数学统计与概率教案

数学统计与概率教案（精选13篇）

1.数学统计与概率教案 篇一

一、复习引入，提示课题。

统计在我们的生活中有着广泛的应用，例如，公司要了解一种产品的销售情况，就需要了解顾客群体，需求状况等数据，统计就是帮助人们整理和分析数据的知识方法。这节课我们就一起来复习统计的初步知识。板书课题：统计图统计表 1.总体回顾。

师：我们以前都学过哪些统计的知识?（1）组织学生独立回答.学生可能的回答有：我们学过简单的统计表，还有统计图。统计表里分为单式统计表和复式统计表。统计图里分为条形统计图、折线统计图和扇形统计图，引导学生说一说上述统计图表的优缺点。2.学生自主整理。

师：同学们说的很全面，我们以前学习了这么多关于统计的知识，现在就请同学们用你们喜欢的方法，把这些知识进行系统的整理下。（1）独立整理（2）组内交流。（教师巡视指导，参与小组活动）（3）交流汇报。（师多找几个小组汇报，在对比中引导学生完善知识结构，优化整理方法，并完善板书。）

3.师：谁知道统计知识有什么用处？（1）找不同学生独立回答.（1）教师做适当评价和补充。

在日常生活、生产和科学研究中，经常需要用到统计知识。例如，为了了解学生的身体发育情况，经常要测量学生的身高和体重，把测量得到的数据进行收集和整理，再制成统计表或统计图进行分析。又如，工厂要了解每天、每周、每月、或者每年的生产进度或产量，就需要进行统计；要了解本单位的工作效率，产品的质量，计算产品的合格率等，也需要进行统计。”(教师还可以帮助学生结合本地区的实际，再举出一些例子，说明统计知识的用处。)

三、重点复习，强化提高。1.出示例1中的各统计图表：

（1）师：同学们，下面是对六（1）班同学进行调配所搜集的几项数据，分别用统计表和统计图表示。第一幅是六（1）班男、女生人数统计表，第二幅是什么统计图？你能从中得到什么信息？

①组织学生认真读题分析。.②教师做相应的补充和评价。师：扇形统计图有什么优缺点？ 学生回答，教师总结完善。

扇形统计图可以直观地反映各部分占总体的百分比，但不能反映部分的具体数量。（2）第三幅图是什么统计图？你能得到什么信息？ ②教师做相应的补充和评价 师：条形统计图有什么优缺点？ 学生回答，教师总结完善。

条形统计图可以直观反映各部分的数量，也可直观比较各部分的多少，但不能看出各部分总体的百分比。

（3）第四幅图是一个折线统计图，折线统计图有什么优点

2.数学统计与概率教案 篇二

一、对称思想

例1 (2007年湖北高考)连掷两次骰子得到的点数分别为m和n,记向量a=(m,n)与向量b=(1,-1)的夹角为θ,则θ∈(0,]的概率是().

解:因为cosθ=,所以m-n≥0,显然当m-n=0时有6种可能性,根据对称性,m-n>0与m-n<0的可能性相同,各有15种可能,所以的概率为=,故应选(C).

评注:对称思想是“化不和谐为和谐”、“化不对称为对称”的典型应用,利用对称思想解决概率问题,思路新颖别致,事半功倍.

二、方程思想

例2袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球,从A中摸出一个红球的概率是,从B中摸出一个红球的概率为P。

(Ⅰ)从A中有放回地摸球,每次摸出一个,共摸5次.求:(1)恰好有3次摸到红球的概率;(2)第一次、第三次、第五次均摸到红球的概率.

(Ⅱ)若A、B两个袋子中的球数之比为1:2,将A、B中的球装在一起后,从中摸出一个红球的概率是,求P的值.

分析:第(Ⅰ)题的第(1)小问是求5次独立重复实验中有3次使“摸到红球”这一事件发生的概率,第(2)小问只需考虑第一次、第三次、第五次,其他两次与此无关;第(Ⅱ)题可通过先求袋中球的总数入手,来找A、B两袋球合在一起后摸出的球为红球的概率.

解:(Ⅰ)(1)恰好3次摸到红球的概率为

(2)第一次、第三次、第五次均摸到红球的概率为.

(Ⅱ)设袋子A中有m个球,袋子B中有2m个球·由.

评注:本题第(Ⅱ)题的解答渗透着方程思想,考查组合、相互独立事件同时发生的概率的基本知识和分析、解决问题的能力.

三、分类与整合思想

例3从数字1,2,3,4,5中,随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数,其各位数字之和等于9的概率为()

解:因为所取的3个数字允许重复,所以所有等可能组成的三位数共有5×5×5=125个,其中各位数字之和等于9的三位数,需分类确定:

(1)最大数字是5的,由5、3、1或5、2、2组成,分别有=6个和个.

(2)最大数字是4的,由4、2、3或4、4、1组成,分别有个和个.

(3)最大数字是3的,只有1个,即333.

所以各位数字之和等于9的概率为故应选(D)。

例4 (2007年福建高考题)方阵2,3),从中任取三个数,则至少有两个数位于同行或同列的概率是()

解:设“3个数位于同一行”为事件A,“2个数位于同一行,第3个数位于另一行,但这3个数不位于同一列”为事件B,“2个数位于同一行,第3个数位于另一行,且与前2个数中的1个位于同一列”为事件C,则P(A)==,所以所求的概率为2P(A)+2P(B)+P(C)=,故应选(D).

评注:利用分类与整合的数学思想方法解决概率问题,清晰而又不重、不漏,但需要缜密的逻辑思维能力,否则极易出错.

四、或然与必然思想

例5袋中装有黑球和白球共7个,从中任取两个球都是白球的概率为.现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球,甲先取,乙后取,然后甲再取,…,取后不放回,直到两人中有一人取到白球时即终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的,用ξ表示取球终止时所需要的取球次数.

(Ⅰ)求袋中原有白球的个数;

(Ⅱ)求随机变量ξ的概率分布;

(Ⅲ)求甲取到白球的概率.

解:(I)设袋中原有n个白球,由题意知,,解得n=3或n=-2(舍去),即袋中原有3个白球.

(Ⅱ)由题意,ξ的可能取值为1,2,3,4,5,所以P=去,故取球次数的分布列为:

(Ⅲ)由于甲先取,所以甲只可能在第1次、第3次和第5次取球,记“甲取到白球”为事件A,则P(A)=P(“ξ=1”,或“ξ=3”,或“ξ=5”),因为事件“ξ=1”、“ξ=3”、“ξ=5”两两互斥,所以P(A)=P(ξ=1)+P(ξ=3)+

评注:本题设计的取球过程凸显了随机性的特征,要求学生在阅读信息、提取数据以及实施计算的过程中,自始自终运用或然与必然的数学思想方法.

五、化归与转化思想

例6已知一圆盘被分割成三个大小不等的扇形,并按扇形由小到大的顺序给各扇形依次标注0,2,3,从圆心出发的指针落在圆盘3分处的概率为a,落在圆盘2分处的概率为b,落在圆盘0分处的概率为c(a,b,c∈(0,1)),已知旋转一次圆盘得分的数学期望为2分,则+去的最小值为()

解:由已知得即3a+2b=2,其中=时等号成立,即最小值为,故应选(D).

