等比前n项和学案（精选6篇）
1.等比前n项和学案 篇一
一、教材分析
《等比数列前n项和》选自北师大版高中数学必修5第一章第3节的内容。等比数列的前n项和是“等差数列及其前n项和”与“等比数列”内容的延续，也是函数的延续，它实质上是一种特殊的函数;公式推导中蕴涵的数学思想方法如分类讨论等在各种数学问题中有着广泛的应用，如在“分期付款”等实际问题中也经常涉及到.具有一定的探究性。
二、学情分析
在认知结构上已经掌握等差数列和等比数列的有关知识。在能力方面已经初步具备运
用等差数列和等比数列解决问题的能力;但学生从特殊到一般、分类讨论的数学思想还需要进一步培养和提高。在情感态度上学习兴趣比较浓,表现欲较强,但合作交流的意识等方面尚有待加强。并且让学生在探究等比数列前n项和的过程中体会合作交流的重要性。
三、教学目标分析：
知识与技能目标：
(1)能够推导出等比数列的前n项和公式;
(2)能够运用等比数列的前n项和公式解决一些简单问题。
过程与方法目标：提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力。体会公式探求
过程中从特殊到一般的思维方法、错位相减法和分类讨论思想。
情感与态度目标：培养学生勇于探索、敢于创新的精神，磨练思维品质，从中获得成功的体验。
四、重难点的确立
《等比数列的前n项和》是这一章的重点，其中公式推导所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一，它蕴含了多种重要的数学思想，因此，本节课的教学重点为等比数列的前n项和公式的推导及其简单应用.而等比数列的前n项和公式的推导过程中用到的方法学生难以想到，因此本节课的难点为等比数列的前n项和公式的推导。
五、教学方法
为突出重点和突破难点，我将采用的教学策略为启发式和探究式相结合的教学方法，教学手段采用计算机进行辅助教学。
六、教学过程
为达到本节课的教学目标，我把教学过程分为如下6个阶段：
1、创设情境：
创设一个西游记后传的情景，即高老庄集团，由于资金短缺，决定向猴哥进行贷款，猴哥每天给八戒投资1万元，以后每天比前一天多1万，连续30天，但有一个条件：第一天返还1分，第二天返还2分，第三天返还4分后一天返还数为前一天的2倍.假如你是高老庄集团企划部的高参，请你帮八戒决策.这是一个悬念式的实例，后面的“假如”又把学生带入了实例创设的情境，营造了积极、和谐的学习气氛，使学生产生学习心理倾向，并进一步了解数学来源于生活.
2、探究问题，讲授新课：
根据创设的情景，在教师的诱导下，学生根据自己掌握的知识和经验，很快建立起两个等比数列的数学模型。提出如何求等比数列前n项和的问题，从而引出课题。通过回顾等差数列前n项和公式的推导过程，类比观察等比数列的特点，引导学生思考，如果我们把每一项都乘以2，则每一项就变成了它的后一项，引导学生比较这两个式子有许多相同的项的特点，学生自然就会想到把两式相减，进而突破了用错位相减法推到公式的难点。教师再由特殊到一般、具体到抽象的启示，正式引入本节课的重点等比数列的前n项和，请学生用错位相减法推导出等比数列前n项和公式。得出公式后，学生一起探讨两个问题，一是当q=1时Sn又等于什么，引导学生对q进行分类讨论，得出完整的等比数列前n项和公式，二是结合等比数列的通项公式,引导学生得出公式的另一形式。
3、例题讲解：
我们在讲解例题时，不仅在于怎样解，更在于为什么这样解，而及时对解题方法和规律进行概括，有利于发展学生的思维能力。本节课设置如下两种类型的例题：
1)例1是公式的直接应用，目的是让学生熟悉公式会合理的选用公式
2)等比数列中知三求二的填空题，通过公式的正用和逆用进一步提高学生运用等比数列前n项和的能力.
