§2函数极限的性质

§2函数极限的性质（共8篇）

1.§2函数极限的性质 篇一

函数的极限教案2

教学目的

借助函数的图象，使同学理解函数的左极限、右极限的概念和函数在与x0处极限存在的充要条件．

教学重点和难点

函数的左、右极限的概念和函数在点x0处有极限的充要条件，即左极限、右极限、极限三者的关系．

教学过程

一、复习提问

当x无限趋近于x0时，函数f(x)的极限的定义是如何叙述的？如何表示？

二，新课

1．新课引入

写出下列各函数的定义域，并作出它们的图象：

(6)f6(x)＝[x]．

解：(1)x∈R；(2)x∈R且x≠0；

(3)x∈R且x≠0；(4)x∈R；(5)x∈R且x≠0；

(6)x∈R．

它们的图象分别为图1－10—图1－15．

2．新课：

若具体分析当x→0时，f3(x)，f4(x)，f5(x)，f6(x)的情况又各有不同．当x从左边无限趋近于零时，则有f3(x)→－1，f6(x)→－1，而f4(x)，f5(x)不趋近于任何常数；当x从右边无限趋近于零时，则有f3(x)→1，f4(x)→0，f6(x)→0，f5(x)不趋近于任何常数．为了区别它们，而且也为了更准确理解上节课的内容，可称前者有左极限或无左极限，后者有右极限或无右极限．若x从左或右边趋近于零分别写成x→0-或x→0+，那么可用如下符号表示左、右极限的概念，即

一般说来，可把左、右极限概念定义为：

如果当x从点x＝x0的左侧(即x＜x0)无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数A，就说A是函数f(x)在点x0处的左极限．记作：

如果当x从点x＝x0的右侧(即x＞x0)无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数A，就说A是函数f(x)在点x0处的右极限．记作：

函数的左极限和右极限，统称为函数的单侧极限，而函数的极限可称为双侧极限．

函数的单侧极限仅与x0点的邻域有关，而与点x0是否属函数的定义域无关．例如函数f3(x)在x＝0处无意义，但是该函数在x＝0处有左极限是－1，有右极限为1；又如函数f4(x)在点x＝0处有意义，但是该函数的左极限不存在(x→0-)．

当点x＝x0函数有意义时，函数的单侧极限与f(x0)无关．例如函数f6(x)在x＝0处的左极限为－1，而f6(0)＝0．

函数在x＝x0处的极限与该函数在x＝x0处的单侧极限有着极为密切关系．根据它们的定义和如上例题可得定理：

(证明以略)

三、小结与巩固练习

(1)我们应该很好地掌握函数在点x0处的左极限、右极限的概念和函数在点x0处有极限的充要条件，即左极限、右极限、极限三者的关系．

(2)一个函数f(x)在点x0处的单侧极限、双侧极限都与函数f(x)在点x0处是否有意义无关；与函数f(x)在点x0处的函数值无关．

(3)如果把函数f(x)在点x0处的单侧极限、双侧极限与f(x0)的关系联系起来看，这将引出新的概念——连续与间断的概念．

练习：说出下列各函数在点x＝a处的左极限、右极限和极限(如果存在的话)．

四、布置作业

1．说出下列各图1－16(1)－(4)中表示的函数在点x＝a的左极限、右极限和极限(如果存在的话)．

2．举出满足下列条件的一个具体的函数例子．

2.§2函数极限的性质 篇二

定义1 若函数f (x) 和g (x) 满足以下条件:

undefined

则称f (x) 与g (x) 是当x→Δ时极限等价的, 记为f (x) ≈g (x) (x→Δ) , (其中x→Δ表示自变量的某种变化趋势) .

根据等价无穷小的定义, 若f (x) 与g (x) 是当x→Δ时等价无穷小, 则f (x) 与g (x) 是当x→Δ时极限等价的

性质1 (1) 如果当x→Δ时, f (x) 不为零,

则f (x) ≈f (x) (x→Δ) .

(2) 若f (x) ≈g (x) (x→Δ) ,

则g (x) ≈f (x) (x→Δ) ;

(3) 若f (x) ≈g (x) (x→Δ) , g (x) ≈h (x) (x→Δ) ,

则f (x) ≈h (x) (x→Δ) ;

(4) 若undefined, 且A≠0,

则f (x) ≈A (x→Δ) ;

(5) 若f (x) ≈g (x) ≈h (x) (x→Δ) ,

则Af (x) +Bg (x) ≈Ch (x) +Dg (x) (x→Δ) ,

其中A+B=C+D≠0.