3.对小学数学统计与概率教学的探讨 篇三

关键词：小学数学；统计与概率；教学

中图分类号：G622 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）05-231-01

统计与概率主要是研究生活中数据和客观世界中的随机现象，它通过对数据收集、整理，描述和分析以及事件发生的可能性来帮助人们做出合理的决策。统计与概率在小学数学中处于重要地位，是数学在生活中应用的结合点。本文笔者结合教学实际，对小学数学统计与概率教学的意义、存在的问题以及教学策略进行了探讨，在此和大家交流分享。

一、小学数学统计与概率教学的重要意义

现今的信息社会，我们随时都要面临大量的信息和数据，统计和概率的应用越来越广泛。统计与概率所提供的“运用数据进行推理”的思考方法已经成为现代社会一种普遍适用并且强有力的思维方式。简而言之，人们在生活中要用到概率论的知识与思想方法的概率更大了，因此在小学教学统计与概率是有意义的。在小学阶段的数学教学过程中对学生进行概率与统计教学，首先，它会涉及解决问题、计算、推理，以及整数、分数、比值等知识，这实际上是在学习新知识的同时复习和运用过去的旧知识，有助于发展学生解决问题的能力。其次，统计与概率这一领域的内容对学生来说是充满趣味和吸引力的。像概率这一类学习内容本身是充满挑战性的，一些概率游戏本身就是对思维的一种挑战，学生接触这类内容有利于培养学生对数学的积极情感体验，学生以随机的观点来理解世界，形成正确的世界观和方法论。最后，实施小学数学统计和概率教学，它可以引导学生走进生活，使学生熟悉统计与概率的基本思想方法，有利于学生逐步形成统计观念，进而形成尊重事实、用数据说话的态度。由于小学数学统计与概率教学刚刚起步，作为一个新的知识点，难免会在教学中遇到这样那样的问题，如实的解决好他们，培养学生的各种能力，是教学的关键所在。

二、小学数学概率与统计教学中存在的问题

小学数学统计与概率教学作为小学阶段新增设的学习内容，结合数学课程标准来看，主要引导学生经历一些如对不确定现象有初步的体会、知道事件发生的可能性有大有小，并能体会事件发生的可能性和游戏规则的公开性、对可能性的大小做出描述，并和同学交流等等之类的学习过程。然而，在实际的教学中，由于课程刚刚开设，很多教师之前没有教过这门课程，没有经验，有些教师是自身概率知识水平不高，对教材的了解不够深入，使得教师在教学的时候很难准确把握各段概率教学的深浅度。另外，在小学数学统计与概率的课程安排中，往往都是在学期的结尾课程，使得许多教师为了节约课上的时间，很少在课堂上组织实验活动，只注重对知识技能的教授。最后，由于统计与概率的内容编排上注重逻辑，很少贴近学生的生活，因此学生学起来显得非常枯燥，不利于教师有效的开展教学，为教学效率的提高带来阻碍，不利于学生有效的学习和发展。

三、小学数学统计与概率教学的有效策略

1、注重学生学习兴趣的激发

“兴趣是学生学习最好的老师”，这句话的重要意义早已不言而喻。兴趣是推动学习的内在动力，是学习新知识的关键。在小学数学统计与概率的教学过程中，要想学生积极主动地参与学习，那么，教师首先要做的就是激发学生的学习兴趣，用学生的学习兴趣去带动其积极性和主动性，引导学生乐学。因此，教学中，教师要如实的根据学生的年龄特征，结合教学内容，精心设计课堂活动情境，激发学生的学习兴趣。设计一些有趣的情境，使学生初步感受事件发生的可能性，使学生对即将学习的内容产生浓厚的兴趣和强烈的求知欲望，让学生自主的投入学习，提高教学效率。

2、合理选择教学内容，培养学生的能力

教学应是围绕学生这一主体开设的一个过程，因此我们的教学要更加的突出主体性和针对性。在小学数学统计与概率的教学中，碍于教材内容对小学生来说难度偏大、过于抽象等特点，学生学起来会觉得比较吃力。因此，教学中，教师应结合教学实际做适当调整，从实际生活出发合理选择教学内容，适当的修正教学内容，使之在内容的层次性及梯度上更加的清晰化，以使得教师在教学的过程中目标更加的明确，使之更加有利于学生各方面能力的培养。

3、小学数学统计与概率教学应遵循的几个原则

俗话说：“无规矩不成方圆。”我们的教学也是如此，要想搞高效的教学，那么我们就得遵循一定的教学原则。在小学统计与概率的教学中，教师要着重遵守好以下几个原则。①实践性原则：统计和概率的研究对象是生活常见的东西或事件，教学必须与学生的日常生活相联系，多引导学生实践，让学生在经历收集、整理、描述、分析数据的过程中加深对有关概念的理解。有利于他们对数据进行分析和解释，以及对数据信息的理解、推理和判断。②过程性原则：一些著名的河流的长度；气温、雨量记在小学阶段的各个概念计的结果。应该注重形成概念的全过程，培养以随机的观点理解世界的观念。③趣味性原则：我们不能把概率与统计的教学变得枯燥无味，而应以有趣的方式呈现。教学中，只有教师如实的遵循好以上几个原则，我们的教学才能更好地实现实效。

总结：在小学数学教学中开展统计与概率教学，既是时代和社会发展的需要，更是生活的需要。在教学过程中，作为教师的我们，应积极的探究教学方法，不断完善教学过程，使之更加适合学生学习、发展。

参考文献：

[1] 张东辅 唐华军.上海与加州数学课程标准小学统计与概率比较研究[J].泰山学院学报，2006

4.《统计与概率》教案设计 篇四

本课时复习的是可能性这部分内容。小学五年级学生的逻辑推理能力还需要进一步的培养，通过本节课的复习让学生感受随机事件发生的统计规律性，并感知事件发生的可能性是有大小的。要求学生借助生活中的问题，从“量化”的角度来求出可能性的大小，再进行比较，体会游戏中的公平原则。

1．注重让学生在活动中体会随机现象。

教材114页5题是对可能性这部分内容的复习与巩固，通过游戏活动，让学生学会列举记录简单事件所有可能发生的结果。“石头、剪刀、布”的游戏活动是学生喜闻乐见的，学生分组活动后，把游戏结果填在表格中，通过观察、统计游戏结果，体会游戏活动的随机性，进一步感受可能性的大小和游戏的`公平性。

2．内容充实、训练扎实、应用求实。

本节课涉及了“石头、剪子、布”“抛硬币”“转盘实验”等游戏，让学生能有意识地在今后的学习中自觉地归类，活动安排上有老师提出可质疑问题、学生修改方案、学生自主设计游戏规则等内容，多方位训练学生，力求学生在学习后具备随机观念，从而能明智地应付变化和不确定性。

课前准备

教师准备 PPT课件 硬币 转盘 学生准备 两枚硬币 转盘 教学过程 ⊙谈话引入

师：今天这节课，我们一起来复习有关可能性的知识。(板书课题：统计与概率) ⊙复习可能性

1．用“一定”“可能”“不可能”表示下列事件。 ①太阳从西边升起。( ) ②其他星球上有外星人。( ) ③人一定会死的。( )

