复变函数清华大学

复变函数清华大学（精选10篇）

1.复变函数清华大学 篇一

第一章

复数

=-1

欧拉公式

z=x+iy

实部Re

z

虚部

Im

z

2运算

①

②

③

④

⑤

共轭复数

共轭技巧

运算律

P1页

3代数，几何表示

z与平面点一一对应，与向量一一对应

辐角

当z≠0时，向量z和x轴正向之间的夹角θ，记作θ=Arg

z=

k=±1±2±3…

把位于-π＜≤π的叫做Arg

z辐角主值

记作=

4如何寻找arg

z

例：z=1-i

z=i

z=1+i

z=-1

π

极坐标：，利用欧拉公式

可得到

高次幂及n次方

凡是满足方程的ω值称为z的n次方根，记作

即

第二章解析函数

1极限

2函数极限

①

复变函数

对于任一都有

与其对应

注：与实际情况相比，定义域，值域变化

例

②

称当时以A为极限

☆

当时，连续

例1

证明在每一点都连续

证：

所以在每一点都连续

3导数

例2

时有

证：对有

所以

例3证明不可导

解：令

当时，不存在，所以不可导。

定理：在处可导u，v在处可微，且满足C-R条件

且

例4证明不可导

解：

其中

u,v

关于x,y可微

不满足C-R条件

所以在每一点都不可导

例5

解：

不满足C-R条件

所以在每一点都不可导

例6：

解：

其中

根据C-R条件可得

所以该函数在处可导

4解析

若在的一个邻域内都可导，此时称在处解析。

用C-R条件必须明确u,v

四则运算

☆

例：证明

解：

则

任一点处满足C-R条件

所以处处解析

练习：求下列函数的导数

解:

所以

根据C-R方程可得

所以当时存在导数且导数为0，其它点不存在导数。

初等函数

Ⅰ常数

Ⅱ指数函数

①

定义域

②

③

④

Ⅲ对数函数

称满足的叫做的对数函数，记作

分类：类比的求法（经验）

目标：寻找

幅角主值

可用：

过程：

所以

例：求的值

Ⅳ幂函数

对于任意复数，当时

例1：求的值

解：

例2：求

Ⅴ三角函数

定义：对于任意复数，由关系式可得的余弦函数和正弦函数

例：求

解：

第三章复变函数的积分

1复积分

定理3.1

设C是复平面上的逐段光滑曲线在C上连续，则在C上可积，且有

注：①C是线

②方式跟一元一样

方法一：思路：复数→实化

把函数与微分相乘，可得

方法二：参数方程法

☆核心：把C参数

C：

例：

求

①C：0→的直线段②；

解：①C：

②

★

结果不一样

2柯西积分定理

例：

C：以a为圆心，ρ为半径的圆，方向：逆时针

解：C：

☆

积分与路径无关：①单联通

②处处解析

例：求，其中C是连接O到点的摆线：

解：已知，直线段L与C构成一条闭曲线。因在全平面上解析，则

即

把函数沿曲线C的积分化为沿着直线段L上的积分。由于

故

★关键：①恰当参数

②合适准确带入z

3不定积分

定义3.2

设函数在区域D内连续，若D内的一个函数满足条件

定理3.7

若可用上式，则

例：

计算

解：

练习：计算

解：

4柯西积分公式

定理

处处解析在简单闭曲线C所围成的区域内则

例1：

解：

例2：

解：

例3：

解：

注：①C：

②

一次分式

③找到

在D内处处解析

例4：

解：5

解析函数的高阶导数

公式：

n=1，2……

应用要点：①

②

③精准分离

例：

调和函数

若满足则称叫做D内的调和函数

若在D内解析

所以

把称为共轭调和函数

第四章

级数理论

1复数到

距离

谈极限

对若有使得

此时

为的极限点

记作

或

推广：对一个度量空间都可谈极限

极限的性质

级数问题

部分和数列

若

则收敛，反之则发散。

性质：1若

都收敛，则收敛

2若一个收敛，一个发散，可推出发散

若

绝对收敛

若

但收敛，为条件收敛

等比级数

：

时收敛，其他发散

幂级数

则

求收敛域

例：求的收敛半径及收敛圆

解：因为

所以级数的收敛半径为R=1，收敛圆为

泰勒级数

泰勒定理：设函数在圆K：内解析，则在K内可以展成幂级数

其中，（n=0,1,2……），且展式还是唯一的。

例

1：求在处的泰勒展式

解

：在全平面上解析，所以在处的泰勒展式为

例2：

将函数展成的幂级数

解：

罗朗级数

罗朗定理

若函数在圆环D：内解析，则当时，有

其中

例：将函数在圆环（1）

（2）

内展成罗朗级数。

解：（1）在内，由于，所以

（2）在内，由于，所以

孤立奇点

定义：若函数在的去心邻域内解析，在点不解析，则称为的孤立奇点。

例

：

为可去奇点

为一级极点

为本性奇点

第5章

留数理论（残数）

定义：

设函数以有限项点为孤立奇点，即在的去心邻域内解析，则称积分的值为函数在点处的留数

记作：

其中，C的方向是逆时针。

例1：求函数在处的留数。

解：因为以为一级零点，而，因此以为一级极点。

例2：求函数在处的留数

解：是的本性奇点，因为

所以

可得

第7章

傅里叶变换

通过一种途径使复杂问题简单化，以便于研究。

定义：对满足某些条件的函数

在上有定义，则称

为傅里叶变换。

同时

为傅里叶逆变换

注：①傅里叶变换是把函数变为函数

②傅里叶逆变换是把函数变为函数

③求傅里叶变换或傅里叶逆变换，关键是计算积分

④两种常见的积分方法：凑微分、分部积分

复习积分：①

②

③

④

⑤

注：

例1：求的解：

例2：求的解：

-函数

定义：如果对于任意一个在区间上连续的函数，恒有，则称为-函数。

例1：求-函数的解：

例2：求正弦函数的傅氏变换

解：

☆

第8章

拉普拉斯变换

设在时有定义

2.复变函数清华大学 篇二

(1)课时紧张。这门课程安排了32个课时,讲授时间紧张。很多老师仅讲授复变函数的概念,解析函数,积分和级数,很少涉及共性映射。教学过程中只介绍基本内容与基本方法,省略了较难的证明,简化了较为复杂的运算,突出重应用而轻理论。这样造成了学生在学习过程中知道了解一些知识,只会做一些基础题目。很多学生感慨好像没有学到多少实用知识。