证明 (1) ～ (4) 显然成立.

(5) 首先证明当x→Δ时Ch (x) +Dg (x) 不等于零.

假设当x→Δ时Ch (x) +Dg (x) 有等于零的点, 则存在数列{xn}, 使得当n→∞时, xn→Δ, 且对于∀n, Ch (xn) +Dg (xn) =0.由于C+D≠0, 则C, D中至少有一个数不为零, 不妨设C不为零.从而对于∀n有undefined, 再由于g (x) ≈h (x) (x→Δ) , 即undefined, 从而undefined, 显然与C+D≠0矛盾.从而当x→Δ时Ch (x) +Dg (x) 不等于零.

再由于undefined

从而Af (x) +Bg (x) ≈Ch (x) +Dg (x) (x→Δ) .

定理1 若f1 (x) ≈f2 (x) (x→Δ) ,

g1 (x) ≈g2 (x) (x→Δ) 且undefined,

则undefined也存在, 且undefined

undefined

由于等价无穷小必是极限等价的, 因此以上结论对等价无穷小也是成立的.

例1 求undefined

解 由于x≈sinx (x→0) , 根据性质1 (5) , 可知,

x-3sinx≈x-3x (x→0) ,

即x-3sinx≈-2x (x→0) .

又 由于tanx≈x (x→0) , 根据定理1,

可知undefined

由以上求解过程, 可知由x替换sinx是合理的.

定理2 若f (x) ≈g (x) (x→Δ) , 当x→Δ时, 复合函数h[f (x) ]和h[g (x) ]有定义, h (u) 是有界变差函数, 且存在一正常数M使得|h[g (x) ]|≥M和|g (x) |≥M, 那么h[f (x) ]≈h[g (x) ] (x→Δ)

证明 首先证明undefined

由于h (u) 是有界变差函数, 则存在一正常数H, 使得|h[f (x) -h[g (x) ]]|≤H|f (x) -g (x) |,

从而undefined

再由f (x) ≈g (x) (x→Δ) 可得

undefined

即h[f (x) ]≈h[g (x) ] (x→Δ) .

例2 求undefined

解 令f (x) =x+sinx+2, g (x) =x+2, h (u) =lnu,

则x+sinx+2≈x+2 (x→∞) ,

再由于lnu是有界变差函数, 当x→+∞时,

|ln (x+2) |≥1, |x+2|≥1.

从而由定理2得ln (x+sinx+2) ≈ln (x+2) (x→+∞) ,

上例所求极限虽然是型不定式, 但不符合罗比达法则所要求的条件, 从而无法用罗比达法则求解.

本文中所提出的极限等价函数是对等价无穷小概念的推广, 不要求两个函数极限都存在且趋于零, 而只要求两个函数有相同的变化趋势, 从而在求某些非无穷小量比值的极限时任可以考虑用替换函数的方法.

摘要：本文通过引入极限等价函数的定义, 借鉴利用等价无穷小替换求极限的方法, 给出了利用极限等价函数求极限的方法, 从而推广了利用等价无穷小求极限的方法.

关键词：极限,等价无穷小,极限等价函数

参考文献

[1]谢克藻.高等数学简明教程.北京:科学出版社, 2008.

3.从事物的极限到函数的极限 篇三

每年秋季刚考进大学的非文科一年级新生们都要学习高等数学这门课程的。而高等数学里第一个概念就是数学极限的定义，这对于学生是非常难学的，老师也感到难教，这是一个历史现象。

目前高中阶段在学习变化率导数时，也是有意地绕过极限定义的。可见极限定义困难的程度。

极限的定义为什么这样难教难学，就是因为我们对于它挖掘认识的不够。

我经过很长一段时间对极限琢磨与研究着，而今我有个重大发现，我窥视到了函数y=f（x）的极限就是函数y=f（x）在某种条件下的极大值ak 极小值。因为极大值、极小值是此前中学阶段里很普通而又很熟练的知识，在这个很熟练的基础上，学习极限就一帆风顺了。下面是我的设计：

