八年级下册拓展资源——勾股定理与第一次数学危机

2024-07-10

八年级下册拓展资源——勾股定理与第一次数学危机（共7篇）

1.八年级下册拓展资源——勾股定理与第一次数学危机篇一

一、教学目标

(一)知识目标

1、创设情境引出问题，激起学生探索直角三角形三边的关系的兴趣。

2、让学生带着问题体验勾股定理的探索过程，并正确运用勾股定理解决相关问题。 (二)能力目标

1、培养学生学数学、用数学的意识和能力。

2、能把已有的数学知识运用于勾股定理的探索过程。

3、能熟练掌握勾股定理及其变形公式，并会根据图形找出直角三角形及其三边，从而正确运用勾股定理及其变形公式于图形解决相关问题。 (三)情感目标

1、培养学生的自主探索精神，提高学生合作交流能力和解决问题的能力。

2、让学生感受数学文化的价值和中国传统数学的成就，激发学生的爱国热情，培养学生的民族自豪感，教育学生奋发图强、努力学习。

二、教学重点

通过图形找出直角三角形三边之间的关系，并正确运用勾股定理及其变形公式解决相关问题。

三、教学难点

运用已掌握的相关数学知识探索勾股定理。

四、教学过程

(一)创设情境，引出问题

想一想：

小明妈妈买了一部29英寸(74厘米)的电视机，小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你同意他的想法吗?你能解释这是为什么吗?

要解决这个问题，必须掌握这节课的内容。这节课我们要探讨的是直角三角形的三边有什么关系。

- 1 -

(二) 探索交流，得出新知

探讨之前我们一起来回忆一下直角三角形的三边：

如图，在Rt △ABC 中，∠C=90° ∠C 所对的边AB ：斜边c ∠A 所对的边BC ：直角边a ∠B 所对的边AC ：直角边b

问题：在直角三角形中，a 、b 、c 三条边之间到底存在着怎样的关系呢? (1)我们先来探讨等腰直角三角形的三边之间的关系。

这个关系25前已经有数学家发现了，今天我们把当时的情景重现，

请同学们也来看一看、找一找。

如图

数学家毕达哥拉斯的发现：S A +SB =SC

即：a 2+b2=c2

也就是说：在等腰直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。

议一议：如果是一般的直角三角形，两直角边的平方和是否还会等于斜边的平方? 如图

分析： SA +SB =SC 是否成立?

(1)正方形A 中含有个小方格，即S A = 个单位面积。 (2)正方形B 中含有个小方格，即S B = 个单位面积。 (3)由上可得：S A +SB = 个单位面积问题：正方形C 的面积要如何求呢?与同伴进行交流。方法一：

“补”成一个边长为整数格的大正方形，再减去四个直角边为整数格的三角形方法二：分割成四个直角边为整数格的三角形，再加上一个小方格。综上：

我们得出：S A +SB =SC

即：a +b=c

- 2 -

也就是说：在一般的直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。

概括：

勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方

数学语言描述：

如图，在Rt △ABC 中，a 2+b2=c2

(用多媒体简单介绍勾股定理的名称由来、中国古代的数学成就及勾股定理的“无字证明”) (三)应用新知，解决问题

例1：求出下列直角三角形中未知边x 的长度 5

注意：要根据图表找出未知边是斜边还是直角边，勾股定理要用对。

从上面这两道例题，我们知道了在直角三角形中，任意已知两边，可以求第三边。即勾股定理的变形公式：如图，在Rt △ABC 中

(1)若已知a ，b 则求c 的公式为：c =(2)若已知a ，c 则求b 的公式为：b =(3)若已知b ，c 则求a 的公式为：a =

a +b c -a c -b

例2：如图，在直角三角形ABC 中, ∠C=900, A

(1) 已知: a=5, b=12, 求c;

(2) 已知: b=8,•c=10 , 求(3) 已知: a=

3, c=2, 求请同学们利用这节课学到的勾股定理及推论解决我们课前提出的问题：

电视屏幕：

解：在Rt △ABC 中，AB=46厘米，BC=58厘米

由勾股定理得：AC=

46AB

+BC

=46+58

≈74(厘米)

∴不同意小明的想法。

- 3 -

58厘米

(四)归纳总结

(1)这节课你学到了什么知识?

①勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 ②在直角三角形中，任意已知两边，可以用勾股定理求第三边。 (2) 运用“勾股定理”应注意什么问题? ①要利用图形找到未知边所在的直角三角形; ②看清未知边是所在直角三角形的哪一边; ③勾股定理要用对。

(五)练习巩固

(1)、如图，受台风“麦莎”影响，一棵树在离地面8米处断裂，树的顶部落在离树跟底部6米处，这棵树折断前有多高?

(2)、学校有一块长方形的花圃，经常有同学为了少走几步而走捷径，

于是在草坪上开辟了一条“新路”，他们这样走少走了______步.