(2)重视不够。这门课程每周一次,作为小课头,很多学生不重视。课前不预习,课后不复习,仅仅依赖课堂听讲,抄袭作业现象时有发生。由于每次课间隔一周时间,学生经常是学了新知识忘了旧的知识。图书馆中关于这门课程的参考资料太少,很多学生不得不只啃课本。学院将本门课程的考试分为系考和院考,分类不明确,并且也没有相应的教学大纲。试题分类不明确,难度过于简单。一些同学平时不学,考试前突击复习也能考过,谈其经验,多做几套往年试卷就可通过。

(3)学生基础不同。由于学校是面向全国招生,学生来自不同的省份。有些省份中学根本就不讲复数,而有些省份中学讲述较多。学院各专业学生差异较大,一些专业的学生基础差,平时又不努力,考试时很多学生不能通过。每次补考或者清考,很多学生都要参加。

针对以上的问题,我们在教学过程中采用各种方法和手段加以解决。

(1)建立新型师生关系。我们要打破传统的教育观念,要求师生之间民主,平等。教师公平地对待每一位学生,尊重每一位学生,赞赏每一位学生,善于发现学生身上的闪亮点,能够让学生感受到老师在关注他爱护他,时常感受到老师的爱。这样学生才会更加积极主动地学习,才会更加重视老师的每一次课程,才会对每一次课有更多地期盼和留恋,并且会以较高的热情参与学习活动。这样师生之间的情感不断加深,关系和谐融洽发展。及时适当调整教学内容。根据了解学生所具有的知识结构,结合学生各自专业实际情况,有针对性的讲授。教学过程中适当突出解析函数,柯西积分理论,留数理论以及共形映射等知识,加强本门课程与《高等数学》等课程的对比,揭示它们之间的共同点和不同点,学会融会贯通。在课程讲授过程中形成以教师为主导学生为主体合作交流促进式学习,进一步培养学生的自主学习的能力。要改变传统上教师在讲台上占据绝对的主导地位,学生在下面被动地听。课堂中减少教师占据时间,多给学生时间思考,让不同的学生都有机会表现,使学生主动探索。由于课内课时紧张,需要教师在课外精心备课。教师应该把知识理解透彻,备课时背得讲解内容,心中始终以学生为重,善于分析学情,思考如何营造课堂氛围使学生成为课堂的主人,让他们主动思考,交流,探讨。有计划合适的提问触发学生的思维,激发学生的觉悟,还可以加强课堂上师生的互动。通过师生间的一问一答,充分体现出合作探讨式学习。在这一过程中教师不仅点播指导学生的预习方法,听课方法以及课后的复习方法,而且还可以对自己的教学活动过程和课堂教学实践进行全面深入冷静的思考和总结,对自己在教学活动过程中所做出的行为决策以及由此产生的结果进行审视和分析,及时反思,总结得失,不断优化课堂教学。我们还建议学生在课下上机实习,提高学生解决问题的能力。

(2)更新教学手段和方式。由于学习这门课程的学生都是工科学生,我们在教学时弱化了证明。课程课时少,又要保证教学质量,我们引入新的教学手段。比如将数学建模思想融入教学中,以一些实例入手,激发学生学习这门课程的兴趣和热情,对数学的学习产生浓厚的兴趣。多媒体教学的引入可以极大地提高授课进程,对一些定义,性质和公式的介绍,极大的增加了学生的学习积极性。教学环节应增加计算机上机实习,大部分数学题目可以用计算机解决。另外在教学过程中适当的时候可以角色互换,学生讲解,老师评议。在课时充足时还可以现场测试等教学手段更新。

(3)考核方式多样化。合理安排课时,可以采用前9周或后9周结课,考核方式由主讲教师决定。考试可以开卷或者闭卷。考试时可以分为独立考试与分组讨论的形式,或者提交专题讨论或论文,必要时还可以要求每位学生写学习心得。适当增加平时成绩在考核中的比例。每学期应该进行期中考试。需要重视第二课堂和实践教学,加强对学生实践能力和创新精神的培养。

在教学过程中我们鼓励学生多提问题,多做练习,多与教师沟通交流,及时了解学生的学习状况,严格要求学生,并督促学生认真主动学习,这样便可以提高通过率,提升教学效果。

参考文献

[1]杨纶标,郝志峰.复变函数[M].北京:科学出版社,2003.

3.工科复变函数课程的教学体会 篇三

【关键词】复变函数 教学方法 实变函数

【中图分类号】O174 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）06-0124-02

复变函数是高等院校工科专业的必修课，它对于培养学生的抽象思维，逻辑推理、空间想象和科学计算能力都起着重要的作用。其广泛涉及理论物理、自动控制、信号处理、流体力学、弹性力学等众多领域。复变函数的理论与方法是许多相关学科的重要解析工具，因此，学好复变函数这门课程是十分重要的，笔者结合多年教学经验，总结了一些复变函数的教学体会。

一、复变函数课程的特点

复变函数是在微积分的基础上形成发展起来的一门数学学科，它将数域由实数域扩充到复数域构建了新的数的表示形式x=x+iy，形成了特有的理论和计算技巧。定义了复变函数的初等函数，也由此建立三角函数和指数函数的关系，对欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ给出了很好的解释。由于数域的扩充使复变函数对应两个二元实函数w=f（z）=u（x，y）+iv（x+iy），这就将实变函数的极限、导数、微分、级数从基本定义到计算方法推广到复变函数，使得复变函数的理论更简洁，方法更巧妙。复变函数的积分是复变函数理论的重要部分，积分将复变函数的导数、微分，级数，留数联系到一个理论线索上。复变函数通过复平面建立了两个平面的点的对应关系，构成了平面到平面的二维映射，这是复变函数的一个重要贡献。

由于复变函数的很多概念理论和计算方法直接借助于高等数学知识，要求学生有很好的高等数学基础，同时也要求教师在教学中做到边复习高等数学边讲授复变函数，使学生的知识体系得以连贯，真正学到新的知识。随着高等教育改革的不断深入和多媒体的使用，复变函数课时相对减少， 如何才能让学生在有限的时间内高效的学好这门课，是复变函数教学的首要任务。