4.形成性练习：
练习基本上是直接运用公式求和，三个练习是按由易到难、由简单到复杂的认识规律和心理特征设计的，有利于提高学生的积极性。学生练习时，教师巡查，观察学情，及时从中获取反馈信息。对学生练习中出现的独到解法提出表扬和鼓励，对其中偶发性错误进行辨析、指正。通过形成性练习，培养学生的应变和举一反三的能力，逐步形成技能。
5.课堂小结
本节课的小结从以下几个方面进行：(1)等比数列的前n项和公式
(2)推导公式的所用方法——从特殊到一般的思维方法、错位相减法和分类讨论思想。通过师生的共同小结，发挥学生的主体作用，有利于学生巩固所学知识，也能培养学生的归纳和概括能力。进一步完成认知目标和素质目标。
6.作业布置
针对学生素质的差异进行分层训练，既使学生掌握基础知识，又使学有余力的学生有所提高，从而达到拔尖和“减负”的目的。并可布置相应的研究作业，思考如何用其他方法来推导等比数列的前n项和公式，来加深学生对这一知识点的理解程度。
2.等比前n项和学案 篇二
提出问题: 已知等比数列{ an} 的首项为a1, 公比为q, 求它的前n项和Sn.
问题分析: 这个问题中给出的已知条件就是等比数列、首项和公比, 要求的是前n项和. 我们已经学习过等差数列的相关概念和公式, 那么等比数列是否也可以用类似于等差数列前n项和公式的推导方法进行推导呢? 经过思考和实践, 主要总结出了以下的几种推导思路.
一、以等差数列前n项和公式的推导为参考
当{ an} 为等比数列时, 这样就表示出了Sn, 但这个式子里面共有n项相加, 必须要化简, 消除其中的一些项, 只用某几项来表示. 从上面的式子我们可以观察到, 从第二项起, 每一项都是前一项的q倍, 那么我们可以采用类似于等差数列前n项和的方式, 对该式的两边同时乘q得到一个新的式子:, 用这个式子减去Sn, 就可以把大部分的项都消除掉, 得到, 整理得:且当q≠1时, 当 q = 1 时, Sn= na1.
反思这种方式类似于等差数列前n项和的推导过程, 主要就是通过适当的变形和相减, 把大部分项都消除掉, 达到化简的目的, 使Sn能够写成用a1, q和n表示的形式.
二、以等差数列的通项公式推导方式为参考
在等差数列中, 当n≥2时, 有a2- a1= d, a3- a2= d, …将这些等式的两边分别相加起来, 就可以消除掉等式左边的中间项, 得到an- a1= ( n - 1) d, 且当n = 1时, 这个等式也成立. 那么把这个推导方法运用到等比数列中得:也就是同样的, 把这些等式都加起来, 就得到了等式的左边少了加上a1可以凑成Sn等式的右边括号内加上an也可以凑成Sn, 所以等式可以写成Sn- a1= ( Sn- an) ·q且当q≠1 时, 当 q = 1 时, Sn= na1
反思这种方法是根据等比数列的定义推导出来的, 把每一项表示出来, 用累加的方式就可以得到与Sn相关的式子, 再进行适当的变换, 用已知把Sn表示出来就得到了我们需要的目标公式. 这种推导方式的实质就是建立一个有关于Sn的方程, 解出这个方程, 就是用相关的已知量来表示Sn, 因此, 这可以说是一种方程思想的应用.
三、以等比数列的定义结合比例式的性质进行推导
根据等比数列的定义，与方法二中相似的方法, 要使得式子中出现要求的Sn, 就要凑出通过观察可以发现这个式子的特点是分子中含有除a1外的其他项, 那么, 我们结合 比例式的 性质, 可以得到也就是同样可以得到有关于Sn的方程.
反思这种思路直接从定义出发, 结合等比例的性质, 更容易理解, 思路方面比第二种方法更加清晰自然. 相同之处都是运用了方程的思想, 用解方程的方式把所求的公式表达出来.
等比数列是高中数学的重点和难点, 特别是有关公式的推导, 教师在教学中一定要重视, 只有经过认真思考和推导之后, 学生们对公式的理解才比较彻底, 在实际运用中才能更加灵活.