④三十岁的爸爸妈妈变成一岁的小宝宝。( ) ⑤世界上350个人是同一天的生日。( )

⑥天空中飘过一片云彩，马上就会下雨。( ) ⑦去商场的人，都买了商品。( ) 2．列举记录简单事件所有可能发生的结果。

(1)同桌玩5次“石头、剪刀、布”的游戏，谁赢的可能性大？

(2)(出示表格)怎样把两人可能出现的情况都记录下来？(有序地罗列)结果怎样？

(3)课件出示教材117页12题。

师：小红和小明在玩抛硬币的游戏，他们的游戏规则公平吗？说说你的想法。 生：两枚硬币抛下后可能出现的结果有以下四种情况，如下表。

? 小红和小明获胜的可能性都是4?2，所以游戏规则公平。

??3．可能性的大小。

课件出示教材117页11题，两个转盘，指针停到那种颜色区域的可能性大？停到那种颜色区域的可能性小？

先引导学生分别观察两个转盘，小组讨论后全班交流汇报，解答问题。

4．盒子中有大小、质地完全相同的红色球4个，蓝色球10个，取一次，取出红色球的可能性大还是蓝色球的可能性大？

教师小结：可能性的大小与在总数中所占数量的多少有关，在总数中占的数量越多，出现的可能性也就越大，在总数中占的数量越少，出现的可能性也就越小。

设计意图：先让学生借助生活中的问题，从“量化”的角度来求出可能性的值，再进行比较，体会游戏中的公平规则。

⊙全课总结

今天这节课复习了哪些内容？你有什么收获？还有什么不懂的问题？ ⊙布置作业

请你设计一个游戏方案，并且使游戏规则是公平的。

板书设计 统计与概率 可能性

可能 （不确定）??

?不可能?

?（完全确定）

??一定?

5.六年级数学：《统计与概率》试题 篇五

1.常用的统计图有 统计图， 统计图和 统计图。

2.为了清楚地表示出数量的多少，常用 统计图，为了表示出数量的增减变化情况，用 统计图比较合适，而 统计图却能清楚地表示出部分量与总体的关系。

3.常用的统计量有 数、数和 数。

4.在一组数据的大小差异比较悬殊的情况下，用 数表示这组数据的.一般水平比较合适。

5.箱子里装有大小相同的4个白球，1个黄球，任意摸出1个，摸到黄球的可能性是 。

二、看一看。

1.下图是某城市中学生以来在校时间情况。

(1)从图中你得到了哪些信息?

(2)你对该城市中学的做法有什么建议?

2.下面是淘淘一天的活动情况统计图。

(1)算出淘淘各种活动占用的时间。

(2)你对淘淘关于时间的安排有何看法?你能提出什么建议?

三、试一试。

调查本班10个同学期中数学考试成绩，并选择合适的统计图把得到的信息呈现出来。

6.考研数学概率与数理统计试题解读 篇六

今年的试题难度相比去年略有降低，出题的方向和题目的类型也都完全在预料之类。没有偏题怪题，也没有计算量特别大的题目，只要考生有比较扎实的基本功，复习比较全面，是比较容易拿到高分的。所以，我们预计考生今年的成绩会好于去年，分数线也会有所上升。

今年的概率比去年的难度降低了一些，对于概率的分数考生应该是容易拿到分数的，这就会将整体分数提高。如果考生因为时间不充裕，而没有完成概率的2个解答题，那是非常遗憾的，所以考生在做题的时候一定要注意时间的分配，注意题目的难易。

数学三的(7)延续了数学三的(8)的思路，都是考察了概率密度的性质。如果对于随机变量最大值的分布函数和概率密度熟悉，那这个题目可以直接写出选项。

数学三的(8)考察的是数理统计的数字特征，这与我们的预测是完全吻合。只要掌握住样本均值的数学期望，这个题目的计算还是比较简单的。

数学三的(14)题考查的是二维正态分布和数字特征。只有在二维正态分布中，独立与不相关是等价的，掌握住这个性质，同时结合数字特征的性质，这个题目就迎刃而解了。

今年数学三概率论与数理统计的两道考题集中在多维随机变量这一块，其中离散型一道题，连续型一道题，出题的方式比较常规，总体难度不大。

数学三的(22)题第一问与的二题的(5)是类似的，都是考察的二维离散型随机变量的概率分布。离散型随机变量的计算主要围绕概率分布进行，有了概率分布，无论是求随机变量函数的概率分布，还是求随机变量的数字特征，都是比较容易求解的。本题一个关键的知识点是若事件发生的概率为1，则转化为它的逆事件发生的概率为0，结合它的`子事件的概率为0，就可以得到二维离散型随机变量的概率分布。

条件概率密度是概率中的重点和难点，数三的概率延续了10年数三的概率的命题思路，又考查了边缘概率密度和条件概率密度，但与10年的试题又略有不同。10年的边缘概率密度直接计算即可，但是11年的边缘概率密度是分段的，并且在不同的区间内边缘概率密度的表达式是不同的。能准确地划分区间，并且确定积分的上下限，这是本题的关键。很好地理解条件概率密度的定义，这个题目是很好求解的。这个题目的得分可能比上个题目的得分要低一点。

总体来说，今年数学三概率论的考题比较偏重考查考生的对基本的计算公式的掌握程度，突出了概率论的核心研究对象：随机变量。考生在复习时要注重对基本概念的理解，对常见的公式要多加练习，以求熟练掌握。同时，高数的基础对概率论的影响还是比较大，需要引起关注。

7.数学统计与概率教案 篇七

一、联系儿童生活实际, 选取生动有趣的素材, 让儿童在具体的情境中学习数学

苏教版小学数学教材十分注重贴近学生的生活实际, 用儿童的生活经验激发儿童学习的积极性, 几乎每个课题都是从学生的生活原型引入的。

如一年级上册第九单元统计的教学内容, 教材提供的是一幅森林动物园的图片, 图片中都是学生喜欢的小动物:大象、小狗、小猴、小猪。问题是:大象家来了哪些客人?小朋友对这个问题很感兴趣, 纷纷行动起来。 他们通过分类知道了大象家来了4 只小狗、5只小猴、3 只小猪。 这样, 学生在轻松愉快的游戏活动中学会了分类统计的方法, 进而可以轻而易举地解决书上77 页关于花和水果的统计。

二、提供探索空间, 引导学生独立思考与合作交流

建构主义认为:“ 人的认识不是被动地接受的, 而是通过自己的经验主动地建构的。 ”苏教版小学数学遵循这一教学理念, 采用多种方式引导学生自己进行知识建构, 在知识建构过程中, 让学生体验学习过程。

教材在引导学生主动建构知识时, 主要采取以下措施:

