反馈系统传递函数

反馈系统传递函数（共8篇）

1.反馈系统传递函数 篇一

快速控制反射镜系统中的传递函数辨识

提出一种传递函数辨识方法.该方法使用非线性最小二乘曲线拟合法,结合控制对象的传递函数模型选取参数初始值,针对不同的频率特性分段拟合.使用该方法可以将复杂的控制系统频率特性转化为高精度的`传递函数.在系统的中低频段内获得幅频±1dB和相频±1( 的传递函数辨识精度.由此设计的数字补偿器有效补偿了机械谐振带来的影响,扩宽了控制系统的闭环带宽.传递函数辨识方法摆脱了数字补偿器设计依赖手工调试的状况,并可以提供复杂的数字补偿器以得到高性能的控制系统.

作 者：胡浩军 马佳光 王强 吴琼雁 HU Hao-jun MA Jia-guang WANG Qiang WU Qiong-yan  作者单位：胡浩军,HU Hao-jun(中国科学院光电技术研究所,四川,成都,610209;国防科学技术大学,光电科学与工程学院,湖南,长沙,410073;中国科学院研究生院,北京,100039)

马佳光,王强,吴琼雁,MA Jia-guang,WANG Qiang,WU Qiong-yan(中国科学院光电技术研究所,四川,成都,610209)

刊 名：光电工程  ISTIC PKU英文刊名：OPTO-ELECTRONIC ENGINEERING 年，卷(期)：2005 32(7) 分类号：V566 关键词：快速控制反射镜   传递函数   辨识   最小二乘法  

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2.反馈系统传递函数 篇二

以主动电磁轴承为代表的电磁悬浮系统,其魅力不仅在于它是一种无摩擦的支承装置,更重要的是其动力特性可通过控制策略进行在线调节优化。前者决定了主动电磁悬浮能够应用在高速场合;后者使得可以通过控制策略的设计,优化主动电磁悬浮在不同频段的支承特性,调节支承刚度和阻尼,实现对振动的主动控制。

主动电磁悬浮系统的支承特性研究大多是以等效刚度和等效阻尼为基础展开的。但是,电磁悬浮系统支承的等效刚度和阻尼不仅与结构尺寸有关,而且还受到其控制器所采用的控制策略的影响。只有在已知控制系统传递函数的前提下,才可能对支承的等效刚度和阻尼进行理论计算。但是,目前在电磁悬浮系统中各种新型的智能控制策略都得到了成功的应用,这些控制策略大都无法归结出相应的传递函数,造成无法通过理论计算获知系统支承的等效刚度和阻尼,从而难以深入地研究主动电磁悬浮系统的动力特性。因此,在未知系统传递函数的情况下,如何确定支承的等效刚度和阻尼是主动电磁悬浮系统动力学研究中必须解决的一个关键问题。

早在1980年,Haberman[1]就对电磁轴承的刚度作了研究,并提出了“浴盆”形复刚度曲线。此后,多数研究者均以此为基础分析主动电磁轴承系统的动力特性。Humphris等[2]以主动电磁轴承系统的传递函数推导出了电磁轴承的等效刚度和阻尼的计算公式。在国内,汪希平[3]、曹洁[4]较早地对主动电磁轴承的等效刚度和阻尼特性进行了理论分析。赵雷等[5]分析了控制环节各参数对主动电磁轴承的刚度特性的影响。胡业发等[6]基于电磁力分析了电磁轴承的刚度和阻尼特性。吴华春等[7]就滤波、滞后、衰减等因素对电磁轴承刚度的影响进行了分析。杨作兴等[8]提出了对主动电磁轴承复刚度的测试方法,但没有涉及在电磁轴承转子动力学研究中使用更多的等效刚度和阻尼的测试。目前文献对等效刚度和阻尼的分析研究大多是在已知传递函数的前提下进行的。

本文首先分析了主动电磁悬浮系统支承的等效刚度和阻尼的理论计算方法,然后提出一种不依赖系统传递函数的等效刚度和阻尼的在线测试方法,并进行了实验,取得了与理论分析十分相近的结果。

1 等效刚度和等效阻尼的理论表达式

主动电磁悬浮系统不管是采用什么样的控制策略,最终表现出来的支承特性可以用支承的刚度和阻尼来表示。对于一个单自由度的质量-弹簧-阻尼系统,系统的运动方程为

$m\ddot{X}+c\dot{X}+kX=F(1)$

式中,F为物体所受到的外激励力;m为质量;k、c分别为系统的刚度和阻尼系数。

将式(1)进行拉普拉斯变换,可得其频率特性方程为

$X(\text{j}\omega )=\frac{F(\text{j}\omega )}{-m\omega {}^2+k+\text{j}\omega c}(2)$

同样考虑一个单自由度的主动电磁悬浮系统,如果不考虑其他外阻尼的影响,在线性条件下其运动方程为

$m\ddot{X}=f{}_{\text{A}\text{Μ}\text{B}}+F=k{}_{\text{x}}X+k{}_{\text{i}}i+F(3)$

式中,fAMB为主动电磁悬浮系统产生的电磁力;kx、ki分别为系统的位移刚度和电流刚度系数;i为控制电流。

如果将控制电流与悬浮位移之间的关系表示为传递函数的形式,即I(s)=G(s)X(s)。G(s)为主动电磁悬浮控制系统整体的传递函数,一般是位移传感器、输入AD、控制器算法、输出DA、功率放大器等各个控制环节传递函数的总和。将此式代入式(3)并经拉普拉斯变换,其频率特性方程形式为

$X(\text{j}\omega )=\frac{F(\text{j}\omega )}{-m\omega {}^2-k{}_{\text{x}}+k{}_{\text{i}}G(\text{j}\omega )}(4)$

比较式(2)、式(4),容易得出电磁悬浮系统相对于质量-弹簧-阻尼系统的等效刚度Ke和等效阻尼Ce的表达式:

$\begin{array}{l}{\rm K}{}_{\text{e}}=k{}_{\text{i}}\mathrm{Re}(G(\text{j}\omega ))-k{}_{\text{x}}\\ C{}_{\text{e}}=\frac{k{}_{\text{i}}\text{Ι}\text{m}(G(\text{j}\omega ))}{\omega }\end{array}(5)$