(每两步约为1米) 3 (3)、已知：Rt △ABC 中，AB =4，AC =3, 则BC 的长为___________。 (六)作业

1. A、B 、C 组：课本第69、70页，习题18.1 第1, 2，3题. 2. A、B ：练习册33、34页

3.A ：课本第71页“阅读与思考”，了解勾股定理的多种证法。

2.八年级下册拓展资源——勾股定理与第一次数学危机篇二

一、教材分析

（一）教材所处的地位及作用：

勾股定理是几何中几个重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三边的数量关系，它可以解决直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要根据之一，在实际生活中用途也很大。它在数学的发展中起过重要的作用。学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。

（二）学情分析：

前面，学生已具备一些平面几何的知识，能够进行一般的推理和论证，但如何通过面积法（拼图法）证明勾股定理，学生对这种解决问题的途径还比较陌生，存在一定的难度，因此，我采用多媒体等手段进行直观教学，让学生动手、动口、动脑，化难为易，深入浅出，让学生感受学习知识的乐趣。

（三）教学目标：

1、知识与能力：了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理；

2、过程与方法：经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学发现过程，发展合情合理的推理能力，沟通数学知识之间的内在联系，体会“数形结合”和“特殊到一般”的思想方法。

3、情感态度与价值观：通过介绍中国古代研究勾股定理的成就，激发学生的爱国热情，感受数学文化，激发学生学习的热情。

（三）教学重点、难点：教学重点：探索和掌握勾股定理；

教学难点：用面积法（拼图法）证明勾股定理

二、教法分析：针对八年级学生的知识结构和心理特征，本节课可选择引导探索法，由浅入深，由特殊到一般地提出问题。引导学生自主探索，合作交流，这种教学理念反映了时代精神，有利于提高学生的思维能力，能有效地激发学生的思维积极性。

三、学法分析:在教师的组织引导下，学生采用自主探究、合作交流的研讨式学习方式,获取知识，掌握方法，借此培养学生动手、动脑、动口的能力，使学生真正成为学习的主人.四、教学过程设计：(一)回顾交流：

通过回顾交流让学生复习直角三角形的相关性质，设疑其三边有何关系，为引入勾股定理奠定基础。

（二）图片欣赏：

通过图片欣赏,感受数学美,感受勾股定理的文化价值.以激发学生的学习欲望。

（三）观察发现：

这里首先引导学生观察图

1、图

2、图3，让学生计算每个图中的三个正方形的面积，（注意：学生可能有不同的方法，只要正确合理，各种方法都应给予肯定）。然后通过探究S1、S2、S3之间的关系，进而猜想、发现得出勾股定理，并用自己的语言表达，最后，教师加以概括并简单的介绍“勾股”史，对学生进行思想情感的教育，培养学生爱国主义情感和民族自豪感。这样做不仅有利于学生主动参与探索，感受学习的过程，培养学生的语言表达能力，体会数形结合的思想；也有利于突破难点，让学生体会到观察、猜想、归纳的思路，让学生的分析问题、解决问题的能力在无形中得到提高，这对以后的学习有帮助。

（四）归纳证明：

勾股定理的证明很多，这里是利用面积法给出证明的，对于这种证明方法，以前学生从没见过，学生感到陌生，学生掌握上有一定的困难，所以，这里采取学生先自学，然后再分组讨论交流，最后，教师再给出证明方法，以便突破这一难点。接着再展示两种勾股定理的证明方法，以激发学生学习数学的热情。

（五）应用体验：

通过应用勾股定理进行简单的计算，以加深学生对勾股定理进一步的理解和掌握。

五、反思归纳：

引导学生自己对知识要点和学习思路进行反思总结，不仅体现了学生的主体性，而且也调动了学生学习的积极性。

六、布置作业：

这里布置了“课外活动”，让学生采取不同的形式查阅、收集有关勾股定理的信息进行交流，目的是要使全体学生都能参加，以提高学生的实践能力和创新意识。

板书设计：板书力求简明、扼要、突出重点、突破难点。《勾股定理》说课稿（模版二）尊敬的各位领导，各位老师：

大家好！今天我说课的内容是初中八年级数学人教版教材第十八章第一节《勾股定理》(第一课时)，下面我分五部分来汇报我这节课的教学设计,这就是“教材分析”、“学情分析”、“教法选择”、“学法指导”、“教学过程”。

一、教材分析

（一）教材地位和作用

勾股定理是几何中的重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三边的数量关系，将几何图形与数字联系起来。它在数学的发展中起过重要的作用，在生产生活中有着广泛的应用。而且它在其它自然学科中也常常用到。因此，这节课有着举足轻重的地位。

（二）教学目标

根据新课程标准的要求和本课的特点，结合学生的实际情况，我确定了本课的教学目标：

1、知识与技能方面

了解勾股定理的文化背景，经历探索勾股定理的过程，掌握直角三角形三边之间的数量关系，并能简单应用。

2、过程与方法方面

经历探索及验证勾股定理的过程,了解利用拼图验证勾股定理的方法，能感受到数学思考过程的条理性，发展数学的说理和简单的推理的意识，和语言表达的能力，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法。

3、情感态度与价值观方面

(1)通过了解勾股定理的历史，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想，激励学生发奋学习。

(2)通过研究一系列富有探究性的问题，培养学生与他人交流、合作的意识和品质。

（三）教学重点难点

教学重点：掌握勾股定理，并能用它来解决一些简单的问题。

教学难点：勾股定理的证明。

二、学情分析

我们班日常经常使用多媒体辅助教学。经过一年多的几何学习，学生对几何图形的观察，几何图形的分析能力已初步形成。部分学生解题思维能力比较高，能够正确归纳所学知识，通过学习小组讨论交流，能够形成解决问题的思路。现在的学生已经厌倦教师单独的说教方式，希望教师设计便于他们进行观察的几何环境，给他们自己探索、发表自己见解和表现自己才华的机会；更希望教师满足他们的创造愿望。

