三角形全等证明经典题

三角形全等证明经典题（12篇）

1.三角形全等证明经典题 篇一

全等三角形证明经典10题(含答案)如图,已知: AD是BC上的中线 ,且DF=DE．求证:BE∥CF．

2.如图，在ΔABC中，D是边BC上一点，AD平分∠BAC，在AB上截取AE=AC，连结DE，已知DE=2cm，BD=3cm，求线段BC的长。A

3.已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD

B

C

B D

∴AC=BE=

2∵在△ABE中

AB-BE＜AE＜AB+BE

∵AB=

4即4-2＜2AD＜4+2

1＜AD＜

3∴AD=2

解：延长AD到E,使AD=DE ∵D是BC中点 ∴BD=DC在△ACD和△BDE中 AD=DE ∠BDE=∠ADC BD=DC ∴△ACD≌△BDE

4.已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2

∴ ∠ABE=∠AEB。∴ AB=AE。

在三角形ABF和三角形AEF中

AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF

∴ 三角形ABF和三角形AEF全等。∴ ∠BAF=∠EAF(∠1=∠2)。

1.证明：连接BF和EF

∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF

∴ 三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE

在三角形BEF中,BF=EF ∴ ∠EBF=∠BEF。∵ ∠ABC=∠AED。

5.已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC

∠CGD＝∠EFD 又，EF∥AB ∴，∠EFD＝∠1 ∠1=∠2 ∴∠CGD＝∠2

∴△AGC为等腰三角形，AC＝CG

证明：过C作CG∥EF交AD的延长线于点G

CG∥EF，可得，∠EFD＝CGD DE＝DC

∠FDE＝∠GDC（对顶角）∴△EFD≌△CGD EF＝CG

又 EF＝CG ∴EF＝AC

6.已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C

证明：延长AB取点E，使AE＝AC，连接DE

∵AD平分∠BAC ∴∠EAD＝∠CAD ∵AE＝AC，AD＝AD

∴△AED≌△ACD（SAS）∴∠E＝∠C ∵AC＝AB+BD

∴AE＝AB+BD ∵AE＝AB+BE ∴BD＝BE ∴∠BDE＝∠E

∵∠ABC＝∠E+∠BDE ∴∠ABC＝2∠E ∴∠ABC＝2∠C

7.如图所示,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线,过C作CF⊥AE, 垂足为F,过B作BD⊥BC交CF的延长线于D.求证:(1)AE=CD;(2)若AC=12cm,求BD的长.A

D

BCE

8.如图(1), 已知△ABC中, ∠BAC=90, AB=AC, AE是过A的一条直线, 且B、C在A、E的异侧, BD⊥AE于D, CE⊥AE于E 试说明: BD=DE+CE

9已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：AC-AB=2BE

证明：

在AC上取一点D，使得角DBC=角C ∵∠ABC=3∠C

∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=3∠C-∠C=2∠C； ∵∠ADB=∠C+∠DBC=2∠C;∴AB=AD

∴AC – AB =AC-AD=CD=BD

在等腰三角形ABD中，AE是角BAD的角平分线，∴AE垂直BD ∵BE⊥AE

∴点E一定在直线BD上，在等腰三角形ABD中，AB=AD，AE垂直BD

∴点E也是BD的中点 ∴BD=2BE ∵BD=CD=AC-AB ∴

AC-AB=2BE

22．（6分）如图①，E、F分别为线段

AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．（1）求证：MB=MD，ME=MF

（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．

（1）连接BE，DF．

∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，在Rt△DEC和Rt△BFA中，∵AF=CE，AB=CD，∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL），∴DE=BF．

∴四边形BEDF是平行四边形． ∴MB=MD，ME=MF；（2）连接BE，DF．

∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，在Rt△DEC和Rt△BFA中，∵AF=CE，AB=CD，∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL），∴DE=BF．

∴四边形BEDF是平行四边形． ∴MB=MD，ME=MF．

2.三角形全等证明经典题 篇二

命题一:两腰和一腰所对的角对应相等的两个等腰三角形(锐角三角形)全等.

已知:如图,在锐角△ABC中,AB=AC,在锐角△A′B′C′中,A′B′=A′C′,且AB=A′B′,AC=A′C′,∠B=∠B′.

求证:△ABC≌△A′B′C′.

证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.

同理,∠B′=∠C′.

∵∠B=∠B′,∴∠C=∠C′.

易证△ABC≌△A′B′C′(AAS).

将已知条件“∠B=∠B′”换成“∠C=∠C′”,证法与上述类似. 由于两个等腰三角形以一腰相等即可得到两腰对应相等,所以命题一可简化成“腰和底角对应相等的两个等腰三角形(锐角三角形)全等”.

命题二:一腰及底边且其中一边所对的角对应相等的两个等腰三角形(锐角三角形)全等.

已知:如图,在锐角△ABC中,AB=AC,在锐角△A′B′C′中,A′B′=A′C′,且AB=A′B′,BC=B′C′,∠A=∠A′.

求证:△ABC≌△A′B′C′.

证明:∵AB=AC,A′B′=A′C′,AB=A′B′,

∴ AC=A′C′.

又∵AB=A′B′,BC=B′C′,

∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).

