent half-beam“field-in-field”intensity modulated radiation therapy, FIF-IMRT) 计划设计方案, 最大限度保护了肺及心脏, 使之免受高剂量的照射。使晚期心脏毒性的正常组织并发症发生概率显著降低, 尤其是大幅度降低了左侧乳腺癌患者的心脏受照剂量体积, 并减少了患侧肺在高剂量区的受照体积, 从而克服了发生放射性肺炎、放射性心脏损伤高风险的难题。

2 材料

选取云南省肿瘤医院自2012年12月~2014年2月确诊为早期乳腺癌保乳术后的女性患者, 共22例, 其中右乳腺癌12例, 左乳腺癌10例, 平均年龄42岁 (26~56岁) , KPS (Karnofsky Performance Status, KPS) 评分>83, 采用了切线半束“野中野”正向调强的放疗技术进行计划设计, 运用Varian IX直线加速器治疗。

3 主要方法

(1) 体位固定:首先, 乳腺癌保乳术后患者上身裸露仰卧于AKTINA乳腺托架上, 患侧上肢上举外展, 要求身体的头部与脚部在同一水平面, 身体左右侧保持同一水平, 使身体成双位平行。并在模拟机下透视观察, 调整体位, 使椎体与耻骨联合连线成一条直线, 两髂前上棘连线垂直于中轴, 双侧锁骨头处于同一平面且骨盆无旋转;其次, 根据患者的体型选择头枕型号、定义乳腺托架表面的倾斜度、并调节患侧上臂的固定位置及臀部横挡位置, 要求上臂尽量上抬, 以尽量减少肺受照体积, 并确保患者胸壁尽量水平;然后, 在胸壁的上下界、内界 (胸骨旁线) 和外界 (腋中线或肩胛骨外缘) 等位置用铅丝加以标记, 并确定患者的体表激光定位标记点, 完成后切记注明患者姓名、病种、乳腺托架的使用参数及日期。

(2) CT模拟扫描采集图像:采用德国西门子85cm大孔径螺旋CT (Somatom Sensation Open) 对患者治疗部位进行CT扫描, CT定位扫描采用与加速器治疗床一致的平板床, 采用模拟定位制模相同的体位, 叮嘱患者保持放松状态并平静呼吸, 选取一个基准平面, 注意患者体表的激光定位标记点, 扫描层厚2.5cm, 扫描范围包括颈、胸、上腹部, 以完整包括邻近正常组织器官如:肺、心脏、肝脏、双侧乳腺、甲状腺等。并记录定位参考坐标系。

(3) 勾画靶区及危及器官扫描后CT模拟定位图像由网络传输至ADAC Pinnacle9.6f三维计划系统工作站, 由两位专业放疗医师共同根据ICRU50和ICRU62号报告 (乳腺癌保乳术后放疗靶区勾画标准) , 在CT窗宽500Hu、窗位0Hu条件下勾画出临床靶区 (clinical target volume, CTV) , 上界为锁骨上2cm, 下界为乳房皱襞下2cm, 内界为胸骨旁线, 外界为腋中线水平 (要求包括全乳腺手术疤痕) , 前界为皮下0.5cm, 后界为胸壁与胸膜交界处 (包括部分肋骨但不包括肺组织) , 其范围包括患侧乳腺组织、胸大肌筋膜、胸肌间淋巴结、、腋窝I~II组淋巴结、乳房下胸壁淋巴结及锁骨上下淋巴结引流区。PTV在CTV的基础上内界及外后界各外扩0.8cm, 上下界各外扩1.2cm, 前界仍在皮肤表面下0.5cm, 后界外扩0.5cm (不包括肺组织) 。同时定义危及器官 (OARS) :包括双侧肺组织、心脏 (包括左右心室、心房及冠状动脉区) 、健侧乳腺、食管、肝脏、甲状腺、脊髓。

