基本不等式的教学设计

基本不等式的教学设计（共15篇）

1.基本不等式的教学设计 篇一

基本不等式(一)的教学反思

高一数学 陈杰

本周上了《基本不等式》的公开课，应该说这次准备还是很充分的，但是在上课过程中还是出现了一些问题。下面我就这节课进行一些分析和反思。

我上的课是人教A版必修5第三章第四节第一个课时的内容：基本不等式：abab。教学思路是：第一，情境引入。课件上投影2出北京召开的第24届国际数学家大会的会标，让学生观察会标，并提出问题：你能从会标中找到一些相等或不等关系吗？从而引人新课。第二，探索新知。（1）引导学生发现并归纳出重要不等式：a2b22ab，还要给出不等式的证明，用作差法证明。强调注意等号成立的条件：a=b时。（2）由重要不等式引出基本不等式：abab2（a>0,b>0），强调a,b均为正数。然后给出基本不等式的证明，分析法，并说明基本不等式的几何意义。（3）比较两个不等式的异同。第三，知识应用。这里我给出了一个例题及两个习题，在讲解例题时，引出了“积定和最小”以及“和定积最大”。在讲解例题的时候，引导学生归纳出用基本不等式求两数的最值时。第四，归纳小结，布置作业。

以上是我对本节课的教学设计，是在查阅了一些资料和请教了一些老教师的意见后，根据学生的情况来进行设计的。但是在上课的过程中，存在着以下几个问题：（1）在引课的过程中，应该让学生自己动手折纸，进而发现规律。（2）在两个不等式的证明上讲得太快，一带而过，也没有给学生总结出证明不等式的一般方法：作差法，分析法，综合法等。这样学生以后再碰到不等式的证明时，可能还是会显得无从下手。（2）对于例题和练习题的选择也存在问题，这是基本不等式的第一课时，应该着重讲解基本不等式的练习，以及基本不等式使用的条件，而例题中给出求最值得问题应该放在第二课时。（4）我的讲解语言还不够精炼，可能也不够明白，有时候看到学生两眼迷茫的看着我。

总之，这次的课对于学生表现还是很满意，只是我自身的教学能力还需好好锻炼和加强。今后我会针对自己存在的问题，进行有针对性的学习和改进。

2.基本不等式的教学设计 篇二

关键词：高中数学,合作学习法,有效,应用

合作学习是独立学习基础上的更高一层次的学习方式,它要求学生不断向别人提出问题,解决别人提出的问题。在这个过程中,学生的学习兴趣会渐渐增强,学习能力会不知不觉地提升,能力的展示会获得更宽广的平台,同时,独立自主的学习能力也得到进一步的提升。高中数学课堂上的合作学习不妨突出这几点:

一、精细化教学目标提升学生思维能力

我们在进行一堂数学课教学时,需要针对教学内容进行教学目标的细化,让教学目标具有可实现性,易于完成。教师必须要明确教学活动的目地,保障教学设计的可操作性。教学活动的难度、数量和坡度应该适宜学生的能力,把学生的兴趣和经验作为教学的重要考虑因素。教师要耐心指导学生解决比较困难的问题,放手让学生尝试解决,但不能放任学生随意处理,以防学生找不到正确答案,在小组讨论中失去方向,这样会导致教学质量降低。举例说明,我们可以在基本不等式的练习课上设计如下问题:

第一:求函数的最小值

第二:求函数的最小值

第三:求函数y=x(3-x)(x≤x≤1)的最小值

第四:若x>0,y>0,且求x+y的最小值

经过几个逐渐深入的问题的探讨解决,学生们获得了数学知识,提高了思维能力,且对于数学的学习欲望大大加强。在老师的引导下,让学生以小组的形式进行讨论,把教学目标首先传达给学生,让学生以循序渐进地难度来对数学知识点进行了解。并学会利用已知知识来解决遇到的数学问题,突出了学生在学习中的主体地位。

二、评价中鼓励比评比更有效

每个学生的独立精神形成小组合作,小组并不是让大家形成同一思维,而是让学生们充分展现自身的个性。所以说,在对学习成果进行评价的过程中要结合学习过程中表现,在对个人评价的过程中要结合集体的表现,告诉学生们合作学习的过程更重要,让学生们充分体会合作学习的精神。拿上面的例子来说,教师不应该直接告诉学生们正确答案,应该有条理的推进。通过讲解原理让学生自己思考,沿着老师提供的思路,寻求解决方法:像前面两道题,学生得出答案后,教师应引导性的对学生的答案做评价,比如继续发问后面的条件加与不加有什么区别;学生得出后面两道题答案之后,教师及时做了评价,还要设问等号取不到的情况如何解决?这样及时评价,又引出学生更多思考的空间,能够提高学生思考能力。所以说,激励在小组活动中是非常重要的。让学生在一个充满了探索的过程中,不断地提高对数学知识的探索能力以及积极性。

三、通过练习让学生学会多种解题方法

再举个例子:求的最大值,其中:a>0,b>0,a+b=1。老师组织学生小组讨论过程中,相互探讨得出多种答案,培养学生独立思考、挖掘答案的习惯,老师只是学习过程中的引路人,陪伴者,抛弃“满堂灌”的教学方式,让学生不再被动接受知识,而是主动追随自身兴趣的引导来学习;学习了本节课的内容,学生在学习数学知识的基础上,不断深化学习内容,了解知识形成过程,让学生以较强的思维能力完成学习任务。在这个过程中,有的小组经过讨论,会得到几种解题的方法。比如:利用二次函数求最大值、利用函数求最值的方法以及巧妙换元等不同的解题方法。一直以来,如何让学生能够更有效率的在课堂学习中学到知识困扰着教育人员。事实上,以学生为主、让学生主动学习知识的课堂才是高效的课堂,这样的课堂能让学生充分掌握课堂知识,实实在在的提高学习能力。所以说,教师要做好充分心理准备来准备教学教材,了解学生状态,预想到学习过程中学生会面临的任何问题。时代在前进,教育课程也在改进,新课程要求学生不再是被动接纳知识,老师不再是满堂灌,学生对学习知识有了主动权,这样的转变提高了对教师的要求,教师要灵活应对学生学习过程中遇到的问题,还要把握教学进度。通过简单例子的练习,学生们明白合作学习要每个小组成员发挥自己能力来独立思考问题,与他人合作探讨问题答案,最后享受成功的快乐,这样高效的课堂对学生来说是提升自我的良好平台。