一、事物的极限

极限并不陌生和抽象，在生产生活中，我们身边存在和充满着许多通俗易懂极限的问题。

比如我们行走在一座桥的前面看见路旁有个交通警示牌，牌上写着20t，这是什么意思呢？这是告诉人们经过桥梁的车辆及其载物不能超过20吨重，超过了20吨，桥梁就有可能断裂或倒塌，酿成危险性事故。这是桥梁负荷的极大限制值。

用火箭发射人造卫星，火箭的发射速度不能小于7.9km/s，小于这个发射速度，卫星就上不了天，这是卫星上天时火箭发射速度的极小限制值。

严寒的冬天，千里冰封，万里雪飘……必须要到晴天气温才能不断升高，达到0℃以上的时候，冰雪才能融化。这个0℃是标准大气压之下冰雪融化温度的极小限制值。

上面的极大限制值、极小限制值。取极大值、极小值的“极”字，取限制的“限”字。简称为极限。反过来，以后看到“极限”一词也可顾名思义地联想起极限里的“极”字就是极大值或极小值。“限”字就是限制。

这样一来，我们得到了含有变量的事物的极限定义。

定义：含有变量的事物在某种条件下变化着，它的极大限制值或极小限制值，就叫做这事物在该条件下的极限。

于是，上面桥梁的负荷极限是20t，火箭发射人造卫星能上天速度的极限是7.9km/s，冰雪在其温度不断升高时，保持固体形状的极限温度是0℃。

化合物H2O在其温度下降时，保持液体状态的极限温度是0℃，在其温度不断上升时，保持液体状态的极限温度是100℃。

4.习题课2—函数极限2009 篇四

第二次习题课（函数极限、无穷小比较）

一、内容提要

1.函数极限定义，验证limx12.x

32.极限性质（唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式）.e3xe2x

3.极限四则运算.求lim.x0x

4.收敛准则（迫敛准则、柯西收敛准则、归结原则）.5.无穷小与无穷大（无穷小比较、等价无穷小替换定理、渐近线的求法）.6.重要极限与常用等价无穷小.二、客观题

1.当x0时，下列四个无穷小中，（）是比其它三个更高阶的无穷小.为什么？

2（A）x2；(B)1cosx；(C)x1；(D)tanxsinx

2.已知limsinx(cosxb)5，则a(),b().x0exa

23.当x0 时，xsinx 是 x 的（）.(A)低阶无穷小；(B)高阶无穷小；(C)等价无穷小；(D)同阶无穷小但非等价无穷小.4.设f(x)lim3nx,则它的连续区间是（）.n1nx

25.当x→0时下列变量中与x是等价无穷小量的有[].(A)sinx；(B)ln(1x)；(C)x2 ；(D)2x2x.x217.设f(x)，则x0是f(x)的间断点，其类型是__________ __．x

三、解答题

1利用重要极限求下列函数极限

1xn1ann!x7（1）lim（二重），（2）设xn，求极限lim，（3）求极限limcosxx2，nnxx1x0nxn

cosx

1xx1解：limcosxxlim1(cosx1)x0x011cosx1cosx1xex0lime 1

22.利用等价无穷小的性质求下列极限：

《数学分析I》第2次习题课教案

sinaxx2ln13xxsinx1（1）lim；（2）lim，b0；（3）lim.x2x0x0x0sinxtanbxe1

3.利用连续函数求下列极限：

ex1ln1ax2(1)lim；(2)lim(提示：令tex1)；（3）lim13tanxx0x0x0xxcot2x.4.利用函数极限的归结原则求数列极限

212（1）limnsin，（2）lim12.xnnnnn

sinax5.设fxxx[x]x0x0，应怎样选取数a，才能fx使处处连续？

x31(axb)1，求常数a,和b。6.已知lim（极限分析）xx21

四、证明题

1.若f(x)为周期函数，且limf(x)0，试证明f(x)0,x(,).x

2.利用函数极限的归结原则证明limcosx不存在.x

3.设f(x)~g(x)(xx0),证明：f(x)g(x)o(f(x)).4.设函数f在(0,)上满足方程f(2x)f(x)，且limf(x)A，证明：f(x)A，x

x(0,).f(x)limf(x)f(1)，证明：5．设函数f在(0,)上满足方程f(x2)f(x)，且limx0x

5.§2函数极限的性质 篇五

一、教学目标

1.利用描点法画出反比例函数的图象,理解反比例函数的图象是双曲线； 通过反比例函数的图象的分析，探索并掌握反比例函数的图象的性质；利用反比例函数的图象解决有关问题．

