一元二次方程专题

一元二次方程专题（共15篇）

1.一元二次方程专题 篇一

课题：方程与不等式

一、教学目标：

1、理解一次方程、一元二次方程和分式方程及一元一次不等式的概念；

2、重点掌握三种方程和一元一次不等式的解法；

3、掌握方程及不等式的应用。

二、教学重点、难点：

重点：方程及不等式的解法 难点：方程及不等式的应用

三、教学过程：

1、课堂引入：（15—20分钟）

（1）上节知识回顾：

各位同学，大家好!首先，让我们来回顾上节课所学的内容——数与式。数与式的重难点是关于实数的运算和整式的运算，所以我们必须牢牢掌握所有的运算公式。①a01(a0)②apm1(a0,p是正整数)pama(m为偶数)am(a0)③ a(m为奇数)（奇负偶正）

幂的运算：

①同底数幂相乘aaa②幂的乘方amnmn(m,n都是整数)

mnamn(m,n都是整数)

nn③积的乘方abab(n为整数)n④同底数幂相除aaa

乘法公式： mnmn(m,n都为整数)

①平方差公式ababab

2222②完全平方公式aba2abb 22222abab2abab2ab③常用恒等变形

22abab4ab（2）本讲导入：

本讲我们要复习的是方程与不等式，接下来我们来看看方程与不等式在中考当中的题型及考察点： 一般情况下，选择题，填空题各1题（考察方程或不等式的应用）

大题1题（考察解方程或解不等式）

所以，本讲的重难点就是解方程或不等式及方程或不等式的应用

2、做课前检测试卷（20—30分钟）（1）做课前检测试卷

（2）请第一位做好的同学在白板上书写最后一题大题解题步骤（3）按照出错率由高到低依次讲解（老师讲解）

3、复习重难点：（60分钟）（1）解一元一次方程的步骤：

①去分母②去括号③移项④合并同类项⑤系数化为1（2）一元二次方程的解法：

① 直接开平方法：适合于xabb0或axbcxd形式的方程 ②因式分解法：把方程化成ab0的形式，得a0或b0

222bb24ac③公式法：当b4ac0时，x

2a2④配方法：配成完全平方的形式，再利用①

（3）分式方程的解法：

方程两边同乘分式的最简公分母，约去分母，化为整式方程，在求根，验根

（4）一元一次不等式的解法：

①去分母②去括号③移项④合并同类项⑤系数化为1

4、做课堂达标试卷（20—30分钟）（1）做课堂达标试卷

（2）请第一位做好的同学在白板上书写最后一题大题解题步骤（3）按照出错率由高到低依次讲解（学生讲解，老师补充）

四、反思与总结：

本讲优点：与学生之间的课堂互动较第一堂课自然很多，知识点的讲解也能收放自如 不足之处：根据考生做完试卷的结果来看，在出题难度方面还需斟酌，个别题难题大，可以删除

2.一元二次方程专题 篇二

2. 解不等式组并用数轴表示出不等式组的解集,写出该不等式组的整数解.

3. 若0是关于x的方程(m-2)x2+3x+m2+2m-8=0的解,求实数m的值,并求此方程的解.

4. 试确定实数a的取值范围,使不等式组恰有两个整数解.

5. 已知一元二次方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根.

(1) 求k的取值范围;

(2) 如果k是符合条件的最大整数,且一元二次方程x2-4x+k=0与x2+mx-1=0有一个相同的根,求此时m的值.

6. 小林准备进行如下操作实验:把一根长为40 cm的铁丝剪成两段,并把每一段各围成一个正方形.

(1) 要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2,小林该怎么剪?

(2) 小峰对小林说:“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2.”他的说法对吗? 请说明理由.

7. 某街道改建工程指挥部,要对某路段工程进行招标,接到了甲、乙两个工程队的投标书.从投标书中得知:甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的2/3 ;若由甲队先做10天,剩下的工程再由甲、乙两队合作30天可以完成.

(1) 求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天?

(2) 已知甲队每天的施工费用为0.84万元,乙队每天的施工费用为0.56万元.工程预算的施工费用为50万元.为缩短工期以减少对住户的影响,拟安排甲、乙两队合作完成这项工程,则工程预算的施工费用是否够用? 若不够用,需追加预算多少万元? 请给出你的判断并说明理由.

8. 某市一班级到毕业时共结余经费1 800元,班委会决定拿出不少于270元但不超过300元的资金为老师购买纪念品,其余资金用于在毕业晚会上给50位同学每人购买一件文化衫或一本相册作为纪念品. 已知每件文化衫比每本相册贵9元,用200元恰好可以买到2件文化衫和5本相册.

(1) 求每件文化衫和每本相册的价格分别为多少元?

(2) 有几种购买文化衫和相册的方案? 哪种方案用于购买老师纪念品的资金更充足?

参考答案

1. 当A=B时 ,,方程两边同时乘 (x+1)(x-1),得x(x+1)=3+(x+1)(x-1),解得x=2. 检验:当x=2时,(x+1)(x-1)=3≠0,∴x=2是分式方程的根.

2. 由①式得x≤7,由②式得x>2,∴原不等式组的解集为2<x≤7,数轴表示略,其整数解为3,4,5,6,7.

3. 将x=0代入已知方程有m2+2m-8=0,解这个一元二次方程得:m1=2,m2=-4. 当m= 2时,原方程为3x=0,此时方程只有一个解,解为x=0;当m=-4时,原方程为-6x2+3x=0,解此方程得:x1=0,x2=1/2 ,即此时方程有两个解,解为x1=0,x2=1/2 .