参考文献
[1]吴静, 祝世清 (指导教师) .方程法变形数列递推公式.中学生数学:高中版, 2013 (9) .
[2]汪元健.求数列通项公式的技巧.中国文房四宝, 2013 (6) .
3.等比数列的前n项和 篇三
【关键词】等比数列;前n项和;教学设计;教学目标;教学方法
Geometric series and the first item n—— teaching design
Du Ke-bao
【Abstract】geometric series of pre-n and the formula is the key to change “and” to “reduce”, it seems that this teacher is “natural”, but the students seem it was “unimaginable”.
【Key words】geometric series; before the n and teaching design; teaching objectives; teaching methods
［教学目标］
1、理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点，并能初步应用公式解决与之有关的问题。
2、通过对公式推导方法的探索与发现，渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力。
3、通过对公式推导方法的探索与发现，优化学生的思维品质，渗透事物之间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点。
［教学重点、难点］
重点：等比数列的前n项和公式的推导及运用
难点：公式的推导方法及运用公式时对公比的分类讨论
［教学类型］
新授课
［教学用具］
多媒体、幻灯片
［教材分析］
《等比数列的前n项和》这一节内容是在学生学习了等差数列、等比数列的概念及通项公式、等差数列的前n项和公式的基础上进行的。它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。学生很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是认知的有利因素。认知的不利因素有：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维定势是一个突破。另外，对于q=1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。
［教学方法］
本节是对公式的教学，要使学生掌握与理解公式的来龙去脉，掌握公式的推导方法，理解公式的成立条件，充分体现公式之间的联系。所以在教学中，采用“问题——探究”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段，并利用多媒体辅助教学，直观反映教学内容，使学生思维活动得以充分展开，从而优化教学过程，提高教学效率。
［教学过程］
1、创设情境，提出问题（幻灯片）
引入：古印度国际象棋发明者受赏的故事
提问：同学们，你们知道发明者西萨要的是多少小麦吗？
国王能满足他的要求吗?
引导同学写出麦粒总数为：
1+2+22+23+…+263
这是什么数列求和？是等差数列求和吗？
（板书）等比数列的前n项和
设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学生的兴趣，调动学习的积极性。故事内容紧扣本节课的主题与重点,并留下悬念。
2、师生互动，探究问题（幻灯片）
探讨：发明者要的麦粒总数为：
上式有何特点？
不难发现，右式中有64项，后项与前项的比为公比2
如果①式两边同乘以2得
结束开头引入的故事，若把1.84×10粒小麦依次排列，它的长度就相当于地球到太阳距离的2万倍；若按万粒400克计算，可达7000亿吨，而我国小麦现年产量在1亿吨左右，多么庞大的量呀！
