高等数学

高等数学（精选9篇）

1.高等数学 篇一

2013考研数学高等数学复习建议

新的考试大纲刚刚出炉，今年的大纲和去年的一摸一样，连标点符号都没有任何改动，所以同学们可继续按照计划进行学习。考研数学的考试综合性强、知识覆盖面广、难度大。把握数学高分的前提必须要熟知数学考查内容和具体考些什么。数学主要是考基础，包括基本概念、基本理论、基本运算，数学本来就是一门基础的学科，如果基本概念、基本运算不太清楚，运算不太熟练那你肯定是考不好的。高数的基础应着重放在极限、导数、不定积分这三方面，后面当然还有定积分、一元微积分的应用，还有中值定理、多元函数微分、积分等内容，这些内容可以看成那三部分内容的联系和应用。另一部分考查的是简单的分析综合能力。因为现在高数中的一些考题很少有单纯考一个知识点的，一般都是多个知识点的综合。最后就是数学的解应用题能力。解应用题要求的知识面比较广，包括数学的知识比较要扎实，复习的时候要多加注意。如果能够围绕着这几个方面进行有针对性地复习，取得高分也就不再是难事了。

与此同时，在具体的复习过程中如何规划复习才能取得事半功倍的效果也是考试普遍关注的问题。数学复习要保证熟练度，从现在开始一天至少保证三个小时。把一些基本概念、定理、公式复习好，牢牢地记住。同时数学还是一种基本技能的训练，要天天练习，熟悉，技能才会更熟能生巧，更能够灵活运用，如果长时间不练习，就会对解题思路生疏，所以经常练习是很重要的，天天做、天天看，一直坚持到最后。这样，基础和思路才会久久在大脑中成型，遇到题目不会生疏，解题速度也就相应越来越熟练，越来越快。

在复习的过程中首先要明确考试重点，充分把握重点。这个主要依据考试大纲了，认真研读并按照大纲的要求进行，比如高数第一章的不定式的极限，我们要充分掌握求不定式极限的各种方法，比如利用极限的四则运算、利用洛必达法则等等，另外两个重要的极限也是重点内容;对函数的连续性的探讨也是考试的重点，这要求我们需要充分理解函数连续的定义和掌握判断连续性的方法。

其次，对于导数和微分，其实重点不是给一个函数求导数，而重点是导数的定义，也就是抽象函数的`可导性。对于积分部分，定积分、分段函数的积分、带绝对值的函数的积分等各种积分的求法都是重要的题型，总而言之看上不好处理的函数的积分常常是考试的重点。而且求积分的过程中，一定要注意积分的对称性，我们要利用分段积分去掉绝对值把积分求出来。还有中值定理这个地方一般每年都要考一个题的，多看看以往考试题型，研究一下考试规律。对于微积分部分里，隐函数的求导，复合函数的偏导数等是考试的重点。二重积分的计算，当然数学一里面还包括了三重积分，另外还有曲线和曲面积分，这也是必考的重点内容。一阶微分方程，还有无穷级数，无穷级数的求和等。充分把握住这些重点，高数部分考试的内容比较多，数学一、二、三及农学数学要求的也不一样，所以同学们可以根据大纲复习，扎扎实实的打好基础，在以后的复习强化阶段就应该多研究历年真题，这样做也能更好地了解命题思路和难易度，从而使整个复习规划有条不紊。

扎实的基础知识复习，合理的自我规划和练习，逐步解决高数的重要知识点，同时也对出题者命题思路有了一定的了解，如此，考研学子们定能考出一个理想的成绩。

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2.高等数学 篇二

关键词：高等数学教学,开放式课堂教学模式,自主,合作

一、问题的提出

众所周知，传统的高等数学教学模式非常重视数学学科经典内容的讲授，但忽视了学生的数学学习习惯的养成;重视演绎推理的证明，基本上以教师、课堂、书本为中心，采用单一传递灌输的教学方式，忽视了交流、合作、主动参与、探究等学习方式。随着课程改革的不断深入，如何改变传统的高等数学教学模式以适应新课程的需要成了一个紧迫的理论与实践问题。通过多年的数学教学改革的探索，我们发现，许多重大的高等数学教学模式改革问题往往都涉及数学课程问题。同时，教学改革要取得根本性的突破，必须跟课程改革联系起来，从课程教学上进行综合考虑。

高等数学的学习过程是一个能动的过程。教师应该充分挖掘学生的学习潜力，培养学生的能动精神，激发学生的创新意识。因此，在高等数学教育中，如何构建教师与学生共同参与，以学生为主的新型教学模式?如何通过形象、直观的教学形式开拓学生的思维，培养学生的学习兴趣?如何选择合适的教学模式提高学生自主意识，培养学生的各种能力?这些就成为高校教师急待进行研究的课题。笔者就开放式的课堂教学模式作了一定尝试和探究。

二、开放式课堂教学模式

1. 开放式课堂教学模式的内涵

教学模式是从教学的整体出发，根据教学的规律原则而归纳提炼出的包括教学形式和方法在内的具有典型性、稳定性、易学性的教学样式。简洁地说就是在一定教学理论指导下，以简化形式表示的关于教学活动的基本程序或框架。教学模式包含着一定的教学思想，以及在此教学思想指导下的课程设计、教学原则、师生活动结构、方式、手段，等等。在一种教育模式中可以集中多种教学方法。

所谓开放型课堂，是指在课堂中学生是主体对象，学生拥有自主学习的权利和自由度;而教师处于主导地位，在民主、平等的师生关系的基础上，引导学生自主学习，自主思考，独立提出问题和解决问题，发表不同见解，同时给学生创设能使思维发散的课堂氛围和张扬个性的空间、自主获取知识的条件等。开放型的课堂能够刺激学生的兴奋点，能够释放学生的学习潜能。在开放式课堂中有讨论式、个人或小组演示式、学生自己陈述观点、学生之间辩论等不同的教学形式。

2. 开放式课堂教学模式的基本流程

激趣引题(设置问题情境)—学思质疑(提出问题)—自主探究(分析问题)—合作解疑(发现规律)—激励评价(反思修正)—明理实践(解决问题)

(1）创设问题情境，激发学生的探究意识。

教学过程的导入新课环节仿佛是优美乐章的序曲，虽然只有短短的一两分钟，却能吸引学生的注意力，调动学生的情绪，打动学生的心灵，形成良好的课堂气氛切入口。学生有了浓厚的兴趣，在民主、平等、宽松、和谐的教学氛围下回味思考，就有了探究的愿望。