4. 由不等式两边同乘6得3x+2(x+1)>0,可以求出x>-2/5 ,由不等式两边都乘3得3x+5a+4>4x+4+3a,可以解出x<2a,所以不等式组的解集为-2/5 <x<2a,因为该不等式组恰有两个整数解,所以1<2a≤2,所以1/2 <a≤1.

5. (1) k<4;(2) m=0或-8/3 . 提示:(1) 由Δ>0求出k<4;(2) 满足k<4的最大整数是3,解方程x2-4x+3=0得x1=1,x2=3,分别代入x2+mx-1=0得m=0或-8/3 .

6. (1) 设其中一个正方形的边长为x cm,则另一个正方形的边长为(10-x) cm. 由题意得x2+(10-x)2=58. 解得x1=3,x2=7. 则周长分别为4×3=12,4×7=28. 所以小林应把绳子剪成12 cm和28 cm的两段;(2) 假设能围成. 由 (1) 得,x2+(10-x)2=48. 化简得x2- 10x+26=0. 因为b2-4ac=(-10)2-4×1×26 =-4<0,此方程没有实数根,所以小峰的说法是对的.

7. (1) 设乙队单独完成这项工程需要x天,则甲队单独完成这项工程需要2/3 x天.根据题意,得. 解得x=90. 经检验,x=90是原方程的根. ∴2/3 x=60.答:甲、乙两队单独完成这项工程各需要60天和90天. (2) 设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天,则有y {1/60 +1/90}=1. 解得y=36. 需要施工费用36×(0.84+0.56)=50.4(万元). ∵50.4>50,∴工程预算的施工费用不够用,需追加预算0.4万元.

3.一元二次方程专题 篇三

一般地，每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线。从“数”的度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标。

本节课以“回顾、联想”为先导，以“操作、思考”为手段，以“数、形结合”为要求，以“引导探究”为主线，处处呈现出师生互动、生生互动的景象，较好地体现了新的课程理念与要求。充分让学生自主探究，合作交流，时刻注重学生学习过程的体验与评价。具体地说：

（一）从旧知引入，自然过渡、不落痕迹。

教学一开始，首先提出学生所熟知的二元一次方程并讨论其解的个数，为后面探究二元一次方程与一次函数之间的关系作了必要的准备；接着对方程进行变形，巧设一个“联想”自然转换到一次函数，并对一次函数图象画法的讨论，进入新课第一个环节———探究二元一次方程与一次函数的关系。结构安排自然、紧凑。

（二）在操作中，提出问题、深化认识。

一切知识来自于实践。只有实践，才能发现问题、提出问题；只有实践，才能把握知识、深化认识。为此，教者先让学生画出一次函数的图象，在画图的过程中发现：“以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图象上。”接着引导学生反思：“一次函数图象上的点坐标都适合相应的二元一次方程吗？”通过举例，验证了自己的猜想，得出了结论。同样，在应用结论探索一元二次方程组的图象解法时，也是在操作中来发现问题。这样，就给了学生充分体验、自主探索知识的机会；使他们在自主探索、合作交流中找到了快乐，深化了认识。

（三）以能力培养为核心，引导探究为主线，数、形结合为要求。

能力培养，特别是创新能力的培养是新课程关注的焦点。能力培养是以自主探究为平台。“自主”不是一盘散沙，“探究”不是漫无边际。要提高探究的质量和效益必须在教师的引导下进行。为达到这一目的，教案中设计了“联想”“反思”和三个“思材是个案不是教案。

4.一元二次方程应用 篇四

1.向阳村2001年的人均收入是1200元，2003年的人均收入是1452元，求人均收入的年平均增长率。

2.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200千克，2003年平均每公顷产8450千克，求水稻每公顷产量的年平均增长率。

3.某银行经过最近的两次降息，使一年期的存款利率由2.25%降至1.98%，平均每次降息的百分率是多少？

4.某工厂第一季度的总产值是500万元，已知一月份的产值是150万元，二、三月份的平均增长率相同，求二、三月份的平均增长率。

二．握手、签合同、赠送礼物等问题：（1）1X(X-1)=a(2)X(X-1)=a。2

1.参加一次聚会的每两个人都握了一次手，所有人共握了10次，有多少人参加聚会？

2.参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？

3.参加一次足球联赛的每两队都进行了两场比赛，共比赛90场，共有多少个队参加比赛？

4.元旦同学之间相互赠送贺卡，一共使用了150张贺卡，问有多少名同学参加此次活动？

三． 细胞分裂、信息传播、传染病扩散、树木分支等问题。

（1）1+X+X(1+X)=a,1+X+X2=a。

1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一人传染了几人？

2.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样多的小分支，主干、支干、小分支的总数是91，每个支干长出多少个小分支？

四．图形问题

1.一张桌子的桌面长为6米，宽为4米，台布面积是桌面面积的2倍，如果将台布铺在桌子上，各边垂下的长度相等，求这块台布的长和宽。

5.实际问题一元二次方程 篇五

课型：上课时间：课时：

学习目标：

能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型.学习过程：

一、自主学习:

（一）复习巩固：

1、某商店销售一批服装，每价成本价100元，若想获得25%，这种服装的售价应为_______________元。

2、某商品原价a元，因需求量大，经营者将该商品提价10%，后因市场物价调整，又降价10%，降价后这种商品的价格是_______________。

（二）、归纳总结：

1、有关利率问题公式：利息=本金×利率×存期本息和=本金+利息

2、有关商品利润的关系式：（1）利润=售价－进价

（2）利润率= 利润售价进价（3）售价=进价（1+利润率）进价进价

（三）、自我尝试：

某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，•商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元?