1.为学生搭建认知平台

学生的建构是通过学生自己的经验来学习的, 没有或缺失必要的经验, 必然影响学生主动建构的兴趣, 甚至无法主动建构。 苏教版新教材在编写过程中始终贯穿着学生的现有经验, 现有的生活实际情景, 如二年级下册第九单元统计, 教材提供的情境图是动物运动会, 看了这幅图, 你想知道些什么? 学生可以结合我们学校举行的运动会通过观察, 讨论提出:生1:我想知道运动场上一共有多少小动物。 生2:我想知道在运动场上一共有哪些运动项目。接下来让学生按照下面表里的分类进行整理, 进而让学生讨论:上面的两次统计有什么不同? 你从每个统计表里知道了什么? ( 分类的标准不一样) 学生理解了分类标准的不同再来解决茶杯的分类统计和图形的分类统计就简单多了。

2.培养学生的问题意识

现代心理学认为, 一切思维都是从问题开始的。 问题应该是整个教学环节中所占比例最大的一部分, 每一个新知的获得, 都少不了问题的提出。 以往的教材例题的分析、 解答都是一应俱全的, 而新教材则不然, 每一个例题都是将大部分的解答留下空白, 让学生自己去探索、讨论、解决, 例题只是抛出一个新知, 抛出一连串的问题。

三、学习内容直观形象, 课堂活动丰富多彩

现代认知心理学家研究表明:“ 低年级的学习过程要遵循‘ 动作、感知、表象、概念、符号’的认知过程, 在这个过程中, 动作或感知是认知的起点, 是自主构建知识的关键的一步”。 学生这一认知过程的特点客观上要求教学内容要直观形象, 以有利于学生感知新知识。 为此, 新教材在编写过程中应尽量体现直观形象, 如一年级下册第七单元统计, 教材呈现的情境图是四个小朋友在统计正方形、三角形、圆各有多少个。 我报名称, 你们记下来。 第一个小朋友按照报的顺序直接记录下来, 第二个小朋友是分类进行记录, 正方形画一排, 三角形画一排, 圆形画一排。 第三个小朋友是用画表格打钩的方法记录下来。 通过直观形象的图示让学生感受到谁记得既清楚又方便? 从而理解统计表的重要作用。

苏教版教材在编写过程中, 几乎每一个单元之后都安排有综合实践活动, 这是对以往教材的一个很大突破, 安排这样的实践活动不仅有利于学生对所学新知的巩固, 同时也为学生提供了一个脑、手、眼相结合的合作交流机会。 学生可以在学中玩, 在玩中学, 充分体现了新课程改革的理念。如, 在三年级上册第九单元统计与可能性后有一个综合实践活动:摸牌和下棋, 活动之前先让学生估计每种花色可能会摸到多少次, 然后小组合作进行摸牌并记录结果。 孩子们活动的积极性很高, 课堂气氛活跃, 学生在轻松愉快的游戏中可以体验学习的乐趣。

苏教版的教材在编写方面从素材的选取到结构的编排都打破了原有的教材编写模式, 在教材的编写过程中, 重要的数学概念与数学思想逐渐深入, 重视数学内容的承接关系, 循序渐进地处理数学内容。在新教材中还体现了统计的多样化, 充分尊重学生的个性发展, 为学生的全面发展打下了坚实的基础。

参考文献

8.数学统计与概率教案 篇八

一、教师应该提高自身素质和理论水平

很多统计与概率的教学内容都没有确定的答案，有时学生会提出很多自己的见解，但是教师因为自己都不能确定，所以很多时候不能给予学生肯定的答案。比如，教学六年级下册“数学广角”中的“抽屉原理”时，学生提出了这样一个问题：研究这个问题有什么用呢？当时我也没能回答出来。近年来，参加各种赛课的教师都不选择这个课题作为参赛内容，究其原因是怕学生上课提出各种奇怪的问题，难于做答，影响自己的比赛成绩。那么，为什么教师跟不上“统计与概率”的教学要求呢？问题在于许多教师都没有系统地学过统计学，对于教材里“不确定性” “可能性” “数据分析”等概念都没有完全吃透，所以没办法跟学生讲清楚。另一方面，教师职后相关知识的培训较少或培训无针对性。虽然现在教师的培训很多，但是对于“统计与概率”专题的培训基本没有。一线教师忙于应付各种赛课和考查，很难抽出专门的时间来研究统计与概率的教法与教案，没有掌握深厚的相关理论知识，教师的教学水平自然很难提升。

如果教师对“统计内容”教学中出现的问题长期都无法给予解决，那么肯定会影响学生统计能力的培养，教师的教学水平肯定也很难提升。面对信息快速更新的时代，我们原来所学的知识已远远跟不上时代的发展，如果再不及时更新，将被社会所淘汰。所以，加强教师的统计学知识的理论学习是当务之急。教师要贯彻终身学习的观念并加以实践，认真钻研教材和教学参考书，通过网络等多种渠道认真学习有关“统计与概率”方面的知识，努力提高自身的综合素质和理论水平。学校或教研组要组织教师对统计与概率方面的知识进行集体研究和集体备课。对于掌握统计学知识且教学效果好的年轻教师，要让他们多做经验传授，带动中老龄教师共同进步。上级教育部门应加强对统计学知识的培训，这能很快提高这个学区的教师的教学水平，也能促进一些优秀教师的成长。如果县级能多请专家和学者到校进行指导培训，收益的覆盖面就会更广。没能参加培训的教师还可以通过网络进行学习，多看一些优秀的课例，或者到一些优秀的学校听课学习，这些都能很快提高教师的统计教学水平。

总之，要从根本上解决“统计与概率”的相关问题，关键是要努力提高教师的自身素质和教学水平。

二、考核体制和教材方面有待革新

导致教师思想上不重视统计教学的一个重要因素是统计考核评价。尽管新教材加重了统计方面的内容，但是相对于“数与代数” “图形与空间”等内容来说，“统计”和“数学广角”在每册教材中所占的比例很少，特别是期末考试所占的分数很少，有时甚至不考。所以很多教师和学生都不重视，觉得那几分不要也行。还有一个重要因素是很多教师和学生觉得他们现在的生活中不需要这方面的知识。而且很多试题都是放在如何识读统计图表的数据上，往往忽视学生如何分析数据和看到数据带来的信息。其实卷面的成绩也不能代表学生真正的“统计和概率”水平，因为考试时往往有标准答案，如果学生的答案有所偏差，分数就很容易变低。如果考核制度能改革，不限定唯一答案，只要学生能有依据地回答问题，说得有道理都可以给分，那么我们学生的学习兴趣和统计的意识也会得到很好的提高。

与此同时，有关统计和概率的教材编写不够合理，每个学期的内容都不相同，相互之间也没有联系。有联系的内容又时间跨度太大，比如说条形统计图分六个学期才学完，有时候明明是加多两节课就能教完的，但是偏偏要留到下个学期，这样教师将很难把握教学的任务。还有教材的选材方面考虑不全，没有考虑到地域性和立足于学生的实际生活。比如“数学广角”中的“烙饼”问题：烙一个饼要2分钟，正反面各一分钟，一次能烙2个，那烙3个饼最快要多少分钟烙完？学生平时根本就没见过烙饼，他们根本就不能理解这种方法。还有学生提出：把烙了一面的饼拿出，等下次再烙的时候不是要多些时间吗？这个学生提出的问题确实是对的。所以在教材编排的方面，我希望编者能多贴近学生的生活，特别是照顾农村和城市之间的差异，每个学期的内容能上下衔接，相关内容不要跨度太大，还要照顾到学生的学习实际，找一些学生感兴趣的内容作为教学素材。