(2）指导自主学习，培养学生的探究能力。

对于能自主学习的学生来说，学习不是一种负担，而是一种享受，一种愉快的心理体验。在问题提出之后，作为课堂教学的组织者和指导者，教师要善于挖掘学生潜在的能力，充分尊重学生的独立性，积极鼓励他们克服依赖教师的心理，要善于引导学生用自己的思维方式去思索、主动探求知识，充分做到学有所思，思有所疑，疑有所解。

(3）组织小组合作，在交流中学习，在学习中交流，在合作中成长。

合作探究使学生思维互补、思路开阔。学生与学生之间的对话、答辩、争论，教师关键处的指点或导拨，能激发学生积极学习的热情，使学生发挥主体能动性、创造性，在积极的心理状态和主动学习的愉快环境中体验数学学习的乐趣。合作探究能促进学生交流思想情感，培养团结协作的精神，构建民主和谐的气氛，养成良好的个性品质。这种学习方式既有利于知识的学习和能力的培养，又有利于学生主体作用的发挥。

(4）师生反思、修正、深化，激励学生，正确评价。

在这一阶段教师既要总结前几步的基本收获，对学生积极主动参与探究给予充分肯定，又要深化知识，得出结论，为学生今后解决类似或相关问题导向指路。这是探究式课堂教学活动继往开来的一步，其作用在于进一步让学生牢记探究的方法，养成自主合作探究的习惯，把学习探究变成自己生活的第一乐趣。激励评价可由教师进行，也可以让学生自评、互评，大家总结，教师补充。

(5）由学到用，自主变通，理论实践相结合。

教师通过精心设计练习，使学生运用学法、迁移学法。学生实践探究是巩固和扩大知识，同时也是吸收、内化知识为能力的过程，实践探究的内容和形式要根据教学内容的要求和特点决定，不必强求统一。总之，实践探究是开发学生创新思维的有利时机，方法形式一定要灵活多样，教师要鼓励学生发散思维，关注他们的应用意识和实践能力的培养。

3. 案例分析

在“定积分概念”的教学中，笔者通过设计六阶段教学过程来实施开放式的课堂教学模式。

第一阶段：设置问题情境，引导学生思考。

在“导入新课”环节，教师展示质同形异的实例，引导学生思考，引起学生的好奇心，激发学生的学习兴趣。

第二阶段：提出问题，激发探究愿望。

第三阶段：分析问题，指导自主学习。

学生自主探究解决上述问题，教师点拨，鼓励学生主动地参与学习过程，引导学生多角度和多样化地解决问题，从而有利于学生进行知识的自我建构。

第四阶段：合作探究，发现规律。

第五阶段：反思修正，认识本质。

通过反思，学生能进一步深入思考问题解决的合理性，从而透过现象认识本质。

第六阶段：解决问题，迁移学生已有知识，学会应用。

使学生能灵活应用定积分的定义解决问题是教学的根本目的。教学过程的第六阶段是合作学习的预期目标。学生是学习的主体，这样设计调动了学生的积极性、发挥了创造性。自主与合作相结合，便于学生对自己的成果进行评价，既培养了学生的口头表达和书面表述能力，又教育了学生数学思维要严密，合乎逻辑，而且使他们的个性、才能和思维品质得到了进一步发展。

三、实践与反思

1. 学生的学习兴趣显著提高，学习主动性明显好转，一些学生学习数学的自信心增强。

2. 优化了学生的思维品质，较全面地发展了学生的各种数学能力，尤其是提出问题、分析问题、解决问题的能力。

3. 建立民主、平等、宽松、和谐的教学氛围，有效地提高了学生的人文素质，学生课上的参与意识、交流意识、合作意识和钻研意识明显加强。

“教学有法，但无定法”，就数学课堂教学而言，不可能存在一种放之四海而皆准的教学模式，教师要善于充分挖掘每个模式的教学功能，避免陷入教学模式单一僵化的误区。另外，从教学改革角度看，教学模式的综合、灵活运用，本身就是创新和发展。高等数学教师应该在继承和发扬各种教学模式传统优势的基础上，不断整合与创建新的教学模式，形成个人独特的教学风格。

参考文献

[1]李虹霞, 邱学文.浅析美国高校课堂教学模式及其启示.当代教育论坛, 2007, (7) .

[2]盛群力.个体优化教育的探索[M].北京:人民教育出版社, 1996.

[3]王坦.合作教学的基本理念[J].中国教育报, 1995-12-29.

3.高等数学 篇三

关键词：职业院校 高等数学 课程改革

中图分类号：G420文献标识码：A文章编号：1673-9795（2012）10（b）-0226-01

高等数学对学生后继课程的学习和思维素质的培养起着重要作用。但是，美中不足的是，许多年以来，落后的教学内容和教学方式根本无法满足各学科发展和工程技术实践对数学的要求，而这些实践能力和职业能力的实施与数学教育是分不开的。为了实现培养创新能力的高级人才目标，提高高等职业院校学生的职业能力、操作能力等素质能力的培养，对数学教育进行改革已经成为十分紧迫的问题。而提高学生综合能力，必须改革现有的数学课程的教学内容、教学模式、教学方法。

1 高等数学课程内容的改革

目前，高等职业院校开设的高等数学作为一门重要的基础课程，对学生今后专业课程的学习和素质的培养起着重要的作用，但从教材的选择上看，目前国内的高等数学教材千篇一律，改动的地方少而又少，有些理论和观点甚至是几十年前的，因此这样的教材没有跟上时代的要求，没有与时俱进，不能及时掌握和了解数学的最新动态。理论过时还在沿用。这样学生掌握不到最新的知识，因此学起来非常被动。另外，从学校的教学改革上，数学的教学内容和计划课时并没有发生根本性的变化，常年都是一样的东西，知识的陈旧，挫伤了学生的积极性，进而严重影响了教学质量和教学效果。