（四）例题选讲

某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，乙种贺年卡平均每天可售出200张，每张盈利0.75元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果甲种贺年卡的售价每降价0.1元，那么商场平均每天可多售出100张；如果乙种贺年卡的售价每降价0.25元，•那么商场平均每天可多售出34•张．•如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利120元，那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大．

二、课堂检测：

1．一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共（）．

A．12人B．18人C．9人D．10人

2．一个产品原价为a元，受市场经济影响，先提价20%后又降价15%，现价比原价多_______%．

3．一个容器盛满纯药液63升，第一次倒出一部分纯药液后用水加满，•第二次又倒出同样多的药液，再加水补满，这时容器内剩下的纯药液是28升，设每次倒出液体x升，•则列出的方程是________．

4．上海甲商场七月份利润为100万元，九月份的利率为121万元，乙商场七月份利率为200万元，九月份的利润为288万元，那么哪个商场利润的年平均上升率较大?

5．某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，•现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，•如果要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树?

6.某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，•据市场分析，•若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：

（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润．

（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式．

（3）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少?

三、布置作业

一、选择题

1．一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共（）．

A．12人B．18人C．9人D．10人

2．某一商人进货价便宜8%，而售价不变，那么他的利润（按进货价而定）可由目前x增加到（x+10%），则x是（）．

A．12%B．15%C．30%D．50%

3．育才中学为迎接香港回归，从1994年到1997年四年内师生共植树1997棵，已知该校1994年植树342棵，1995年植树500棵，如果1996年和1997年植树的年增长率相同，那么该校1997年植树的棵数为（）．

A．600B．604C．595D．605

二、填空题

1．一个产品原价为a元，受市场经济影响，先提价20%后又降价15%，现价比原价多_______%．

2．甲用1000元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票转卖给乙，获利10%，乙而后又将这手股票返卖给甲，但乙损失了10%，•最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这手股票卖出，在上述股票交易中，甲盈了_________元．

3．一个容器盛满纯药液63L，第一次倒出一部分纯药液后用水加满，•第二次又倒出同样多的药液，再加水补满，这时容器内剩下的纯药液是28L，设每次倒出液体xL，•则列出的方程是________．

三、综合提高题

1．上海甲商场七月份利润为100万元，九月份的利率为121万元，乙商场七月份利率为200

万元，九月份的利润为288万元，那么哪个商场利润的年平均上升率较大?

2．某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，•现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，•如果要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树?

3．某玩具厂有4个车间，某周是质量检查周，现每个车间都原有a（a>0）个成品，且每个

车间每天都生产b（b>0）个成品，质量科派出若干名检验员周一、•周二检验其中两个车间原有的和这两天生产的所有成品，然后，周三到周五检验另外两个车间原有的和本周生产的所有成品，假定每名检验员每天检验的成品数相同．

（1）这若干名检验员1天共检验多少个成品?（用含a、b的代数式表示）

（2）若一名检验员1天能检验

6.“一元二次方程”根的情况 篇六

根据b2-4ac的值的符号, 可以确定一元二次方程根的情况.反过来, 也可由一元二次方程根的情况来确定b2-4ac的值的符号.即有:

例1关于x的一元二次方程 (m-1) x2+2mx+m+2=0有两个不等的实数根, 求m的取值范围.

变式一关于x的方程 (m-1) x2+2mx+m+2=0有两个实数根, 求m的取值范围.

【解析】有两个实数根, 就说明此方程是一元二次方程, 则有

变式二关于x的方程 (a-5) x2-4x-1=0有实数根, 求a的取值范围.

【分析】题目只讲有实数根, 有可能有一个实数根, 此时方程为一元一次方程;也有可能有两个实数根, 此时方程为一元二次方程.因此, 本题应分两种情况解答.

解:关于x的方程 (a-5) x2-4x-1=0有实数根,

(1) 若此方程为一元一次方程, 则a-5=0, a=5;

综上所述, a的取值范围为a≥1.

例2已知关于x的方程x2-2 (k+1) x+4k=0.

(1) 求证:无论k取何值时方程总有实数根;

(2) 若等腰△ABC的一边长a=4, 另两边b、c的长恰好是方程x2-2 (k+1) x+4k=0的两个根.求△ABC的周长.

【分析】 (1) 要证明无论k取何值时方程总有实数根, 只要证明b2-4ac≥0即可.

(2) 因为△ABC是等腰三角形, 有可能a=b=4, 即方程x2-2 (k+1) x+4k=0有一根为4, 将x=4代入方程求出k的值, 再通过解方程, 求出方程的两个根;有可能b=c, 说明此方程有两个相等的实根, 即b2-4ac=0, 这样可求出k的值, 再通过解方程, 求出方程的根.需要注意的是两种情况都要考虑两边之和是否大于第三边.

解: (1) ∵b2-4ac=4 (k+1) 2-4·4k=4k2-8k+4=4 (k-1) 2≥0,

∴无论k取何值时方程总有实数根.

(2) ∵△ABC是等腰三角形, a=4, ∴分两种情况讨论:

(1) 若a=b=4, 则16-8 (k+1) +4k=0, 解得k=2, ∴x2-6x+8=0, 解得x1=4, x2=2.