四、学生变身为“讲课人”

很多时候,通过学生们探讨查询,已然能总结出正确解决方法,老师要做的就是针对性的鼓励评价,补充解释比较复杂的问题。所以,教师要敢于放开,让学生们主动总结学习到的知识,拥有展现自我的机会。经过不断的联系巩固,学生们有能力分析解决问题的思路,有能力提出解决问题的方法。例如,很多学生通过小组合作学习的方式掌握基本不等式在求最值时的规律技巧:等式各项的要求就是正数,负数可以通过添加负号的方式使其变为正数;还有小组发现了不等式取等号的基本条件;其他小组挖掘出适合应用基本不等式形式的方法,即加减项配凑。学生主动摸索问题的解决方案和其中规律的效果比教师授课的效果要好的多。老师在整个过程中。尽量不要对学生的讲解进行打断,多去倾听学生的思路,不仅有助于能够及时发现学生在学习中出现的问题,还可以培养学生的发散性思维能力,对于提升高中数学教学质量有着非常大的促进作用。

五、结语

3.基本不等式教学感悟 篇三

利用基本不等求最值必须满足三个条件才可以进行，即一正，二定，三相等。其中一正是指各项为正数，二定是指“和”或“积”为定值，三相等指等号一定能取得到，这三个条件缺一不可。这是比较抽象的内容，尤其是“定”的相關变化比较灵活。因所带两个班级学生基础相当。因此我尝试采用两种不同的教学方式。在一个班级中用以往的教学模式，先引言引出基本不等式，再引导学生探究公式，再给出相应的练习题。很明显学生是依葫芦画瓢，对公式不是很理解，生搬硬套公式，稍微改变就不会了。在另一个班级我改变以往的教学方式，并没有立即对概念进行进一步的探索，而是在教学过程中让学生自己发现问题，独立思考，小组合作再想办法解决问题。例如，一正，我采用反证法。如果a<0，b<0，结果会怎样？立刻就有学生回答如果a<0，b<0，左边为正数，而右边为负数，不等式不成立。接着给出了两道练习题。

（1）已知y=x+（x>0），求函数的最小值。

（2）若a，的最小值。

让学生初步体会基本不等式的应用。紧接着又给出两道有难度的题，先让学生自己独立完成。学生在做题过程中遇到困难发现无法继续时，让学生分组讨论。

先让学生自己独立思考，再分组讨论。学生才能表述出自己的观点，融入自己的想法。

（3）已知y=sin t+（t∈0，），求函数的最小值。

（4）已知y=x+（x>2），求函数的最小值。

有小组的学生很快给出了第（3）小题的答案是4。此时有学生提出问题，第（3）小题有问题。公式中指出当且仅当a=b时取等号，那么只有当sin t=2时取等号，此时y≥4，函数的最小值为4。然而正弦函数最大值为1，sin t=2不成立。此时取不到等号，函数没有最小值。说明a=b这个条件不可缺。

4.基本不等式的教学设计 篇四

3.4.1 基本不等式的证明

南京师范大学附属中学 季人杰

教学目标：

1．探索并了解基本不等式的证明；

2．体会证明不等式的基本思想方法；

3．能应用基本不等式解决简单的不等式证明问题．

教学重点：

基本不等式的证明．

教学难点：

基本不等式的证明．

教学过程：

一、问题情境，导入新课

口述：有一个珠宝商人，很多人到他那里买的东西回家一称发现分量都有问题，于是向工商局投诉，工商局派人去调查，商人承认他用的天平左右的杆长有问题，向人们提出一个调解方案，放左边称变重对人们不公平，放右边称变轻商人要亏本，那么用两次称重的平均值作为物品的实际重量，如果你是购买者，你接受他的方案吗？

问题1 你能不能把这个问题转化成一个数学问题？

珠宝放左边称砝码显示重量为a，放右边称砝码显示重量为b，假设天平的左杠杆长为l1，右杠杆长l2，那么这个珠宝的实际重量是多少？（会算吗？用什么原理来算？你认为珠宝商的方案合理吗，那也就是

问题2 abab 哪个大？）2abab 哪个大？（你估计一下哪个大？）（如果回答取值代，2那么可以追问取一正一负行吗？如果回答作差，可以追问你估计一下哪个大？）

二、学生活动

aba0,b0)呢？

2请2个同学上黑板（巡视，有不同的解法让他上黑板写一下）． 问题

3如何证明

证法一（比较法）

：ab1

122

=20，222

ab时，取“=”．

证法二：要证

ab，2

只要证

a，b

只要证

0ab，只要证

02)

