解直角三角形优秀教案

解直角三角形优秀教案（共13篇）

1.解直角三角形优秀教案 篇一

28.2.1解直角三角形

西湖中学 黄 勇

一、内容和内容解析

1、内容：解直角三角形的意义，直角三角形的解法。

2、内容解析：本节是学习锐角三角函数之后，结合已学过的勾股定理和三角形内角和定理，研究解直角三角形的问题。本课内容既能加深对锐角三角函数的理解，又能为后续解决与其相关的实际问题打下基础，在本章起到承上启下的作用。

二、目标和目标解析

1．了解解直角三角形的意义和条件．

2．能根据直角三角形中的角角关系、边边关系、边角关系解直角三角形，能运用解直角三角形的知识解决有关的实际问题．

目标解析：达成目标1的标志是，知道解直角三角形的内涵，能根据直角三角形中已知元素，明确所有要求的未知元素。达成目标2的标志是根据元素的关系，选择适当关系式，求出未知元素。

三、学情分析

在直角三角形的边角关系中，三边之间的关系、两锐角之间的关系比较直接，而两边的比与一个锐角的关系，学生通过学习锐角三角函数，有了一定的基础，但在具体的直角三角形中，根据已知条件选择恰当的锐角三角函数，还是有些困难，且解直角三角形往往需要综合运用勾股定理及三角函数的知识，具有一定的综合性。

CB

四、教学过程

1、实例引入，初步体验

本章引言提出的比萨斜塔倾斜程度的问题。设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线夹角为∠A，过点B向垂直中心线引 垂线，垂足为点C，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝54.5m，求∠A的度数。

sinA=BC5.2≈0.0954 AB54.5A一般地，在直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个角，由已知元素求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．

解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如下图：

角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B＝90°；

222边边关系：勾股定理，即abc；

边角关系：锐角三角函数，即：

a,cosAcbsinB,cosBcsinAb,tanAca,tanBca,cotAbb,cotBabaab

解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：(1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；

(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边．

用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：

把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系．

借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题．当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解．

例1 在△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形． AC2,BC6解这个直角三角形。

思路与技巧

求解直角三角形的方法多种多样，可以先求AB，也可以先求∠A，依据都是直角三角形中的各元素间的关系，但求解时为了使计算简便、准确，一般尽量选择正、余弦，尽量使用乘法，尽量选用含有已知量的关系式，尽量避免使用中间数据． 解答

tanABC63AC2

A60o

B90oA90o60o30o AB2AC22A

C B 例2 如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，BC23，CD22,求AC，AB，∠A，∠B(精确到1′)．

思路与技巧 在Rt△ABC中，仅已知一条直角边BC的长，不能直接求解．注意到BC和CD在同一个Rt△BCD中，因此可先解这个直角三角形．

解答 在Rt△BCD中

BDBC2CD21282

sinBcosBCD226BC323BD23BC323

用计算器求得 ∠B＝54°44′ 于是∠A＝90°-∠B＝35°16′ 在Rt△ABC中，ABBC3236cosB36263 ACABsinB6

五、课堂小结

1、直角三角形中，除直角外，五个元素之间的关系。

2、什么是解直角三角形。

六、课堂练习

在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形。

（1）C＝20，b=20;（2）∠B＝72°，c=14；（3）∠B＝30°，a=7

2.解直角三角形优秀教案 篇二

一、针对知识枯燥特点, 活化知识内容, 实现学生学习潜能的有效激发

解直角三角形知识章节体系涉及特殊角的三角函数以及与三角函数有关的代数式值和互余角的三角函数关系等方面的知识问题, 形式比较枯燥, 内容比较抽象。如何将这一章节知识内容通过有效教学方式进行形象直观的体现, 使学生感受到学习的乐趣, 是摆在教师面前的一个重要课题。本人在教学中, 为有效提升学生学习该章节知识的积极性, 采用了“情境教学法”, 先借助现代多媒体教学资源, 将锐角三角函数的正弦、余弦、正切、余切等所包含的内容, 采用形象直观的教学画面, 使学生对锐角三角函数正弦、余弦、正切、余切的意义、表示法有清晰准确的了解和掌握, 然后让学生用事先准备好的直角三角板, 进行动手操作, 及时巩固掌握内在含义, 并能够在教师引导下, 正确了解和表示出sin A, cos A, tan A, cot A对应哪两个边的比值, 从而使学生学习这一章节知识内容时, 感到乐趣, 充满兴趣, 实现学生学习潜能的激发, 为以后学习相关内容打下思想基础。

二、找准知识生活特性, 创设问题情境, 促进学生探究动手能力的提升

解直角三角形章节知识作为初中数学知识体系的一部分, 自然存在生活特性。教师在教学这一章节内容时, 就可以抓住解直角三角形知识与生活实际的关系, 设置出具有生活性的问题情境, 引导学生依据自身的学习经验和掌握的学习方法, 进行探究活动, 促进学生在探究活动中实现探究能力的提升。如在知识综合运用时, 教师设置了“如图所示, 有一朝西下降的阶梯, 阳光从正西边照过来, 在距离阶梯6米处有一根柱子, 其影子的前端正好到达阶梯的第3阶。此时, 直立一根长70厘米的杆子, 测量其影子的长度为175厘米, 设阶梯各阶的高度为50厘米, 求柱子的高度”探究性生活问题 (如图1) , 引导学生进行探究活动, 通过教师点拨, 引导学生通过将台阶下的影子转化成水平方向上的影长FD与数值方向上的影长CD, 运用模型公式进行探究解答。待学生解答完后, 教师通过转化图形, 再向学生提出“如图所示, 在一半径为168厘米的半圆形障碍物前600厘米有竖直的柱子。已知落在半圆上的影子长为56厘米, 同时, 一直立70厘米杆子的影长为180厘米, 求柱子的长”同一类型方面问题 (如图2) 进行巩固练习, 有效提升学生的探究实践能力。