此时,“∠A=∠A′”便成了多余条件,故将“∠A=∠A′”换成“∠C=∠C′”仍是多余条件. 所以可得“一腰及底边对应相等的两个等腰三角形(锐角三角形)全等”是真命题.

小结:抓住等腰三角形的性质,再利用“边边角”即可很简单地证明两个等腰三角形(锐角三角形)全等.

3.全等三角形创新题赏析 篇三

一、条件探索型

即给出了问题的结论,但没有给出或没有全部给出应具备的条件,要求通过探索,对条件进行补充完善,或者得出多个能使结论成立的条件。

例1如图1,∠BAC=∠ABD,请你添加一个条件: ,使OC=OD(只添一个即可)。

解析结合图形可知,要使OC=OD,只要得到△AOD≌△BOC或△ABD≌△BAC即可。现已有∠BAC=∠ABD(可推得OA=OB),AB为公共边,故若添加∠ABC=∠BAD,由“ASA”可知△ABD≌△BAC,进而有AC=BD,AC-OA=BD-OB,即有OC=OD;若直接添加AC=BD,显然有OC=OD;

若添加∠C=∠D,结合隐含条件∠AOD=∠BOC(对顶角相等),则可由“AAS”可知△AOD≌△BOC,进而得OC=OD;若添加∠OAD=∠OBC,结合对顶角∠AOD=∠BOC,则可由“ASA”知△AOD≌△BOC,进而得OC=OD。

点评本题是一道条件开放性问题,解题的关键是抓住已知条件∠BAC=∠ABD,AB=BA(公共边),∠AOD=∠BOC(对顶角相等),明确所选用的判定方法中,还需要什么条件。

二、结论开放型

即给出了问题的条件,但没有给出明确的结论或结论不确定,要求从条件出发,通过对各种可能的情况进行探究。

例2如图2,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E、F,BE=CF。

(1)图中有几对全等的三角形?请一一列出;

(2)选择一对你认为全等的三角形进行证明。

解析 根据已知条件,认真观察图形,找出其中形状和大小一样的三角形,然后想办法证明其全等。

(1)3对。分别是:△ABD≌△ACD;△ADE≌△ADF;△BDE≌△CDF。

(2)证明△BDE≌△CDF。

证明 ∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠BED=∠CFD=90°。

又∵D是BC的中点,∴BD=CD。

在Rt△BDE和Rt△CDF中,

BD=CD,BE=CF,

∴△BDE≌△CDF。

点评 解答此题首先应准确找出全等三角形,然后再寻找满足全等的条件。敏锐的观察力是识图能力的一个重要方面,丰富的想象力是证明问题的起点。

三、组合型

例3如图3,给出五个等量关系:①AD=BC;②AC=BD;③CE=DE;④∠D=∠C;⑤∠DAB=∠CBA。请你以其中两个为条件,另三个中的一个为结论,写出一个正确论断(只需写出一种情况),并说明理由。

解析本题提供了五个等量关系,从中选择两个作为条件,另一个作为结论,写一个正确论断,这可以借助全等三角形的知识解决。因为选两个等量关系,所以还需要从图形中寻找隐含的相等关系才能说明三角形全等。如选①AD=BC、②AC=BD,再加上公共边AB=BA,可得到△ABD≌△BAC,所以有④∠D=∠C;如选③CE=DE、④∠D=∠C,再加上对顶角∠DEA= ∠CEB,可得到△DEA≌△CEB,所以有①AD=BC。还可得到其他一些情况,请你试一试。

如图3,已知AD=BC,AC=BD,求证:∠D=∠C。

证明:在△ABD和△BAC中,AD=BC,AC=BD,AB=BA, ∴ △ABD≌△BAC。

∴ ∠D=∠C。

四、实际应用型

例4 如图4,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三块,现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是 ()。

A.带①去B.带②去C.带③去D.带①和②去

解析这里所说的最省事的办法当然是指在破碎的三块玻璃中,能只带其中一块或两块去配就行。通过对三块玻璃①、②、③的观察,根据三角形全等的判定定理“ASA”,可知③中含有原三角形玻璃的两个角和夹边,这样就可确定三角形的形状。因此,只需带③去配就行,即应选C。

点评本题是一道实际生活问题,要灵活运用所学三角形的基本知识,并注意与生产实践相结合。运用数学知识解决一些实际问题,也是近年来中考命题的一个方向。

五、方案设计型

例5如图5,是一个正方形的门窗,在装修房屋时,为了把它设计成美观大方的图案,设计师要求在正方形中设计若干个全等的三角形,使其面积之和等于正方形的面积,请你按要求在正方形中画出你的设计图形。

解析此问题答案不唯一,设计方案多种多样,给解答者留有充分的思考余地和创新空间,下面根据全等三角形性质给出几种设计图形供参考(如图5-1、图5-2、图5-3所示)。有兴趣的同学,还可以另外设计一些其他图形。

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4.全等三角形证明题练习(提高题) 篇四

1.如图所示，△ABC≌△ADE，BC的延长线过点E，∠ACB=∠AED=105°，∠CAD= 10°，∠B=50°，求∠DEF的度数。

O

2.如图，△AOB中，∠B=30°，将△AOB绕点O顺时针旋转52°得到△A′OB′边 A′B′与边OB交于点C（A′不在OB上），则∠A′CO的度数为。

3．如图所示，在△ABC中，∠A=90°，D,E分别是AC,BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC,则∠C的度数是。