2.经历观察、分析，交流的过程，逐步提高从函数图象中感受其规律的能力；体会用数形结合思想解数学问题．

3.提高学生的观察、分析的能力和对图形的感知水平，使学生从整体上领悟研究函数的一般要求。

二、重难点

重点：会作反比例函数的图象；探索并掌握反比例函数的主要性质。难点：探索并掌握反比例函数的主要性质及性质运用。

三、教学过程

（一）复习引入新课: 1．什么是反比例函数?

k本节课，我们就来讨论一般的反比例函数y（k是常数，k≠0）的图象，x探究它有什么性质．

（二）探究发现：

6活动1.画出函数y的图象．

x分析 画出函数图象一般分为列表、描点、连线三个步骤，在反比例函数中自变量x ≠0．

解 1．列表：这个函数中自变量x的取值范围是不等于零的一切实数，列出x与y的对应值：

2.描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出各点(－6,－1)、(－3,－2)、(－2,－3)等．

3.连线：用光滑的曲线将第一象限各点依次连起来，得到图象的第一个分支；用光滑的曲线将第三象限各点依次连起来，得到图象的另一个分支．这两个分支合起来，就是反比例函数的图象．

上述图象，通常称为双曲线(hyperbola)．

提问 1这两条曲线会与x轴、y轴相交吗？为什么？

6活动2：画出反比例函数y的图象（学生动手画反比函数图象，进一步掌握

x画函数图象的步骤）．

学生讨论、交流以下问题，并将讨论、交流的结果回答问题．

61.这个函数的图象在哪两个象限？和函数y的图象有什么不同？

xk2.反比例函数y(k≠0)的图象在哪两个象限内？由什么确定？

x3.联系一次函数的性质，你能否总结出反比例函数中随着自变量x的增加，函数y将怎样变化？有什么规律？

k反比例函数y有下列性质：

x(1)当k＞0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y随x的增加而减少；

(2)当k＜0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y随x的增加而增加．

注 1．双曲线的图象向x轴、y轴无限接近，但永远无法到达，即它的两个分支与x轴和y轴没有交点；

2．双曲线的两个分支关于原点成中心对称． 3．有两条对称轴y=x、y=-x．

（三）实践应用

例1 若反比例函数y(m1)x2m2的图象在第二、四象限，求m的值．

分析 由反比例函数的定义可知：2m21 ,又以m＋1＜0，由这两个条件可解出m的值．

2m21,解 由题意，得 解得m3．

m10k(k≠0)，当x＞0时，y随x的增大而增大，求一次x函数y＝kx－k的图象经过的象限． 例2 已知反比例函数yk(k≠0)，当x＞0时，y随x的增大而增大，因此kx＜0，而一次函数y＝kx－k中，k＜0，可知，图象过二、四象限，又－k＞0，所以直线与y轴的交点在x轴的上方．

k解 因为反比例函数y(k≠0)，当x＞0时，y随x的增大而增大，所以k＜0，x所以一次函数y＝kx－k的图象经过一、二、四象限． 例3 已知反比例函数的图象过点(1,－2)．(1)求这个函数的解析式，并画出图象；

(2)若点A(－5,m)在图象上，则点A关于两坐标轴和原点的对称点是否还在图象上？

分析(1)反比例函数的图象过点(1,－2)，即当x＝1时，y＝－2．由待定系数法可求出反比例函数解析式；再根据解析式，通过列表、描点、连线可画出反比例函数的图象；