三、挖掘知识联系特性, 适时拓展知识, 实现学生创新思维能力的提高

在实际问题解答过程中, 经常会出现以三角函数为题设假设的三角形综合题以及运用锐角三角函数解决某些简单的实际问题的运用题, 这就要求教师在进行问题解答, 善于引导学生从不同角度、不同方面进行问题的分析和解答, 使学生在解答综合运用问题过程中, 实现创新思维能力的有效提升。如在进行解直角三角形知识综合运用问题教学时, 教师就根据知识内在特性, 设置“如图所示, 甲乙两只捕捞渔船同时从A港出海捕鱼, 甲船以每小时15姨2千米的速度沿西偏北30°的方向前进, 乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进, 甲船行驶2小时后到达C处, 此时甲船发现渔具丢失在乙船上, 于是甲船快速沿北偏东75°的方向追赶, 结果两船在B处相遇, (1) 甲船从C处追赶上乙船用了多长时间? (2) 甲船追赶乙船的速度是每小时多少千米?”综合性数学问题 (如图3) , 让学生结合已经掌握的直角三角形等相关知识性质进行问题解答, 认真找出数学问题中所隐含的内在条件, 引导学生通过勾股定理、三角形性质等内容进行解题活动, 使学生在解题过程中实现思维创新能力的有效提升。

3.解直角三角形的应用教学设计 篇三

根据新课标的指导思想，结合注重开放与生成，构造充满生命活力的课堂教学体系的思想。改变课堂过于注重知识传授的倾向，强调形成积极主动的学习态度，关注学生的学习兴趣和体验，让学生主动参与学习活动，并引导学生在课堂活动中感悟知识的生成、发展与变化。在教学过程中由学生主动去发现、去思考，留有足够的时间让他们去操作，体现以学生为主体的原则；而教师为主导，采用启发探索法、讲授法、讨论法相结合的教学方法。这样，使学生通过讨论、实践，形成深刻印象，对知识的掌握比较牢靠，对难点也比较容易突破，同时也培养了学生的数学能力。

二、教学分析

1.地位与作用

解直角三角形的知识，可以被广泛地应用于测量、工程技术和物理中，主要是用来计算距离、高度和角度。教科书中的应用题，内容比较广泛，具有综合技术教育价值，解决这类问题需要进行运算，但三角中的运算和逻辑思维是密不可分的；为了便于运算，常需要先选择公式并进行变换，同时，解直角三角形的应用题和课题学习也有利于培养学生空间想象的能力，即要求学生通过对实物的观察，或根据文字语言中的某些条件画出适合它们的图形，总之，解三角形的应用题与课后学习可以培养学生的三大数学能力和分析解决问题的能力。

本章内容属于三角学，中学数学把三角学内容分成两部分，第一部分归入义务教育初中阶段，就是本章的解直角三角形。这主要是因为解直角三角形的知识有较多的应用，它的基础仅仅是锐角三角函数，这在学生学过相似三角形后不难接受。后一部分是三角内容的主体部分，包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和三角方程，将归入义务教育后的高中阶段。前一部分是后一部分的必要基础，只有学好锐角三角函数和直角三角形的解法，才能继续学习三角函数和斜三角形的解法。

同时，解直角三角形还有利于数形结合。通过这一章的学习，学生才能对直角三角形的概念有较为完整的认识。另外，有些简单的几何图形可分解为一些直角三角形的组合，从而也能用本章的知识加以处理。以后学生学习斜三角形的余弦定理、正弦定理和任意三角形的面积公式时，也要用到解直角三角形的知识。本节内容在这起到承上启下的作用。承上使学生对锐角三角形函数有更深的理解，更好地掌握。启下，通过对本节的学习为高中的知识打下基础。所以说，本节课的教学有着不可忽视的地位。

2.学情分析

学生在小学就接触过直角三角形，前几节已经学习了锐角三角函数，所以这节课内容学生可以接受。本节的学习使学生初步掌握解直角三角形的方法，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。同时让学生通过观察、思考、操作，体验转化过程，真正学会用数学知识解决实际的问题。

3.教学方式和教学手段

从学生最熟悉的实际生活创设问题情境，采用“引导—探究—解决—扩展”的教学方式，从学生活动出发，结合实物和多媒体教学，强调实用性。

4.技术准备

多媒体，三角板，半圆仪。

三、目标分析

学会用数学问题来解决实际问题，既是我们教学的目的，也是我们教学的归宿。本部分安排三节课，本节是第一节。根据课标的要求，要尽量把解直角三角形与实际问题联系，减少单纯解三角形的习题。在实际问题中，要使学生养成“先画图，再求解”的习惯，还要引导学生合理地选择所要用的边角关系。

1.知识目标：会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题。

2.能力目标：培养学生把实际问题转化为数学问题并进行解决的能力，进而提高学生的形象思维能力，渗透转化的思想。

3.情感目标：培养学生理论联系实际，敢于实践，勇于探索的精神。

重点：实际问题与数学问题之间的转化。

难点：如何把实际问题转化为数学问题。

四、教学过程

（一）创设情境，导入新课

在天安门广场的升旗仪式上，当嘹亮的中华人民共和国国歌响起，鲜艳的五星红旗高高飘扬的时候，心情激动的同时，你可曾想过，升起的国旗有多高呢？你能测量和计算它的高度吗？通过这节课的学习，我们又掌握了一种测量国旗高度的方法……

（教学意图：数学的教学要紧密联系生活实际，而学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的。呈现给学生现实生活实际的问题是为了激发学生主动探索的热情与兴趣，让学生有探索、解决问题的欲望。）

（二）新知导学

1.仰角和俯角的概念

我们站在低层的看台上，仰望升到顶端的国旗，视线在水平线的上方，这时视线与水平线所成的夹角，我们称为仰角（如图）。

站在高层的看台上，俯视升到顶端的国旗，视线在水平线的下方，这时视线与水平线所成的夹角，称为俯角（如图1）。

学生：通过看电脑展示结合图形理解仰角、俯角的概念。

老师：板书仰角和俯角的图形定义。

问题1：如图4，学生甲站在第1层看台的地面上，仰望升到顶端的国旗，已知他的双眼距地面1.5米，他的双脚距旗杆底部18米，看国旗的仰角为29°，你会利用这些条件计算国旗的高度吗？（结果精确到0.1米）如果这名学生继续往看台的上方走呢？

问题2：如图5，学生甲站在某一高层看台的地面上，俯视升到顶端的国旗，已知他的双眼距台阶1.5米，现在他的双脚距地面16米，距旗杆底部的水平距离为34米，看国旗的俯角为10°，你会利用这些条件计算国旗的高度吗？（结果精确到0.1米）

