勾股定理逆定理的五种应用

勾股定理逆定理的五种应用（共18篇）

1.勾股定理逆定理的五种应用 篇一

勾股定理的逆定理（第三课时）教学反思

这一节课的知识是前一节知识基础上的延伸，有一定的难度，但大部分同学都能做到积极思考问题，遇到障碍，只要在老师的适当点拨下，都能很好、很快把问题解决掉。的确对同学们课堂上的如此表现让我惊讶，很佩服。在这一节课教学设计时，我自始自终以培养学生能力，促进学生发展为指导思想，遵循教学原则中的系统性原则和主体性原则，以学生的“学”为出发点，将“自主探究、合作交流”的学习方式贯穿始终。这样充分调动了同学们学习的积极性和主动性，并达到了比较理想的效果。

在本章的教学中主要引导学生掌握两种数学思想方法：

1．转化的思想方法

在分析解决问题的过程中，将实际问题转化为勾股定理这一模型，为分析问题和解决问题创造有利条件． 2．方程的思想方法

在求有关线段的长度时，利用直角三角形这一基本图形，运用勾股定理巧设未知数，建立方程达到解决问题的目的．

在教学过程中，一、我将教学模式从传统的以教师讲授为主转变为以学生动脑动手自主研究、小组学习讨论交流为主，把数学课堂转为“数学实验室”，学生通过自己的活动得出结论、使创新精神与实践能力得到了发展。

二、学生在课堂中已经能够应用的非常灵活，这一点非常喜人．

反思成功的原因：第一、教学方法有了创新，采取了互动式教学，对学生来说很新奇。第二、采用填空式方式，将难点分散降低。第三、鼓励每个学生，给每个学生展示自己的机会，调动中下等学生，给他们机会发言。

当然这节课也存在着不足，虽然尽量想把课堂交给学生，但不免有不放心，影响了课堂中学生的主动学习。针对学生刚刚接触几何证明题，对格式比较陌生，忽视看图，今后将培养学习的识图能力，训练数形结合的思想。

2.勾股定理逆定理的五种应用 篇二

关键词：勾股定理,逆定理,应用

勾股定理,又称毕达哥拉斯定理,是几何学中一颗光彩夺目的明珠,被称为“几何学的基石”,在许多数学分支、建筑以及测量等方面,有着广泛的应用,而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用.著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”(勾股定理)带到其他星球,作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言.这一著名的定理,是每年中考命题的必选内容,命题形式变化多端.现举几例,供大家赏析.

例1如图,已知AD=4,CD=3,∠ADC=90°,AB=13,BC=12,求四边形ABCD的面积.

点评本题考查了勾股定理及逆定理的运用,求证△ABC是直角三角形是解题的关键.

例2如图所示,圆柱的高等于16 cm,底面半径等于4 cm.在圆柱的下底面的A点有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与A相对的C点的食物,需要沿圆柱的侧面爬行的最短路程是多少(π取整数3)?

解将圆柱体展开,连接A,C,△ABC是直角三角形,根据两点之间线段最短,AC为所求最短路程.根据题意可得:

点评本题是一道趣味题,将圆柱体展开,得到一个矩形,运用勾股定理解答即可.

例3如图,将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上F点处,已知CE=3 cm,AB=8 cm,则图中阴影部分面积为多少?

解∵CE=3,AB=8,∴EF=DE=5,从而CF=4,设BF=x,则AF=AD=BC=x+4,在直角三角形ABF中,由勾股定理,得82+x2=(x+4)2,解得x=6,故阴影部分的面积

点评在折叠前后,折痕两边能够完全重合的部分是全等图形,它们的对应线段相等、对应角相等.找到直角三角形利用勾股定理建立一元一次方程解决.

例4如右图是“水浒影视城”的圆弧形门,张帆同学到影视城游玩,很想知道这扇门的相关数据.于是她从景点管理人员处打听到:这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的,AB=CD=20 cm,BC=200 cm,且AB,CD与水平地面都是垂直的.根据以上数据,请你帮助张帆同学计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少.

答:这个圆弧形门的最高点离地面的高度为520 cm.

点评本题解决的关键是利用垂径定理构造直角三角形,进而运用勾股定理求出圆弧形门所在圆的半径.

例5 如图所示,在一次夏令营活动中,小亮从营地A点出发,沿北偏东60°方向走了到达B点,然后再沿北偏西30°方向走了500 m到达目的地C点.

(1)求A,C两点之间的距离.

(2)确定目的地C在营地A的什么方向.

解(1)过B点作BE∥AD,如图,∴∠DAB=∠ABE=60°,∵30°+∠CBA+∠ABE=180°∴∠CBA=90°,即△ABC为直角三角形.

由勾股定理可得:AC2=BC2+AB2,

(2)在Rt△ABC中,∵BC=500 m,AC=1000 m.

∴∠CAB=30°,∵∠DAB=60°,∴∠DAC=30°,即点C在点A的北偏东30°的方向.

点评本题是一道利用方位角的实际题目,从已知条件出发判断出△ABC是直角三角形,利用勾股定理是解决问题的关键.本题还涉及平行线的性质的知识及直角三角形中30°的判定.

勾股定理及其逆定理揭示了直角三角形中的三边之间的数量关系,是从“形”到“数”的飞跃,是几何计算、证明的重要工具.中考中单纯考查勾股定理的题目不多,它是解决含有直角三角形或能构造直角三角形的题目的主要方法,所以同学们一定要牢固掌握并熟练运用.

参考文献

[1]吴敏.位置与数量关系:几何入门教学的用力点——以七年级“相交线”教学设计为例[J].中学数学,2015(18).

[2]赵尔书,陈昌.浅议数量关系在数学问题解决中的地位、作用及教学[J].教育革新,2015(12).

[3]田载今.整式、分式可以表达同一数量关系[J].中学生数理化(八年级数学)(配合人教社教材),2015(12).

[4]朱亚邦.说说余角和补角[J].中学生数理化(七年级数学)(配合人教社教材),2015(11).

3.勾股定理及其逆定理的应用 篇三

一、判断三角形的形状

例1已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，试判断△ABC的形状。

解析要判断△ABC的形状须先求出三边a，b，c的长，再利用勾股定理逆定理进行判断。

∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，

∴a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0。

∴(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0，∴a-3=0，b-4=0，c-5=0。即a=3，b=4，c=5。

∴a2=9，b2=16，c2=25，则a2+b2=c2，∴△ABC为直角三角形。

点评在由一个等式求三角形的三边长时，往往把等式化为A2+B2+C2=0的形式，再由A＝0，B＝0，C＝0，求得三角形三边之长，最后利用计算来判断△ABC是不是直角三角形。

二、探索勾股数

例2观察下面的表格所给出的三个数a，b，c，a＜b＜c。

⑴试找出它们的共同点，并说明你的结论；

⑵当a=21时，求b,c的值。

解析只要能够发现每组内三个数之间的规律即可，而这需要从不同的角度去观察，运用从特殊到一般的思想来分析。

⑴各组数的共同点是:

①各组数均满足a2+b2=c2;

②最小数(a)是奇数，其余的两个数b,c是连续的正整数；

③最小奇数的平方等于另外两个连续正整数的和。

由以上特点我们可猜想并说明这样一个结论：设x为大于1的奇数，将x拆分为两个连续正整数之和，即x2=y+(y+1),则x,y,y+1就构成一组勾股数。

∵ x2=y+(y+1)(x为大于1的奇数),∴x2+y2= y+(y+1)+y2=y2+2y+1=(y+1)2,

∴ x,y,y+1是一组勾股数。

⑵运用以上结论，当x=21时，212=441=220+221, ∴b=220,c=221。

点评此题的实质是揭示了寻找勾股数的一种方法：先选一个大于1的奇数，然后把这个奇数的平方写成两个连续正整数的和，则由这个奇数和分成的两个连续正整数就构成了一组勾股数，运用此法可以得到许多勾股数。