二、复变函数的教学体会

1.合理安排教学内容

复变函数课程的教材很多，西安交通大学高等数学教研室编写的工程数学《复变函数》，对于工科学生来讲，不失为一本很好的教材，教材内容充分，结构合理，理论应用相得益彰，但教师在教学中，还应对教材进行再加工，即要借重教材的优点，又要照顾学生。精心设计课程内容的引出、分析、解答等过程，通过抽象概念与具体实例结合，抽象思维与形象思维结合，渗透现代数学思想，提高学生兴趣，培养学生的数学思维能力和综合应用能力。

做为数学课程复变函数教材的章节是按着严格的逻辑顺序展开的，有着很强的系统性和整体性。对于一些重点知识、新知识可以安排较多课时，比如模函数，幅角函数的解析性，C-R方程、柯西-古萨基本定理、柯西积分公式、高阶导数公式、留数定理等复变函数的几个重要定理需要多花精力比较使用方法，介绍应用技巧。有些知识象复数及复数的计算已经下放到了高中，所以可作为复习内容，安排较少课时。

2.采用适当的教学方法

在教学过程中，可以采用多种教学方法和教学手段，由于复变函数的许多性质、概念、定义与高等数学有着相似之处，又与高等数学在某些方面有着实质不同，比较教学法是最适用于复变函数教学的。 在复变函数教学过程中，应注意将复变函数的概念、定理以及处理问题的方法与高等数学进行对比，使学生在建构新的知识体系的同时能够区分两者之间的差异。

探索一套行之有效的考试考查方法，增加单元测验，加大平时成绩比重，把考试分为开卷和闭卷。利用单元测验检查学生对知识的掌握程度。 每章结束之后上习题课，采用对话式教学方法，提出问题，引导学生思考问题、解决问题，及时发现和纠正学生的错误，以补充和巩固复变函数的教学内容。

3.充分利用多媒体教学

借助优质示范课教学平台制作《复变函数》课程的电子教案、多媒体课件，习题库、试题库，实施网络教学，实现师生互动，从而优化了学习过程、提高了学生的学习兴趣和学习效率。利用电子课件教学，使教学更生动、更立体，从而培养学生的理解力、洞察力、数学思维能力。同时将某些抽象的理论具体化，在很大程度上节约黑板书写时间，增加授课的信息量。

4.将数学实验引入课堂教学

利用MATLAB进行辅助教学可以进行复数基本运算包括计算复数的实部、虚部、模和幅角，也可以计算复变函数的导数、积分和留数，MATLAB绘制复变函数图象直观地展示复变函数的特殊映射规律。这样不但加强了学生对复变函数中的抽象概念的直观认识，而且还提高了学生运用数学和计算机解决实际问题的能力，激发了学生对复变函数的兴趣。

5.注重知识应用，培养学生应用能力

复变函数与其他学科如物理、数理方程、流体力学、电磁学等都有不同程度的联系，在教学中不仅要清晰地向学生讲述复变函数的基本知识，还应该帮助学生建立起该学科与学生专业的关系。为此，在复变函数的教学中要把握好知识应用的指导，了解学生的专业以及后续的基础课和专业课，在讲解复变函数理论的同时，向学生介绍复变函数在相应学科中的应用。如解析函数可以刻画流体流动的复势。留数和流量、环量的联系等。

总之，在复变函数的教学过程中要注意素质教育内容的融入，注重培养学生的创新能力，培养学生抽象思维能力，逻辑推理能力和分析解决问题的能力。复变函数的教学不仅在于教授学生知识，更在于培养学生的数学思想，提高学生的综合素质，促进学生的全面发展。

参考文献：

[1]钟玉泉.复变函数论[M].北京：高等教育出版社，2003

[2]张必山.试析复变函数课程教学改革[J].教育与职业，2010

[3]西安交通大学高等数学教研室.复变函数[M].第四版，高等教育出版社，2005

[4]付小宁.工科复变函数课的教学实践[J].中国电子教育，2009

4.复变函数清华大学 篇四

读《复变函数》与《积分变换》有感

在学了《高等数学》之后，我们进一步学习《复变函数》和《积分变换》这两本书，这两本书是《高等数学》的微积分扩展和延伸，还有将复数将以深入学习和扩展，并引入函数的概念。因此感觉有一定的深度和难度。它们都利用数学的理论来解决实际问题。

复变函数中有很多概念，其中理论和方法是实变函数在复数领域内的推广和发展，因而它们有许多相似之处，但是复变函数与实变函数有不同之点。就拿第一章来说，复数与复变函数，本课程研究对象就是自变量为复数的函数。在中学阶段，我们已经学习过复数的概念和基本运算。本章将原来的基础上作简要的复习和补充。然后再介绍在复变平面上区域以及复变函数的极限和连续性等概念，为进一步研究解析函数理论和方法奠定必要的基础。概括一下，以前学过方程x2=-1是无解的，因而设有一个实数的平方等于-1。第一节是复习原来的内容，然后逐步引入函数的概念。再引进对复变函数的表达式和复变函数重幂与方根以及加减法研究。由于上学期，我们学习函数概念中，引入极限的概念，然而复变函数也有极限特性。所以对复变函数极限分析有着相似之处，因此可以借鉴学函数极限方法来研究复变函数，然而复变函数又有其独特特性，研究时必然会给我们带来很多困难和意想不到的问题，所以就是它的不同之处。后面将复变函数引入微积分的概念，刚开始觉得挺好学，按照以前学微积分的思想就能接纳复变函数的微积分，当我遇到了用函数微积分解决复变函数时，复变函数的转化和变形却是难题，但是经过一番努力，我逐渐领悟到复变函数在微积分在数学中的独特魅力。

在学习复变函数中，要勤于思考，善于比较分析其共同点，更要领越复变函数的独特魅力，如果这样才能抓住本质，融会贯通。

而《积分变换》研究的是将复杂的运算转化为较简单的运算。本书讲解了积分在数学中的应用，常用的两种积分变换Fourier变换和Laplace变换。利用Fourier变换和Laplace变换将复杂的积分转化为简单的积分变换，有利于对复杂积分的求解，所以学习《积分变换》的思路就不像学习《复变函数》一样，它的解题思路和《积分变换》截然不同，就拿Fourier变换而言，先引进Fourier定理，然后利用Fourier定理解决数学中一些难解的积分，用积分变换也可以解决工业中一些工程计算。其重在积分变换。对于积分变换理论的学习，有助于解决我们在工业设计中遇到的问题，但对与此书着重对积分变换的思想培养和应用。当我开始学习《积分变换》时，感觉无从下手，尤其是对积分的变换，一看到积分变换的过程就很头疼，不知道从哪个地方开始下手，当学到Laplace变换时，才发现积分变换有它的一定的规律，只要把Fourier变换的思路用在Laplace变换，就会简化对Laplace变换的学习，我才明白Fourier变换只是学习积分变换的一种方法，第一种内容学会了，后面的内容就迎刃而解了。