学生：根据所给图形，分析并列出式子。

1.5+18tan29°≈11.5（米）

问题3：学生甲站在看台的某层台阶上，请问：需要测量或补充哪些数据，才能计算出国旗的高度？

问题4：现在为了美观，旗杆AB下面摆设一些盆栽作装饰，即不能直接测量出人的双脚到旗杆底部B点的距离，当人站在C点时，测得旗杆顶A的仰角是16°，向旗杆的方向前进18米，在D处测得旗杆顶A的仰角为30°，求国旗的高度AB为多少米？（结果保留到0.1米）

1.5+16-34×tan10°≈11.5（米）

应用概念直接解题已知一个锐角和一个边和两个边的直角三角形的直角三角形都可解。加深问题的研究，扩展学生的思路，培养学生分析问题解决问题的能力，归纳总结出在直角三角形中已知一边和一个锐角，已知两边这样的直角三角形都是可解的。

（三）总结

解直角三角形的关键是找到与已知、未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作辅助线构筑直角三角形；当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题化归为直角三角形中的边角关系。

（四）巩固练习

如图8，山脚下有一棵小树AB，小强从点B沿山坡向上走了50米到达点D，用高为1.5米的测角仪CD测得树顶的仰角为10°，已知山坡坡角为15°，求树AB的高（结果保留到0.1米）

解：设AG=x，在Rt△AFG中，FG=AG/tan∠AFG=x/tan30°=x

Rt△AEG中，tan∠AEG=x/（x+18）x≈10.3

AB=AG+GB≈10.3+1.5=11.8m

板书设计：基础知识：

例3

例4

五、教学反馈，评价分析

本课设计中先安排一个引例，激发学生的兴趣，再设计有梯度的例题，让学生体验由实际问题转化为数学问题的过程。注重学生的思维过程，站在学生的角度思考问题，才能知道学生的问题出在哪里，这样不仅能让学生体验学习的乐趣，培养学生解决问题的能力。在活动的过程中，学生确实体验到数学在日常生活中无处不在，也让学生感悟到数学是有用的。在探索与交流中，让学生互问互检。注意学生的相互评价的作用，整节课学生都保持着较高的学习热情。

4.解直角三角形优秀教案 篇四

1.教学目标

知识

技能 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。

过程

方法 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力。

情感

态度 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯。

2.教学重点/难点

教学重点 直角三角形的解法。

教学难点 三角函数在解直角三角形中的灵活运用。

3.教学用具 4.标签

5.解直角三角形优秀教案 篇五

一、基础知识

在本章中约定用A，B，C分别表示△ABC的三个内角，a, b, c分别表示它们所对的各边长，pabc为半周长。2abc1．正弦定理：=2R（R为△ABC外接圆半径）。sinAsinBsinC111推论1：△ABC的面积为S△ABC=absinCbcsinAcasinB.222推论2：在△ABC中，有bcosC+ccosB=a.推论3：在△ABC中，A+B=，解a满足

ab，则a=A.sinasin(a)证推论3，由正弦定理

absiansin(a)，所以，即sinAsinBsiAnsin(A)1[cos(-A+a)-cos(-A-a)]= 2sinasin(-A)=sin(-a)sinA，等价于1[cos(-a+A)-cos(-a-A)]，等价于cos(-A+a)=cos(-a+A)，因为0<-A+a，2-a+A<.所以只有-A+a=-a+A，所以a=A，得证。b2c2a22．余弦定理：a=b+c-2bccosAcosA，2bc2

22下面用余弦定理证明几个常用的结论。

（1）斯特瓦特定理：在△ABC中，D是BC边上任意一点，BD=p，DC=q，则b2pc2qAD=pq.（1）

pq2【证明】 因为c=AB=AD+BD-2AD·BDcosADB，222所以c=AD+p-2AD·pcosADB.①

222同理b=AD+q-2AD·qcosADC，② 因为ADB+ADC=，所以cosADB+cosADC=0，所以q×①+p×②得 2

b2pc2qqc+pb=(p+q)AD+pq(p+q)，即AD=pq.pq222

2注：在（1）式中，若p=q，则为中线长公式AD（2）海伦公式：因为SABC22b22c2a2.212221221222

bcsinA=bc(1-cosA)= bc 444

(b2c2a2)2122 22[(b+c)-a][a-(b-c)]=p(p-a)(p-b)(p-c).1224bc16这里pabc.2所以S△ABC=p(pa)(pb)(pc).二、方法与例题

1．面积法。

例1（共线关系的张角公式）如图所示，从O点发出的三条射线满足POQ,QOR，另外OP，OQ，OR的长分别为u, w, v，这里α，β，α+β∈(0, )，则P，Q，R的共线的充要条件是

sinsinsin()uvw.2．正弦定理的应用。

例2 △ABC内有一点P，使得BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB。求证：AP·BC=BP·CA=CP·AB。

例3 △ABC的各边分别与两圆⊙O1，⊙O2相切，直线GF与DE交于P，求证：PABC。

3．一个常用的代换：在△ABC中，记点A，B，C到内切圆的切线长分别为x, y, z，则a=y+z, b=z+x, c=x+y.222例4 在△ABC中，求证：a(b+c-a)+b(c+a-b)+c(a+b-c)≤3abc.4．三角换元。

+例5 设a, b, c∈R，且abc+a+c=b，试求P223的最大值。a21b21c21

3．已知△ABC，其中BC上有一点M，且△ABM与△ACM的内切圆大小相等，求证：AMP(Pa)，此处P1(a+b+c), a, b, c分别为△ABC对应三边之长。204．已知凸五边形ABCDE，其中ABC=AED=90，BAC=EAD，BD与CE交于点O，求证：AOBE。

5．已知等腰梯形ABCD，G是对角线BD与AC的交点，过点G作EF与上、下底平行，点E

0和F分别在AB和CD上，求证：AFB=90的充要条件是AD+BC=CD。

6．AP，AQ，AR，AS是同一个圆中的四条弦，已知PAQ=QAR=RAS，求证：AR（AP+AR）=AQ（AQ+AS）。

222227．已知一凸四边形的边长依次为a, b, c, d，外接圆半径为R，如果a+b+c+d=8R，试问对此四边形有何要求？

8．设四边形ABCD内接于圆，BA和CD延长后交于点R，AD和BC延长后交于点P，A，B，C指的都是△ABC的内角，求证：若AC与BD交于点Q，则

6.解直角三角形 篇六

1.知识结构：

本小节主要学习的概念，直角三角形中除直角外的五个元素之间的关系以及直角三角形的解法.