三、构造直角三角形

例3如图1，在四边形ABCD中，AB=AD=8，∠A=60°， ∠ADC=150°， 已知四边形ABCD的周长为32，求四边形ABCD的面积。

解析四边形ABCD是一个不规则的四边形，要求其面积，可设法变成特殊的三角形求解。

连接BD，∵ AB=AD，∠A=60°， ∴△ABD是等边三角形。

∴∠ADB=60°， BD=AD=AB=8。又∵∠ADC=150°， ∴∠BDC=90°，故△BDC是直角三角形。

因为四边形ABCD的周长为32， AB=AD=8，

∴BC+DC=32-16=16，BC=16-DC。

在Rt△BDC中，BD2+DC2=BC2，即82+DC2=(16-DC)2。解得DC=6。

四、解决存在性探索题

例4是否存在这样的直角三角形，它的两直角边长为整数且周长与面积相等？若存在，求出它的直角边长；若不存在，请说明理由。

解析题中条件较少，先假设存在这样的三角形，根据题中的等量关系及勾股定理列出方程，经讨论分析即可得证。

假设存在符合要求的直角三角形，设边长分别为a，b，c，且c为斜边，a，b为正整数，由题意，得a2+b2=c2①， ∵ a为正整数，∴b-4=1,2,4,8,即b=5,6,8,12。

把b代入④中得a=12,8,6,5,且c=13,10,10,13。

所以符合条件的直角三角形有两个，边长分别为：6，8，10；5，12，13。

五、用于解实际应用题

例5如图2，公路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在公路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？

解析要求AE的长度，在Rt△ADE中应用勾股定理可求，但只知道DA=15km，不能求AE的长度。同时我们发现，在这个图形中有两个直角三角形，可以分别在这两个直角三角形中都利用勾股定理。在Rt△ADE中，根据勾股定理得：ＡD2+AE2=DE2，在Rt△CBE中，根据勾股定理得：CB2+BE2=CE2，而DE=CE，从而得到等式AD2+AE2=CB2+BE2，列方程问题就可以解决了。

设AE=x，则BE=25-x，在Rt△ADE中，根据勾股定理得AD2+AE2=DE2。在Rt△CBE中，根据勾股定理得：CB2+BE2=CE2。

因为现在要在公路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等。由DE=CE，知DE2=CE2，所以AD2+AE2=CB2+BE2。

即152+x2=102+(25-x)2，解得：x=10。

因此E站应建在离A站10km处。

例6如图3，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”。他们仅仅少走了几步路（假设两步为1米），却踩伤了花草。求他们少走了多少步路？

解析本题是一道新颖的实际问题。要算出少走了几步，则需要求出路AB等于多少米。观察图形知AB是Rt△ABC的斜边。因为AC=3m,BC=4m, 根据勾股定理可解决问题。

在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2=32+42=25,所以AB=5m。

根据假设可知5m需要走10步，则沿B→A走需要10步。而沿B→C→A走需要14步，可见他们仅仅少走了4步路,却踩伤了花草。

4.《勾股定理应用》教案 篇四

能运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题.

【学习重点】

勾股定理及直角三角形的判别条件的运用.

【学习重点】

直角三角形模型的建立.

【学习过程】

一.课前复习

勾股定理及勾股定理逆定理的区别

二.新课学习

探究点一：蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路径问题

1.3如图，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面圆的周长是18cm.在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少?

思考：

1.利用学具，尝试从A点到B点沿圆柱侧面画出几条线路，你认为

这样的线路有几条?可分为几类?

2.将右图的圆柱侧面剪开展开成一个长方形，B点在什么位置?从

A点到B点的最短路线是什么?你是如何画的?

1.33.蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少?你是如何解答这个问题的?画出图形，写出解答过程。

4.你是如何将这个实际问题转化为数学问题的?

小结：

你是如何解决圆柱体侧面上两点之间的最短距离问题的?

探究点二：利用勾股定理逆定理如何判断两线垂直?

1.31.31.3李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直底边AB，

但他随身只带了卷尺。(参看P13页雕塑图1-13)

(1)你能替他想办法完成任务吗?

1.31.3(2)李叔叔量得AD的长是30cm，AB的长是40cm，

BD长是50cm.AD边垂直于AB边吗?你是如何解决这个问题的?

(3)小明随身只有一个长度为20cm的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗?BC边与AB边呢?

小结：通过本道例题的探索，判断两线垂直，你学会了什么方法?

探究点三：利用勾股定理的方程思想在实际问题中的应用

例图1-14是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度CE=3m，CD=1m，试求滑道AC的长.

1.3

思考：

1.求滑道AC的长的问题可以转化为什么数学问题?

2.你是如何解决这个问题的?写出解答过程。

小结：

方程思想是勾股定理中的重要思想，勾股定理反应的直角三角形三边的关系正是构建方程的基础.

四.课堂小结：本节课你学到了什么?

三.新知应用

1.如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它怎么走最近?并求出最近距离.

1.3

2.如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水而1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是

1.3

五.作业布置：习题1.41，3，4题

【反思】

一、教师我的体会：

①、我根据学生实际情况认真备课这节课，书本总共两个例题，且两个例题都很难，如果一节课就讲这两题难题，那一方面学生的学习效率会比较低，另一方面会使学生畏难情绪增加。所以，我简化教材，使教材易于操作，让学生易于学习，有利于学生学习新知识、接受新知识，降低学习难度。

把教材读薄，

②、除了备教材外，还备学生。从教案及授课过程也可以看出，充分考虑到了学生的年龄特点：对新事物有好奇心，但对新知识的钻研热情又不够高，这样，造成教学难度较大，为了改变这一状况，在处理教材时，把某些数学语言转换成通俗文字来表达，把难度大的运用能力降低为难度稍细的理解能力，让学生乐于面对奥妙而又有一定深度的数学，乐于学习数学。

③、新课选用的例子、练习，都是经过精心挑选的，运用性强，贴近生活，与生活实际紧密联系，既达到学习、巩固新知识的目的，同时，又充分展现出数学教学的重大特征：数学源于生活实际，又服务于生活实际。勾股定理源于生活，但同时它又能极大的为生活服务。

④、使用多媒体进行教学，使知识显得形象直观，充分发挥现代技术作用。

二、学生体会：

课前，我们也去查阅了一些资料，关于勾股定理的证明以及有关的一些应用，通过这节课，真真发现勾股定理真真来源于生活，我们的几何图形和几何计算对于勾股定理来说非常广泛，而且以后更要用好它。对于勾股定理都应用时，我觉得关键是找到相关的三角形，并且分清直角边或斜边，灵活机智地进行计算和一些推理。另外与同学间在数学课上有自主学习的机会，有相互之间的讨论、争辩等协作的机会，在合作学习的过程中共同提高我觉得都是难得的机会。锻炼了能力，提高了思维品质，并且勾股定理的应用中我觉得图形很美，古代的数学家已经有了很好的研究并作出了很大的贡献，现代的艺术家们也在各方面用到很多，同时在课堂中渐渐地培养了我们的数学兴趣和一定的思维能力。

5.勾股定理的应用教学反思 篇五

勾股定理的应用教学反思

一、教师我的体会：

①、我根据学生实际情况认真备课这节课，书本总共两个例题，且两个例题都很难，如果一节课就讲这两题难题，那一方面学生的学习效率会比较低，另一方面会使学生畏难情绪增加。所以，我简化教材，使教材易于操作，让学生易于学习，有利于学生学习新知识、接受新知识，降低学习难度。

把教材读薄，②、除了备教材外，还备学生。从教案及授课过程也可以看出，充分考虑到了学生的年龄特点：对新事物有好奇心，但对新知识的钻研热情又不够高，这样，造成教学难度较大，为了改变这一状况，在处理教材时，把某些数学语言转换成通俗文字来表达，把难度大的运用能力降低为难度稍细的理解能力，让学生乐于面对奥妙而又有一定深度的数学，乐于学习数学。

③、新课选用的例子、练习，都是经过精心挑选的，运用性强，贴近生活，与生活实际紧密联系，既达到学习、巩固新知识的目的，同时，又充分展现出数学教学的重大特征：数学源于生活实际，又服务于生活实际。勾股定理源于生活，但同时它又能极大的为生活服务。

④、使用多媒体进行教学，使知识显得形象直观，充分发挥现代技术作用。

6.勾股定理应用说课稿 篇六

一、教材分析

1、教材的地位与作用：

勾股定理是我国古代数学的一项伟大成就。它为我们提供了直角三角形三边间的数量关系，其逆定理又为我们提供了判断三角形是否为直角三角形的依据，这些成果被广泛的应用于数学和实际生活的各个方面。本节教材是在学生研究了勾股定理及其逆定理在数学应用的基础上进一步研究其在实际生活中的应用。通过这部分内容的学习可以帮助学生进一步理解勾股定理的应用方法，同时亦为学生对数学与生活之间的联系有一个更深层次的体会。

2、教学目标:

根据新课标的要求及八年级学生的认知水平，我将制定本节课的教学目标如下：

知识与技能：

能应用勾股定理解决一些简单的实际问题。

学会选择适当的数学模型解决实际问题。

过程与方法：

通过问题情境的设立，使学生数学来源于生活，又应用于生活，积累利用数学知识，决日常生活中实际问题的经验和方法。

情感、态度和价值观：

使学生认识到数学来自生活，并服务于生活，从而增强学生学数学、用数学的意识 , 体会勾股定理的文化价值。发展运用数学的信心和能力，初步形成积极参与数学活动的意识。

3、教学重点与难点：

应用勾股定理解决实际问题是本节课的教学重点;而把实际问题化归成勾股定理的几何模型(直角三角形)则是本节课的教学难点.