式中,Re(G(jω))、Im(G(jω))分别为控制系统传递函数G(s)的实部和虚部。

显然,如果已知控制系统传递函数G(s)的表达式,那么就能够容易地对主动电磁悬浮系统的等效刚度Ke和阻尼Ce进行理论计算。但事实上由于许多控制系统无法归结出一个传递函数表达式,因此就难以对其等效刚度和阻尼特性进行理论分析。为此,本文提出一种不依赖系统传递函数的等效刚度和阻尼的在线测定方法。

2 等效刚度和等效阻尼在线测量

图1所示为无外阻尼的单自由度主动电磁悬浮控制结构图。F(t)为外激励力,X(t)为转子相应的位移响应。为讨论方便,设参考信号R=0。根据模型等效原则,图1可简化为图2所示的等效结构。

由式(4)、式(5)可知,求解电磁悬浮系统的等效刚度和阻尼值,实质上就是求解图2中kiG(s)-kx部分的传递函数特性。系统的等效刚度就等于kiG(s)-kx的实部,其虚部除以ω就是等效阻尼。很自然,最直观的想法是通过测试G(s)的传递函数特性,从而换算得到系统的等效刚度和阻尼。虽然这样的想法在理论和仿真中是可行的,但由于需要控制系统脱离电磁悬浮系统单独进行测试,实际测试难度较大。

从图2可知,外激励力与位移响应之比具有刚度的量纲,被称为复刚度或动刚度,用Kv表示为

${\rm K}{}_{\text{v}}(\text{j}\omega )=\frac{F(\text{j}\omega )}{X(\text{j}\omega )}(6)$

复刚度Kv通常用复数形式或幅值相角形式表示,描述在不同频率下,外激励力与位移响应在复平面上的幅值关系和相位关系。|Kv|随频率变化的关系就是前面讲到的“浴盆”曲线。由式(6)可知,复刚度实质上是从外力到位移响应闭环频率特性的倒数。闭环频率特性可以通过实验直接测得,文献[3,8]就是基于这样的原理提出实验测量复刚度的方法。与复刚度含义不同,等效刚度和等效阻尼是将电磁悬浮支承等效成传统的质量-弹簧-阻尼系统后所对应的刚度的阻尼值。复刚度和等效刚度及阻尼都是描述系统刚度特性的量,只是描述的角度不同,因此应用领域也不同。在电磁轴承转子动力学研究中通常用等效刚度和等效阻尼描述轴承的支承特性。

在控制系统的分析中,常见情况是知道系统的开环频率特性,来求解系统闭环后的频率特性。本文的思路正好相反,试图通过先对F(s)和X(s)进行闭环频域测试,然后反向推算其中kiG(s)-kx部分的开环特性,得到系统的等效刚度和等效阻尼。

首先,分析F(s)到X(s)闭环频率特性和等效刚度阻尼的关系,整理式(4)和式(6)得

$k{}_{\text{i}}G(\text{j}\omega )-k{}_{\text{x}}=m\omega {}^2+\frac{F(\text{j}\omega )}{X(\text{j}\omega )}=m\omega {}^2+{\rm K}{}_{\text{v}}(\text{j}\omega )(7)$

根据式(7),可求得kiG(s)-kx的开环频域特性。由于从外力到位移响应闭环频率特性的倒数就是复刚度。因此,复刚度的实部中加上mω2即为kiG(s)-kx的实部,就是主动电磁悬浮系统在ω频率下的等效刚度值;复刚度的虚部除以ω就是等效阻尼。在不同ω的外激振下,可以得到一组闭环频率特性值,进而计算出一系列不同频率下的等效刚度和阻尼值。

理论上讲,当线性系统输入正弦激振信号时,其输出也为正弦。但在实际系统中,由于被测系统的非线性和随机干扰,其输出信号不可避免地混杂有其他频率的杂波干扰。如何从输出信号中提取相应的输入响应是测量等效刚度和阻尼的关键。设在输入信号Ur(t)=Usin ω0t的作用下,系统的输出信号Uc(t)为

$\begin{array}{l}U{}_{\text{c}}(t)=A{}_0+A\sin (\omega {}_{0}t+\theta {}_0)+{\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }A}{}_n\sin (n\omega {}_{0}t+\\ \theta {}_n)+u(t)=A{}_0+X\sin \omega {}_{0}t+Y\cos \omega {}_{0}t+\\ {\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }A}{}_n(X{}_n\sin n\omega {}_{0}t+Y{}_n\cos n\omega {}_{0}t)+u(t)(8)\end{array}$

式中,A0为被检信号中直流分量;Asin(ω0t+θ0)为基波分量;u(t)为噪声分量;Ansin(nω0t+θn)为各阶高次谐波分量。

式(8)中,只有基波成分是激振响应成分。为了从这些混杂信号中提取我们所需要的频率成分,采用了信号解调的原理。首先在输出信号Uc(t)上分别乘以一个与Ur(t)频率相同的单位幅值的正弦和余弦信号sin ω0t、cos ω0t,然后在基波整倍数周期内积分并求平均值:

$\begin{array}{l}\frac{1}{{\rm N}{\rm T}}{\displaystyle {\int }_0^{{\rm N}{\rm T}}U}{}_{\text{c}}(t)\sin \omega {}_{0}t\text{d}t=\frac{1}{{\rm N}{\rm T}\omega {}_0}[{\displaystyle {\int }_0^{2{\rm N}\text{π}}A}{}_0\sin \omega {}_{0}t\text{d}(\omega {}_{0}t)+\\ {\displaystyle \int }{}_0^{2{\rm N}\text{π}}(X\sin \omega {}_{0}t+Y\cos \omega {}_{0}t)\sin \omega {}_{0}t\text{d}(\omega {}_{0}t)+\\ {\displaystyle \sum _{{\rm N}=2}^{\infty }{\displaystyle {\int }_0^{2{\rm N}\text{π}}(}}X{}_n\sin n\omega {}_{0}t+Y{}_n\cos n\omega {}_{0}t)\sin \omega {}_{0}t\text{d}(\omega {}_{0}t)+\\ \omega {}_0{\displaystyle \int }{}_0^{{\rm N}{\rm T}}u(t)\sin \omega {}_{0}t\text{d}t](9)\end{array}$