5.复变函数中的欧拉公式的证明 篇五

一、欧拉公式：

eiπ+1=0

eix=cosx+isinx

二、证明

a)将ex展开：

23ex=1+x+x

2!+x

3!x456784!+xxxx

5!+6!+7!+8!+···

b)将x用ix替换：

2345678

eix=1+ix··c)将cosx展开：

cosx=1-x2

2!+x4

4!x6

6!+x8

8!x10

10!+x12

12!··

d)将sinx展开：

x3x5x7x9x11

3!5!-7!+9!-11!+x13

sinx=x-13!+···e)上式等号两边同时乘i：

ix3ix5ix7ix9ix11

3!+5!-7!+9!-11!+ix13isinx=ix-13!··f)联立Ⅱ、Ⅲ、Ⅴ三式得： eix=cosx+isinxⅥ g)同理可得：

e-ix=cosx-isinxⅦ h)对于Ⅵ，令x=π便可得： eiπ+1=0 i)Ⅵ、Ⅶ二式联立可得：

eix-e-ix

sinx=eix+e-ix

6.复变函数与积分变换教学的体会 篇六

但是学生对这门课程的了解不够,所以对它的认识存在一些误区:学生认为这门课程的实用性不强,很难想象它在现实生活与实践中的应用价值.同时由于学习过程中复变函数需要理解记忆的概念与定义很多,所以学生普遍感觉理论性偏强;积分变换接触一些抽象枯燥的变换公式,这更加让学生认为这是一门纯理论没有实用性的课程因而失去学习它的兴趣.在复变函数中很多概念是实变函数在复数域的推广,因此很多学生只看到了复变函数与实变函数的相同之处没有看到它们之间的区别,觉得这门课程是高等数学内容的重复学习,认为学习这门课程既浪费时间又没有什么意思.另外由于课程的学时设置与后续专业课设置等原因都对这门课的教学效果产生了影响,比如学时太少教学内容很难展开,后续相关课程与这门课学习时间间隔较长,学生已经遗忘所学内容对后续课程的学习没有起到很好的帮助作用.

鉴于此,我们在教学过程中,如何帮助学生寻找合适的“窍门”,降低学习难度,激发学习兴趣,对学生学好“复变函数与积分变换”非常重要.我认为为了取得较好的教学效果可以从以下几个方面做:

首先应该让学生了解学习这门课的重要性,特别是对后续课程学习的影响.因此针对不同的专业要首先了解该专业的课程,具体地指出学习这门课程对后续专业中的哪些课程的哪些内容会有帮助.比如“复变函数与积分变换”的内容与“工程力学”“电工技术”等课程的联系十分密切,我们就可以在这些课程中找出相关的例子给学生,让他们知道学习这门课的必要性和重要性.如我们可以具体给学生指出Laurent级数可以应用于数字信号处理中,利用Laurent级数直接写出离散数字信号的Z变换;又如Laplace变换可以帮助我们求电流,因为串联电路上电压、电阻、电流、电感、电容就满足一个微积分方程,要求串联电路的电流问题也就变成了求解微积分方程的问题,而拉斯变换正是求微积分方程的有力工具.所以在课时允许的条件下我们应该尽可能举出一些实际的例子,让学生体会学习这门课程的重要性,也增强学生学习这门课程的兴趣.

其次,我们一定要让学生知道复变函数与高等数学之间的关系.复变函数与积分变换和高等数学的联系是很紧密的,复变函数中的许多理论、概念和方法是实变函数在复数域的推广,但也要明白它与实变函数的许多不同之处.在学习过程中一定要注意它的相同与不同,只有这样才能学好这门课程.在讲课过程中要强调不同之处,提醒学生要特别注意这些不同的地方,比如指数函数在复变函数里面具有了周期性、负数可以求对数、正弦函数与余弦函数不再有界等等,因为学生在学习完高数后再来学习复变函数很容易将原来已经学到的知识平移到复数域而犯一些不该犯的错误.当然在讲课中也应该指出相同的地方,如在复数域我们也有洛比塔法则、一些初等解析函数的泰勒展开式与实函数的结果类似、求导法则不变等,指出这些可以减轻学生的学习任务,因为在高等数学的基础上这些相同或类似结论的记忆变得十分简单,对提高学生的学习效率是有帮助的.然而最重要的是要让学生了解怎样用学过的高数的知识学习复变函数,又如何用复变函数的知识解决高数里面的问题.这样可以让学生在学习过程中做到既学习了新知识又巩固了旧知识.因此在学习过程中应该经常提醒学生注意复变函数与实变函数的关系.复变函数实际上相当于两个二元实函数,因此在复变函数学习中我们经常要用到与二元函数有关的知识与解题方法,比如当要证明复变函数不连续时,实际上就变成了证明两个二元函数不连续,因为复变函数连续当且仅当虚部与实部所对应的两个二元函数连续;又比如讨论复级数的敛散性其实就是讨论对应的两个实级数的敛散性,因为复级数收敛当且仅当虚部与实部所对应的两个实级数收敛,这样的例子在复变函数里面很多,从这些例子看出高数的知识对于解决复变函数的问题是很有用的.同时也应该看到不仅如此,复变函数里的知识也可以帮助解决高数的问题,如在高数里面一些不能求解的积分,可以将它们转化为复积分,再利用复变函数里面留数定理求出实积分,这也是复变函数里面留数这一章学习的重点即留数的应用.至于积分变换与高数的联系也是十分紧密的,在引入傅立叶变换时会讲到傅立叶积分,而傅立叶积分的推导是从傅立叶级数开始的,这是大家在高数里面学习过的重要内容.总之在学习“复变函数与积分变换”的过程中一定要和学生强调这门课程与高数的关系,应该提醒学生注意相关概念之间的异同,只有这样才能让学生很好地将这它们联系起来,达到最佳的学习效果.

