猜想在数学中的作用

猜想在数学中的作用（精选10篇）

1.猜想在数学中的作用 篇一

论猜想在小学数学教学中的路径建设论文

波利亚曾说过:在数学领域中,猜想是合理的,是值得尊重的,是负责任的态度。猜想是人们的一种重要思维活动,最常运用于对新知识的探索起步阶段。没有大胆的猜想,就不可能有伟大的发明和发现。在小学数学教学中,合理恰当地运用猜想,可以锻炼学生的数学思维,培养学生的创新能力。以下笔者就数学猜想在课堂教学中的应用谈谈自己的做法。

一、新课导入,鼓励猜想

先声夺人的导入具有牵一发动全身之妙,为学习新知创造一个良好的开端。在小学数学教学过程中,教师可以创设情境,引导学生大胆猜想新知内容,让学生带着明确的学习目标进行自主探究,以活跃学生思维,调动学生的心智,实现教学质量的最优化。

例如在学习人教版小学数学6年级上册《圆面积》时,笔者先让学生大胆猜一猜圆面积的大小与什么有关,并结合图形考虑:小正方形的面积是多少?大正方形的面积是多少?猜一猜圆面积大约在什么范围?学生很顺利地得出圆面积<4r2。然后笔者以问题“计算圆面积有没有更精确的标准和公式?”成功导入新课。这不仅让学生在大胆的猜测中培养了独立思考的能力,也让学生在新旧知识间启动了思维的闸门,促进学生对知识的感知。

二、动手操作,引发猜想

对培养学生探究能力而言,提出猜想、建立假设比验证更重要。在数学学习中,教师可以挖掘教材内容,引导学生利用已有的数学知识和经验,大胆猜想。这不仅可以让学生通过对问题的观察和比较,提出对新知识的一种预测,也能让学生在摆一摆、量一量的操作活动中开拓思维。

例如在学习“余数一定比除数小”这个概念时,笔者首先让学生分别拿出7根、8根、9根、10根小棒,每3根搭一个三角形,看看可以搭出几个三角形,还剩下几根。在“摆一摆”中引导学生列出如下算式:7÷3=2……1,8÷3=2……2,9÷3=3,10÷3=3……1。然后,笔者又引导学生观察思考:在除数是3的除法算式中,余数有几种可能?你能根据除数与余数的大小关系猜测出什么结论?如果除数是4时,余数又有几种可能?除数是5、6呢?为什么?通过有目的、有组织地让学生操作、观察,学生对余数一定要比除数小的道理不仅知其然,而且知其所以然。这不仅满足了学生好动好奇的天性,也让学生在观察操作中探索出除法中被除数、除数、商、余数之间的关系,对有余数除法概念的印象就更深刻了。

三、抓住本质,归纳猜想

在学习数学知识的过程中,让学生学会合理猜想,可以促进学生多角度思维,加快大脑中表象形成的速度。但我们不能只培养学生的推理能力,还要让学生学会观察和归纳总结。比如,在零碎的演算和实践后,教师可引导学生推测猜想性知识可能具有的类似属性,将猜想与验证结合起来,从而抓住事物的本质特征,归纳出结论。

例如在学习被3整除的数的特征时,由于学生之前学习过能被2、5整除的数的特征,以为被3整除的数的特征也是看个位。因此,笔者先让学生说一些能被3整除的数,如:15、18、21、27、36……很快学生发现在个位上找不到规律。然后笔者又在黑板上把这些能被3整除的数字交换个位数和十位数的位置:51、81、12、72、63,学生发现这些数字仍然能被3整除,从而很自然地联想到能被3整除的数字与每个数字的大小有关。在这个过程中,让学生仔细观察、猜想,进而得出结果,更易于学生消化和吸收,提高思维能力。

四、实践探究,验证猜想

对学生而言,学习的过程就如同科学发现的过程,不断演绎着猜想和验证的循环。教师要充分利用猜想,尤其在知识巩固阶段,充分调动学生头脑中已有的数学信息,让学生通过不同的方法来验证自己的猜想是否合理,以求迸发出智慧的火花,开拓新的思路,从而获得突破性的`结论。

例如,在学习《圆的周长》时,笔者让学生大胆猜想圆周长可能会和什么有关。有的学生说与半径有关,有的学生说与直径有关。为了验证他们的猜想,笔者让学生以小组合作的形式分别对一元硬币、杯垫、光盘进行测量,并一一记录下它们的周长、直径,以及圆周长除以直径的商(保留二位小数)。很快,学生们就能发现圆周长与直径的关系,并且发现不管圆是大是小,圆的周长除以直径的商都是三点多。通过让学生猜想圆周长可能与圆的什么有关,并动手实践探究圆周长和直径的关系,进一步验证了学生的猜想是否具有合理性、科学性,也让学生很自然地认识了圆周率,完成了圆周长公式的建构。

总之,在课堂中鼓励学生大胆猜想能有效提高课堂学习效率,发展学生的创造能力。因此,教师要对教材中的猜想因素深入挖掘,根据学生的年龄特点和教学内容的需要,循序渐进地加以培养,从而使学生的思维在猜想中得到发展。

2.猜想在数学中的作用 篇二

那么, 怎样学会猜想呢?

一、观察法

通过对数或形的结构特点的观察, 加以联想, 从而提出解决问题的猜想或对规律的猜想.

例52=25, 152=225, 252=625, 352=1225…….由此归纳猜想以5结尾的整数的平方数的构成规律, 并加以证明.

容易发现, 所有这些平方数的末两位数字都是25, 经过进一步观察可以得到:2=1×2, 6=2×3, 12=3×4, …….也就是说, 这些平方数的百位以上的数字组成的数等于原来的十位数与此数加上1的积.

于是我们可以猜想:如果一直某数为10a+5 (a是整数) , 则此数的平方数, 即 (10a+5) 2的末两位数字是25, 百位以上的数字组成的数等于a (a+1) .

二、类比法

波利亚认为“类比就是一种相似”.类比是根据两个事物之间在某些方面的相似或相同.猜想在其他方面也可能相似或相同.

例:在设计梯形中位线教学时, 可先复习三角形中位线的定义和性质, 然后引出”连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.”

可引导学生构造一个以EF为中位线, AB为一边的三角形, 因此, 比较自然的会想到连接AF, 并且延长AF, 与BC的延长线相交于H, 则△ABH就是所要构造的三角形.通过三角形全等, 可以证得CH=AD, FC=FD, EF=BH= (BC+AD) .由此可以得到梯形中位线定理:梯形的中位线平行于两底, 并且等于两底和的一半.

三、化一般为特殊

一般化与特殊化是数学学习中解决问题的行之有效的思维方法.思维中或进、或退都是一种思维的策略和手段.通过它, 可以在思维中“山穷水复疑无路”的情况下, 走向“柳暗花明又一村”的情境中去.

猜想策略是一种由此及彼寻找解题途径的策略.通过猜想使解决旧问题的方法重现, 在它的启发下, 从而形成解决新问题的方法.因此, 旧方法是形成新方法的前提;新方法的发现是旧方法的发展, 而猜想就是发现的中介.

3.数学猜想在高考中的应用 篇三

【关键词】数学猜想；高考数学题；解题方法

一、数学猜想

数学猜想是对研究的对象或问题进行观察、试验、分析、比较、联想、类比、归纳等，依据已有的材料和知识作出符合一定的经验与事实的推测性想象的思维形式。这样的推测性命题是否正确，尚需通过验证与证明，而这种验证的过程就是能力提升的一种学习过程。在新课程改革的理念下许多数学问题可以根据题目所述条件对结论进行猜想。事实上，猜想在数学思维上，有着广泛的作用。猜想不仅能缩短解决问题的时间和获得数学发现的机会，而且能激起学习数学饱满的热情和积极的思维，培养学生克服困难的坚强意志，自始至终地主动参与数学知识探索的过程。

二、数学猜想在数学学习中的重要作用

众所周知，牛顿正是从苹果落地的想象大胆进行猜想从而发现了万有引力。在广阔的数学领域，许多重要定理的发现，无不与大胆猜想有关。猜想是数学思维的一种重要形式，纵观数学发展史，很多的问题是从猜想开始的，如：歌德巴赫猜想、欧拉猜想、四色猜想等，它是解决数学理论自身矛盾和疑难问题的一条有效途径；它作为一种创造性的思维活动，是科学发现的一种重要方法。不只是在高考中，在初高中和大学的学习中，我们也会发现数学猜想是一种非常重要和实用的数学思维，其重要性是显而易见的。