因为最后一个不等式成立，所以

时，取“＝”．

证法三：对于正数a,b，有)，0ab成立，即ab2

ab0，ab

 ab 2

先让学生谈一谈证的对不对，他这个证明方法有什么特点？

点评：回顾我们上面的证明过程，我们来看一下各种证法的特点：

证法一是比较法，比较法常用的就是作差将差值与零去比较；

证法二是分析法，分析法的特点是盯住我们要的目标，寻找结论成立的条件； 证法三是综合法，它们都是证明不等式的基本方法．

（看来珠宝商还是多赚钱的，只有a＝b时才是一个守法的商人啊．）

三、建构数学

定理：如果a,b是实数且(a0,b0)，那么

取“＝”）．

问题：对于这个定理你怎么认识它？（结构有什么特点啊？成立的条件是什么？什么叫当且仅当啊？）（上式中ab称为a,b

a,b的几何平均数，两个正2abab（当且仅当ab时

2数的算术平均数大于等于它们的几何平均数，有的时候我们也把这个定理写成．要用这个定理首先两个数必须都是非负数． ab2ab）

当ab时，取“＝”，并且只有当ab时，取“＝”，我们把这种等号成立的情况称之为当且仅当．

四、数学运用

例1 设a,b是正数，证明下列不等式成立：

ba1（1）2（2）a2 aba

（3）a2b22ab

（先让学生点评，对不对，关注格式与条件，他用什么方法来证明的？还有什么别的思路？）

点评：我们证明不等式通常有比较法，分析法，现在有了这个定理，也可以应用它来证明

什么时候取等号？

师：我们现在已经对这个不等式有了一定的认识了，你能不能从图形的角度来认识一下它呢？

有线段AB长为a，线段BC长为b，你能找到

讲完了可以让另一个学生再解释一下）

a

b

2B

1,(x0)，求此函数的最小值． x例2（1）已知函数yx点评：什么是最小值，最小值就是大于等于一个数，你说大于等于2，那也大于等于1嘛，我能说最小值就是1吗？

（2）已知函数yx

（3）已知函数y2x

1,(x0)，求此函数的最大值； x1,(x1)，求此函数的最小值． x

1五、回顾小结

5.基本不等式教学设计 篇五

1、创设代数与几何背景，用数形结合的思想理解基本不等式;

2、从不同角度探索基本不等式的证明过程;

3、从基本不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路。

教学难点

1、对基本不等式从不同角度的探索证明;

2、通过基本不等式的证明过程体会分析法的证明思路。

教具准备 多媒体及课件

三维目标

一、知识与技能

1、创设用代数与几何两方面背景，用数形结合的思想理解基本不等式;

2、尝试让学生从不同角度探索基本不等式的证明过程;

3、从基本不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路，即由条件到结论，或由结论到条件。

二、过程与方法

1、采用探究法，按照联想、思考、合作交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学;

2、教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用;

3、将探索过程设计为较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣。

三、情感态度与价值观

1、通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学，培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯;

2、学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量;

3、通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘、数学的简洁美、数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣。

教学过程

导入新课

探究：上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客，你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗?

(教师用投影仪给出第24届国际数学家大会的会标，并介绍此会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。通过直观情景导入有利于吸引学生的注意力，激发学生的学习热情，并增强学生的爱国主义热情)

推进新课

师 同学们能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗?如何找?

(沉静片刻)

生 应该先从此图案中抽象出几何图形。

师 此图案中隐含什么样的几何图形呢?哪位同学能在黑板上画出这个几何图形?

(请两位同学在黑板上画。教师根据两位同学的板演作点评)

(其中四个直角三角形没有画全等，不形象、直观。此时教师用投影片给出隐含的规范的几何图形)

师 同学们观察得很细致，抽象出的几何图形比较准确。这说明，我们只要在现有的基础上进一步刻苦努力，发奋图强，也能作出和数学家赵爽一样的成绩。

(此时，每一位同学看上去都精神饱满，信心百倍，全神贯注地投入到本节课的学习中来)

[过程引导]

师 设直角三角形的两直角边的长分别为a、b，那么，四个直角三角形的面积之和与正方形的面积有什么关系呢?

生 显然正方形的面积大于四个直角三角形的面积之和。

师 一定吗?

(大家齐声：不一定，有可能相等)

师 同学们能否用数学符号去进行严格的推理证明，从而说明我们刚才直觉思维的合理性?

生 每个直角三角形的面积为，四个直角三角形的面积之和为2ab。正方形的边长为，所以正方形的面积为a2+b2，则a2+b2≥2ab。

师 这位同学回答得很好，表达很全面、准确，但请大家思考一下，他对a2+b2≥2ab证明了吗?

生 没有，他仍是由我们刚才的直观所得，只是用字母表达一下而已。

师 回答得很好。

(有的同学感到迷惑不解)

师 这样的叙述不能代替证明。这是同学们在解题时经常会犯的错误。实质上，对文字性语言叙述证明题来说，他只是写出了已知、求证，并未给出证明。

(有的同学窃窃私语，确实是这样，并没有给出证明)

师 请同学们继续思考，该如何证明此不等式，即a2+b2≥2ab。

生 采用作差的方法，由a2+b2-2ab=(a-b)2，∵(a-b)2是一个完全平方数，它是非负数，即(a-b)2≥0，所以可得a2+b2≥2ab。

师 同学们思考一下，这位同学的证明是否正确?

生 正确。

[教师精讲]

师 这位同学的证明思路很好。今后，我们把这种证明不等式的思想方法形象地称之为“比较法”，它和根据实数的基本性质比较两个代数式的大小是否一样。

生 实质一样，只是设问的形式不同而已。一个是比较大小，一个是让我们去证明。

师 这位同学回答得很好，思维很深刻。此处的比较法是用差和0作比较。在我们的数学研究当中，还有另一种“比较法”。

(教师此处的设问是针对学生已有的知识结构而言)

生 作商，用商和“1”比较大小。

师 对。那么我们在遇到这类问题时，何时采用作差，何时采用作商呢?这个问题让同学们课后去思考，在解决问题中自然会遇到。

(此处设置疑问，意在激发学生课后去自主探究问题，把探究的思维空间切实留给学生)

[合作探究]

师 请同学们再仔细观察一下，等号何时取到。

生 当四个直角三角形的直角顶点重合时，即面积相等时取等号。

(学生的思维仍建立在感性思维基础之上，教师应及时点拨)

师 从不等式a2+b2≥2ab的证明过程能否去说明。

生 当且仅当(a-b)2=0，即a=b时，取等号。

师 这位同学回答得很好。请同学们看一下，刚才两位同学分别从几何图形与不等式两个角度分析等号成立的条件是否一致。

(大家齐声)一致。

(此处意在强化学生的直觉思维与理性思维要合并使用。就此问题来讲，意在强化学生数形结合思想方法的应用)

板书：

一般地，对于任意实数a、b，我们有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立。

[过程引导]

师 这是一个很重要的不等式。对数学中重要的结论，我们应仔细观察、思考，才能挖掘出它的内涵与外延。只有这样，我们用它来解决问题时才能得心应手，也不会出错。

(同学们的思维再一次高度集中，似乎能从不等式a2+b2≥2ab中得出什么。此时，教师应及时点拨、指引)

师 当a>0,b>0时，请同学们思考一下，是否可以用a、b代替此不等式中的a、b。

生 完全可以。

师 为什么?