(4) 治疗计划的制定:在医学物理师的帮助下, 应用Pinnacle9.6f计划系统对乳腺癌保乳术后的患者进行切线半束“野中野”正向调强 (Tangent half-beam“field-in-field”intensity modulated radiation therapy, FIF-IMRT) 计划设计, 选择6MV-X射线, 给予50Gy/25F的处方剂量。针对每例患者靶区的形状、大小及空间位置关系, 以PTV几何中心作为照射野中心, 以切线方向为主野, 在射野方向观 (beam’s eye view, BEV) 下微调切线野的入射方向, 尽量少切肺组织及健侧乳腺为原则, 调节准直器角度, 转动治疗床, 使照射野方向与胸壁走形一致, 调节铅门大小, 设计半束照射方式 (可以减少散射线对肺组织的影响) , 最大限度的包括靶区, 避开危及器官, 按内外半束切线野等权重进行剂量计算, 观察低剂量区的分布及大小, 调节射野参数及剂量归一方式重新计算, 直到V95满足处方剂量要求, 再观察高剂量区的分布及大小, 根据高剂量区的分布以处方剂量的3%~5%作为一个等级, 创建高剂量结构轮廓, 在射野方向观 (beam’s eye view, BEV) 下, 依次针对不同水平的高剂量区在内外切线野方向上采用正向调强方式:设计子野, 使子野中相应的高剂量区域被多叶光栅 (MLC) 屏蔽, 给主野高权重, 子野低权重进行剂量优化, 直到获得满意结果, 同时删除<5MU的子野。

(5) 计划评估:通过三维治疗计划系统, 用DVH (剂量体积直方图) 对切线半束“野中野”正向调强 (Tangent half-beam“field-in-field”intensity modulated radiation therapy, FIF-IMRT) 的计划设计结果进行分析, 靶区参数包括: (1) PTV剂量体积参数 (V98%、V95%、V103%、V105%) 、PTV最大剂量Dmax、最小剂量Dnin、平均剂量Dmean; (2) 靶区适形指数 (Coverage Index, CI) ; (3) 均匀性指数 (Homogeneity Index, HI) 。正常组织参数包括: (1) 患侧肺的Dmean, V5、V20 (分别接受≧5、20Gy剂量照射的肺组织占患侧肺体积的百分比) ; (2) 全肺:Dmean, V5、V20 (分别接受≥20Gy剂量照射的肺组织占全肺体积的百分比) ; (3) 心脏 (左侧患者) :Dmean, V30、V40; (4) 健侧乳腺:平均剂量Dmean, 最大剂量Dmax; (5) 甲状腺平均剂量Dmean; (6) 脊髓最大剂量Dmax; (7) 肝脏平均剂量Dmean。

(6) 结果分析:本研究结果显示, 切线半束“野中野”正向调强 (Tangent half-beam“field-in-field”intensity modulated radiation therapy, FIF-IMRT) 的计划设计: (1) 在提高PTV靶区覆盖的同时降低了计划靶区的“热点”及“冷点”, 拥有良好的靶区剂量适形度及均匀性; (2) 切线半束“野中野”的方法, 屏蔽了射野散射线的影响, 更好的保护了甲状腺、脊髓、肝脏、肺、心脏及健侧乳腺, 尤其是降低了左侧乳腺癌患者的同侧肺、心脏、冠状动脉的受照体积, 降低了放射性肺炎、放射性心脏损伤的发生几率, 提高了患者的生存质量; (3) 和逆向调强相比, 减少了计划设计时间、子野数、机器跳数及治疗时间, 降低了机器的损耗, 提高了治疗效率, 缓解了我院医疗资源紧缺的紧张局面; (4) 在质量保证与质量控制中, 由于子野数明显下降, 剂量验证的通过率也显著提高, 更好的满足了临床剂量的要求, 是一种高精度、高剂量、高效率、高疗效、低损伤的治疗方法, 显著提高了治疗增益比。

4 结果

3.切线不等式的应用篇三

函数的思维是一种动态思维，函数的性质是中学数学的重点、难点所在，大多数学生在接受、理解和运用等环节都存在较大的困难。导数是一种工具，是研究函数性质的工具，能熟练掌握好导数的知识，并能应用到解决相关函数问题，会使得求解过程便捷、容易理解。对于导数模块知识中，导数的几何意义是其中一个重要的知识点。在曲线某点处的导数的几何意义是经过该点的曲线的切线的斜率，用式子表达为k=f'（x0）（其中k为切线的斜率，（x0，y0）为曲线上某一点），同时导数也是反映曲线在某一点处的变化速度的快慢。因函数是一个变化的动态过程，所以其导数也是一个变化的动态过程，通过运用信息技术可以把这种动态的变化过程进行直观化，把这个过程直接呈现在学生的面前，方便学生进行直观理解和应用。

