八下第九章数学教案

八下第九章数学教案（精选5篇）

1.八下第九章数学教案 篇一

个与电联系非常紧密的现象，那就是“磁”现象，我们把这一章叫做电与磁。（板书课题

磁现象与生产生活密切相关，具有较高的科学研究价值。从古代开始，很多人们就致力于对磁现象的研究，例如司南的发明，就为当时的航海提供了很大的便利。世界上最早的指南针是我国战国时期制造的“司南”。

司南由两部分组成。一部分是天然磁石制成的勺子形状，另一部分是水平光滑的“地盘”，静止的时候勺子的长柄就会指向南方。1.磁性：若物体能够吸引铁、钴、镍这三种物质，我们就说该物体具有磁性。

铁、钴、镍等物质称为磁性材料，那么，磁性即吸引磁性材料的性质，具有磁性的物体有两个特点：一是能吸引磁性材料，非磁性材料不能被吸引，如磁铁不能吸引铜、铅、纸、木材等；二是吸引磁性材料时，可不直接接触，如隔着薄木板，磁铁还是能吸住铁块。2．磁体：人们利用天然磁石制成各种形状的磁体，它们具有共同的性质，就是能够吸引钢铁一类的物质。

3．磁极：（把大头针平铺在一张白纸上，分别将条形磁体和蹄形磁体平放在大头针上，然后用手轻轻将磁体提起，并轻轻抖动，观察到磁铁两端能吸引较多的大头针，而中部没有吸引大头针。）在磁体上，不同部位吸铁能力是不同的，我们把吸铁能最强的部位叫做磁极。磁体上一般有两个磁极。

【演示】条形磁铁对铁进行吸引，观察磁铁的不同部位所吸铁屑的多少。

【问题】磁铁的不同部位，对铁的吸引力是不一样的。

【结论】磁铁的两端对铁的吸引力大，中间小，所以我们把磁性最强的部位叫做磁极。4．磁体的指向性：

【演示】把一个条形磁体用细线悬挂起来，发现它的一端总是指南，另一端总是指北。于是人们根据这个现象，将磁体的两极进行命名： 南极：磁体静止时指南的那一端叫做南极（S极）北极：磁体静止时指北的那一端叫做南极（N极）

自然界中不存在春有单个磁极的磁体，磁体上的磁极对出现的，而且一个磁体也不能有多于两个磁极，如果一个条形磁铁从空中落向地面分成两段，则每段将各有两个磁极。

郑和七次下西洋，历时20余年，共经历亚非30多个国家和地区，最远到达非洲东海岸、红海海口，是当时世界航海史上的盛举，郑和远航的航队，满载瓷器、丝绸、绵绮、麝香、铁器和金属货币等，所以又称为“宝船”，郑和的远航，促进了中国与亚非各国的经济文化交流。

公元843年，在水天一色的茫茫大海上，没有航标，没有明确的航道，郑和他们靠什么指示方向，让航船日夜不停地航行到达目的地？靠的是指南针 〖介绍指南针〗

指南针就是一个小磁针。1．它是我国的四大发明之一；

2．它对航海事业的发展起到了极大的促进作用。

我国不但是世界上最早发明指南针的国家，而且是最早把指南针用在航海事业上的国家。据记载，南宋的时候，航海的人已经用“罗盘”来指示航向了。磁极间的相互作用

【演示】把两块条形磁体的不同磁极互相靠近，观察它的转动情况。【结论】同名磁极相互排斥，异名磁极相互吸引。【应用】检验物体是否是磁体的又一方法。

（二）磁化（10min）

【问题】条形磁体是钢做的，原来没有磁性，怎样使它现在具有了磁性呢？

1．使它具有磁性的方法很多，但很明显它原来没有磁性，在磁体或者电流的作用下会获得磁性，我们把它获得磁性的过程叫做磁化。【演示】钢针原来没有磁性，在磁铁上按一定的方向摩擦几下，它就具有了磁性，能单独吸引一些小的区别针。

【结论】能够被磁化的材料叫做磁性材料。如钢、铁等。有的磁化后能长时间保持磁性，我们称之为硬磁性材料；而有的磁化后不能长时间保持其磁性，我们将其称之为软磁性材料。

磁卡、录音带、钢、铁，它们原本没有磁性，它们在磁体与电流的作用下会获得磁性，并能长时间保持，它们是硬磁性材料还是软磁性材料？

2、磁性材料的应用

磁悬浮列车、电磁起重机

3．磁体的分类：

（1）按磁体的来源可分为天然磁体和人造磁体；

天然磁体：就是从自然界直接获得的磁体。

人造磁体：经过人们加工而成的磁体。

（2）按形状来分可分为条形磁体、蹄形磁体、小磁针。

条形磁体：长条形状的磁体。

蹄形磁体：马蹄形的磁体。

小磁针：针状的磁体

（3）按磁化后保持时间的长短可分为永久性磁体和暂时性磁体，也叫硬磁体和软磁体。

（三）思考与练习（略）

1、.下列器件中没有应用磁性材料的是

（D）

A.录音机的录音带

B.计算机的软盘

C.电话用的IC卡

D.VCD播放器用的光盘

2、在下述各种情况中,可以得出钢棒原来一定具有磁性的是

（BC)A.将钢棒的一端接近磁针的北极时,两者相互吸引 B.将钢棒的一端接近磁针的北极时,两者相互排斥

C.将钢棒的一端接近磁针的北极时,两者相互吸引,再将钢棒的这一端接近磁针的南极时,则相互排斥

D.将钢棒的一端接近磁针的北极时,两者相互吸引,再将钢棒的这一端接近磁针的南极时,两者仍相互吸引

（四）小结

这节课我们学习了一些简单的磁现象，明确了一些关于磁现象的基本概念，知道了磁体、磁极、磁化。

磁体按不同的情况可以分为若干类，磁极只有两个，是根据其指向性命名的，磁化的现象也很多，生活中己把它作为记录信息的一个载体看待、使用了。

（五）作业：

动手动脑学物理：①、② 板书设计

2.第九章_立体几何总复习教案 篇二

学法指导：

1．必须明确本章内容的复习目标：（1）准确理解和系统掌握空间直线和平面的各种位置关系（特别是平行与垂直的位置关系），能够运用概念、公理、定理等进行严密的推理判断和逻辑论证；

（2）正确理解空间的各种角和距离的概念，能将其转化为平面角和线段的长度，并能熟练地运用平面几何及三角知识来计算；（3）通过图形能迅速判断几何元素的位置关系，能熟练绘制符合要求的空间图形的直观图、截面图，熟练地处理折叠、截面的问题.但要注意立体几何中的示意图不反映元素关系的真实结构，逻辑论证仍是关键；

（4）理解用反证法证明命题的思路，会证一些简单的问题.2．要掌握解题的通法，推理严谨，书写规范

（1）转化法是空间直线和平面的位置关系的判断与证明的常用方法，线线关系（主要指平行和垂直）、线面关系、面面关系三者中，每两者都存在着依存关系，充分、合理地运用这些关系是解题的关键；另外，转化法还常常运用在求距离时点的位置的变化，以及线面距、面面距间的转化；

（2）求角或距离的方法：① “一作、二证、三计算”，即先作出所求角或表示距离的线段，再证明它就是所要求的角或距离，然后再进行计算，尤其不能忽视第二步的证明.②向量法

9-1 立体几何中的平行问题 教学目标：

1.了解空间中两条直线的位置关系（相交、平行、异面）；了解直线和平面的位置关系(直线在平面内,直线与平面相交,直线与平面平行)；了解两个平面的位置关系（相交、平行）。2.掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，并能灵活运用它们解题.3.掌握两平面平行的判定和性质，并用以解决有关问题.教学重点：利用两条直线平行、直线与平面平行和面面平行的判定定理解决相关的证明问题。教学难点：线//线、线//面、面//面之间的相互联系。教学过程设计：