生 因为不等式中的a、b∈R。

师 很好，我们来看一下代替后的结果。

板书：

即 (a>0,b>0)。

师 这个不等式就是我们这节课要推导的基本不等式。它很重要，在数学的研究中有很多应用，我们常把叫做正数a、b的算术平均数，把ab叫做正数a、b的几何平均数，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

(此处意在引起学生的重视，从不同的角度去理解)

师 请同学们尝试一下，能否利用不等式及实数的基本性质来推导出这个不等式呢?

(此时，同学们信心十足，都说能。教师利用投影片展示推导过程的填空形式)

要证：，①

只要证a+b≥2，②

要证②，只要证：a+b-2≥0，③

要证③，只要证：④

显然④是成立的，当且仅当a=b时，④中的等号成立，这样就又一次得到了基本不等式。

(此处以填空的形式,突出体现了分析法证明的关键步骤，意在把思维的时空切实留给学生，让学生在探究的基础上去体会分析法的证明思路，加大了证明基本不等式的探究力度)

[合作探究]

老师用投影仪给出下列问题。

如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DD′，连结AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗?

(本节课开展到这里，学生从基本不等式的证明过程中已体会到证明不等式的常用方法，对基本不等式也已经很熟悉，这就具备了探究这个问题的知识与情感基础)

[合作探究]

师 同学们能找出图中与a、b有关的线段吗?

生 可证△ACD ∽△BCD,所以可得。

生 由射影定理也可得。

师 这两位同学回答得都很好，那ab与分别又有什么几何意义呢?

生表示半弦长，表示半径长。

师 半径和半弦又有什么关系呢?

生 由半径大于半弦可得。

师 这位同学回答得是否很严密?

生 当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时可取等号，所以也可得出基本不等式 (a>0,b>0)。

课堂小结

师 本节课我们研究了哪些问题?有什么收获?

生 我们通过观察分析第24届国际数学家大会的会标得出了不等式a2+b2≥2ab。

生 由a2+b2≥2ab,当a>0，b>0时，以、分别代替a、b，得到了基本不等式 (a>0,b>0)。进而用不等式的性质，由结论到条件，证明了基本不等式。

生 在圆这个几何图形中我们也能得到基本不等式。

(此处，创造让学生进行课堂小结的机会，目的是培养学生语言表达能力，也有利于课外学生归纳、总结等学习方法、能力的提高)

师 大家刚才总结得都很好，本节课我们从实际情景中抽象出基本不等式。并采用数形结合的思想，赋予基本不等式几何直观，让大家进一步领悟到基本不等式成立的条件是a>0，b>0，及当且仅当a=b时等号成立。在对不等式的证明过程中，体会到一些证明不等式常用的思路、方法。以后，同学们要注意数形结合的思想在解题中的灵活运用。

布置作业

活动与探究：已知a、b都是正数，试探索, ,,的大小关系，并证明你的结论。

分析：(方法一)由特殊到一般，用特殊值代入，先得到表达式的大小关系，再由不等式及实数的性质证明。

(方法二)创设几何直观情景。设AC=a,BC=b，用a、b表示线段CE、OE、CD、DF的长度，由CE>OE>CD>DF可得。

板书设计

基本不等式的证明

一、实际情景引入得到重要不等式

a2+b2≥2ab

二、定理

若a>0，b>0

课后作业：

6.基本不等式教学反思 篇六

我对这节课做了如下的反思：

一．在教学过程中要充分发挥学生的主体地位

在课堂上，无论是新教师还是老教师，通常会把自己当做课堂上的主人而过多的会忽略学生的主体地位；或者学生会因为长时间的习惯于听老师来讲解而忘记自己是课堂的主人。

在这节课中，我设计了多个让学生讨论的环节，但是当我说了同学们可以和自己的同桌讨论一下自己获得的结论之后教室里还是会很安静。这样的课堂活动经过了一分钟后，我不得不自己来讲解我设计好的问题。此时我感觉到这节课已经失败了，因为我占据了本该属于学生的时间。

二．要设计好教学问题

在教学中应合理设计教学中所要用的问题，我设计的学生互动环节为什么没有成功呢？我想很大的原因是我没有设计好问题，在提问题时没有明确我要求他们要给我什么样的结果。在这节课中，我大部分的问题都是这样问的：请同学们自己首先来做一下这道题目，然后跟自己的同桌讨论一下自己的结果是否正确。当学生听到这样的问题时，他们首先会自己一个人去完成题目，而不会跟自己的伙伴合作完成。而且在数学教学中对问题的梯度设计很重要，因为新课程很强调概念的形成过程，而概念的产生是一个抽象的过程，所以在教学时要非常好的展示给学生概念是怎么产生的，而这个教学环节就要求教师能够设计好问题的梯度。三．要学会设计有深度的问题

在本节课的教学中，我问的最多的问题就是：同学们明白了没有啊，或者对不对啊，是不是这样的啊这些肤浅的问题。而从课堂效果看，这些问题并没有调动学生的学习积极性，学生也只是机械的回答一下：是或者不是，对或者不对。使学生跟老师之间的沟通成了一种机械的问答过程。所以在以后的教学中我应该更加重视对问题深度的要求。

7.基本绝对值不等式解法的一个讨论 篇七

数学的美学原则[1]中指出数学的一种美是简洁美[2]. 数学之美, 首先在于其内容或许复杂而深奥, 但形式常常很简单[3,4]. 上述表示法还有没有更简单的表达形式呢? 笔者通过这些年的教学实践发现, 利用集合知识结合显现矛盾, 可以让上述解法的表述更简单一些, 即不管a < 0还是a > 0, 都有| x|< a的解是 - a < x < a; ( 2) | x | > a的解是x < - a或x > a.

