高中数学有关平面向量的公式的知识点总结

高中数学有关平面向量的公式的知识点总结（精选5篇）

1.高中数学有关平面向量的公式的知识点总结 篇一

向量：既有大小，又有方向的量.

数量：只有大小，没有方向的量.

有向线段的三要素：起点、方向、长度.

零向量：长度为的向量.

单位向量：长度等于个单位的向量.

相等向量：长度相等且方向相同的向量

&向量的运算

加法运算

AB+BC=AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。

已知两个从同一点O出发的两个向量OA、OB，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线OC就是向量OA、OB的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。

对于零向量和任意向量a，有：0+a=a+0=a。

|a+b|≤|a|+|b|。

向量的加法满足所有的加法运算定律。

减法运算

与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，-(-a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量。

(1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)。

数乘运算

实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，|λa|=|λ||a|，当λ > 0时，λa的方向和a的方向相同，当λ< 0时，λa的方向和a的方向相反，当λ = 0时，λa = 0。

设λ、μ是实数，那么：(1)(λμ)a = λ(μa)(2)(λμ)a = λa μa(3)λ(a ± b) = λa ±λb(4)(-λ)a =-(λa) = λ(-a)。

向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。

向量的数量积

已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cos θ叫做a与b的数量积或内积，记作a?b，θ是a与b的夹角，|a|cos θ(|b|cos θ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影。零向量与任意向量的数量积为0。

a.b的几何意义：数量积a.b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积。

两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。

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2.高中数学有关平面向量的公式的知识点总结 篇二

在高三复习教学的过程中,教师应站在新的高度把握向量的教学,这就要求教师应熟悉高考考试要求.《高考数学科考试说明》对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次( 在下表中分别用A,B,C表示) ,其中:

了解: 要求对所列知识的含义有最基本的认识,并能解决相关的简单问题;

理解: 要求对所列知识有较深刻的认识,并能解决有一定综合性的问题;

掌握: 要求系统地掌握知识的内在联系,并能解决综合性较强的或较为困难的问题.

下表是平面向量的考查要求:

从表中可以看出,教师在高三复习教学时没有必要盲目挖深,当然也不能要求过低. 而应根据学生的能力水平,以教科书为基础,紧扣考试说明,精心选题,以达到良好的教学效果,下面以具体的实例进行说明.

例1如图,OM∥AB,点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的区域内 ( 不含边界) 运动,且则x的取值范围是 ; 当时,y的取值范围是 .

解由向量加法的平行四边形法则,OP为平行四边形的对角线,该四边形应是以OB和OA的反向延长线为两邻边,∴x的取值范围是( - ∞ ,0) .

当时,要使P点落在指定区域内,即P点应落在线段DE( 不含端点) 上,,∴y的取值范围是

评析本题以平面向量基本定理为背景主要考查了平面向量的加法运算,本题的难点是要求学生能够理清平面中点P与平面的一组基底→OA,→OB的相对位置关系,需要学生有一定的分析和综合能力.

例2如图,在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AD = DC =1,AB = 3,动点P在△BCD内运动( 含边界) ,设,则α + β的取值范围是 .

解以A为原点,AB为x轴,AD为y轴建立如图所示的平面直角坐标系,设P( x,y) ,则( x,y) = α( 3,0) + β( 0,1) ,∴

,即Z表示直线的纵截距.

∵B( 3,0) ,D( 0,1) ,C( 1,1) ,∴DB的方程为BC的方程为x + 2y - 3 = 0.

根据图像,可得在DB边取得最小值1,在点C处取得最大值,∴α + β的取值范围是

评析平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言———“坐标语言”,其实质是“形”转化为“数”. 解决平面向量坐标运算的关键是熟练掌握坐标运算的法则,并注意向量运算的几何意义,其本质是根据相等的向量坐标相同这一原理解题. 本题将向量与不等式( 线性规划) 巧妙地结合在一起,这就提醒一线教师在复习巩固相关的平面向量知识时,既要注重回顾和梳理基础知识,又要注意平面向量与其他知识的综合运用,渗透用向量解决问题的思想方法,从而提高分析问题与综合运用知识解决问题的能力,站在新的高度来认识和理解向量.