把引入课题时的悬念给予释疑，有助于学生克服认知疲劳，更从计算结果中让学生明确实际问题的解决离不开数学，在市场经济中必须有敏锐的数学头脑。
5、课堂练习
课本第305页A组1、2
针对练习，巩固知识。
6、课堂小结：（幻灯5）
（1）学习了等比数列的前n项和公式，应用时注意公比q的取值范围当q≠1时，Sna1（1-qn）1-q=或Sn=a1-anq1-q当q=1时，Sn=na1
（2）学习了推导数列求和公式的一种常用方法：错位相减法
（3）进一步了解数学思想方法及其作用，通过类比联想，打通解题思路，分类讨论等思想，更直接地提高了分析、解决问题的能力。
师生共同小结，发挥学生的主体作用，有利于学生巩固所学知识，也能培养学生的归纳和概括能力。
7、布置作业
（1）书面作业：课本第305页B组1、2、3
（2）弹性作业：求1+a+a+a+…a
弹性作业目的是注意分层教学和因材施教，为学有余力的学生提供思考的空间
［板书设计］
收稿日期：2008－01－06
4.等比前n项和学案 篇四
导入：同学们，大家好！数学科学是一个不可分割的有机整体，它的生命力正在于各部分之间的联系，咱们在前边数列这一部分看到了很多有联系的数，排成一定顺序的数，我们重点研究了等差数列和等比数列，正是它们向我们展示了数与数之间美妙的联系，那么首先在等差数列当中，我们学习了等差数列的定义，通项公式和以及前n项求和公式，那么现在咱们一块回忆一下等差数列前n项求和公式的推导过程，在等差数列前n项求和公式的推导过程当中，我们注意到，等差数列的本质特征是从第二项起，每一项比前一项要多一个公差d，那么，再把对等的两项交换顺序后，我们又一次注意到等差数列从倒数第二项起，每一项比后一项少一个d，就是通过这样的本质特征，我们发现了等差数列各项之间的差异，那么我们通过什么样的方式来消除这样的差异呢？（停顿两秒，之后同学一起回答）把这两个式子相加，这样我们就可以得到等差数列前n项求和公式。先找差异，再消除差异，这样的方法我们称之为“倒序相加”的方法。
好，我们再来看等比数列，在等比数列中我们已经学习了它的定义，通项公式，那么接下来应该学习它的（在此停顿一秒，学生一起回答）前n项求和公式，好的，前n项求和公式。首先，我们来看这样一个问题情境，首先我们来做一个假设，假设在座的各位都是小小企业家，现在，你的公司在经营上遇到一些困难需要向银行贷款，银行和你商定，在三年内，公司每月向银行贷款一万元，为了还本付息，公司第一个月要向银行还款一元，第二个月还款2元，第三个月还款4元，„„，那么以此类推，也就是说公司每月还款的数量是前一个月的两倍。那么，你作为这个公司的负责人，你会在这个和约上签字吗？思考一下，和同桌之间讨论一下。
提问，怎么样会不会签约？那么请你吧这么一个在你的公司中遇到的问题给我们建立一个数学模型，我们可以把这个借款的过程（借款的过程也就是银行每月给你的过程，银行每月给的钱可以构成一个？）构成一个等比数列，（等比数列，好，an ,这个数列的首项？）首项是10000，（首项是10000元，）公比是1，（一共有多少项？）一共有36项。（好的，第二个，bn）首项是1元，（也就是你每个月给引港的还款也构成一个等比数列，他的首项是1，公比是？一共是多少项？）
那么你通过什么计算出我不会和银行签约，通过计算数列的和，好，首先我们来看看，在银行借给你的钱的和是？那么你还给银行的钱呢？非常好请坐
现在这位同学帮我们把这个实际问题概括成了数学问题，建立了数学模型，原来是两个等比数列的问题，我们在决定要不要和银行签约的过程也就是去比较一下银行借给我们的钱和我们还给银行的钱之间的差异，好，银行借给我们的前已经解决了，那么我们还给银行的钱又怎样计算呢，这实际上就是一个等比数列求和的问题，这也就是本节课我们要来研究的课题，等比数列前n项和，试想，如果我们掌握了这个方法，我们能精确的计算出我们还给银行的钱是多少，那么我们可以明确地做出判断我是否和银行签约，是不是？
接下来在这个36项求和的过程的当中，这个等比数列求和
5.等比前n项和学案 篇五
[摘要]如何根据新课标要求进行教学设计，是每个教师课前思考的问题.以“等比数列前n项和”为一课例进行教学设计与思考.[关键词]等比数列 前n项和 教学