三、结语

现在越来越多的人关注和探讨统计与概率的相关知识，我相信，通过更多学者的不断深入研究，教师会越来越关注学生统计观念的养成教育和发展意识，学生也能体会统计与概率给他们带来的快乐。

9.六年级下册数学统计与概率练习题 篇九

1、商业大厦电梯的载重限额是1250千克，那么电梯最多可以运送个75千克的人而不超载。

2、医生想用统计图记录病人24小时的体温变化情况，他选用()统计图比较合适。

3、要表示本校三至六年级各年级的.人数，用()统计图表示比较合适。

4、根据统计图填空

东风机械厂xx年全年产值统计图

⑴平均每个季度产值( )万元。

⑵全年平均每月产值约( )万元。

⑶第四季度比第一季度增产( )%。

⑷第三季度比第四季度少产( )%。

10.数学统计与概率教案 篇十

2013考研已剩不到40天了，很多同学在做真题和预测题《考研数学绝对考场最后八套题》时发现对概率论与数理统计这部分知识掌握得还不够好，对此专家给出几点建议，助同学们实现完美冲刺。

首先基本概念、基本理论和基本方法是考研数学的重点，概率论与数理统计也不例外，建议同学们随身带本《考研数学必备手册》，方便记忆掌握概念和理论，同时由于概率论与数理统计学科的.特点，同学们尽量能结合实际例子和模型来掌握。

其次概率论中的一维与二维随机变量的分布与数字特征是考研考查的重点内容，但这部分内容比较多，如有联合分布、边缘分布和条件分布，随机变量有离散型随机变量、连续型随机变量，还有介于两者之间的随机变量，有期望、方差还有协方差等。建议同学们在复习这部分时抓住分布函数这一主干，其余的可以说是它的分支。数理统计这部分难度不大，同学们先掌握好其基本概念和性质，然后如矩估计、最大似然估计、验证估计量的无偏性等考查重点，同学们多做些这方面的习题，掌握好其计算方法。

最后概率论与数理统计这部分内容考查单一知识点比较少，大多数试题是考查考生的理解能力和综合应用能力，但是很多同学答卷时，常把概率论与数理统计考题放在最后做，因时间紧迫、考虑不周及心慌等造成考试失误，所以同学们在答卷时要合理安排自己的时间。(来源：考研教育网)

11.数学统计与概率教案 篇十一

关键词：概率；统计；特点；方法

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）19-320-01

一、概率统计的背景和地位

根据最新高中数学教学大纲的要求，概率与统计的内容在新课程中分为必修和选修两部分，其中概率部分为必修部分。而选修部分则分为文科和理科两种：文科包括抽样方法，总体期望值和方差的估计等；理科包括离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的期望值和方差，总体分布的估计，抽样方法，线性回归，正态分布等。这些内容之前都是大学课堂才讲授的内容，现如今在高中的教材中出现，充分体现了其重要性和实用性。虽然所讲授的内容属于简单部分，但是它为高中生提供了一个很好认识数學应用性的平台，为学生以后进入大学阶段学习提供了一个理想的过度阶段。

二、内容和特点

在高中阶段概率和统计主要包括以下几个部分：

1、统计部分

（1）随机抽样 包括简单随机抽样，系统抽样和分层抽样三块；

（2）变量的相关性 学会利用散点图，认识变量间的相关性；知道最小二乘法的思维，学会建立线性回归方程.

（3）用样本估计总体 包括频率分布直方图、频率分布表；知道均值，方差特殊值等；用样本的频率分布估计总体分布，用样本的数字特征估计总体的数字特征。

2、概率部分内容：

（1）随机事件的概念，了解频率与概率的区别与联系；（2）随机事件的基本事件数和事件发生的概率，了解互斥事件的概率加法公式，独立重复试验（3）随机数的意义，能运用模拟方法估计概率，建立简单的几何概型。

3、教材优点分析：（1）教材具有强调经典案例的作用。高中数学课本无论在背景材料、例题和阅读与思考栏目的选材上都注意联系实际，可以很好的锻炼学生的思维，结合学生的兴趣，活学活用。（2）注重统计思想和计算结果的解释。教科书中突出统计思维的培养和解答过程，如在概率的意义部分，利用概率解释了统计中似然法的思想，解释了遗传机理中的统计规律。统计实验中随机模拟方法的原理就是用样本估计总体的思想。（3）注重现代信息技术手段的应用。由于概率统身的特点，统计需要分析和处理大量的数据，概率中随机模拟方法需要产生大量的模拟试验结果，并需要分析和综合试验结果，所以现代信息技术的使用就显得更为必要.

三、教学方法和策略

1、掌握统计思维的特点和作用。学习统计，最重要的就是掌握其思维和题目特点。统计的特征之一是通过部分数据来推测全体数据的性质。由于结果具有随机性，因此统计推断有可能错误，但统计思维又是一种重要的思维方式，它由不确定的数据进行推理随机事件的基本事件数和事件发生的概率也同样是有力而普遍的方法。因此使学生体会统计思维的特点和作用，关键是通过教学中注重通过对数据的分析为合理的决策提供一些依据，以使学生认识统计的作用。

2、采用案例教学，注重数据的收集。高中阶段统计教学应通过案例为主线，使学生经历较为系统的数据处理全过程来学习一些常用的数据处理的方法，从而解决简单的实际问题。同时，具体的案例也容易帮助学生理解问题和方法的实质，更好的帮助学生理解问题。

3、注重对随机现象与概率意义的理解。概率是研究随机现象的科学， 概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义。由于随机试验结果不确定，导致试验之前无法预料哪一个结果会出现，表面看无规律可循，但当我们大量重复实验时，实验的每一个结果都会出现其频率的稳定性。因此，教学时应让学生在实际情景中来体会这一点。

4、建立概率模型。学生学习时，首要的是对各种概率模型的理解和应用，教学中应注意使学生经历从多个实例中概括出具体的概率模型的过程，体会这些例子中的共同特点，从而理解各种概率模型，并且在实际问题中培养学生识别模型的能力.此外教师在教学的过程中，也要注重与其他高中数学知识的结合，使学生体会到数学知识是相通的，激发学生学习其他数学知识的兴趣。

5、注重建立正确的概率直觉。学生存在着一些生活经验，这些经验是学生学习概率的基础，但是其中往往有一些是错误的不科学的。怎样建立正确的概率直觉是概率教学的一个重要目标。要实现这个目标，必须让学生亲自经历对随机现象的探索过程，引导学生首先猜测结果发生的概率；然后亲自动手进行实验，收集实验数据，分析实验结果，并将所得结果与自己的猜测进行比较；最后可以建立理论的概率模型，并与实际结果联系起来，学生在此过程中不断将自己的最初猜测、实验结果和理论概率进行比较，这将促进他们修正自己的错误经验，建立正确的概率直觉.