(2)由点A在反比例函数的图象上，易求出m的值，再验证点A关于两坐标轴和原点的对称点是否在图象上．

k解(1)设：反比例函数的解析式为：y(k≠0)．

x而反比例函数的图象过点(1,－2)，即当x＝1时，y＝－2．

k所以2，k＝－2．

12即反比例函数的解析式为：y．

x分析 由于反比例函数y

222(2)点A(－5,m)在反比例函数y图象上，所以m，x552点A的坐标为(5,)．

52点A关于x轴的对称点(5,)不在这个图象上；

52点A关于y轴的对称点(5,)不在这个图象上；

52点A关于原点的对称点(5,)在这个图象上；

例4 一个长方体的体积是100立方厘米，它的长是y厘米，宽是5厘米，高是x厘米．

(1)写出用高表示长的函数关系式；(2)写出自变量x的取值范围；(3)画出函数的图象．

20解(1)因为100＝5xy,所以y ．

x(2)x＞0．

(3)图象如下：

说明 由于自变量x＞0,所以画出的反比例函数的图象只是位于第一象限内的一个分支．

1例5．如图，过反比例函数y（x＞0）的图象上任意两点A、xB分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OB，设△AOC和△BOD的面积分别是S1、S2，比较它们的大小，可得（）（A）S1＞S2（B）S1＝S2（C）S1＜S2（D）大小关系不能确定

k分析：从反比例函数y（k≠0）的图象上任一点P（x，y）向x轴、y轴作

x1垂线段，与x轴、y轴所围成的矩形面积Sxyk，由此可得S1＝S2 ＝，故

2选B

k练习2．在平面直角坐标系内，过反比例函数y（k＞0）的图象上的一

x点分别作x轴、y轴的垂线段，与x轴、y轴所围成的矩形面积是6，则函数解析式为

四、交流反思

本节课学习了画反比例函数的图象和探讨了反比例函数的性质． 1.反比例函数的图象是双曲线(hyperbola)． 2.反比例函数有如下性质：

(1)当k＞0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y随x的增加而减少；

(2)当k＜0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y随x的增加而增加．

（3）k的几何意义

四、课堂练习：1P52页练习1、2若反比例函数y(3n9)xn213的图象在所在象限内，y随x的增大而增大，求n的值．

五、小结：这节课，你学会了什么？

六、作业 ：见题篇

七板书设计：

6.§2函数极限的性质 篇六

《对数函数的图像与性质》说课稿

今天我说课的内容是《对数函数的图像与性质》（知识改变命运，学习成就未来

1、教学方法：

(1)启发引导学生实验、观察、联想、思考、分析、归纳；(2)采用“从特殊到一般”、“从具体到抽象”的方法；(3)渗透类比、数形结合、分类讨论等数学思想方法．

2、教学手段：

计算机多媒体辅助教学．

三、说学法

“授之以鱼，不如授之以渔”，方法的掌握，思想的形成，才能使学生受益终身．本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，我进行了以下学法指导：

(1)类比学习：与指数函数类比学习对数函数的图像与性质．

(2)探究定向性学习：学生在教师建立的情境下，通过思考、分析、操作、探索，归纳得出对数函数的图像与性质．

(3)主动合作式学习：学生在归纳得出对数函数的图像与性质时，通过小组讨论，使问题得以圆满解决．

四、说教程

1、温故知新

我通过复习细胞分裂问题，由指数函数y2x引导学生逐步得到对数函数的意义及对数函数与指数函数的关系：互为反函数．

设计意图：既复习了指数函数和反函数的有关知识，又与本节内容有密切关系，有利于引出新课．为学生理解新知清除了障碍，有意识地培养学生 分析问题的能力．

2、探求新知

在理解对数函数的意义的基础上，研究对数函数的图像与性质．关键是抓住对数函数与指数函数互为反函数的关系，图像关于直线yx对称，从而作出欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱：zxjkw@163.com

知识改变命运，学习成就未来

对数函数的图像．由学生自主作出对数函数ylog2x和ylog12x的图像后，引导学生填写所发表格(该表格一列填有yax在a1及0a1两种情况下的图像与性质)，通过类比学习，小组讨论，采用“从特殊到一般”、“从具体到抽象”的方法，归纳总结出ylogax(a0，且a1)的图像与性质．

在学生得出对数函数的图像和性质后，教师再加以升华，强调“数形结合”记忆其性质,做到“心中有图”．另外，对于对数函数的性质3和性质4在用多媒体演示时,有意识地用(1)(2)进行分类表示,培养学生的分类意识．

设计意图：教师建立了一个有助于学生进行独立探究的情境，学生通过动手操作、观察、联想、类比、思考、分析、探索，在此过程中，通过小组讨论，协作构建起新的知识．这充分体现了基于建构主义学习理论的探究定 向性学习和主动合作式学习．