1.有利于更为透彻地理解和掌握数学知识

数学的特点是严谨、逻辑性强，学生在学习时往往只注重了知识的表层，或者去死记硬背知识，这样在运用知识时就会出现“知其然，不知其所以然，知道，但不会用”这样的情形。所以在教学中，我们必须想方设法地理解所学知识，并掌握这些知识。而在学习数学知识时，不是只记结论而是逐步地猜想这些知识，了解它的背景和领悟其实质，这不失为是一个事半功倍的好办法。

比如学习讲解“闭区间内二次函数的最值”问题时，我们一般通过列举几种区间、轴和开口变化时的典型例题让学生做，学生只是被动的接收，效果似乎也不错，但是，如果我们试着放手，引导学生自己去“猜想”，我们会发现学生会理解的更好。我们可以先给学生一个简单的关于“定轴、定开口、动区间”的的例题，完成后提示学生思考：二次函数的最值的取得主要与哪些要素相关？教师可要求学生根据所给的例题“猜想”：根据影响二次函数最值取得的三要素，还将可以有哪些类型的求闭区间二次函数的最值问题的题？这时同学们就会列举出：定轴、定开口、动区间，或者定轴、定区间、动开口，以及“两动一定”类型的题，然后让他们自己求解。在编题的过程中，我们把同学进行分组，并进行组间评比，同学们思维积极主动，争先恐后，表现的异常活跃，虽然叙述的语言并不十分准确，但确定闭区间上二次函数最值的三要素关系给出的非常清楚，更主要的是：整堂课几乎都是由同学们自主活动，同学们课后反应，印象最深刻的是。

2.有利于激发学生的学习兴趣和增强学习动力

兴趣是学习的最好老师，一个学生当他对某个学科感兴趣时，他就会积极思考，想方设法地去解决本学科所遇到的所有问题，他在学习中能寻找到一种轻松感、愉悦感和成功感，形成一种良好的学习心态，从而形成学习的良性循环。所以调动学生的学习积极性是每一位教师必须做到的。而猜想有时会帮助我们做到这一点。如在教授韦达定理时，教师不是直接把定理的内容告诉学生，而是让学生每人写出一个二次项系数为1的一元二次方程，只要学生说出这个方程的两个根，教师就会马上“猜出”这个方程。这样可以让学生觉得数学学习是一件很有趣的事，长期这样训练，学生就在不自觉中喜欢学习数学，学习的动力就会提高。

3.有利于培养学生的探索精神和创新能力

柴可夫斯基说过“凡是没有发自内心求知欲和兴趣的东西，是很容易从记忆中挥发掉的。”这句话说明了创新思维能力的形成，需要以求异心理倾向作为一种重要的内驱力，敢于猜想。教师要善于选择具体题例，创设问题情境，精细地诱导学生的求异意识，让学生敢于猜想。对于学生在思维过程中时不时地出现的闪光的猜想要及时予以肯定和热情表扬，使学生真切体验到自己猜想成果的价值。对于学生欲猜想而不能时，教师则要细心点拨，潜心诱导，帮助他们获得成功，使学生渐渐生成自觉的分析、猜想意识，并日渐发展为稳定的心理倾向，在面临具体问题时，就会能动地作出“该怎样解？”或者“还有另解吗？”“试试看，再从另一个角度分析一下！”的思维。事实证明，也只有在这种心理倾向驱使下，那些相关的基础知识、解题经验才会处于特别活跃的状态，也才可能对题中数量作出各种不同形式的重组，逐步形成创新思维能力。

总之，数学猜想作为一种直觉思维活动，虽然有时它不一定正确，而且在很大程度上依赖于灵感或超前的思维，但是他作为一种思维活动也存在着一些规律性的东西，在数学教学应积极提倡这一教学手段，对于提高学生的学习积极性与培养学生的学习兴趣从而提高学生的解题能力与勇于探索的精神和创造性思维都是大有裨益的。数学猜想确实值得我们研究、探讨和运用。

【参考文献】

[1]徐本顺.数学猜想集[M].长沙：湖南科技出版社，1996

[2]任樟辉.数学思维论[M].广西：广西教育出版社，2001

[3]于强.数学解题中运用数学猜想的探索[J].师范教育，2002（6）

【作者简介】

黄兆霞（1981-），女，山东临沂人，安康学院数学系讲师，从事概率极限理论、运筹学、数学建模研究。安康学院2013教育研究与改革项目，项目编号Jg06208

4.例谈数学教学中的联想与猜想 篇四

蕲春濒湖晨光学校

邓先雄

数学家发现数学规律的过程，往往是先有一个猜想，而后对猜想进行验证或修正的过程。牛顿说过：“没有大胆的猜想就没有伟大的发现”。而猜想又往往是以联想为中介的。联想是知识建构的辅助，是猜想前的心理活动过程，没有联想也就没有猜想，广泛联想，方能思维活跃，激发学生猜想的思维火花。

因此，诱发学生展开联想，鼓励学生进行大胆的猜想，让学生真实经历数学问题的产生和解决的全过程，是发展学生创新意识和创造性学力的有效途径。

一、创设生活情境，方便联想，播下猜想的火种。

数学来源于生活，将数学活动与学生的生活、学习实际相联系，诱导学生的联想。

例如：在教学“圆的体积”时，我创设了一个购物的生活情境：大头儿子和小头爸爸逛商场，大头儿子买了一种瓶子是圆柱体的维C饮料，并告诉学生这种饮料瓶的高为11cm（老师边说边拿出饮料瓶），引导学生观察。凭借学生的观察力和估算力，算出这瓶饮料的体积是多少cm³。当时，有四位同学的估算很接近。课后，我找他们个别谈心，问：“你当时是怎样想的？”虽说他们的想法不一，但都有一条符合事理的思路。其中一个学生告诉我说：他把它视作一个长方体来估算的。学生的思路使我想到了沟通和联想。其实我们平日的思考都是在不断地、自觉地沟通、联想。由此及彼，由甲想到乙，由乙想到丙。沟通和联想是主体的思维方式和方法，同一事物，同一问题，在不同的思考中，沟通和联想也会不同。

这次教学，对我启发很大。我知道了生活经验，沟通方法是学生学习说学的底蕴。在教学中，我经常有意地让学生开展联想活动。如由正方形你想到了什么？由一把钥匙你想到了什么等。

数学课堂教学，我们常常创设超市购物场境，让学生身临其境做着他不自由的“梦”，用打比方的说法道出道理来。

将数学的主体还给学生，我们就得发展学生的联想，否则主体的权利就交不出去。

二、预设情境内的问题，刺激联想，点燃猜想的火花。

创造新思维主要领先求异思维，可以说，没有求异化就没有创新。在教学中，教师应适时提出情境内的问题，诱发学生产生联想，激活已有的知识和经验，并把思考引向新的领域。好的质疑具有三性，及思考的任务，思考的方向和方法。如果说创设情境为了思考，为数学教学提供了平台；那么情境的质疑就是平台上的舞蹈，我们要想努力提高“平台上的舞蹈”的水平。

例：在学生会了同分母分数大小比较后，教师又创设情境，引导学生学习“当分子分母都不同时，怎样比较分数的大小。”

有一个红皮球和一个绿皮球在一项比赛中会面了，红皮球上写着“”，绿皮球

52上写着“”红皮球和绿皮球争得面红耳赤，都说自己分数的分数值要大，但他们83都说不出自己值大的理由。同学们，你们能判断它们的大小吗？你们能说明它们大小的理由吗？

两个皮球，两个皮球上写着的分数，两个皮球争着比较、的分数值的大小，5823这只是一个情境，是一个内涵丰富的故事情节。如果说情境是龙，那么恰到好处的质疑就是眼睛了。上面的问题提得很好，既有思考方向任务还有思考的方法。

沟通、联想，都是人们的思维活动，在活动的启动和运行中，是需要动力的，质疑就是思维的动力。我们适时地、准确地给与动力，启动沟通、联想，优化沟通联想，才有良好的合情推理和猜想。这也就是我们的教学目标之一，也是我们点燃猜想火花的最好方法。

三、加强联想外化，加强猜想后的论证。

猜想是个人心理活动的过程，猜想是联想后的判断。联想为什么要外化呢？联想的外化就是让学生把内心的想法说出来。笔者认为这样做很有必要。其一，公开自我的思路，是信息源，启发了他人，同时也修正了自己；其二，语言是思维的窗口，理顺了语言，就理顺了思路，提升了个人的逻辑素养。

例：在教学“一个数比另一个数多（少）百分之几”的百分数应用题时，教师出示了这样一道题：某校五年级人数是六年级的，？教师并未按固定

54模式提出要求，而是放手让学生联想与猜想，老师可能会提出什么问题。这位教师巧妙地把“补问题”改为“猜问题”，符合小学生好奇好胜的心理，让学生在互动的民主教学过程中，开启联想的闸门，扬起猜想的风帆。在这一过程中，我们一定要让学生放开，增添信息，增加信息吸收的机会。