由于正弦函数的正交性和相关性原理,故当N值取较大时,式(9)可以写为

$\frac{1}{{\rm N}{\rm T}}{\displaystyle {\int }_0^{{\rm N}{\rm T}}U}{}_{\text{c}}(t)\sin \omega {}_{0}t\text{d}t=\frac{X}{{\rm N}{\rm T}\omega {}_0}{\displaystyle {\int }_0^{2{\rm N}\text{π}}\sin }{}^2\omega {}_{0}t\text{d}(\omega {}_{0}t)=\frac{X}{2}(10)$

把式(10)中的X表示为ω的函数形式:

$X(\omega )=\frac{2}{{\rm N}{\rm T}}{\displaystyle {\int }_0^{{\rm N}{\rm T}}U}{}_{\text{c}}(t)\sin \omega t\text{d}t(11)$

同样地

$Y(\omega )=\frac{2}{{\rm N}{\rm T}}{\displaystyle {\int }_0^{{\rm N}{\rm T}}U}{}_{\text{c}}(t)\cos \omega t\text{d}t(12)$

这样,就可以从被测信号中提取出基波分量。在实际应用中,为了增强抗干扰性能,一般取N>5。

为了测试电磁悬浮系统的等效刚度和阻尼,必须对系统施加一定的外激振力。施加激振一般有两种途径。其一,采用专门的激振设备,此方法可以完全把被测系统作为“黑箱”处理,即在无需知道被测系统任何参数的情况下测得系统的刚度和阻尼,该方法甚至适用于电磁悬浮系统以外的刚度和阻尼测试对象。但对于电磁悬浮系统,必须采用非接触式的激振力,否则激振器会对主动电磁悬浮系统动力特性产生明显影响。因此,可以利用电磁悬浮系统本身的特点,通过在励磁线圈中叠加正弦电流,从而产生正弦激振力。此方法简单,不附加额外设备,对被测对象的附加影响小,但需要知道电磁线圈的电流系数ki才能完成电流到激振力的换算。

3 PID控制的等效刚度和阻尼的理论计算

为了对比实验结果与理论计算结果,选择标准的PID控制器作为算例,分析控制参数对电磁悬浮支承特性的影响。控制器传递函数为Kp+Ki/s+Kds,其中Kp、Ki、Kd分别为控制器中的PID参数。设功率放大器倍数为Kw,位移传感器转换倍率为Kc,系统的整体滞后时间常数为T,则整个控制系统的传递函数G(s)可表示为

$G(s)=\frac{({\rm K}{}_{\text{p}}+{\rm K}{}_{\text{i}}/s+{\rm K}{}_{\text{d}}s){\rm K}{}_{\text{w}}{\rm K}{}_{\text{c}}}{1+{\rm T}s}(13)$

根据式(5),PID控制系统的等效刚度和阻尼表达式为

${\rm K}{}_{\text{e}}=\frac{{\rm K}{}_{\text{w}}{\rm K}{}_{\text{c}}k{}_{\text{i}}({\rm K}{}_{\text{p}}-{\rm K}{}_{\text{i}}{\rm T}+{\rm K}{}_{\text{d}}{\rm T}\omega {}^2)}{1+\omega {}^2{\rm T}{}^2}-k{}_{\text{x}}(14)$

$C{}_{\text{e}}=\frac{{\rm K}{}_{\text{w}}{\rm K}{}_{\text{c}}k{}_{\text{i}}({\rm K}{}_{\text{d}}-{\rm K}{}_{\text{i}}/\omega {}^2-{\rm K}{}_{\text{p}}{\rm T})}{1+\omega {}^2{\rm T}{}^2}(15)$

将本文的实验数据代入式(14)、式(15),Kw=1A/V,Kc=7083V/m,ki=100N/A,kx=0.2MN/m,T=0.4ms,频率为1～1000Hz。PID控制器Kp、Ki、Kd参数对主动电磁悬浮等效刚度和阻尼影响的计算结果如图3～图8所示。

从图3可知,在100Hz以下的频率较低区域,主动电磁悬浮等效刚度随比例参数Kp值改变的变化较大,而随频率的变化基本不变。对照式(14),由于系统惯性滞后时间T非常小(10-4数量级),在低频区KiT项和KdTω2项都很小,1+ω2T2项可近似等于1。因此在频率较低时,Kp项成为等效刚度的主要决定因素。随着频率逐渐增大,KdT ω2项的作用渐渐增大,使等效刚度随频率ω逐渐增大。Kp值在PID控制中对等效阻尼的影响如图4所示,对照式(15),由于系统惯性滞后时间T非常小,使得Kp变化对等效阻尼在整个频率区域的影响都很小。在100Hz以下的低频区域,等效阻尼基本保持恒值。随着频率逐渐增大,分母项1+ω2T2随之增大,导致等效阻尼在高频区域逐渐减小。

从图5可知,在100Hz以下的低频区域,微分参数Kd对等效刚度无明显影响。在高频区域,由于KdTω2项的作用, Kd对等效刚度影响逐渐增大。如图6中的Kd对等效阻尼有明显的影响,在整个频率范围内,等效阻尼都起决定作用。在频率较高时,由于分母项1+ω2T2的影响,Kd对等效阻尼的影响稍稍减弱。

从图7所示可知,积分参数Ki对等效刚度几乎无影响。图8显示,Ki会使得等效阻尼在低频区域大幅减小。Ki=0时,低频区的等效阻尼基本保持恒值。Ki越大,等效阻尼在低频区的减小幅度也越大。

4 刚度阻尼的在线识别实验

4.1 实验装置

实验在图9a所示的杠杆式单自由度主动电磁悬浮实验台上进行。杠杆的一端与铰链相连,另一端由主动电磁悬浮支承。由于铰链支承和杠杆的刚度远远大于电磁悬浮系统所提供的刚度,所以可以将杠杆机构等效成图9b所示的质量-弹簧-阻尼系统,系统的等效质量为M=(l/a)2m。实验采用标准的离散PID控制,采样频率为10kHz,测试频率范围为1～1000Hz。