四、高考对概率统计部分的考察

统计的概念及其计算分析是高中新课程概率部分的必修内容，试题设计比较基本，注重考查灵活应用“相互独立事件的概率乘法”、“互斥事件的概率的加法”或“先求事件的对立事件的概率”等基础知识处理问题，从而考查考生的思维能力和运算能力。

高考在选修部分的命题中，努力体现文理科内容上的不同的要求和学生的实际水平。文科试卷集中在抽样方法、总体分布的估计、总体期望值和方差的估计。其中随机抽样中，简单随机抽样，系统抽样与分层抽样的共同特点是，它们都是等概率抽样。试题考查数理统计中分层抽样的方法在生产和生活中的应用以及简单的计算技能。而理科试卷则集中在离散型随机变量概率分布的基础知识和基本计算要求考生能够识别题中提出的随机变量服从什么分布，并应用相关公式，求出其分布列、期望值和方差等。

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部制定，普通高中数学课程标准（实验），北京：人民教育出版社，2003.

[2] 邱晓昇. 中学数学中统计与概率的教学实践与研究[D]. 苏州大学， 2010.

12.数学统计与概率教案 篇十二

由于高校中不同的专业对数学教学内容的要求不同,为了能更好地发挥教师的教学作用以及调动学生的学习积极性,因此,探讨《概率论与数理统计》的分层教学实施方案是一个比较急迫的事情。本文以西北民族大学公共数学《概率论与数理统计》的设置现状为依据,探讨了公共数学《概率论与数理统计》分层教学方案,其核心内容包括分层教学、分层考核、教学监控与反馈。

一、分层依据

西北民族大学的经管学院、电气工程学院、化工学院、生命科学与工程学院、土木工程学院、数学与计算机科学学院的近二十个专业中均开设有《概率论与数理统计》课。但在具体教学过程中,《概率论与数理统计》课程的教学效果却不尽如人意,出现学生过关率不高、两级分化严重、课时紧张等诸多问题。

由西北民族大学公共数学现状及存在的问题可看到,西北民族大学开设《概率论与数理统计》课的专业比较复杂,所以有必要实施分层教学。分层教学就是依据对《概率论与数理统计》课程的不同专业要求, 将各专业划分为不同的教学层次,每个教学层次的教学内容与教学要求都不尽相同。

在详尽分析各专业开课现状基础,根据开课周学时、前驱课程高等数学的开课情况,以及专业特点,公共《概率论与数理统计》可按照五个教学层次进行教学。

第一教学层次包括电气工程学院的物理学(藏汉双语)专业,现代教育技术学院的应用心理学专业;第二教学层次包括电气工程学院的电气工程及其自动化、电子信息工程、自动化、通信工程专业,土木工程学院的土木工程专业,生命科学与工程学院的食品科学与工程专业;第三教学层次包括管理学院的工商管理、公共事业管理、会计学、旅游管理专业,经济学院的国际贸易、金融学、经济学专业,现代教育技术学院的教育技术学专业;第四教学层次包括数学与计算机科学学院的计算机科学与技术、软件工程专业;第五教学层次包括民族学与社会学学院的社会工作、社会学专业。

二、分层教学内容

各教学层次对《概率论与数理统计》课程的基本内容有所取舍。由于不是数学专业,所以所有教学层次都不要求讲授概率极限理论。

第一、二层次由于只有周2课时,总学时比较紧张,所以只要求讲授概率论部分,不要求讲授数理统计部分。第一层次中应用心理学专业的《高等数学》课程没有开设二重积分,所以不要求讲授二维连续型随机变量,物理学(藏汉双语)专业由于其专业特点也归入第一层次。

第三、四层次为周3课时,总学时足够讲授数理统计部分,同样由于第三层次中的专业没有学习二重积分,所以也不要求讲授二维连续型随机变量。

第五层次中,由社会工作专业和社会学专业的专业特点,其后续课程大量用到回归分析的知识,并且总课时也比较充足,因此不仅要求讲授概率论部分和数理统计部分,也要求讲授回归分析。

三、教材和教学参考资料的建设

教材是师生进行教学活动的基本依据,是教学内容和教学方法的知识载体,也是实现课程教学目标、 实施课堂教学的重要资源。教材不能是一成不变的, 可根据实际情况结合时代特点进行更换,因此,在教学过程中,要注重教材和教参资料的建设。公共数学 《概率论与数理统计》的教材可按如下方案进行建设。

公共数学《概率论与数理统计》的教材必须由公共数学教研室指定,可由任课教师推荐,经公共数学教研室组织教师讨论通过,报学院批准,再报送教务处备案才能使用。

原则上教材应选用高等教育出版社和科学出版社等A类出版社出版的教材。选用的教材,一方面要能满足各教学层次的教学要求,与教学大纲相匹配,另一方面要相对统一,以便能统一管理,特别是可以为统一考试、建立题库打好基础。

在本校经过多次使用、多次调整的讲义应该更能体现本校学生情况,更能满足学生的需求,因此,任课教师在授课过程中要注意积累概率论与数理统计讲义,在条件适当情况可将讲义编为教材出版。

四、课程考核方案

公共课《概率论与数理统计》的课程考核比例为平时占20%,期中占20%,期末占60%,平时考核方式为考勤、作业,期中考核方式为测验,期末考核方式为闭卷考试。

期末考试也分层考核,根据教学层次、开课学期、 专业特点将各专业分为五个考核层次。各层次考查要点及试卷生成方式按如下方式执行,其中:

第一考核层次包括电气工程学院的物理学(藏汉双语)专业,由授课教师单独出卷,考试内容由任课教师视实际情况而定;第二考核层次包括现代教育技术学院的应用心理学专业,电气工程学院的电气工程及其自动化、自动化、电子信息工程、通信工程专业,生命科学与工程学院的食品科学与工程专业,土木工程学院的土木工程专业,试卷采用“公共概率周2题库(心理/电气/食品/土木)”由计算机组卷,考试内容依据第一教学层次的教学内容由指定任课教师给出组卷方案;第三考核层次包括管理学院的工商管理、公共事业管理、会计学、旅游管理专业,经济学院的国际贸易、金融学、经济学专业,现代教育技术学院的教育技术学专业,试卷采用“公共概率周3题库1(管理/经济/ 教育技术)”由计算机组卷,考试内容依据第三教学层次的教学内容由指定任课教师给出组卷方案;第四考核层次包括数学与计算机科学学院的计算机科学与技术、软件工程专业,试卷采用“公共概率周3题库2 (计算机/软件)”由计算机组卷,考试内容依据第四教学层次的教学内容由指定任课教师给出组卷方案;第五考核层次包括民族学与社会学学院的社会工作、社会学专业,试卷采用“公共概率周4题库(社会)”由计算机组卷,考试内容依据第五教学层次的教学内容由指定任课教师给出组卷方案。

此外,按照期末考核要求,需建立“公共概率周2题库(心理/电气/食品/土木)”、“公共概率周3题库1(管理/经济/教育技术)”、“公共概率周3题库2(计算机/软件)”、“公共概率周4题库(社会)”4种计算机组卷题库。原则上,若某学期需要用某一题库进行计算机组卷,则该学期需修订该题库。题库的建立、修订及增补试题应提前提出出题原则和出题知识点。修订教师依据各分层考核方案中的要求及教学层次中的考核要点给出本学期期末考试的组卷方案;