2.重点和难点分析：

教学重点和难点：直角三角形的解法.

本节的重点和难点是直角三角形的解法.为了使学生熟练掌握直角三角形的解法，首先要使学生知道什么叫做，直角三角形中三边之间的关系，两锐角之间的关系，边角之间的关系.正确选用这些关系，是正确、迅速地的关键.

3.深刻认识锐角三角函数的定义，理解三角函数的表达式向方程的转化.

锐角三角函数的定义：

实际上分别给了三个量的关系：a、b、c是边的长、和是由用不同方式来决定的三角函数值，它们都是实数，但它与代数式的不同点在于三角函数的值是有一个锐角的数值参与其中.

当这三个实数中有两个是已知数时，它就转化为一个一元方程，解这个方程，就求出了一个直角三角形的未知的元素.

如：已知直角三角形ABC中，，求BC边的长.

画出图形，可知边AC，BC和三个元素的关系是正切函数(或余切函数)的定义给出的，所以有等式

，

由于，它实际上已经转化了以BC为未知数的代数方程，解这个方程，得

.

即得BC的长为.

又如，已知直角三角形斜边的长为35.42cm，一条直角边的长29.17cm，求另一条边所对的锐角的大小.

画出图形，可设中，，于是，求的大小时，涉及的三个元素的关系是

也就是

这时，就把以为未知数的代数方程转化为了以为未知数的方程，经查三角函数表，得

.

由此看来，表达三角函数的定义的4个等式，可以转化为求边长的方程，也可以转化为求角的方程，所以成为解三角形的重要工具.

4. 直角三角形的解法可以归纳为以下4种，列表如下：

5.注意非直角三角形问题向直角三角形问题的转化

由上述(3)可以看到，只要已知条件适当，所有的直角三角形都是可解的.值得注意的是，它不仅使直角三角形的计算问题得到彻底的解决，而且给非直角三角形图形问题的解决铺平了道路.不难想到，只要能把非直角三角形的图形问题转化为直角三角形问题，就可以通过而获得解决.请看下例.

例如，在锐角三角形ABC中，，求这个三角形的未知的边和未知的角(如图)

这是一个锐角三角形的解法的问题，我们只需作出BC边上的高(想一想：作其它边上的高为什么不好.)，问题就转化为两个的问题.

在Rt中，有两个独立的条件，具备求解的条件，而在Rt中，只有已知条件，暂时不具备求解的条件，但高AD可由解时求出，那时，它也将转化为可解的直角三角形，问题就迎刃而解了.解法如下：

解：作于D，在Rt中，有

;

又，在Rt中，有

∴

又，

∴

于是，有

由此可知，掌握非直角三角形的图形向直角三角形转化的途径和方法是十分重要的，如

(1)作高线可以把锐角三角形或钝角三角形转化为两个直角三角形.

(2)作高线可以把平行四边形、梯形转化为含直角三角形的图形.

(3)连结对角线，可以把矩形、菱形和正方形转化为含直角三角形的图形.

(4)如图，等腰三角形AOB是正n边形的n分之一.作它的底边上的高，就得到直角三角形OAM，OA是半径，OM是边心距，AB是边长的一半，锐角.

6. 要善于把某些实际问题转化为问题.

很多实际问题都可以归结为图形的计算问题，而图形计算问题又可以归结为问题.

我们知道，机器上用的螺丝钉问题可以看作计算问题，而圆柱的侧面可以看作是长方形围成的(如图).螺纹是以一定的角度旋转上升，使得螺丝旋转时向前推进，问直径是6mm的螺丝钉，若每转一圈向前推进1.25mm，螺纹的初始角应是多少度多少分?

据题意，螺纹转一周时，把侧面展开可以看作一个直角三角形，直角边AC的长为

，

另一条直角边为螺钉推进的距离，所以

，

设螺纹初始角为，则在Rt中，有

∴.

即，螺纹的初始角约为 .

这个例子说明，生产和生活中有很多实际问题都可以抽象为一个问题，我们应当注意培养这种把数学知识应用于实际生活的意识和能力.

7.解三角形中的数学思想 篇七

一、函数思想

例1 已知腰长为 a 的等腰Rt△ABC中, 当两个锐角顶点A、B分别在 x 轴、y 轴的正半轴上移动时 (C与原点在AB的两侧) , 求OC的最大值和△AOC面积的最大值.

分析:首先将边OC应放在△OAC或△OBC中.接着思考问题:OC是变的, 那么是什么引起了OC的变化呢?是因为A、B在坐标轴上运动.用什么来刻画A、B的运动呢?这里有一个符号化的过程, 可能有这样的一些想法:设OA=x, ∠BAO=x, ∠COA=x 等.其中用∠BAO=x 刻画A、B的运动较好.

解:设∠BAO=x, 则undefined.在△OAC中,

undefined

所以OC的最大值是undefined

undefined

所以△AOC面积的最大值是undefined

评注:有关最值、取值范围问题常常可用函数思想去思考, 具体思维路径是:1.找出相应函数中的 y 和 x, 即自变量和因变量, 一般 y 是比较明确的, 而 x 的确定, 需要观察、总结、多积累;2.寻找 y 与 x 的关系式;3.转化为具体函数的值域或最值问题.

二、方程思想

例2 若△ABC的周长等于20, 面积是undefined, 则BC边的长是 ( )

(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8

分析:不少同学很快列出下面式子

进而有

下面不会做了.用方程思想看 (*) :有三个未知数, 两个方程.那么应寻找第三个关于 a, b, c 的方程.通过思想不难发现undefined这一第三个方程, 因而问题得以解决.

解:由题意得

所以

由 (1) 得 b2+c2= (20-a) 2-2bc

= (20-a) 2-80,

代入 (3) 解得 a=7.选 (C) .

评注:解三角形时要主动用方程思想审视所给的条件, 去分析未知数与方程个数的关系, 进而去寻找题中隐含的方程, 从而解决问题.

三、分类讨论思想

例3 在△ABC 中, undefined, 则边 c 的长为 ( )

(A) 6 (B) 12

(C) 6或undefined

解:由正弦定理得undefined,

所以undefined, 所以B=60°或120°, 所以C=90°或30°, 所以 c=6或12.选 (C) .