4.2PID参数对刚度和阻尼影响的实验

图10～图15所示是在激励力的振幅为18.75N,Kp分别选取0.8、1.0、1.2,Ki分别选取0、0.0005、0.0010、0.0050、0.0100,Kd分别选取20、40、60的条件下,在线识别出的主动电磁悬浮系统的等效刚度和等效阻尼随频率的变化曲线。

把图10～图15分别与图3～图8对应比较,可以得到如下结论:

(1)对于等效刚度,实验结果与理论结果在低频区和中频区颇为一致,数值非常接近。但频率超过500Hz后,实验数据与理论计算值的误差逐渐增大,在图12中导致微分参数Kd在高频区域对等效刚度的影响不明显。

(2)对于等效阻尼,同样在低频区和中频区实验识别结果与理论结果有很好的一致性。随着频率升高,两种结果的等效阻尼都在100Hz后开始逐渐减小。但实验识别出的等效阻尼值减小比理论计算值下降得更快,并且在300Hz左右又触底反弹,形成一个V形谷底。谷底反弹后,在600Hz后又与理论计算值基本一致。为了分析形成谷底的原因,我们计算了实验悬浮结构的固有频率。悬浮杠杆结构的固有频率ω0=264.6Hz,这个值与实验测得的谷底频率基本一致。实验中出现V形谷底的原因,是由于在固有频率点引起了系统的共振,加剧了振动的幅度,导致等效刚度Ke和等效阻尼Ce的识别值减小。从图10～图15中可以观察到,无论是等效刚度还是等效阻尼,在固有频率点都出现了V形拐点,并且随着PID参数的不同,形成的谷底深度也不同。

4.3 激励振幅对测试效果的影响

如果是一个理想的线性系统,激振力的大小不会对等效刚度及阻尼的识别结果产生影响。但是,实际系统往往具有非线性,对于本实验而言,振幅选择过小,同频的位移振动难以检出,识别出的刚度和阻尼的误差较大。振幅选择过大,会影响到主动电磁悬浮的电流线性化和位移线性化条件,同样会造成误差。为了测试不同大小的激振力对等效刚度和阻尼识别效果的影响,实验分别在6.25N、12.50N、18.75N、25.00N、31.25N、37.50N 6种激励力振幅下进行了相关的测试。

在不同激励力下,1～1000Hz频率范围的等效刚度和阻尼变化测试结果如图16、图17所示。在中低频区域,激振力大小对等效刚度和阻尼的识别结果基本没有影响。值得注意的是,在系统的固有频率点,激振力越大,形成的V形谷底越深。

根据实验经验,当主动电磁悬浮控制系统能很好平缓低频的小幅激励时,会使得同频位移信号难以检出,导致识别结果不稳定。因此对于激振幅度的选择,在测量10Hz以下的低频刚度阻尼时,需要增大激振力幅度,使振动响应达到可测的水平。对于10Hz以上的频率,激振力幅度的可选范围无具体限制,只要能稳定地保持悬浮状态且振动尚可,均能正常测得系统的等效刚度和阻尼值。

5 结论

本文提出的主动电磁悬浮系统支承特性测试方案,能够在线地实时检测主动电磁悬浮系统在不同频率下的等效刚度和等效阻尼,并能更真实地反映等效刚度和阻尼的实际变化情况。虽然,为了与理论计算比较,实验中仍采用传统的PID控制算法,但是很显然该测试方法与电磁悬浮的控制策略无关。

实验结果表明,本文提出的主动电磁悬浮系统的支承刚度和阻尼的测试方案是可行的,测试结果无论从数值和变化趋势都与理论分析结果相一致,能够方便地在未知控制系统传递函数情况下对主动电磁悬浮系统的支承等效刚度和阻尼进行测定,其结果可以作为主动电磁悬浮系统动力学特性研究的依据,具有较强的实用意义。

摘要：分析了主动电磁悬浮系统支承的等效刚度和阻尼的理论计算方法。从闭环系统的角度出发,提出了一种不依赖于系统传递函数的等效刚度和阻尼的在线测量方法。以PID控制为例进行对比实验,分析了控制参数、激振幅度和激振频率对主动电磁悬浮系统支承等效刚度和阻尼的影响。结果表明,所提出的测量方法能够实时在线地对主动电磁悬浮系统支承的等效刚度和阻尼进行准确识别。

关键词：主动电磁悬浮,等效刚度,等效阻尼,在线测量

参考文献

[1]Haberman H L.An Active Magnetic Bearing Sys-tem[J].Tribology International,1980,4:85-89.

[2]Humphris R R,Kel m R D,Lewis D W,et al.Effectof Control Algorithms on Magnetic Journal BearingProperties[J].Journal of Engineering for Gas Tur-bines and Power,1986,108(10):624-632.

[3]汪希平.电磁轴承系统的刚度阻尼特性分析[J].应用力学学报,1997,14(3):95-100.

[4]曹洁.电磁轴承控制系统参数与刚度、阻尼的关系[J].甘肃工业大学学报,1996,22(1):79-84.

[5]赵雷,丛华,赵鸿宾.可控磁悬浮轴承刚度与阻尼特性研究[J].清华大学学报,1999,39(4):96-99.

[6]胡业发,周祖德,江征风.磁力轴承的基础理论与应用[M].北京:机械工业出版社,2006.

[7]吴华春,胡业发,江征风.磁力轴承支承特性的影响因素研究[J].组合机床与自动化加工技术,2007(4):7-10.