例如, 按上述简化表达: 对于| x| < - 3, 这里a = - 3, 解该是 - ( -3) < x < -3, 即3 < x < -3; 利用交集思想{ x|3 < x < 3} 结合显现出的矛盾3 < - 3, 解集自然是空集; 这种方法得到的结果与教材的结果仍然是一致的; 对于|x| > -3的解该是x< - ( - 3) 或x > - 3, 即x < 3或x > - 3; 利用并集思想{ x | x >- 3或x < 3} , 当然这时就不存在矛盾了, 即解集是R; 这也与教材的结果一致.

作为推广, 由换元法, 函数的情况也一样, 即一般的, 不管a< 0还是a > 0都有| f ( x) | < a的解法是 - a < f ( x) < a; ( 2) | f ( x) | > a的解法是f ( x) < - a或f ( x) > a. 因为不知道f ( x) 具体形式这里应该提解法而不是解集.

例如, |x2- 2x - 4 | < - 1的解法该是 - ( - 1) < x2- 2x - 4< - 1, 即1 < x2- 2x - 4 < - 1; 利用交集思想或显现的矛盾是1< - 1, 即解集是空集. | x2- 2x - 4 | > - 1的解法该是x2- 2x - 4< - ( - 1) 或x2- 2x - 4 > - 1, 即x2- 2x - 4 < 1或x2- 2x - 4 >- 1; 利用并集思想其解集是全集即R. 这些都与教材上的结果一致.

但是, 我发现并不是所有学生主动接受这种方法, 因为在解的过程中要么出现了矛盾, 比如, 3 < x < -3, 这种矛盾还被当做结果明显的写了出来, 要么出现了极其和谐不矛盾的情况, 比如x < - ( -3) 或x > -3. 前一种情况, 学生是害怕矛盾不敢写, 后一种情况, 学生是觉得没有矛盾, 不值得写. 而这种方法, 就是在于要么显现矛盾, 要么展示和谐; 结合集合中的交集或并集得到不等式的解集. 这种解法或者表达法的好处是推广了x > a到a < 0, a > 0都可以, 从而使解法更具一般性. 同样对a =0时也适合, 有兴趣的读者不妨试试. 由此, 基本绝对值不等式的解法可以更加简洁地表述为: | f ( x) | < a的解法是 - a a的解法是f ( x) < - a或f ( x) > a.

作为一种更简洁的表述, 大多数学生都觉得容易记忆; 特别是一些学习成绩好的, 爱探索问题的学生, 更愿意接受. 作为一种教学探索, 渐渐地, 多数, 大多数学生也觉得简单明了, 也接受了. 作为交流研讨, 希望得到各位专家同仁建议和批评指正.

参考文献

[1]朱雁.我看数学教育中的美学原则[J].数学通报, 2000 (11) :16-18.

[2]李广全, 李尚志.数学[M].北京:高等教育出版社, 2009 (6) :34.

[3]吴军.数学之美[M].北京:人民邮电出版社, 2012 (6) .

8.基本不等式的变形技巧 篇八

一、配凑

1. 凑系数

例1 求[y=x(8-2x)(0

分析 由[00]，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子的积的形式，但其和不是定值．注意到[2x+(8-2x)=8]为定值，故只需将[y=x(8-2x)]凑上一个系数即可．

解 ∵[00].

∴[y=x(8-2x)=12[2x(8-2x)]]

[12(2x+8-2x2)2]=8，

当且仅当[2x=8-2x]即[x=2]时取等号.

∴当[x=2]时，[y=x(8-2x)]的最大值为8.

点拨 本题无法直接运用均值不等式求解，但凑上系数后即可得到和为定值，就可利用均值不等式求得最大值．

2. 凑项

例2 己知[x<54]，求函数[f(x)=4x-2+14x-5]的最大值．

分析 由已知[4x-5<0]，首先调整符号，又[(4x-2)⋅14x-5]不是定值，故需对[4x-2]进行凑项，得到定值.

解 ∵[x<54]，∴[5-4x>0].

∴[f(x)=4x-2+14x-5]

[=-(5-4x+15-4x])＋3

≤-2[(5-4x)⋅15-4x]+3=-2+3=1，

当且仅当[5-4x=15-4x]，即[x=1]时等号成立.

∴当[x=1]时，[f(x)]的最大值为1.

点拨 本题既要调整项的符号，又要配凑项，使其积为定值．

3. 分离

例3 求[y=x2+7x+10x+1(x≠-1)]的值域.

分析 本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出[(x+1)]，再将其分离．

解 [y=x2+7x+10x+1=(x+1)2+5(x+1)+4x+1]

[=(x+1)+4x+1+5.]

（1）当[x+1＞0], 即[x>-1]时，

[y2(x+1)⋅4x+1+5]=9，

当且仅当[x=1]时取等号.

（2）当[x+1<0]，即[x<-1]时,

[y5-2(x+1)⋅4x+1]=1，

当且仅当[x=-3]时取等号.

∴[y]的值域为(-∞,1]∪[9,+∞).

点拨 分式函数求最值，通常化成[y=Mg(x)]+[Ag(x)][+B(A>0,M>0,g(x)]恒正或恒负)的形式，然后运用均值不等式来求最值．

二、整体代换

例4 已知[a>0,b>0]，[1a+1b=1],求[t=a+2b]的最小值.

分析 不妨将[a+2b]乘以1，将1用[1a+1b]代换.

解 [(a+2b)⋅1=(a+2b)(1a+1b])

[=3+2ba+ab3+22ba⋅ab=3+22],

当且仅当[2ba=ab]时取等号.

由[2ba=ab,1a+1b=1,]得[a=2+1,b=22+1.]

即[a=2+1,b=22+1,][t=a+2b]的最小值为[3+22].

点拨 本题巧妙运用“1”的代换，得到[t=3+2ba+ab],而[2ba]与[ab]的积为定值，即可用均值不等式求得[t=a+2b]的最小值．

三、换元

例5 求函数[y=x+22x+5]的最大值．

分析 变量代换，令[t=x+2]，则[x=t2-2][(t0)]，[y=t2t2+1=12t+1t]，再利用均值不等式即可.