∴a=b=4, c=2, 此时b+c>a, ∴△ABC的周长=4+4+2=10;

(2) 若b=c, ∴方程x2-2 (k+1) x+4k=0有两个相等的实根, ∴b2-4ac=4 (k-1) 2=0, ∴k=1, ∴x2-4x+4=0, 解得x1=x2=2, ∴a=4, b=c=2, 此时b+c=a, 不符合题意, 舍去.

7.《一元二次方程》基础练习 篇七

积累●整合1、下列方程一定是关于x的一元二次方程的是（）

A．ax2+bx+c=0

B．m2x+5m+6=0

C．x3－x－1=0

D．（k2+3）x2+2x－=02、一元二次方程x2－2（3x－2）+（x+1）=0的一般形式是（）

A．x2－5x+5=0

B．x2+5x－5=0

C．x2+5x+5=0

D．x2+5=03、方程3x2－x+=0的二次项系数与一次项系数及常数项之积为（）

A．3

B．－

C．

D．－94、下列方程中，不含一次项的是（）

A．（2x－1）（1+2x）=0

B．3x2=4x

C．2x2=7－6x

D．x（1－x）=05、若x=1是方程x2+nx+m=0的根，则m+n的值是（）

A．1

B．－1

C．2

D．－26、下列说法正确的是（）

A．方程ax2+bx+c=0是关于x的一元二次方程

B．方程3x2=4的常数项是4

C．若一元二次方程的常数项为0，则0必是它的一个根

D．当一次项系数为0时，一元二次方程总有非零解

7、关于x的一元二次方程（a－1）x2+x+a2－1=0的一个根是0，则a的值是（）

A．1

B．－1

C．1或－1

D．

8、若ax2－5x+3=0是一元二次方程，则不等式3a+6＞0的解集为（）

A．a＞－2

B．a＜－2

C．a＞－

D．a＞－2且a≠0

拓展●应用

9、若一元二次方程2x2+（k+8）x－（2k－3）=0的二次项系数、一次项系数、常数项之和为5，则k=

10、若方程（m－1）x|m|+1－2x=3是关于x的一元二次方程，则m=

11、写出一个一元二次方程，使方程有一个根为0，并且二次项系数为1，12、已知x=－2是方程x2－mx+2=0的根，则－=

13、关于x的方程（k2－4）x2+（k－2）x+3k－1=0，当k=

时为一元一次方程；当k

时为一元二次方程。

14、根据题意，列出方程：

（1）一个两位数，两个数字的和为6，这两个数字的积等于这个两位数的，设这个两位数的个位数为x，可列出关于x的方程为

（2）有一个面积为20cm2的三角形，它的一条边比这条边上的高长3cm，设这条边的长度为x，可列出关于x的方程为

探索●创新

15、学完一元二次方程后，在一次数学课上，同学们说出了一个方程的特点：

（1）它的一般形式为ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）

（2）它的二次项系数为5

（3）常数项是二次项系数的倒数的相反数

你能写出一个符合条件的方程吗？

16、已知关于x的方程（m－n）x2+mx+n=0，你认为：

（1）当m和n满足什么关系时，该方程是一元二次方程？

（2）当m和n满足什么关系时，该方程是一元一次方程？

参考答案

1、答案：D

解析：A要想成为一元二次方程，需加条件a≠0，B需加条件m≠0，C是一元三次方程，D中不论k为何值，k2+3永远为正，所以D是一元二次方程，故选D2、答案：A

解析：去括号，合并同类项即可得到答案A3、答案：D

解析：二次项系数为3，一次项系数为－，常数项为，3×（－）×=－94、答案：A

解析：（2x－1）（1+2x）=4x2－1，故选A5、答案：B

解析：将x=1代入x2+nx+m=0，得到1+n+m=0，即m+n=－1，故选B6、答案：C

解析：A中需加上a≠0才是一元二次方程，B中的常数项为－4，D中的一元二次方程解可能为0，例如：x2=0，故选C7、答案：B

解析：将x=0代入方程得到a2－1=0，即a=±1，因为原方程为一元二次方程，即a－1≠0，所以a≠1，所以a=－1，故选B8、答案：D

解析：因为ax2－5x+3=0是一元二次方程，所以a≠0，3a+6＞0，即a＞－2，所以a＞－2且a≠0。故选D9、答案：8

解析：2+（k+8）+（－2k+3）=5，所以k=810、答案：－1

解析：|m|+1=2，所以m=±1，因为m－1≠0，即m≠1，所以m=－111、答案：x2－x=0（答案不唯一）

解析：发挥聪明才智，大胆想象

12、答案：－2

解析：将x=－2代入方程，m=－3，－=－=1－m－3+m=－213、答案：－2，≠±2

解析：方程为一元一次方程，k2－4=0，即k=±2，且k－2≠0，即k≠2，所以k=－2

方程为一元二次方程，k2－4≠0，即k≠±214、答案：（1）x（6－x）=［10（6－x）+x］

（2）x（x－3）=20

解析：（1）个位数为x，那么十位数为6－x，根据题意得x（6－x）=［10（6－x）+x］

（2）这条边长度为x，那么这条边上的高为x－3，根据三角形的面积公式得x（x－3）=2015、答案：这个方程是5x2－2x－=0（答案不唯一）

解析：由（1）知这是一元二次方程，由（2）（3）可确定a、c，而b的值不唯一确定，可为任意数，熟悉一元二次方程的定义及特征是解答本题的关键。

16、答案：（1）当m≠n时，方程是一元二次方程

（2）当m=n且m≠0时，方程是一元一次方程

8.一元二次方程的解法 篇八

教学建议：

一、教材分析：

1.知识结构：一元二次方程的解法

2.重点、难点分析

(1)熟练掌握开平方法解一元二次方程

用开平方法解一元二次方程，一种是直接开平方法，另一种是配方法。

如果一元二次方程的一边是未知数的平方或含有未知数的一次式的平方，另一边是一个非负数，或完全平方式，如方程 ， 和方程 就可以直接开平方法求解，在开平方时注意取正、负两个平方根。