4.如图所示，把△ABC绕点C顺时针旋转35°，得到△A′B′C,A′B′交AC于点D，若∠A′DC=90°，则∠A=。

A

D C C B B D A E5．已知，如图所示，AB=AC,AD⊥BC于D,且AB+AC+BC=50cm,而AB+BD+AD=40cm,则AD=.6．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,分别过点B，C,作过点A的直线的垂线BD,CE,垂足为D,E，若BD=3，CE=2,则DE=.7．如图所示，在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，DE⊥AB于E,DF⊥AC于F, △ABC的面积是28cm2,AB=20cm,AC=8cm,求DE 的长。

B D C

8.如图所示，已知，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F ,且有BF=AC,FD=CD.求证：BE⊥AC

B

D

E

C

9．△DAC, △EBC均是等边三角形，AE,BD分别与CD,CE交于点M,N,求证：（1）AE=BD(2)CM=CN(3)△CMN为等边三角形（4）MN∥BC

C

B

10．已知：如图1，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN交

MC于点E，BM交CN于点F．(1)求证：AN=BM；(2)求证：△CEF为等边三角形；

(3)将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90 O，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）．

11．如图所示，已知△ABC和△BDE都是等边三角形。下列结论：① AE=CD；②BF=BG；③BH平分∠AHD；

④∠AHC=600,⑤△BFG是等边三角形；⑥ FG∥AD。其中正确的有（）A 3个B 4个C 5个

D 6个

A

B

D

12.已知：BD，CE是△ABC的高，点F在BD上，BF=AC,点G在CE的延长线上，CG=AB.求证:AG⊥AF

C

13.如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD、AG。求证：（1）AD=AG，（2）AD与AG的位置关系如何。

G

F

EA

B

14.如图，已知E是正方形ABCD的边CD 的中点，点F在BC上，且∠DAE=∠FAE.求证：AF=AD+CF

C

A D

E

B

F

C

15.如图所示，已知△ABC中，AB=AC,D是CB延长线上一点，∠ADB=60°，E是AD上一点，且DE=DB,求证：AC=BE+BC

E D

B

C

16.如图所示，已知在△AEC中，∠E=90°，AD平分∠EAC,DF⊥AC,垂足为F,DB=DC.求证：BE=CF.C

F

17.已知：如图3-50，AB=DE，直线AE，BD相交于C，∠B＋∠D=180°，AF∥DE，交BD于F．求证：CF=CD．

18.已知：如图，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，且

BD=CD求证：⑴△BDE≌△CDF⑵点D在∠A的平分线上

E

D

B

AC

F

5.全等三角形的证明题综合整理 篇五

1.已知：如图 , AB=CD , AE=DF , 且AEBC于E , DFBC于F． 求证：∠B=∠C

2.已知：如图 , E, B, F, C四点在同一直线上, ∠A=∠D=90° , BE=FC, AB=DF． 求证：∠E=∠C

3.已知：如图 , DN=EM , 且DN⊥AB于D , EM⊥AC于E , BM=CN． 求证：∠B=∠C.4.如图 , ABBC于B , ADDC于D , 且CB=CD , AC , BD相交于O． 求证：∠ABD=∠ADB

5.已知：如图 , CE⊥AB于E , BF⊥CD于F , 且BF=CE． 求证：BE=CF．

6.求证：一直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．

7.已知：如图 , AE , FC都垂直于BD , 垂足为E、F , AD=BC , BE=DF． 求证：OA=OC.8.已知：如图 , AB=CD , D、B到AC的距离DE=BF． 求证：AB∥CD．

9.已知：如图 , OC=OD , ADOB于D , BCOA于C.求证：EA=EB．

10.如图 , 已知：∠ACB和∠ADB都是直角 , BC=BD , E是AB上任一点 , 求证：CE=DE．

11.已知：如图，∠A=∠D=90°，AC，BD交于O，AC=BD.求证：OB=OC．

12.已知：如图 , 四边形ABCD中 , AB∥CD , AD∥BC． 求证：△ABD≌△CDB

13.如图,已知:AD∥BC,AD=BC．求证:AB∥CD．

14.如图,已知:AC=DF,AC∥FD,AE=DB,求证:△ABC≌△DEF

15.已知:如图,点B,E,C,F在同一直线上,AB∥DE,且AB=DE,BE=CF.求证:AC∥DF．

16.已知:如图,AD是BC上的中线 ,且DF=DE．求证:BE∥CF．

17.如图 , △ABC中 , AD是从顶点A引出的一射线交BC于D , BE⊥AD于E , CF⊥AD于F , 且BE=CF , 求证：BD=DC

18.如图, AB, CD, EF交于O点, 且AC=BD, AC∥DB.求证：O是EF的中点．

19.已知：如图 , AB⊥BC于B , EF⊥AC于G , DF⊥BC于D , BC=DF． 求证：AC=EF．

20.已知：如图 , AD为CE的垂直平分线 , EF∥BC.求证：△EDN≌△CDN≌△EMN．

21.已知：如图AB=CD,AD=BC 求证：AD∥BC

22.已知：如图 , △ABC和△ADC有公共边AC , E是AC上一点 , AB=AD , BE=DE． 求证：∠ABC=∠ADC

23.已知：如图 , 点A、C、B、D在同一条直线上 , AC=BD , AM=CN , BM=DN 求证：AM∥CN , BM∥DN 24.已知：如图 , AB=AE , AC=AD , BC=DE , C , D在BE边上． 求证：∠CAE=∠DAB．