评注:解三角形时, 对于 sinB=m, 注意可能有两解的情形.

例4 已知锐角三角形的边长分别为1, 3, a, 则 a 的取值范围是 ( )

undefined

解: (1) 当 a>3时, 边 a 所对的角为最大角, 由余弦定理得1+32-a2>0, 所以undefined

(2) 当 a<3时, 边3所对的角为最大角, 由余弦定理得1+a2-32>0, 所以undefined

(3) 当 a=3时, 显然此时三角形为锐角三角形.所以选 (B) .

评注:一个三角形为锐角三角形, 必须最大边对的角为锐角.因为 a 与3的大小不定, 所以要分类讨论.

四、转化思想

在解三角形的问题中, 转化思想主要体现在以下几个方面: (1) 利用 a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC, 把边转化成角; (2) 利用undefined和余弦定理, 如undefined, 把角转化成边; (3) 利用A+B+C=π, 如undefined等; (4) 求角有时需转化成求角的三角函数值.

例5 已知△ABC中, A、B、C是三个内角, a, b, c 分别是角A、B、C的对边, undefined的外接圆半径是undefined求角C; (2) 求△ABC面积S的最大值.

分析: (*) 式是边角的混合式, 一般解题思路是角转化为边或边转化为角.通过尝试, 不难得出角化为边可求出角C.对于 (2) 不少学生列出undefined后便无下文了.究其原因, 在于这些学生缺乏边角转化的主动意识, 只记套路, 如对于 (*) 式, 都能处理, 而对于undefined中出现的边就不会处理了.其实在边角转化的思想指导下, 易得undefined, 从而转化为求三角函数的最值.

解: (1) (*) 化为 a2-c2= (a-b) b,

undefined

当2A-30°=90°, 即A=60°时, undefined

例6 在△ABC中, 已知undefined, 若三角形有解, 求A的取值范围.

分析:求角A的范围转化为求角A余弦值的范围.

8.由一题四解浅析解三角形 篇八

关键词：解三角形；正余弦定理；多种分析方法

一、正弦定理和余弦定理是解三角形的关键

1.正弦定理■=■=■=2R（R为△ABC外接圆半径），推广：

（1）a=2RsinA b=2RsinB c=2RsinC（边化角）

（2）sinA=■ sinB=■ sinC=■（角化边）

2.余弦定理c2=a2+b2-2abcosC（求边，另两个略），推广：cosC=■（求角）

以上是两定理的内容和推广，它揭示了任意三角形边角之间的规律。利用两定理可求三角函数的值，可求三角形的内角和边，判定三角形的形状，综合考查三角变换以及深化三角形和平面向量等多种知识的运用能力，当然这也是高中数学的主要精髓之一。

二、举例分析

说明：由于篇幅有限，例子中图形已省略，个别步骤作了简化。

例子：在△ABC中，AB=4，cosB=■，AC边上的中线BD=■，求sinA的值.

解法一：设M为BC的中点，则DM∥AB，且DM=2。在△BDM中，cos∠BMD=cos（180°-∠ABC）=-■，由余弦定理，得：（■）2=BM2+22-2×2×（-■）.BM解得BM=3，BM=-5（舍去）。

则BC=6，由AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB=28

得AC=2■，又由正弦定理■=■，得：sinA=■

解法二：作AE⊥BC，垂足为E，延长BD到M，使DM=BD，再作MF⊥BC，垂足为F，则BE=AB·cosB=2，并且AE=2■·BF=■=8，而CF=BE=2，所以BC=BF-CF=6又EC=4，所以AC=■=2■

在△ABC中，由正弦定理，得：sinA=■

解法三：延长BD至M，使DM=BD，连接AM，CM，则ABCM为平行四边形。

于是∠BAM=180°-∠ABC，在△ABM中，由余弦定理，得： （2■）2=42+BC2-2×4·BC·（-■）

解得BC=6。再根据解法一求出AC，最后得：sinA=■

解法四：以B为原点，向量■为x轴建立直角坐标系，由sinB=■，得：向量■=（4·cosB，4·sinB）=（2，2■）.设■=（x，0），则向量■=（■，■），从而向量■的模=■=■解得x=6，于是向量■=（-4，2■），所以根据两向量夹角公式，有：■·■=■·■·cosA，得cosA=■，故sinA=■=■（负值舍去，需讨论）

三、简评

1.所有三角形的边角变换，其实就是有条件限制的三角关系式的计算与证明，在三角形的三角变换中，正余弦定理、勾股定理和直角三角形中的边角关系都是解题的关键，通过本例可以看出。

2.解三角形的有关问题，常常需作一些辅助线。如解法一中的中位线，解法二和解法三中的延长线都是解三角形中常作的辅助线，应引起学生学习的足够重视。如果不作辅助线，解题方法就受局限，甚至造成解不出的可能。

3.通过建立适当直角坐标系，利用向量或点坐标的工具解答有关边角的问题，这也是解三角形中常用的方法。本例解法四就是用解析几何知识解决纯平面几何问题的典例，希望对学生有所启迪。

4.当然，解三角形有时还要用到两角和公式、倍角公式、半角公式、和差化积、积化和差公式、推导公式、两点间距离公式等诸多公式，希望学生灵活运用，以不变应万变。

5.解三角形其主要作用是解决在实际生活中的一些应用。常见有距离、高度、角度及平面图形的面积等计算与测量问题，希望学生学习时要有应用意识与动手能力，做到学有所用。

另外，本题还可继续探讨，例如，作△ABC的外接圆或利用点坐标法是否可解。感兴趣的学生可以试试。总之，解一般三角形万变不离其宗，其要领都是平面几何与正余弦定理两方面知识的结合。

（作者单位 辽宁省本溪市机电工程学校）

9.解直角三角形教学反思 篇九

第二，本节课的设计，力求体现新课程理念。给学生自主探索的时间，给学生宽松和谐的氛围，让学生学得更主动、更轻松，力求在探索知识的过程中，培养探索能力、创新精神、合作精神，激发学生学习数学的积极性、主动性。

第三，教师是课堂教学的组织者、引导者、合作者、帮助者。在学生选择解直角三角形的诸多方法的过程中，我并没有过多地干预学生的思维，而是通过问题引导学生自己想办法解决问题，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，而后选择了一种解法进行板演。