一、要点回顾：

1.空间中两条直线的位置关系：（1）相交：

（2）平行：公理4：

平行于同一直线的两条直线平行

（3）异面：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。

判定定理：

2.空间中直线和平面的位置关系：（1）直线在平面内：

公理1：

符号语言：

（2）直线与平面平行：定义

记作：

判定定理： 如果不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和平面平行

符号语言：

图形语言：

（3）直线和平面相交：

符号语言：

3.空间中平面和平面的位置关系：

（1）平面和平面相交：公理2：

符号语言： 图形语言：

（2）平面和平面平行：两个平面没有公共点。判定定理：

性质定理：

一个重要结论：

二、基础回顾：

1.如下图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，侧面对角线AB1、BC1上分别有两点E、F，且B1E=C1F.求证：EF∥平面ABCD.方法一：

方法二：

说明：欲证线面平行，先证线线平行，欲证线线平行，可先证线面平行，反复用直线与平面的判定、性质，在同一题中也经常用到。

2.如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD为正方形，侧面PDC为正三角形且平面，E为PC的中点，求证：PA//EBD。

三、考题训练：

例1.（2007全国）如图，在四棱锥 中，底面 为正方形，侧棱 底面

分别为 的中点．（1）证明平面 ；

（2）设，求二面角 的大小． 解法一：

（1）作 交 于点，则 为 的中点． 连结，又，故 为平行四边形．，又平面平面 ． 所以平面 ．

（2）不妨设，则 为等腰直角三角形．取 中点，连结，则 ． 又平面，所以，而，所以 面 ．

取 中点，连结，则 ．

连结，则 ．故 为二面角 的平面角

．

所以二面角 的大小为 ．

解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系 ． 设，则

，．

取 的中点，则 ．

平面平面，所以平面 ．

（2）不妨设，则 ．

中点

又，所以向量 和 的夹角等于二面角 的平面角．

．所以二面角 的大小为 ．

（其中第2问放在后面求二面角部分讲解）

例2.（08安徽）如图，在四棱锥 中，底面 四边长为1的菱形，, , , 为 的中点，为 的中点.（Ⅰ）证明：直线

；

（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；

（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。方法一（综合法）

（1）取OB中点E，连接ME，NE

又

（2）

为异面直线 与 所成的角（或其补角），作 连接，所以

与 所成角的大小为

（3）点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP,过点A作

于点Q，又,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离

，所以点B到平面OCD的距离为

方法二(向量法)作 于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为 轴建立坐标系 ,(1)

设平面OCD的法向量为 ,则

即

取 ,解得

(2)设 与 所成的角为 ，, 与 所成角的大小为

(3)设点B到平面OCD的距离为 ,则 为 在向量 上的投影的绝对值，由, 得.所以点B到平面OCD的距离为

四、能力提升

1.（08四川卷19）．如图，平面平面，四边形 与 都是直角梯形，（Ⅰ）证明： 四点共面；

（Ⅱ）设，求二面角 的大小； 【解1】：（Ⅰ）延长 交 的延长线于点，由

得

，延长 交 的延长线于

同理可得 故，即 与 重合，因此直线 相交于点，即 四点共面。

（Ⅱ）设，则，取 中点，则，又由已知得，平面，故，与平面 内两相交直线 都垂直。

所以平面，作，垂足为，连结 由三垂线定理知 为二面角 的平面角。

故

所以二面角 的大小

【解2】：由平面平面，得平面，以 为坐标原点，射线 为 轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系

（Ⅰ）设，则

故，从而由点，得

故 四点共面

（Ⅱ）设，则，在 上取点，使，则，从而

又，在 上取点，使，则

从而

故 与 的夹角等于二面角 的平面角，所以二面角 的大小

五、课堂小结：

1.“线//线”的证明方法 序号 文字语言 图形语言 符号语言 感悟 1 公理4：平行于同一直线的两直线平行线//面的性质定理：垂直于同一个平面的两直线平行面//面的性质定理平行四边形的对边分别平行三角形的中位线与它对应的底边平行

2.线//面的证明方法： 序号 文字语言 图形语言 符号语言 感悟 1 线//面的判定定理：如果两个平面平行，其中一个平面内的一条直线与另一个平面平行

3.面//面的证明方法： 序号 文字语言 图形语言 符号语言 感悟 1 判定定理

推论垂直于同一直线的两直线平行

六、课外作业： 1.（2004天津）

如图，在四棱锥 中，底面ABCD是正方形，侧棱 底面ABCD，是PC的中点。（1）证明平面EDB；（2）求EB与底面ABCD所成的角的正切值。

点评：本题考查直线与平面平行、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力，方法一：

（1）证明：连结AC、AC交BD于O。连结EO

∵ 底面ABCD是正方形

∴ 点O是AC的中点。在 中，EO是中位线

∴

而平面EDB且平面，所以，平面EDB。

（2）解：作 交CD于F。连结BF，设正方形ABCD的边长为。

∵

底面ABCD

∴

∴

F为DC的中点

∴

底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影，故 为直线EB与底面ABCD所成的角。在 中，∵

∴ 在 中

所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为

方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点。设

（1）证明：连结AC，AC交BD于G。连结EG。依题意得，∵ 底面ABCD是正方形

∴ G是此正方形的中心，故点G的坐标为

∴

∴

这表明 而平面 且平面EDB

∴

平面EDB（2）解：依题意得，取DC的中点

连结EF，BF ∵，∴，∴，∴

底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影，故 为直线EB与底面ABCD所成的角。

在 中，∴，所以，EB与底面ABCD所成的角的正切值为。

七、板书设计：

八、教学反思：

9-2立体几何中的垂直问题 教学目标：

1.了解空间两条直线垂直的概念；

2.掌握空间中直线和平面垂直的判定和性质； 3.了解空间中两个平面垂直的判定和性质。教学重点： 教学难点： 教学过程设计：

一、要点回顾

1.线线垂直的判定：

（1）利用线线平行：一条直线垂直于两条平行线中的一条，则垂直于另一条（2）利用勾股定理逆定理（3）利用等腰三角形性质（4）利用平面图形性质

(5)线面垂直的性质：

(6)利用线面垂直、线面平行：

(7)利用三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直。（反之也成立—逆定理）2.线面垂直判定

（1）判定定理1——如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面。

（2）判定定理2——如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则直线与平面垂直。

（3）面面垂直的性质：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面

（4）面面垂直推论:如果两个相交平面都与另一个平面垂直，则这两个平面的交线 l 垂直于另一个平面

（5）面面平行性质：一直线垂直于两个平行平面中的一个，则它也垂直于另一个平面 线面垂直性质

（1）定义——如果一条直线和一个平面垂直则这条直线垂直于平面内的任意一条直线（2）性质定理——如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行。（3）一直线垂直于两个平行平面中的一个，则它也垂直于另一个平面（6）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直（7）如果一个平面与另一个平面的垂线平行，则这两个平面互相垂直 3.（1）面面垂直判定

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直 推论:如果一个平面与另一个平面的垂线平行，则这两个平面互相垂直（2）面面垂直性质

推论:如果两个相交平面都与另一个平面垂直，则这两个平面的交线 l 垂直于另一个平面 垂直和平行涉及题目的解决方法须熟练掌握两类相互转化关系：

（1）平行转化：

(2)垂直转化：

每一垂直或平行的判定就是从某一垂直或平行开始转向另一垂直或平行最终达到目的.例如：有两个平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.二、基础体验：