配方法解一元二次方程，就是利用完全平方公式，把一般形式的一元二次方程，转化为 的形式来求解。配方时要注意把二次项系数化为1和方程两边都加上一次项系数一半的平方这两个关键步骤。

(2)熟记求根公式 ( )和公式中字母的意义在使用求根公式时要注意以下三点：

1)把方程化为一般形式，并做到 、 、 之间没有公因数，且二次项系数为正整数，这样代入公式计算较为简便。

2)把一元二次方程的各项系数 、 、 代入公式时，注意它们的符号。

3)当 时，才能求出方程的`两根。

(3)抓住方程特点，选用因式分解法解一元二次方程

如果一个一元二次方程的一边是零，另一边易于分解成两个一次因式时，就可以用因式分解法求解。这时只要使每个一次因式等于零，分别解两个一元一次方程，得到两个根就是一元二次方程的解。

我们共学习了四种解一元二次方程的方法：直接开平方法;配方法;公式法和因式分解法。解方程时，要认真观察方程的特征，选用适当的方法求解。

二、教法建议

1. 教学方法建议采用启发引导，讲练结合的授课方式，发挥教师主导作用，体现学生主体地位，学生获取知识必须通过学生自己一系列思维活动完成，启发诱导学生深入思考问题，有利于培养学生思维灵活、严谨、深刻等良好思维品质.

2. 注意培养应用意识.教学中应不失时机地使学生认识到数学源于实践并反作用于实践.

教学设计示例

教学目标

1. 使学生知道解完全的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0， b≠0， c≠0)可以转化为适合于直接开平方法的形式(x+m)2=n;

2. 在理解的基础上，牢牢记住配方的关键是“添加的常数项等于一次项系数一半的平方”;

3. 在数学思想方法方面，使学生体会“转化”的思想和掌握配方法。

教学重点和难点

重点：掌握用配方法解一元二次方程。

难点：凑配成完全平方的方法与技巧。

教学过程设计

一 复习

1.完全的一元二次方程的一般形式是什么样的?(注意a≠0)

2.不完全一元二次方程的哪几种形式?

(答：只有三种ax2=0,ax2+c=0,ax2+bx=0(a≠0))

3.对于前两种不完全的一元二次方程ax2=0 (a≠0)和ax2+c=0 (a≠0),我们已经学会了它们的解法。

特别是结合换元法，我们还会解形如(x+m) 2=n(n≥0)的方程。

例 解方程：(x-3) 2=4 (让学生说出过程)。

解：方程两边开方，得 x-3=±2，移项，得 x=3±2。

所以 x1=5,x2=1. (并代回原方程检验，是不是根)

4.其实(x-3) 2=4是一个完全的一元二次方程，我们把原方程展开、整理为一元二次方程。(把这个展开过程写在黑板上)

(x-3) 2=4, ①

x2-6x+9=4, ②

x2-6x+5=0. ③

二 新课

1.逆向思维

我们把上述由方程①→方程②→方程③的变形逆转过来，可以发现，对于一个完全的一元二次方程，不妨试试把它转化为(x+m) 2=n的形式。这个转化的关键是在方程左端构造出一个未知数的一次式的完全平方式(x+m) 2。

2.通过观察，发现规律

问：在x2+2x上添加一个什么数，能成为一个完全平方(x+?)2。 (添一项+1)

即 (x2+2x+1)=(x+1) 2.

练习，填空：

x2+4x+( )=(x+ ) 2; y2+6y+( )=(y+ ) 2.

算理 x2+4x=2x・2?，所以添2的平方，y2+6y=y2+2y3?，所以添3的平方。

总结规律：对于x2+px,再添上一次项系数一半的平方，就能配出一个含未知数的一个次式的完全平方式。即 .+ ( ) ④

(让学生对④式的右边展开，体会括号内第一项与第二项乘积的2倍，恰是左边的一次

项，括号内第二项的平方，恰是配方时所添的常数项)

项固练习(填空配方)

总之，左边的常数项是一次项系数一半的平方。

问：如果左边的一次项系数是负数，那么右边括号里第二项的正负号怎么取?算理是什么?