猜想后的论证，要作为探究课其中的一个重要环节落实下来。在中小学数学教学活动中，“猜测——论证——结论”合在一起才算是知识形成的全过程。加强论证的途径和方法，锻炼和提高学生的能力。加强论证的方式，增强课堂气氛和提高学生的学习兴趣，同时，只有充分的论证才有说服力，有说服力的教学才是科学。

联想、猜想，是学习过程中必然产生的心理活动，我们的教学是在指方向，给任务和方法，我们在为学生的心理活动提供方便，或者说是提高课堂效果，所以在教学设计上尽可能理性些，从而提高服务质量。真正做到发展学生的创新意识和创造性学力。

5.谈谈数学美在数学教学中的作用 篇五

一、数学美是激发学习兴趣的源泉

作为一名数学老师，对数学蕴涵的美应有着深刻的感受，让同学们欣赏着由几何变换构筑的绝妙天地，领略由同解变形展示的绮丽风光，到处感受到数学中调谐和比例，整齐和匀称，形象与抽象，秩序和逻辑精确和简洁的美丽。为什么许多人对数学的研究孜孜以求？那是数学的美丽使无数的数学爱好者在数学王国里流连忘返。在教学中多给学生一些创新、探究、以至发现的机会，使学生体验发现真理的快乐，例如，三角形的3条中线，3条内角平分线，3条高都交于一点，在教学中我先不告诉学生结果，让学生自已亲手作图，让学生发现这“真理”，使学生发现一个“真理”的惊喜。这是令人惊奇的结论，让学生感受到数学的统一美，数学是这么的美妙。在解题训练中，老师精心设计教学情境，设计不同层次问题的场境，让学生在练习中完成一道道数学难题，智力被一步步推向无极的境界，沐浴着智慧的阳光，给人以证服自然的美感体验，如高斯小时做过的练习：求1+2+3+…+100的和，高斯巧妙地首尾相加算出和，这是对称的美，同学们不感觉到解法的奇异、独特而华丽吗？

二、数学美是教学运用的好帮手

数学中无处不存在数学美，只要我们处处留心，就会处处有美、利用美。如数学远用于导学中，在“利用对数计算”的教学中，我拿一张白纸说：若将这张白纸对折50次后，它的高度是多高呢？同学猜想，最后老师给答案：它高度比地球到月亮的距离还长，学生惊讶中产生了浓厚兴趣，这是数学的奇异美，真是不算不知道，算了吓一跳。可远用于知识的理解、讲解中，如在“数学归纳法”的教学中，数学归纳的原理是难以理解的，我设置了一个游戏，把一块块长方形的木块坚立在地上，当把第一块推倒时，其它的一个接一个依次倒下，让学生寻找倒下的条件，问第一块不倒后面的会倒吗？若抽掉第四块，第三块倒后，则第五块及后面的会倒吗？让学生感受到数学美来源于生活。

三、数学美是解题的途径

数学美中蕴涵着解题的方法与途径，在教学中，老师使学生美的享受同时，发掘数学美的解题功能，相信同学们解题理解是深刻的。

例1比较12/

11、32/

29、96/89、16/15的大小

析解用常规的方法是化成同分母后比较分子的大小，但这样远算量不小！反思通分子，思维豁然开朗，这就是解法的奇异美。

例2如图cd和be分别是△abc中∠acb和∠abc的外角平分线，cd⊥ad，ae⊥be，若bc=a,ca=b,ab=c,求ed的长。析解从图形上看ed和bc可能是平行的,由于有角平分线，垂线,猜想be、cd可能分别是等腰三角形的三线合一，由对称性不难作出等腰三角形abf、三角形acg，易得：ed=1/29（a+b+c），这就是利用数学的对称美，启发我们以对称为突破口，找到解题的启迪。

四、数学美是培养学生思维品质的手段

学生学习的良好习惯、良好的思维品质的养成是提高学生数学文化素养的具体体现。如（a+b）n=an+bn,a+b=b+a,(ab)n=anbn同学们在学习中感受到这些公式和法则的对称美与和谐美，而由于1/2+1/3=2/5，㏒a(mn)=㏒am*㏒an,sin(a+b)=sina+sinb的错误，从某种意义上是从美学观点出发的一种本性的体现。对数学内在美的深刻理解，就得到了美的薰陶，也培养了学生的思考问题的深刻性和批判性。例3已知x1/2+x1/2=8求x2+1/x的值

析解在已知条件中，求出x代入x2+1/x固然可以，但远算量大，把x1/2+x1/2看作一个整体，用“整体代入法”有：x2+1/x=x+1/x=(x1/2+x-1/2)2-2=62.

这简明解法让学生从整体思维中感受到数学的整体美、完整美、结构美，培养学生的整体现，思维的全局性。

6.思想方法在初中数学中的作用 篇六

一、数学思想方法教学的重大意义：

美国心理学家布鲁纳认为，“不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构．”所谓基本结构就是指“基本的、统一的观点，或者是一般的、基本的原理．”。布鲁纳认为，“除非把一件件事情放进构造得好的模型里面，否则很快就会忘记．”由此可见，数学思想、方法作为数学学科的“一般原理”，在数学学习中是至关重要的．无怪乎有人认为，对于中学生“不管他们将来从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法，却随时随地发生作用，使他们受益终生．”

二、初中阶段对数学思想方法的教学要求：

课程教材研究所李海东在《义务教育课程标准实验教科书·数学》的教材介绍中说：新课程数学教学不应仅仅是单纯的知识传授，更应注意对其中所蕴含的数学思想方法提炼和总结，使之逐步被学生掌握并对他们发挥指导作用，能更好地理解数学的本质。因此各章内容展开时注意对数学思想方法的体现。对数学思想方法的介绍，要注意学生的接受能力，对于初中阶段学生来说，我们主要是以渗透的方式安排的。

三、渗透数学思想和方法的课堂教学策略。

常用的数学思想方法可分为三类：一是具体操作方法，如配方法、消元法、换元法、迭代法、特值法、待定系数法、同一法等；二是逻辑推理法，如综合法、分析法、反证法、类比法、探索法、解析法、归纳法等；三是具有宏观指导意义的数学思想方法，如函数与方程的思想方法、数形结合的思想方法、分类讨论的思想方法、化归与转化的思想方法等。在教学中数学思想和方法可以通过以下策略来渗透：

策略

1、经历过程，进行数学思考。

数学思想方法是与数学知识的发生发展和解决问题的过程联系在一起的内部之物。教学中不必直接点明所应用的数学思想方法，而是引导学生在数学活动过程中潜移默化地体验蕴含其中的数学思想方法。

在《等腰梯形的判定》学案设计中，先复习等腰梯形的定义和

性质：两腰相等，同一底上的两个角相等，对角线相等，然后设计AB

猜一猜：梯形ABCD中AD∥BC，添加一个条件，使梯形ABCD为等腰梯形：

可以添加条件：，或 ：，或 ：,学生在复习的基础上，能够较易得出猜想，随即提出：猜想需要得到证明，于是进入本课下一环节。

学生知识的形成经历了“复习性质——猜想判定方法——证明定理”这一过程，在感受、体验和探索的活动过程中，较好感知了图形的特征，利用数学命题与逆命题的关系进行积极有效地进行数学思考，同时又渗透了数学问题的研究方法：观察——猜想——证明。

策略2：小组合作学习，互相交流，取长补短。

《数学课程标准》十分倡导合作交流，明确指出：动手实践、自主探索、合作交流是学生学习数学的重要手段。所谓合作交流就是让学生在自主探索的基础上，以学习小组或全班为单位，充分展示自己的思维并相互进行交流达到取长补短目的的过程。

合作交流要引导学生协调独立学习、组内讨论和组际交流三个环节。

（1）提倡学生独立学习，鼓励学生组内讨论；

比如在《等腰梯形的判定》学案设计中以“开放题”的形式设计了探讨题：“如何通过添加辅助线的方式，把一个梯形转化为平行四边形和三角形？”是一个适合于小组合作学习的问题。学生首先独立思考，再通过小组讨论的形式探讨多种分解方法，一个人往往只能想到一两种，然后通过小组合作，最多的小组能找到五种方法。

（2）引导学生进行组际交流，扩大“战果”。

小组讨论后的结果，已经丰富了很多，最后小组派代表发言将本小组的学习情况反馈到全班，互相取长补短，最后上面的问题探讨出了七种分解方法。通过小组合作学习，启发学生思维，充分调动学生学习的积极性，学生不仅加强了对知识的理解，而且在互相交流中掌握了学习数学的方法。