25.已知:如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=BC．求证:∠B=∠D．

26.已知:如图,点E、F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C．求证:AF=DE．

27.已知：如图 , E、D、B、F在同一条直线上 , AD∥CB , ∠BAD=∠BCD , DE=BF． 求证：AE∥CF

28.已知：如图 , AB=AC , AD=AE , 求证：△OBD≌△OCE

29.已知：如图 , AE=BF , AD∥BC , AD=BC.AB、CD交于O点． 求证：OE=OF．

30.已知：如图AC⊥CD于C , BD⊥CD于D , M是AB的中点 ,连结CM并延长交BD于点F．

求证：AC=BF．

31.已知：如图 , AB=DC , BD=AC , AC , BD交于O． 求证：△AOB≌△DOC． 32.如图 , 已知：AB=AC , BD=CD , E为AD上一点 , 求证：∠BED=∠CED

33.已知：如图 , AD=AE , BD=CE , AF⊥BC , 且F是BC的中点． 求证：∠D=∠E

34.已知：如图 , AB=CD , AD=BC ,O为BD中点 , 过O作直线分别与DA、BC的延长线交于E、F．求证：OE=OF

35.已知：如图 , ∠1=∠2 , AB⊥BC , AD⊥DC , 垂足分别为B、D ． 求证：AB=AD．

36.如果两个三角形的两角和夹边上的高对应相等 , 那么这两个三角形全等．

37.如图在△ABC和△DBC中 , ∠1=∠2 , ∠3=∠4 ,P是BC上任意一点．求证：PA=PD.38.已知：如图 , E是AD上的一点 , AB=AC , AE=BD , CE=BD+DE． 求证：∠B=∠CAE．

39.已知：如图 , AB=CD , BC=DA , E、F是AC上两点 , 且AE=CF． 求证：BF=DE

40.已知:如图,∠1=∠2,BD=CD,求证:AD是∠BAC的平分线．

41.已知:如图,∠1=∠2,BE=CF,AC=DE,E、C在直线BF上．求证:∠A=∠D

42.已知:如图,点A、B、C、D在同一条直线上,AC=DB,AE=DF,EA⊥AD,FD⊥AD,垂足分别是A、D.求证:BE∥CF

43.如图:已知AE=CE,BE=DE,∠1=∠2 求证:AB=CD

44.已知 ：如图 , A、E、F、B在一条直线上 , AC=BD , AE=BF , CF=DE． 求证：AD=BC．

45.已知 ：如图 , 四边形 ABCD中 , AD∥BC , F是AB的中点 , DF交CB延长线 于E , CE=CD．

求证：∠ADE=∠EDC． 46.如图,有一池塘,要测池塘两端A、B的距离,可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C,连结AC并延长到D,使CD=CA.连结BC并延长到E,使EC=CB,连结DE,量出DE的长,就是A、B的距离.写出你的证明．

47.已知:如图,AM=BM,∠CMB=∠DMA,MC=MD．求证:AC=BD

48.已知:如图,AB=AC,AE平分∠BAC.求证:∠DBE=∠DCE．

49.已知：如图 , E、F是DA、BC延长线上的点 , AD=BC ,AB=CD ,∠E=∠F．求证：EB∥DF．

50.如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线对应相等 , 那么这两个三角形全等．

51.已知：如图 , OA=OE , OB=OF , 直线FA与BE交于C , AB和EF交于O , 求证：∠1=∠2．

52.已知:如图,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求证:BD=CE

53.已知:如图,△ABC中,点E、F分别在AB、AC边上,点D是BC边中点,且EF∥BC,DE=DF． 求证:∠B=∠C 54.已知:如图,AC、BD相交于O点,O是AC、BD的公共中点.求证:AB∥CD,AD∥BC．

55.已知：如图 , BC是△ABC和△DCB 的公共边 , AB=DC , AC=DB , AE、DF分别垂直BC于E , F． 求证：AE=DF．

56.已知 ：如图 , AB=AC , EB=EC , AE的延长线交BC于D． 求证：BD=CD．

57.如图:已知,AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠CAE,求证:BE=CD

58.如图,△ABC中,∠ACB=90°,CE⊥AB于E,AD=AC,AF平分∠CAE交CE于F． 求证:FD∥CB

59.已知:如图,D、E分别是△ABC的边AB,AC的中点,点F在DE的延长线上,且EF=DE． 求证:(1)BD=FC(2)AB∥CF

60.已知:如图,AC=AB,AE=AD,∠1=∠2.求证:∠3=∠4

61.求证:全等三角形对应中线相等． 62.如图,已知:△ABC中,BE,CF分别为AC边和AB边上的高,在BE上截取BP=AC,延长CF,并截取CQ=AB.求证:AP=AQ．