解 令[t=x+2], [x=t2-2(t0)],则[y=t2t2+1.]

（1）当[t=0]时，[y=0].

（2）当[t＞0]时，[y=12t+1t122t⋅1t=24]，当且仅当[2t=1t]，即[t=22]时取等号.

∴[x=-32]时,[ymax=24].

点拨 本题通过变量代换，使问题得到简化，将问题转化成熟悉的分式型函数的最值问题，从而为构造“积为定值”创设了有利条件．

四、取平方

例6 求函数[y=2x-1+5-2x(12

分析 注意到[2x-1]与[5-2x]的和为定值．

解 [y2=(2x-1+5-2x)2]

[=4+2(2x-1)(5-2x)4+(2x-1)+(5-2x)=8,]

又[y>0]，∴[0

当且仅当[2x-1=5-2x]，即[x=32]时取等号，

∴[ymax=22].

点拨 本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件．

总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正、二定、三相等”，同时还要注意一些变形技巧，创造条件利用均值不等式．

9.基本不等式教学反思200711 篇九

周开芹

根据新课标的要求，本节的重点是应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程，难点是用基本不等式求最值。本节课是基本不等式的第一课时。

因此我在本节课的设计中通过动画和图形的演示，让学生看到基本不等式的几何意义，直观生动。也从代数证明和几何证明两方面说明基本不等式的正确性。由于要求学生在课前预习，并辅以多媒体，所以整个引入过程比较快。

在新课讲解方面，我仔细研读教材，发现本节课主要是让学生明白如何用基本不等式求最值。如何用好基本不等式，需要学生理解六字方针：一正二定三等。这是比较抽象的内容。尤其是“定”的相关变化比较灵活，不可能在一节课解决。因为我把这部分内容放到第二节课。本节课主要让学生掌握“正”“等”的意义。

我设计从例一入手，第一小题就能说明“积定和最小”，第二小题说明“和定积最大”。通过这道例题的讲解，让学生理解“一正二定三等”。然后再利用这六字方针就最值。这是再讲解例二，让学生熟悉用基本不等式解题的步骤。然后让学生自己解题。

巩固练习中设计了判断题，让学生理解六字方针的内涵。还从“和定”、“积定”两方面设计了相关练习，让学生逐步熟悉基本不等式求最值的方法。

课堂实施的过程中以学生为主体。包括课前预习，例题放手让学生做，还有练习让学生上台板书等环节，都让学生主动思考，并在发现问题的过程中展示典型错误，及时纠错，达到良好的效果。由于层次清晰，学生掌握得比较好。

不足之处是硬件调试没有到位，影响了上课的效果和速度。对于关键词“当且仅当”没有及时为学生讲解；题目的难度可以适当加大，让基础好能力强的学生得到更充分的锻炼。

10.等式的基本性质教学反思 篇十

一、操作验证，培养探索能力。在探究等式的性质（关于乘除的）时，安排了两次操作活动。首先让学生把一个等式两边同时乘或除以同一个数，然后思考讨论：所得结果还会是等式吗？引导学生发现所得结果仍然是等式。然后再让学生把等式两边同时乘或除以“0”，结果怎么样？通过两次实践活动，学生亲自参与了等式的性质发现过程，真正做到“知其然，知其所以然”，而且思维能力、空间感受能力、动手操作能力都得到锻炼和提高。

二、发散思维，培养解决问题能力

11.基本不等式的应用专题复习 篇十一

一、 考纲要求

基本不等式在江苏省自主命题考试中属于C级考点，考纲中要求学生能系统地掌握其知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题。与基本不等式相关的主要知识点有：

二、 难点疑点

1. 在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正、二定、三相等”，若忽略了某个条件，就会出现错误。

2. 运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2+b2≥2ab逆用就是ab≤a2+b22；a+b2≥ab（a、b>0）逆用就是ab≤a+b22 （a、b>0）等。还要注意“添项、拆项”技巧和公式等号成立的条件。

3. 基本不等式是几个正数的和与积转化的依据，不仅可以直接解决和与积的不等问题，而且通过结合不等式的性质、函数的单调性，还可以解决其他形式的不等问题。

4. 利用基本不等式求解与其他知识的综合问题时，列出有关量的函数关系式或方程是用基本不等式求解或转化的关键。

三、 例题精析

12.基本不等式的教学设计 篇十二

一、“1”的妙用

例1 若点A ( 1, 1) 在直线mx + ny - 2 = 0 上, 其中m, n > 0, 则的最小值为______.

解析:由题意有m+n-2=0, 即, 则, 当m=n=1时等号成立, 故最小值为2.

评注:这种方式利用1乘以任何数都不改变其值的性质来整体代换, 将代数式化成齐次式, 目的是为应用基本不等式两数相乘时提供定值.用这种方式也可以求的最小值, 即

变式1: 设a + 2b = 3, b > 0, 则的最小值为______.

解析:, 当a=-3, b=3时等号成立, 故的最小值为.

变式2:设x, y非负实数, 且x+y=1, 则的最小值是.

解析:由x+y=1知 (x+2) + (y+1) =4, 则当x=0, y=1时等号成立, 故的最小值是1.

二、换元法

例2 已知x, y ∈ R+, 且, 则x + y的最大值是 ( )

解析:设t=x+y>0, 则由已知有, 整理得t2-5t+4≤0, 解得1≤t≤4, 故x+y≤4, 当x=y=2时等号成立, 从而选 (C) .

评注: 题目涉及到x + y和xy, 利用基本不等式将xy沟通到目标式x + y, 换元后通过解不等式的方式求出x + y的取值范围. 类似地, 在同样的条件下我们可以求出xy的最大值为4. 有时候换元是为了使问题更简洁, 转化为熟悉的问题.

变式3: 已知实数x, y满足x > y > 0, 且x + y = 2, 则的最小值为______.

解析:设a=2x+4y>0, b=x-y>0, 则a+b=3 (x+y) =6, 故, 当时等号成立, 故为所求.