2 高等数学教学模式的改革

教学模式是采用什么培养目标和手段教学。尤其是培养目标决定了教学模式。培养目标中的岗位培养目标是这几年新提出来的。就是学生毕业后参加工作所具备的能力。岗位能力的培养这些年一直是热点问题，也是各高校非常重视的问题。例如可以采用工学结合的教學模式。即在工作中学习，在学习中工作。工学结合是结合工作的学习，是将知识学习、能力训练、工作经历结合在一起的一种教育模式。即学习的内容是工作，通过工作实现学习。这里的工与学是相关联的，“工”是手段，“学”是目的。周济部长曾指出：“推进工学结合、勤工俭学的人才培养模式，探索适应经济社会快速发展的具有中国特色的职业教育发展思路，已经成为当前职业教育改革与发展的突出问题。职业教育战线要提高认识，积极探索，大胆实践，逐步将技能型人才培养模式转变到工学结合、勤工俭学的路子上来，与产业部门和企业一道，共同构建充满活力、富有效率、互利共赢的具有中国特色的职业教育人才培养模式，把我国职业教育的改革与发展推向一个新的阶段。”随着高校的规模不断扩大和专业课相比较而言，基础学科越来越不受到重视，学生数学水平的差异越来越大，造成同一个老师讲课，同一个教室听课，有的学生意犹未尽，有的学生不尽如意。另一方面，由于工作量增大，教学方法和手段落后，工作效率低下等原因，造成教师大量时间反复忙于备课、上课、批改作业，这种局面严重影响了教学质量和效果。为了避免这样的情况可以在实际教学中采取多项目教学模式，把高等数学分为两个项目：基础项目和专业实践项目。基础项目教学内容的设定是以保证满足各专业对数学的要求为依据，讲授的是最基本的内容。专业实践项目应是由从事高等数学教学的教师确定，同时参考其他系的专业教师意见针对不同的专业设置不同的项目。比如，工民建专业，需要多开设一些和识图、画图相关的数学知识，工程造价专业侧重于计算类的数学知识。这样，数学水平不一样的学生可以选择学习基础项目或专业实践项目。学生可以根据自身的情况和专业的情况来选择学习的内容做到有的放矢，和专业、毕业岗位联系紧密。开设高等数学这门课的目的就可以实现。

3 高等数学教学方法的改革

近年来，我们的高等数学教学一直徘徊在传统与现代之间，传统的教学手段相对滞后，一本书一只粉笔加一块黑板，而且教师一言堂，以自我为中心，在黑板上不断进行演练和计算，忽视学生的感受，本来高等数学就有些枯燥，极易造成学生不愿听讲，这种方法更不利于学生专业素质的提高和创新的培养。而改进传统的教学方法，使用新的教学方法是当务之急。我认为应从以下几个方面入手改善我们的数学教学方法。

3.1 使用现代化的教学手段

要开展计算机辅助教学设计、数学模型的教学、数学竞赛，增加学生的兴趣，提高学生独立思考的能力。运用计算机软件和多媒体投影设备，可以让数学变得更加生动、活泼，克服枯燥无味的缺点，加深学生对数学的领悟能力。这里尤其指出的是数学建模大赛。它的创立为全国大学生学习高等数学提供了前进的方向。全国大学生数学建模竞赛的竞赛宗旨是：创新意识，团队精神，重在参与，公平竞争。

中国大学生数学建模竞赛是全国高校规模最大的课外科技活动之一。该竞赛每年9月（一般在中旬某个周末的星期五至下周星期一共3天，72小时）举行，竞赛面向全国大专院校的学生，不分专业。全国大学生数学建模竞赛是教育部高等教育司和中国工业与应用数学学会共同主办的面向全国大学生的群众性科技活动，目的在于激励学生学习数学的积极性，提高学生建立数学模型和运用计算机技术解决实际问题的综合能力，鼓励广大学生踊跃参加课外科技活动，开拓知识面，培养创造精神及合作意识，推动大学数学教学体系、教学内容和方法的改革。数学建模大赛已成为现代高等数学教学不可忽视的手段。

3.2 大力开展实践教学

以前我们认为高等数学和中小学数学一样，就是大量做题，离不开书本，我们恰恰忽视了社会实践的作用，学习数学知识的最终目的和其他学科一样是学会应用，在实践中培养数学意识。需要教师把数学知识运用到实践活动中去。让学生接触社会，接触问题，为学生思考、探索、发现和创新，提供最大的空间。例如，数控技术专业的学生，在专业实习的过程中，首先，结合数学基本的知识，应用AUTOCAD绘图软件，进行绘制图形，然后，进行加工计算然后固定毛坯材料。

总之，高等数学的改革终究是为了一个目的，即培养学生的实践能力，提高学生的岗位认知能力和操作能力，这是一个系统工程，还需要付出更多的努力。

参考文献

[1]马怀远.数学价值的多面性与高职数学教学改革[J].江苏经贸职业技术学院学报，2009（6）.

4.高等数学 篇四

专升本层次的数学有《高等数学》

（一）、《高等数学》

（二）两类，都以考查《高等数学》的基本知识、基本方法、基本技能为主。《高数》

（一）是理工类考生的考试科目，《高数》

（二）是经济管理类考生的考试科目。

无论是《高数》

（一），还是《高数》

（二），总的来试题考查得都较全面，试题发布合理，主要贯穿极限、导数、积分这条主线。在考查基本概念的基础上，以考查基本计算能力为主，大多数考题都是常规计算题。

《高数》

（一）主要是以《高数》为重点，约有7章内容，主要贯穿微分学和积分学这两条主线，考生复习的重点也是微分学、积分学。《高数》

（二）是经济类、管理类的务必科目，试题主要有两部分，一部分为高等数学内容，约占92%；另一部分是概率论初步，约占8%。

《高数》

（一）和《高数》

（二）的区别主要是对知识的掌握程度要求不同。《高数》

（一）要求掌握求反函朱数的导数，掌握求由参数方程所确定的函数的求导方法，会求简单函数的n阶导数，要掌握三角换元、正弦变换、正切变换和正割变换。《高数》

（二）只要求掌握正弦变换、正切变换等。从实际考试情况看，《高数》

（一）一般比《高数》

（二）多出约30%的考题，约占45分左右。所以，有的考生考《高数》

（一），但是跟着《高数》

（二）的辅导听课，也是可行的，丹考生必须把《高数》

（二）没涉及的知识补上，不然就会白白丢了30%的分数。

在试卷最后的大题中，《高数》

（一）和《高数》

（二）也有一定的区别。《高数》

（一）一般涉及导数的应用，如函数的性质和曲线形状、导数的几何意义、求曲线的切线方程和法线方程。定积分的应用主要是定积分的换元积分法的应用，用定积分换元积分法作证明题，还有定积分的几何应用，求平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体的体积等。

在《高数》

（二）的重点内容概率论初步里，考生复习的重点要放在4点上，一是理解随机现象、随机试验、随机事件的有关观念；二是概率的计算；三是离散形随机变量的数字特征——期望与方差。