1、(06安徽文6)设 均为直线,其中 在平面α内，则“l⊥α”是“ ”的（A）(A)充分不必要条件

(B)必要不充分条件(C)充分必要条件

(D)既不充分也不必要条件 2．（07四川卷）如图，为正方体，下面结论错误的是（）（A）平面

（B）

（C）平面

（D）异面直线 与 所成的角为60° 解：异面直线 与 所成的角为45°，选Ｄ． 3.（08上海卷13）给定空间中的直线l及平面，条件“直线l与平面内无数条直线都垂直”是“直线l与平面垂直”的（C）条件

A．充要

B．充分非必要

C．必要非充分

D．既非充分又非必要

三、考题训练：

例1.（07全国2）如图，正三棱柱 的所有棱长都为，为 中点．（Ⅰ）求证：平面 ；（Ⅱ）求二面角 的大小．

本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力． 解法一：（Ⅰ）取 中点，连结 ． 为正三角形，．

正三棱柱 中，平面平面，平面 ． 连结，在正方形 中，分别为 的中点，．

在正方形 中，平面 ．

（Ⅱ）设 与 交于点，在平面 中，作 于，连结，由（Ⅰ）得平面 ．，为二面角 的平面角． 在 中，由等面积法可求得，又，．

所以二面角 的大小为 ． 解法二：（Ⅰ）取 中点，连结 ．

为正三角形，．

在正三棱柱 中，平面平面，平面 ．

取 中点，以 为原点，，的方向为 轴的正方向建立 空间直角坐标系，则，，，，．，，．平面 ．

（Ⅱ）设平面 的法向量为 ．，．，令 得 为平面 的一个法向量．由（Ⅰ）知平面，为平面 的法向量．，． 二面角 的大小为 ．

例2.如图,在底面为直角梯形的四棱锥

,BC=6.(Ⅰ)求证:

(Ⅱ)求二面角 的大小.解法一：（Ⅰ）平面，平面 ． ． 又，．，，即 ．

又 ．平面 ．（Ⅱ）连接 ．

平面 ．，．

为二面角 的平面角． 在 中，，二面角 的大小为 ． 解法二：（Ⅰ）如图，建立坐标系，则，，，，，．，又，面 ．

（Ⅱ）设平面 的法向量为，设平面 的法向量为，则，解得

．

，． 二面角 的大小为 ．

四、能力提升：

1.（08全国二19）如图，正四棱柱 中，点 在 上且 ．（Ⅰ）证明：平面 ；（Ⅱ）求二面角 的大小．

解：以 为坐标原点，射线 为 轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系 ． 依题设，．，．

（Ⅰ）因为，故，．

又，所以平面 ．

（Ⅱ）设向量 是平面 的法向量，则，． 故，．

令，则，．

等于二面角 的平面角，．

所以二面角 的大小为 ．

五、课堂小结：

六、课外作业：

1.（08山东）如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，,E，F分别是BC, PC的中点.（Ⅰ）证明：AE⊥PD;

（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E—AF—C的余弦值.解：由（Ⅰ）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E、F分别为BC、PC的中点，所以E、F分别为BC、PC的中点，所以A（0，0，0），B（，-1，0），C（C，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F（），所以

设平面AEF的一法向量为

则

因此 取

因为

BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，所以BD⊥平面AFC，故 为平面AFC的一法向量.又 =（-），所以

cos＜m, ＞=

因为二面角E-AF-C为锐角，所以所求二面角的余弦值为

2.（08陕西卷19）三棱锥被平行于底面 的平面所截得的几何体如图所示，截面为，平面，，，．（Ⅰ）证明：平面平面 ；（Ⅱ）求二面角 的大小． 解：（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系，则，．

点坐标为 ．

，．，，又，平面，又平面，平面平面 ．（Ⅱ）平面，取 为平面 的法向量，设平面 的法向量为，则 ．

，如图，可取，则，即二面角 为 ． 补充资料：

1.（07湖南）如图，在三棱锥 中，，是 的中点，且，．（I）求证：平面平面 ；

（II）试确定角 的值，使得直线 与平面 所成的角为 ． 本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力． 解法1：（Ⅰ），是等腰三角形，又 是 的中点，又 底面 ． ．于是平面 ． 又平面，平面平面 ．

（Ⅱ）过点 在平面 内作 于，则由（Ⅰ）知平面 ． 连接，于是 就是直线 与平面 所成的角． 依题意，所以 ：在 中，； 在 中，．，．

故当 时，直线 与平面 所成的角为 ． 解法2：（Ⅰ）以 所在的直线分别为 轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，于是，，． 从而，即 ． 同理，即 ．又，平面 ．

又平面 ．平面平面 ．

（Ⅱ）设平面 的一个法向量为，则由 ．

得 可取，又，于是，即，．

故交 时，直线 与平面 所成的角为 ．

（07全国1）四棱锥 中，底面ABCD为平行四边形，侧面 底面ABCD，已知，。（Ⅰ）证明： ；

（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小。（1）解法一：作，垂足为，连结，由侧面 底面，得 底面 ．因为，所以，又，故 为等腰直角三角形，由三垂线定理，得 ． 解法二：

作，垂足为，连结，由侧面 底面，得平面 ．因为，所以 ． 又，为等腰直角三角形，．

如图，以 为坐标原点，为 轴正向，建立直角坐标系，因为，又，所以，．，，所以 ．（2），.与 的夹角记为，与平面 所成的角记为，因为 为平面 的法向量，所以 与 互余．，所以，直线 与平面 所成的角为 ．

七、板书设计：

八、教学反思：

9-3空间中直线、平面的位置关系 教学目标：

1.掌握空间中直线与直线、直线和平面、平面与平面的各种位置关系；

2.掌握立体几何中文字语言、图形语言、符号语言的相互转换，并且能利用定理进行命题真假的判断。教学重点：

1.直线和平面平行、垂直的判定定理和性质定理 2.平面和平面平行、垂直的判定定理和性质定理.教学难点：利用定理和一般结论判断所给命题的真假 教学过程设计：

一、要点回顾：（1）平行转化：

(2)垂直转化：

二、基础体验：

1.（06北京卷）设A、B、C、D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是(C)（A）若AC与BD共面，则AD与BC共面

（B）若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线

(C)若AB=AC，DB=DC，则AD=BC

(D)若AB=AC，DB=DC，则AD BC 解：A显然正确；B也正确，因为若AD与BC共面，则必有AC与BD共面与条件矛盾；C不正确，D正确，用平面几何与立体几何的知识都可证明。选C 2．（06天津卷）若 为一条直线，为三个互不重合的平面，给出下面三个命题： ① ；② ；③ ．其中正确的命题有（C）Ａ．0个

Ｂ．1个

Ｃ．2个

Ｄ．3个

解：若 为一条直线，、、为三个互不重合的平面，下面三个命题：

① 不正确； ② 正确；

③ 正确，所以正确的命题有2个，选C.3．(06上海卷)若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的（A）

（A）充分非必要条件

（B）必要非充分条件

（C）充分必要条件

（D）既非充分又非必要条件 4．（06重庆卷）若 是平面 外一点，则下列命题正确的是(D)（A）过 只能作一条直线与平面 相交

（B）过 可作无数条直线与平面 垂直（C）过 只能作一条直线与平面平行

（D）过 可作无数条直线与平面平行

三、考题训练 1．（06辽宁卷）给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②垂直于同一平面的两个平面互相平行；③若直线 与同一平面所成的角相等，则 互相平行；④若直线 是异面直线，则与 都相交的两条直线是异面直线。其中假命题的个数是（D）Ａ．1

Ｂ．2

Ｃ．3

Ｄ．4 2．(06广东卷)给出以下四个命题: ① 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交, 那么这条直线和交线平行;②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面;③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线相互平行;④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直.其中真命题的个数是（）A.4