策略3：挖掘定理证明方法，凸显数学思想。

数学的基础知识包括概念、定理、法则、性质、公式等，其中定理不仅是几何基础知识的重要组成部分，而且是几何说理的基础，学生有了对定理的深刻理解，才能提高解决问题的能力。所以，在教学中概念以及几何定理的证明中所孕含的思想方法不容错

比如在华东师大版七年级上学期《三角形的内角和》的学习中，“三角形的内角和等于180度”，这一结论在小学已经学习过——用拼图的方法知道三角形的三个内角的和等于180°，而本学期学生已学了平行线的性质与判定、平角的知识，学习了平移的知识，初步感受几何推理的结构，那么如何把要说明的三角形的三个内角的和等于180度化为我们知道的平角是180度，两个同旁内角是180度等等这些已知的知识来解决呢？学生很快通过自己的动手实验得到了方法，并在这一思路的启发下，给出了多种多样的方法。最后通过总结，分析，提炼，“从未知到已知的转化”这一转化思想便清晰地呈现在学生面前，使学生领悟到化归思想是一个多么有用的法宝。

策略4：训练举一反三，巩固基本技能。

“学生掌握知识的最佳途径是主干结构举一反三，学生形成技能的最佳途径是课内有效局部训练，学生形成能力的最佳途径是在非线性主干结构中主动实践”（林少杰）。一题多变，一题多解都对发展学生发散式思维有良好的促进作用。要善于挖掘教材里各种例习题中所蕴含的一题多变，一题多解，并进行加工提炼，渗透在教学中才能充分发挥例习题的潜在作用，才能使学生逐步掌握到数学的思想和方法，从而学会数学。

如华东师大版八年级下册P94页习题19．4的第2题：

如图（1），在⊿ABC中，AB=AC，DB=DC，求证：（1）∠BAC=∠CAE；（2）AE⊥BC。

这是一道利用全等三角形来完成的证明题，其中融合了等腰三角形的有关知识。在实际教学设计中，还可以设计图（2）和图（3）（求证：（1）∠BAC=∠CAE；（2）BE=CE。），以期达到以例及类，触类旁通的效果和渗透分析法和综合法进行逻辑推理的目的。

四、对课堂教学中渗透数学思想方法的策略思考： E

EE图（1）

图（2）图（3）

我国著名教育家叶圣陶指出：教学艺术的根本追求在于通过培养学生的能力达到“教是为了不需要教”的目的，什么是不需要教？学生入门了，上路了，他们能在繁多的事事物物之间自己探索，独立实践解决问题，就用不着教了，数学思想和方法就是他们入门的钥匙，能让学生在课堂学习中领会到数学的思想方法是我们数学教学的目的之

一。日常教学中的一些体会，引发了我的进一步思考，在课堂教学中如何才能做好合理有效地渗透数学思想方法呢？

1、通领教材，做好教学预设。

加强数学思想方法的教学，要有意识地从教学目标的确定、教学过程的实施、教学效果的落实等方面来体现，使每节课的教学目标和谐地统一。从以上实践不难看出，教师的教学预设就是思想方法渗透的前期把握，因而在备课时就必须注意数学思想方法在教学中如何渗透，并在教学目标中体现出来。

2、挖掘教材，把数学思想方法体现在教学设计中。

数学教材体系有两条基本线索：一条是数学知识，这是明线，另一条是数学思想方法，这是蕴含在教材中的暗线。在数学教材中，无论是概念的引入、应用，还是例习题的设计、解答，随处可见数学思想方法的渗透和应用，所以在教学设计中，除了要设计好知识的主要内容，还要注意挖掘其中隐藏的数学思想和方法，使它们能成为教学设计的主线贯穿其中。

3、有效引导，让学生在学习过程中感悟数学思想。

数学思想方法呈现隐蔽形式，如果在学生获得知识和解决问题的过程中能有效地引导学生经历知识形成的过程，让学生在观察、实验、分析、抽象、概括的过程中看到知识负载的方法、蕴涵的思想，那么，学生所掌握的知识就是鲜活的，可迁移的，学生的数学素质才能得到质的飞跃。所以引导是否有效，对学生感悟有着直接影响。如教学“三角形三边关系”时，教学过程设计为：

问题：如图，现有三块地，问从A地到B地有几种走法，哪一种走法的距离最近？请将你的设计方案填写在下表中：

A地B地（2）思考：你发现三角形的三边长度有什么关系？

（3）结论：三角形的（4）用式子表示：BC + ACAB（填上“> ”或“ <”）①BC + ABAC（填上“> ”或“ <”）②AB + ACBC（填上“> ”或“ <”）③

这样的教学活动让学生从实际的看得见摸得着的问题进行度量比较，经历了“观察——比较——猜想——验证”过程，感悟出符号化的公式，效果比较好。

4、点拨思路，让学生在解题中体验数学思想和方法。

在数学教学中，解题是最基本的学习活动。数学习题的解答过程，也是数学思想方法的获得过程和应用过程。任何一个问题，从提出到解决，需要某些具体的数学知识，但更重要的是依靠数学思想方法。所以，学生做练习，不仅能巩固和深化已经掌握的数学知识以及数学思想方法，而且能从中体验到“新”的数学思想方法。解题要“一慢一快”，审题，制定解题方略要慢，解题动作要快。当一个学生在练习中遇到难题时，往往是新的思想和方法还没有形成，这时教师不适宜急于告诉学生应该如何如何，而是先了解他的思想所经历的过程，问题“卡”在哪里？然后在启发时刻意用数学思想和方法去作提示，让学生在练习中用心去体验。

5、归纳总结，使学生在学习反思中升华出数学思想方法。

数学思想方法的获得，一方面要求教师在教学中有意识地渗透和训练，但是更多的是要靠学生在学习反思中领悟，这是他人无法代替的。因此，教学中教师要常常引导学生自觉地检查自己的思维活动，反思自己是怎样发现和解决问题的，应用了哪些基本的思考方法、技能和技巧，走过哪些弯路，有哪些容易发生的错误，原因何在，该记住哪些经验教训等等。

7.让“猜想”在数学课堂上立足 篇七

一、“猜想”于探究起始初

培养学生的猜想意识, 引导学生进行积极的猜想, 是培养学生进行知识再发现和再创造的良好开端。在众多引入新课的方法中, “猜想引入”以它独有的魅力, 能很快地扣住学生的心弦, 使其情绪高涨, 思维活跃, 产生良好的学习动机, 从而步入学习的最佳境地。例如, 在“圆面积的计算”教学中, 先让学生猜一猜圆面积大约在什么范围。如图所示, 边观察, 边猜想。

提问:“这个小正方形的面积是多少?” (r2) 这个大正方形的面积是多少? (4r2) 猜一猜圆面积大约在什么范围呢? (圆面积<4r2) 教师问:“比4r2小一点, 那到底是多少呢?大家知道吗?现在我们就来解决这个问题。”这样通过猜想, 使学生初步勾勒出知识的轮廓, 从整体上了解所学的内容, 启动了学生思维的闸门, 使其思维处于亢奋状态。学生的合理猜想中融合了直觉思维、联想等要素, 是较复杂的思维过程, 让学生根据已有的知识猜想, 既能调动学生们更好地获取知识, 又能展现他们的创新才能, 增强学习的自信心。

二、“猜想”于探究过程中

数学猜想实际上是一种数学想象, 是人的思维在探索数学规律、本质时的一种策略, 它是建立在已有的事实经验基础上, 运用非逻辑手段而得到的一种假定, 是一种合理推理。在学生学习数学知识的过程中, 加入“猜想”这一催化剂, 可以促进学生多角度思维, 加快大脑中表象形成的速度, 从而抓住事物的本质特征, 得出结论。例如, 在“圆的周长”教学中, 教师让学生拿出事先准备好的学具:若干个大小不一的圆、一根绳子、一把米尺、一个圆规, 问“要研究圆的周长, 你想提出什么样的方法?”学生经过观察、思索、动手操作, 提出猜想:“用绳子量出圆的周长, 再量绳子长度行吗?”“把圆直接放在直尺上滚动, 量出圆的周长行吗?”“对于这个圆, 用绳子量出它的两个直径的长度, 试一试能否还围成这个圆。不行, 再量出三、四个直径的长度, 看可不可以围成这个圆。猜想:圆的周长是不是三、四个直径的长度?”显然这是一个很了不起的猜想。教师追问:“为什么你要提出这样的猜想?”学生回答:“用圆规画圆, 半径越长, 圆就越大, 也就是直径越长, 圆的周长就越长。所以, 用直径求圆的周长, 既准确, 又省力。”