3.微分方程传递函数的定义 篇三

一、传递函数的概念及意义

（1）传递函数的定义：

线性系统在零初始条件下，输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换之比。

线性定常系统微分方程的一般表达式:

其中 xc 为系统输出量，xr 为系统输入量

在初始情况为零时，两端取拉氏变换：

移项后得：

上式中Xc(s)输出量的拉氏变换；Xr(s)输入量的 拉氏变换； W(s)为系统或环节的传递系数。

（2）传递函数的两种表达形式

a.传递函数的零极点表示形式

b.传递函数的时间常数表示形式

（3）关于传递函数的几点说明

a.传递函数的概念只适应于线性定常系统。

b.传递函数只与系统本身的特性参数有关，而与输入量变化无关。c.传递函数不能反映非零初始条件下系统的运动规律。

d.传递函数分子多项式阶次低于或至多等于分母多项式的阶次。

二、典型环节的传递函数及其暂态特性

无论什么样的系统，它的传递函数都是一些基本因子相乘积而得到的。这些基本因子就是典型环节对应的传递函数。把复杂的物理系统划分为若干个典型环节，利用传递函数和框图来进行研究，这是研究系统的一种重要方法。

（1）比例环节（放大环节/无惯性环节）

特点：输入量与输出量的关系为一种固定的比例关系（见下图）。

（2）惯性环节

特点：只包含一个储能元件，使其输出量不能立即跟随输入量的变化，存在时间上的延迟（见下图）。

（3）积分环节

特点：输出量随时间成正比地无限增加（见下图）。

(4）振荡环节

特点：振荡的程度与阻尼系数有关（见下图）。

（5）微分环节

特点：是积分环节的逆运算，其输出量反映了输入信号的变化趁势（见下图）。

实践中，理想的微分环节难以实现。

（6）延迟环节（时滞环节、滞后环节）

4.反馈系统传递函数 篇四

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5.光学镜头调制传递函数的测试 篇五

1 调制传递函数的测试原理

在大多数情况下, 测试调制传递函数是为了测试光学镜头对无限远目标成像的调制传递函数。测试时, 在平行光管焦点处放1个圆孔, 圆孔发出的光经过平行光管后进入光学镜头, 并在镜头像面上形成圆孔像, 圆孔像经显微镜放大后再进行傅里叶分析, 即得到了调制传递函数。调制传递函数是二维函数, 在实际测试时, 一般只分别测试它在fx, fy两个方向上的分布, 两者的计算过程类似。以测试在fx方向的分布为例, 设镜头像面上圆孔像的强度分布为I (x, y) , 将I (x, y) 在y方向积分后再作傅里叶变换, 求出H0 (fx) 为:

对H0 (fx) 进行零频归一化后再求模, 得到MTF0 (fx) 为:

再用式 (2) 除以1个校正因子, 即可求出调制传递函数MTF (fx) 为:

式 (1) (2) (3) 中:J1——一阶贝塞尔函数;

β——放大倍率;

d——圆孔直径。

2 调制传递函数的测试步骤

目前, 在测试调制传递函数的仪器中, 已经有不少成熟的产品了, 其中, 较为出色的是美国Optikos公司的调制传递函数测试仪和德国Trioptics公司的调制传递函数测试仪。使用这些仪器测试调制传递函数的基本步骤如下。

2.1 固定

把镜头固定好, 让平行光充满其口径。

2.2 穿轴

对定焦镜头来说, 将1块平面镜紧靠在镜头的基准面上 (该面的法线代表了镜头光轴) , 然后调整镜头, 让平面镜反射回的光点与平行光管焦点处的圆孔重合, 此时, 镜头光轴与平行光管的光轴平行, 圆孔位于镜头的中心视场。对于变焦镜头, 则要不断调整镜头, 让长焦时的像斑中心和短焦时的像斑中心处于同一位置, 此时, 镜头光轴与平行光管的光轴平行。

2.3 测试中心视场

用显微镜接收圆孔像, 并纵向调焦, 使圆孔像清晰呈现, 然后操作测试软件测试中心视场的调制传递函数。

2.4 测试轴外视场

将镜头和显微镜一起旋转到想要的角度θ, 横向移动显微镜, 使其接收到圆孔像, 然后操作测试软件, 测试θ角视场的调制传递函数, 再用同样的方法测试 (-θ) 角视场的调制传递函数。如此反复, 可以测试多个轴外视场的调制传递函数。

3 测试时的注意事项

3.1 对测试工装的要求

测试时, 对测试工装的要求如下: (1) 测试工装必须保证镜头被紧固、不晃动, 否则测试结果不准确; (2) 测试工装必须保证镜头的高度和位置是合适的, 要让从平行光管射出的平行光充满镜头的口径; (3) 测试工装必须保证镜头可以水平转动和俯仰转动, 以便进行穿轴。

3.2 对测试平面的要求

因为成像接收器 (比如CCD等) 的接收面都是平面, 所以, 在测试中心视场和轴外视场时, 必须在同一个平面上测试, 这样, 各个测试点才能同时被成像接收器所接收, 测试结果才有意义。测试平面可以垂直于镜头光轴, 也可以略微倾斜, 但是, 倾斜量不能太大。如果测试平面垂直于镜头光轴, 那么, 在测试轴外视场时, 显微镜只能横向移动, 不能纵向调焦;如果测试平面略微倾斜, 那么, 测试轴外视场时, 显微镜可以纵向调焦, 但是, 正负视场的调焦量必须为相反数, 即如果θ角视场的调焦量是a, 那么 (-θ) 角视场的调焦量就必须是 (-a) , 以保证测试点在一个平面上。

确定测试平面时, 先要保证中心视场和轴外视场的测试值都满足技术要求, 然后要让中心视场的测试值尽量高。因此, 在测试时, 需要在中心视场和轴外视场之间多次切换, 作一些平衡和折衷, 以确定最佳测试平面, 这个过程需要灵活处理。如果不能找到一个测试平面让中心视场和轴外视场的测试值都满足技术要求, 那么, 可以判定这个被测镜头的调制传递函数不合格。

3.3 镜头不同, 处理测试值方法不同

对于定焦镜头, 如果正、负轴外视场的测试值相差较大, 可能是因为镜头的基准面不准确, 穿轴后镜头光轴与平行光管的光轴不平行。此时, 可以把原来的中心视场和正、负轴外视场整体转动至一个适当的角度, 转动的方向应该朝向测试值较高的轴外视场, 然后再重新测试, 这样, 正、负轴外视场的测试值将会比较平均。

对于变焦镜头, 在穿轴已经完成后, 不管正、负轴外视场的测试值相差是大还是小, 这都是最终的结果, 不能再整体转动视场。

参考文献

[1]于谦.光学检查镜头的MTF测试方法研究[D].杭州:浙江大学, 2010.