[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 16746058（2015）080012
一、教学内容分析
本节课是《普通高中课程标准实验教科书?数学
（五）》（人教A版）第二章第五节第一课“2.5.1等比数列前n项和”（P55-58）.本节内容是由一个故事启发得出一般求等比数列前n项和的思路，它是基于等比数列的“等比”特性的一种特殊求和方法.在教学中，应着重引导学生观察、分析、归纳、猜想，使学生善于“发现规律――归纳规律――应用规律”.二、教学目标
1.基础知识目标：理解等比数列前n项和公式的推导方法，掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题.2.能力训练目标：（1）培养学生由特殊到一般的化归思想以及对式子变形的各种手段方法的应用能力，渗透方程思想、分类讨论思想，优化学生的思维品质；（2）通过探究与活动，让学生明白考虑问题要细致，说理要明确.3.创新素质目标：发挥学生主体作用，让学生在探究活动中学会思考，自觉地把所学知识应用于实际问题.三、教学重难点
重点：等比数列前n项和公式以及对公式的理解与运用.难点：等比数列前n项和公式的推导.四、教学过程
（一）创设情境，提出问题――激发求知欲
创设问题情境：有一穷人向富翁借钱，借钱方案如下：从第一天起借出1万，第二天借出2万，第三天借出3万……以此类推，每一天借的钱数都比前一天多一万，直到第30天，富人总共向穷人借出多少钱？穷人还钱方案如下：从借钱的第一天开始，穷人就开始向富翁还钱，第一天还1分，第二天还2分，第三天还4分，第四天还8分……以此类推，每一天还的钱数都是前一天的两倍，直到第30天.试问同学们，假设你依据这个方案向富翁借这笔钱，你们愿意吗？
学情预设：大多数学生可能算不出具体数目，只是凭直观判断表示“愿意”.教师引导：愿不愿意借这笔钱，关键是看借钱和还钱的总和各是多少.师生共同用计算器计算这个数，大家会发现这个数大得惊人，大于1073万元，穷人是无法满足富翁的要求的.师：如果你们不假思索地答应，将会导致一个很不幸的后果发生，这都是不具备基本的数学知识所造成的.而避免这个不幸的后果发生的知识，正是我们这节课所要探究的知识.此时学生跃跃欲试，纷纷想求出这个数列的前30项和，但因知识受限，无法一次求出，课题的引入水到渠成.[设计意图]用一个看似简单的生活实例，不仅复习了等差数列的求和，而且为引出等比数列前n项和作准备；同时通过与等差数列的对比让学生感受等比数列的爆炸增长，激起学生学习新知识的兴趣和欲望.（二）师生互动，探究新知――等比数列前n项和公式的推导
一般的，设等比数列{an}，公比为q，则它的前n项和是Sn=a1+a2+a3+…+an.等比数列前n项和公式是求等比数列的前n项和的一个化简式，它的推导有很多方法，我们先研究教科书所采用的方法.推导方法一：错位相减法
1.由问题情境中S30=1+2+22+23+…+229的求解我们很自然地由特殊到一般，可以先让学生思考一个特殊的简单情形，即
Sn=1+q+q2+q3+…+qn-1.①
教师引导：首先复习推导等差数列前n项和公式，形式上采用倒序相加法，本质上是根据等差数列的定义an+1-an=d，从“公差为d”这一特性出发，抓住倒序后两式中上下对应项的和均为“a1+an”这个特点，构造相同项，进而化繁为简，推得公式.师：请同学们注意观察、联想，等比数列是不是也可以用倒序相加法求和？
（学生进行尝试，发现行不通）
在此情境下，教师引领学生透过现象看本质，类比等差数列前n项和公式求法.在等比数列前n项和中构造相同项，从而化繁为简是解决问题的关键.师：等差数列求和是根据定义，由公差d切入.自然，等比数列求和同学们也应抓住定义，由公比q来探究.关注等比数列定义和①式，你们能发现什么？
（四）课堂小结
本节学习了如下内容：