考生在最后的复习阶段，要严格遵循教育部颁发的考试大纲安排学习。考试大纲是命题的唯一依据，也是指导考生考前复习的依据。

5.考研数学之高等数学知识点 篇五

高等数学第一章求极限，极限的计算方法，这个地方可以说是每年必考，不管是大题小题。比方考的大题，考小题。

第二章重点内容是导数的计算和应用，以及微分中值定理的应用。尤其是导数的应用特别重要。20考了两个大题，一个题是考利用导数研究方程的根，另一个是用导数证明不等式。20也考查了导数应用，考大家用导数研究单调性与极值。

第三章最重要的是积分的计算和应用，今年数1数2的同学考了一个大题，考积分的应用来求做功。重点说一下关于数2的同学，积分的物理应用特别重要。数1、数2、数3共同掌握的是积分几何应用。

第五章多元微分学重点掌握多元复合函数求偏导、多元隐函数求偏导，多元函数求极值、条件极值与最值。今年考了一个复合函数求偏导的大题，年考的是多元隐函数求偏导的小题，考了多元函数求极值。

第六章多元函数积分学重点说一下，数2、数3的.同学不考曲线积分，不考曲面积分，也不考什么格林公式，需要掌握二重积分的计算，这是重点，可以说每年必考。年考的是二重积分，数1、数2、数3都考了。数1的同学，除了二重积分掌握以后，三重积分、一类线积分、二类线积分、一类面积分、二类面积分，以及相应的高斯公式、格林公式，斯托克斯公式，这些也是重点。比方2010年考了一个一类面积分的计算。

第七章非常重要的一个考点是幂级数收敛半径，收敛区间，收敛域的判定，另一个考点就是幂级数展开与求和。2011年考了一个幂级数收敛域的判定。2010年考了一个大题，考的是幂级数的求和。

第八章微分方程重点两个内容，一阶微分方程，二阶常系数微分方程。这地方可能考大题，可能考小题。今年考了一个小题一阶微分方程求解，2010年考了一个大题，二阶常系数非齐次线性微分方程。

6.高等数学复习教程 篇六

第一讲函数、连续与极限

一、理论要求 1.函数概念与性质 2.极限

3.连续

二、题型与解法 A.极限的求法

函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理

会用等价无穷小和罗必达法则求极限

函数连续（左、右连续）与间断

理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）

（1）用定义求

（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法

（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor级数法

（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）1.（等价小量与洛必达）2.已知 解：

（洛必达）3.（重要极限）4.已知a、b为正常数，解：令（变量替换）5.解：令（变量替换）6.设连续，求

（洛必达与微积分性质）7.已知在x=0连续，求a 解：令

（连续性的概念）

三、补充习题（作业）1.（洛必达）

2.（洛必达或Taylor）3.（洛必达与微积分性质）

第二讲导数、微分及其应用

一、理论要求 1.导数与微分

2.微分中值定理 3.应用

二、题型与解法 A.导数微分的计算

B.曲线切法线问题 C.导数应用问题

D.幂级数展开问题 导数与微分的概念、几何意义、物理意义

会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导）会求平面曲线的切线与法线方程

理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理 会用定理证明相关问题

会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径）

基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导 1.决定，求 2.决定，求

解：两边微分得x=0时，将x=0代入等式得y=1 3.决定，则

4.求对数螺线处切线的直角坐标方程。

解：

5.f(x)为周期为5的连续函数，它在x=1可导，在x=0的某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求f(x)在（6，f(6)）处的切线方程。解：需求，等式取x->0的极限有：f(1)=0

6.已知，求点的性质。解：令，故为极小值点。

7.，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。解：定义域

8.求函数的单调性与极值、渐进线。解：，9.或： 10.求 解： =

E.不等式的证明 11.设，证：1）令

2）令

F.中值定理问题 12.设函数具有三阶连续导数，且，求证：在（-1，1）上存在一点 证： 其中

将x=1，x=-1代入有 两式相减： 13.，求证：

证： 令 令

（关键：构造函数）

三、补充习题（作业）1.2.曲线 3.4.证明x>0时

证：令

第三讲不定积分与定积分

一、理论要求 1.不定积分 2.定积分 掌握不定积分的概念、性质（线性、与微分的关系）会求不定积分（基本公式、线性、凑微分、换元技巧、分部）理解定积分的概念与性质

理解变上限定积分是其上限的函数及其导数求法 会求定积分、广义积分

会用定积分求几何问题（长、面、体）

会用定积分求物理问题（功、引力、压力）及函数平均值

二、题型与解法 A.积分计算 1.2.3.设，求 解： 4.B.积分性质 5.连续，,且，求并讨论在的连续性。解：

6.C.积分的应用 7.设在[0，1]连续，在（0，1）上，且，又与x=1,y=0所围面积S=2。求，且a=?时S绕x轴旋转体积最小。解：

8.曲线，过原点作曲线的切线，求曲线、切线与x轴所围图形绕x轴旋转的表面积。

解：切线绕x轴旋转的表面积为

曲线绕x轴旋转的表面积为

总表面积为

三、补充习题（作业）1.2.3.第四讲向量代数、多元函数微分与空间解析几何

一、理论要求 1.向量代数 理解向量的概念（单位向量、方向余弦、模）了解两个向量平行、垂直的条件 向量计算的几何意义与坐标表示

2.多元函数微分 理解二元函数的几何意义、连续、极限概念，闭域性质 理解偏导数、全微分概念 能熟练求偏导数、全微分 熟练掌握复合函数与隐函数求导法 3.多元微分应用 4.空间解析几何 理解多元函数极值的求法，会用Lagrange乘数法求极值 掌握曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的求法 会求平面、直线方程与点线距离、点面距离

二、题型与解法

A.求偏导、全微分 1.有二阶连续偏导，满足，求

解： 2.3.，求

B.空间几何问题 4.求上任意点的切平面与三个坐标轴的截距之和。解：

5.曲面在点处的法线方程。

C.极值问题

三、补充习题（作业）1.2.3.6.设是由确定的函数，求的极值点与极值。

第五讲多元函数的积分

一、理论要求 1.重积分 2.曲线积分 熟悉二、三重积分的计算方法（直角、极、柱、球）

会用重积分解决简单几何物理问题（体积、曲面面积、重心、转动惯量）理解两类曲线积分的概念、性质、关系，掌握两类曲线积分的计算方法

熟悉Green公式，会用平面曲线积分与路径无关的条件

3.曲面积分 理解两类曲面积分的概念（质量、通量）、关系 熟悉Gauss与Stokes公式，会计算两类曲面积分

二、题型与解法 A.重积分计算 1.为平面曲线绕z轴旋转一周与z=8的围域。解：

2.为与围域。（3.，求

(49/20)