三、教法选择

根据本节课的教学目标、教学内容以及学生的认知特点，结合我校的“当堂达标”教学模式，我在教法上采用引导发现法为主，并以分析法、讨论法相结合。设计“观察--讨论—归纳”的教学方法，意在帮助学生通过自己动手实验和直观情景观察，从实践中获取知识，并通过讨论来深化对知识的理解。本节课采用了多媒体辅助教学，能够直观、生动的反应图形，增加课堂的容量，同时有利于突出重点、分散难点，增强教学形象性，更好的提高课堂效率。

四、学法指导：

为了充分体现《新课标》的要求，培养学生的观察分析能力，逻辑思维能力，积累丰富的数学学习经验，这节课主要采用观察分析，自主探索与合作交流的学习方法，使学生积极参与教学过程。在教学过程中展开思维，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，进一步体会观察、类比、分析、从特殊到一般等数学思想。借此培养学生动手、动脑、动口的能力，使学生真正成为学习的主人。

五、教学过程

根据《新课标》中“要引导学生投入到探索与交流的学习活动中”的教学要求，本节课的教学过程我是这样设计的：

（一）创设情境，引入新课

一个设计合理的情境引入可以说在一定程度上决定着学生能否带着兴趣积极投入到本节课的学习中。为了体现数学源于生活，数学是从人的需要中产生的，学习数学的目的是为了用数学解决实际问题。我设计了以下题目：

星期日老师带领全班同学去某山风景区游玩,同学们看到山势险峻,查看景区示意图得知:这座山主峰高约为900米,如图:为了方便游人,此景区从主峰A处向地面B处架了一条缆车线路,已知山底端C处与地面B处相距1200米，∠ACB=90° ,你能用所学知识算出缆车路线AB长应为多少？答案是不能的。然后教师指出，通过这节课的学习，问题将迎刃而解。

设计意图:以趣味性题目引入。从而设置悬念，激发学生的学习兴趣。教师引导学生把实际问题转化为数学问题，这其中渗透了一种数学思想，对于学生也是一种挑战，能激发学生探究的欲望，自然引出下面的环节。

紧接着出示本节课的学习目标：

1.了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程。2.掌握勾股定理的内容，并会简单应用。

（二）勾股定理的探索

1、猜想结论

（1）探究一：等腰直角三角形三边关系。

由课本64页毕达哥拉斯的故事，探究等腰直角三角形三边关系。结合课件中格点图形的面积，学生自主探究，通过计算、讨论、总结，得出结论：等腰直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。

在此过程中，给学生充分的时间、观察、比较、交流，最后通过活动让学生用语言概括总结。提问：等腰直角三角形有这样的性质，其他的直角三角形也有这样的性质吗？（2.）探究二：一般的直角三角形三边关系。

在课件中的格点图形中，利用面积，再次探究直角三角形的三边关系。学生自主探究，通过计算、讨论、总结，得出结论：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。

设计意图：组织学生进行讨论，在此基础上教师引导学生从三边的平方有何大小关系入手进行观察。教师在多媒体课件上直观地演示。通过学生自己探索、讨论，由学生自己得出结论。这样，让学生参与定理的再发现过程，他们通过自己观察、计算所得出的定理，在心理产生自豪感，从而增强学生的学习数学的自信心。

2、证明猜想

目前世界上证明该勾股定理的方法有很多种，而我国古代数学家利用拼接、割补图形，计算面积的思路提供了很多种证明方法，下面我们通过古人赵爽的方法进行证明。学生分组活动，根据图形的面积进行计算，推导出勾股定理的一般形式：a² + b² = c²。即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.设计意图：通过利用多媒体课件的演示，更直观、形象的向学生介绍用拼接、割补图形，计算面积的证明方法，使学生认识到证明的必要性、结论的确定性，感受到前人的伟大和智慧。

3、简要介绍勾股定理命名的由来

我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾

三、股

四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中.我国称这个结论为“勾股定理”，西方毕达哥拉斯于公元前五世纪发现了勾股定理，但他比商高晚出生五百多年。

设计意图：对比以上事实对学生进行爱国主义教育，激励他们奋发向上。

（三）勾股定理的应用

1.利用勾股定理，解决引入中的问题。体会数学在实际生活中的应用。

2、教学例1：课本66页探究1 师生讨论、分析：木板的宽2.2米大于1米，所以横着不能从门框内通过．木板的宽2.2米大于2米，所以竖着不能从门框内通过．因为对角线AC的长度最大，所以只能试试斜着能否通过．从而将实际问题转化为数学问题．

提示：（1）在图中构造出一个直角三角形。（连接AC）

（2）知道直角△ABC的那条边？

（3）知道直角三角形两条边长求第三边用什么方法呢？

设计意图：此题是将实际为题转化为数学问题，从中抽象出Rt△ABC，并求出斜边A C的长。本例意在渗透实际问题和勾股定理的知识联系。通过系列问题的设置和解决，旨在降低难度，分散难点，使难点予以突破，让学生掌握勾股定理在具体问题中的应用，使学生获得新知，体验成功，从而增加学习兴趣。

（四）、课堂练习

习题18.1 1、5。学生板演，师生点评。

设计意图：通过练习使学生加深对勾股定理的理解，让学生比较练习题和例题中条件的异同，进一步让学生理解勾股定理的运用。

（五）课堂小结

对学生提问：“通过这节课的学习有什么收获？”