导数是求解函数问题的一种工具，能灵活掌握和应用，可大幅提高解题的速度。结合在曲线某点处的导数的几何意义，涉及到曲线的切线问题，基本是优先考虑从导数入手思考解决问题的方法。根据函数的动态变化的本质特征，运用信息技术的手段，把抽象的理论问题转化为直观的图像进行理解，从而帮助我们更好地解决问题。因为导数与切线的内在联系，通过下面三个特例来分析如何利用信息技术来研究曲线的切线在解决相关函数问题中的应用。

例1、已知函数f（x）=-x2+2x，x≤0ln（x+1），x>0，若f（x）≥ax，则a的取值范围是：

A、（-∞，0] B、（-∞，1] C、[-2，1] D、[-2，0]

分析：已知函数为分段函数，且在函数中不带有参数故函数的图像是固定的，因而审题后，作出函数f（x）的图像，从而得到函数y=f（x）的图像。要求解问题，必需要研究过原点的直线y=ax与函数y=f（x）的位置关系，并满足y=f（x）的图像始终在直线y=ax图像的上方，最多出现相切。对于直线y=ax中的参数a为直线的斜率，故问题可转化为过原点且与函数y=f（x）相切的问题，然后利用导数的几何意义求得函数y=f（x）在原点处的切线方程为l2：y=-2x。直线y=ax是过原点的直线束，利用信息技术把直线y=-2x绕原点旋转，当旋转到l1、l2时都不满足题意，因而得到a的取值范围为[-2，0]，故答案为D。

例2、设点P在曲线y=2ex上，点Q在曲线y=ln x-ln2上，则PQ的最小值为：

分析：根据已知条件作出函数y=2ex和y=ln x-ln2的图像，易知两个函数是互为反函数，图像关于直线y=x对称。问题可转化为一条曲线上的点到直线y=x的距离的最小值的2倍为所求。利用信息技术把直线y=x平移到直线l的位置且与曲线y=ln x-ln2相切，设切点（x0，y0），由导数的几何意义可知，k=f'（x0）==1，所以得x0=1，y0=ln 1-ln 2=-ln 2，所以PQ的最小值为2× 1+ln2）。答案为D。

例3、已知函数f（x）=x2+x+a，x<0ln x，x>0，若函数f（x）的图像在P、Q两点处的切线重合，则常数a的取值范围为：

A、（-2，-1） B、（1，2） C、（-ln2，+∞） D、（-1，+∞）

分析：根据已知条件作出函数f（x）=ln x的图像，并知函数f（x）=x2+x+a当x=0时，y=a因为函数f（x）=ln x为单调增函数，在点（1，0）处的切线方程为y=x-1，其与y轴交点为（-1，0）。

当a=-1时，直线y=x-1与曲线f（x）=x2+x+a（x<0）没有交点。利用信息技术手段展示f（x）=x2+x+a（x<0）往上平移的过程，同时函数f（x）=ln x的切线也变化。但要满足切线与f（x）=x2+x+a（x<0）有一个交点。当f（x）=x2+x+a（x<0）往上平移的过程中，始终存在函数f（x）=ln x的切线与它有一个交点，因而满足题意的a的范围为（-1，+∞）。答案为D。

曲线的切线是反映函数在某点处的变化速度的快慢，是研究函数变化的一种工具。函数的动态变化可以通过其切线变化来体现，变化的过程可通过信息技术手段呈现，可以直观展示其变化过程，从而方便对结论的理解，达到事半功倍的效果。在应用切线来解决问题的时候要充分理解下面三个知识点：

（1）对导数的几何意义的充分理解及灵活掌握。

（2）能准确求出在曲线某点（x0，y0）处的切线方程。

（3）能准确求出过某点（a，b）的曲线的切线方程。

4.圆的切线教学反思篇四

新课程呼唤新的课堂教学，要求人人学有价值的数学，人人学有用的数学。数学来源于生活，同时又服务于生活。本节课直线和圆的位置关系(2)，主要内容为切线的判定条件。侧重点为切线的判定条件的导出。在新课前的导入部分采用提问的方式。体会直线与直径之间夹角的变化以及直线与圆的位置关系，固定直线与角，在体会变化的`过程中，没有充分的让直线动起来，应注意在任意中提取运动。本节课重点是切线的判定条件：经过直径的一端，并且与直径垂直的直线为圆的切线。始终贯穿：经过直径的一端，以及与直径垂直这两点。