B.曲线、曲面积分 4.解：令

5.,。

解：取包含(0,0)的正向，6.对空间x>0内任意光滑有向闭曲面S，且在x>0有连续一阶导数，,求。解：

第六讲常微分方程

一、理论要求 1.一阶方程 2.高阶方程 3.二阶线性常系数 熟练掌握可分离变量、齐次、一阶线性、伯努利方程求法 会求(齐次)(非齐次)(非齐次)

二、题型与解法 A.微分方程求解 1.求通解。（2.利用代换化简并求通解。（）

3.设是上凸连续曲线，处曲率为，且过处切线方程为y=x+1，求及其极值。解：

三、补充习题（作业）

1.已知函数在任意点处的增量。（）2.求的通解。（）3.求的通解。（）4.求的特解。（第七讲无穷级数

一、理论要求 1.收敛性判别 级数敛散性质与必要条件

常数项级数、几何级数、p级数敛散条件 正项级数的比较、比值、根式判别法 交错级数判别法 2.幂级数 幂级数收敛半径、收敛区间与收敛域的求法

幂级数在收敛区间的基本性质（和函数连续、逐项微积分）Taylor与Maclaulin展开

3.Fourier级数 了解Fourier级数概念与Dirichlet收敛定理 会求的Fourier级数与正余弦级数

第八讲线性代数

一、理论要求 1.行列式 2.矩阵 会用按行（列）展开计算行列式

几种矩阵（单位、数量、对角、三角、对称、反对称、逆、伴随）矩阵加减、数乘、乘法、转置，方阵的幂、方阵乘积的行列式 矩阵可逆的充要条件，会用伴随矩阵求逆 矩阵初等变换、初等矩阵、矩阵等价

用初等变换求矩阵的秩与逆

理解并会计算矩阵的特征值与特征向量

理解相似矩阵的概念、性质及矩阵对角化的冲要条件 掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法 掌握实对称矩阵的特征值与特征向量的性质

3.向量 理解n维向量、向量的线性组合与线性表示

掌握线性相关、线性无关的判别

理解并向量组的极大线性无关组和向量组的秩 了解基变换与坐标变换公式、过渡矩阵、施密特方法 了解规范正交基、正交矩阵的概念与性质

4.线性方程组 理解齐次线性方程组有非零解与非齐次线性方程组有解条件 理解齐次、非齐次线性方程组的基础解系及通解

掌握用初等行变换求解线性方程组的方法

5.二次型 二次型及其矩阵表示，合同矩阵与合同变换 二次型的标准形、规范形及惯性定理

掌握用正交变换、配方法化二次型为标准形的方法

了解二次型的对应矩阵的正定性及其判别法

第九讲概率统计初步

一、理论要求 1.随机事件与概率 了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的关系与运算

会计算古典型概率与几何型概率

掌握概率的加减、乘、全概率与贝叶斯公式

2.随机变量与分布 理解随机变量与分布的概念 3.二维随机变量

4.数字特征 5.大数定理 6.数理统计概念

7.参数估计

8.假设检验

第十讲总结

1.极限求解

2.导数与微分

3.一元函数积分 理解分布函数、离散型随机变量、连续型变量的概率密度

掌握0-

1、二项、超几何、泊松、均匀、正态、指数分布，会求分布函数

理解二维离散、连续型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布 理解随机变量的独立性及不相关概念

掌握二维均匀分布、了解二维正态分布的概率密度 会求两个随机变量简单函数的分布

理解期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数的概念

掌握常用分布函数的数字特征，会求随机变量的数学期望

了解切比雪夫不等式，了解切比雪夫、伯努利、辛钦大数定理 了解隶莫弗-Laplace定理与列维-林德伯格定理

理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩 了解分布、t分布、F分布的概念和性质，了解分位数的概念 了解正态分布的常用抽样分布

掌握矩估计与极大似然估计法

了解无偏性、有效性与一致性的概念，会验证估计量的无偏性 会求单个正态总体的均值和方差的置信区间

掌握假设检验的基本步骤

了解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验

变量替换（作对数替换），洛必达法则，其他（重要极限，微积分性质，级数，等价小量替换）1.(几何级数)2.(对数替换)3.4.5.6.，求

复合函数、隐函数、参数方程求导 1.2.，求dy/dx 3.决定函数，求dy 4.已知，验证 5.,求

1.求函数在区间上的最小值。（0）2.3.4.5.6.4.多元函数微分 1.，求

2.由给出，求证：

3.求在O(0,0),A(1,1),B(4,2)的梯度。4.，求 6.证明满足 7.求内的最值。

5.多元函数积分 1.求证： 2.3.4.改变积分次序 5.围域。

6.常微分方程 1.求通解。2.求通解。3.求通解。4.求通解。5.求特解。6.求特解。

《高等数学考研题型分析》

填空题：极限（指数变换，罗必达）、求导（隐函数，切法线）、不定积分、二重积分、变上限定积分

选择题：等价小量概念，导数应用，函数性质，函数图形，多元极限

7.《高等数学》教学初探 篇七

1.1 学生状况。

一般本科院校的学生生源主要来自全日制高中毕业生, 部分优秀学生大多进入比较有名气的重点大学, 大部分优秀的基础好的几乎被重点院校“搜刮”一空。当然有一部分优等生落入一般本科院校, 其原因是高考发挥欠佳, 或者由于志愿填报不当而进入一般本科院校。一部分学生来自预科, 一部分学生来自教育落后的地区。进入学校后绝大多数学生都能努力学习争取学到过硬本领或者继续深造。大学一年级上期《高等数学》普遍学习较好, 原因有以下几点:一是刚进大学, 有一定的抱负和理想, 学习比较努力;二是大学一年级的《高等数学》和中学衔接较好, 比如极限和导数大部分内容在中学已学过, 加之这些内容比较简单;三是教师和辅导员抓学风一般比较紧。这些因素导致大一上期《高等数学》学习普遍较好, 平均分数高, 不及格率较低。