以上就是我自己多年讲授“复变函数与积分变换”这门课程中的一些体会和感受,希望能和大家分享,也希望“复变函数与积分变换”这门十分重要的课程能够让学生喜欢它并学好它.

摘要：复变函数与积分变换是工科学生必修的一门非常重要的基础课程,本文主要讨论了这门课程教学中的问题,提出了提高这门课程的教学效果的一些方法.

关键词：复变函数,积分变换,高等数学

参考文献

7.复变函数清华大学 篇七

关键词：复变函数与积分变换教材题库实践教学

大学的教育不同于中学的“应试”教育，只讲授理论知识或只应对一张卷子是远远不够的。应该把培养学生认知和运用理论知识解决问题的能力放在首位。这也是现今广大教育工作者极为关心的问题。大学数学教育起着使学生个人得到完善和发展方面的不可替代的作用，不断促使我琢磨一个“永恒”的主题。即使学校给我们配备的硬件条件再好，教学计划再完美，但是没有相当数量的高水平的教师的积极、主动、有创见地参与实践，大学数学教育目的难以达到，教学改革则更难以奏实效。

《复变函数与积分变换》是高等数学的后续课程，是机电类专业必修的基础课， 它在电路理论、通信工程、信息处理、自动控制、信号与系统等多门专业课中有着广泛的应用。它对培养对象未来的业务素质、专业能力和创新精神是非常重要的。通过本课程的学习，可以使学生掌握复变函数与积分变换中的基本理论和方法，为学习相关专业课程及实际应用提供必要的数学基础，扩大学生继高等数学之后相关课程的知识面，也是培养学生推理、归纳、演绎和创新能力、培养学生的数学素质及应用复变函数与积分变换的知识解决本专业实际问题的能力的一门很好的课程，因此学好这门课程对学生来说是非常重要的。近年来，为了解决教学学时紧张的矛盾，许多教师、学者纷纷提出在课程教学中“轻理论重应用”的指导思想，以期达到学以致用的目的。但是，复变函数与积分变换的实际授课时数相对比较少，有限的时间内如何使学生既掌握理论与方法，又了解知识的应用？面对这个难题，对课堂教学的改革，已经是每个任课教师不得不着手解决的问题。下面浅谈在教学中的一点经验和做法。

一、教材建设

教学是由教师的教和学生的学构成的共同活动，教学活动是围绕着教学内容的传授而展开的，因此，教学活动的中介就是教材。好的教材是首选课堂教学内容改革的成败，教材无疑是至关重要的。本着增加现代，增加实际应用和数学模型的建立与求解等现代技术要求，对教材的内容和体系进行改革。由于教材的针对性较强，既要完成教学大纲规定的教学要求，也要让学生掌握各章节知识点在实际问题中的应用，还要降低难度系数，让学生易于接受。理论部分有选择性的尽其所能的简单明了，将繁琐的计算可引用Matlab命令帮助实现。在选材上要体现寓教于乐，定义、性质及公式等寓于实例中，从中抽象出定义、性质及公式等。选材要本着趣味性强，同时也要涵盖某一类知识点，还要实现对学生的素质教育，所选例题及练习与测试均具有典型性和代表性，注重了例题分析和解题技巧，使其与教材能相辅相成，从而使学生能在较短的时间内掌握本课程的精髓，提高学生分析和解决问题的能力，对于学生以后的进一步深造打下较为扎实的基础。为了配合课程的教学，编写了科学出版社出版的《复变函数与积分变换》的教材。

二、明确教学目标

设定科学明确的教学目标教学活动是一种特殊的认知活动，是教师和学生之间的一种双边活动。教学目标的拟定是教学活动中的一个重要环节，是教师课堂教学设计的重要内容，也是规定或规范课堂师生行为的指南，是指引课堂教学有效进行的最好指路标，只要目标准确把握，上课时才不会偏离重点。

三、队伍建设

本课程教师队伍建设的目的是建成一支专业素质精、实践能力强的教学队伍。采取的措施为以科研促进教师带动队伍的专业素质提高；通过教学研讨形成针对性较强的教学内容和高效的教学方法，达到统一目标和保证教学质量；用案例交流和指导学生素质教育实践来提高教师的实践能力和实践指导能力。

四、课堂教学模式改革

（一）在问题设置中，要抓住要点，要明确着重发展学生哪个方面的能力，并注意循序渐进，要能抓住激发学生思维的兴奋点，引起讨论而设置问题。应如本文几个案例那样帮助学生进入讨论，讨论后得到提高：

（二）要充分照顾学生的个体差异。一般方法是教师要特别关注那些学习、行为较弱的学生或“慢热”的学生，对他们的帮助要切实有效。不仅要多启发、共同探究，有意识地请他们多发言，还要在课堂上或课堂外多进行思想、感情交流，帮助他们克服心理障碍，成为学习的成功者。

（三）合理、有效地使用电化、电教、信息技术进行课堂教学，级激发学生的学习热情，促进学生感性认知与理性思维的结合，提升学生的探究学习能力。跨学科知识的渗透、交融，能扩大学生的视野，开发学生的思维，这是在实行“讨论式”教学模式时，教师不可或忘的原则。

（四）“讨论式”教学模式的作业，既可以是课堂讨论的延续，也可以是讨论结果的检验。教师在布置作业时既要考虑到这两个方面的比例，又要考虑到不加重学生们学业负担。任何课堂教学模式的构建都是为提高教育教学质量、培养合格人才服务的。为实现全面推进素质教育而立足于新课程理念上的“讨论式”课堂教学模式，确立了学生在课堂活动中的主，为养成学生自主、探究、合作的学习习惯，提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力，培养他们的创新精神，提供了很好的平台。教师是“讨论式”课堂教学模式的组织者、引导者，教师的心有多大，舞台就有多大。

从知识的掌握到应用不是一件简单、自然而然就能实现的事情，学生应用能力的培养是一项艰巨的任务。我国大学本科教育质量不比发达国家差，甚至还要高一些，但到研究生阶段就差很多，究其原因，就是我国大学生基础理论知识虽然学得扎实，应考能力也较强，但动手能力、分析问题和解决问题的能力比较差。虽然近年来，国家对大学生用能力的培养比较重视，但以理论教学为中心的教学管理体制还没有从根本上得到转变。尤其是对实践性教学环节重视不够，加上投入不足，一些高校的“课程教学改革”也只能停留在口头上，数学课的教学改革更是如此。这就要求我们在现有条件下的每个教学环节中，注意加强培养，使学生自觉地应用数学知识、方法去观察、分析和解决实际中的问题。