1.分清切线的判定定理和性质定理的条件和结论，不可混淆。当已知圆的切线时，应运用切线的性质定理;当要证明一条直线是圆的切线时，应运用切线的判定定理。

2.当已知圆的切线时，切点的位置一般是确定的。在写已知条件时，应说明直线与圆相切于哪一点。辅助线是作出过切点的半径。在教学中注重强调知识的讲解，知识的落实巩固，忽视了知识的获得过程，只是向学生传递一些以成定论的成熟的数学，学生从事数学学习，对学生而言是模仿，或把知识复印到学生的头脑里，这样学生对于知识的掌握并不是印象深刻并且也不能激发学生的兴趣了。让学生在探究中学习，学习中探究，让学生摸着石头过河，只有这样才能加深学生记忆，激发学生兴趣和求知欲，让他们觉得这些知识不是你教他的，而是自己探索发现的。

5.初中数学《圆的切线》教案篇五

教学内容 24.2圆的切线（1）

课型新授课课时 32 执教

教学目标使学生掌握切线的识别方法，并能初步运用它解决有关问题

通过切线识别方法的学习，培养学生观察、分析、归纳问题的能力

教学重点切线的识别方法

教学难点方法的理解及实际运用

教具准备投影仪,胶片

教学过程教师活动学生活动

（一）复习情境导入

：

1、复习、回顾直线与圆的三种位置关系．

2、请学生判断直线和圆的位置关系．

学生判断的过程，提问：你是怎样判断出图中的直线和圆相切的？根据学生的回答，继续提出问题：如何界定直线与圆是否只有一个公共点？教师指出，根据切线的定义可以识别一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义识别很不方便，为此我们还要学习识别切线的其它方法．(板书课题)抢答

学生总结判别方法

(二)实践与探索1：圆的切线的判断方法

1、由上面的复习，我们可以把上节课所学的切线的定义作为识别切线的方法1定义法：与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．

2、当然，我们还可以由上节课所学的用圆心到直线的距离与半径之间的关系来判断直线与圆是否相切，即：当时，直线与圆的位置关系是相切．以此作为识别切线的方法2数量关系法：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线．

3、实验：作⊙O的半径OA，过A作lOA可以发现：（1）直线经过半径的外端点；（2）直线垂直于半径．这样我们就得到了从位置上来判断直线是圆的切线的方法3位置关系法：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．理解并识记圆的切线的几种方法，并比较应用。

通过实验探究圆的切线的位置判别方法，深入理解它的两个要义。

三、课堂练习

思考：现在，任意给定一个圆，你能不能作出圆的切线？应该如何作？

请学生回顾作图过程，切线是如何作出来的?它满足哪些条件? 引导学生总结出：①经过半径外端；②垂直于这条半径．

请学生继续思考：这两个条件缺少一个行不行?（学生画出反例图）

（图1）（图2）图（3）

图(1)中直线经过半径外端，但不与半径垂直；图(2)中直线与半径垂直，但不经过半径外端．从以上两个反例可以看出，只满足其中一个条件的直线不是圆的切线．

最后引导学生分析，方法3实际上是从前一节所讲的“圆心到直线的距离等于半径时直线和圆相切”这个结论直接得出来的，只是为了便于应用把它改写成“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”这种形式．试验体会圆的位置判别方法。

理解位置判别方法的两个要素。

（四）应用与拓展例

1、如图，已知直线AB经过⊙O上的点A，并且AB＝OA，OBA=45，直线AB是⊙O的切线吗？为什么？

例

2、如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，BAD＝B＝30，边BD交圆于点D．BD是⊙ O的切线吗？为什么？