到大一下期, 一部分同学因毅力不够, 基础不够好而对学习失去信心。同时在思想上对大学的认识有一定的偏见, 认为进入大学没有不毕业的。再加上高中阶段实在太苦太累, 进入大学也该歇歇了, 抱着混日子的态度, 学习上缺乏积极性和压力。久而久之无目标, 过一天算一天, 混一张文凭就算了。再有这些学生绝大多数是独生子女, 其思想和行为自我意识较严重, 在家以自我为中心, 在学习上有的更本不把老师的要求放在心上, 压力大无所谓。甚至有的同学说不是我要读书, 而是我父母要我读书, 因此他们往往对待上大学不珍惜。还有一个原因是大一下期《高等数学》是讨论多元函数的积分微分, 内容上要复杂的多, 加上其他较难的学科也要学, 这样造成很多同学下期的《高等数学》学习成绩普遍下滑, 平均分降低, 不及格率普遍增多。

1.2 师资队伍结构状况。

目前一般本科院校的教师主要是老龄化和年轻化。由于高校的扩招, 学校学生人数似在一夜之间扩大几倍, 势必造成像数学一类的基础课教师的大量缺乏。很多学校由于教师的缺乏不得不启动银发工程, 反聘一部分退休的老教师继续战斗在教学的第一线, 他们有大量的教学经验, 是学校的一股重要资源。一部分是具有多年教学经验的年富力强的中青年教师, 最大部分是刚出校门不久的年轻教师, 但这部分教师在教学中需要有一个成长的过程。总的来说, 目前高校中基础课还是比较缺乏。大部分教师超负荷工作, 普遍大班授课, 这样就存在作业批改不足, 辅导答疑不够。同时大部分学生平常很少主动问老师问题, 一到考试时却围着老师问个不停。由于教师的超负荷工作, 许多老师身体处于压健康状态, 对于备课上课容易准备不足, 更没有多余时间去探索新的教学方法了。

3课程安排情况

虽然《高等数学》是高校课程安排中非常重要的一门学科, 但由于教育部规定学生学时数与学生缴费挂钩, 一些学校在一般小课上删减课时一般不会太多, 而在数学这门课时较多的一类学科上删掉部分学时。由于数学这一学科要求高, 部分学校还安排有数学实验, 如Matlab、Mathematica等数学软件的应用。这些要占有一定的教学课时, 相比之下, 《高等数学》这门课课时相对紧张。

2 解决存在问题的方法

2.1“分层次”教学。

根据学生的基础和生源情况的不同, 同一专业的学生应根据学生高考的数学分数由高到低编班, 即“分层次”教学。这样对数学基础较好的同学, 授课时便可让他们充分吃饱, 可在上课时适当延伸, 渗入一些考研的例题, 适当地渗透一些数学建模的思想, 适当地加深《高等数学》理论部分的教学。而对于基础较差的学生, 适当地调整教学内容, 删减一些定理的证明过程, 减少一些理论的推导, 增加一些基础的动手训练过程, 让学生尽量听懂尽量掌握最基础的内容。此“分层次”教学可以经过第一期的半期和期末考试调整, 让快班和慢班的学生可上可下, 并且在期末应根据学生的基础适当调整考试难度。

2.2 学生自由选择教师听课。

由于学生的增加, 每个院系的学生比以前人数大量增加, 每个院系的《高等数学》教师一般都由多个教师担任。在前面分层次的基础上, 学生还可以自由选择自己适合的教师听课, 即在新生入学的前四周, 学生可以到承担同一院系的每个老师班上随班听课。当然这要求同一院系的担任高数的老师进度要统一, 教室要尽量地安排在同一层楼, 有利于学生自由选择。学生通过一段时间的听课, 一般都能找到比较适合自己“口味”的老师。教务处经过适当的调整, 尽量安排学生到自己较适合的老师班上去听课。前四周学生选择听课完毕, 以后《高等数学》课则基本固定。这样既让学生选择了老师, 也对老师提出了很高的要求, 使教师在以后的授课中更加注意提高自己的讲课质量。

2.3 实施网上授课的方式。

现在各个学校都在搞各科的精品课程。数学这门大面积的基础课更需要各个学校建立自己的精品课程。数学教研室要组织一批年富力强经验方法丰富的、并且教学效果好的老师拿出自己的“看家本领”编写每章每节教案 (以讲稿的形式, 尽量详细书写) , 然后挂在自己的学校网站上。这样如果学生对某章某节的内容掌握不太好, 学生自己上网查寻本校高数精品课程的教学, 这相当于名师在给每位同学上课, 同时建立一整套网上答疑系统, 让学生和老师在网上直接交流。

2.4 实施研究生当助教的方法。

目前高校的数学老师紧缺, 学生人数较多。普通一个教学班少则七八十人, 多则一百五六十人, 这样老师对学生的总体情况不好把握, 从而对学生的作业批改情况覆盖面较小。学校可以采用让一部分本校的研究生勤工俭学, 他们可以跟随学生随堂听课, 帮助老师批改一部分的作业, 同时也帮助老师多到班上辅导答疑, 这样大大地减少了老师的负担, 使老师节约大量的时间投入到科研和教学, 同时也让学生方便地学到了知识。

2.5 健全一套完整的练习册。

《高等数学》的学习离不开系统的训练, 学生必须练习一定量的典型题目。由于数学是大面积授课, 训练试题的构造尤为关键。在课堂的授课时间有限, 又由于学生的程度参差不齐, 课堂上有许多延伸提高的内容不一定能面面俱到, 所以有必要建立一整套完整的练习册供学生学习和训练。练习册的内容应包括内容提要、典型例题分析、每张每节的配套练习、创新思维与能力训练 (主要包括考研和数学建模) 、习题答案与提示、单元测试以及考试摸拟试题等。尤其需要说明的是习题答案与提示应该根据学生的具体情况而适当考虑是否详细书写还是简单提示。大学生都具有一定的自学能力, 详细的解答对于学生自学起着帮助的作用。

2.6 培养学生浓厚的学习兴趣, 增强学生的自信。

学生是学习的主体, 所以在教学方法上除了传授知识还要培养学生的兴趣, 调动学生学习的积极性。从学生的实际情况来看, 很多学生的学习积极性不高。在教学过程中应该注意学生的积极性的提高, 培养学习动机。即使在教学时间紧张的情况下, 对于每种类型的积分的物理背景和几何背景及解决问题的方法加以阐述说明, 这些对于学生的兴趣以及能力和自信的建立有好处。