1.等比数列前n项和公式及其推导；特别是在推导过程中，学到了“错位相减法”，这一方法是解决一类求和问题的重要基础和有力工具，要引起高度重视.2.等比数列前n项和公式的应用.因为公式涉及等比数列的基本量中的4个量，一般需要知道其中的3个，才能求出另外一个量.另外应该注意的是，由于公式有两个形式，在应用中应该根据题意所给的条件，选择适当的公式.3.在使用等比数列求和公式时，注意q的取值是至关重要的一个环节，需要放在第一位来思考，必要时要分类讨论.4.体现的数学思想有：类比思想、分类讨论思想和方程思想.（五）课后作业
基础题：课本P61习题2.5（A组）第1、2、3题.提高题：求和（1+a）+（2+a2）+…+（2n-1+an）.探究与发现：查阅网络，思考等比数列前n项和公式还有无其他推导方法？
五、教学反思
6.高一数学等比数列的前n项和 篇六
教学目标
1.掌握等比数列前 项和公式，并能运用公式解决简单的问题.（1）理解公式的推导过程，体会转化的思想；
（2）用方程的思想认识等比数列前 项和公式，利用公式知三求一；与通项公式结合知三求二；
2.通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想.3.通过公式推导的教学，对学生进行思维的严谨性的训练，培养他们实事求是的科学态度.教学建议 教材分析
（1）知识结构
先用错位相减法推出等比数列前 项和公式，而后运用公式解决一些问题，并将通项公式与前 项和公式结合解决问题，还要用错位相减法求一些数列的前 项和.（2）重点、难点分析
教学重点、难点是等比数列前 项和公式的推导与应用.公式的推导中蕴含了丰富的数学思想、方法（如分类讨论思想，错位相减法等），这些思想方法在其他数列求和问题中多有涉及，所以对等比数列前 项和公式的要求，不单是要记住公式，更重要的是掌握推导公式的方法.等比数列前 项和公式是分情况讨论的，在运用中要特别注意 教学建议
（1）本节内容分为两课时，一节为等比数列前 项和公式的推导与应用，一节为通项公式与前 项和公式的综合运用，另外应补充一节数列求和问题.（2）等比数列前 结，证明结论.项和公式的推导是重点内容，引导学生观察实例，发现规律，归纳总
和
两种情况.（3）等比数列前 项和公式的推导的其他方法可以给出，提高学生学习的兴趣.（4）编拟例题时要全面，不要忽略
（5）通项公式与前 但解指数方程难度大.的情况.项和公式的综合运用涉及五个量，已知其中三个量可求另两个量，（6）补充可以化为等差数列、等比数列的数列求和问题.教学设计示例
课题：等比数列前 项和的公式 教学目标
（1）通过教学使学生掌握等比数列前
项和公式的推导过程，并能初步运用这一方法求一些数列的前 项和.（2）通过公式的推导过程，培养学生猜想、分析、综合能力，提高学生的数学素质.（3）通过教学进一步渗透从特殊到一般，再从一般到特殊的辩证观点，培养学生严谨的学习态度.教学重点，难点
教学重点是公式的推导及运用，难点是公式推导的思路.教学用具
幻灯片，课件，电脑.教学方法
引导发现法.教学过程
用心 爱心 专心
121号编辑
一、新课引入：
（问题见教材第129页）提出问题：
二、新课讲解：
记，式中有64项，后项与前项的比为公比2，当每一项都
（幻灯片）
乘以2后，中间有62项是对应相等的，作差可以相互抵消.（板书）即
②－①得
即
.，如何化简？，①
，②
由此对于一般的等比数列，其前 项和（板书）等比数列前 项和公式
仿照公比为2的等比数列求和方法，等式两边应同乘以等比数列的公比，即（板书）
③两端同乘以，得 ④，③－④得 当 时，由③可得
⑤，（提问学生如何处理，适时提醒学生注意 的取值）（不必导出④，但当时设想不到）
当 时，由⑤得.于是 的数列的和，其中
为等反思推导求和公式的方法——错位相减法，可以求形如 差数列，为等比数列.（板书）例题：求和：.设 法求和.，其中 为等差数列，为等比数列，公比为，利用错位相减
用心 爱心 专心
121号编辑
解：，两端同乘以，得，两式相减得
于是.说明：错位相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题.公式其它应用问题注意对公比的分类讨论即可.三、小结：
1.等比数列前 项和公式推导中蕴含的思想方法以及公式的应用； 2.用错位相减法求一些数列的前 项和.四、作业：略.五、板书设计：
用心 爱心 专心