巩固练习(填空配方)

9.浅谈一元二次方程的解法 篇九

(一) 直接开平方法

直接开平方法就是通过直接开平方求解一元二次方程。用直接开平方法解形式如: (x-m) 2=n (n≥0) 的方程, 其解为x=±√n+m。

例1.解方程 (3x+1) 2=7 分析:此方程显然用直接开平方法即可。

解:∵ (3x+1) 2=7

∴3x+1=±√7

∴x= (-1±√7) /3

∴原方程的解为x1= (√7-1) /3或x2= (-√7-1) /3

例2.解方程9x2-24x+16=11 分析:方程左边是完全平方式 (3x-4) 2, 右边=11>0, 所以此方程也可用直接开平方法解。

解:∵9x2-24x+16=11

∴ (3x-4) 2=11

∴3x-4=±√11

∴x= (4±√11) /3

∴原方程的解为x1= (4+√11) /3或x2= (4-√11) /3

(二) 配方法

配方法就是把方程配成一个完全平方式, 再用直接开平法求解, 配方时, 方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方。

用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0) , 首先要项, 即常数c移到方程右边得ax2+bx=-c;再化二次项系数为1:x2+b/ax=-c/a;然后方程两边同时加上一次项系数的一半的平方:x2+b/ax+ (b/2a) 2=-c/a+ (b/2a) 2;此时方程左边成为一个完全平方式: (x+b/2a) 2=-c/a+ (b/2a) ²。当b²-4ac≥0时, x+b/2a=±√ (-c/a) + (b/2a) ²∴x=﹛-b±[√ (b²-4ac) ]﹜/2a。

故此, x=﹛-b±[√ (b²-4ac) ]﹜/2a即为配方法求解一元二次方程的求根公式。

例1.用配方法解方程3x2-4x-2=0

解:将常数项移到方程右边3x2-4x=2, 将二次项系数化为1:x2- (4/3) x=2/3方程两边都加上一次项系数一半的平方:x2- (4/3) x+ (4/6) 2=2/3+4/6) 2

配方: (x-4/6) 2=2/3+4/6) 2

直接开平方得:x-4/6=±√[2/3+ (4/6) ²]

∴x=4/6±√[2/3+ (4/6) ²]

∴原方程的解为x=4/6+√ (10/9) , x=4/6-√ (10/9) 。

即:x=2/3+√ (10/9) 或x=2/3-√ (10/9) 。

(三) 公式法

用公式法解一元二次方程时, 首先要化成一般形式ax2+bx+c=0 (a≠0) 。在公式法解一元二次方程中, △=b²-4ac称为根的判别式。当△>0方程有两个不相等的实数根, △=0方程有两个相等的实数根, △<0方程没有实数根。

所以, 当b2-4ac≥0时, 求解一元二次方程可直接用求根公式x=[-b±√ (b2-4ac) ]/ (2a) , 代入各项系数a, b, c的值得方程的根。一元二次方程根的判别式体现了分类讨论的思想。公式法是解一元二次方程的万能方法。

例1.用公式法解方程2x²-x=1

解:将方程化为一般形式:2x²-x-1=0

∴a=2, b=-1, c=-1

又b²-4ac= (-1) ²-4×2× (-1) =9>0

∴x=[ (-b±√ (b²-4ac) ]/ (2a) , 代入各项系数a, b, c的值。

∴原方程的解为x=1或x=-1/2。

例2:用公式法解方程:4x²-3x+2=0

解:∵a=4, b=-3, c=2

∴b²-4ac= (-3) ²-4×4×2=9-32=-23<0

在实数范围负数不能开平方, 所以方程无实数根。

(四) 因式分解法

一元二次方程不是通过开方降次, 而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式, 再使这两个一次式分别等于0, 从而实现降次。这两个一元一次方程所得到的根, 就是原方程的两个根。这种解法称为一元二次方程的因式分解法。用因式分解法解下列方程: (x-2) ²=2-x

解: (x-2) ²=2-x移项得 (x-2) ²+x-2=0, 因式分解得 (x-2) (x-2+1) =0

∴所以x-2=0或x-1=0

∴x1=4, x2=-2是原方程的解。

二、结论与讨论

10.一元二次方程教学反思 篇十

一、本节课采用了“先学后教、合作探究、当堂达标”的课堂教学模式，先由学生课外自学，了解用因式分解法解一元二次方程的解法，并会求一些简单的一元二次方程的解;其次，在课堂中通过合作探究、小组交流、学生展示、教师点评进一步掌握一元二次方程的解法;第三，通过当堂练习、讲评，进一步巩固解一元二次方程的解题方法与技巧。通过本课的授课情况及听、评课教师的反馈来看，基本上达到了课前设计的教学目的。

二、一些问题与想法：

1、不管是自己外出听类似的公开教学，还是自己在实际操作中都会遇到同样的一个问题：学生数学语言运用得不好!很多时候，上台来展示的学生讲完后，我往下看看台下的学生，都是是一脸的茫然，不知道台上的同学在说什么。特别是在讲解一些问题、解题技巧时，上面讲解的同学常常会采用一些自创的语言来描述。好吧，能让下面的同学听懂也行。只是大多时候都是让台下的同学听得云里雾里，摸不着头脑。

2、新的课堂教学要求体现学生的主体地位，教师只起到引导作用。在本课的教学过程中，因要用到因式分解的方法来解一元二次方程，在实际教学环节中，我花了一些时间对初二的因式分解进行了复习。课后的教师评课中，有老师讲到这一环节处理得不是很理想，我个人感觉也是如此，因式分解作为初二学习过的旧知识，完全可以让学生利用课余时间自己完成，教师在授课过程中可以直接检查学生完成的情况，视情况进行点评即可。节省下来的时间用在后面的课堂小结和当堂达标上会让本节课的时间安排更加合理、充分。其实，这也是我常常会犯的一个错误，相信学生，放手让学生去独立完成，让课堂教学环节更加合理，这也是我今后教学中要重点解决的一个问题。

11.一元二次方程复习课教案 篇十一

（二）目标:

1、让学生进一步掌握解一元二次方程的四种方法；并能灵活选择方法；

2、通过典型例子让学生感受到选择适当方法的重要性。

3、进一步探索实际问题中的数量关系及其变化规律，体会数学建模思想，体会数学在应用中的价值

4、会根据具体问题中数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题的实际意义检验所得结果是否合理。