二、学情分析：

在本节内容之前，学生已经准确的理解了勾股定理及其逆定理的内容并能运用它们解决一些数学问题。同时也已具备有一定的合作交流意识和能力。但探究问题的能力有限，对生活中的实际问题与勾股定理的联系还不明确，还不能抽象出相应的数学模型，自主学习能力尚有待加强。

三、教学过程

1.创设情境，导入新课：

首先借助多媒体展示校园花圃被学生踩踏的一角。然后及时出示问题: 学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角走 “ 捷径 ” ，在花园内走出了一条 “ 路 ” ，若在拐角的两边缘走，要分别走 3 米和 4 米，那么请同学们计算走“捷径”仅仅少走了几米路 , 而踩伤了花草。不仅解决了问题还对学生进行了思想教育，并引入本节课的学习内容。进一步让学生体会勾股定理与实际问题之间的关系。引导学生讨论“应用勾股定理解决实际问题的一般思路是什么?”

这个环节主要是从由简单的实际问题(平面上)激发学生的探求欲望，通过探求过程，学会分析问题中隐藏的几何模型(直角三角形)，体会勾股定理在生活中无处不在。激发和点燃学生学习的兴趣。为后续学习起到了引领作用。

2.合作交流，探索新知：

对于课本上“例1”的分析。我是在帮助学生理解如何将所求的实际问题转化为应用勾股定理解直角三角形的基础上，通过学生自学完成的。在正确理解例1的基础上,我把课本的例2进行重新编排，将其分解为三个问题。在具体的教学中是这样处理的：学生自己解决第一个问题，老师示范讲解第二个问题，师生共同讨论第三个问题。

本环节的设计意图是通过对两个实际问题的分析讨论,让学生理解用勾股定理解决实际问题的方法,体现化归的数学思想。

3.迁移训练，学以致用：

在这个环节中,我共设计了二个问题.第一个问题是通过直接运用勾股定理计算来加深学生对勾股定理应用方法的理解;一门框的尺寸如图所示,一块长3米,宽2.2米的薄木板是否能从门框内通过?为什么?

第二个问题是让学生先从实际问题中划归出直角三角形的模型,再由学生自己给出解答过程。考查了学生对本节课学习内容的理解。(见课本86页，例2)

这个环节的设计意图让学生利用勾股定理解决问题，培养学生的空间概念和把未知问题转化为已知问题来解决的化归思想。通过这两个变式训练，加深学生对勾股定理和转化思想的理解与运用，引入了分类讨论思想，培养了学生的`动手操作能力。

4.总结反思 拓展升华

首先鼓励学生畅所欲言的总结本节课的收获与体会;然后帮助学生自主建构知识体系;接着布置本节课的课内与课外作业。

四、设计说明

本节课的教学设计，依据了《新课程标准》的要求，立足于学生的认知基础来选择身边的素材进行教学，使教学内容充满趣味性和吸引力，使学生在轻松愉悦的学习氛围中理解了用勾股定理解决际问题的方法，体现数学与生活的紧密联系。并通过一题多变的手段帮助学生理解数学中的化归思想与分类讨论思想。

在教学过程中注重以小组合作的形式设计，实施开放式教学，让学生人人参与，提高学生学习兴趣.通过教师的引导，尽可能多给学生提供积极思考，交流的机会，达到合作交流的目的，使不同的学生在交流合作的过程中得到不同的发展。体现了新课标人人学数学,人人用数学教学理念。

7.浅谈勾股定理的教学与应用 篇七

一、丰富课堂内容, 激发学生学习求知欲望

在教学中, 教师可通过导入课外内容、采用设问等方式作为课堂开课的切入点.如, “在地球之外的浩瀚的宇宙中, 有没有外星人?”“如果有的话, 我们如何与他们进行联系?”“我国著名的数学家华罗庚曾建议:让宇宙飞船带着几个数学图形飞到宇宙空间, 其中一个就是边长为3∶4∶5的直角三角形.你知道他为什么会提出这样的建议吗?”等等.通过这样一系列的问题, 牢牢抓住了学生的注意力——“古老的勾股定理, 竟然成为了我们与外星人之间的联络密码!”学生在感叹人类古老文明的同时体会到勾股定理的重要性.

教师再通过一系列生活中随处可见的直角三角形实例, 引起学生的共鸣.如, 让学生欣赏传说故事:相传2500年前, 毕达格拉斯在朋友家做客时, 发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系.通过故事使学生明白:科学家的伟大成就多数都是在看似平淡无奇的现象中发现和研究出来的;生活中处处有数学, 我们应该学会观察、思考, 将学习与生活紧密结合起来.

二、剖析定理结构, 让学生正确理解和应用定理

在教学中, 教师要把勾股定理的理解和应用放在比较突出的位置, 学生通过对一些典型题目的思考、解答, 正确、熟练地进行勾股定理有关计算, 加深对勾股定理的理解应用.

【例1】 等边三角形的高是h, 求它的面积.

说明:这需要利用勾股定理的简单变形求解.

解析:△ABC为等边三角形, 作AD⊥BC, 垂足为D, 则AD=h.

因为∠B=60°, AD⊥BC, 所以∠BAD=30°.

设BD=x, 则AB=2x, 且有x2+h2= (2x) 2, 解之得$x=\frac{\sqrt{3}}{3}h.$

因为$BC=2BD=\frac{2\sqrt{3}}{3}h$,

所以$S{}_{△ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AD=\frac{\sqrt{3}}{3}h\cdot h=\frac{\sqrt{3}}{3}h{}^2$,

所以其面积是$\frac{\sqrt{3}}{3}h{}^2.$

三、灵活运用定理, 适当提高例题的难度

俗话说:学以致用.教学中, 要引导学生灵活应用定理, 才能在考试中应对难度较大的问题.

【例2】 △ABC中, AB=15 cm, AC=24 cm, ∠A=60°, 求BC的长.

说明:本题不是直角三角形, 而要解答它可以通过构造直角三角形, 用勾股定理来解.

解析:△ABC是一般三角形, 若要求出BC的长, 只能将BC置于一个直角三角形中.作CD⊥AB, 垂足为D,

在Rt△ACD中, ∠A=60°,

所以∠ACD=90°-60°=30°,

则$AD=\frac{1}{2}AC=12(\text{c}\text{m}).$

又因为CD2=AC2-AD2=242-122=432,

DB=AB-AD=15-12=3.

∴在Rt△BCD中,

BC2=DB2+CD2=32+432=441,

则BC=21 (cm) .

三、利用多媒体, 让学生深化理解勾股定理

几何图形可以直观地表示出来, 人们认识图形的初级阶段中主要依靠形象思维.随着信息技术的发展与普及, 直观实验手段在教学中日益增加, 这些对于几何学的学习起到积极作用.特别是随着教学研究的不断深入, 直观实验会在启发诱导、化难为易、检验猜想等方面进一步大显身手.

笔者在设计数学课《勾股定理》中还采取了多媒体技术辅助教学, 引用了一系列的多媒体事例, 视频片段、音频片段、文字、图形等, 使“勾股定理”这一种主题得到生动形象的体现, 同时使学生在原有知识的基础上, 获得了新的知识, 进一步提高了教学的质量.

8.勾股定理的应用检测题 篇八

1 如图1，圆柱形玻璃容器高18 cm，底面周长为60 cm，在外侧距下底1 cm的点Ｓ处有一只蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形玻璃容器的上口外侧距开口处1 cm的点F处有一只苍蝇，若蜘蛛要想吃到苍蝇，它需走的最短路线的长度是（）.