63.已知：如图∠1=∠2 , ∠3=∠4.求证：AD=BC AC=BD．

64.已知：四边形ABCD中 , AC、BD交于O点 , AO=OC , BAAC，DCAC垂足分别为A , C．求证：AD=BC

65.求证：三角形一边的两个端点 , 到这边上的中线的距离相等．

66.已知：如图 , AB=AD , DC=CB．求证：∠B=∠D

67.已知:如图,AB=DC,OC=OB,AB、CD交于点O．求证:AC=DB．

68.已知：如图 , AB∥CD , ∠1=∠2 , O是AD的中点 , EF、AD交于O． 求证：O也是EF的中点．

69.已知：如图 , FB=CE , AB∥ED , AC∥FD.F、C在直线BE上． 求证：AB=DE , AC=DF．

70.已知：如图 , ∠1=∠2 , ∠3=∠4 , DE=CE．E是BC上的一点． 求证：AE=BE

71.已知：如图AC∥BD , AE和BE分别平分∠CAB和∠DBA , CD过点E． 求证AB＝AC＋BD

72.已知：如图 , ∠1=∠2 , ∠3=∠4． 求证：∠ADC=∠BCD

73.已知：如图：AB=CD , BE=CF , AF=DE． 求证：△ABE≌△DCF

74.已知：如图 , AB=AC , AD=AE , BD=CE． 求证：∠BAC=∠DAE．

75.如图 , 已知：DC=AB , DF=BE , CF=AE , 求证：AO=CO EO=FO．

6.例谈有关全等三角形的探索题 篇六

一、探索条件型

这类题目的特点是由给定的结论逆求需具备的条件.解答时，我们要注意变换思维角度.

例1已知：如图1，CD是Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的角平分线AE交CD于F，G是AB上一动点，试求当AG满足什么条件时，FG∥ BC.

分析：若FG∥ BC，则∠B =∠AGF.由∠ACB=∠BDC = 90O可得∠ACD +∠BCD＝∠B +∠BCD，所以∠ACD =∠B =∠AGF.又因为∠1 =∠2，AF = AF，故△ACF≌△AGF，于是AG = AC.故 当AG = AC时，FG∥BC.

二、探索结论型

这类题目一般是由给定的已知条件探求相应的结论，它突破了过去那种题设和结论都明确的封闭模式.同学们须具有较强的综合分析的能力和归纳推理的能力，才能轻松解决此类问题.

例2 如图2，BE和CF是△ABC的高，在BE上截取BD = AC，在CF的延长线上截取CG = AB，探究AG与AD之间的关系，并证明.

分析：由题设知∠1 +∠BAE = 90O，∠2 +∠BAE = 90O，所以∠1=∠2. 又因为BD = AC，CG = AB，故△ABD≌△ACG. 则有AD = AG，∠3 =∠G.由∠4 +∠G=90O得∠3 +∠4 = 90O，即AG⊥AD，所以AG与AD之间是垂直且相等的关系.

三、探索开放型

此类题目的条件和结论都不明确，答案多样，具有开放性，不仅检测了同学们对基本数学思想方法的掌握程度，还考查了同学们的创新意识.

例3如图3，D、E分别是AB、AC上的点，有下列三个论断：①AB = AC；②∠B =∠C； ③BD = CE.请以其中两个论断为条件，余下的一个论断作为结论，写一个正确的命题并说明理由.

分析：本题的答案较多，如选择①②可推出③.

如图3，AB = AC，∠B =∠C，求证 BD = CE.理由如下：由已知及隐含条件公共角∠A，可得△BAE ≌△CAD ，所以AD = AE，于是ABAD = ACAE，故BD = CE.

四、探索存在型

此类题目要求同学们准确把握问题的方向，再经过严密的逻辑推理，对“是否存在”作出正确的判断.一般的解题思路是：假设“存在”——演绎推理——得出结论（合理，则存在；矛盾，则不存在）.

例4 如图4，△ABC中，∠C=90O， AC= BC，AD是∠CAB的角平分线，问能否在AB上找到一点E，使△BDE的周长等于AB的长？请说明理由.

分析：过D作DE ⊥AB于E，只需证E点为所求即可.由∠1=∠2， ∠C =∠DEA = 90O，AD = AD，可得△ACD≌△AED. 则有AC = AE，DC = DE，于是DE + BD + BE = CD + BD + BE = BC + BE = AE + BE = AB.故能在AB上找到一点E，使△BDE的周长等于AB的长.

五、探索变换型

这类题目的特点是图形不断进行演变，要求同学们能够探索变化前后的图形的结构特征，并合理地猜想，严谨地论证.

例5 已知：如图5，在△ABC中，∠BAC=90O，AB = AC，AE是过A点的一条直线，BD⊥AE于D，CE ⊥AE于E.

（1）求证：DE = BD + CE；

（2）若直线AE绕A点旋转到图6的位置时，其余条件不变，问DE与BD、CE的关系如何？请将图形画完整并给予证明.

分析：（1）在图5中，因为∠1 +∠2 =90 O，∠2 +∠3 = 90O，所以∠1=∠3.又∠BDA =∠AEC = 90O，AB = AC，故△ADB≌△CEA.则有BD = AE，CE = DA，故DE = DA + AE = CE + BD.

（2）在图6中，用与（1）类似的方法可得到DE = BDCE.有兴趣的同学可以证一证.

练习：

1.如图7，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥ AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F， 连接EF. 探究EF与AD之间的关系，并证明你的结论.