五、教学反馈

为了提高公共数学《概率论与数理统计》的教学质量,需要实施教学反馈制度。教学反馈从信息获取渠道的主体不同可分为三个层次:最低一层是任课教师从学生处获得反馈,中间一层是学院(任课教师所在学院、学生所在学院)或教研室从任课教师和学生处获得反馈,最高一层是教务部门从学生所在学院和开课学院获得反馈。每一层中获得反馈信息的主体有义务根据反馈意见改进相应的教学活动。具体操作方式如下:

任课教师从学生处获得反馈信息的方式可从以下几个方面入手:一是可从学生听课的表情中获取。 课组织得好,讲得生动有趣,学生既在听课,也在积极思考,表情自然喜形于色,而不是满脸的困惑和迷惘; 二是可从课堂提问中获取。教师可选择一些与课堂教学内容密切相关的问题和题目进行抽查,根据抽查结果,应可粗略地估计出全班同学对问题的理解;三是可从课后作业和测验中获取。主要的是靠课后辅导、 作业批改、小测验等去搜集信息,加以整理归纳出为多数学生所困扰的问题,对症下药,以待下次课上矫正;四是班干部定期向老师反映没听懂的地方,教师及时强化训练。

任课教师所在学院可定期不定期组织教研室教师召开教学研讨会,了解上课过程出现的状况;学生所在学院组织学生代表会,询问教师上课情况、学生学习情况;在期末考试结束后,学院要组织教研室进行试卷内容、成绩分析,总结经验。

13.数学统计与概率教案 篇十三

基本介绍

抽屉原理的内容简明朴素，易于接受，它在数学问题中有重要的作用。许多有关存在性的证明都可用它来解决。

抽屉原理-表述

抽屉原理的一种更一般的表述为：

“把多于kn+1个东西任意分放进n个空抽屉（k是正整数），那么一定有一个抽屉中放进了至少k+1个东西。”

利用上述原理容易证明：“任意7个整数中，至少有3个数的两两之差是3的倍数。”因为任一整数除以3时余数只有0、1、2三种可能，所以7个整数中至少有3个数除以3所得余数相同，即它们两两之差是3的倍数。

如果问题所讨论的对象有无限多个，抽屉原理还有另一种表述：

“把无限多个东西任意分放进n个空抽屉（n是自然数），那么一定有一个抽屉中放进了无限多个东西。”

抽屉原理的内容简明朴素，易于接受，它在数学问题中有重要的作用。许多有关存在性的证明都可用它来解决。

应用抽屉原理解题

例1：同年出生的400人中至少有2个人的生日相同。

解：将一年中的365天视为365个抽屉，400个人看作400个物体，由抽屉原理1可以得知：至少有2人的生日相同.400/365=1…35,1+1=2 又如：我们从街上随便找来13人，就可断定他们中至少有两个人属相相同。

“从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套。” “从数1，2，...，10中任取6个数，其中至少有2个数为奇偶性不同。”

例2： 幼儿园买来了不少白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，那么不管怎样挑选，在任意七个小朋友中总有两个彼此选的玩具都相同，试说明道理.解 ：从三种玩具中挑选两件，搭配方式只能是下面六种：（兔、兔），（兔、熊猫），（兔、长颈鹿），（熊猫、熊猫），（熊猫、长颈鹿），（长颈鹿、长颈鹿）。把每种搭配方式看作一个抽屉，把7个小朋友看作物体，那么根据原理1，至少有两个物体要放进同一个抽屉里，也就是说，至少两人挑选玩具采用同一搭配方式，选的玩具相同.上面数例论证的似乎都是“存在”、“总有”、“至少有”的问题，不错，这正是抽屉原则的主要

作用.（需要说明的是，运用抽屉原则只是肯定了“存在”、“总有”、“至少有”，却不能确切地指出哪个抽屉里存在多少.抽屉原理虽然简单，但应用却很广泛，它可以解答很多有趣的问题，其中有些问题还具有相当的难度。下面我们来研究有关的一些问题。

制造抽屉是运用原则的一大关键

例1 从2、4、6、…、30这15个偶数中，任取9个数，证明其中一定有两个数之和是34。分析与解答 我们用题目中的15个偶数制造8个抽屉：

此抽屉特点：凡是抽屉中有两个数的，都具有一个共同的特点：这两个数的和是34。现从题目中的15个偶数中任取9个数，由抽屉原理（因为抽屉只有8个），必有两个数可以在同一个抽屉中（符合上述特点）.由制造的抽屉的特点，这两个数的和是34。

例2：从1、2、3、4、…、19、20这20个自然数中，至少任选几个数，就可以保证其中一定包括两个数，它们的差是12。

分析与解答在这20个自然数中，差是12的有以下8对：{20，8}，{19，7}，{18，6}，{17，5}，{16，4}，{15，3}，{14，2}，{13，1}。

另外还有4个不能配对的数{9}，{10}，{11}，{12}，共制成12个抽屉（每个括号看成一个抽屉）.只要有两个数取自同一个抽屉，那么它们的差就等于12，根据抽屉原理至少任选13个数，即可办到（取12个数：从12个抽屉中各取一个数（例如取1，2，3，…，12），那么这12个数中任意两个数的差必不等于12）。

例3： 从1到20这20个数中，任取11个数，必有两个数，其中一个数是另一个数的倍数。分析与解答 根据题目所要求证的问题，应考虑按照同一抽屉中，任意两数都具有倍数关系的原则制造抽屉.把这20个数按奇数及其倍数分成以下十组，看成10个抽屉（显然，它们具有上述性质）：

{1，2，4，8，16}，{3，6，12}，{5，10，20}，{7，14}，{9，18}，{11}，{13}，{15}，{17}，{19}。

从这10个数组的20个数中任取11个数，根据抽屉原理，至少有两个数取自同一个抽屉.由于凡在同一抽屉中的两个数都具有倍数关系，所以这两个数中，其中一个数一定是另一个数的倍数。

例4：某校校庆，来了n位校友，彼此认识的握手问候.请你证明无论什么情况，在这n个校友中至少有两人握手的次数一样多。

分析与解答 共有n位校友，每个人握手的次数最少是0次，即这个人与其他校友都没有握

过手；最多有n-1次，即这个人与每位到会校友都握了手.然而，如果有一个校友握手的次数是0次，那么握手次数最多的不能多于n-2次；如果有一个校友握手的次数是n-1次，那么握手次数最少的不能少于1次.不管是前一种状态0、1、2、…、n-2，还是后一种状态1、2、3、…、n-1，握手次数都只有n-1种情况.把这n-1种情况看成n-1个抽屉，到会的n个校友每人按照其握手的次数归入相应的“抽屉”，根据抽屉原理，至少有两个人属于同一抽屉，则这两个人握手的次数一样多。

在有些问题中，“抽屉”和“物体”不是很明显的，需要精心制造“抽屉”和“物体”.如何制造“抽屉”和“物体”可能是很困难的，一方面需要认真地分析题目中的条件和问题，另一方面需要多做一些题积累经验。