分析：欲证BD是⊙O的切线，由于BD过圆上点D，若连结OD，则BD过半径OD的外端，因此只需证明BDOD，因OA＝OD，BAD＝B，易证BDOD．

教师板演，给出解答过程及格式．

课堂练习：课本练习1－4 先选择方法，弄清位置判别方法与数量判别方法的本质区别。

注意圆的切线的特征与识别的区别。

（四）小结与作业识别一条直线是圆的切线，有三种方法：

(1)根据切线定义判定，即与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；

(2)根据圆心到直线的距离来判定，即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线；

(3)根据直线的位置关系来判定，即经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，说明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线，如果已知直线过圆上某一点，则作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径即可(如例2)．

各抒己见，谈收获。

（五）板书设计

识别一条直线是圆的切线，有三种方法：例：

(1)根据切线定义判定，即与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；

(2)根据圆心到直线的距离来判定，即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线；

(3)根据直线的位置关系来判定，即经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，说明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线，如果已知直线过圆上某一点，则作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径

(六)教学后记

教学内容 24.2圆的切线（2）课型新授课课时执教

教学目标通过探究,使学生发现、掌握切线长定理，并初步长定理，并初步学会应用切线长定理解决问题，同时通过从三角形纸片中剪出最大圆的实验的过程中发现三角形内切圆的画法，能用内心的性质解决问题。

教学重点切线长定理及其应用，三角形的内切圆的画法和内心的性质。

教学难点三角形的内心及其半径的确定。

教具准备投影仪,胶片

教学过程教师活动学生活动

（一）复习导入：

请同学们回顾一下，如何判断一条直线是圆的切线？圆的切线具有什么性质？（经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径。）

你能说明以下这个问题？

如右图所示，PA是的平分线，AB是⊙O的切线，切点E，那么AC是⊙O的切线吗？为什么？

回顾旧知,看谁说的全。

利用旧知，分析解决该问题。(二)

实践与探索问题

1、从圆外一点可以作圆的几条切线？请同学们画一画。

2、请问：这一点与切点的两条线段的长度相等吗？为什么？

3、切线长的定义是什么？

通过以上几个问题的解决，使同学们得出以下的结论：

从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等。这一点与圆心的连线

平分两条切线的夹角。在解决以上问题时，鼓励同学们用不同的观点、不同的知识来解决问题，它既可以用书上阐述的对称的观点解决，也可以用以前学习的其他知识来解决问题。

(三)拓展与应用例:右图，PA、PB是，切点分别是A、B，直线EF也是⊙O的切线，切点为P，交PA、PB为E、F点，已知，（1）求的周长；（2）求的度数。

解：（1）连结PA、PB、EF是⊙O的切线

所以，所以的周长（2）因为PA、PB、EF是⊙O的切线

所以，，所以

所以

画图分析探究，教学中应注重基本图形的教学，引导学生发现基本图形，应用基本图形解决问题。

（四）小结与作业谈一下本节课的收获 ? 各抒己见,看谁说得最好

（五）板书设计

切线(2)

切线长相等例:

切线长性质

点与圆心连线平分两切线夹角

6.数列与不等式的交汇应用篇六

数列与不等式的交汇问题，既有函数的思想方法，也有数列特定的思想方法，更有不等式求解、证明的方法和技巧，由于知识覆盖面广、综合性强而成为高考命题的热点之一，解答起来有一定的难度，一、函数性质

例1 设等差数列{an}的公差为d，若数列{ea1an}（e为自然对数的底数）为递增数列，则

A.d<0

B.d>0

C.a1d<0

D.a1d>0

分析结合递增数列的性质建立不等式，通过求解指数不等式，结合等差数列的通项加以转化，即可判断相应的不等关系式.解由数列{ea1an}是递增数列，可得ea1an

例2 若数列{an}满足：a1=2 018，an+1=an-3（n∈N*），则数列{an}的前n项和取得最大值时，n的值为

A.672

B.673

C.674

D.675

分析根据题目条件，结合等差?盗械亩ㄒ迩笃渫ㄏ罟?式，由数列{an}的前n项和取得最大值，得到对应的不等式组，通过不等式组的求解，并结合项数的取值限制加以确定.解由a1=2018，an+1-an=-3，可知数列{an}是以2018为首项、-3为公差的等差数列，所以an=2018+（-3）（n-1）=2021-3n.设数列{an}的前k（k∈N*）项和取得最大值，则