A 32 cm B 33 cm

C. 34 cm D. 35 cm

2. 小明想测量教学楼的高度．他用一根绳子从楼顶垂下，发现绳子垂到地面后还多了2 ｍ，当他把绳子的下端拉开6 m后，发现绳子下端刚好接触地面，则教学楼的高为（）.

A. 8 mB. 10 m

C. 12 mD. 14 m

3. 如果梯子的底端离建筑物9 ｍ，那么15 ｍ长的梯子可以到达建筑物的高度是（）.

A. 10 mB. 11 m

C. 12 mD. 13 m

4. 直角三角形三边的长分别为3、4、ｘ，则ｘ可能取的值有（）.

A. 1个B. 2 个C. 3个D. 无数多个

5 直角三角形有一条直角边的长为13，另外两边的长也是自然数，那么它的周长为（）.

A. 182B. 170

C. 169D. 以上都不对

二、填空题

6 在△ABC中，∠ACB = 90°，AB = 10，AC= 8，CD⊥AB于D，则AD =

7 如图2，为修建铁路需凿通隧道AC，测得∠C =90°，AB = 5 km，BC = 4 km.若每天开凿隧道03 km，则需天才能把隧道凿通.

8 如下页图3，一棱长为3 cm的正方体，把所有的面都分成3 × 3个小正方形，其边长都是1 cm．设一蚂蚁每秒爬行2 cm，则它从下底面A点沿正方体表面爬行到右侧面的B点，至少需要花s

9 有一圆柱形油罐，如图4，要从底部A点开始环绕油罐建梯子，使梯子正好到达A点正上方的B点.已知油罐的底面周长为12 m，高AB是5 m，则梯子最短需要m

10 如图5，为了求出位于湖两岸的A、B两点之间的距离，一个观测者在点C处设桩，使△ABC恰好为直角三角形，其中∠B为直角通过测量，得知AC长为160 m，BC长为128 m，则点A、B之间的距离为m.

三、解答题

11 某工厂的大门形状如图6，四边形ABCD是长方形，上部是以AD为直径的半圆，其中AB = 23 m，AD = 2 m.现有一辆装满货物的卡车，高29 m，宽17 m．这辆卡车能否通过厂门？请说明理由.

12 在一棵树的10 m高处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20 m的A处，另一只猴子爬到树顶后跳向A处.如果两只猴子经过的距离相等，试求这棵树有多高．

13 一货轮以每小时30海里的速度向正北方向行驶，货轮在A处观察到灯塔C在北偏西30°处，20 min后货轮行至B处，此时灯塔C在北偏西60°处.已知灯塔C周围8海里内有暗礁，问：货轮沿原方向行驶会不会有触礁的危险？

14 如图７，有一直立标杆，它的上半部被风从B处吹折，标杆顶端着地处 C 离杆脚2 m.修好后又被风吹折，因新折断的D处比前一次低05 m，故标杆顶端着地处 E 离杆脚比前一次远1 m．求原标杆的高.

15 长方体盒子A1B1Ｃ1Ｄ1 － A2B2Ｃ2Ｄ2如图8所示，其中A1A2 = 20 ｃｍ，A2B2 =10 ｃｍ，B1C1 = 5 ｃｍ.一只蚂蚁要沿长方体盒子表面从A2点爬到C1点，那么沿哪条路线爬行最近？

9.14.2勾股定理的应用教案 篇九

执笔人：

审核：八年级数学组 课型：新授 时间：

1、知识与方法目标：通过对一些典型题目的思考、练习，能正确、熟练的进行勾股定理有关计 算，深入对勾股定理的理解。

2、过程与方法目标：通过对一些题目的探讨，以达到掌握知识的目的。

3、情感与态度目标：感受数学在生活中的应用，感受数学定理的美。

课前复习

1、勾股定理的内容是什么？

问：是这样的。在RtΔABC中，∠C＝90°，有：AC2+BC2＝AB2，勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系。

今天我们来看看这个定理的应用。新课过程 分析：

大家分组合作探究：

解：在RtΔABC中，由题意有：

AC＝

＝

≈2.236

∵AC大于木板的宽

∴薄木板能从门框通过。学生进行练习：

1、在Rt△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，∠B=90゜.①已知a=5，b=12，求c； ②已知a=20，c=29，求b（请大家画出图来，注意不要简单机械的套a+b＝c，要根据本质来看问题）

2、如果一个直角三角形的两条边长分别是6厘米和8厘米，那么这个三角形的周长是多少

22厘米？

解：①当6cm和8cm分别为两直角边时；

斜边＝

＝10

∴周长为：6+8+10＝24cm ②当6cm为一直角边，8cm是斜边时，另一直角边＝

周长为：6+8+2

＝2＝14+2

解：由题意有：∠O＝90°，在RtΔABO中

∴AO＝

又∵下滑了0.4米

∴OC＝2.0米 在RtΔODC中 ∴OD＝∴外移BD＝0.8米 答：梯足将外移0.8米。例3 再来看一道古代名题：

这是一道成书于公元前一世纪，距今约两千多年前的，《九章算术》中记录的一道古代趣题：

=1.5（米）

＝2.4（米）

“现在有一个贮满水的正方形池子，池子的中央长着一株芦苇，水池的边长为10尺，芦苇露出水面1尺。若将芦苇拉到岸边，刚好能达到水池岸与水面的交接线的中点上。请求出水深与芦苇的长各有多少尺？

解：由题意有：DE＝5尺，DF＝FE+1。设EF＝x尺，则DF＝（x+1）尺 由勾股定理有： x2+52＝（x+1）2 解之得：x＝12 答：水深12尺，芦苇长13尺。

例4 如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高16米，另一棵树高11米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞多少米？

解：由题意有：BC＝12米，AC＝16－11＝5米。在RtΔABC中 AB＝＝13 答：小鸟至少要飞13米。

三、作业：完成书P77页1，P78页2、3

10.勾股定理逆定理的五种应用 篇十

《勾股定理的应用》教学设计

内容:八年级下(人教版)§17.1勾股定理的应用之一 教学目标：

1、知识与方法目标：通过对一些典型题目的思考、练习，能正确、熟练的进行勾股定理有关计算，深入对勾股定理的理解。

2、过程与方法目标：通过对一些题目的探讨，以达到掌握知识的目的。

3、情感与态度目标：感受数学在生活中的应用，感受数学定理的美。重点：勾股定理的应用 难点：勾股定理的灵活应用。方法：讲练结合 教学过程： 一：课前复习

师：勾股定理的内容是什么? 生：勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.师：这个定理为什么是两直角边的平方和呢? 生：斜边是最长边，肯定是两个直角边的平方和等于斜边的平方，否则不正确的。

师：是这样的。在RtΔABC中，∠C=90°，有：AC2+BC2=AB2，勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系。

今天我们来看看这个定理的应用。二：新课过程

师：上面的探究，先请大家思考如何做?(留几分钟的时间给学生思考)师：看到这个题让我们想起古代一个笑话，说有一个人拿一根杆子进城，横着拿，不能进，竖着拿，也不能进，干脆将其折断，才解决了问题，相信同学们不会这样做。

(我略带夸张的比划、语气，学生笑声一片，有知道这个故事的，抢在我的前面说，学生欣欣然，我观察课堂气氛比较轻松，这也正是我所希望氛围，在这样的情况下，学生更容易掌握知识)师：这里木板横着不能进，竖着不能进，只能试试将木板斜着顺进去。师：应该比较什么? 张伟：这是一块薄木板，比较AC的长度，是否大于2.2就可以了。师：张伟说的是正确的。请大家算出来，可以使用计算器。解：在RtΔABC中，由题意有： AC==

≈2.236 ∵AC大于木板的宽 ∴薄木板能从门框通过。学生进行练习1：

1、在Rt△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，∠B=90゜.①已知a=5，b=12，求c;②已知a=20，c=29，求b(请大家画出图来，注意不要简单机械的套a2+b2=c2，要根据本质来看问题)

2、如果一个直角三角形的两条边长分别是3厘米和4厘米，那么这个三角形的周长是多少厘米?（学生先做，挑优秀学生再提问）

师：对第二问有什么想法? 生：分情况进行讨论。师：具体说说分几种情况讨论? 生：①3cm和4cm分别是直角边;②4cm是斜边，3cm是直角边。

师：呵呵，你们漏了一种情况，还有3cm是斜边，4cm是直角边的这种情况。众生(顿感机会难得，能有一次战胜老师的机会哪能放过)：啊!斜边应该大于直角边的。这种情况是不可能的。