B.3

C.2

D.1 解：①②④正确，故选B.3.(06福建卷)对于平面 和共面的直线、下列命题中真命题是(C)（A）若 则

（B）若 则

（C）若 则

（D）若、与 所成的角相等，则

4．（06湖北卷）

6、关于直线m、n与平面、，有下列四个命题： ①若 且，则 ；

②若 且，则 ； ③若 且，则 ；

④若 且，则 ； 其中真命题的序号是(D)A．①②

B．③④

C．①④

D．②③ 解：用排除法可得选D 5.（06福建）是空间两条不同直线，是两个不同平面，下面有四个命题： ①

②

③

④

其中，真命题的编号是_______①，④ _________;（写出所有真命题的编号）解： 是空间两条不同直线，是两个不同平面，下面有四个命题：

① ,为真命题；②，为ie假命题；③ 为假命题； ④ 为真命题，所以真命题的编号是①、④.6．（07北京卷）平面平面 的一个充分条件是（）Ａ．存在一条直线

Ｂ．存在一条直线

Ｃ．存在两条平行直线

Ｄ．存在两条异面直线

解：平面平面 的一个充分条件是存在两条异面直线，选Ｄ．

四、能力提升 1．（07天津卷）设 为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）A．若 与 所成的角相等，则

B．若，，则

C．若，，则

D．若，，则

解：Ａ项中若 与 所成的角相等，则 可以平行、相交、异面故错；Ｂ项中若，则 可以平行、异面故错；Ｃ项中若

则 可以平行、相交；而D项是对，因为此时 所成的角与 所成的角是相等或是互补的，则 ．

【分析】对于A当 与 均成 时就不一定；对于B只需找个，且

即可满足题设但 不一定平行；对于C可参考直三棱柱模型排除，故选D.2．（07重庆卷）垂直于同一平面的两条直线（A）平行

（B）垂直

（C）相交

（D）异面 解：垂直于同一平面的两条直线平行.选A.3．（07辽宁卷）若 是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A．若，则 B．若，则

C．若，则

D．若，，则

解：由有关性质排除A、C、D，选B.4．（07江苏卷）已知两条直线，两个平面，给出下面四个命题： ①

②

③

④

其中正确命题的序号是（）

A．①、③

B．②、④

C．①、④

D．②、③ 解：②中，有可能是异面直线；③中，有可能在 上，都不对，故选（C）。

五、课堂小结：

六、课外作业：

1．(07广东卷)若l、m、n是互不相同的空间直线，、是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是

A．若，则

B．若，则

C.若，则

D．若，则

解：对A，当

∥，时，只是平行于

中某一直线而非所有，因而 未必能平行于n；对B，只有在 垂直与两面的交线才有结论 ⊥

成立；对C，直线 和m可以是异面，立方体的棱就能体现这种关系。选D.2.已知 为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）Ａ．，，Ｂ．，Ｃ．，Ｄ．，解：A中m、n少相交条件，不正确；B中分别在两个平行平面的两条直线不一定平行，不正确；C中n可以在 内，不正确，选D.3.（08安徽卷3）已知 是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（B）A．

B．

C．

D．

4.（08湖南卷5）已知直线m,n和平面 满足 ,则（D)

或

或

5.（08上海卷13）给定空间中的直线l及平面 ．条件“直线l与平面 内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面 垂直”的（C）

Ａ．充分非必要条件

Ｂ．必要非充分条件

C．充要条件

Ｄ．既非充分又非必要条件

6.（08天津卷5）设 是两条直线，是两个平面，则 的一个充分条件是（C）A．

B．

C．

D．

7、（05江苏4）已知两条直线，两个平面，给出下面四个命题：（）①

②

③

④

其中正确命题的序号是

A．①③

B．②④

C．①④

D．②③

七、板书设计：

八、教学反思：

9-4空间角 教学目标：

1.理解两异面直线所成角、直线和平面所成角、二面角的平面角的概念；

2.会利用几何法、向量法求角（两异面直线所成角、直线和平面所成角、二面角的平面角）教学重点：利用向量法求空间角

教学难点：建立适当的空间直角坐标系，利用向量法求解立体几何综合问题。教学过程设计：

一、基础回顾： 1.异面直线所成的角

（1）定义：

（2）范围：

.（3）基本求法：

2.直线和平面所成的角：（1）定义：

（2）范围：

（3）基本求法：

3.二面角（1）相关定义：①从一条直线出发的两个

组成的图形叫做二面角。②以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作

的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。二面角的大小是用它的 的大小来度量的。（2）二面角的范围 ：。

（3）常见求法：

、、、、.①定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角.用定义时，要认真观察图形的特征.②三垂线法：已知二面角其中一个面内到另一个面的垂线，用三垂线定理或其逆定理作出平面角.③垂面法：在棱上取一点（通常是特殊点）作棱的垂面.④射影法：利用面积射影公式，其中为平面角的大小.此方法不必在图中画出平面角来（此法仅能在小题中使用）.⑤向量法：

二、基础体验： 1．（06四川卷）已知二面角 的大小为，为异面直线，且，则 所成的角为(B)（A）

（B）

（C）

（D）

解：已知二面角 的大小为，为异面直线，且，则 所成的角为两条直线所成的角，∴ θ=，选B.2.直三棱柱 中，点 分别是 的中点，则BD与AF所成的角的余弦值是（）A.B.C.D.三、考题训练：

例1（04广东18）如右下图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AA1=2。E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB=BF=1。求直线EC1与FD1所成的角的余弦值。思路一：本题易于建立空间直角坐标系，把 与 所成角 看作向量 的夹角，用向量法求解。

思路二：平移线段C1E让C1与D1重合。

转化为平面角，放到三角形中，用几何法求解。（图1）解法一：以A为原点，分别为x轴、y轴、z轴的正向建立空间直角坐标系，则有

D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2),于是

设EC1与FD1所成的角为，则:

∴直线 与 所成的角的余弦值为

解法二：延长BA至点E1,使AE1=1,连结E1F、DE1、D1E1、DF，有 D1C1//E1E, D1C1=E1E,则四边形D1E1EC1是平行四边形。则E1D1//EC1.于是∠E1D1F为直线 与 所成的角。在Rt△BE1F中，.在Rt△D1DE1中，在Rt△D1DF中，在△E1FD1中,由余弦定理得：

∴直线 与 所成的角的余弦值为.[说明]“转化”是求异面直线所成角的关键。平移线段法，或化为向量的夹角。一般地，异面直线 l1、l2的夹角的余弦为：.练习1．(07全国Ⅰ)如图，正四棱柱 中，则异面直线 与 所成角的余弦值为（）A．

B．

C．

D．

解：如图，连接BC1，A1C1，∠A1BC1是异面直线 与

所成的角，设AB=a，AA1=2a，∴ A1B=C1B= a，A1C1= a，∠A1BC1的余弦值为，选D。

2.（08全国二10）已知正四棱锥 的侧棱长与底面边长都相等，是 的中点，则 所成的角的余弦值为（C）A．

B．

C．

D．

例2.（1）(07全国II)已知正三棱柱 的侧棱长与底面边长相等，则 与侧面 所成角的正弦值等于（）A．

B．

C．

D．

解：已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，取A1C1的中点D1，连接BD1，AD1，∠B1AD1是AB1与侧面ACC1A1所成的角，选A。

（2）如图，在体积为1的直三棱柱 中，． 求直线 与平面 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． 解：法一： 由题意，可得体积，．连接 ．，平面，是直线 与平面 所成的角．