数学方法理论的倡导者G·波利亚曾说过, 在数学领域中, 猜想是合理的、值得尊重的, 是负责任的态度。他认为, 在有些情况下, 教猜想比教证明更为重要。我个人认为, 在探究中猜想可分为三个层次:

(1) 质疑——猜想的开始。

(2) 假设——猜想的深入。

(3) 实践——猜想的验证。

三、“猜想”于延伸巩固处

8.猜想在数学中的作用 篇八

一、猜想在新课引入中的运用

在众多引入新课的方法中，“猜想引入”以它独有的魅力，能很快扣住学生的心弦，使其情绪高涨，思维活跃，产生良好的学习动机，从而步入学习的最佳境地。

二、“猜想”在新知学习中的运用

在学生学习数学知识的过程中，加入“猜想”这一催化剂，可以促进学生多角度思维，加快大脑中表象形成的速度，从而抓住事物的本质特征，得出结论。如在圆周长教学中，教师让学生拿出事先准备好的学具：若干个大小不一的圆、一根绳子、一把米尺、一个圆规。问“要研究圆的周长，你想提出什么样的方法？”学生经过观察、思索、动手操作，提出猜想：“用绳子量出圆的周长，再量绳子长度行吗？”“把圆直接放在直尺上滚动，量出圆的周长行吗？”“对于这个圆，用绳子量出它的两个直径的长度，试一试能否还围成这个圆。不行，再量出三、四个直径的长度，看可不可以围成这个圆。猜想：圆的周长是不是三、四个直径的长度？”显然这是一个很了不起的猜想。教师追问：“为什么你要提出这样的猜想？”学生回答：“用圆规画圆，半径越长，圆就越大，也就是直径越长，圆的周长就越长，所以，用直径求圆的周长，既准确，又省力。”由此可见，通过学生一系列的自主猜想，誘发了跳跃思维，加快了知识形成的进程。

三、“猜想”在新知巩固中的运用

充分发挥学生的潜在能力是当今素质教育研究的重点。因此，教师要采取多种手段激活学生学习的内驱力，疏通学生潜能涌动的通道，以求迸发出智慧的火花。要想实现这一目标，教师可以充分利用猜想，在有利于发挥学生潜能的最佳环节之一——知识巩固阶段，调动学生头脑中已有的数学信息（概念、性质），并对之进行移动和重组，开拓新思路，从而获得突破性的结论。如我经常设计一些活泼的情境题、开放题，引导学生猜想，有这样一道题：“学校围墙外面是大片草地，一只羊拴在桩上，绳净长5米，这只羊可在多大面积吃到草？”学生们动手寻找答案，很快学生提出猜想：“要求这只羊可在多大面积吃到草，就是求以绳长5米为半径的圆的面积。过了一会儿，又有一位学生提出的猜想更为新颖别致、别出心裁。他说：“羊吃草有无数种情况。”并画出了一组图形，

这种由图形表达的结论充分展示了学生无法估量的创造潜能。对他猜想的构思、生成过程及其所经历的体验也只可意会。

9.猜想在数学中的作用 篇九

单位：长白山保护开发区池北区第二幼儿园

姓名：牟建英

出生日期：1970年3月7日

职称：小教高级

职务：教师

电话：1384473452

2浅谈数学学具在幼儿数学教学中的作用

长白山保护开发区池北区第二幼儿园

牟建英

心理学家皮亚杰说：“思维就是操作”，思维是内化了的动作—在头脑中进行的。他认为婴幼儿是通过动作，实际摆弄物体而认知世界的。大量的实验也证明，幼儿感知数量关系，掌握数学知识是与幼儿实际操作、摆弄物体的动作紧密联系在一起的。

传统的幼儿数学教学方式存在很多的弊端，只有采用以学具学习为主导的教学方式，从具体的量导入抽象的数的教学过程才是切实可行的。

实物（纽扣、棋子、计算棒）、卡片、幻灯、积木块等学具具有可操作性、直观性、趣味性及兼有具体性和抽象性的特点，符合幼儿的年龄、兴趣特点，因此在数学教学中有着重要的作用。

（一）在帮助幼儿掌握抽象的数学知识方面的作用

1.在量的教学部分，通过实物的操作，幼儿就很容易在恒定的条件下认识事物的形状、大小等量的属性。如：在教幼儿认识“1”和许多，我准备了多功能数学演示板一块，插板每个幼儿一套。在教学过程的开始部分，我根据故事情节演示了“一棵大树和许多小猴子”、“一个桃子和许多香蕉”等；在基本部分，我采用边演示边提问→通过玩“我说1你说许多”的游戏方法指导幼儿在插板上摆出“1”和许多；在结束部分，我播放歌曲《“1”和许多》的flash课件，帮助幼儿复习认识“1”和许多。

2.在数的教学部分，幼儿往往在计数时从19到20、29到30……等转折处常常出错，从逐一计数向按群计数转折中常出现困难等，在幼儿通过学具的操作性学习中就都迎刃而解了。如：幼儿通过操作“图形卡片”等学具，按各种标准对物群进行归类、导数，从而进一步理解了数同物群的关系。

3.在计算教学部分，如在开始教加、减法的时候，可以指导幼儿在计算板上平面地展现数的整体与部分的包含的关系，在这一基础上导入加法和减法计算就收到了极其显著的效果。

（二）在培养幼儿的数学智能方面的作用

1.数学学具是根据培养幼儿的数学智能目标而设计和制做的。因此，幼儿通过数学学具的操作，不仅可以学到复杂、抽象的数学知识，而且会使幼儿的数学智能得到开发和培养。

⑴幼儿是通过学具的直接操作，然后又摆脱直接操作，在形象水平和概念水平上进行思考，从而培养幼儿的具体形象思维能力和抽象逻辑思维能力。如：在教集合归类的内容中，幼儿开始是对各类实物进行归类导数，进而摆脱实物对图片上的物群进行归类导数，最后就可以根据教师言语布置的的任务在头脑中进行归类导数了。

⑵通过学具的操作学习，可以培养幼儿的多种数学智能。比如，培养幼儿的数学空间感知、观察和空间想象的能力，培养幼儿的分类、判断、推理的能力，培养幼儿创造性思维的能力及良好的思维品质等等。

（三）在培养幼儿学习数学兴趣方面的作用

传统的数学教学模式，使幼儿感到学习数学枯燥无味。在改革后的以学具学习为主导的数学教学中，幼儿的心态就有极大的改变。因为，玩具—幼儿是百玩不厌的，而学具具有可操作性和变化性的特点，幼儿操作学具就如同摆弄玩具，他们会摆百拆拆、拆拆摆摆，不断变换各种形式，在游戏中得到数和数量关系的认识，在游戏中操作和运算，其乐无穷。在传统的数学教学中，即使是大班的幼儿听十分钟的课也就坐不住了，而在操作性的学习中，即使是小班的幼儿坐在那里操作十分钟都不会感到厌倦。在这种模式下，幼儿对数学产生了兴趣。幼儿在整个学习过程中始终都会感到轻松而愉快，幼儿坐不住、不愿意听课的现象发生的极少了。由此可见，数学学具在培养幼儿学习数学兴趣方面起着多么重要的作用。

10.逆向思维在数学分析中的作用 篇十

数学分析是数学殿堂的基石性学科,其内容的广泛性与深刻性包含着形式多样的数学思想与方法,而逆向思维在解决数学分析问题时别开生面.因此,本文就逆向思维在数学分析中作用进行初探.本论文中,首先阐述逆向思维的内涵及其特征;其次将以数学分析为载体,选取逆向思维作为研究切入点,主要以举例子的形式叙述了逆向思维在数学分析中的具体作用.无论其深化定义、定理的理解,高效的强化解题,批判性命题验证,还是创新性数学品质,无不渗透出笔者最后总结性论述,即逆向思维在数学分析中具有举足轻重的地位.二十一世纪的信息时代日新月异.数学思维无处不在,无时不有,而逆向思维就是在对数学文化素养的思想研究的基础上,提高数学新意,感受理性美誉,体会数学文化品位,这已成为国内外数学发展的重要趋势.关键词:逆向思维,作用,数学分析,重要性