五、题库建设

（一）理论试题

经过课题组成员广泛收集和整理可用于练习及考试的复变函数与积分变换试题，先后收集了1000多道题目，按章、节、题型及分数、时间、难度等分别编成套题。题型有选择、填空、计算、证明、实例应用等题型，覆盖工科复变函数与积分变换课程的所有章节。

（二）应用试题

常言道：“课内出人才，课外出天才.”因此，应注重课堂教育、课外教育与社会教育的有机结合，要以创新设计为重要载体，活跃学生的第二课堂，提高学生的自学能力、动手能力和创新能力。让学生真正体会到复变函数与积分变换知识在现实中的应用。只有认真学习和灵活应用，才能具备解决现实生活问题的能力，从而激起学生热爱数学、乐于实践的强烈愿望，也达到了复变函数与积分变换的应用和数学建模方法的训练。将学生素质和实践能力培养融于公共基础课教学之中。收集整理了教学案例，并指导学生自主完成部分实践题的解答。

六、教学课件的制作

多媒体技术的发展引起了教育领域的又一场革命。开发多媒体教学课件是促进现代教育技术应用和普及，实现教育信息化、现代化的关键。现代化的教学手段——计算机多媒体技术能够制造环境，形象、直观、生动、富有吸引力，并能节省课堂教学时间，激发学生学习数学的积极性，从而能更好地调动学生去思维，帮助学生去理解，起到事半功倍的效果。鉴于上述原因，制作了《复变函数与积分变换》多媒体教学课件，这既节省了大量用黑板加粉笔进行繁杂推演计算的时间（这是枯燥而乏味的），又使学生了解了数学软件中统计功能的使用，为他们今后使用这些软件解决实际问题提供了便利。

七、考查课考核改革

在考查课的考核中一改以往一张试卷或平时成绩定结果。在原有考核方法的基础上增加了撰写实践征文，在期末成绩中占有一定的比重。通过撰写实践征文，学生们有一个共同的体会：加深了对所学知识的理解。实践表明：数学知识和应用能力共同提高的最佳结合点是启迪创新意识、锻炼创新能力，这是培养高层次创新人才的一条重要途径。

该教改实践创新了教学模式，不仅为学习复变函数与积分变换课程的学生提供了一套完备的学习工具，而且为广大教师提供了一套完整的复变函数与积分变换课程教学资源。此外，实践表明，在教学中注意数学模型的建立与求解，能培养学生应用数学的能力和创新意识，而应用多媒体等辅助教学手段可以激发学生学习数学的兴趣。今后我们将进一步建设和完善网络教学资源，使之成为一套完整的教学资源。

参考文献：

[1] 汤胜道. 大学数学课程教法探讨[D]. 安徽：安徽工业大学学报（社会科学版），2006.11.

[2] 艾亮.浅谈高职院校精品课程网站的建设. 现代企业教育 2012（21）.

[3] 唐兢. 计算机专业大学数学教育的思考与实践[D].北京：工科数学，2000.4.

8.复变函数清华大学 篇八

【关键词】复变函数；学习兴趣；教学方法

【中图分类号】G642.4

一、引言

《复变函数》是一门专业基础课，是电气、自动化等专业学生必须要掌握的一门重要课程，它已经广泛运用到自然学科的各个领域。 复变函数课程学习的好坏对《电路分析》等后续课程的学习起着至关重要的作用。 这门课程学习起来比较枯燥乏味，因此如何调动学生学习这门课程的兴趣爱好是教师面临一个很重要的问题。

复变函数这门课程与高等数学的知识架构是非常相似的，必须要有高等数学的基础知识，才能更好的学好这门课程。由于难度大，背景抽象，使得学生学起来很吃力。作为一直担任这门课程的任课老师，应该思考如何让学生更有兴趣学习这门课程，如何更快更容易的进入这门课的学习，同时又如何将枯燥的数学课堂变得生动。本文将从教学方法、教学内容两方面讨论如何培养学生学习的兴趣。

二、调动学生积极性的教学方法

使学生学习积极性提高的教学方法很多。 例如： 启发式的引例、幽默生动的讲解，板书与PPT的相结合、与其他数学课程的比较等等。为了让复变函数有更好的课堂效果，应该做的如下几点：

1. 启发式的讲解。目前的复变函数教材和教学内容比较单调，特别是引例和应用举例特别少，学生学起来很乏味。直接的讲授较难的数学理论，学生们学起来必定会吃力，课堂效果会很差。这个时候如果有一个与现实生活相关的引例，作为切入点，慢慢启发他们进入学习状态，这样就会极大提高他们学习复变函数的热情。例如，授课过程中，不断的提出问题，与学生互动，启发学生主动性思考问题。

2.板书须与课件相结合。现在老师上课PPT授课非常普遍，但它有弊端，解题步骤跳跃，学生接受起来难度大，但也有优点，显示清晰，节省时间。因此板书授课也很重要。比如在讲到复变函数的积分计算时，当积分闭曲线内部含有多个奇点时，先利用复合闭路定理，将沿外部曲线的积分计算，转化为内部曲线的积分计算，再利用柯西积分公式和高阶导数

___________________

作者简介：黄琼伟（1983—），男，浙江乐清人，讲师，博士，从事微分方程研究

公式，这个计算过程需要大量的画图辅助和过程讲解，PPT很难有效的分析透彻，需要板书讲例子，这个时候学生会理解每一步解题过程。让学生与老师同时解题，一步一步书写，这种教学对于复变函数这门数学难度较大的课程来讲，尤为重要。

3.生动幽默式的教学语言。老师幽默而亲和的语言，能在教学中获得事半功倍的效果，这是要引起重视的。第一，幽默可以让学生集中注意力，提高学生学习的乐趣。老师应该利用内容的特点，结合应用举例，进行生动的讲解，经常选择一些有趣的辞藻，发人深省的语句，鼓励学生们投入学习。 第二，复变函数课程理论较强，因此生动的语言，能让学生更加轻松的学习理论知识。比如讲到泰勒级数展开式，但是它只能针对解析函数而言，但非解析函数就不能展开泰勒级数，真是一粒沙子坏了一锅粥，用有趣的语言引出，非解析函数的洛朗级数展开式。这样用轻松生动的教学语言引出话题，引发了学生的兴趣。