3、课堂研究，巩固应用

例1主要利用对数函数ylogax(a0，且a1)的定义域是(0,)来求解．在这个例题中，重点、难点是

知识改变命运，学习成就未来

解决提供了必要条件,为学生今后进一步学习对数不等式埋下伏笔．

4、课外研究

使学生学会知识的迁移,利用课堂研究中体现的重要的数形结合和分类讨论的数学思想方法，学生课后完全有能力解决这个问题．

5、课堂小结

引导学生进行知识回顾，使学生对本节课有一个整体把握．从三方面进行小结：

(1)理解对数函数的意义；

(2)掌握对数函数的图像与性质，体会类比、数形结合的思想方法；

(3)会利用对数函数的性质比较两个同底对数值的大小，初步学会对数不等式的 解法，体会分类讨论的思想方法．

6、课外作业

7.求解函数极限的方法 篇七

高等数学是理工学生和数学专业必修的课程之一,在高等数学中,函数极限知识是微积分知识核心部分. 如果学生的函数知识不牢固,这样必然会影响到整个数学学习过程. 而且,极限函数不同于文史类知识,它们没有生动的语言,没有灵活的想象平台,而是枯燥的函数极限知识,这直接影响学生对该类知识的学习,随着时间的推移,学生无法提起学习兴趣,从而影响到教学效果.

二、造成学生函数极限学习障碍和解决方法

( 一) 教学环境影响

高中数学是主科,在课程设置中一般都安排得比较密集,时常会出现一天都有数学课. 面对应试,数学课程的学习时间是比较长的,教学力度也是相对大的. 这样的课程安排会使得学生倍感压力. 很多学生一天下来都是在数学的海洋中,各种知识的纠结,各种解题方法的求解. 学生学习数学不是因为兴趣爱好,而是为了应试,这样的函数极限学习效率会低下. 而进入大学,高数学习环境轻松,课程时间安排不太紧密.

( 二) 教学方法问题

很多教师在进行极限函数教学时,一般都是在课程之间时间讲解概念含义,引入例子,再根据例子解答,然后课程布置学生几道相关的题,让学生尝试解答,最后教师再讲解. 这样的教学方法,教师占据的课程时间比较多,教师是课堂的主体,学生缺少思考的空间. 有的学生基础知识比较差,对于教师的讲解理解难度大,教师没有针对性地教学,没有给学生思考的空间,没有因材施教,必然会影响教学效果.

( 三) 解决高校学生函数极限学习障碍的对策

第一,教学方式上遵循教学规律. 任何新知识的学习都要遵循循序渐进的过程,对大一新生来讲,极限与微积分知识的学习,教师可采用渐进式教学,不求一步到位. 用“动”来代替“静”,也即用动态来定义极限的概念,用作图的方式来理解“无限趋近”. 教学尽量用多媒体课件展示动态,使学生在学习过程中逐步体会常量与变量、有限与无限、近似与准确、动与静、直与曲的对立统一,这样才能更好地培养学生学习能力,才能帮助学生养成良好的数学学习习惯,学生在今后的学习中可以使用辩证思考的思维解答习题. 第二,教学方式直观简明化. 函数极限学习理当坚持多学多练之原则,在练习过程中学生加强对数学概念的理解以及对知识的掌握. 对于教师而言,应该精讲多练,应该降低理论讲解、抽象讲解. 理当拿出实例来证明极限. 学生也可以尝试作图,使用作图去辅助解答习题,从观察函数的左右近似值去判断极限是否存在. 这样的教学方法能够锻炼学生的归纳能力以及学生的推算能力. 教师充分地考虑了学生接受能力,而且能够兼顾教学需求,掌握该教学原则,从而帮助学生喜爱上数学学习. 第三,教学中增加应用实践因素. 教学理论使用于实践基础上,让理论在实践中得以发挥出来,这样的学习方式才会显得比较有意义. 学生的学习积极性和主动性才会跳动起来. 一般而言,函数极限知识在生活中都能运用到,教师在进行教学时,涉及的内容应该通俗易懂. 可以将生活中常见的机械极限、运动极限以及生理极限引入课程中,使用故事的方式作为开头进行讲解,这样才能激发学生学习兴趣. 同时,在进行课程学习之前,进行预习和课外知识的拓展都是非常有必要的. 学生课前预习,能够对于所学的知识及时地进入到了解的状态,这也是进行学生兴趣培养之关键.