学生同桌间畅谈自己的学习感受和体会，并请个别学生发言。

设计意图：让学生自己小结，活跃了气氛，做到全员参与，理清了知识脉络，强化了重点，培养了学生口头表达能力。

17.2勾股定理的逆定理说课稿（模版一）

一、教材分析 :

（一）、本节课在教材中的地位作用

“勾股定理的逆定理”一节，是在上节“勾股定理”之后，继续学习的一个直角三角形的判断定理，它是前面知识的继续和深化，勾股定理的逆定理是初中几何学习中的重要内容之一，是今后判断某三角形是直角三角形的重要方法之一，在以后的解题中，将有十分广泛的应用，同时在应用中渗透了利用代数计算的方法证明几何问题的思想，为将来学习解析几何埋下了伏笔，所以本节也是本章的重要内容之一。课标要求学生必须掌握。

（二）、教学目标:根据数学课标的要求和教材的具体内容，结合学生实际我确定了本节课的教学目标。知识技能：

1、理解勾股定理的逆定理的证明方法并能证明勾股定理的逆定理。

2、掌握勾股定理的逆定理，并能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形过程与方法：

1、通过对勾股定理的逆定理的探索，经历知识的发生、发展与形成的过程

2、通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形结合方法的应用

3、通过勾股定理的逆定理的证明，体会数与形结合方法在问题解决中的作用，并能运用勾股定理的逆定理解决相关问题。

情感态度：

1、通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形的内在联系，感受定理与逆定理之间的和谐及辩证统一的关系

2、在探究勾股定理的逆定理的活动中，通过一系列富有探究性的问题，渗透与他人交流、合作的意识和探究精神

（三）、学情分析：

尽管已到初二下学期学生知识增多，能力增强，但思维的局限性还很大，能力也有差距，而勾股定理的逆定理的证明方法学生第一次见到，它要求根据已知条件构造一个直角三角形，根据学生的智能状况，学生不容易想到，因此勾股定理的逆定理的证明又是本节的难点，这样如何添辅助线就是解决它的关键，这样就确定了本节课的重点、难点和关键。

重点：

勾股定理逆定理的应用

难点：

勾股定理逆定理的证明关键：

辅助线的添法探索

二、教学过程

：本节课的设计原则是：使学生在动手操作的基础上和合作交流的良好氛围中，通过巧妙而自然地在学生的认识结构与几何知识结构之间筑了一个信息流通渠道，进而达到完善学生的数学认识结构的目的。

（一）、复习回顾: 复习回顾与勾股定理有关的内容，建立新旧知识之间的联系。

（二）、创设问题情境

一开课我就提出了与本节课关系密切、学生用现有的知识可探索却又解决不好的问题，去提示本节课的探究宗旨。（演示）古代埃及人把一根长绳打上等距离的13个结，然后用桩钉如图那样的三角形，便得到一个直角三角形。这是为什么？„„。这个问题一出现马上激起学生已有知识与待研究知识的认识冲突，引起了学生的重视，激发了学生的兴趣，因而全身心地投入到学习中来，创造了我要学的气氛，同时也说明了几何知识来源于实践，不失时机地让学生感到数学就在身边。

（三）、学生在教师的指导下尝试解决问题，总结规律（包括难点突破）

因为几何来源于现实生活，对初二学生来说选择适当的时机，让他们从个体实践经验中开始学习，可以提高学习的主动性和参与意识，所以勾股定理的逆定理不是由教师直接给出的，而是让学生通过动手折纸在具体的实践中观察满足条件的三角形直观感觉上是什么三角形，再用直角三角形插入去验证猜想。

这样设计是因为勾股定理逆定理的证明方法是学生第一次见到，它要求按照已知条件作一个直角三角形，根据学生的智能状况学生是不容易想到的，为了突破这个难点，我让学生动手裁出了一个两直角边与所折三角形两条较小边相等的直角三角形，通过操作验证两三角形全等，从而不仅显示了符合条件的三角形是直角三角形，还孕育了辅助线的添法，为后面进行逻辑推理论证提供了直观的数学模型。

接下来就是利用这个数学模型，从理论上证明这个定理。从动手操作到证明，学生自然地联想到了全等三角形的性质，证明它与一个直角三角形全等，顺利作出了辅助直角三角形，整个证明过程自然、无神秘感，实现了从生动直观向抽象思维的转化，同时学生亲身体会了动手操作——观察——猜测——探索——论证的全过程，这样学生不是被动接受勾股定理的逆定理，因而使学生感到自然、亲切，学生的学习兴趣和学习积极性有所提高。使学生确实在学习过程中享受到自我创造的快乐。

在同学们完成证明之后，可让他们对照课本把证明过程严格的阅读一遍，充分发挥教课书的作用，养成学生看书的习惯，这也是在培养学生的自学能力。

（四）、组织变式训练

本着由浅入深的原则，安排了三个题目。（演示）第一题比较简单，让学生口答，让所有的学生都能完成。第二题则进了一层，字母代替了数字，绕了一个弯，既可以检查本课知识，又可以提高灵活运用以往知识的能力。第三题则要求更高，要求学生能够推出可能的结论，这些作法培养了学生灵活转换、举一反三的能力，发展了学生的思维，提高了课堂教学的效果和利用率。在变式训练中我还采用讲、说、练结合的方法，教师通过观察、提问、巡视、谈话等活动、及时了解学生的学习过程，随时反馈，调节教法，同时注意加强有针对性的个别指导，把发展学生的思维和随时把握学生的学习效果结合起来。