6.反馈系统传递函数 篇六

1 资料与方法

1.1 资料来源

1978—2011年麻疹发病率来源于哈尔滨市疾病预防控制中心疫情监测资料;人口数、GDP资料均来源于哈尔滨市统计年鉴。

1.2 研究方法

本研究利用SAS 9.1和Excel 2007软件,采用传递函数——噪声模型对1978—2011年麻疹年发病数据拟合传递函数模型,经过多次拟合,确定能够很好地拟合了既往时间段上发病率序列的较优模型,并用所得到的模型对2012—2016年麻疹年发病率进行预测。

1.3 统计分析

传递函数——噪声模型是由“Transfer function-noise model”翻译而来,是属于多变量时间序列模型,形式上是可以当作纯ARIMA模型和多元回归模型的结合[3]。麻疹发病不仅单单受到自身数据的影响,还受到当地的人口总数、GDP等各因素的影响。传递函数模型如下:

本研究以哈尔滨市麻疹发病率为输出变量,以人口数和GDP作为输入变量。利用传递函数模型预测需要进行四个基本步骤:

第一步:模型的识别,通过SAS程序得出的自相关系数来判断是否符合平稳序列,由于本资料原始数据有较明显的趋势性,采用了对数变换和一阶差分使其平稳化。

第二步:在传递函数模型的识别中,本文采用了预白噪声化法加以识别,并采用条件最小二乘法估计模型参数。

第三步:模型的检验,通过模型的残差是否为白噪声序列来判断是否为较优模型。

第四步:利用1978—2011年的数据,拟合传递函数模型,对2012—2016年的麻疹年发病率进行预测。

2 结果

2.1 建立的传递函数模型

对既往的1978—2011年哈尔滨市麻疹发病率数据的拟合情况进行分析。从表1中可以看出,1978—2011年模型预测值的动态趋势与实际情况基本一致,预测残差最小值为0,最大值为—0.40,预测相对误差最小值为0,最大值为5.26%,预测效果良好。

2.2 2012—2016年哈尔滨市麻疹发病率预测

1982年我国实施麻疹疫苗计划免疫接种,从图1和表2中可以看出,1983年后麻疹发病率显著下降,2005年后呈上升趋势,分别在2006年和2010年达到两个高峰点,2011年下降至0.28/10万。预计未来5年麻疹发病率呈较低水平,呈小幅度逐年下降趋势,由2012年的0.24/10万下降至2016年的0.15/10万。

2.3 2012—2016年哈尔滨市麻疹发病率性别预测

从表3中可以看出,麻疹发病率男性高于女性,呈逐年下降趋势,男性从2012年的0.26/10万下降至2016年的0.17/10万,女性从2012年0.21/10万下降至2016年的0.09/10万。

3 讨论

麻疹是一种传染性很强的呼吸道传染病,近年来,全国麻疹疫情形势严峻。哈尔滨市自2006年麻疹疫情大幅回升之后,波动幅度较大,最高的发病率达到了19.52/10万,最低也在0.28/10万以上,距离消除目标尚有一定差距。建立一种新的、及时准确的麻疹预测预警模型,对控制麻疹非常必要。传递函数模型属多变量时间序列模型,形式上可以看作为ARIMA模型与回归模型的结合,它不仅考虑了时间序列目前观测值受过去观测值影响的情况,还在预测模型中引入了影响因素,很好地解决了普通回归模型与单变量纯ARIMA模型的不足。本文对1978—2011年哈尔滨市麻疹发病率进行建模并预测,同时引入了人口数和GDP两个输入变量,通过其实测值和预测值的比较,结果显示传递函数模型预测值的动态趋势与实际情况基本一致,预测效果良好,为麻疹预测预警提供了一个全新的预测方式和技术方法。

传递函数模型对麻疹发病趋势的预测,一方面可以为我市制定消除麻疹防控规划以及评价预防措施效果提供重要的参考意见;另一方面在疫情监测工作中,根据预测数据的可信限,可以判断实际发病率是否在正常范围波动。如果实际发病率在预测值95%可信限范围内波动,表明疫情基本正常;如果超出预测值95%可信限范围,表明疫情已不同于以往的流行规律,应警惕传染病暴发或流行的可能。预测结果表明,哈尔滨市2012—2016年麻疹预测发病率呈逐年下降的趋势,从2012年的024/10万下降到2016年的0.15/10万,且男性高于女性,提示出现高发的可能性不大,尽管发病率较低,但距离消除麻疹的目标尚有一定差距,仍需加大监测和防控工作力度。麻疹是疫苗可预防性疾病,接种疫苗是预防麻疹的最佳手段,为此我们不但要对儿童开展麻疹疫苗接种工作,还要对成人开展接种工作,并在确保基础免疫及时性和有效性的基础上,同时开展疫苗的强化免疫和后续强化免疫工作。并结合工作实际,如采取加大疫情监测力度和应急处置能力,加强宣传教育、增强自我保护意识等综合性措施,才可能最终达到消除麻疹的目标。

对疾病发病率的预测是一种前瞻性研究,各种方法对疾病未来发病率的预测只是科学的估计,建立的传递函数模型并不是一成不变的。麻疹发病变化的影响因素众多,政策干预、人口迁移和卫生资源等重要因素难以量化或预计,因此,对已建立的模型,必须加入新的观察值,以修正或重新拟合更能反映真实情况的模型[1,2]。同时还需要寻找对序列进行平稳性处理的方法,以提高其精度。

参考文献

[1]刘元元,李晓松,宛小燕,等.传递函数模型在我国城市卫生技术人员预测中的应用[J].中国卫生事业管理,2004(12):715-741.