师：你们是对的，请把这题计算出来。(学生情绪高涨，为自己的胜利而高兴)(这样处理对有的学生来说，印象深刻，让每一个地方都明白无误)解：①当6cm和8cm分别为两直角边时;斜边==10 ∴周长为：6+8+10=24cm ②当6cm为一直角边，8cm是斜边时，另一直角边周长为：6+8+=2=14+2

师：如图，看上面的探究2。师：请大家思考，该如何去做? 陈晓玲：运用勾股定理，已知AB、BO，算出AO的长度，又∵A点下滑了0.4米，再算出OC的长度，再利用勾股定理算出OD的长度即可，最后算出BD的长度就能知道了。

师：这个思路是非常正确的。请大家写出过程。有生言：是0.4米。

师：猜是0.4米，就是想当然了，算出来看看，是不是与你的猜测一样。(周飞洋在黑板上来做)解：由题意有：∠O=90°，在RtΔABO中 ∴AO=

=2.4(米)又∵下滑了0.4米 ∴OC=2.0米 在RtΔODC中 ∴OD=∴外移BD=0.8米 答：梯足将外移0.8米。

=1.5(米)师：这与有的同学猜测的答案一样吗? 生：不一样。

师：做题应该是老老实实，不应该想当然的。例3 再来看一道古代名题：

原题：“今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何?”

师：谁来翻译? 生：现在有一个正方形的池子，一株芦苇长在水中央，露出水面的部分为一尺，拉芦苇到岸边，刚好与搭在岸上„„

师：我觉得“适与岸齐”翻译得不达意，应该理解为芦苇与水面与岸的交接线的中点上。

生：老师，我也认为是刚好到岸边，“齐”就是这个意思的。

师：这是字表面的意思，古人的精炼给我们今天的理解带来了困难，如果照同学们的翻译，这题就无解了，这理的理解应该是芦苇与水面同岸的交接线的中点上，而且还要求不左偏右倒。

(与学生进行争论，能够让师生双方对这个问题都有更深刻的印象，我是欢迎学生们发表自己的见解)师：正方形的池子，如何理解? 生：指长、宽、高都相等。

师：呵呵!照你们的看法，应该说成是正方体，而不应该是正方形了?再想想，池子的下方是什么形? 生：照这样说来，下面是其它形状也可以啊!师：我也这样认为，再来具体的说说正方形池子指什么? 生：仅指池口是正方形。

师：是这样的。(用粉笔盒口演示给学生看)有生：一丈10尺是指什么? 师：我也正想问这个问题呢，谁能来解答? 生：指AD的长度。师：能指BC的长度吗? 生：不能，刚说的其下方是不能确定的。我们整理翻译一下，“现在有一个贮满水的正方形池子，池子的中央长着一株芦苇，水池的边长为10尺，芦苇露出水面1尺。若将芦苇拉到岸边，刚好能达到水池岸与水面的交接线的中点上。请求出水深与芦苇的长各有多少尺? 师：如何画出草图？

（留给学生几分钟画出图，然后给出草图）师：请大家思考如何进行计算?(留几分钟的时间给学生思考)师：刚才有一部分同学已经做出来了，但还有约一半的同学还未能做出来。师：没做出来的同学，请思考你是不是遇到了EF与FD两个未知数啊，一是想想1尺有什么用;二是如何把两个未知数变成一个未知数，当然也可以多列一个方程。

(再等一等学生，留时间让他们做出来，这里等一等所花费的时间，对中等与中等偏下的同学是极为有利的，这点时间的付出会得到超值回报的)解：由题意有：DE=5尺，DF=FE+1。设EF=x尺，则DF=(x+1)尺 由勾股定理有：x2+52=(x+1)2 解之得：x=12 答：水深12尺，芦苇长13尺。生：这题的关键是理解题意。

师：看来还很会点评嘛，属于当领导的哦!(开个善意的玩笑，教室中一片温馨的笑声)。审题，弄清题意也是我们做题的首要的关键的一环，用同学们的总结来说，以后遇到难题不要怕，要敢于深入进去，弄清情景。学生练习2：

1、校园内有两棵树，相距12米，一棵树高16米，另一棵树高11米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞多少米?（自己画图解答，答案13米）

2、（2013•鄂州）小明、小华在一栋电梯楼前感慨楼房真高．小明说：“这楼起码20层！”小华却不以为然：“20层？我看没有，数数就知道了！”小明说：“有本事，你不用数也能明白！”小华想了想说：“没问题！让我们来量一量吧！”小明、小华在楼体两侧各选A、B两点，测量数据如图，其中矩形CDEF表示楼体，AB=150米，CD=10米，∠A=30°，∠B=45°，（A、C、D、B四点在同一直线上）问：楼高多少米？

11.浅谈勾股定理的应用 篇十一

勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.勾股定理为：两直角边的平方和等于斜边的平方表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么

勾股定理是初中数学，重要的一部分，在实际中如果能巧妙的运用勾股定理，会极大提高学生学习数学的乐趣。

题型一：利用勾股定理测量长度

例题 如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？

解析：这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后，.已知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度，可以直接利用勾股定理！

题型二：勾股定理和逆定理并用

例题 如图3，正方形ABCD中，E是BC边上的中点，F是AB上一点，且 那么△DEF是直角三角形吗？为什么？

解析：这道题把很多条件都隐藏了，乍一看有点摸不着头脑。仔细读题可以发现规律 ，可以设AB=4a，那么BE=CE=2 a，AF=3 a，BF= a，那么在Rt△AFD 、Rt△BEF和 Rt△CDE中，分别利用勾股定理求出DF，EF和DE的长，反过来再利用勾股定理逆定理去判断△DEF是否是直角三角形。

题型三：折叠问题

例题 如图4，已知长方形ABCD中AB=8cm，BC=10cm，在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.

解析：解题之前先弄清楚折叠中的不变量。合理设元是关键。

题型四：旋转问题：

如图，△ABC是直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，若AP=3，求PP′的长。

变式1：如图，P是等边三角形ABC内一点，PA=2，PB= ，PC=4，求△ABC的边长.

分析：利用旋转变换，将△BPA绕点B逆时针选择60°，将三条线段集中到同一个三角形中，根据它们的数量关系，由勾股定理可知这是一个直角三角形.

题型五：关于勾股定理在实际中的应用：

例题、如图，公路MN和公路PQ在P点处交汇，点A处有一所中学，AP=160米，点A到公路MN的距離为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？

分析此题是把实际问题转化数学中勾股定理来解决的。

解：作AB垂直于MN交MN于B点，可知AB=80m<100m

故会受到影响

取B点右侧点C，连AC，设AC=100m

根据勾股定律BC=60，可知拖拉机在BC上行驶会影响学校

相应的，取B点左侧点D，设AD=100m

DB=60，可知拖拉机在DB上行驶会影响学校

故拖拉机在DC上行驶会影响学校，DC=BC+DB=120m

18km/h=5m/s 120/5=24秒

学校受到的影响的时间为24秒

题型六：关于最短性问题

例题如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短路径长是多少？

分析：在运用勾股定理解决有关问题时，常常需要将一些线段通过平移、旋转、翻折等运动变化从而转化到一个直角三角形中，即转化思想.

求几何体的表面的最短距离，可联系我们学过的圆柱体的侧面展开图，化“曲面”为“平面”，再寻找解题的途径.如右图，可得展开图中的AB长为2π，BS为2，根据勾股定理，在RtΔABS中，得AS=2 所以，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短路径长为2 。

12.动能定理应用问题分析 篇十二

一、中学物理教科书中的动能定理有两种表述:

第一种表述:作用在物体上合外力的功等于物体动能的增量

第二种表述:作用在物体上的外力做功之和等于物体动能的增量

上述两种表述是否等价?