（五）、归纳小结，纳入知识体系

本节课小结先让学生归纳本节知识和技能，然后教师作必要的补充，尤其是注意总结思想方法，培养能力方面，比如辅助线的添法，数形结合的思想，并告诉同学今天的勾股定理逆定理是同学们通过自己亲手实践发现并证明的，这种讨论问题的方法是培养我们发现问题认识问题的好方法，希望同学在课外练习时注意用这种方法，这都是教给学习方法。

（六）、作业布置

由于学生的思维素质存在一定的差异，教学要贯彻“因材施教”的原则，为此我安排了两组作业。a组是基本的思维训练项目，全体都要做，这样有利于学生学习习惯的培养，以及提高他们学好数学的信心。b组题适当加大难度，拓宽知识，供有能力又有兴趣的学生做，日积月累，对训练和培养他们的思维素质，发展学生的个性有积极作用。

三、说教法、学法与教学手段

为贯彻实施素质教育提出的面向全体学生，使学生全面发展主动发展的精神和培养创新活动的要求，根据本节课的教学内容、教学要求以及初二学生的年龄和心理特征以及学生的认知规律和认知水平，本节课我主要采用了以学生为主体，引导发现、操作探究的教学方法，即不违反科学性又符合可接受性原则，这样有利于培养学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，发展学生的思维；有利于培养学生动手、观察、分析、猜想、验证、推理能力和创新能力；有利于学生从感性认识上升到理性认识，加深对所学知识的理解和掌握；有利于突破难点和突出重点。

此外，本节课我还采用了理论联系实际的教学原则，以教师为主导、学生为主体的教学原则，通过联系学生现有的经验和感性认识，由最邻近的知识去向本节课迁移，通过动手操作让学生独立探讨、主动获取知识。

总之，本节课遵循从生动直观到抽象思维的认识规律，力争最大限度地调动学生学习的积极性；力争把教师教的过程转化为学生亲自探索、发现知识的过程；力争使学生在获得知识的过程中得到能力的培养。

17.2勾股定理的逆定理说课稿（模版二）

一、教材分析 :

（一）、本节课在教材中的地位作用

（二）、教学目标：

根据数学课标的要求和教材的具体内容，结合学生实际我确定了本节课的教学目标。知识技能：

1、理解勾股定理的逆定理的证明方法并能证明勾股定理的逆定理。

2、掌握勾股定理的逆定理，并能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形过程与方法：

1、通过对勾股定理的逆定理的探索，经历知识的发生、发展与形成的过程

2、通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形结合方法的应用

3、通过勾股定理的逆定理的证明，体会数与形结合方法在问题解决中的作用，并能运用勾股定理的逆定理解决相关问题。情感态度：

1、通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形的内在联系，感受定理与逆定理之间的和谐及辩证统一的关系

2、在探究勾股定理的逆定理的活动中，通过一系列富有探究性的问题，渗透与他人交流、合作的意识和探究精神

（三）、学情分析：

重点：勾股定理逆定理的应用难点：勾股定理逆定理的证明关键：辅助线的添法探索

二、说教法、学法与教学手段为贯彻实施素质教育提出的面向全体学生，使学生全面发展主动发展的精神和培养创新活动的要求，根据本节课的教学内容、教学要求以及初二学生的年龄和心理特征以及学生的认知规律和认知水平，本节课我主要采用了以学生为主体，引导发现、操作探究的教学方法，即不违反科学性又符合可接受性原则，这样有利于培养学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，发展学生的思维；有利于培养学生动手、观察、分析、猜想、验证、推理能力和创新能力；有利于学生从感性认识上升到理性认识，加深对所学知识的理解和掌握；有利于突破难点和突出重点。

三、教学过程：本节课的设计原则是：使学生在动手操作的基础上和合作交流的良好氛围中，通过巧妙而自然地在学生的认识结构与几何知识结构之间筑了一个信息流通渠道，进而达到完善学生的数学认识结构的目的。

（一）、复习回顾: 复习回顾与勾股定理有关的内容，建立新旧知识之间的联系。

（二）、创设问题情境

（三）、学生在教师的指导下尝试解决问题，总结规律（包括难点突破）

因为几何来源于现实生活，对初二学生来说选择适当的时机，让他们从个体实践经验中开始学习，可以提高学习的主动性和参与意识，所以勾股定理的逆定理不是由教师直接给出的，而是让学生通过动手画图在具体的实践中观察满足条件的三角形直观感觉上是什么三角形，再用直角三角形插入去验证猜想。

（四）、组织变式训练

本着由浅入深的原则，安排了三个题目。（演示）第一题比较简单，让学生口答，让所有的学生都能完成。第二题则进了一层，字母代替了数字，绕了一个弯，既可以检查本课知识，又可以提高灵活运用以往知识的能力。在变式训练中我还采用讲、说、练结合的方法，教师通过观察、提问、巡视、谈话等活动、及时了解学生的学习过程，随时反馈，调节教法，同时注意加强有针对性的个别指导，把发展学生的思维和随时把握学生的学习效果结合起来。