The function of reverse thought in mathematical

analysis

Abstract:Mathematical analysis is the cornerstone of the temple mathematical discipline,breadth and depth of its content contains a variety of mathematical ideas and methods,and the spectacular reverse thinking in solving mathematical analysis of the problem.Therefore,this paper analyzes the role of reverse thought in mathematics carried study.In this thesis,first expounded the connotation and characteristics of reverse thought ,mathematical analysis will be followed by the carrier,select reverse thinking as a research starting point,mainly in the examples given in the form of reverse thought described in mathematical analysis of the specific role.Whether its deepening definitions,theorems understanding and efficient strengthen problem-solving,critical proposition verification,or innovative mathematical quality permeates the author concludes discourse, reverse thought plays a decisive role in the mathematical analysis.Information era of the 21st century rapidly.Mathematical thinking is everywhere and at all times there , but the reverse thought is based on the study of mathematics literacy ideas on improving mathematical ideas, feelings rational reputation,experience culture grade math,which has become an important trend in the development of mathematics at home and abroad.Keywords: reverse thought, function, mathematical analysis,important.目 录

一、引言.......................................................3

二、逆向思维内涵及特征.........................................1

（一）逆向思维的内涵.......................................1

（二）逆向思维的特征.......................................1

三、逆向思维在数学分析中的重要性...............................2

四、逆向思维在数学分析中四种作用...............................3

（一）深化定义、定理理解...................................3

（二）高效强化解题.........................................6

（三）批判性命题验证......................................11

（四）创新性数学品质......................................15

五、结束语....................................................15

六、参考文献..................................................17

一、引言

司马光“砸缸救小孩”是一个古老而又优美的传说,机智的将常规的

“救人离水”转变成“让水离人”.他揭示了一个真理:逆向思维有时比正向思维更能高效解决实际问题,数学思维方法亦同.由于许多数学定义,数学公式,数学定理,数学运算以及解题过程均有可逆性,其作为可逆性理论为逆向思维提供理论依据.它不拘泥常规、常法、善于开拓、变异,极有利于打破旧框框的束缚,解放人们的思想,培养思维的灵活性,使主观能动性得以充分发挥,改变注入式数学思维应变能力不足的缺陷,产生认识上的新飞跃.这样,就能使学生在亲身的探索中,掌握数学分析知识间的内在联系,透彻地理解教材,巩固所学知识,并能培养学生探索能力,打破思维定势,激发学习兴趣,开阔知识视野.二、逆向思维内涵及特征

（一）逆向思维的内涵

逆向思维又称反向思维,通俗地讲,就是在解决问题时,“一计不成，又生一计”,若把AB的连续思维看作正向联结,并称这个心理过程为正向思维,那么就把相反的连续BA看作为逆向联结,并称这一心理过程为逆向思维.逆向思考是思维向相反方向重建的过程.它是人们在研究过程中有意识地去做与习惯性思维方向完全相反的探索,就是站在对立角度上考虑、解剖问题,得到与公理、定理相悖的结论,或得到与条件相矛盾的结果,从反面达到解决问题的目的.思维的可逆性,使人们在认识客观事物时,不仅可以顺向思考,而且可以逆向思考;不仅可以从正面看,而且可以从反面看;不仅可以从因到果,而且还能执果索因,正是这种逆向功能决定了逆向思维在创造活动中具有独特的作用.（二）逆向思维的特征

爱因斯坦在论述自己科学活动时,曾多次提到“采取相反路线”,“反过来加以考虑”,即逆向思维,其具有以下本质特征: 普遍性:逆向思维在各种领域中都有其独到的适用性,由于对立统一规律是普遍适用的,而对立统一的形式又是多种多样,有一种对立统一形式就有一种逆向思维的角度.怀疑性:逆向思维在某种程度上是以怀疑为手段,以扫除传统偏见和谬误,追求真理,发展科学为目的.批判性:逆向思维是与正向思维相比较而言的,正向思维是指常规的、常识的、公认的或习惯的想法与做法.逆向思维则恰恰相反,是对传统、惯例、常识的反叛,是对常规的挑战,它能够克服思维定势,破除由经验和习惯造成的僵化的认识模式,要求多方位探究,有批判的吸收、有批判的选择、有批判的理解.新颖性:循规蹈矩的思维和按传统方式解决问题虽然简单,但容易使思路僵化、刻板、摆脱不掉习惯的束缚,得到的往往是一些司空见惯的答案,其实,任何事物都具有多方面属性,由于受过去经验的影响,人们容易看到熟悉的一面,而对另一面却视而不见,逆向思维克服这一障碍,能够随机应变,触类旁通,不受某种固定的思维模式的局限,往往是出人意料,给人耳目一新的感觉.创新性:逆向思维所追求的是创新和独到,它不满足于一般思维所研究的已知领域,主要注重于探求人类未知天地.将以前所未有的新角度、新观点去观察分析问题,思维方法创新独特,能够提出超常的想象.想别人所未想、求别人所未求、做别人所未做的事情.深刻性:它表现为深入思考问题,细致分析问题,不放过任何蛛丝马迹来钻研探索复杂问题背后的本质属性.此外,还有独特性、灵活性和探究性.[1]

三、逆向思维在数学分析中的重要性

逆向思维重要性之一:常规思维难以解决的问题,通过逆向思维却可能轻松破解.逆向思维重要性之二:逆向思维会使你独辟蹊径,在别人没有注意到的地方有所发现,有所建树,从而制胜于出人意料.逆向思维重要性之三:逆向思维会在多种解决问题的方法中获得最佳方法和途径.逆向思维重要性之四:自觉运用逆向思维,会将复杂问题简单化,从而使效率和效果成倍提高.逆向思维重要性之五:逆向思维可运用在各个领域.逆向思维最可宝贵的价值,是它对人们认识的挑战,是对事物认识的不断深化,帮助我们克服正向思维中出现的困难,寻求新的思路,新的方法深化知识,开拓新的知识领域,在探索中敢于离径叛道,大胆立异,并由此而产

生“原子弹爆炸”般的威力.再遇到新问题时就不会只走“华山一条路”了,而是“水路不通走旱路,条条大道通罗马”,它是开拓型人才必备的思维品质.四、逆向思维在数学分析中四种作用

（一）深化定义、定理理解

数学分析这门课程研究的对象是函数,所用的研究方法是极限方法,这种抽象又严谨的理论体系要求必须深度掌握数列极限的定义,为数学分析的继续学习打下坚实基础.1.定义 设有数列an,a是有限常数,若对任意0,总存在正整数N,对任意正整数nN,有 ana, 则称数列an的极限是a(或a是数列an的极限)或数列an收敛于a(an是收敛数列),表为

limana或ana(n).n数列an的极限是a,用逻辑符号可简要表为: limana0,NN,nN,有ana[2]

n思考 ①如何理解N不唯一? ②若0,N0,当nN时,an中有无穷多个项满足ana,是否limana? n1(1)n 首先,举反例说明并计算N不是唯一的.n1(1)n虽然数列an1(1)n满足对0,N

2其次,分析数列当n2kN时(k为自然数),虽然an中有无穷多个项满足a2k0,但liman不存在.n

这样,即可对数列极限的N语言有了本质的认识和更精确的理解.[3]

函数极限与数列极限定义的不同,形式上的无关联性造成不可相互转化的假象,海涅定理恰恰证明了其本质的相通性,构建起函数极限与数列极限之间的桥梁,所以理解海涅定理的证明极其重要.而其充分性的证明则采取反证法(从命题的反面入手，通过合理论证找出矛盾,从而确认命题的真实性的一种间接证法,其基本依据是逻辑学中的矛盾与排中律,推知假设错误,故结论成立.其思维特点是逆向思维)推得.2.海涅定理 limf(x)b对于任意数列an,ana且limana

xa n有limf(an)bn

分析 必要性,应用函数极限定义和数列极限定义可得极限limf(an)bn

充分性,因为在已知条件中,这样的数列an是任意的,当然是无限多的,所以从已知条件出发直接证明有limf(x)b是困难,运用反证法.xa证明 必要性 已知limf(x)b,即0,0,x:0xaxa

有 f(x)b

n对于任意数列an,ana且limana,根据数列极限定义,对上述

0,NN,nN,有0ana 从而,nN,有f(an)b,即limf(an)b

n 充分性 应用反证法.假设limf(x)b,根据函数极限的否定叙述

xa 00,0,x:0xa

有 取 1,a1:0a1a1,有f(a1)b0，11,a2:0a2a,有f(a2)b0, 22

..............