即，所以2018/3≤K≤2021/3.由于K∈N*，所以K=673，则满足条件的n的值为673.选B.小结数列与不等式交汇中的项数问题，往往通过数列的定义、通项公式、相应性质以及数列求和的应用，结合不等式（组）的分析与求解来解决，注意不等式（组）的求解结果与数列对参数的限制条件之间的关系与应用.三、创新问题

例3 若数列{an}满足：1/an+1-1/an=d（n∈N*，d为常数），则称数列{an}为调和数列.已知正项数列{1/bn}为调和数列，且bl+b2+…+b2017=20170，则b1.b2017的最大值是

A.100

B.90

C200

D.400

分析根据创新定义的转化得到{bn}为等差数列，结合等差数列的性质以及基本不等式来解决相应的最值问题.解由调和数列的定义可知bn+1-bn=d，所以{bn}为等差数列，由于b1+b2+…+b2017=2017bl009=20170，所以b1009=10，b1+b2017=2b1009=20，则b1?b2017≤（b1+b2017/2）2=100，当且仅当bl=b2017时取等号.选A.小结涉及最值等相关知识的数列创新问题，经常结合新定义，将新定义的数列转化为等差数列或等比数列，利用特殊数列的概念、公式、性质等，并结合不等式的相关知识进行解答.四、参数问题

例4 已知等比数列{an}满足an+1+an=3?2n-l，n∈N*.（I）求数列{an}的通项公式.（Ⅱ）设数列{an}的前n项和为Sn，若不等式Sn>kan+1对一切n∈N*恒成立，求实数k的取值范围.分析（I）利用等比数列所满足的关系式，通过特殊值法确定相关的关系式，结合整体思维求得公比，进而得到首项和对应的通项公式.（Ⅱ）结合（I）中的结论求前n项和，利用不等式Sn>kan+1分离参数，设出对应的函数并求得最值，进而求得参数的取值范围，解（I）设等比数列{an}的公比为q.由于an+1+an=3?2n-1，n∈N*，所以a2+a1=3，a3+a2=6，则q=a3+a2/a2+a1=6/3=2.于是可得2a1+a1=3，则a1=l，所以an=2n-l，n∈N*.（Ⅱ）由（I），可知Sn=a1（1-qn）/1-q=1-2n/1-2=2n-1.由题设有2n-1>k?2n-1+l，即k<2-1/2n-2对一切n∈N*恒成立，令f（n）=2-1/2n-2，由f（n）随n的增大而增大，可知fmin（n）=f（1）=2-2=0，则k<0，所以实数k的取值范围是（-∞，0）.小结数列与不等式交汇中的参数问题，常将相应的不等式与数列中的相关公式加以综合，进行参数分离，利用相关函数的最值的求解，进行等价转化，达到解决问题的目的，五、应用问题

例5 为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，长沙市计划用若干时间更换一万辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，新车为电力型和？昆合动力型车，今年年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆：计划以后电力型公交车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型公交车每年比上一年多投入a辆.（I）求经过n年，该市被更换的公交车总数S（n）.（Ⅱ）若该市计划5年内完成全部更换，求a的最小值，分析（I）设an，bn。分别为第n年投入的电力型公交车，混合动力型公交车的数量，分别确定数列的类型，根据数列的前n项和公式求解即可.（Ⅱ）根据题目条件转化为不等式关系S（5）≥10000，利用不等式的求解来确定参数a的最小值.解（I）设an，bn分别为第n年投入的电力型公交车，混合动力型公交车的数量.依题意得{an}是以128为首项、3/2为公比的等比数列，{bn}是以400为首项、a为公差的等差数列，所以数列{an}的前n项和Sn=128[1-（3/2）n]/1-3/2=256[（3/2）n-1]，数列{bn}的前n项和Tn=400n+n（n-1）/2 a，则经过n年，该市被更换的公交车总数S（n）=Sn+Tn=256[（3/2）n-1]+400n+n（n-1）/2 a.（Ⅱ）若计划5年内完成全部更换，则S（5）≥10000，所以256[（3/2）5-1]+400x5+5x4/2 a≥10000，即100≥6312，解得a≥631.2.又a∈N*，所以a的最小值为632.小结数列与不等式交汇中的实际应用问题，往往通过相应数列的通项、求和公式确定相应的关系式，利用实际问题建立对应的不等关系进行求解.对求参数问题，一定要结合实际应用问题，确保参数在实际中有意义，六、证明问题