，则

＝ ．即直线 与平面 所成角的大小为 ． 法二： 由题意，可得

体积，如图，建立空间直角坐标系． 得点，． 则，平面 的法向量为 ．

设直线 与平面 所成的角为，与 的夹角为，则。

练习：如图,在正三棱柱 中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则 与侧面

所成的角是____________ 解：，点 到平面 的距离为，∴，．

例3.如图，在三棱锥 中，侧面 与侧面 均为等边三角形，为 中点．（Ⅰ）证明：平面 ；

（Ⅱ）求二面角 的余弦值． 证明：（Ⅰ）由题设

，连结，为等腰直角三角形，所以，且，又 为等腰三角形，故，且，从而 ．

所以 为直角三角形，． 又 ．所以平面 ．（Ⅱ）解法一： 取 中点，连结，由（Ⅰ）知，得 ．

为二面角 的平面角． 由 得平面 ． 所以，又，故 ．

所以二面角 的余弦值为 ．

解法二：建立空间直角坐标系 ．设，则 ．的中点，．

． 故 等于

二面角 的平面角．，所以二面角 的余弦值为 ．

总结：二面角的求法：

1.几何法：二面角转化为其平面角，要掌握以下三种基本做法： ①直接利用定义，图(1)②利用三垂线定理及其逆定理，图(2)最常用。③作棱的垂面，图(3)图4

另外，特别注意观察图形本身是否已含有所求的平面角； 2.向量法：①从平面的法向量考虑，设

分别为平面 的法向量，二面角 的大小为，向量的夹角为，则有 或

（图5）

图5

②如果AB、CD分别是二面角 的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小为。

[说明]在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若取 时，会算得，从而所求二面角为，但依题意只为。因为二面角的大小有时为锐角、直角，有时也为钝角。所以在计算之前不妨先依题意判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”。

四、能力提升：

1.（2003京春文11，理8）如图9—1，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点.将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为（B）A.90°

B.60° C.45°

D.0°

解析：将三角形折成三棱锥如图9—43所示.HG与IJ为一对异面直线.过点D分别作HG与IJ的平行线，即DF与AD.所以∠ADF即为所求.因此，HG与IJ所成角为60°.评述：本题通过对折叠问题处理考查空间直线与直线的位置关系，在画图过程中正确理解已知图形的关系是关键.通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力.而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志，是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向.2.（2002全国理，8）正六棱柱ABCDEF—A1B1C1D1E1F1的底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角是（）A.90°

B.60°

C.45°

D.30°

解析：连结FE1、FD，则由正六棱柱相关性质得FE1∥BC1.在△EFD中，EF=ED=1，∠FED=120°，∴FD=.在Rt△EFE1和Rt△EE1D中，易得E1F=E1D=.∴△E1FD是等边三角形.∴∠FE1D=60°.∴BC1与DE1所成的角为60°.评述：本题主要考查正六棱柱的性质及异面直线所成的角的求法.3.（2001全国，11）一间民房的屋顶有如图9—4三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为P1、P2、P3.若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则（）A.P3＞P2＞P1

B.P3＞P2＝P1 C.P3＝P2＞P1

D.P3＝P2＝P1 解析：由S底＝S侧cosθ可得P1＝P2而P3＝

又∵2（S1＋S2）＝S底

∴P1＝P 2＝P 3

五、课堂小结： 1.2.向量法通过空间坐标系把空间图形的性质代数化，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点线面的位置关系的判定和计算程序化、简单化。主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算。

六、课外作业：

1.（08全国一11）已知三棱柱 的侧棱与底面边长都相等，在底面 内的射影为 的中心，则 与底面 所成角的正弦值等于（C）A．

B．

C．

D．

2.（08福建卷6)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（D）A.B.C.D.3.（2009年云南省第一次统测）在四棱锥 中，底面 是正方形，侧棱 底面，是 中点，作 交 于 ．

（1）证明平面 ：

（2）证明平面 ；

（3）求二面角 的大小．

4．(06福建卷)如图，在正方体 中，分别为，，的中点，则异面直线 与 所成的角等于（）Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

解：连A1B、BC1、A1C1，则A1B=BC1=A1C1，且EF∥A1B、GH∥BC1，所以异面直线EF与GH所成的角 等于.60°，选B.9-5距离 教学目标： 1.理解点到平面的距离、两异面直线间的距离、直线到与它平行平面的距离的概念。2.会用等体积法、向量法求点到平面的距离。

3.将直线到与它平行的平面的距离转化为点到平面的距离求解。教学重点：用等体积法、向量法求点到平面的距离。教学难点：建立适当的坐标系，求解点到平面的距离。教学过程设计：

一、要点回顾：

1.点与它在平面上的射影间的距离叫做该点到这个平面的距离.2.直线与平面平行，那么直线上任一点到平面的距离叫做这条直线与平面的距离.3.两个平面平行，它们的公垂线段的长度叫做这两个平面的距离.4.两条异面直线的公垂线段的长度叫做这两条异面直线的距离.5.借助向量求距离：

（1）求点面距离的向量公式

平面α的法向量为n，点P是平面α外一点，点M为平面α内任意一点，则点P到平面α的距离d就是 在向量n方向射影的绝对值，即d=.（2）异面直线的距离的向量公式

设向量n与两异面直线a、b都垂直，M∈a、P∈b，则两异面直线a、b间的距离d就是 在向量n方向射影的绝对值，即d=.二、基础体验：

1.（06天津）如图，在正三棱柱 中，．若二面角 的大小为，则点 到直线 的距离为

．

2.（07）正三棱锥 的高为2，侧棱与底面ABC所成角为，则点 到侧面 的距离是

.解：如图，∠PBO＝45°，PO＝OB＝2，OD＝1，BD＝，PB＝2，PD＝，AD＝3，得AE＝.3.如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥，则此正六棱锥的侧面积是____ ____． 解：显然正六棱锥 的底面的外接圆是球的一个大圆，于是可求得底面边长为2，又正六棱锥 的高依题意可得为2，依此可求得

三、考题训练：

例1.如图，在正三棱柱 中，所有棱长均为1，则点 到平面 的距离为.解：连结 则点 到平面 的距离转化为C点到平面 的距离，易得，则由

，求得h=。

例2.如图，在三棱锥S-ABC中，（1）求二面角N-CM-B的大小；（2）求点B到平面CMN的距离。

四、课堂小结：

求空间距离的方法可分为直接法、转化法、向量法.1.直接法是直接作出垂线，再通过解三角形求出距离.2.转化法则是把点面距离转化为线面距离，或把线面距离转化为面面距离，再转化为点面距离.3.向量法是把距离求解转化为向量运算.9-6简单多面体和球 教学目标：

1.理解球和球面的概念，理解球面距离的概念； 2.注意多面体与球的关系；

3.掌握球半径、截面小圆半径与球心到截面圆距离三者间的关系； 4.了解地球仪上经度、纬度的概念，并用球的相关知识解决问题。教学重点：多面体与球的相关计算.教学难点：理解球面上两点间距离的概念, 了解与球的有的内切、外接几何问题的解法。教学过程设计：

一、要点回顾：(一)正多面体

1.概念: 每一个面都有相同边数的,且以每个顶点为一端点有相同数目的棱的凸多面体.2.五种正多面体: 正

面体、正

面体、正

面体、正

面体、正

面体.(二)球

1.概念: 球面, 球

1.到定点的距离小于或等于定长的点的集合叫做球，到定点的距离等于定长的点的集合叫做球面.过球面上两点的大圆在这两点间劣弧的长叫做两点的球面距离.2.球的体积与表面积:、3.球的截面与性质：

球心到截面圆的距离d =

.4.球面距离及其计算

(1)小圆, 大圆 , 经度角 , 纬度角

(2)球面距离=

×

(纬度圆半径r =)(三)外接球、内切球与组合体

1.棱长为a 的正方体的外接球半径：

内切球半径：

（长方体的外接球半径：）2.棱长为a 的正四面体的外接球半径：

内切球半径：

二、基础体验：

1．地球半径为R，则南纬600的纬线圈长为（）A．

B．

C．

D．R 2．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为，则球的表面积为（）A．

B．

C．

D．

3．设地球半径为R，若甲地位于北纬450东经1200，乙地位于南纬750东经1200，则甲，乙两地的球面距离为（）A．

B．

C．

D．

4．地球表面上从A地(北纬45°,东经120°)到B地(北纬45°,东经30°)的最短距离为(球的半径为R)