例5：15个网球分成数量不同的4堆，数量最多的一堆至少有多少个球？ 分析与解答 此题实际是求出15可分拆多少种4个互不相同的整数之和，而15=1+2+3+9=1+2+4+8=1+2+5+7=1+3+4+7=1+3+5+6=2+3+4+6，所以最多一堆的球数可能是9、8、7、6，其中至少有6个。[1]

整除问题

把所有整数按照除以某个自然数m的余数分为m类，叫做m的剩余类或同余类，用[0]，[1]，[2]，…，[m-1]表示.每一个类含有无穷多个数，例如[1]中含有1，m+1，2m+1，3m+1，….在研究与整除有关的问题时，常用剩余类作为抽屉.根据抽屉原理，可以证明：任意n+1个自然数中，总有两个自然数的差是n的倍数。(证明：n+1个自然数被n整除余数至少有两个相等（抽屉原理），不妨记为m=a1*n+b n=a2*n+b，则m-n整除n)。

例1 证明：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数。

分析与解答 在与整除有关的问题中有这样的性质，如果两个整数a、b，它们除以自然数m的余数相同，那么它们的差a-b是m的倍数.根据这个性质，本题只需证明这8个自然数中有2个自然数，它们除以7的余数相同.我们可以把所有自然数按被7除所得的7种不同的余数0、1、2、3、4、5、6分成七类.也就是7个抽屉.任取8个自然数，根据抽屉原理，必有两个数在同一个抽屉中，也就是它们除以7的余数相同，因此这两个数的差一定是7的倍数。

例2：对于任意的五个自然数，证明其中必有3个数的和能被3整除.证明∵任何数除以3所得余数只能是0，1，2，不妨分别构造为3个抽屉： [0]，[1]，[2] ①若这五个自然数除以3后所得余数分别分布在这3个抽屉中(即抽屉中分别为含有余数为

0,1,2的数)，我们从这三个抽屉中各取1个(如1~5中取3,4,5)，其和(3+4+5=12)必能被3整除.②若这5个余数分布在其中的两个抽屉中，则其中必有一个抽屉至少包含有3个余数（抽屉原理），即一个抽屉包含1个余数，另一个包含4个，或者一个包含2个余数另一个抽屉包含3个。从余数多的那个抽屉里选出三个余数，其代数和或为0，或为3，或为6，均为3的倍数，故所对应的3个自然数之和是3的倍数.③若这5个余数分布在其中的一个抽屉中，很显然，从此抽屉中任意取出三个余数，同情况②，余数之和可被3整除，故其对应的3个自然数之和能被3整除.例2′：对于任意的11个整数，证明其中一定有6个数，它们的和能被6整除.证明：设这11个整数为：a1，a2，a3……a11 又6=2×3 ①先考虑被3整除的情形

由例2知，在11个任意整数中，必存在： 3|a1+a2+a3，不妨设a1+a2+a3=b1；

同理，剩下的8个任意整数中，由例2，必存在：3 | a4+a5+a6.设a4+a5+a6=b2； 同理，其余的5个任意整数中，有：3|a7+a8+a9，设：a7+a8+a9=b3 ②再考虑b1、b2、b3被2整除.依据抽屉原理，b1、b2、b3这三个整数中，至少有两个是同奇或同偶，这两个同奇（或同偶）的整数之和必为偶数.不妨设2|b1+b2 则：6|b1+b2，即：6|a1+a2+a3+a4+a5+a6 ∴任意11个整数，其中必有6个数的和是6的倍数.例3： 任意给定7个不同的自然数，求证其中必有两个整数，其和或差是10的倍数.分析：注意到这些数除以10的余数即个位数字，以0，1，…，9为标准制造10个抽屉，标以[0]，[1]，…，[9].若有两数落入同一抽屉，其差是10的倍数，只是仅有7个自然数，似不便运用抽屉原则，再作调整：[6]，[7]，[8]，[9]四个抽屉分别与[4]，[3]，[2]，[1]合并，则可保证至少有一个抽屉里有两个数，它们的和或差是10的倍数.面积问题

例：九条直线中的每一条直线都将正方形分成面积比为2:3的梯形，证明：这九条直线中至少有三条经过同一点.证明：如图，设直线EF将正方形分成两个梯形，作中位线MN。由于这两个梯形的高相等，故它们的面积之比等于中位线长的比，即|MH|:|NH|。于是点H有确定的位置（它在正方形一对对边中点的连线上，且|MH|:|NH|=2:3）.由几何上的对称性，这种点共有四个（即图中的H、J、I、K）.已知的九条适合条件的分割直线中的每一条必须经过H、J、I、K这四点中的一点.把H、J、I、K看成四个抽屉，九条直线当成9个物体，即可得出必定有3条分割线经过同一点.应该是 [(物体数-1)÷抽屉数]+1 染色问题

例1正方体各面上涂上红色或蓝色的油漆（每面只涂一种色），证明正方体一定有三个面颜色相同.证明：正方形有6个面 由最多[(m-1)÷n]+1 得出[(6-1)÷2]+1=[2.5]+1=3 例2 有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.请你证明，这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。

分析与解答 首先要确定3枚棋子的颜色可以有多少种不同的情况，可以有：3黑，2黑1白，1黑2白，3白共4种配组情况，看作4个抽屉.根据抽屉原理，至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色在同一个抽屉里，也就是他们所拿棋子的颜色配组是一样的。

例3：假设在一个平面上有任意六个点，无三点共线，每两点用红色或蓝色的线段连起来，都连好后，问你能不能找到一个由这些线构成的三角形，使三角形的三边同色？

解：首先可以从这六个点中任意选择一点，然后把这一点到其他五点间连五条线段，如图，在这五条线段中，至少有三条线段是同一种颜色，假定是红色，现在我们再单独来研究这三条红色的线。这三条线段的另一端或许是不同颜色，假设这三条线段（虚线）中其中一条是红色的，那么这条红色的线段和其他两条红色的线段便组成了我们所需要的同色三角形，如果这三条线段都是蓝色的，那么这三条线段也组成我们所需要的同色三角形。因而无论怎样着色，在这六点之间的所有线段中至少能找到一个同色三角形。

例3′（六人集会问题）证明在任意6个人的集会上，或者有3个人以前彼此相识，或者有三个人以前彼此不相识。”

例3”：17个科学家中每个人与其余16个人通信，他们通信所讨论的仅有三个问题，而任两个科学家之间通信讨论的是同一个问题。证明：至少有三个科学家通信时讨论的是同一个问题。

解：不妨设A是某科学家，他与其余16位讨论仅三个问题，由鸽笼原理知，他至少与其中的6位讨论同一问题。设这6位科学家为B，C，D，E，F，G，讨论的是甲问题。

若这6位中有两位之间也讨论甲问题，则结论成立。否则他们6位只讨论乙、丙两问题。这样又由鸽笼原理知B至少与另三位讨论同一问题，不妨设这三位是C，D，E，且讨论的是乙问题。

若C，D，E中有两人也讨论乙问题，则结论也就成立了。否则，他们间只讨论丙问题，这