教学重难点：

重点：掌握解一元二次方程的四种方法。

难点：灵活选择方法解一元二次方程、根据具体问题中数量关系

列出一元二次方程并求解是难点。

教学过程：

一、典型例题讲解：

(一)、一元二次方程的概念

1、已知关于x的方程（m²-1）x²+（m-1）x-2m+1=0，当时是一元二次方程，当m=时是一元一次方程，当m=时，x=0。

2、若（m+2）x 2 +（m-2）x-2=0是关于x的一元二次方程则

(二)、一元二次方程的解法

你还记得吗？请你选择最恰当的方法解下列一元二次方程1、3x²-1=02、x（2x +3）=5（2x +3）

3、x²-3 x +2=04、2 x ²-5x+1=0

点评：

1、形如（x-k）²=h的方程可以用直接开平方法求解

2、千万记住：方程的两边有相同的含有未知数的因式的时候不能两边都除以这个因式，因为这样能把方程的一个根丢失了，要利用因式分解法求解。

3、当我们不能利用上边的方法求解的时候就就可以用公式法求解，公式法是万能的。

(三)、巩固提高：

1、用配方法解方程2x² +4x +1 =0，配方后得到的方程是。

2、一元二次方程ax² +bx +c =0，若x=1是它的一个根，则a+b+c=，若a-b+c=0，则方程必有一根为3、24m4m若9a与5a9是同类项，则m

4.已知方程:5x2+kx-6=0的一个根是2,则k=_____它的另一个根______.5、方程2 x ²-mx-m² =0有一个根为 – 1,则，另一个根为。

6.用配方法证明：

关于x的方程（m²-12m +37）x ² +3mx+1=0，无论m取何值，此方程都是一元二次方程。

7.列方程解应用题

问题1：某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元。为了扩大销售，增加利润，商场决定采取适当降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。若商场平均每天要赢利1200元，则每件衬衫应降价多少元？ 为尽快减少库存，以便资金周转，则降价多少元？

学生合作学习:

12.解一元二次方程的八技巧 篇十二

一、利用化规法 .

例1解方程196x2- 42x - 2 = 0

解: 因为196刚好是14的平方,- 42是14的( - 3) 倍,

所以: 原方程可化为( 14x)2- 3× ( 14x) - 2 = 0.

例2解方程27x2- 24x - 35 = 0.

解: 因为27不是完全平方数,

所以: 方程两边同时乘以3得

二、利用性质a - b + c = 0,方程的根为x1= - 1,x2= -c/ a.

例3解方程103x2 + 110x + 7 = 0.

解: 因为103 - 110 + 7 = 0,

三、利用性质a + b + c = 0,方程的根为

例4解方程( 1998x)2- 1997×1999x - 1 = 0

四、应用ac + b + 1 = 0,方程的根为x1= c,x2=1 /a.

例5解方程10x2+ 30x - 3. 1 = 0

五、利用性质ac - b + 1 = 0,方程的根为x1= - c,x2= -1 /a.

例6解方程4x2+ 21x + 5 = 0

六、利用倍根法

因为: 方程x2- 9x - 92×4 = 0的两个根分别是方程x2- x - 4 = 0的两个根的9倍 .

所以: 解方程x2- x - 4 = 0得

所以: x2- 9x - 92×4 = 0的两个根

七、配方法

即: x - 6 = ± 100.

八、化“1”法

例9解方程( 2011 - x)2+ ( 2012 - x)2= 1

13.一元二次方程解法教学反思 篇十三

张春元

通过本节课的教学，使我真正认识到了自己课堂教学的成功与失败。对我今后课堂教学有了一定引领方向有了很大的帮助。下面我就谈谈自己对这节课的反思。

本节课的重点主要有以下3点：

1.找出a,b,c的相应的数值

2.验判别式是否大于等于0

3.当判别式的数值符合条件,可以利用公式求根.在讲解过程中,我没让学生进行(1)(2)步就直接用公式求根,第一次接触求根公式,学生可以说非常陌生,由于过高估计学生的能力,结果出现错误较多.1、a,b,c的符号问题出错,在方程中学生往往在找某个项的系数时总是丢掉前面的符号

2、求根公式本身就很难,形式复杂,代入数值后出错很多.其实在做题过程中检验一下判别式着一步单独挑出来做并不麻烦,直接用公式求值也要进行,提前做着一步在到求根公式时可以把数值直接代入.在今后的教学中注意详略得当,不该省的地方一定不能省,力求收到更好的教学效果

3、板书不太理想。板书可以说在课堂教学也起关键作用，它可以帮学生温习本课的内容，而我许多本该板书的内容全部反映在大屏幕上，在继续讲一下个内容时，这些内容也就不会再出现，只给学生瞬间的停留，这样做也有欠妥当。