11,an:0ana,有f(an)b0，nn

..............于是，构造出一个数列an,ana,因为n 所以limanan

10(n)n显然，limf(an)b,与已知矛盾.n

著名的Lagrange中值定理的论证,其辅助函数的构造,即用分析法(从结论着手进行推证,推得符合条件或易证命题,推证的每一步均可逆,是原命题得证的一种逆向思维解题法)推得.3.Lagrange中值定理

若函数f(x)满足下列条件:（1）在闭区间[a,b]上连续;（2）在开区间(a,b)可导.则在开区间（a,b）内至少存在一点c,使 f(c)f(b)f(a).ba分析 观察发现,Lagrange中值定理中的两个条件与Rolle定理中的前两个条件相同,当f(a)f(b)时,Lagrange中值定理就是我们所学过的Rolle定理.也就是说,Rolle定理是Lagrange中值定理的特例,基于这种关系,自然会想到是否能够引用Rolle定理去证明Lagrange中值定理的结论,如何利用Rolle定理,如何构造满足Rolle定理的辅助函数?观察图像

由拉格朗日中值定理结论f(c)斜率,故可设k

f(b)f(a),其右端是一个常数,即点c的baf(b)f(a),则有f(b)f(a)k(ba),即

baf(b)kbf(a)ka,仔细观察上式的特点,不难发现一个能使F(a)F(b)的新函数:F(x)f(x)kx.故,F(x)就是证明中所需要的辅助函数.证明 令F(x)f(x)kx,其中 kf(b)f(a),由题设可知,F(x)在ba

[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且F(a)F(b),即F(x)满足罗尔定理的全部条件,故在(a,b)内至少存在一点c,使得F(c)0, 即f(c)f(b)f(a),证毕.ba

（二）高效强化解题

许多关于数学分析的计算、证明题,难以解决的是如何去观察和分析问题的条件与结论,如何寻找条件与结论之间的联系,如何证明才是正确的,而又怎么进行证明过程的论述,更为甚者不知如何才算证明完毕?此时,逆向思维就是解决数学分析问题一种行之有效的方法.234例

一、证明:数列极限limn3nnn4 1n分析 若直接证明此数列极限为4,没有公式可以套用,此时可以考虑判断极限存在性的两个重要准则:两边夹定理和单调有界准则.这样我们把要证明的极限与存在准则有机地联系在一起,设所求数列为xn,目的是证明

xn4(n),那么,根据两边夹定理,需构造两个数列yn和zn,使ynxnzn,且共同极限为4,这样就转化为如何构造这两个数列yn、zn的问题.4444z证明 设 yn,n33nnn1nnnn, 1n显然ynxnzn,且limynlimzn4,有4xn4

234 所以,limn3例

二、计算 ①limnnnn4 1nn(n1)(n2)(nn)

n ②limnn(a1)an分析 两题看似复杂,实则巧妙.①可转化为定积分定义形式,这类题目的特点是:先把极限转化为某一函数在区间0,1上的定积分,再把区间0,1进行等分,从而把求极限问题转化为求一个特定结构的和式极限.②可利用级数

收敛的必要条件(若级数un收敛,则limun0)来解决问题,二者均为逆

n1n向思维实例.解 ①limnn(n1)(n2)(nn)12nlimn(1)(1)(1)nnnnnn1nk lim1

nk1n1kln(1)nk1n limenn

e01ln(1x)dxe2ln21

1nnn11 则级数n是收敛的②由lim(n)nan1aa 根据收敛函数的必要条件, 则limnn0 na例

三、设a1c0,an1anc,证明:liman存在并求其值.[4]

n分析 用数学归纳法容易证明数列an是单调递增的,为找到an的上界,采用逆向推理方法,先设limana,代入递推关系式an1anc,得

na2ac,由于liman非负,因此an114c,从而对任何自然数n, 2必有an114cc1,然后用数学归纳法证明这一等式成立.2证明 用归纳法证明数列an严格增加有上界,显然 当n1时,有a1a2,设nk时,有akak1,则akcak1c, 即akcak1c,有ak1ak2,即数列严格增加.显然,当n1时,有a1cc1,设nk时，akc1，则ak1cakcc1c2c1c1,即数列an有上界(上界是c1),根据公理,数列an收敛.2设limana,已知an1can,有liman1climan,即a2ca.nnn2解得a(114c).由极限保号性，a不能是负数，2(114c)2则数列an的极限是a例

四、设函数f(x)在[0,)内二阶可导,且f(x)0,f(0)0,证 明:x10,x20,有fx1x2f(x1)f(x2).分析 这是一道未知函数表达式,且仅给出函数导数性质的证明题.首先,明确利用函数的单调性来证明函数不等式是一种基本方法,而证明函数的单调性又需要构造辅助函数,求导判断其增减性.其次,如何构造辅助函数？

欲证不等式fx1x2f(x1)f(x2),如题中所给出的两个具有任意性的x1和x2,将其中一个暂时固定,另一个自由变化,如:暂时固定x2,将x1改为x,令F(x)f(xx2)f(x)f(x2)作为辅助函数,求导得

F(x)f(xx2)f(x),由此很难判断该表达式是大于0还是小于0.观察表达式f(xx2)f(x)，表示函数f(x)的导数在x与xx2两点处的函数值之差，联系Lagrange中值定理，有f(b)f(a)f(c)(ba)，其中c(a,b),于是,有f(xx2)f(x)f(c)xx2x.此时,方可判断F(x)的增减性.证明 令F(x)f(xx2)f(x)f(x2),其中x,x20, 求导得F(x)f(xx2)f(x)又函数f(x)在[0,)内二阶可导，导函数 F(x)f(xx2)f(x)在x,xx2上连续,在(x,xx2)内可导,根据Lagrange中值定理,至少存在一点c(x,xx2),使得

F(x)f(xx2)f(x)f(c)xx2xf(c)x20

F(x)在x,xx2上单调递减,从而有F(x)F(0)即,f(xx2)f(x)f(0x2)f(0)f(x2).由x的任意性,可将x换成x1,既得fx1x2f(x1)f(x2),其中

x10,x20.分析 以下两道典型题若应用综合证法直接从已知条件去证明将会很难入手,此时考虑反证法,证明两题将会很显然.例

五、设f(x)在a,b上连续,且f(x)0,证明:若f(x)dx0,则f(x)在aba,b上恒等于零.证明 反证法 假设f(x)在a,b上不恒等于零,则必x0a,b, 使f(x0)0不妨设f(x0)0,又f(x)在x0连续,由连续函数的局部保号性知,0,当xx0,x0a,b时,有f(x)0.设f(x)在x0,x0上的最小值为m,则m0.由定积分的可加性及f(x)0,有f(x)dxabx0af(x)dxx0x0x0f(x)dxbx0f(x)dx

bx0x0f(x)dxx0mdx2m0

这与已知条件f(x)dx0矛盾,所以f(x)在a,b上恒等于零.a例

六、设f(x)在0,上连续,并且f(x)dx0,f(x)cosxdx0,试证明:

00在(0,)内至少存在两个不同的点1,2,使f(1)f(2)0.证明 假设f(x)在(0,)内无零点,则由介值定理知,f(x)在(0,)内不变号,与f(x)dx0矛盾,故至少存在1,使f(1)0;0又若f(x)在(0,)内仅有一个零点1,则由介值定理及f(x)dx0知

0f(x)在区间(0,1)和(1,)内必异号,而cosxcos1在(0,1)和(1,)内也异号,于是f(x)(cosxcos1)不变号,从而f(x)(cosxcos1)dx0，0矛盾.所以,在(0,)内至少存在两个不同的点1,2,使f(1)f(2)0.例

七、计算曲面积分

I[Sxxxzxf()x3]dydz[f()y3]dzdx[f()z3]dxdy yyyyy其中S是球面x2y2z22Rz(方向为内侧),f(u)具有连续导数.分析 本题被积函数复杂,正向计算实属曲面积分难题,但是可考虑尝试增加一面,再减去此面,应用奥—高公式(设V是R3中双侧闭曲面S所围成的xy型(同时既是yz型,又是zx型)有界闭体.若三元函数P(x,y,z), Q(x,y,z),R(x,y,z)及其偏导数在包含V的区域上连续,则

PdydzQdzdxRdxdy(sVPQR)dxdydz,其中曲面S的外侧 xyz为正).看似加减面将问题复杂化,但是会使计算更为简便.解 V为S所围成球体, 设p(x,y,z)xxxzxf()x3,q(x,y,z)f()y3,r(x,y,z)f()z3 yyyyyp1xxxf()2f()3x2 xyyyy则p(x,y,z),q(x,y,z),r(x,y,z)及

r1xqxx2f()3y2,f()3z2,在y0连续，zyyyyy由奥——高公式,I3(x2y2z2)dxdydz,设

Vxrsincos,yrsinsin,zRrcos,(02,0,0rR)则(x,y,z)r2sin, (r,,)I3(x2y2z2)dxdydzV3dd(r22RrcosR2)r2sindr