三、适当拼凑组合

例3 已知a>b, 且ab=1, 则的最小值是______.

解析:因为ab=1, 所以, 故为所求.

评注: 分母a - b比较难处理, 则分子朝分母的方向改造, 拼凑出a - b的结构.

变式4: 已知实数x, y满足xy = 1, 且x > 2y > 0, 则的最小值为______.

解析:, 故4为所求.

例4 已知a, b, c均为正实数, 且2a + b + c = 1, 则a2+ ac + ab + bc的最大值为______.

解析: 由基本不等式, 有, 故为所求.

评注: 此题初看疑似无路, 因式分解后思路豁然开朗.

变式5: 若正数a, b, c满足c2+ 4bc + 2ac + 8ab =8, 则a + 2b + c的最小值为______.

解析: 由基本不等式, 有, 从而, 故为所求.

四、待定系数法

例5 若x2- xy + 2y2= 4, 则3x2+ 4y2的最大值为______.

解析:设λ>0, 则.得λ=2, 此时, 即3x2+4y2≤16, 当x=2, y=1时等号成立, 故16为所求.

评注: 在拆分式子应用基本不等式时, 有时候对怎么拆分拼凑比较迷茫, 此时可借助参数先朝目标式拆分, 再根据理想状态列出方程求解其中的参数.

变式6: 若正实数x, y, z满足x2+ y2+ z2= 1, 则xy+ 2yz的最大值为______.

解析: 设0 < λ < 1, 则, 两式相加, 得, 解得, 此时, 即, 故为所求.

五、消元

例6 已知实数x, y满足xy + 1 = 2x + y, 且x >1, 则 ( x + 1) ( y + 2) 的最小值为______.

解析:由xy+1=2x+y知, 则, 故为所求.

评注: 由已知条件有 ( x - 1) y = 2x - 1, 另一条件x> 1 暗示着可消元求解. 消元后应用基本不等式具有一定技巧性, 也可以利用导数来求解.

变式7:设正实数x, y满足, 则实数x的最小值为______.

解析:由有yx2- (y2+1) x-y=0, 由求根公式求得此方程的正根, 当y=1时等号成立, 故为所求.

六、多次应用基本不等式

例7 正实数a, b满足2a + b = 1, 则的最小值为______.

解析:由基本不等式, 有, 则, 故, 当时等号成立, 故为所求.

评注: 多次应用基本不等式要注意等号要能同时被取到, 因此第二次应用基本不等式时将拆分成. 也可以换元, 利用对勾函数的单调性求解.

变式8:已知a>2, b>2, 则的最小值为______.

解析:设x=a-2>0, y=b-2>0, 则, 当x=y=2即a=b=4时等号成立, 故16为所求.

摘要：文章从“1”的妙用、换元法、适当拼凑组合、待定系数法、消元和多次应用基本不等式等六个方面介绍如何应用基本不等式解题.

13.基本不等式的教学设计 篇十三

教法与学法：

1. 教学理念： “ 人人学有用的数学”

2. 教学方法：观察法、引导发现法、讨论法．

3. 教学手段：多媒体应用教学

4. 学法指导：尝试，猜想，归纳，总结

根据《数学课程标准》的要求，教材和学生的特点，我制定了以下四个教学环节。

下面我将具体的教学过程阐述一下：

一、创设情境，导入新课

上课伊始，我将用一个公园买门票如何才划算的例子导入课题。

世纪公园的票价是：每人5元；一次购票满30张，每张可少收1元。某班有27名团员去世纪公园进行活动。当领队王小华准备好了零钱到售票处买27张票时，爱动脑筋的李敏同学喊住了王小华，提议买30张票。但有的同学不明白，明明我们只有27个人，买30张票，岂不是“浪费”吗？

（此处学生是很容易得出买30张门票需要4X30=120（元）, 买27张门票需要5X27=135（元）,由于120〈135，所以买30张门票比买27张还要划算。由此建立了一个数与数之间的不等关系式）

紧接着进一步提问：若人数是x时，又当如何买票划算？

二、探求新知，讲授新课

引例列出了数与数之间的不等关系和含有未知量120<5x的不等关系。那么在不等式概念提出之前，先让学生回顾等式的概念，“类比”等式的概念，尝试着去总结归纳出不等式的概念。使学生从一个低起点，通过获得成功的体验和克服困难的经历，增进应用数学的自信心，为下面的学习调动了积极。

接下来我用一组例题来巩固一下对不等式概念的认知，把表示不等量关系的常用关键词提出。

（1）a是负数；

（2）a是非负数；

(3) a与b的和小于5；

(4) x与2的差大于－1；

(5) x的4倍不大于7；

(6) 的一半不小于3

关键词：非负数，非正数，不大于，不小于，不超过，至少

回到引入课题时的门票问题120<5x，我们希望知道X的取植范围，则须学习不等式的性质，通过性质的学习解决X的取植

难点突破：通过上面三组算式，学生已经尝试着归纳出不等式的三条基本性质了。不等式性质3是本节的难点。在不等式性质3用数探讨出以后，换一个角度让学生想一想，是否能在数轴上任取两个点，用相反数的相关知识挖掘一下，乘以或除以一个负数时，任意两个数比较是否性质3都成立。通过“数形结合”的思想，使数的取值从特殊化到一般化，从对具体数的感知完成到字母代替数的升华。让学生用实例对一些数学猜想作出检验，从而增加猜想的可信程度。同时，让学生尝试从不同角度寻求解决问题的方法并能有效地解决问题。