三、高数中函数极限求解方法

( 一) 利用极限的描述性定义

在进行教学中,教师将极限的描述定义如下: 如果自变量的绝对值| x |无限增大,那么在条件不变的情况下,函数值f( x) 也会有和常数A无限地接近,这个时候就可以称当x值逐渐趋向无穷函数时,x以A为函数极限. 或者是x缩小到A,这样就可以记录为“x - A( x→∞ ) ”. 经过上述的描述方式进行函数期限数值求值时,该方法比较简单. 不同类型基础的等级函数可以进行描述性定义. 另外,还可以和图像结合,这样就可以得出参数值. 想要进行复杂函数求值,需要在掌握基本初级函数求值基础知识. 但是在求值过程中,比较容易被混淆,因此,要多加注意.

( 二) 用两个重要极限求解

重要极限中,sinx和x是两个类型完全不同的X数,但是却可以通过该极限促使三角函数和一次函数之间建立起函数关系,将两者进行比值就可以求解. 而且极限使用范围非常广泛,可以解决一些现实的问题. 在很多高等数学中,极限求值问题可以将其化为极限求值,但是当学生在借助重要极限进行函数极限求值时,这个使用需要充分掌握极限的形式以及特点,只有这样才可以将极限求值进行化解,使得极限形式一致. 例如:

( 三) 利用极限的等价定理

这里讲解到的等价定理,主要是单侧极限以及双侧极限之间的关系定理,这种求值方法比较特别,在进行求解时,一般比较合适使用于分段函数中. 利用极限的存在性定理. 极限的存在定理,主要有两个定理,而且是比较常用的两个. 第一是夹逼定理,第二是单调有界数定理. 这两个定理是使用于数列极限以及函数存在性证明的,有的时候也可以将其使用于极限求值中,尤其是数列极限问题求值.例如:

这样就可以轻松的求出函数值.

四、高数教学方法

( 一) 主体式教学方法

主体式教学方法来源于美国头脑风暴教学法,这种学习方式相对于简单的个人学习,获得学习效果会更加明显.具体做法是,教师要选择出合适的教学素材,选择合适的学习伙伴,学习伙伴针对当前教学问题提出异议,提出自己的观点. 教师根据学生的观点再进行总结. 极限函数数学教学中,主体式教学方式需要教师合理利用,这样获得的教学效果会更加明显. 这种教学方式能够激发学生学习兴趣,使得学生学习获得创造性思维. 首先,教师应该做好材料选择工作,然后再进行分组讨论,这样可以获得良好的教学效果.需要注意的是,主体式教学方法应该需要获得一个平等和民主课堂教学氛围,作为初中数学教师,需要学生在课堂中充分地表达自己的观点,教师要尊重学生的观点,使得学生在思维上获得更大思维空间. 教师要充分利用学生思维见解不同之处,基于无错原则进行评价学生发言.

( 二) 培养学生参与意识

学生参与课堂教学,使得课堂变得活跃,教师教学积极性也提高,学生学习积极性也得到激发. 在教师暗示或者提示下,学生自己去发现问题寻找出问题所在. 找到问题根源之后,需要选择出应对方法. 一般而言个人发现的问题和小组发现的问题都不相同. 不论怎样需要明确这些问题重要性,通过课程教学解决问题. 另外,学生应该明确自身的学习任务,该课程传输的知识,在课程学习中自己学到了哪些知识,这些知识对自己有何用处. 当获得了课程知识之后,需要分享知识,倾听其他同学的学习心得,最后汇聚成结论.

( 三) 概念教学方法

极限函数数学概念可以识别一类数字的共性,对此作出不同的感性,这一学习过程就是概念学习过程. 概念学习最明显的特点是要抽取出一类对象,这些对象有着共同的特性,进行辨别学习过程中,就是识别一类对象不同特性之过程. 这两者是有区别可言的. 但是,进行极限函数数学概念学习时,共性抽象是需要在一定的区分范围内的,因此要求学生要有区分能力. 这也是学习概念前提. 众所周知,数学研究对象,这是实现数量关系以及空间形式最有效的方式. 数学概念可以清晰地反映出这个对象的本质和属性,可以将数学概念学习表示为一种思维形式. 数学概念具有抽象和具体的双重性. 数学概念可以反映出事物数量关系以及空间形态之间的本质属性,它属于思维形式. 极限函数数学概念的使用,可以抽象地将事物内在的联系表现出来. 一般而言,这些抽象的具体事物一般都会离开物质内容,附于数学概念基础上进行多层次的抽象升级.