通过本节课的实践，我觉得也存在一些需要自己深刻反思和改进的地方。比如，在探讨解直角三角形的依据时，处理的有些过于仓促，应该让学生从理论上深刻地理解其中的数学原理；再如，在探索解直角三角形需要具备的条件与三角形全等的判定的内在联系时，问题的指向性太明确，过多地关注问题的预设而忽视了即时的生成，如果放手让学生自己去想，可能效果更好；又如，课堂总结时，总想把现成的规律性结论用学生喜欢的形式告知他们，但忽视了学生在没有亲身体验与感受的情况下，老师的努力将大打折扣。在今后的教学中，我将更多地关注学生的发展与提升。

总之，本节课教学力争体现新课标的教学理念，对新课标下的新课堂的丰富内涵进行积极的探索与有益的尝试。着力做到新课堂是数学活动的场所，是讨论交流的学堂，是渗透德育的基地，是学生发现创造展示自我的舞台！

10.《解直角三角形》教学设计 篇十

彬县公刘中学 郭江平

一、教学内容分析

本课时的内容是解直角三角形，为了引起学生对教学内容的兴趣，所以在本课时的开头引入了一个实际问题，从而自然过度到直角三角形中，已知两个元素求其他元素的情境中.通过例题的讲解后引出什么是解直角三角形，从而了解解直角三角形的意义。通过讨论直角三角形的边与角之间的关系，到解直角三角形过程中，使学生能掌握解直角三角形的知识.以及在解直角三角形时，选择合适的工具解，即优选关系式.从而能提高分析问题和解决问题的能力.二、教学目标

1.知道解直角三角形的概念、理解直角三角形中五个元素的关系。

2.通过综合运用勾股定理，掌握解直角三角形，逐步形成分析问题、解决问题的能力.3．渗透数形结合的数学思想，养成良好的学习习惯．

三、教学重点及难点

教学重点：掌握利用直角三角形边角关系解直角三角形 教学难点：锐角三角比在解直角三角形中的灵活运用

四、教学用具准备 黑板、多媒体设备.五、教学过程设计

一、创设情景

引入新课：如图所示，一棵大树在一次强烈的地震中倒下，树干断处离地面3米且树干与地面的夹角是30°。大树在折断之前高多少米？

由30°直角边等于斜边的一半就可得AB=6米。分析树高是AB+AC=9米。由勾股定理容易得出BC的长为3 米。当然对于特殊锐角的解题用几何定理比较简单，也可以用锐角三角函数来解此题。

注意:在解直角三角形的过程中,常会遇到近似计算,除特别说明外,边长保留四个有效数字.２.学习概念

定义：在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形.３．例题分析

例题2 在Rt△ABC中，∠C=90，c=7.34，a=5.28，解这个直角三角形.分析：本题如图，已知直角三角形的一条直角边和斜边，当然首先用勾股定理求第三边，怎样求锐角问题，要记住解决问题最好用原始数据求解，避免用间接数据求出误差较大的结论.（板书）解：

∵∠C=90，∴a＋b＝c ∴b= ∵sinA= ∴∠A 460′

∴∠B=90－∠A≈90－460′=440′.注意:在解直角三角形的过程中,常会遇到近似计算,除特别说明外,边长保留四个有效数字,角度精确到1′。

4、学会归纳

通过上述解题，思考对于一个直角三角形,除直角外的五个元素中,至少需要知道几 个元素,才能求出其他元素？

想一想：如果知道两个锐角，能够全部求出其他元素吗？如果只知道五个元素中的一个元素,能够全部求出其他元素吗? 归纳结论：在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素（至少有一个是边），就可以求出其余三个元素.[说明] 我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了00

0

11.解三角形琐谈 篇十一

对三角形边角关系的定量考察,始于古希腊的喜帕恰斯、梅内劳斯和托勒密等人对天文的测量,因此解三角形的初期阶段,应隶属于天文学.它是以达到测量上的应用为目的的一门学科,其中累积了相当丰富的算术、几何(包括球面几何)和天文学知识.在公元前300年,古埃及人已有了一定的三角学知识,并且将三角知识主要用于测量.如建筑测量金字塔、整理尼罗河泛滥后的耕地、通商航海和观测天象等.我国古代虽没有出现三角函数的概念,但用勾股定理解决了许多与解三角形有关的实际问题.《史记•夏本记》上说,公元前两千二百多年,夏禹治水“左准绳,右规矩,载四时,以开九州,通九道”.大禹为了解决在治水中的地势测量问题,巧妙地利用了三角形的边角关系等解三角形知识,解决了不少治水工程中的难题,这种方法比西方三角术的研究早两千年左右.因此,解三角形知识的产生主要靠天文测量、航海测量、地理测量等实践活动的推动而发展起来的.西汉末东汉初(公元一世纪)的数学书籍《周髀算经》中记载了公元前七、八世纪的人们如何计算地面上一点到太阳距离的方法,当时还没有sin,cos,tan这些符号,但已包含了这样的意思.直到1595年,德国的皮蒂斯楚斯(Pitiscus)著《三角学,解三角形的简明处理》,才首次将拉丁文“trigonon(三角形)”和“metron(测量)”组合成trigonametriae,原意指三角形的测量,即解三角形.可见,在解三角形方法的不断演变和进步的过程中,人们发现并利用了大量的三角知识,推动了三角学的发展.

公元前六世纪,希腊数学家毕达哥拉斯发现了勾股定理.他的学生希伯斯在应用这个令众多人兴奋不已的定理解等腰直角三角形时发现,当直角边长为1时,斜边的长不能用整数或整数之比来表示,于是他发现了世界上最早发现的无理数.希伯斯的这个发现违背了当时人们的普遍认知,动摇了“整数是上帝创造的,分数是两个整数的比,世界上除此之外不可能再有其它的数了”这个神权论的基础,在毕达哥拉斯学派的基石上砸出了裂缝,对于当时所有古希腊人的观念也是一个极大的冲击,这就是数学发展史上所说的第一次数学危机.最后希伯斯也因此而惨遭迫害.在这里,我们完全可以认为是解三角形促进了数的发展和数集的扩充.