3.高中数学有关平面向量的公式的知识点总结 篇三

贵州省黄平县旧州中学 杨胜万

在人教大纲版高二数学上册中,关于点到直线距离公式的推导方法,教材介绍了两种推导方法,并详细给出了利用直角三角形的面积公式推导得出点到直线的距离公式的具体过程。其实关于点到直线的距离公式的推导方法，除上述方法之外，还有其它很多方法，在这些方法中，向量法（利用平面向量的有关知识来推导的方法）是一种行之有效的推导方法。其推导思路简单明了、运算量也较小。下面笔者给出向量法推导点到直线的距离的具体过程，以供同行参考：

已知直线：

和点，为点

到直线的距离。现不妨设且，则直线的斜率为，其方向向量为，从而易知其法向量，又设点为直线上的任一点（如图所示），于是有：

由平面向量的有关知识，可得：

显然，当或

时，上述公式仍成立。

4.高中数学有关平面向量的公式的知识点总结 篇四

1、知道平面向量数量积的定义的产生过程，掌握其定义，了解其几何意义;

2、能够由定义探究平面向量数量积的重要性质;

3、能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直、共线关系

(二)过程与方法目标

(1)通过物理学中同学们已经学习过的功的概念引导学生探究出数量积的定义并由定义探究性质;

(2)由功的物理意义导出数量积的几何意义;

(三)情感、态度与价值观目标

通过本节的自主性学习，让学生尝试数学研究的过程，培养学生发现、提出、解决数学问题的能力，有助于发展学生的创新意识。

三、学习者特征分析 学生已经学习了有关向量的基本概念和基础知识，同时也已经具备一定的自学能力，多数同学对数学的学习有相当的兴趣和积极性。但在探究问题的能力、合作交流的意识等方面发展不够均衡，尚有待加强。 四、教学策略选择与设计 教法：观察法、讨论法、比较法、归纳法、启发引导法。

学法：自主探究、合作交流、归纳总结。

教师与学生互动：学生自主探究，教师引导点拨。 五、教学环境及资源准备 三角尺 六、教学过程 教学过程 教师活动 学生活动 设计意图及资源准备

创设情景引入新课

问题1 在物理学中，我们学过功的概念，如果给出力的大小和位移的大小能否求出功的大小? 师】：提出学生已学过的问题设置疑问，激发学生兴趣。

【生】：W=FS cos 让学生复习已学过的物理知识激发学生兴趣，并能够分析此公式的形式。 问题2 在上述公式中的 角是谁与谁的夹角?两向量的夹角是如何定义的? 【师】：提问 角从而引出两向量夹角的定义。

【生】：指出 角是力与所发生的位移的夹角 能够通过物理学中功的概念及公式中夹角的定义，从而给出两向量夹角的定义。

师生互动探索新知

1 引出两个向量的夹角的定义

定义：向量夹角的定义：设两个非零向量a=OA与b=OB，称∠AOB= 为向量a与b的夹角， (00≤θ≤1800)。

(此概念可由老师用定义的方式向学生直接接示)

【师】：给出任意两个向量由学生作出夹角并通过作图引导学生归纳、总结出两向量夹角的特征及各种特殊情况。

【生】：学生作图，任意两向量的夹角包括垂直，同向及反向的情况。

注：(1)当非零向量a与b同方向时，θ=00

(2)当a与b反方向时θ=1800 (共线或平行时)

(3)0与其它非零向量不谈夹角问题

(4)a⊥b时θ=900

(5)求两向量夹角须将两个向量平移至公共起点

实际应用巩固新知

1 实际问题我能行

5.上海八年级下平面向量知识点总结 篇五

●重难点突破

1.向量加法的运算及其几何意义。2.对向量加法定义的理解。3.向量的减法运算及其几何意义。4.对向量减法定义的理解。5.实数与向量积的意义。6.实数与向量积的运算律。

7.两个向量共线的等价条件及其运用。8.对向量共线的等价条件的理解运用。

●每课一记

一、求若干个向量的和的模(或最值)的问题通常按下列步骤进行：(1)寻找或构造平行四边形，找出所求向量的关系式；

(2)用已知长度的向量表示待求向量的模，有时还要利用模的重要性质。

二、1.向量的加法定义

向量加法的定义：如图3，已知非零向量A.b，在平面内任取一点A，作AB=a，BC=b，则向量AC叫做a与b的和，记作a+b，即a+b=AB+BC=AC。

求两个向量和的运算，叫做向量的加法。2.向量加法的法则：（1）向量加法的三角形法则 在定义中所给出的求象量和的方法就是向量加法的三角形法则。运用这一法则时要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。零位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型。（2）平行四边形法则 向量加法的平行四边形法则

如图4，以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形，则以O为起点的对角线OC就是a与b的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。