分析:两种表述不等价。第一种表述在实际应用中不存在反例, 是科学的。而第二种表述与一些实验事实相矛盾。

例如, 光滑的水平桌面上放一质量为m的物块, 它两边焊接劲度系数都为k的水平轻弹簧, 如图 (a) 所示, 若在弹簧的两边分别用大小相等, 方向相反的两个水平力非常缓慢地压缩弹簧, 如图 (b) 所示。该力学组所受合外力及其功都为零, 动能增量也为零, 这与第一种表述相符。设弹簧形变量为x (在弹性限度内) , 外力做功之和为kx2。但力学组动能增量为零, 显然, 第二种表述与实验相矛盾。弹簧被压缩, 弹性力 (内力) 做功为kx2。外力的功与内力的功的总和为零, 力学组的动能增量也为零。

再例如, 劲度系数为k的轻弹簧连接质量为m的振子放在光滑的水平面上做简谐振动。振动系统质心的动能随时间变化, 但是, 外力不做功, 该如何解释?

分析:因为外力的元功之和等于合外力 (作用点移到质心上) 的元功与外力在质心系的元功之和。设振子元位移为dx, 如图 (c) 所示。则作用于振子的合外力元功为—dx。外力在质心系中的元功为Fdx, 两者之和为零, 即外力做功为零。弹性内力元功等于该振动系统弹性势能元增量的负值, 也等于该系统的动能元增量。振动系统的机械能守恒, 动能与势能相互转化, 因此动能随时间变化。合外力存在, 振动系统质心动能和势能才能相互转化, 或者说外力在质心系中的元功与弹性内力元功之和为零, 合外力 (作用在振子上) 的元功不为零, 因此, 振动系统质心的动能随时间变化。设简谐振动的表达式为x=A0 cosω0t, 则简谐振动的动能为kA02 sin2ω0t, 振动系统质心的动能 (平动动能) 的元增量为

作用在振子上的合外力的元功为

所以d A=dΕk。

即作用在振子系统质心上合外力在任一元过程中所做的元功与该元过程质心动能的元增量相等, 这与动能定理相符。

13.正、余弦定理及其应用 篇十三

正、余弦定理及其应用

作者：夏志辉

来源：《数学金刊·高考版》2013年第10期

正、余弦定理及其应用是高中数学的一个重要内容，是高考必考知识点之一，也是解三角形的重要工具，常常会结合三角函数或平面向量的知识来考查其运用.重点难点

14.勾股定理逆定理的五种应用 篇十四

教学目标具体要求：

1.知识与技能目标：会用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题。

2.过程与方法目标：经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，明确应用的条件。

3.情感态度与价值观目标：通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受;通过有关勾股定理的历史讲解，对学生进行德育教育。

重点：

勾股定理的应用

难点：

勾股定理的应用

教案设计

一、知识点讲解

知识点1：(已知两边求第三边)

1.在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm，则斜边长为_____________。

2.已知直角三角形的两边长为3、4，则另一条边长是______________。

3.三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC边上的高线AD=8,求BC的长?

知识点2：

利用方程求线段长

1、如图，公路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在公路AB上建一车站E，

(1)使得C，D两村到E站的距离相等，E站建在离A站多少km处?

(2)DE与CE的位置关系

(3)使得C，D两村到E站的距离最短，E站建在离A站多少km处?

利用方程解决翻折问题

2、如图，用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm.当折叠时，顶点D落在BC边上的点F处(折痕为AE).想一想，此时EC有多长?

3、在矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按图所示方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE的长。

4.如图，将一个边长分别为4、8的矩形形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则EF的长是多少?

5、折叠矩形ABCD的一边AD,折痕为AE,且使点D落在BC边上的点F处,已知AB=8cm,BC=10cm，以B点为原点，BC为x轴，BA为y轴建立平面直角坐标系。求点F和点E坐标。

6、边长为8和4的矩形OABC的两边分别在直角坐标系的x轴和y轴上，若沿对角线AC折叠后，点B落在第四象限B1处，设B1C交x轴于点D，求(1)三角形ADC的面积，(2)点B1的坐标，(3)AB1所在的直线解析式.

知识点3:判断一个三角形是否为直角三角形间接给出三边的长度或比例关系

1.(1).若一个三角形的周长12cm,一边长为3cm,其他两边之差为1cm,则这个三角形是___________。

(2).将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是____________。

(3)在ABC中，a：b：c=1:1：，那么ABC的确切形状是_____________。

2.如图，正方形ABCD中，边长为4，F为DC的中点，E为BC上一点，CE=BC，你能说明∠AFE是直角吗?

变式：如图，正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且CE=BC，你能说明∠AFE是直角吗?

3.一位同学向西南走40米后，又走了50米，再走30米回到原地。问这位同学又走了50米后向哪个方向走了

二、课堂小结

谈一谈你这节课都有哪些收获?

应用勾股定理解决实际问题

三、课堂练习以上习题。

四、课后作业卷子。

本节课是人教版数学八年级下册第十七章第一节第二课时的内容，是学生在学习了三角形的有关知识，了解了直角三角形的概念，掌握了直角三角形的性质和一个三角形是直角三角形的条件的基础上学习勾股定理，加深对勾股定理的理解，提高学生对数形结合的应用与理解。本节第一课时安排了对勾股定理的观察、计算、猜想、证明及简单应用的过程;第二课时是通过例题分析与讲解，让学生感受勾股定理在实际生活中的应用，通过从实际问题中抽象出直角三角形这一模型，强化转化思想，培养学生解决问题的意识和应用能力。

针对本班学生的特点，学生知识水平、学习能力的差距，本节课安排了如下几个环节：

一、复习引入

对上节课勾股定理内容进行回顾，强调易错点。由于学生的注意力集中时间较短，学生知识水平低，引入内容简短明了，花费时间短。

二、例题讲解，巩固练习，总结数学思想方法

活动一：用对媒体展示搬运工搬木板的问题，让学生以小组交流合作，如何将木板运进门内?需要知道们的宽、高，还是其他的条件?学生展示交流结果，之后教师引导学生书写板书。整个活动以学生为主体，教师及时的引导和强调。

活动二：解决例二梯子滑落的`问题。学生自主讨论解决问题，书写过程，之后投影学生书写过程，教师与学生一起合作修改解题过程。

活动三：学生讨论总结如何将实际生活中的问题转化为数学问题，然后利用勾股定理解决问题。利用勾股定理的前提是什么?如何作辅助线构造这一前提条件?在数学活动中发展了学生的探究意识和合作交流的习惯;体会勾股定理的应用价值，让学生体会到数学来源于生活，又应用到生活中去，在学习的过程中体会获得成功的喜悦，提高了学生学习数学的兴趣和信心。

二、巩固练习，熟练新知

通过测量旗杆活动，发展学生的探究意识，培养学生动手操作的能力，增加学生应用数学知识解决实际问题的经验和感受。

在教学设计的实施中，也存在着一些问题：

1.由于本班学生能力的差距，本想着通过学生帮带活动，使学困生充分参与课堂，但在学生合作交流是由于学习能力强的学生，对问题的分析解决所用时间短，而在整个环节设计中转接的快，未给学困生充分的时间，导致部分学生未能真正的参与到课堂中来。

2.课堂上质疑追问要起到好处，不要增加学生展示的难度，影响展示进程出现中断或偏离主题的现象。

15.动能定理的应用探究 篇十五

一、求解未知力的功 —— 跳伞运动做功问题

如果物体所受的外力中有未知力, 有恒定的已知力, 且恒力的功容易计算, 物体动能的变化量也容易求解, 可由动能定理求解未知力的功.

例1总质量为80 kg的跳伞运动员从离地500 m的直升机上跳下, 经过2 s拉开绳索开启降落伞, 如图1 所示是跳伞过程中的v - t图, 试根据图象求: ( g取10 m/s2) ( 1) t = 1s时运动员的加速度和所受阻力的大小. ( 2) 估算14 s内运动员下落的高度及克服阻力做的功.

解析: (1) 从图1中可以看出, 在t=2 s内运动员做匀加速运动, 其加速度大小为

设此过程中运动员受到的阻力大小为Ff, 根据牛顿第二定律, 有mg - Ff= ma. 得Ff= m ( g - a) = 80× ( 10 - 8) N = 160 N.

(2) 从图1中估算得出运动员在14 s内下落了h=39.5×2×2 m=158 m.根据动能定理, 有.所以有

评析: 未知力的功和不均匀变化力的功只能用动能定理求解.

二、求解物体的速度 —— 滑雪运动的速度问题

如果物体在已知力的作用下运动, 物体的位移和初速度已知时, 可用动能定理求解物体的速度.