7.反馈系统传递函数 篇七

自动控制作为技术改造和技术发展的重要手段,在工业、农业、国防等很多领域都起着重要作用,尤其是航天制导核能方面,自动控制更是必不可少。 自动控制原理基础是电气工程及自动化类专业及相关专业的一门必修课程。

2.自动控制原理的特点

该课程理论性较强,且涉及高等数学、电工基础、电子技术基础、电机学和半导体变流技术等多门课程的基础知识,因此很多学生对本门课的兴趣不高,不易掌握,在教学过程中应强化概念,弱化理论推导。

3.系统的数学模型

对系统的分析和研究都依赖于合理的数学模型, 数学模型既能准确地反映系统的动态本质, 又能简化分析计算的工作。 常用的数学模型有三种:微分方程、传递函数、动态结构图,这三种数学模型可以相互转化,由微分方程可以得到传递函数,进而画出系统的结构图。 利用结构图的化简可以得到传递函数,传递函数是一种非常重要的数学模型,我们一般习惯于利用结构图的化简求传递函数,但是对于比较复杂的系统,通常含有多个相互交错的回环, 利用这种方法求解计算量较大,而且容易出错。 这时我们可以采用一种比较简单又不易出错的方法求解,即利用梅森公式:

其中G(s)是系统的总传递函数,k为前向通路条数,pk为从输入端到输出端第条前向通路的总传递函数,△k为第条前向通路特征式的余因子,△为信号流图的特征式。

△=1-∑li+∑lilj-∑liljlk+… …

∑li是所有回路的回路增益乘积之和;∑lilj是所有任意两个互不接触的回路增益乘积之和。

4.例 题

例1:如图所示的系统结构图,求系统的总传递函数。

这是一个具有交叉反馈的多回路系统, 用结构图等效变换求解非常麻烦,计算量很大,且容易出错,这时我们可以利用梅森公式来求解。

解:

该系统的前向通路有一个,即k=1

回路有4个

因为各回路都互相接触,所以特征式为:

用梅森公式可求得传递函数:

例2:用梅森公式求系统的总传递函数。

解:

该系统前向通路有两个,即k=2

回路有5个

因为各回路都互相接触,所以特征式为:

两条前向通路与所有回路都接触,所以两个余子式为:△1=△2=1

代入梅森公式得系统传递函数为:

这与用结构图的等效变换得到的结果是一致的。

5.结 语

本文介绍了一种求解传递函数的简单方法, 即利用梅森公式, 通过两个例子具体地说明了利用梅森公式求解传递函数的过程。

摘要：传递函数是自动控制系统中最重要的数学模型,可以利用动态结构图的化简来求传递函数,但是此种方法比较繁琐。本文介绍了一种简单的办法来求传递函数,即采用梅森公式,利用梅森公式可以大大简化计算过程,且不容易出错。

8.反馈系统传递函数 篇八

工程结构出现损伤时，其结构特征参数会发生变化，从而引起结构振动响应的变化。基于振动响应分析的结构损伤检测方法是一种常用的结构状态分析方法，在实践中得到了广泛的应用。利用结构的振动响应识别结构的模态参数如模态频率、模态阻尼和模态振型等，构建损伤敏感参数，对结构损伤进行识别，是一种有效的损伤检测方法[1]。然而，结构模态参数的精确辨识十分费时，且模态参数容易受到环境和运行工况的影响，导致损伤检测的准确率降低。近年来，有学者直接对测得的结构振动响应数据进行分析，提取损伤敏感特征。其中，振动传递率函数描述了测点之间的振动传递特性，与结构动力特性密切相关，在结构动力学分析中受到了广泛的关注。Ribeiro等[2]利用振动传递率函数对多自由度系统响应进行了分析。Devriendt等[3]将振动传递率函数运用于运行工况模态分析中，通过结合不同载荷条件下的振动传递率函数，对模态参数进行了识别。Maia等[4]通过对比结构损伤前后的振动传递率变化，提出了一种响应向量置信度准则（response vector assurance criterion,RCAC）的损伤指标，对梁结构的损伤进行了检测。Johnson等[5]提出将结构损伤前后振动传递率函数在各频率处的变化率作为损伤指标。相比于频响函数，振动传动率函数的最大优势在于不需要对激励信息进行测量，适用于激励未知情况下结构的振动响应分析和结构损伤检测。小波分析方法作为一种有效的时频分析方法，在信号处理、图像处理等领域得到了广泛的应用。小波分析方法通过小波函数的伸缩与平移得到可调的时频窗口，通过可调的时频窗口可以同时对信号的短时高频分量和低频分量进行分析，可以聚焦到信号的任何细节，具有良好的多分辨率特性。本文结合小波分析，通过对振动响应进行小波变换，提出了多尺度振动传递率函数的概念，并通过计算多尺度传递率函数的灰度矩相对熵，对结构的损伤类型进行了识别。实验结果表明，该方法能有效识别结构的损伤模式，适用于激励未知且工况变化情况下的损伤识别。

1 多尺度振动传递率函数

信号x(t）的连续小波变换可以定义为[6]

其中，ψ（t）为平方可积且分段连续函数的母小波函数，ψ*（t）为其复共轭函数。a为与频率相关的尺度参数，尺度越大，所表示的频率越小；尺度越小，所表示的频率越大。b为平移参数，与时间相关。式（1）可以看做原信号x(t）与经过平移和伸缩的母小波函数ψb,a(t)=(1/a）ψ（（t-b）/a）的内积。当函数ψ（t）满足允许条件

Morlet小波由于其良好的时频分辨率[7]，被广泛运用于结构动力学分析，其定义如下：

其中，ω0为小波函数的中心频率。本文选择Morlet小波来对结构振动响应进行分析。

对点i和点p处响应分别进行小波（WT）变换，有

尺度as处点i和点p处的振动响应分别为Wψ（as,b)[xi(t）]和Wψ（as,b)[xp(t）]，由此计算尺度as下的点i和点p之间的互相关函数为

而τ与时间t相关，因此不同尺度下的互相关函数可以表示为Wψ（a,b)[Rxixp(t）]。而点i和点p之间的振动传递率函数可以通过H1估计方法[8]得到：

式中，Rxixp（ω）为点i和点p之间的互功率谱函数；Rxixi（ω）为点i处的自功率谱函数。

结合式（6），分别在不同时间点处计算点i和点p之间的振动传递率函数，得到多尺度振动传递率函数为

对五自由度系统进行分析，其刚度矩阵M、质量矩阵K和阻尼矩阵C分别为

对系统施加白噪声激励，采集振动响应，采样频率为256Hz，采样点数为8192。

图1所示为m1处振动响应，计算得到的m1和m2之间的互功率谱函数如图2所示。根据式（7）可以计算m1和m2之间的振动传动率函数TR12，如图3所示。

进一步计算多自由系统在m1和m2之间的多尺度互相关函数，如图4所示。最后根据式（8）可以求得多自由度系统在m1和m2之间多尺度振动传递率函数，结果如图5所示。由图5可知，通过结合小波变换，可以得到不同尺度下的振动传递率函数，能更好地表示振动传递率函数在不同尺度下的特性，有利于进行进一步的损伤特征提取。