2.如图8，在四边形ABCD中，AB = AD，AC平分∠BCD，AE⊥BC于E，AF⊥ CD于F. 判断图中有无与△ABE全等的三角形，并说明理由.

参考答案：

1. AD垂直平分EF； 2. △ABE≌△ADF.

7.全等三角形证明基础练习 篇七

1、如图1，△ABC≌△DEF，∠A=∠D，AB=DE，找出另外两对相等的边和相等的角。DA

BCE

图1 F2、如图2，AO=DO，BO=CO，AB与CD相等吗？说明理由。A

O

C

图

2图

13、如图2，BO=CO，AB∥CD，求证（1）△ABO≌△DCO（2）AO=DO4、如图1，已知∠B=∠DEF，AB=DE，BE=CF，求证（1）△ABC≌△DEF；（2）AC=DF

F5、如图3，∠F=∠C，∠B=∠A，EF=EC，△EFB≌△ECA吗？写出证明过程。

E

B图

36、如图

4、O是AC、BD中点，找出其中两对全等三角形，并证明。

D

图4ABDCABC7、图5，A、B、C、D在同一直线上，AE=DF，BE=CF，AC=BD，求证：△ABE=≌△DCFEA

B

图

58、如图5，A、B、C、D在同一直线上，AE∥DF，AE=DF，AC=BD，求证：△ABE≌△DCF9、如图5，A、B、C、D在同一直线上，AE∥DF，AB=CD，BE∥CF，求证：△ABE≌△DCF10、如图5，A、B、C、D在同一直线上，AE∥DF，∠E=∠F，AE=DF，求证：AC=BD

D

A11、12、13、14、15、如图6，AB=AD，AC=AE，∠BAC=∠DAE，求证：∠B=∠D

B

图6

D

如图6，AB=AD，∠BAE=∠DAC，AC=AE，求证：∠C=∠E

如图7，AD=BC，AE=CF，∠DAE=∠BC F，求证：DE=BF D

图7

C

A

B

如图7，AD∥BC，AD=BC，AE=CF，求证：△ADE≌△CBF

如图7，AD∥BC，DE∥BF，AF=CE，求证：△ADE≌△CBF

A16、17、18、如图8，AB=AC，AF=AE，求证：△ABE≌△ACF

FB

图8

E

C

如图8，AF=AE，BF=CE，求证：△ABE≌△ACF

如图8，AB=AC，F、E分别是AB、AC中点，求证：（1）△ABE≌△ACF

（2）△BOF≌△COE

D19、如图

9、AB=DC，∠ABC=∠DCB，求证：△ABC≌△DCB

B

图920、如图9，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：（1）△ABC≌△DCB（2）AB=DC（3）△ABO≌△DCO

8.证明三角形全等专项练习试题 篇八

一、全等三角形

1.定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

理解：①全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关；②一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等三角形；③三角形全等不因位置发生变化而改变。

2、全等三角形有哪些性质

（1）全等三角形的对应边相等、对应角相等。

理解：①长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角；②对应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角。

（2）全等三角形的周长相等、面积相等。

（3）全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。

3、全等三角形的判定

边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS”)

这个角的平分线。

1、性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.2、判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

例题：

1.如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．

(1)求证：ABE≌△CAD；

(2)求∠BFD的度数．

2.如图，在△ABE中，AB＝AE,AD＝AC,∠BAD＝∠EAC, BC、DE交于点O.求证：(1)△ABC≌△AED；(2)OB＝OE.E

3.如图，在△ABC和△DCB中，AB = DC，AC = DB，AC与DB交于点M．（1）求证：△ABC≌△DCB ；

（2）过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段

BN与CN的数量关系，并证明你的结论．

BC

N

4.在⊿ABC中，∠ACB的平分线交AB于E，过E点作BC的平行线交AC于F，交外角∠ACD的平分线于G。求证：F为EG的中点。

6． 已知：如图13－4，AE=AC，AD=AB，∠EAC=∠DAB，求证：△EAD≌△CAB．

7． 如图13－5，△ACD中，已知AB⊥CD，且BD>CB, △BCE和△ABD都是等腰直角三角形，王刚同学说有下列全等三角形：①△ABC≌△DBE；②△ACB≌△ABD；

③△CBE≌△BED；④△ACE≌△ADE．这些三角形真的全等吗？简要说明理由．

8． 已知，如图13－6，D是△ABC的边AB上一点, DF交AC于点E, DE=FE, FC∥AB,求证：AD=CF．

A

图13－

4B

B

图13－

5B

图13－6

C F9、（5分）如图：AC=DF，AD=BE，BC=EF。求证：∠C=∠F。

EBD

A

CF10、（6分）如图：AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，AFD=CD。求证：BE⊥AC。E F

BC D

A

11、（7分）如图：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，C，D。C求证：（1）OC=OD，（2）DF=CF。

12、（8分）如图：在△ABC，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F。求证：AF平分∠BAC。A

E

F

CD

O

DF

9.刘老师三角形全等的证明专题 篇九

（1）条件充足时直接应用

例1 已知：如图1，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，ABD、CE交于点O，且AO平分∠BAC．

那么图中全等的三角形有___对．

ED

O

BC

（2）条件不足，会增加条件用判别方法

解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，逐步 A例2 如图2，已知AB=AD，∠1=∠2，要使△ABC≌△ADE，还需添加的条件是（只需填一个）_____．B