4.提炼式和类比式教学。复变函数课程的内容与高等数学大部分一致，复变函数的极限与连续，解析函数，复变函数的积分，级数等。因此要想掌握好这门课，类比式的教学方法很重要，经常性的复习已学的高数基础知识，让学生更顺畅的过渡到复变函数课中。比如讲到积分，其实高数中的积分定义是和复变类似的，因此积分公式大部分都适用。沿闭曲线积分其实是两个二元实变函数的对坐标的积分，復习之前的参数方程法，先换元再换限的方法是相同的，这样的类比的内容教学，让学生快速掌握复变函数的积分方法。复变函数课程内容较难，也较为复杂，因此提炼出工科专业学生有用的内容进行精讲，这样让学生专一的学好一块内容，而不是杂学。

三、引起学生兴趣的教学内容

复变函数课程特点是例子少，内容难。因此在讲授的过程中注意理论结合专业应用， 多介绍一些与专业应用相关的经典例子，穿插课外知识和应用背景，提高学生解决数学应用问题的积极性，培养学生学好这门课的学习兴趣。

1.多讲解应用例子。复变函数也是高数在复数域的延伸，学好它一样要不停的做题，解决实际问题。因此多讲解例子很重要，特别是与专业相关的例子。比如调和函数与解析函数的关系时，给出一些具体专业中特殊的调和函数，用复变函数中的理论去解决它。拉普拉斯算子其实代表着耗散能量，处处解析的解析函数代表着与积分路径无关的平面场，因此调和函数与解析函数有着密不可分的关系。现在教材普遍对复变函数的应用讨论的特别少，特别是工科类专业相关知识的应用。使得学生更像是在学习纯数学，因此加强应用式教学很重要。数学计算软件Matlab在工科专业中有广泛的应用，因此在课堂和课本上介绍Matlab在复变函数中特殊应用，将会是今后的工作重点。

2.多穿插背景知识。复变函数课程内容很枯燥，因此多穿插课外知识，提高学生学习兴趣。第一，在讲到解析函数时，先讲解平面场的一些知识，实部对应着场强，虚部对应电势。比如在讲到复变函数的积分时，可以提到平面场中的做功。调和函数就是能量守恒不耗散。让学生知道学习这门数学课是对专业有帮助的。第二，介绍一些复变函数论的数学大家的故事，比如柯西、黎曼等。另外可以讲一些复变函数理论的来源，比如解析函数这个解析二字是如何理解的等等。

四、结语

兴趣是学生学习的动力， 作为教育工作者，应该让复变函数的课堂变得有趣，让复变函数的学习内容变得生动。只有这样， 学生才会积极的学习这门课，主动去学。 对于工科专业学生，课本理论与专业应用相结合，提炼出课本上主要的理论知识，编写与专业相关的应用例子，通过课堂生动的讲解，给学生创造轻松的学习气氛，让他们爱上这门课，了解数学在各个专业上的广泛应用。所以培养好学生学习《复变函数》的兴趣，就意味着能让学生主动的学好这门课程。

【参考文献】

[1]陆庆乐. 复变函数. 高等教育出版社， 1996

9.复变三角函数无穷乘积的若干应用 篇九

关键词：三角函数,反正切级数,无穷乘积,有理分式级数,解析式

1. 引言

众所周知,一个复数z可以表为某个实数x与某个纯虚数iy的和,即z = x + iy. 如果将x和y改用极坐标代替,则复数z可以用指数式表示为z = ρeiφ,其中. 构造一个复数数列,将数列前n项数进行连乘并利用复数的指数式可得

显然n个复数相乘后还是复数,如果通过某种等价关系得到相乘后的复数为a + ib,根据复数的唯一性可以得到如

k下面,我们利用等式( 2) 来推导一些级数与乘积的解析式,首先研究一些三角函数的无穷乘积的表达式.

2. 三角函数的无穷乘积

定理1一类无穷乘积的通项表达式为

证明因为正弦函数与双曲正弦函数的无穷乘积展开式为

由复变函数的知识很容易证明下面乘积等式成立

所以由( 3) 式和sinhx的无穷乘积展开式有

由欧拉公式eix= cosx + isinx,对上式进行化简后可得公式

k = 1 k = 1推论1将定理1中的无穷乘积的偶数项与奇数项分开排列即可得到如下等式

3. 三角函数无穷乘积的应用( 1)

推论2对式( 4) 、( 5) 、( 6) 取值有如下一些级数与乘积等式: 1 arctan

4. 三角函数无穷乘积的应用( 2)

所以只要对式( 4) ,( 5) 求导即可得( 这里只对式( 4) 求导)

若对定理1中的两式取对数求导后可得如下有理分式级数等式

5. 三角函数无穷乘积的应用( 3)

对上式两边乘以(α - x)2k -1再积分,积分区域为x ∈ (0,α)则有

再令x =θ/(2π),并进行分部积分有

0综上所述有如下涉及Riemann Zeta函数的级数等式

推论4在( 19) 式中令 α = 1可得

在( 20) 式中令 β = 1可得

如果在( 19) 式和( 20) 式中分别令 α,β 等于不同的值还可以得到其他一些涉及Riemann Zeta函数的一些级数等式,下面给出一些涉及 ζ( s) 函数的一些级数等式

10.复变函数清华大学 篇十

关键词：复变函数,积分变换,建构主义,建构主义学习设计

二十一世纪的高等教育目标中培养基础扎实、自主学习能力强、勇于创新的人才是一个重要的目标。高校教师为实现教育目标就不能再沿用精英教育阶段的教学方式, 教学改革势在必行。《复变函数与积分变换》课程是机电类各专业的必修基础课, 与流体力学、信号与系统、自动控制原理等课程有着密切联系, 且在自然科学和工程技术中有着广泛的应用。学好这门课程对学生来说是十分重要的, 所以授课教师不仅要调动各种学习基础的学生的学习积极性, 还要在课堂教学中采用更适合学生的教学方式。结合笔者在教学实践中的经验, 对这门课程提出以下两点意见。