2.7 探索让差生过关的有效方法。

教师在考核学生的学习上不应该只是以期末考试过关或不过关来对学生考核。就目前的学生情况, 应该尽量地增加学生平时的考核, 如学生的出勤情况, 学生的作业完成情况以及完成的质量。鼓励学生写数学小的论文, 在数学上有一定见解的学生应加大鼓励和加分。平常应多渠道促进差生的转化。

比如让学习自觉性不高的学生帮助老师收缴作业, 考察学生迟到早退以及旷课等。课堂上经常抽查基础较差的同学完成较易的课堂练习, 平时要注意他们的学习状况, 主动找他们交流思想, 帮助他们分析出现的问题, 共同找到解决问题的方法, 使差生懂得老师是真心在关心他帮助他。大学生实际上比中学生更在意老师对他们的态度。教师在教学过程中, 要善于发现学生的细微进步, 并给予学生及时的鼓励和表扬, 使他们慢慢地树立对学习的信心。

2.8 努力建立一流的教师队伍。

高校的扩招, 摆在我们面前的问题很多。要提高学生的出口质量, 需要有一流的教师队伍。数学教研室的教师需要不断地探讨新的教学思想, 利用新的教学手段, 互相交流教学经验。教研室每次的教学活动, 可以让有经验的老教师写出一些比较有独特见解的教学内容供全体教师学习, 也可以让年轻的教师写出教案让教研室一起讨论这样有利于好的经验和好的方法起着传帮接代的作用, 也有利于年轻教师的成长。另外学校应多开展教学评估大赛, 成立由专家组成的督导小组, 平时不定期地到每个教师班上听课。另外学校定期选派教师到外面去进修提高, 引进高学历、高水平的教师等。

2.9 注意课堂之外知识的延伸。

8.高等数学 篇八

关键词：考研；高等数学；复习

硕士研究生入学数学考试历年是考生们感到很棘手的问题，很多考生由于数学没考好而痛失深造的机会。尤其对于文科改考理工科或经济类学科的考生来说，数学这门课的难度可称为所有科目中最大的，也是最让人担心的。自从1997年数学考试大纲进行了一次较大的调整以来，考生们普遍反映试题越来越难了。数学几乎成了相当部分考生难以逾越的"关口"。而在考研数学中，高等数学所占的比例是最高的，每年都超过百分之五十，比线性代数和概率论两门课的比例都要大。但是数学相对英语来说，只要方法得当，提高非常快。所以只要掌握了正确的复习方法，就能事半功倍。下面的备考经验也许能给考生以启发。

1 必须重视基础，重视和加深对基本概念、基本定理和基本方法的复习和理解。

考生要重视对基本概念、基本定理和基本方法的复习，打好基础。数学是一门演绎的科学，首先要对概念深入理解，要不然做题时难免会答非所问，甚至是南辕北辙。其次，要把定理和公式牢牢记住，每一道题都是由基本的定义、定理和公式构成，它们的不同组合就形成了不同的问题，多层次的组合形成不同复杂程度的问题。所以这些定义、定理和公式是解题的基础，而熟练掌握和深刻理解这些内容就成为解题成功的关键。可以说，掌握了定理和公式就等于找到了解题的突破口和切入点。对近几年数学答卷的分析表明，考生失分的一个重要原因就是对基本概念、定理记不全、记不牢，理解不准确，基本解题方法掌握不好，为了熟练掌握，牢固记忆和理解所有的定义，定理，公式，一定要先把所有的公式，定理，定义记牢，然后再做大量的练习基础题。做这些基础题时如能达到一看便知其过程，这样就说明真正掌握了基础习题的内容。这些题看起来简单，但它们能帮助我们熟悉和掌握定义、定理、公式，所以考生不能因为这些题简单而不去看它，不去重视它。高数的基础应该着重放在极限、导数、不定积分这三方面，后面当然还有定积分、一元微积分的应用，还有中值定理、多元函数、微分、线面积分等等内容。

基本训练要反复进行。学习数学，一定要多做题。提倡精练，即反复做一些典型的题，做到一题多样，一题多变，要训练自己的抽象思维能力。对一些基本定理的证明，基本公式的推导，以及一些基本练习题，要做到"熟能生巧"。通过基本训练巩固对基本概念、基本定理和基本方法的理解。

2 加强综合解题能力的训练，熟悉常见考题的类型和解题思路，力求在解题思路上有所突破。

考研试题与教科书上的习题的不同点在于，前者是在对基本概念、基本定理、基本方法充分理解的基础上的综合应用，有较大的灵活性，往往一个命题覆盖多个内容，涉及到概念、直观背景、推理和计算等多种角度。因此一定要力争在解题思路上有所突破，要在打好基础的同时做大量的综合性练习题，并对试题多分析多归纳多总结，力求对常见考题类型、特点、思路有一个系统的把握。许多考生在做完教科书上的习题后，往往对考研题难以适应，其突出感觉是没有思路，这正是考生考前准备应解决的突破口。考生要掌握住各种题型的解题方法和技巧。在做题时，不必每道题都要写出完整的解题步骤，类似的题一般只要看出思路，熟悉其运算过程就可以，这样可以节省时间，提高做题的效率。

在选择习题时，考生要注意，最好先不要做模拟题，应该把真题先做一遍。因为真题的错误率比较低，而且最接近实际的试题。有的模拟题出得刁钻古怪，没有可做性。如果先做模拟题，假如选的模拟题不好则白白浪费了时间，而且对自己的解题思路也有着负面影响。通过做真题，考生可以真切的体会到考研的重点，难点，重要的是掌握了各种常考的题型。在做完真题之后再做模拟题就会感觉自己的解题思路有了质的提高，对数学认识也有了新的变化。

考生在做题的同时还要注意各章节之间的内在联系，数学考试会出现一些应用到多个知识点的综合性试题和应用型试题。这类试题一般比较灵活，难度也要大一些。考生要注意对综合性的典型考题的分析，来提高自身解决综合性问题的能力。数学有其自身的规律，其表现的一个重要特征就是各知识点之间、各科目之间的联系非常密切，这种相互之间的联系给综合命题创造了条件，因而考生应进行综合性试题和应用题训练。通过这种训练，积累解题思路，同时将各个知识点有机的联系起来，将书本上的知识转化为自己的东西。对于那些具有很强的典型性、灵活性、啟发性和综合性的题，要特别注重解题思路和技巧的培养。数学试题千变万化，其知识结构却基本相同，题型也相对固定，往往存在明显的解题套路，熟练掌握后既能提高解题的针对性，又能提高解题速度和正确率。