ED

C（3）条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线选用判别方法 A

例3 已知：如图3，AB=AC，∠1=∠2．

求证：AO平分∠BAC．

12OBC

（4）条件中没有现成的全等三角形时，会通过构造全等三角形用判别方法 C例4 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90º，AC=BC，D为BC的中点，CE⊥AD于E，交AB于F，连接DF． DE求证：∠ADC=∠BDF．

BAF

G

说明：常见的构造三角形全等的方法有如下三种：①涉及三角形的中线问题时，常采用延长中线一倍的方法，构造出一对全等三角形；②涉及角平分线问题时，经过角平分线上一点向两边作垂线，可以得到一对全等三角形；③证明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短”法可以构造一对全等三角形．

练习：

1．已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，AB∥FC，DF交AC于点E，DE=FE．求证：AE=CE．

2．如图，在△ABC中，点E在BC上，点D在AE上，已知∠ABD=∠ACD，∠BDE=∠CDE．

A求证：BD=CD．

D

BCE

3．用有刻度的直尺能平分任意角吗？下面是一种方法：如图所示，先在∠AOB的两边上取OP=OQ，A再取PM=QN，连接PN、QM，得交点C，则射线OC

平分∠AOB．你能说明道理吗？M

PC

OQNB

4．如图，△ABC中，AB=AC，过点A作GE∥BC，角平分线BD、CF相交于点H，它们的延长线分别交GE于点E、G．试在图10中找出3对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明．

P A

GE

FH

ACDBBC

5．已知：如图，点C、D在线段AB上，PC=PD．请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明．所添条件为__________，你得到的一对全等三角形是△_____≌△_____．

A7．如图，在△ABD和△ACD中，AB=AC，∠B=∠C．求证：△ABD≌△ACD．

BC

D

8．如图14，直线AD与BC相交于点O，且AC=BD，AD=BC．求证：CO=DO．CD

BA

9．已知△ABC，AB=AC，E、F分别为AB和AC延长线上的点，且BE=CF，EF交BC于G．求证：EG=GF．A

E

C BG F

A10．已知：如图16，AB=AE，BC=ED，点F是CD的中点，AF⊥CD．求证：∠B=∠E．

10.三角形全等证明经典题 篇十

1.如果△ABC和△DEF全等，△DEF和△GHI全等，则△ABC和△GHI______全等， 如果△ABC和△DEF不全等，△DEF和△GHI全等，则△ABC和△GHI______全等.(填“一定”或“不一定”或“一定不”)

2.如下图，△ABC≌△ADE，则，AB= ，∠E=∠ .若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC= ()°.

3.如图1，点D， E是BC上两点，且 ， ，要使 ，根据SSS的判定方法还需要给出的条件是______或______.

4.如图5,在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于 D,DE⊥AB于E，且AB=6 cm，则△DEB的周长为___________cm.

11.三角形全等证明经典题 篇十一

1、如图，在直角三角形ABC中，∠BAC =90，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上且AD=AE，连接CD，BE，过点A作AF⊥BE交BC于F，过点F作FG⊥CD交CA于G.BE与CD交于点O，证明：

（1）∠AFB=∠GFC；（2）AE=CG

提示：（1）证明△DBC≌△EBC

（2）连接AO，证明△ADO≌△GCF(ASA)（AO=CF,∠DAO=∠DCF=45，∠ADC=∠GFC）先证明△AOB

≌△ACF（∠BAO=∠ACF=45,AB =AC,∠ABO=∠FAC同角余角相等）从而得出AO=CF



2、如图，在等腰Rt△ABC中，ABC90，ABBC，D为斜边AC延长线上一点,过D

点做BC的垂线交其延长线于点E，在AB的延长线上取一点.（1）若AB=2，BF=3，求AD的长度

（2）G为AC中点，连接GF，求证：AFGBEF提示：（1）连接DF，可证四边形DEBF为矩形，得出△DAF为等腰直角三角形，答案为5√2（2）连接GE和BG

证明△ECG≌△GBF(GC=BG,∠ECG=∠GBF=135，EC=BF)得出EG=GF, ∠GEC=∠GFB,等角对等角 A3、如图，在△ABC中，∠ACB=45°，AD是△ABC的高，在AD上取点E，使得DE=DB，连接CE

并延长，交边AB于点F，连接DF.（1）求证：AB=CE；（2）求证：BF+EF=2FD.提示：（1）证明△ABD≌△DEC(SAS)

(2)在EC上截取EG=BF,证明△FDG为等腰三角形[先要证明△FBD≌△EDG（FB=EG, ∠FBD=∠DEG=45，BD=DE）]

4、如图，△ABC中，CA=CB，∠ACB=90，D为△ABC外一点，且AD⊥BD，BD交AC于E，G为BD

上一点，且∠BCG＝∠DCA，过G点作GH⊥CG交CB于H．（1）求证：CD＝CG；

（2）若AD＝CG，求证：AB＝AC＋BH．

提示：（2）延长CG与AB交于点M，证明AC=AM，利用等角对等边证明，可证明出∠GCB=∠CGB=22.55、如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．

（1）求证：DE平分∠BDC；

（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD．

提示：连接CM，证明△BDC≌△MCE(△DCM为正三角形)