（）A．

B．πR

C．

D．

5.正四面体的中心到底面的距离与这四面体的高的比是（）

A．

B．

C．

D．

6．一个四面体的所有棱长都为 , 四个顶点在同一球面上, 则此球的表面积是

（）A．3π

B．4π

C．3 π

D．6π

三、考题训练： 例1．（1）(06全国Ⅰ)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是(C)A．

B．

C．

D．

解：正四棱柱高为4，体积为16，底面积为4，正方形边长为2，正四棱柱的对角线长即球的直径为2，∴ 球的半径为，球的表面积是，选C.（2）(06福建卷)已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于(D)（A）

（B）

（C）

（D）

解：正方体外接球的体积是，则外接球的半径R=2, 正方体的对角线的长为4，棱长等于，选D（3）(06安徽卷)表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为

A．

B．

C．

D．

解：此正八面体是每个面的边长均为 的正三角形，所以由 知，则此球的直径为，故选A。

例2.（06山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为(C)（A）

（B）3

（C）3

（D）1∶9 解：设正方体的棱长为a，则它的内切球的半径为，它的外接球的半径为，故所求的比为1∶3，选C 例3.如图,正四面体ABCD的外接球的体积为 ,求此四面体的体积.四、能力提升：

1.已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角等于____π3 ________。

解：正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，底面边长为2，底面积为12，所以正四棱锥的高为3，则侧面与底面所成的二面角的正切tanα= , ∴ 二面角等于60°。2.已知圆 是半径为 的球 的一个小圆，且圆 的面积 和球 的表面积 的比 为，则圆心 到球心 的距离与球半径的比 ＿ ＿＿。解：设圆 的半径为r，则 ＝，＝，由

得r  R＝  3，又，可得 1  3

3．(06湖南卷)过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°，则该截面的面积是(A)

A．π

B.2π

C.3π

D.解：过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°，则截面圆的半径是 R=1，该截面的面积是π，选A.4.如图，正四棱锥 底面的四个顶点 在球 的同一

个大圆上，点 在球面上，如果，则球 的表面积是(D)（A）

（B）

（C）

（D）

解：如图，正四棱锥 底面的四个顶点 在球 的同

一个大圆上，点 在球面上，PO⊥底面ABCD，PO=R，，所以，R=2，球 的表面积是，选D.五、课堂小结：

六、课外作业： 1.（08全国二8）正四棱锥的侧棱长为，侧棱与底面所成的角为，则该棱锥的体积为（B）A．3

B．6

C．9

D．18 2.（08全国二12）．已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（C）A．1

B．

C．

D．2 3.（08湖北卷4）用与球心距离为1的平面去截面面积为，则球的体积为（D）

A.B.C.D.4.（08湖南卷9）长方体 的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=，则顶点A、B间的球面距离是（B)A．

B．

C．

D．2 5.（08福建卷15）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是.9

6.（海南卷14）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，那么这个球的体积为 _________

7.（福建15）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是.9

8.（海南卷14）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，那么这个球的体积为 _________ 10．(07全国II)已知三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于 A．

B．

C．

D．

解：已知三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍，设底面边长为1，侧棱长为2，连接顶点与底面中心，则侧棱在底面上的射影长为，所以侧棱与底面所成角的余弦值等于，选A。

11.一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为

cm ．

解：一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。正四棱柱的对角线的长为球的直径，现正四棱柱底面边长为1cm，设正四棱柱的高为h，∴ 2R=2=，解得h=，那么该棱柱的表面积为2+4 cm2.12.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为，，则此球的表面积为

． 解：长方体的各顶点均在同一球的球面上则长方体的体对角线长为球的直径，设球的直径为 则：，由于球的表面积为:.13把边长为 的正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角, 折成直二面角后, 在A,B,C,D四点所在的球面上,B与D两点之间的球面距离为(A)(B)(C)(D)

解：球的半径为1，B与D两点恰好是两条垂直的半径的端点，它们之间的球面距离为 个大圆周长，即，选C。

14．(07陕西卷)Rt△ABC的三个顶点在半径为13的球面上，两直角边的长分别为6和8，则球心到平面ABC的距离是（A）5

（B）6

（C）10（D）12 解：Rt△ABC的斜边长为10，且斜边是Rt△ABC所在截面的直径，球心到平面ABC的距离是d=，选D.七、板书设计：

3.八下第九章数学教案 篇三

一、教学目的和要求

要求学生掌握亲核取代反应的基本概念、反应类型和反应机理，卤代烃的化学性质，一般卤代烃的结构鉴定和制备方法。了解影响亲核取代反应的各种因素和氟代烃的制备与性质。

二、教学重点

1.亲核取代反应：反应机理、立体化学、竞争反应等 2.卤代烃作为有机合成桥梁作用的应用

三、教学难点

亲核取代反应的立体化学及各种因素对反应的影响

四、教学内容

1.卤代烃的分类、命名及同分异构 2.一卤代烷 3.卤代烃的制备 4.重要的卤代烃 5.有机氟化合物简介

五、教学方法

课堂讲授，配合课堂讨论和课后练习。

六、课堂讨论题

1.什么是格氏试剂？如何制备它？制备和使用时需要注意一些什么问题？为什么？ 2.从离子对理论我们可以得到什么启示？

七、课后练习

4.八下第九章数学教案 篇四

课标内容:1、通过实验探究，学习压强的概念。2、用压强公式进行简单计算;知道增大和减小压强的方法。3、了解测量大气压强的方法。4、通过实验探究，初步了解流体的压强与流速的关系。5、通过实验探究，认识浮力。知道物体浮沉的条件。经历探究浮力大小的.过程。知道阿基米德原理。

一、压强

5.八下第九章数学教案 篇五

一、平面点集的相关概念 1.平面点集：具有性质P} 例如：，其中点表示点 2.邻域：(1).邻域：(2).去心邻域： 3.坐标面上的点与平面点集的关系：(1).内点：若，使，则称为的内点.(2).外点：若，使，则称为的外点(3).边界点：若，且，则称为的边界点 边界：的边界点的全体称为它的边界，记作.(4).聚点：若，则称为的聚点 导集：的聚点的全体称为它的导集 注：1°.若为的聚点，则可以属于，也可以不属于 2°.内点一定是聚点；外点一定不是聚点；边界点也不总是聚点，如孤立的边界点.例如：；.4.一些常用的平面点集：(1).开集：若点集的点都是其内点，则称为开集(2).闭集：若点集的边界，则称为闭集.(开集加边界(3).连通集：若中任何两点都可用属于的折线连接，则称为连通集.(4).开区域：连通的开集称为开区域，也称为区域.(5).闭区域：开区域加上其边界称为闭区域 例如：为区域.为闭区域.(6).有界集：若，使，则称为有界集.(7).无界集：若，使，则称为无界集