14.一元二次方程 导学案 篇十四

【学习目标】

1.理解一元二次方程及其有关概念；

2.掌握一元二次方程的一般形式，正确认识二次项系数，一次项系数及常数项；

3.了解根的意义．

【前置学习】

一、基础回顾：

1.多项式是

次

项式，其中最高次项是，二次项系数为，一次项系数为，常数项为

．

2.叫方程，我们学过的方程类型有

．

3.解下列方程或方程组：①

②

③

二、问题引领：

方程是以往学过的吗？通过本节课的学习你将认识这种新的方程．

三、自主学习（自主探究）：

请你认真阅读课本引言及内容，边学边思考下列问题：

1.方程①②③有什么共同特点？

2.一元二次方程的定义：等号两边都是，只含有

个未知数（一元），并且未知数的最高次数是

（二次）的方程，叫做一元二次方程．

3.一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：

（a≠0），这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中

是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项．

4.下面哪些数是方程的根？

－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4．

5.一元二次方程的解也叫做一元二次方程的，即：使一元二次方程等号左右两边相等的的值．

四、疑难摘要：

【学习探究】

一、合作交流，解决困惑：

1.小组交流：（在小组内说说通过自主学习，你学会了什么？你的疑难与困惑是什么？请同伴帮你解决．）

2.班级展示与教师点拨：

【点拨】

①方程ax2＋bx＋c＝0只有当a≠0时才叫一元二次方程，如果a＝0，b≠0时就是

方程了．所以在一般形式中，必须包含a≠0这个条件．

②二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号．

展示1：课本第3页例题．

展示2：下列方程是一元二次方程的是有

：

（1）；

（2）（x＋1）（x－1）＝0；

（3）；

（4）；（5）；

（6）．

展示3：课本第4页练习第1题．

展示4：课本第4页练习第2题．

二、反思与总结：本节课你学会了什么？你有哪些收获与体会？

【自我检测】

1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）

A.B.C.D.2.一元二次方程化为一般形式为：，二次项系数为：，一次项系数为：，常数项为：

．

3.关于x的方程，当

时为一元一次方程；当

时为一元二次方程．

4.判断下列一元二次方程后面括号里的哪些数是方程的解：

（1）

（－7，－6，－5，5，6，7）

（2）

【应用拓展】

5.如果x＝1是方程ax2＋bx＋3＝0的一个根，求（a－b）2＋4ab的值．

15.谈一元二次方程应用题教学 篇十五

一、从数字到字母,从具体到抽象,为学生一步步搭建台阶

对于探究一的传染问题,我设计了这样的问题:若每一轮传染中,一个人能够传染3个人,经过两轮传播后共有几个人感染了甲流感?学生经过思考后不难得出结论:1+3+(1+3)×3,然后换个数字再试一下。等学生熟悉了计算方法之后,教师把数字换成字母,若每人每轮传染的人数换为x,那么两轮传染后共有多少人感染了流感?有了前面的铺垫,学生通过对比列出式子:1+x+(1+x)x。这样就不难解决课本问题了。其他类型题目的教学,教师依然可以采用这样的方法。

由数字到字母,由算式到方程的过渡,为学生准确的理解问题搭建了桥梁,符合学生的认知规律,让学生觉得应用题不再抽象了。

二、帮助学生学会建模,让学生觉得应用题有章可循,有法可依

建模就是让学生明确哪种类型的题目,可以运用哪种类型的方程来解答。除了增长率问题有非常明确的解答模式外,其他型题目所列出的方程也是有相应特点的。比如,能反复传播的问题,经过整理之后,所列出方程的模式都是(1+x)2=a的形式。而不能反复传播的题目,比如:某人收到一条短信:今天是腾讯老总的生日,将这条短信转发给你的10位好友,你就会收到2元的话费,经过两轮之后共多少人收到了这条短信。这一问题中,第一位收到短信的人,将短信转发出去之后,不会再进行第二轮的转发,这样得出算式:1+10+10×10。将问题中的条件和结论交换一下,用方程解决问题时,得到了算式:1+x+x2=111。这样传染(或传播)问题就得到 了两种不 同的数学 模型 :1.(1+x)2=a;2.1+x+x2=a。这样解答此类问题的时候,只要明确是可反复传播还是不能反复传播,就可以对号入座了。建模的过程需要在学生对这种类型的题目有了一个清晰的思路后进行,为了实现对模型的熟练应用,教师要对题目及时强化。

三、反复强化,达到熟而生巧

对于应用题而言,教师教学的重点是如何引导学生正确列出方程。而列方程不需要耽误很多时间,所以教学过程中一定到通过大量的练习,让学生熟练每一种类型题目的列法,进而达到见题就有方程的境界。为了节约时间,教师可以采用说题比赛的形式,让学生在激烈抢答的过程中得以强化和巩固。

应用题的教学除了要抓好上述几点之外,切入时教师也要多花点心思,要想办法激发学生的兴趣和思考。

我在教学传染问题的时候,改用了一个电视广告词:得了灰指甲,一个传染俩,那么再传染一次呢?学生顺口就说出了:4个。而有些学生却觉得4个不对,于是引发了学生的争论,在争论的过程中,学生们形成了统一的认识:一轮传染后的三个灰指甲都是可以继续传染的,所以二轮传染的结果理应是3+3×2。虽然题目的现实性有争议,但是解题方法是可以遵循的。有了这样的引入,接下来的探究一,学生就可以尝试独立分析完成,效果非常好。

另外,学生的应用题读题能力也是教师要着力培养的。学生读题时往往眉毛胡子一把抓,记不住主要条件。在教学过程中,我让学生用寻找关键点法来归纳条件。关键点除数字之外还有关键词。这样一个问题的几个条件用几个数字和一两个关键词就明确了。比如:某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干、小分支的总数是91,每个支干长出多少个小分支?题目中除了91之外,还有哪些有用的信息呢?学生找到了同样数目这几个关键字,教师再引导学生弄清同样数目的具体意义。把数字和关键点弄明白了,题目也就读通了,接下来学生就可以套上模型进行解答了。