今天,我们在学习解三角形的过程中,可以尽情地享受前人发现的诸多成果,其中最重要的就是正弦定理和余弦定理.这两个定理在解决不同类型的解三角形问题时各有优势,不知同学们是否知道,这两个定理是可以互相推出的,比如用余弦定理推导出正弦定理的过程如下:

由余弦定理,有==,这是一个关于a,b,c的轮换对称式,所以有==,由于被开方的式子恒为正数,所以开方后便得正弦定理.有兴趣的同学请尝试一下,看看你能否用正弦定理推出余弦定理.

学习中还有另一个问题会引起我们的思考,那就是解三角形时为什么有时候得到一个解,而有时候却能得到两解?对这个问题的回答可以从三角形全等的判定方法上加以理解.我们知道,判定三角形全等的方法有四种:边角边(SAS)、角边角(ASA)、边边边(SSS)、角角边(AAS).当我们所解的三角形具备以上的条件,即已知两边及其夹角、两角及其夹边、三边、两角及一边时,该三角形可被唯一确定,所以其解是唯一的.而当已知两边及其一边的对角时(SSA)不能判定两个三角形全等,也就是说,此时不能确定一个三角形,表现在用正弦定理解三角形时会出现无解、一解、两解的情况.

解三角形问题还常常与平面向量、函数、不等式等其它的数学问题相联系,解三角形更为三角变换、三角函数性质的研究提供了良好的用武之地.如:在△ABC中,若A>B,则必有sinA>sinB,反之也成立;在非直角△ABC中,必有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.诸如此类的结论让我们领略到数学的神奇、深邃和美丽,每年各地的考题中都涌现出大量的解三角形的新颖题型,这已成为解三角形中一道亮丽的风景,我们即将学习的立体几何中求角和求距离的问题也大都是通过解三角形来实现的.

解三角形理论的不断发展与完善,为我们今天解决生活、生产和科学研究中的问题带来了很多便捷,如怎样在航行途中测出海上两个岛屿之间的距离?怎样测量底部不可到达的建筑物的高度?怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度?怎样测出海上航行的轮船的航速和航向?这些问题的解决最能体现解三角形的巨大威力和无穷魅力.

如:如图1,A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得点B和点D的仰角分别为75°,30°,于水面C处测得点B和点D的仰角均为60°,且AC=0.1km.试求B,D的距离.

解本题时,容易发现CB是△CAD底边AD的中垂线,从而得BD=BA.在△ABC中,由正弦定理可得=,即BD=AB==.

又如:为了测量两山顶M,N间的距离,飞机沿水平方向在A,B两点进行测量,A,B,M,N在同一个铅垂平面内(如图2),飞机能够测量的数据有俯角和A,B间的距离,请设计一个方案,包括:①指出需要测量的数据;②用文字和公式写出计算M,N间的距离的步骤.

这个问题的特别之处在于只要求我们写出解决问题的方案(算法),回避了具体的数字计算.

容易发现需要测量的数据有:点A对点M,N的俯角α1,β1;点B对点M,N的俯角α2,β2;还需测量A,B的距离d.

按以下步骤可求MN的长:

第一步:计算BM.由正弦定理,BM=.

第二步:计算BN.由正弦定理,BN=.

第三步:计算MN.由余弦定理,MN2=BM2+BN2+2BM×BNcos(β2+α2).

12.解三角形问题内容与方法浅析 篇十二

1.1 教材分析

新课改的实施, 使得高中数学教材与传统数学教材无论在结构上, 还是在内容上, 都发生了很大的变化。对于解三角形这一模块来说, 结构上新课标将其重新整合安排在必修五的第一章节, 在学习三角函数、平面向量的基础上进行学习。内容上相比以往大纲版教材则更加关注运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题, 侧重点放在学生探究和推理能力的培养上。

1.2 内容分析

教材的中心内容是如何解三角形, 正弦定理和余弦定理是解三角形的工具, 最后落实在解三角形的应用上。总之, 解三角形是高中数学的重要内容之一, 内容本身是传统内容, 并具有丰富的实际背景, 学生应该十分熟悉。

1.3 教材分析的原则和方法

方法:理论与实践相结合的方法、教与学相结合的方法。

原则:课标原则、学生中心原则、数学思想方法原则。

2 教学目标及重难点

2.1 教学目标

(1) 通过对任意三角形边长和角度关系的探索, 掌握正弦定理、余弦定理的内容及证明方法, 会运用正弦定理、余弦定理与三角形内角和定理解斜三角形等基本问题。 (2) 通过正弦、余弦定理的探究性学习, 培养掌握三角形的边长与角度之间数量关系及学生探索数学规律的思维能力, 培养学生用数学的方法解决实际问题的能力, 通过学生的积极参与和亲身实践, 并成功地解决实际问题。 (3) 通过本节学习, 激发学生对数学学习的热情, 培养学生独立思考和勇于探索的精神。

2.2 教学重难点

重点:正弦定理、余弦定理以及正、余弦定理的应用。

难点:用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

2.3 蕴含的数学思想方法

数形结合的思想, 函数与方程的思想, 分类讨论的思想, 数学模型思想, 化归与转化的思想。

3 基本知识概述

3.1 正弦定理

正弦定理, 反映了三角形的边和对应角的正弦值之间的关系, 即:

其中, a, b, c分别为三角形的三条边, A, B, C分别为三角形的三个角, R表示三角形外接圆的半径。它可以用来判断三角形的形状, 其主要功能是是实现三角形中边角关系的转化。

3.2 余弦定理

余弦定理, 反映了三角形的边和对应角的余弦值之间的关系, 即:

其中, a, b, c分别为三角形的三条边, A, B, C, 分别为三角形的三个角。它的主要作用是解三角形和判断三角形的形状。它的主要功能是实现三角形中边和角之间的转化。

4 题型及方法分析

由于在解三角形的问题中, 是通过已知角和边的关系的大小确定未知角和边的大小, 这也揭示了解三角形中体现的是边和角的数量关系。通常情况下, 题目通过给出三个独立的条件, 来求解另外三个元素。一般可把解三角形问题分如下几个类型:

1.角角边:两角及任意一条边 (一个解)

2.边角边:两边及它们所夹的一个角 (一个解)

3.边边边:三角形的三条边 (一个解)

4. 边边角:两边及其中一边的对角 (一解、两解、无解)

5. 角角角:三角形的三个角 (无数解)