（五）、归纳小结，纳入知识体系

3.八年级下册拓展资源——勾股定理与第一次数学危机篇三

析)班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________ 1.如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（）

A． B．25

C．

D．35

【答案】B

【考点】初中数学知识点》图形与证明》三角形

【解析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．

解：将长方体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，（1）如图，BD=10+5=15，AD=20，由勾股定理得：AB====25．

（2）如图，BC=5，AC=20+10=30，由勾股定理得，AB=由于25＜，故选B．

===．

2.如图所示，在△ABC中，∠B=90º，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为.【答案】7.【考点】初中数学知识点》图形与证明》三角形【解析】

试题分析：先根据勾股定理求出BC的长，再根据图形翻折变换的性质得出AE=CE，进而求出△ABE的周长．

试题解析：∵在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，∴BC=，∵△ADE是△CDE翻折而成，∴AE=CE，∴AE+BE=BC=4，∴△ABE的周长=AB+BC=3+4=7．

考点：1.翻折变换（折叠问题）；2.勾股定理．

3.在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AC＝9，则AB＝________．

【答案】15

【考点】初中数学知识点》图形与证明》三角形【解析】根据勾股定理，直接得出结果：AB＝

＝

＝15.4.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，沿AD折叠，使点B落在斜边AC上，若AB＝3，BC＝4，则BD＝

.【答案】

【考点】初中数学知识点》图形与证明》三角形

【解析】如图，点B′是沿AD折叠，点B的对应点，连接B′D，∴∠AB′D＝∠B＝90°，AB′＝AB＝3，∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝5，∴B′C＝AC－AB′＝5－3＝2，设BD＝B′D＝x，则CD＝BC－BD＝4－x，在Rt△CDB′中，CD＝B′C＋B′D，即：（4－x）＝x＋4，解得：x＝，∴BD＝.222

225.在△ABC中,若AB=17,AC=8,BC=15,则根据______________可知∠ACB=_______________.【答案】勾股定理逆定理 90°

【考点】初中数学知识点》图形与证明》三角形

【解析】勾股定理逆定理是判定一个角是直角的重要方法，AC+BC=8+15=289=17=AB，根据勾股定理的逆定理说明AB的对角是90度.22

26.如图，在四边形ABCD中,AB=12cm,BC=3cm,CD=4cm,∠C=90°.(1)求BD的长;

(2)当AD为多少时,∠ABD=90°?

【答案】(1)5.(2)13

【考点】初中数学知识点》图形与证明》三角形

【解析】(1)在△BDC中，∠C=90°，BC=3cm，CD=4cm，根据勾股定理，BD=BC+CD，求得BD=5cm.(2)根据勾股定理的逆定理，三角形两边的平方和等于斜边的平方，则三角形是直角三角形，所以222AD=13时，可满足AD=BD+AB，可说明∠ABD=90°，AD==13.2

27.甲、乙两船上午11时同时从港口A出发,甲船以每小时20海里的速度向东北方向航行,乙船以每小时15海里的速度向东南方向航行,求下午1时两船之间的距离.【答案】50海里.【考点】初中数学知识点》图形与证明》三角形

【解析】东北方向航行，东南方向航行，则夹角为90度，根据勾股定理，相距==50.8.下列命题中是假命题的是（）A．在△B．在△C．在△D．在△【答案】C

【考点】初中数学知识点》图形与证明》三角形【解析】A.因为正确；B.因为，所以∠°，所以△是直角三角形，故A，所以，所以△是直角三角形，故B正确；C.若，则最大角为75°，故C错误；，由勾股定理的逆定理，知△

是直角三角形，故D正确．中，若中，若中，若中，若，则△是直角三角形，则△是直角三角形，则△是直角三角形，则△是直角三角形

D.因为9.如图，已知正方形的面积为144，正方形的面积为169时，那么正方形的面积为（）

A．313

【答案】D B．144 C．169 D．25

【考点】初中数学知识点》图形与证明》三角形【解析】设三个正方形的边长依次为，故，即，由于三个正方形的三边组成一个直角三角形，所以

.10.在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是 A．5，6，7

【答案】C

【考点】初中数学北师大版》八年级上》第一章勾股定理》1.3 蚂蚁怎样走最近【解析】

试题分析：根据勾股定理的逆定理依次分析各项即可.A、C、，B、，D、，均不能组成直角三角形； B．1，4，9 C．5，12，13 D．5，11，12，能组成直角三角形，本选项正确.考点：本题考查的是勾股定理的逆定理

点评：解答本题的关键是熟记勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形.11.作一个三角形，使三边长分别为3cm，4cm，5cm，哪条边所对的角是直角？为什么？

【答案】5cm

【考点】初中数学北师大版》八年级上》第一章勾股定理》1.2 能得到直角三角形吗【解析】

试题分析：根据三角形大边对大角的性质即可判断.5cm所对的角是直角，因为在直角三角形中直角所对边最长.考点：本题考查的是三角形的性质

点评：解答本题的关键是熟练掌握三角形大边对大角的性质.12.如下图所示，△ABC中，AB=“15” cm，AC=“24” cm，∠A=60°，求BC的长.【答案】21 cm

【考点】初中数学北师大版》八年级上》第一章勾股定理》1.1 探索勾股定理【解析】

试题分析：△ABC是一般三角形，若要求出BC的长，只能将BC置于一个直角三角形中.过点C作CD⊥AB于点D 在Rt△ACD中，∠A=60° ∠ACD=90°－60°=30° AD=AC=12(cm)