反馈练习：用一个小练习巩固三条性质。

如果a>b，那么

(1) a-3 b-3 (2) 2a 2b (3) -3a -3b

提出疑问，我们讨论性质2，3是好象遗忘了一个数0。

引出让学生归纳，等式与不等式的区别与联系

三、拓展训练

根据不等式基本性质，将下列不等式化为“<”或“>”的形式

（1）x-1<3 （2）6x<5x-2 （3）x/3<5 -4x=“”>3

再次回到开头的门票问题，让学生解出相应的x的取值范围

四、小结

1．新知识

一个数学概念；两种数学思想；三条基本性质

2.与旧知识的联系

等式性质与不等式性质的异同

五、作业的布置

以上是我对这节课的教学的看法，希望各位专家指正。谢谢！

14.基本不等式的教学设计 篇十四

【学习目标】

掌握利用基本不等式求参数范围

在使用均值不等式过程中，要注意定理成立的条件，为能使用定理解题，要采用配凑法、换元法，创造条件应用均值不等式。

通过运用基本不等式解决实际应用性问题，提高应用数学手段解决实际问题的能力与意识。

能应用均值不等式解决最值

【学习重点】

基本不等式求最值时，需满足“一正，二定，三相等”的条件

【学习难点】

基本不等式求参数的取值范围时，应注意的事项以及条件.[自主学习]

1．基本不等式，若a>b>0,m>0,则 ；

若a,b同号且a>b则。

2．均值不等式:

两个正数的均值不等式： 变形，等。

3．最值定理:设

（1）如果x,y是正数,且积,则xy时,（2）如果x,y是正数和,则x=y时,运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等

[典型例析]

例1（1）设且恒成立，求的取值范围？

变式训练

（1）若对任意，恒成立，则的取值范围是多少？

例2  如图所示动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．

(1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？

(2)要使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？

变式训练

（2）如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(如图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm.怎样确定广告牌的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告牌面积最小？

例3 已知且，则的最小值为（）

A.B.C.D.例4求函数的最大值

[当堂检测]

1.已知，则的最小值是.2.若x，y是正数，则的最小值是

3.函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为               ．

4．已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为

[学后反思]____________________________________________________ _______

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15.基本不等式的教学设计 篇十五

基本不等式说的是两个正数的算术平均数与几何平均数的大小关系, 对于n (n≥3) 个正数, 我们有如下推论:

推论:如果a1, a2, …, an都是正数且n≥3, 那么, 当且仅当a1=a2=…=an时, 等号成立.

下面本文例谈运用基本不等式及其推论求最值的技巧.

一、化负为正法

有的求最值问题不满足“一正”条件, 在运用基本不等式时, 需要化负为正.

【例1】已知0<x<1, 求函数y=log2x+16logx2+2的最大值.

解:因为0<x<1, 所以log2x<0, 所以, 当且仅当时, 等号成立.故y的最大值为-6.

练习1已知x<0, 求的最大值.

二、添凑法

有的题不满足“积为定值”的条件, 需要通过添加项使积为定值.

【例2】求的最小值.

解:因为x>3, 所以x-3>0, 所以, 当且仅当且x>3, 即x=5时, 等号成立.故y的最小值为10.

练习2已知x<3/2, 求的最大值.

三、拆凑法

有的求分式函数最值或值域的题, 不能直接运用基本不等式, 而需要先对原函数的分子 (或分母) 配方, 然后分子、分母同时除以分母 (或分子) , 构造基本不等式的形式求解.

【例3】求的最大值.

解:因为x>-1, 所以x+1>0, 所以, 当且仅当且x>-1, 即x=1时, 等号成立.故y的最小值为7.

练习3已知x>2, 求函数的最大值.

四、配系数法

有些题在运用基本不等式时, 不满足“和为定值”的条件, 需要在其中一个因式的前面配上适当的系数, 才能用基本不等式求解.

【例4】当0<x<2时, 求函数y=x (4-2x) 的最大值.

解:因为0<x<2, 所以0<4-2x<4, 所以, 当且仅当2x=4-2x且0<x<2, 即x=1时, 等号成立.故y=x (4-2x) 的最大值为2.

练习4若x>0, 且2x2+y2=2, 求的最大值.

五、条件推出问题法

对于有些给出条件等式求最值的题, 可以从条件等式出发, 推导出待求问题的结论.

【例5】已知x, y为正实数, 且3x+2y=10, 求的最大值.

练习5 (2011年全国高中数学联赛江西省预赛试题) 设x, y, z∈R+, x+y+z=1, 则函数f (x, y, z) =xy2z3的最大值是____.

六、乘1法

对于一些直接给出条件等式且等号右边为1的题, 可以巧用乘1法, 把待求式子看成是乘过1的, 1的位置用等号左边的式子代换.有的题尽管条件等式右边不是1, 但把条件等式右边化为1后, 也可用乘1法解.

【例6】已知x, y>0, 且x+2y=1, 求的最小值.

解:因为x+2y=1, 所以

当且仅当且x+2y=1, 即时, 等号成立.故的最小值为

练习6已知x, y>0, 且, 求x+y的最大值.

七、条件式子改造法

有些求最值的题虽然给出了条件等式, 但似乎用不上.这时, 需要对条件等式进行“脱胎换骨”的变形, 使其向待求问题靠拢.

【例7】已知x, y>0, 且2y+xy+x=30, 求的最小值.

解:由已知得2y+x=30-xy, 而, 所以, 即, 解得, 即0<xy≤18, 所以1/xy的最小值为1/18.

练习7已知x, y>0, 且2x+8y-xy=0, 求x+y的最小值.

总之, 理解和掌握了运用基本不等式及其推论求最值的解题技巧后, 在解某些与最值有关的题时, 灵活、巧妙运用这些技巧, 将会获得意想不到的效果.

摘要：基本不等式及其推论很好地呈现了几何平均数与算术平均数的大小关系, 是求某些与最值有关问题的有效工具, 是数学竞赛题的考点.而基本不等式是高中数学的一个重要不等式, 在解题中有着广泛的应用, 是历年高考考查的重点.运用基本不等式及其推论解一些与最值有关的问题时, 不但要牢记“一正、二定、三相等”的条件, 而且要灵活、巧妙地运用它们的解题技巧, 这样往往会收到事半功倍的效果.不管是高考还是数学竞赛, 一般都不会直接呈现基本不等式及其推论的形式, 而是需要答题者自己观察, 把问题进行适当的变形, 构造出满足基本不等式及其推论适用的条件, 然后运用基本不等式及其推论的解题技巧解答.