1 加强培养学习兴趣, 激发学习动力

“兴趣是最好的老师”, 那么如何引起学生对本门课程的足够重视, 增强学习的兴趣, 并且激发学习动力, 成为授课教师教学中着重思考的问题。

1.1 充分利用第一次课, 调动学习热情

一些教师上第一次课就是将教学内容按部就班讲授, 这种程式化教学很难引起学生对这门课的重视, 也不易引起学习兴趣。实际上第一次课很重要。教师要通过第一次课达到四个教学目标:第一, 了解学生的学习基础, 学生对中学的复数知识还掌握多少, 对高等数学中微分、积分等理论运用的熟练程度。这些对后面课程内容的进度和难易的把握很重要, 其实这一点很容易做到, 课前几分钟的交流就很容易达到目的;第二, 激发学习动力, 上课后可以在正式内容讲授之前先介绍目前高校毕业生就业形势, 每年数百万的应届毕业生和招聘企业的招聘数量的不对等, 使得就业压力巨大。要让学生对就业形势的严峻性有更清楚的认识, 明白只有更扎实、更优秀的学业成绩才会为自己实现理想和未来事业成功打好坚实的基础, 这样才能更好的激发他们为自己而学习的动力;第三, 引起学生对本门课的足够重视, 要让学生了解这门课程是他们专业课程的预备课程, 而且因其有着广泛的应用领域, 在未来工作中是一个重要的工具, 这样可以提高学生的重视程度;第四, 增强学习信心, 要让学生知道虽然这门课程重要, 但并不艰深晦涩, 我们可以向学生介绍本门课程大体知识框架, 它是实函数的微分、积分等理论在复数域的延续拓广, 学习过程中可以类比理解、分析两者之间的异同之处, 通过这样的介绍可以达到增强学生的学习信心的目标。

1.2 简化理论证明, 加强理论与实际联系

工科学生以理论的应用为主, 大部分学生对理论证明感到烦琐难懂, 如果我们对证明过程详细讲解部分学生容易产生厌学情绪, 这时我们可以化繁为简通过不同的教学方式来引导学生理解、掌握理论证明的数学思想, 同时注重根据不同专业有重点的将理论应用到他们自身专业, 还可以将枯燥的数学理论与学生身边鲜活实例联系起来, 这样不仅保护了他们的学习热情, 同时可以增强学生的学习兴趣。比如在讲复数的辐角时, 可以用照相机的例子来说明, 普通相机照出来的照片没有立体感, 而数码相机照出来的照片则有立体感, 这是因为普通相机只反映了复数的距离 (模) , 而数码相机不仅反映了距离, 还反映了每个点的位置 (辐角) ;再如讲Cauchy积分公式时, 让学生思考如何测得地心温度这一问题, 引导学生思考如果我们能够测得地球表面各点的温度, 则可用Cauchy积分公式来测得地心的温度等等。

1.3 名人轶事激发持久学习热情

学生的学习热情只有不断激发才能持久。根据认知规律, 学生不可能整堂课保持着精神的高度集中, 在学生注意力下降时, 可以介绍一些本学科的前沿动态、数学家的成才史或者数学史上的奇闻轶事。比如讲Cauchy积分公式, 可以介绍Cauchy不仅是复变函数的开创者之一, 而且在数学的其他领域也是硕果累累, 众多著名的定理和公式以他的名字来命名, 但这样的一位数学大师却没有及时发现群论的创始者、天才数学家Calois的才华, 这不能不说是一个巨大的遗憾[1];讲Fourier变换时, 可以说一说Fourier有过追随拿破仑远征埃及的经历。这些名人轶事对于课堂气氛的调节可以收到很好的效果, 学生对数学家和数学史有了更多的了解, 才会产生更大的学习热情。

2 丰富教学方式:建构主义学习设计

认知心理学家皮亚杰提出构建主义学习理论, 认为学生会积极地建构他们的知识。个体学生会把教师期望他们学习的内容与他们自己的经验联系起来, 而且会有意识地参与到知识的文化建构。他们会为自己创建个人意义, 会在同伴小组中讨论社会意义, 会在班上与其他同学选定分享意义, 然后再与教师一起考虑他们的思维活动和学习的同时, 反思标准意义[2]。因此教师备课的目的也应该从“为教学而设计”转变为“为建构注意学习而设计”, 这样, 教师才能从课堂的“主导者”转变为“引导者”, 教育理论学者乔治·加侬和米歇尔·柯蕾进一步给出了一种设计模板:建构主义主义学习设计.提出了六大元素———情境、小组、桥梁、任务、展示和反思[2]我们以复积分的概念和求解方法为例说明.首先是情景部分, 向学生提出学习的主题:理解掌握复积分概念和求解方法, 阐明积分的数学思想, 明确评估办法:用学生自己提出的概念和方法与教材标准概念和方法比较;其次是小组部分, 由相邻近的三到四名同学自由组成小组;再次是桥梁部分, 由教师引导学生们共同回忆高等数学中定向曲线积分概念、运算技巧及复函数、复曲线的表达形式;然后是任务部分, 由学生个体创建对概念和求解方法的个人意义, 并在小组中相互讨论, 完善整理出小组成员共同认可的结果也就是创建社会意义;接着是展示部分, 挑选一或两个小组向全班展示他们讨论结果;最后是反思部分, 教师给出标准结论, 由各小组对比反思自己所得出的结论与标准结论差异之处, 总结自己所给结论的优劣。在整个教学过程中, 由于学生的主动参与, 积极思考, 会使学生更真切感受到自己成为了“学习的主人翁”, 增强了他们学习的热情, 真正的“学”并“会”了, 从而达到我们的教学目标。

结束语

以上是笔者在教学过程中获得的有益经验, 在实际课堂教学中取得良好的教学效果。同时在教学过程中深刻体会到只有增强学生学习热情、兴趣, 引入能够使学生更主动参与进课堂教学的教学方式, 我们的课堂教学才会更生机勃勃, 学生才能将教师所传授的知识转变为“自己的”知识。

参考文献

[1]刘小松.高师院校《复变函数》课程的教改[J], 湘潭师范学院学报 (自然科学版) , 2007, (12) .[1]刘小松.高师院校《复变函数》课程的教改[J], 湘潭师范学院学报 (自然科学版) , 2007, (12) .