CD=AC－AD=24－12=432，DB=AB－AD=15－12=3.在Rt△BCD中，BC=DB+CD=3+432=441 BC=“21” cm.考点：本题考查的是勾股定理

点评：本题不是直角三角形，而要解答它必须构造出直角三角形，用勾股定理来解.22222222213.有两艘渔船同时离开某港口去捕鱼，其中一艘以16海里/时的速度向东南方向航行，另一艘以12海里/时的速度向东北方向航行，它们离开港口一个半小时后相距________海里.【答案】30

【考点】初中数学北师大版》八年级上》第一章勾股定理》1.1 探索勾股定理【解析】

试题分析：首先根据方位角知该三角形是一个直角三角形．再根据路程=速度×时间．分别计算两条直角边是16×1.5=24，12×1.5=18．再根据勾股定理即可求得结果.因为东南和东北方向互相垂直，根据题意两条直角边为16×1.5=24，12×1.5=18，根据勾股定理得，两船相距考点：本题考查的是勾股定理的应用

点评：解答本题的关键是熟练掌握勾股定理：即任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.海里.14.如图：隔湖有两点A、B，为了测得A、B两点间的距离，从与AB方向成直角的BC方向上任取一点C，若测得CA=“50” m,CB=“40” m，那么A、B两点间的距离是_________.【答案】30米

【考点】初中数学北师大版》八年级上》第一章勾股定理》1.1 探索勾股定理【解析】

试题分析：根据勾股定理即可求得结果.由题意得考点：本题考查的是勾股定理的应用

点评：解答本题的关键是熟练掌握勾股定理：即任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.15.已知一个等腰三角形的底边和腰的长分别为12 cm和10 cm，求这个三角形的面积.【答案】48cm

【考点】初中数学北师大版》八年级上》第一章勾股定理》1.1 探索勾股定理【解析】

试题分析：先根据题意画出图形，再根据勾股定理得出三角形的高，即可求解其面积．如图： 2

等边△ABC中BC=“12” cm，AB=“AC=10” cm

作AD⊥BC，垂足为D，则D为BC中点，BD=“CD=6” cm 在Rt△ABD中，AD=AB－BD=10－6=64 ∴AD=“8” cm

∴S△ABD=BC·AD=×12×8=48(cm)考点：本题考查的是勾股定理

4.新人教版八年级下册勾股定理教案篇四

01、在直角△ABC中，斜边AB=2，则AB2+BC2+CA2=.

02、一个三角形的三个内角的比为1：2：3，它的边为4cm，则最小边为cm.

03、一个等腰三角形的两边为4cm，9cm，则它的周长为cm.

04、一块正方形土地的面积为800m2，则它的对角线长为m.

05、△ABC的三边长分别是15、36、39，这个△ABC是三角形.

06、一个三角形的三边的比为5：12：13，那么这个三角形是三角形.

07、三边之比为3：4：5的三角形的面积为24cm2，则它的周长为cm.

08、等腰三角形的腰长为10cm，底边长为12cm，则其底边上的高为cm.

09、△ABC中∠C=900，∠B=300，b=2cm，则c=cm.

10、如图，AB=AC=10cm，AD⊥BC，∠B=300，则BD2=.

二、选择题(每题4分，共20分)：

11、是勾股数的是.

A4，5，6B5，7，12C12，13，15D21，28，35

12、在长为3，4，5，12，13的线段中任意取三条可构成个直角三角形.

A0B1C2D3

13、两条直角边为6cm，8cm的直角三角形的斜边上的高为cm.

A1.2B2.4C3.6D4.8

14、一个直角三角形的斜边比一条直角边多2cm，另一条直角边为6cm，则斜边的长为cm.

A、4，B、8C、10D、12

15、如图，AB=AC=10cm，CD⊥AB，∠B=150，则CD=cm.

A、2.5B、5C、10D、20

三、解答题(共50分)：

16、一块长方形土地ABCD的长为28m，宽为21m，小明站在长方形的一个顶点A上，他要走到对面的另

一个顶点C上拣一只羽毛球，他至少要走多少米?(8分)

17、在正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁，现在要向顶点B处爬行，已知正方体的棱长为3cm，BC=1cm，

则爬行的最短距离是多少?(8分)

18、有一块四边形草坪，∠B=∠D=900，AB=24m，BC=7m，CD=15m，求草坪面积.(8分)

19、小明想知道学校的旗杆有多高，他发现旗杆顶上的绳子BD垂到地面还多CD=1米，当他把绳子的

下端D拉开5米到后，发现下端D刚好接触地面A.你能帮他把旗杆的高度求出来吗?(10分)

20、圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食的最短路程是多少?(π≈3)(8分)

21、小琳家的楼梯有若干级梯子。她测得楼梯的水平宽度AC=4米，楼梯的斜面长度AB=5米，现在

她家要在楼梯面上铺设红地毯。若准备购买的地毯的单价为20元/米，则她家至少应准备多少钱?

(10分)

5.八年级下册数学预习学案第一部分篇五

1.“不大于”指的是“ ”，通常用符号“ ”表示.

2.“不小于” 指的是“ ”，通常用符号“ ”表示.

3.一般地，用符号“ ”或(“ ”)， “ ” 或(“ ”)连接的式子叫做不等式.