二、维空间：对取定的自然数，称元数组的全体为维空间，记为.注：前述的邻域、区域等相关概念可推广到维空间.三、多元函数的概念 1.，或，其中 因 映 自 变 变 量 射 量 定义域：D 值 域： 注：可推广：元函数：，.例: 1.，2.，2.几何表示：函数对应空间直角坐标系中的一张曲面:.四、二元函数的极限 1.定义：设函数的定义域为，点若，，为，满足，则称为当，称之为的二重极限 例1.设证明：，要使不等式，求证 成立，只须取，于是，，总有，即 例2.不存在，其中 证明：当沿直线趋于时，总有，随着的不同而趋于不同的值，故极限不存在 例3.求极限 五、二元函数的连续性 1.二元函数的连续性:设函数的定义域为D，点为D的聚点，且，则称在点连续 2.二元函数的间断点: 设函数的定义域为D，点为D的聚点，若在点不连续，则称为的间断点.注：间断点可能是函数有定义的孤立点或无定义的点.3.性质：设D为有界闭区域(1).有界性：，有(2).最值性：，使得，有(3).介值性：，使得.4.二元连续函数的运算性质(1).和、差、积仍连续；(2).商(分母不为零)连续；(3).复合函数连续.5.二元初等函数及其连续性(1).二元初等函数：由二元多项式和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合所构成的、并用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数.(2)..例4.，则 解：令 例5...(分子有理化)第二节 偏导数 引入：在一元函数微分学中，我们研究了一元函数的变化率—导数，并利用导数研究了函数的性态.对于多元函数，我们也要讨论它的变化率，但由于多元函数的自变量不止一个，所以多元函数的变化率要比一元函数的变化率复杂得多.我们还是以二元函数为例来研究多元函数的变化率，先把二元函数中某一自变量暂时固定，再讨论二元函数关于另一个自变量的变化率，这就是数学上的偏导数.一、偏导数的相关概念 1.偏导数：设函数在点的某邻域内有定义，把暂时固定在，而 处有增量时，相应地有增量.若极 存在，则称此极限值为函数在点处对的 ； 或 注: 1°..2°..2.偏导函数：若函数在区域D内每一点处对或偏导数存在，则该偏导数称为偏导函数, 或；或.注：可推广：三元函数在点处对的偏导数定义为 例1.求在处的偏导数.，.例2.求的偏导数.，.例3.求的偏导数.，..3.偏导数的几何意义(1).偏导数是曲线在点处的切线关于轴的斜率(2).偏导数是曲线在点处的切线关于轴的斜率.4.函数偏导数存在与函数连续的关系：函数偏导数存在与函数连续之间无必然的蕴含关系.(1).函数在点处偏导数存在，但它在点却未必连续 例如：函

数在点的两个偏导数都存在，即，.不存在，故在点不连续(2).函数在点连续，但它在点处却未必存在偏导数 例如：函数在点连续，但它在点对及的偏导数都不存在，这是因为：，即在点对及的偏导数都不存在.二、高阶导数 1.二阶偏导数：若函数对及的偏导数及对及的偏导数也存在，则称它们是函数的二阶偏导数 记作：； ；(二阶纯偏导数)；.(二阶混合偏导数)(二阶纯偏导数 注：1°.一般地，二元函数的阶偏导数的偏导数称为它的阶偏导数 2°.二阶以及二阶以上的偏导数统称为高阶导数.3°.二元函数的阶偏导数至多有个.例4.设，求它的二阶偏导数.；； ；； ；.总结：从这一例题，我们看到：，即两个二阶混合偏导数相等，与求导顺序无 关.那是不是每个二元函数都有这样的相等的二阶混合偏导数呢？我们说不是的，例如：，在点，有，事实

上，；

而，，于是，，即 那么满足什么条件得二元函数的两个二阶混合偏导数与求导顺序无关呢？有下面的定理： 2.二阶混合偏导数的性质 定理：若函数的两个二阶混合偏导数与在区域内连续，则它们在D内必相等，即 注：1°.可推广：高阶混合偏导数在连续的条件下与求导顺序无关.2°.一般地，若二元函数的高阶混合偏导数都连续，则的阶偏导数只有个

第三节 全微分

一、全微分的相关概念 1.偏增量：称为函数对的偏增量 称为函数对的偏增量 2.偏微分：称与为对及的偏微分.注：，但在实际应用中，往往要知道函数的全面的变化情况，即当自变量有微小增量、时，相应的函数增量与自变量的增量、之间的依赖关系，这涉及到函数的全增量.3.全增量：称为函数在点、的全增量 一般来讲，计算全增量是比较困难的，我们总希望像一元函数那样，利用、的线性函数来近似代替函数的全增量，为此，引入了全微分 4.全微分：若函数在点的某领域内有定义，且在的全增 不依赖于、，可表示为，其中 而仅与、有关，则称在点可微分，而称 为在点的全微分，记作，即 若在区域D内每一点都可微分，则称在D内可微分.注： 我们知道，当一元函数在点的微分存在时，那么，当二元函数在点的全微分存在时，、又为何值呢？下面讨论二元函数可微分与连续、可微分与偏导数存在的关系，从中得到、的值.二、二元函数可微分与偏导数存在、可微分与连续的关系 1．函数可微分的必要条件 定理1.若函数在点可微分，则它在点的两个偏导数 必定存在，且在点的全微分 证明：由于在点可微分，则有，其，当时，有，从而，即，同理可得，于是 特殊地，令，有，从而有，同理令，有，从而有.于是有，也称之为二元函数微分学的叠加原理 注：定理说明：函数可微分，一定可偏导，且全微分可用偏导数表示.但反之未必，即偏导数存在，函数未必可微分 例如：在点处两个偏导数都存在，但在点却不可微分 事实上，假设在点可微分，则，当时.而，有

不存在，更谈不上等于0，从而假设 不成立，即在点不可微分.2.函数可微分的必要条件 定理2若函数在点可微分，则它在点连续 证明：由于在点可微分，有，其中，于是有，.又的全增量为，从而，这说 在点连续 注：函数连续，未必可微分 例如：函数在点连续，但由于偏导数不存在，从而不可微分.3.函数可微分的充分条件 定理3若函数的偏导数与在点都连续，则 可微分 注：反之未必 例如：在点可微分，但

在点都不连续(1).先说明在点可微分.设，因为，令，由于，其中，于是，由全微分的定义知在 微分(2).再说明偏导数及在点不连续.易知 , 从而在点 不连续 同理可知 在点也不连续.例1.计算函数的全微分.解：.例2.计算函数在点处的全微分.，有，所以 例3.计算解： 的全微分..第四节 多元复合函数的求导法则 一、一元函数与多元函数复合的情形 定理1.若函数及在点都可导，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在点.(全导数公式)复合而成的函数注：可推广：，，在点.二、多元函数与多元函数复合的情形 定理2.若函数及在点具有对及的偏导数，函数 对应点具有连续偏导数，则复合函数在点的两个偏导数都存 ；.注：可推广：由，，复合而成的函 在点两个偏导数都存在，且 ；.三、其它情形 1.函数在点对及的偏导数都存在，函数及在点可导 在点具有连续偏导数，则复合函数在点 存在，且 ；.2.函数在点具有对及的偏导数，在点具有连续偏导数，则复合函数在点的两个偏导数都存在，且 ；.例1.设，而，求 及.；.例2.设，而 及.；.例3.设，而，求求导数.四、全微分形式不变性:若函数.若函数及也具有连续偏导数，则复合函数的全微 有称此性质为全微分形式不变性.，.与，其中，.例4.解：由于，而，于是，即，比较两端、dy，.第五节 隐函数的求导公式

一、隐函数：称对应关系不明显，而是隐含在方程(方程组)中的函数(函数组)为由方程(方程组)确定的隐函数(隐函数组 注：并不是每一个方程都能确定一个隐函数，例如：.二、隐函数存在定理 1.由一个方程确定的隐函数 定理1.若函数在点的某一邻域内具有连续偏导数，且，则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个连续可导的函 数，满足.注：若的二阶偏导数也连续，则有

定理2.若函数在点的某一邻域内具有连续偏导数，且，则方程在点

且具有连续偏导数的函数，满足 例1.设，求及，.解：令，则，..例2.设，求 解：设，则，.，从而 2.由方程组确定的隐函数组 定理3.若函数与在点的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又，且函数行列式 在点不等于零，则方程组在点 确定唯一一组连续且具有连续偏导数的函数组，且，；，例3.设，、、、和.解：设方程组，两端对求导得： 或，在 的条件下，有，同理可得，.；