3.向量a，b的加法也满足交换律和结合律： ①对于零向量与任一向量，我们规定a+0=0+a=a。

②两个数相加其结果是一个数，对应于数轴上的一个点；在数轴上的两个向量相加，它们的和仍是一个向量，对应于数轴上的一条有向线段。

③当a，b不共线时，|a+b|＜|a|+|b|(即三角形两边之和大于第三边)； 当a，b共线且方向相同时，|a+b|=|a|+|b|；

当a，b共线且方向相反时，|a+b|=|a|-|b|(或|b|-|a|)。其中当向量a的长度大于向量b的长度时，|a+b|=|a|-|b|；当向量a的长度小于向量b的长度时，|a+b|=|b|-|a|。

一般地，我们有|a+b|≤|a|+|b|。

④如图5，作AB=a，AD=b，以AB.AD为邻边作ABCD，则BC=b，DC=a。因为AC=AB+AD=a+b，AC=AD+DC=b+a，所以a+b=b+a。如图6，因为AD=AC+CD=(AB+BC)+CD=(a+b)+c，AD=AB+BD=AB+(BC+CD)=a+(b+c)，所以(a+b)+c=a+(b+c)。

综上所述，向量的加法满足交换律和结合律。

特殊与一般，归纳与类比，数形结合，分类讨论，特别是通过知识迁移类比获得新知识的过程与方法。

三、用向量法解决物理问题的步骤为：先用向量表示物理量，再进行向量运算，最后回扣物理问题，解决问题。

四、向量也有减法运算。

由于方向反转两次仍回到原来的方向，因此a和-a互为相反向量。于是-(-a)=a。

我们规定，零向量的相反向量仍是零向量.任一向量与其相反向量的和是零向量，即a+(-a)=(-a)+a=0。所以，如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0。1.平行四边形法则

图1

AC=a，如图1，设向量AB=b，则AD=-b，由向量减法的定义，知AE=a+(-b)=a-b。

又b+BC=a，所以BC=a-b。由此，我们得到a-b的作图方法。

图2 2.三角形法则 如图2，已知a、b，在平面内任取一点O，作OA=a，OB=b，则BA=a-b，即a-b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量，这是向量减法的几何意义。（1）定义向量减法运算之前，应先引进相反向量。

与数x的相反数是-x类似，我们规定，与a长度相等，方向相反的量，叫做a的相反向量，记作-a。

（2）向量减法的定义。我们定义a-b=a+(-b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。规定：零向量的相反向量是零向量。

(3)向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则，这也正是向量的运算的几何意义所在，是数形结合思想的重要体现。

五、我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：(1)|λa|=|λ||a|；

(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反。

由(1)可知，λ=0时，λa=0。

根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律。实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么(1)λ(μa)=(λμ)a;(2)(λ+μ)a=λa+μa;(3)λ(a+b)=λa+λb.特别地，我们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a)，λ(a-b)=λa-λb。

向量共线的等价条件是：如果a(a≠0)与b共线，那么有且只有一个实数λ，使b=λa。共线向量可能有以下几种情况：(1)有一个为零向量；(2)两个都为零向量；(3)同向且模相等；(4)同向且模不等；(5)反向且模相等；(6)反向且模不等。

数与向量的积仍是一个向量，向量的方向由实数的正负及原向量的方向确定，大小由|λ|·|a|确定。它的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小。向量的平行与直线的平行是不同的，直线的平行是指两条直线在同一平面内没有公共点；而向量的平行既包含没有交点的情况，又包含两个向量在同一条直线上的情形。向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。对于任意向量a、b，以及任意实数λ、

1、2，恒有λ(1a±2b)=λ1a±λ2b。

●经典例题 例1 化简：(1)BC+AB(2)DB+CD+BC

(3)AB+DF+CD+BC+FA 解：

(1)BC+AB=AB+BC=AC

(2)DB+CD+BC=BC+CD+DB=(BC+CD)+DB=BD+DB=0(3)AB+DF+CD+BC+ FA=AB+BC+CD+DF+FA =AC+CD+DF+FA=AD+DF+FA=AF+FA=0 解析：要善于运用向量的加法的运算法则及运算律来求和向量。例2 若AC=a+b，DB=a-b ①当a.b满足什么条件时，a+b与a-b垂直？ ②当a.b满足什么条件时，|a+b|=|a-b|？

③当a.b满足什么条件时，a+b平分a与b所夹的角？ ④a+b与a-b可能是相等向量吗？

解析：如图6，用向量构建平行四边形，其中向量AC、DB恰为平行四边形的对角线。

由平行四边形法则，得

AC=a+b，DB=AB-AD=a-b。

由此问题就可转换为：