二、基础训练：

1.下面给出了5个式子：

①3>0，②4x+3y>O，③x=3，④x-1，⑤x+2≤3，其中不等式有( )

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

2.小林在水果摊上称了2斤苹果，摊主称了几个苹果说：“你看秤，高高的。”如果设苹果的实际质量为x斤，用不等式把这个“高高的”的意思表示出来是( )

A.x≤2 B.x≤2 C.x>2 D.x<2

3.a是非负数的表达式是( )

A.a>0 B.a≥0 C.a≤0 D.a≤0

4.用不等号连接下列各对数：(1)1415_____,(2)x21____0; 1516

5.用不等式表求：a是正数 .

三、例题展示：

例1：用不等式表示：

(1)x与-3的和是负数; 解：

(2)x与5的和的28%不大于-6; 解：

(3)m除以4的商加上3至多为5; 解：

(4)a与b两数和的平方不小于3; 解：

(5)三角形的两边a、b的和大于第三边c。解：

例2：某次数学测验，共有16道选择题，评分方法是:答对一题得6分，不答或答错一题扣2分，某同学要想得分为60分以上，他至少应答对多少道题?(只列关系式)

四、课堂检测：

1.下列不等关系一定正确的是( )

A.a>0 B.-x<0 C.(x+1)≥0 D.a>0 222

2.a、b两数在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是( )

A.a>0，b<0 B.a<0，b>0 C.ab>0 D.以上均不对

3.(安顺市)如图所示，对a，b，c三种物体的重量判断不正确的是( )

A.ac D.b

4.“x与y的和大于1”用不等式表示为____________;

5.某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，娜娜得分要超过90分，设她答对了x道题，则根据题意可列不等式 ;

6.x3的最小值是a，x1的最大值是b，则ab ;

7.比较下面每小题中两个算式结果的大小(在横线上填“>”、“<”或“=”).

33⑴3+4 2×3×4;⑵2+2 2×2×2;⑶1+ 2×1×; 441212 22⑷(-2)+5 2×(-2)×5;⑸ 2. 2323

6.八年级下册拓展资源——勾股定理与第一次数学危机篇六

1、有一小部分的学生还是不懂得看函数图像。

2.用一次函数解析式解决实际问题时，不注意自变量的取值范围。

3.结合图象求一次函数解析式，不理解函数解析式和解方程组间的转化。

另外，运用知识解决实际问题是学生学习的目的，是重点，但也是学生的难点，需要慢慢的加强训练。

1.一次函数的图象在日常生活中大量存在，通过观察和应用这些图象可以帮助我们获取更多的信息，解决更多的实际问题。

7.八年级下册拓展资源——勾股定理与第一次数学危机篇七

学习目标：一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系，培养学生的数形结合意识，并能解决实际问题的能力.重难点：根据题意列函数关系式，会把函数关系式与一元一次方程，一元一次不等式联系起来解决问题

【温故知新】回忆一次函数的一般形式，即y=kx+b(b≠0)

.如y=2x－5为一次函数,在一次函数y=2x－5中，当y=0时，有方程

当y＞0时，有不等式

;

当y＜0时，有不等式

由此可见，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间有密切关系，当函数值等于0时即为方程，当函数值大于或小于0时即为不等式.【新知探究】

一元一次不等式与一次函数的图象之间有什么关系？

1．作出函数y=2x－5的图象，观察图象回答下列问题.（1）x取哪些值时，2x－5=0?

（2）x取哪些值时，2x－5＞0?

（3）x取哪些值时，2x－5＜0?

（2）从图象上可知，时，图象在x轴上方，因此当x＞

时，2x－5＞0

（3）同理可知，当x＜

时，有2x－5＜0;

2．如果y=－2x－5,那么当x取何值时。

（1）y＞0?

（2）y=0

（3）y＜0

从图象上可知，（1）当x

时，有y＞0

（2）当x=－时，有y=

（3）当x＞

时，有y＜0

（4）观察并思考：一元一次不等式，一元一次方程，一次函数之间的联系？并与同学交流。

【归纳】

从上面我们可以看出：当一次函数中的一个变量的值确定时，可以用一元一次方程确定另一个变量的值；当已知一次函数中的一个变量取值的范围时，可以用一元一次不等式（组）确定另一个变量取值的范围，【应用巩固】

1．兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9

m，然后自己才开始跑，已知弟弟每秒跑3

m，哥哥每秒跑4

m，列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题：

（1）

何时弟弟跑在哥哥前面？

（2）

何时哥哥跑在弟弟前面？

（3）

谁先跑过20

m？谁先跑过100

m？

（4）

你是怎样求解的？与同伴交流.2．（1）已知y1=－x+3,y2=3x－4,当x取何值时，y1＞y2？你是怎样做的？与同伴交流.（2）已知y1=3x－3，y2=－x+2，试确定x取何值时，y1＞y2.（3）某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经过市场调查发现：如果月初出售，可获利15%，并可用本和利再投资其他商品，到月末又可获利10%；如果月末出售可获利30%，但要付出仓储费用700元.请问根据商场的资金状况，如何购销获利较多？

教学检测

一．请你选一选

1．如果一次函数y=－x+b的图象经过y轴的正半轴，那么b应取值为（）

A.b＞0

B.b＜0

C.b=0

D.b不确定

2．已知函数y=8x－11，要使y＞0，那么x应取（）

A.x＞

B.x＜

C.x＞0

D.x＜0