第六节 多元函数微分学的几何应用 一、一元向量值函数及其导数 1.一元向量值函数的定义：，(数集)，.注：1°.在R3中，2°.向量值函数称为曲线的向量方程 2.一元向量值函数的极限：设向量值函数在点的某一去心邻域内有定义，若存在常向量，，：满足，总有，则称为当 时的极限，记作 注：存在、、都存在.3.一元向量值函数的连续性：设向量值函数在点的某一邻域内有定义，则称向量值函数在点连续 注：在点连续、、点连续 4.一元向量值函数的导数(导向量)：设向量值函数在点 存在，则称此极限值为在点的导数或导向量，记作.注：1°.在点可导、、点都可导 2°.是向量值函数 曲线在点处的一个切向量,其指向与的增长方向一致 例1.设，求 解：.例2.设空间曲线的向量方程为，求曲线在点相应的点处的单位切向量

解：由于，有，进而，于 为指向与的增长方向一致的单位切向量 为指向与的增长方向相反的单位切向量

二、空间曲线的切线与法平面 1.参数式情形：设空间曲线的参数方程为，假设、以及 在上可导，且三个导数不同时为零(1).切线：曲线上的一点处的切线方程为：应点 推导：由于曲线的参数方程为，记向量值函数，参数对 函数导数的几何意义知：向量即为曲线在其上的 处的一个切向量，从而曲线在其上的点处的切线方程为：.(2).法平面：通过曲线上的点而与曲线在点处的切线垂直的平面方程称为曲线在点处的法平面，方程为.其中法向量为 2.特殊式情形：设空间曲线的方程为，且、在点 的方程可改写为，为参数，从而曲线在点 程分别为：(1)..(2).法平面方程： 3.一般式(隐函数)情形：设曲线的方程为，为曲线 又设、，这时方程组在点 某一邻域内确定了一组隐函数，从而曲线的参数方程为，于是切向量为(1)...(2).法平面方程： 例3.求曲线在点处的切线与法平面方程

解：在方程组两端对求导，得，整理得，于是，，故切向量为 ；，或，从而所求切线方程为：.法平面方程为或

三、曲面的切平面与法线 1.定义(1).切平面：若曲面上通过点的一切曲线在点 面为曲面在点的切平面(2).法线：通过点且与切平面垂直的直线称为曲面在点的法线.2.切平面与法线方程(1).一般式情形：设曲面的方程为，点 的偏导数在点连续 切平面方程：；.推导：在曲面上过点任意引一条曲线，设其参数方程为，且函数 以及在都可导，有方程，对应点 两端对求导，在处，有.记.又为曲线在 处的切向量，由上式可知，即曲面上通过点的任意一条曲线的切向量都垂直于同一个向量，从而这些切线都在同一平面上，即曲面 的且平面存在，该切平面以向量为一法线向量(2).特殊式(显函数)情形：曲面：，且函数的偏导数在点连续 切平面方程： 法线方程：.推导：记，有，，故有法向量 例4.求球面在点处的且平面及法线方程 解：设，有，，故所求切平面的法向量为，于是所求切平面方程为：，即，法线方程为：，即 例5.求旋转抛物面在点处的切平面即法线方程 解：设，有，于是所求切平面的法向量为 从而所求切平面方程为，即，法线方程为.第七节 方向导数与梯度 引入:由函数在点的偏导数的几何意义可知：偏导数、只是函数过点沿平行坐标轴法线的变化率.但在实际应用中，往往要求我们知道函数在点沿任意确定的方向的变化率，以及沿什么方向函数的变化率最大，这就涉及到函数的方向导数和梯度.一、方向导数 1.定义：设函数在点的某个邻域内有定义，为过点)上另一点，且.若极限的射线(存在，则称此极限为函数在点沿 方向

注：若函数在点，则 的偏导数存在，且

若函数在点，则 的偏导数存在，且 2.方向导数的存在性 定理：若函数在点可微分，则函数在点沿任意方向的方向，其中、的方向余弦 注：1°.可推广：若函数在点可微分，则在点 的方向导数为 2°.方向导数存在，函数未必可微分 例如：在点沿方向的方向导数都存在，但 点不可微分 事实上：由于，从而 沿方向的方向导数都存在 但在点的两个偏导数都不存在，从而不可微分.例1.求函数在点处从点到方向的方向导数 解：由题可知方向就是向量的方向，有 又，.例2.求在点沿方向的方向导数，其中 解：由题可知与方向同向的单位向量为，又故所求方向导数为

二、梯度，，1.梯度的定义：设函数在平面区域D内具有一阶连续偏导数，对每一个，称向量为函数在点，或，即.注：可推广：.2.梯度与方向导数的关系(1).沿梯度方向，方向导数达到最大值；(2).梯度的模为方向导数的最大值

推导：设，若函数在点则在点可微分，沿方向的

1.当 这说明函数在一点的梯度是这样一个向量，它的方向是在这点的方向导数取得最大值的方向，它的模等于方向导数的最大值 2.当时，有与的方向相反，函数减小最快，在这个方向上的方向导数达到最小值，3.当 时，有与的方向正交，函数的变化率为零，即 例3.求 解：令，有，于是 例4.设，求(1).在处增加最快的方向以及沿这个方向的方向导数；(2).在处减少最快的方向以及沿这个方向的方向导数；(3).在处变化率为零的方向 解：(1).在点处沿的方向增加最快，由于，故所求方向可取为(2).在点处沿的方向减少最快，故所求方向可取(3).在点处沿垂直于的方向变化率为零，故所求方向为 或.第八节 多元函数的极值及其求法 引入：在一元函数微分学中，我们讨论了一元函数的极值和最值问题，但在许多实际问题中，往往会遇到多元函数的极值和最值问题，我们以二元函数为例来讨论多元函数的极值与最值问题 一、二元函数的极值与最值 1.极值：二元函数的定义域为，为的内点，若存在，且，都有(则称在点称为函数的极大值点(极小值点).有极大值(极小值).点统称极大值、极小值为极值；使函数取得极值的点称为函数的极值点 2.最值：设函数的定义域为D，若存在，都(则称为在D上的最大值(最小值).注：1°.极值是一个局部概念，最值是一个整体概念.2°.极值与最值的关系：极值可以是最值，但最值未必是极值.例1.函数在点取得极小值，也是最小值.例2.函数在点取得极大值，也是最大值.例3.函数在点既不取得极大值，也不取得极小值 由此可见，并不是每一个函数在其定义域上都有极值点，那么什么样的点可能是函数的 点的必要条件和充分条件，从中得到这些问题的答案.二、极值点的条件 定理1.若函数在点具有偏导数，且在点，注：1.称使成立的点为的驻点或稳定点 2°.可偏导函数的极值点一定是其驻点，但反之未必 例如：函数，在点是其驻点，但在点却不取得极值 那么什么样的驻点才能是极值点呢？下面的极值点的充分条件回答这一问题，并给出求极值的方法 定理2.设函数在点的某一邻域内连续且具有一阶以及二阶连续偏导数，又，令，，则在处是否取得极值的条件如下：(1).时具有极值，且当时有极大值，当时有极小值.(2).时没有极值(3).时是否取得极值不定，需另行讨论.3.求极值的步骤 第一步：求偏导数，解方程组，得的所有驻点 第二步：对每一驻点，求二阶偏导数的值、、第三步：考察的符号，判断是否为极值，若是极值，判断出是极大值还是极小值 例4.求函数的极值 解：解方程组，得驻点，，.又，(1).在点处，且，故在(2).在点处，故不是极值.(3).在点处，故不是极值(4).在点处，且，故在 值 例5.求函数的极值