例6 已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a5=5，且a3，a4，a7成等比数列.（I）求数列{an}的通项公式.（Ⅱ）设bn=an/2n，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：-7/4≤Tn<-1（n∈N*）.分析（I）通过待定系数法，根据题目条件建立方程组，求得首项与公差，从而可得数列{an}的通项公式.（Ⅱ）先利用错位相减法求出数列{bn}的前n项和Tn，再确定其单调性，即可证明对应的数列不等式成立.（I）解：an=2n-5（n∈N*）.（解答过程省略）

（Ⅱ）（证明过程省略）

7.《切线的判定》教后反思篇七

“54321”高效愉悦课堂,是我们师生的共同追求。为了学生明天更好地发展,我也将努力学习和实践高效愉悦课堂。但在实际教学中,我总是对教学和学习效果不满意。结合我班数学学习的实际,我对本节课做了一定的思考。

一、学生的因素

56名学生,56种情况,初三数学学习水平分化太大。对于一个小组来说,一个小组有8个人,一个班有7个组。按照成绩分为1号,2号,3号,4号,5号,6号,7号,8号。每个组的前4号,也就是一个班的前28名,数学成绩还算可以,可是后面的学生对数学的学习有很大的问题。对于今天的题目设置他们需要时间讨论和向其他同学学习才能完成学习任务。因此导致一部分学生没有完成预先布置的作业,在课堂上用了大量的时间去讨论完成例题部分,也导致了后面的时间没有调控恰当。

部分数学学习有困难的学生,在数学课堂中已基本上成为一个旁观者,要想真正为他们解决一个问题,需要为他们解决另一个甚至是几个问题作铺垫,课堂上,即使他有这个积极性,也没有时间,学生没有这个能力和耐心。被忽视的一类学生,很难做到高效愉悦。如何协调学生们之间的关系,让他们都高效、都愉悦? 虽然我用目标管理将他们捆绑式评价,学生的表现也让旁观者基本满意,但我总觉得这不是最好的办法,因为大部分学生行动起来了却没有真正心动起来,一切向分看。

二、老师自身的因素

因为第二天就要二模考试,学生学习,课程紧,任务重,重点都放在复习上,对于这些题目没有足够的重视。最重要的是因为我对学生学习的积极程度估计不足,对于学生的课前预习作业检查落实不够。

另外,因为初三学习时间紧,我真的不舍得拿出时间让学生去自主互助,采取更多的是满堂灌的教学方式,学生在这方面的锻炼不够,致使学生在讲解过程中,有些学生没有掌握给同学们讲解的要领,讲解不是很到位。也正是因为自己观念的陈旧,导致了自己在课堂改革中束手束脚,不能有所作为。

在这次教师汇报课中,虽然我个人准备比较充分,但对学生的要求就像平常一样,向大家展示的是一堂常态课。《切线的判定》这一节,学习的重点是,切线的判定定理,经过半径的外端并且垂直与这条半径的直线是圆的切线。学习的重要方法是连接圆心与切点,后证明半径和要证明的切线垂直。因为时间没有调控的很恰当,对于知识点的点拨不是很到位。学生对判定的掌握,尤其是对判定方法的选择,没有得到足够时间去练习。

对《切线的判定》这一节,我决定以回顾复习的形式完成。这一节课, 让学生重点去探索讨论解题思路,多交流完成自己的学习内容,注重自我思路的理顺。整节课的重点放在一题多解的解题思想,使学生更好的整体把握这节课。但是,课堂的展现远不及我预期的那样,首先是学生讲解不熟练; 其次是时间把握不充分,导致没能很好的完成课堂任务; 再次是学生的表现过于沉默,部分学生的思维没能真正的动起来。出现这么多原因, 我反思如下:

第一,对学生的把握不足。部分学生对切线的判定很生疏,对简单的定理证明还存在问题;

第二,课前作业布置。课前作业是复习完成一节课的例题,回顾切线的判定。大部分学生完成的仅仅是书面作业,省略了很重要的课前预习, 主要是预习作业的检查落实不够;

第三,公开课的原因,活跃了学生的心,但使一部分学生有些紧张,学习气氛不够活跃。