2 基于多尺度振动传递率函数和灰度矩相对熵的损伤识别原理

由多自由系统的分析结果可知，经过小波变换后得到的多尺度振动传递率函数矩阵可以通过灰度图的形式表示，通过观察灰度图的变化，可以分辨出不同的损伤模式。但是在实际应用中，不同损伤类型及损伤程度下得到的灰度图都不相同，因此仅仅通过直观观察，容易出现误差甚至错误。为了对损伤前后多尺度振动传递率函数的变化进行定量描述，提取损伤指标，定义灰度矩gk为[9]

其中，[Cij]为经过小波变换后得到的振动传递率函数矩阵。为权值，表示点Cij与参考点C11之间的距离。

将系数矩阵按尺度划分为l个部分，分别计算灰度矩，得到灰度矩向量G=(g1,g2，…，gl）。

灰度矩向量表征了不同的尺度范围内灰度矩的分布特性。为了进一步定量描述灰度矩的分布特性，根据信息熵的定义提出了灰度矩熵。

根据信息熵的基本理论，定义灰度矩熵为

由定义可以看出，灰度矩熵反映了各尺度范围内灰度矩的分布情况。当结构发生损伤时，灰度矩熵也会相应发生变化。为了进一步识别结构的不同损伤模式，引入了相对熵的概念[10]。

两组不同灰度矩向量Gi和Gj之间的相对熵定义如下：

式中，gik、gjk为Gi和Gj中的元素。

由定义可知，相对熵反映了两组向量之间的相似性，进而可以利用该特性进行损伤检测。

假设两次不同测试得到灰度矩向量分别为Gi和Gj，若两次测试时结构处于同一工作状态，则灰度矩向量Gi和Gj几乎相同，由此计算得到的相对熵几乎为零；若两次测试时结构处于不同工作状态，灰度矩向量Gi和Gj在各尺度范围内分布不相同，由此计算得到的相对熵不为零。由此可见，可以通过相对熵最小值识别结构的工作状态。

灰度矩相对熵的计算步骤如下：

(1）假设两组测试数据为xi(t）和xj(t），参考点为xk(t），分别对其进行小波变换，得到不同尺度下的分量信号，进一步计算各尺度下的振动传递率函数W[Rxixk(T）]和W[Rxjxk(T）]。

(2）将多尺度振动传递率函数矩阵沿尺度方向分割为p个部分，并按式（9）分别计算灰度矩，得到灰度矩向量Gi=(gi1,gi2，…，gip）和Gj=(gj1,gj2，…，gjp）。

(3）将灰度矩向量进行归一化处理，并按式（12）计算灰度矩相对熵Eij。

3 实验分析

选择三层书架结构作为实验结构来验证方法的有效性，该结构为基准实验结构，广泛应用于结构损伤检测方法研究中[11,12,13]。如图6所示，该结构为三层板件结构，板件之间通过4根铝合金连接柱连接，图6所示分别为ABCD位置，并通过螺栓固定。在每层板件处分别安装4个加速度传感器。实验时采用白噪声激励，激振器连接位置为底层板位置。测试设备为NI PXI数据采集系统，通过PXI-4461DAQ产生激励信号，驱动激振器对结构进行激振，通过PXI-4472BDAQ模块采集振动响应信号。在每组测试下，设置激振器输入电压为3V、5V和7V，模拟三种不同工况（工况一、工况二和工况三）。在已有研究中，通过调节激振器的输入电压来模拟不同的工况已经得到了应用[14,15,16]。实验测试中，通过去除不同位置的支撑来模拟损伤，如表1所示。分别对4种工作状态（正常状态、损伤模式D1、损伤模式D2和损伤模式D3）下的结构进行测试，每种工作状态下共有测试数据15组，分为三种工况，每种工况下的测试数据为5组，采样频率为1600Hz，采样点数为8192。

选择第一层节点C作为参考点，另选择第三层节点A作为测试点计算多尺度振动传递率函数。小波类型对灰度矩向量影响不大[8]，这里选择Morlet小波进行计算。

基于振动响应的损伤指标，如响应幅值、能量及其他统计参数，随着工况的变化而改变，在实际应用中，通常需要考虑工况变化影响等因素，这样才能准确地通过损伤指标判断结构的工作状态。因此，有必要考虑工况变化对损伤指标的影响。

为了评估工况变化对损伤指标的影响，分别从结构在正常状态的三种不同工况下的测试数据中随机抽取一组，并根据式（9）计算灰度矩向量，结果如图7所示。图8～图10分别为三种损伤模式下不同工况的灰度矩向量的计算结果。由图可知，结构在同一状态下，工况的变化对灰度矩计算结果影响不大，得到的灰度矩向量在不同工况下的分布情况基本相同；同时，不同损伤模式下计算得到的灰度矩向量具有明显的差别，可以通过灰度矩向量来识别结构的不同工作状态。由此可知，基于多尺度振动传递率函数的灰度矩向量不受工况变化的影响，适用于工况变化情况下的结构损伤检测。

进一步可以计算损伤模式D1、损伤模式D2和损伤模式D3下测试数据与样本数据之间的相对熵，结果如图12～图14所示。比较相对熵的大小，当测试数据中某组数据与样本数据为同一工作状态时，两者计算得到的灰度矩向量几乎相同，由此计算得到的相对熵较小；当两者为不同工作状态时，计算得到的灰度矩向量不相同，由此计算得到的相对熵较大。取相对熵最小值对应的状态为测试数据的状态识别类型，可以准确地识别出结构的损伤模式。

4 结束语