其中前四类是基本可解型, 正弦定理一般适用于1和4两种情况, 余弦定理一般是用于2和3两种情况, 对于第4种情况有如下详细讨论:

在△ABC中, 已知两边a和b, 其中一边对角A, 当A是锐角时, (1) a=bsinA, 只有一解 (如图1) 。 (2) bsinA<a<b, 两解 (如图2) 。 (3) a≥b, 只有一解 (如图3) 。 (4) a<bsinA, 无解。当A是钝角时, (5) a>b, 只有一解。当A是钝角或直角时, (6) a=b, a>b均无解。

虽然在解三角形问题的过程中运用公式、正弦定理与余弦定理便能解决很多问题, 但学生依然需要进一步探寻入手策略以及多加练习。

摘要：通过正弦、余弦定理解三角形是高中数学教材中比较重要的一部分内容, 它不仅在理论上和三角恒等变换等知识联系密切, 并且在实际生活中也有明确体现, 具有丰富的实际背景。本文对解三角形相关内容进行分析, 总结解三角形过程中遇到的一些基本题型及应对方法, 讨论了几种类型解的存在情况。

13.解直角三角形知识点总结 篇十三

【知识梳理】

1.解直角三角形的依据(1)角的关系:两个锐角互余;(2)边的关系:勾股定理;(3)边角关系:锐角三角函数

2.解直角三角形的基本类型及解法：(1)已知斜边和一个锐角解直角三角形;(2)已知一条直角边和一个锐角解直角三角形;(3)已知两边解直角三角形.

3.解直角三角形的应用：关键是把实际问题转化为数学问题来解决

【课前预习】

1、在Rt△ABC中，∠C=90°，根据已知量，填出下列表中的未知量：

a b c ∠A ∠B

6 30°

10 45°

2、所示，在△ABC中，∠A=30°， ，AC= ，则AB= .

变式：若已知AB，如何求AC?

3、在离大楼15m的地面上看大楼顶部仰角65°，则大楼高约 m.

(精确到1m， )

4、铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为1： ，顶宽为3米，路基高为4米，

则坡角= °，腰AD= ,路基的下底CD= .

5、王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地 m.

【解题指导】

例1 在Rt△ ABC中，∠C=90°，AD=2AC=2BD，且DE⊥AB.

(1)求tanB;(2)若DE=1，求CE的长.

例2 34-4所示，某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼，该居民楼的一楼是高6m的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼的前面15m处要盖一栋高20m的新楼.当冬季正午的阳光与水平线的夹角为32°时.

(1)问超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么?

(2)若新楼的影子刚好部落在居民楼上，则两楼应相距多少米?

(结果保留整数，参考数据： )

例3某校初三课外活动小组，在测量树高的一次活动中，34-6所示，测得树底部中心A到斜坡底C的水平距离为8.8m.在阳光下某一时刻测得1m的标杆影长为0.8m，树影落在斜坡上的部分CD=3.2m.已知斜坡CD的坡比 ，求树高AB.(结果保留整数，参考数据 )

例4 一副直角三角板放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，试求CD的长.

【巩固练习】

1、某坡面的坡度为1: ，则坡角是_______度.

2、已知一斜坡的坡度为1:4，水平距离为20m，则该斜坡的垂直高度为 .

3、河堤的横断面1所示，堤高BC是5m，迎水斜坡AB长13m，那么斜坡AB的坡度等于 .

4、菱形 在平面直角坐标系中的位置2所示, ,则点 的坐标为 .

5、先锋村准备在坡角为 的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为 .

6、一巡逻艇航行至海面 处时,得知其正北方向上 处一渔船发生故障.已知港口 处在 处的北偏西 方向上,距 处20海里; 处在A处的北偏东 方向上,求 之间的距离(结果精确到0.1海里)

【课后作业】

一、必做题：

1、4,已知△ABC中,AB=5cm,BC=12cm,AC=13cm,那么AC边上的中线BD的长为 cm.

2、某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米,此时他与水平地面的垂直距离为 米,则这个坡面的坡度为__________.

3、已知5,在△ABC中,∠A=30°,tanB= ,BC= ,则AB的长为__ ___.

4、6,将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到△ ，使点 与C重合，连结 ，则 的值为 .

5、7所示，在一次夏令营活动中，小亮从位于A点的营地出发，沿北偏东60°方向走了5km到达B地，然后再沿北偏西30°方向走了若干千米到达C地，测得A地在C地南偏西30°方向，则A、C两地的距离为( )

(A) (B) (C) (D)

6、8，小明要测量河内岛B到河边公路l的距离，在A测得 ，在C测得 ， 米，则岛B到公路l的距离为( )米.

(A)25 (B) (C) (D)

7、9所示，一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西10°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距( ).

(A)30海里 (B)40海里 (C)50海里 (D)60海里

8、是一水库大坝横断面的一部分，坝高h=6m，迎水斜坡AB=10m，斜坡的坡角为α，则tanα的值为( )

(A) (B) (C) (D)

9、11，A，B是公路l(l为东西走向)两旁的两个村庄，A村到公路l的距离AC=1km，B村到公路l的距离BD=2km，B村在A村的南偏东45°方向上.

(1)求出A，B两村之间的距离;

(2)为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P的位置(保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法).

10、是一个半圆形桥洞截面示意图,圆心为O,直径AB是河底线,弦CD是水位线,CD∥AB,且CD = 24 m,OE⊥CD于点E.已测得sin∠DOE = .(1)求半径OD;(2)根据需要,水面要以每小时0.5 m的速度下降,则经过多长时间才能将水排干?

11、所示，A、B两城市相距100km. 现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上. 已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50km为半径的圆形区域内. 请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区?为什么?(参考数据： ， )

12、，斜坡AC的坡度(坡比)为1: ，AC=10米.坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB=14米.试求旗杆BC的高度.

二、选做题：

13、,某货船以每小时20海里的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处,经过16小时的航行到达.此时,接到气象部门的通知,一台风中心正以40海里每小时的速度由A向北偏西60o方向移动,距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响.⑴ B处是否会受到台风的影响?请说明理由.⑵ 为避免受到台风的影响，该船应在到达后多少小时内卸完货物?

14、所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连接DE并延长，与线段BC的延长线交于点P.

(1)当∠B=30°时，连接AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长;

(2)若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值;

(3)若tan∠BPD= ，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式.