例2滑雪者从A点由静止沿斜面滑下, 经一平台后水平飞离B点, 地面上紧靠平台有一个水平台阶, 空间几何尺寸如图2 所示, 斜面、平台与滑雪板之间的动摩擦因数为 μ. 假设滑雪者由斜面底端进入平台后立即沿水平方向运动, 且速度大小不变, 求: 滑雪者离开B点时的速度.

解析: 设滑雪者的质量为m, 斜面倾角为 θ, 斜面长为s, 滑雪者在斜面上的受力如图3 所示, 则滑动摩擦力Ff1= μFN1= μmgcosθ.

滑雪者在平台上的受力如图4 所示, 则滑动摩擦力Ff2= μFN2= μmg .

滑雪者由A到B过程, 由动能定理可得: mg ( H -h) - μmgscosθ - μmg ( L - scosθ) = mv2/2 , 所以滑雪者离开B点的速度

评析: 在涉及摩擦阻力和路程时, 优先考虑动能定理. 需注意滑动摩擦力的功应是滑动摩擦力和路程的积, 凡是有机械能损失的过程, 都应该分段来计算摩擦力的功.

三、求解物体的位移 —— 轮船运动的位移问题

如果物体在已知恒力和功率恒定的变力作用下运动, 物体的运动时间和初、末速度已知时, 可由W = Pt先求出变力所做的功, 再由动能定理求解物体的位移.

例3一艘质量为m = 400 t的轮船, 以恒定功率P = 3. 5 × 106W从某码头由静止起航做直线运动, 经t0= 10 min后, 达到最大速度vm= 25 m / s. 此时船长突然发现航线正前方x0= 520 m处, 有一只拖网渔船正以v = 5 m/s的速度沿垂直航线方向匀速运动, 且此时渔船船头恰好位于轮船的航线上, 船长立即采取制动措施 ( 反应时间忽略不计) , 附加了恒定的制动力, 结果轮船到达渔船的穿越点时, 拖网的末端也刚好越过轮船的航线, 避免了事故的发生. 已知渔船连同拖网总长L = 200 m, 假设轮船所受阻力不变. 求: ( 1) 发现渔船时, 轮船已离开码头多远? ( 2) 轮船减速时的加速度多大? ( 3) 附加的制动力多大?

解析: (1) 设轮船已离开的位移为x1, 所受阻力为f, 由动能定理得, 又, 解得x1=1.41×104m.

( 2) 设轮船减速的时间为t, 则t = L /v, x0= vmt +at2/2, 解得a = - 0. 6 m / s2, 大小为0. 6 m/s2.

( 3) 设附加的恒定制动力为F, 由牛顿第二定律得- ( F + f) = ma. 解得F = 1. 0 × 105N.

评析: 求解机车等动力装置起动问题时应注意: ( 1) 公式P = Fv中的F仅是机车的牵引力, 而非车辆所受的合力, 这一点计算时及易出错. ( 2) 机车由静止开始以恒定功率P起动时间t后, 达到最大速度v, 则机车在时间t内的位移x ≠ v2/ ( 2a) . ( 3) 公式vt= v0+ at, x = v0t + at2/2, vt2- v02= 2ax等仅适用于匀变速直线运动, 而机车以恒定功率起动过程是变速直线运动, 故公式应用范围有限. 针对变加速直线运动问题应从动能定理来确定其位移.

动能定理内涵丰富, 解决问题简洁、实用, 是其他物理规律和定理无法比拟的, 应熟练掌握.

参考文献

16.勾股定理应用中的数学思想方法 篇十六

一、 分类思想

例1若直角三角形的三边长分别为2、4、x，则x的可能值为（）。

A. 1个 B. 2个 C. 3个D. 4个

解析本题没有说明4和x哪一个是斜边，故应分两种情况讨论：若4为斜边，则x为直角边，由勾股定理可得一值；若x为斜边，由勾股定理可得另一值。因此x的值有两个，答案选B。

二、 方程思想

例2在Rt△ABC中，两直角边之比为3∶4，斜边为30cm，求此直角三角形斜边上的高。

解析已知两直角边之比为3：4，可设两直角边为3x和4x，利用勾股定理建立方程求出x的值，再求斜边上的高就容易了。

设两直角边为3x和4x，利用勾股定理可得方程：（3x）２＋（4x）２＝30２，求出x的正值为x＝6。所以两直角边三、 数形结合思想

例3 如图1(1)是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的边长分别为a和b，斜边长为c。图1(2)是以c为直角边的等腰直角三角形。请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。请解答以下问题。

(1) 画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形；

(2)用这个图形证明勾股定理；

(3)假设图1(1)中的直角三角形有若干个，你能运用图1(1)中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗?请画出拼图后的示意图(无需证明)。

解析本题考查运用图形来说明代数等式（勾股定理）的能力，是数形结合思想的典型体现。

a2+b2=c2；(3)能拼出证明勾股定理的图形，如图3。

四、 转化思想

例4△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c。若∠Ｃ=90°，如图4(1)，根据勾股定理，则a2+b2=c2。若△ABC不是直角三角形，如图4(2)和图4(3)，请你类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2的关系，并证明你的结论。

解析可以作三角形的高，将斜三角形转化为直角三角形，再应用勾股定理来说明。

若△ABC是锐角三角形，则有a2+b2>c2；若△ABC是钝角三角形，∠Ｃ为钝角，则有a2+b2

当△ABC是锐角三角形时，证明如下：

过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图5所示，设CD为x，则有BD＝a-x。

根据勾股定理，得b2-x2=AD2=c2-（a-x）2，即b2-x2=c2-a2+2ax-x2，

∴a2+b2=c2+2ax。∵a>0，x>0，∴2ax>0。则a2+b2>c2。

当△ABC是钝角三角形时,证明如下：

过B作BD⊥AC，交AC的延长线于D,如图6，设CD为x，则有BD2=a2-x2。

根据勾股定理，得（b+x）2+a2-x2=c2，即a2+b2+2bx=c2。

17.勾股定理逆定理的五种应用 篇十七

一、教学目标

1．通过例题分析，使学生掌握使用动量定理时要注意：(1)对物体进行受力分析；(2)解题时注意选取正方向；(3)选取使用动量定理的范围。

2．通过对演示实验的分析，培养学生使用物理规律有条理地解释物理现象的能力。

二、重点、难点分析

动量定理的应用，是本节的重点。动量、冲量的方向问题，是使用动量定理的难点。

三、教具

宽约2cm、长约20cm的纸条，底部平整的粉笔一支。

四、主要教学过程(一)引入新课

物体动量的改变，等于作用力的冲量，这是研究力和运动的重要理论。它反映了动量改变和冲量之间的等值同向关系。下面通过例题，具体分析怎样使用动量定理。

(二)教学过程设计

例1．竖立放置的粉笔压在纸条的一端。要想把纸条从粉笔下抽出，又要保证粉笔不倒，应该缓缓、小心地将纸条抽出，还是快速将纸条抽出？说明理由。

在同学回答的基础上，进行演示实验。第一次是小心翼翼地将纸条抽出，现象是粉笔必倒。第二次是将纸条快速抽出。具体方法是一只手捏住纸条没压粉笔的一端，用另一只手的手指快速向下打击纸条中部，使纸条从粉笔下快速抽出。现象是粉笔几乎不动，仍然竖立在桌面上。

先请同学们分析，然后老师再作综合分析。

分析：纸条从粉笔下抽出，粉笔受到纸条对它的滑动摩擦力μmg作用，方向沿纸条抽出的方向。不论纸条是快速抽出，还是缓缓抽出，粉笔在水平方向受到的摩擦力的大小不变。在纸条抽出过程中，粉笔受到摩擦力的作用时间用t表示，粉笔受到摩擦力的冲量为μmgt，粉笔原来静止，初动量为零，粉笔的末动量用mv表示。根据动量定理有

μmgt=mv 如果缓慢抽出纸条，纸条对粉笔的作用时间比较长，粉笔受到纸条对它摩擦力的冲量就比较大，粉笔动量的改变也比较大，粉笔的底端就获得了一定的速度。由于惯性，粉笔上端还没有来得及运动，粉笔就倒了。