0002RR5R33223(22R22)R5535

（三）批判性命题验证

心理学家盖耶说过:“谁不考虑尝试错误,不允许学生犯错误,就将错过富有成效的学习时刻.” 持批判性的态度,应用逆向思维真正理解命题的思想,消化命题,克服思维绝对化、表面化,彻底改变不求甚解的习惯.例

八、若数列an、数列bn都是收敛数列,且存在自然数N,当nN时,有anbn,则limanlimbn.nn 若条件anbn改为anbn,其结论仍为limanlimbn

nn而不能断言limanlimbn[5] nn分析 若正向分析,则会无从下手,而举一反例来说明该命题不成立将轻而1111易举.如:,但是limlim0.nnnnnn 数学分析中,继了解极限后,应用极限方法研究,无论在理论上或是在应用中都常见的连续函数,进而研究一致连续,区分一致连续与连续的区别,真正地领会一致连续的本质及其与连续的关系,对后面的学习中遇到一致收敛、一致有界等概念也有重要作用.一致连续是函数的整体性质,它反映了函数在区间上的更强的连续性,而连续是函数的局部性质,函数f(x)在区间I上一致连续则一定连续,反之不一定.定理 f(x)在a,b内或a,b上一致连续f(x)在a,b内或a,b上连续.这个定理的逆命题是不成立的.分析 通过举一反例f(x)x2在0,上连续,但非一致连续.取xnn1,xnn,n1,2,,当n时, xnxnn1n0 但是f(xn)f(xn)1

于是,取定差01,则无论取得多么小,当n足够大时, 那些xn与xn的差小于,但是函数数值之差不会小于0, 因此得出f(x)x2在0,上连续,但非一致连续.拓展:[6]

定理1 设f(x)在有限开区间a,b上连续,则f(x)在a,b上一致连续的充要条件是limf(x)与limf(x)存在并有限.xaxb注:①若f(x)在有限开区间a,b上有连续的导函数,且limf(x)与xaxblimf(x)均存在且有限,可以推出limf(x)与limf(x)都存在并有限,因此xaxbf(x)在a,b上一致连续.②当函数f(x)在区间(,)上连续,定理的必要性不再成立,如

f(x)x在(,)上一致连续,但在端点无极限,对于无穷区间充分

性仍然是对的.定理2 设f(x)在区间[a,)上连续,则下列条件之一满足时f(x)在[a,)上一致连续.(I)limf(x)A(有限)x(II)若存在[a,)上一致连续函数(x),使得limf(x)(x)0

x(III)f(x)在区间[a,)上可导，并且导函数有界(IV)f(x)在区间[a,)上满足Lipschitz条件(V)f(x)在区间[a,)上单调有界.定理3 若f(x)是区间(,)上的连续函数,若也是周期函数,则必一致连续.2例

九、证明:若an收敛,则an也收敛,反之是否成立? n1n12分析 欲证an收敛,则an也收敛,这只需要用到比较判别法即可证得而欲证逆命题是否成立,则应从两方面考虑:一是证逆命题成立,一是证逆命题不成立,无论证哪方面,直接法都很难.于是,我们可以举反例去否定,这样会收到事半功倍之效.证明 已知an收敛,则liman0,即01,NN,nN,有

n1n1n1n

an1,从而有anan,不妨设nN,有anan.22设级数an与an的部分和分别是An和Bn.已知nN,有 2n1n1nnAnakakBn.2k1k1已知级数an收敛,则limBnB(常数).显然数列An是单调增加有

n1n2上界(B就是它的一个上界).于是,数列An收敛,即an收敛.n1112反之不成立,例如:级数()收敛,而级数却发散.n1nn1n例

十、判断: ①若f(x)在点x0连续,则f(x)在x0连续;②若f(x)在点x0连续,则f(x)在x0可导;③若f(x)在点x0可积,则f(x)在x0可积;④若多元函数在某点连续且偏导数存在,则函数在该点可微.1,x0解 ①可以举出反例:设f(x),则f(x)在x00处连续,而

1,x0 f(x)在x00处不连续,所以错.②可以举出反例:函数f(x)x在x0处连续,但是它在x0不可导，1xsin,x0 同样,函数f(x),在x0连续,但是 x0,x0 不可导,所以错.③可以举出反例:Dirichlet函数

1,当x为有理数 D(x),此函数的绝对值是可积的

0,当x为无理数

但是其本身并不可积,所以错.0,(x,y)0 ④可以举出反例:f(x,y)x2y,在(0,0)点连续且偏导数

x2y2,(x,y)0 存在,但是,在(0,0)点不可微,所以错.2z2z 定理 如果函数zf(x,y)的两个二阶混合偏导数及在区

yxxy域D内连续,那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等.[7]

该定理是说,在连续的条件下二阶混合偏导数与求导的次序无关.更一般 地,在连续的条件下,多元函数的高阶混合偏导数与求导的次序无关.而如果一元函数在某点具有导数,则它在该点必定连续,但对于多元函数,即使各偏导数在某点都存在,也不能保证函数在该点是连续.这时,自然会想到一个问题:这个定理的逆命题是否成立?即是否有如下命题:

2z2z命题 如果函数zf(x,y)的两个二阶混合偏导数及在区域D内

yxxy存在且相等,那么在该区域内这两个二阶混合偏导数连续.分析 虽然易得一函数,使其两个二阶混合偏导数存在相等,并且连续(如

zexy),但是难得函数zf(x,y),使其两个二阶混合偏导数存在相等,却不连续.此时,可利用逆向思维的方式,先找到一个不连续的二元函数，如：xy22x2y2,xy0g(x,y), 0,x2y20这个分段函数在(0,0)点不连续.可以把g(x,y)作为zf(x,y)的二阶混合偏导数，在通过微分的逆运算积分计算出zf(x,y).再求zf(x,y)的偏导数时,是将一个变量看成常量,对另一个变量求导数,故我们可以通过先对x积分得 u(x,y)g(x,y)dxyln(x2y2)C1 2

再将x看成常量对y积分得

x2y2(x2y2)22 v(x,y)u(x,y)dyln(xy)C1yC2

44其中C1,C2为任意常数.当任意常数C1,C2取不同的值时,就会得到不同的函数,这样的函数会有无穷多个.考虑到求二阶混合偏导时,函数v(x,y)的后三项最终为0,所以不妨只取第一项,并补充定义其在(0,0)点的值为0,即有

(x2y2)ln(x2y2),x2y20, f(x,y) 40,x2y20.可以验证分段函数zf(x,y)在(0,0)点不连续,即命题不成立.所以,该定理为充分条件,而不是必要条件.（四）创新性数学品质

19世纪中叶,数学界长期认为对于一个区间上的任意连续函数,总认为存在可微点的直觉想象,但是1860年数学家魏尔斯特拉斯却极为精巧地构造了一可以被称为“数学中的艺术品”的反例: f(x)ancos(bnx),其中0a1,ab1,b为奇数.2n0这是一个在实数轴上点点连续点点不可微的函数,从而严格弄清楚了函数的连续性与可微性之间的关系,推翻了流行很长时间的谬误,可见反例在数学发展史中的重要地位.[8]反例就是逆向思维的一种表现形式,也就是说,逆向思维在数学发展史的崇高地位,这种发散性思维是创造性人才必备的一种思维品质.五、结束语

从以上的例子我们看到,在数学分析学习中,将逆向思维解题方法进行适当的归类和分类.如考虑间接方法,考虑递推,考虑研究逆否命题,逆向应用公式,考虑问题的不可能性,反证法,分析法,复杂化等,可以开辟新的解题途径,避开繁杂的计算,使问题简化而得以顺利解决.这对优化学生的思

维结构,培养他们的创新能力大有裨益.本文作者通过阅读大量有关逆向思维在数学分析中的作用文献,根据自己的学习、研究、理解、体会、分析,深刻体会到逆向思维是21世纪数学教学所提倡的思维模式.数学问题千变万化,解题方法灵活多样,虽然我们不可能归纳出题目的一切类型,更不可能找到解题的神方妙法,但是,人们在长期的解题实践中,总结了丰富的经验,寻找了一些更为科学、更为严谨的解题方法与技巧.逆向思维作为发散思维的一种,必将起到重要作用.我们应当自觉地运用逆向思维方法,创造更多的奇迹.本文简要的叙述,望为读者研究和学习数学分析中有关逆向思维问题提供一定的帮助.六、参考文献

1逆向思维（反向思维）【J】，华东科技 2008，（10）

2刘玉琏 傅沛仁 林玎 范德馨 刘宁 数学分析讲义.（第五版）高等教育出

版社

3朱红英 王金华 湘南学院学报.2012:第二期

4梁经珑 娄底师专学报.2003:第二期 5马建珍 宜宾学院学报.2006:第十二期