3 注意归纳总结

在大量做题的基础上，一定要注意对知识进行归纳总结，这样在考试的时候，才能举一反三。 就各课的特点来说，高等数学是考研数学的重中之重，所占分值较大，需要复习的内容也比较多。另外高等数学还有跨章节乃至跨科目的综合考查题，近几年出现的有：级数与积分的综合题；微积分与微分方程的综合题；求极限的综合题；空间解析几何与多元函数微分的综合题；所以要求我们要注重归纳总结。

此外，数学要考的另一部分是简单的分析综合能力和解应用题的能力。近几年，高数中的一些考题很少有单纯考一个知识点的，一般都是多个知识点的综合。解应用题要求的知识面比较广，包括数学的知识比较要扎实，还有几何、物理、化学、力学等等这些好多知识。当然它主要考的就是数学在几何中的应用，在力学中的应用，在物理中的吸引力、电力做功等等这些方面。数学要考的第四个方面就是运算的熟练程度，换句话说就是解题的速度。如果能够围绕着这几个方面进行有针对性地复习，取得高分就不会是难事了。

参考文献：

[1]同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2007，4.

[2]陈文灯，黄先开.考研数学复习指南[M].北京：北京理工大学出版社，2012，12.

9.高等数学难点总结 篇九

函数（高等数学的主要研究对象）

极限：数列的极限（特殊）——函数的极限（一般）极限的本质是通过已知某一个量（自变量）的变化趋势，去研究和探索另外一个量（因变量）的变化趋势

由极限可以推得的一些性质：局部有界性、局部保号性……应当注意到，由极限所得到的性质通常都是只在局部范围内成立

在提出极限概念的时候并未涉及到函数在该点的具体情况，所以函数在某点的极限与函数在该点的取值并无必然联系

连续：函数在某点的极限 等于 函数在该点的取值 连续的本质：自变量无限接近，因变量无限接近

导数的概念

本质是函数增量与自变量增量的比值在自变量增量趋近于零时的极限，更简单的说法是变化率

微分的概念：函数增量的线性主要部分，这个说法有两层意思，一、微分是一个线性近似，二、这个线性近似带来的误差是足够小的，实际上任何函数的增量我们都可以线性关系去近似它，但是当误差不够小时，近似的程度就不够好，这时就不能说该函数可微分了

不定积分：导数的逆运算 什么样的函数有不定积分

定积分：由具体例子引出，本质是先分割、再综合，其中分割的作用是把不规则的整体划作规则的许多个小的部分，然后再综合，最后求极限，当极限存在时，近似成为精确 什么样的函数有定积分

求不定积分（定积分）的若干典型方法：换元、分部，分部积分中考虑放到积分号后面的部分，不同类型的函数有不同的优先级别，按反对幂三指的顺序来记忆

定积分的几何应用和物理应用

高等数学里最重要的数学思想方法：微元法

微分和导数的应用：判断函数的单调性和凹凸性

微分中值定理，可从几何意义去加深理解

泰勒定理：本质是用多项式来逼近连续函数。要学好这部分内容，需要考虑两个问题：

一、这些多项式的系数如何求？

二、即使求出了这些多项式的系数，如何去评估这个多项式逼近连续函数的精确程度，即还需要求出误差（余项），当余项随着项数的增多趋向于零时，这种近似的精确度就是足够好的。下册

（一）：

多元函数的微积分：将上册的一元函数微积分的概念拓展到多元函数

最典型的是二元函数

极限：二元函数与一元函数要注意的区别，二元函数中两点无限接近的方式有无限多种（一元函数只能沿直线接近），所以二元函数存在的要求更高，即自变量无论以任何方式接近于一定点，函数值都要有确定的变化趋势

连续：二元函数和一元函数一样，同样是考虑在某点的极限和在某点的函数值是否相等

导数：上册中已经说过，导数反映的是函数在某点处的变化率（变化情况），在二元函数中，一点处函数的变化情况与从该点出发所选择的方向有关，有可能沿不同方向会有不同的变化率，这样引出方向导数的概念

沿坐标轴方向的导数若存在，称之为偏导数

通过研究发现，方向导数与偏导数存在一定关系，可用偏导数和所选定的方向来表示，即二元函数的两个偏导数已经足够表示清楚该函数在一点沿任意方向的变化情况

高阶偏导数若连续，则求导次序可交换

微分：微分是函数增量的线性主要部分，这一本质对一元函数或多元函数来说都一样。只不过若是二元函数，所选取的线性近似部分应该是两个方向自变量增量的线性组合，然后再考虑误差是否是自变量增量的高阶无穷小，若是，则微分存在

仅仅有偏导数存在，不能推出用线性关系近似表示函数增量后带来的误差足够小，即偏导数存在不一定有微分存在

若偏导数存在，且连续，则微分一定存在

极限、连续、偏导数和可微的关系在多元函数情形里比一元函数更为复杂

极值：若函数在一点取极值，且在该点导数（偏导数）存在，则此导数（偏导数）必为零

所以，函数在某点的极值情况，即函数在该点附近的函数增量的符号，由二阶微分的符号判断。对一元函数来说，二阶微分的符号就是二阶导数的符号，对二元函数来说，二阶微分的符号可由相应的二次型的正定或负定性判断。

级数敛散性的判别思路：首先看通项是否趋于零，若不趋于零则发散。若通项趋于零，看是否正项级数。若是正项级数，首先看能否利用比较判别法，注意等比级数和调和级数是常用来作比较的级数，若通项是连乘形式，考虑用比值判别法，若通项是乘方形式，考虑用根值判别法。若不是正项级数，取绝对值，考虑其是否绝对收敛，绝对收敛则必收敛。若绝对值不收敛，考察一般项，看是否交错级数，用莱布尼兹准则判断。若不是交错级数，只能通过最根本的方法判断，即看其前n项和是否有极限，具体问题具体分析。

比较判别法是充分必要条件，比值和根值法只是充分条件，不是必要条件。

函数项级数情况复杂，一般只研究幂级数。阿贝尔定理揭示了幂级数的重要性质：收敛区域存在一个收敛半径。所以对幂级数，关键在于求出收敛半径，而这可利用根值判别法解决。

逐项求导和逐项积分不改变幂级数除端点外的区域的敛散性，端点情况复杂，需具体分析。

一个函数能展开成幂级数的条件是：存在任意阶导数。展开后的幂级数能收敛于原来函数的条件是：余项（误差）要随着项数的增加趋于零。这与泰勒展开中的结论一致。