如果在极短的时间内把纸条抽出，纸条对粉笔的摩擦力冲量极小，粉笔的动量几乎不变。粉笔的动量改变得极小，粉笔几乎不动，粉笔也不会倒下。

练习：有一种杂技表演，一个人躺在地上，上面压一个质量较大的石板。另一个人手持大锤狠狠地打到石板上。问躺着的人是否会有危险？为什么？

请同学们判断结果，说明原因，老师最后再总结。由于铁锤打击石板的时间极短，铁锤对石板的冲量极小，石板的动量几乎不变，躺着的人不会受到伤害。

例2．质量1kg的铁球从沙坑上方由静止释放，下落1s落到沙子表面上，又经过0.2s，铁球在沙子内静止不动。假定沙子对铁球的阻力大小恒定不变，求铁球在沙坑里运动时沙子对铁球的阻力。(g=10m/s2)解法1：(用牛顿第二定律求解)铁球下落1s末，接触到沙坑表面时速度 v=gt=10×1m/s 铁球在沙子里向下运动时，速度由v=10m/s减小到零。铁球运动的加速度方向向上，铁球在沙子里运动时，受到向下的重力mg和沙子对它的阻力f。根据牛顿第二定律，以向上为正方向。f-mg=ma 沙子对铁球的作用力

f=mg+ma=1×(10+50)N=60N 解法2：(使用动量定理)铁球由静止下落1s末，到与沙子接触时速度为 v=gt=10×1m/s=10m/s 在沙子里运动时，铁球受到向下的重力mg和沙子对它向上的阻力f。以向上为正方向，合力的冲量为(f-mg)t，物体的动量由mv减小到零，动量的改变为0-mv。根据动量定理，(f-mg)t=-mv 沙子对铁球的阻力

说明：因为规定向上为正方向，速度v的方向向下，所以10m/s应为负值。解法3：(使用动量定理)铁球在竖直下落的1s内，受到重力向下的冲量为mgt1。铁球在沙子里向下运动时，受到向下的重力冲量是mgt2，阻力对它向上的冲量是ft2。取向下为正方向，整个运动过程中所有外力冲量总和为I=mgt1+mgt2-ft2。铁球开始下落时动量是零，最后静止时动量还是零。整个过程中动量的改变就是零。根据动量定理，mgt1+mgt2-ft2=0 沙子对铁球的作用力

比较三种解法，解法1使用了牛顿第二定律，先用运动学公式求出落到沙坑表面时铁球的速度，再利用运动学公式求出铁球在沙子里运动的加速度，最后用牛顿第二定律求出沙子对铁球的阻力。整个解题过程分为三步。解法2先利用运动学公式求出铁球落到沙子表面的速度，然后对铁球在沙子里运动这一段使用动量定理，求出沙子对铁球的阻力。整个过程简化为两步。解法3对铁球的整个运动使用动量定理，只需一步就可求出沙子对铁球的阻力。解法3最简单。通过解法3看出，物体在运动过程中，不论运动分为几个不同的阶段，各阶段、各个力冲量的总和，就等于物体动量的改变。这就是动量定理的基本思想。

课堂练习：

1．为什么玻璃杯掉到水泥地上就会摔碎，落到软垫上，就不会被摔碎？

2．质量5kg的物体静止在水平面上，与水平面间的动摩擦因数μ=0.2，物体在F=15N的水平恒力作用下由静止开始运动。物体运动到3s末水平恒力的方向不变，大小增大到F2=20N。取g=10m/s2，求F2作用于物体上的5s末物体的速度。

答案：13m/s。(三)课堂小结

通过例题分析，可以看出：

(1)使用动量定理时，一定要对物体受力进行分析。

18.《勾股定理的应用》教学设计 篇十八

——解决立体图形表面上最短路线的问题

贞丰县第二中学 李政法

一、内容及内容解析

1、内容

勾股定理的应用——解决立体图形表面上最短路线的问题。

2、内容解析

本节课是勾股定理在立体图形中的一个拓展，在初中阶段，勾股定理在求两点间的距离时，沟通了几何图形和数量关系，发挥了重要的作用，在中考中有席之地。启发学生对空间的认知，为将来学习空间几何奠定基础。

二、教学目标

1、能把立体图形根据需要部分展开成平面图形，再构建直角三角形，利用两点间线段最短勾股定理求最短路径径问题。

2、学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念;在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想。

3、通过有趣的问题提高学习数学的兴趣;在解决实际问题的过程中，培养学生的合作交流能力，体验数学学习的实用性，增强自信心，体现成功感。

三、教学重难点

【重点】：探索、发现立体图形展开成平面图形，利用两点间线段最短勾股定理求最短路径径问题。

【难点】：寻找长方体中最短路线。

四、教学方法

本课采用学生自主探索归纳教学法。教学中，学生充分运用多媒体资源及大量的实物教具和学具，通过观察、思考、操作，归纳。

五、教学过程

【复习回顾】

右图是湿地公园长方形草坪一角，有人避开拐角在草坪内走出了一条小路，问这么走的理论依据是什么？若两步为1m，他们仅仅少走了几步？

目的：1、复习两点之间线段最短及勾股定理，为新课做准备；2、激起学生保护环境意识和对社会主义核心价值观“文明、友善”的践行。

思考：

如图，立体图形中从点A到点B处，如何找到最短路线呢？

目的：引出课题。

【台阶中的最值问题】

三级台阶示意图如图所示，每级台阶的长、宽、高分别为5dm、3dm和1dm，请你想一想，一只蚂蚁从点 A 出发，沿着台阶面爬行到点 B，爬行的最短路线是多少？

老师活动：如果A、B两点在同一个平面上，直接连接两点即可求出最短路。但现在A、B两点不在同一个平面上，你们会怎样解决？（若学生想不到把立体图形展成平面图形时，适当引导学生用转化思想，把立体展开为平面）。

学生活动：学生独立完成，得出最短路线，完成解答过程；上台展示。

目的：学生能正确选择出最短路线，能否用流畅简洁的语言展示。

【小结】

展——>立体展开成平面

找——>找起点和终点

连——>连接起点和终点

构——>构建直角三角形

算——>运用勾股定理

目的：1、学生根据梯子模型，动手体验、感知，激发学习兴趣和帮助理解知识；

2.培养学生独立学习、归纳、排除能力。

【长方体中的最值问题】

如图，一只蚂蚁从长方体的顶点 A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点 B 处（三条棱长如图所示)，怎样走路线最短？最短路线长为多少？

活动一

教师活动：根据台阶中获得的经验，你会怎样解决这个问题？

学生活动：小组合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论后，展示，汇总各小组的答案（上台展示）；

目的：在台阶的基础上提升难度变为长方体，学生由浅入深，此环节培养学生小组合作交流能力。

活动二

教师活动：若把高、底长、宽换成a、b、c.学生活动：在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法，通过具体计算，比较，总结得出最短路线，结论：当长方体最长棱单独作为一直角边，较短的两边组成另一直角边时，距离最短。即当a>b>c时，最短为：

.目的：引导学生发现解决问题的最佳方法，学以致用。

【看谁算得又对又快】

1、在长2cm、宽1cm、高是4cm的长方体纸箱外部，一只蚂蚁从顶点A沿表面爬到B点，爬行最短的路线为 cm.

2、在长、宽都是3cm、高是8cm的长方体纸箱外部，用一根绳子把点A、点B连接起来，那么绳子的长度至少需要是 cm.3、如图是一个棱长为5的正方体，那么点A到点B的最短距离是。若棱长为a时，那么点A到点B的最短距离是。

目的：1.进行课堂检验，及时反馈，进行弥补；

2.从一般（长方体）到特殊（正方体）的转化。

【课堂小结】

目的：1．回顾问题的处理方法，知识形成，有效整合；2．培养学生数学思想、方法，数学素养。

【作业：必做题】

如图,圆柱体玻璃杯的底面直径为6 cm ,高为10 cm ,在杯内壁离杯口2 cm 的点 B 处有一滴蜂蜜，此时与点 B 相对的外壁点 A 处有一只蚂蚁，则蚂蚁从点 A 出发去点 B 处吃蜂蜜,则蚂蚁爬行的最短路程。（π取3 ,杯壁厚度不计）

【提高题】

1、如图，长方体的高为5cm，底面长为4cm，宽为1cm.点M离点B21cm.（1）点若一只蚂蚁沿长方体外表面从点M爬到点D1，则爬行的最短路程是多少？

目的：1.有效巩固知识点，增强知识的理解和运用；

2.分层作业满足不同层次学生，让部分学生在已有的经验上进行提高题变式的理解，给部分学生留思考空间，体验获取知识的成就感。