6、如图，在ABC中，ABBC,ADBC于点D，点E为AC中点，连接BE交AD于点

F，且BF=AC，过点D作DG//AB交AC于点G。

GC。求证：（1）

BAD2DAC；（2）

提示：（1）BE为AC的中垂线，可求出∠DAC=22.5，∠

BAD=4

5（2）连接FG，证明△EFG为等腰直角三角形，在证明△FDG≌△CDG(SAS)

7.△ACB中，AC=BC,∠ACB=90°,E点和F点分别在AC和BC边上，且CE=CF，AF与BE交于G点，（1）求证：△ACG≌△BCG；

（2）若∠AGE=45°，延长CG交BA于H点，求证：AE=2HG.提示：（2）过点H作HM∥AE交BE于点H，则由中位线得出AE=2HM，在证明

HG=HM（∠HGM=∠HMG=67.5）

CFB

8.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD =120°，连接AC，BD交于点E．⑴若BC=CD=2，M为线段AC上一点，且AM：CM=1:2，连接BM，求点C到BM的距离．⑵证明：BC+CD=AC． 提示：（1）利用面积相等

439

3（2）延长BC至F，使得CF=CD

9.如图，等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，点D、F为BC边上的两点，CD=BF，连接AD，过点

C作AD的垂线交AB于E点，连接EF．

（1）若∠DAB=15°，AB

＝DF的长；

（2）求证：∠EFB=∠CDA

10.如图，△ABC中，∠ABC=45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，BM交CD于点E，且点E为CD的中点，连接MD，过点D作ND⊥MD于点D，DN交BM于点N．

A

（1）若BC=22，求△BDE的周长；（3+√5）

D

（2）求证：NE－ME=CM．（过点D作DH垂直MN）

M

B

C

11.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，延长BC到D，使BD=2BC，连接AD，过C作CE⊥BD交AD于点E，连接BE交AC于点O.（1）求证：∠CAD=∠ABE.（2）求证：OA=OC（利用中位线可以做出，方法）

CD

O

B

E

12.全等三角形证明专题（共） 篇十二

垂足，过B作BD⊥BC交CF的延长线于点D.（1）求证：AE=CD；（2）AC=12cm,求BD的长.F2、（10分）如图，AB=CD,AE⊥BC于E,DF⊥BC于F，CE=BF,连接AD交EF于点O，猜想O为

那些线段的中点？请选择其中一种结论证明.EO3、（12分）如图，在梯形ABCD中，AB//CD, ∠A=90°,AB=2,BC=3,CD=1,E是AD的中点，求

证：CE⊥BE.D C

E

BA4、如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2=15，求△PMN的周长。（7分）

5．在△ABC中,∠ACB＝90o,AC＝BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于

E.（10分）

（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证: DE＝AD＋BE

（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系.6、如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥GF交AB于点E，连接EG。（10分）（1）求证：BG=CF；

（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并证明。

E

A C

B7、（本题10分）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，求△ABC的周长为。

A

B8、（本题10分）如图:△ABC和△ADE是等边三角形.证明：BD=CE.A

B

D

E

C

9.（本题满分7分）如图16，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，CF、BE相交于点D，且BD＝CD.求证：AD平分∠BAC.F

A

图16 10.（本题满分7分）数学课上，张老师画出图17，并写下了四个等式：

①

AB=DC，②BE=CE，③∠B

=∠C，④∠

BAE =∠CDE． 要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出△AED是等腰三角形．请你试着完成．．．．．．张老师提出的问题，并说明理由．（写出一种即可）已知：＿＿＿＿＿＿＿＿（填番号）． 求证：△AED是等腰三角形． 证明：

A

D

图17 11．（6分）如图：FG是OA上两点，MN是OB上两点，且FG=MN，△PFG的面积＝△PMN的面积

试问，点P是否在∠AOB

12.（本题满分7分）

（1）如图18 ①，点C在线段AB上，△ACM，△CBN都是等边三角形，求证：∠1=∠2；（2）△CBN固定不动，将△ACM绕点C按逆时针方向旋转（△CBN和△ACM不重叠），如图18 ②，AN、BM交点E,其它条件不变，求∠BEN的大小.N

N

EM

2A

C 图18 ①

A

图18 ②

B

B

13．（本题满分8分）如图19在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，且BE=CD，BD=CF.（1）求证：△BED≌△CDF；（2）当∠A=50°时，求∠EDF的度数；（3）试判断△EDF可能是等腰直角三角形吗？(写出结果不证明)

D

图19

14.如图，A、B两点是湖两岸上的两点，为测A、B两点距离，由于不能直接测量，请你设计一种方案，测出A、B两点的距离，并说明你的方案的可行性。

15．八（1）班同学到野外上数学活动课，为测量池塘两端A、B

（Ⅰ）如图1，先在平地上取一个可直接到达A、B的点C，连接AC、BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC=AC，EC=BC，最后测出DE的距离即为AB的长；

（Ⅱ）如图2，先过B点作AB的垂线BF，再在BF上取C、D两点使BC=CD，接着过D作BD的垂线DE，交AC的延长线于E，则测出DE的长即为AB的距离.16．（8分）已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF＝DC，AB＝DE，BC＝EF，求证：△ABC≌△DEF．

A

C

E