结束语

另外,还可以使用四则运算方法,不过四则运算方法是最为基础的方法. 该方法的使用和结构良性知识比较相近,在实际使用过程中可以直接求解. 总而言之,数学函数极限,地位非常高,在进行函数极限学习时,理当基于把握教学方法基础上开展教学.

摘要：高等数学教学中,函数极限求值方法教学是难点,同时也是重点.而且,数学函数极限知识内容比较枯燥,会导致很多学生不愿意学习极限函数.文章分析了极限函数教学障碍,以及如何改进教学方法,提高教学质量.

8.§2函数极限的性质 篇八

关键词 导数算子； Malliavin随机变分；中心极限定理；高斯过程

中图分类号 O211 文献标识码 A

Central Limit Theorem for Function of Gaussian Process and Its Applications

SUNLin

(Applied Mathematics, Guangdong University of Technology, Guangdong, Guangzhou 510090, China)

AbstractUsing two operators and the relative identity of Wiener space, this paper presented a new method to provethe central limit theorem for function of Gaussian process. Furthermore, the applications of this central limit theoremwere presented.

Keywords derivative operator; Malliavin calculus; central limit theorem; Gaussian processes

1引 言

前苏联著名概率论学者Gnedenko和Kolmogrov曾说过“概率论的认识论的价值只有通过极限定理才能被揭示,没有极限定理就不可能去理解概率论的基本概念的真正含义” [1].因此研究统计量或者随机变量的统计特性，最重要的就是研究其极限理论.而实际问题中所获得的很多数据都可以认为来自高斯过程函数总体，比如来自正态随机变量就可以看成来自关于高斯过程恒等映射的总体.从而自上世纪30年代起，概率极限理论已获得完善的发展.近年来关于高斯过程函数的统计特性成为研究中的热门方向之一，大量学者研究了关于高斯过程函数的极限定理，如Nualart和Peccati (2005)[2]，Nualart和Ortiz-Latorre (2008)[3]， Peccati (2007)[4] ，Hu和Nualart(2005)[5] ，Peccati和Taqqu (2008)[6]以及Peccati和Taqqu (2007)[7].大量的文献如Deheuvels、Peccati与Yor (2006) [8]，Hu和Nualart(2009) [9] 应用了该定理.

本文首先利用Malliavin随机变分法，通过导数算子和散度型算子，并利用恒等式构造了证明高斯过程函数的中心极限定理的新方法，该证明避免了采用Dambis-Dubins-Schwarz以及Clark-Ocone公式.进一步结合具体实例，给出了该中心极限定理的应用.

2 主要结论及其证明

定理 1[3]：设定k≥2，且Fnn≥1为k阶维纳混沌中平方可积随机变量序列.若lim n→+

EF2n=‖fn‖2H⊙k→σ2，则当n→

时，下面命题是等价的：

ⅰ）Fn→N(0,σ2)；

ⅱ）lim n→

EF4n→3σ2；

ⅲ）对于所有的1≤l≤k－1，有

lim n→+

‖fnlfn‖2H2(n－1)=0；

ⅳ）‖DFn‖2HL2(Ω)n→+

kσ2，

其中，fn是关于随机变量Fn的平方可积核函数，

fnlfn表示两核函数的l次指数压缩.

证明 将采用下面的证明路线:ⅳ)ⅰ)ⅱ)ⅲ)ⅳ).

1）ⅳ)ⅰ)

不失一般性，令σ2=1，则由已知条件‖DFn‖2HL2(Ω)n→+

σ2，待证当n→+

时，有依分布收敛Fn→ε～N(0,1)成立.也就是说对于任意二次连续可微有界函数φ•有下面式子成立：

lim n→+

Eφ(Fn)=Eφ(ε). (1)

对于0≤t≤1，定义

ψt=EφtFn+1－tε.(2)

注意到ψ0=Eφε且ψ1=EφFn，由微积分基本定理知

EφFn－Eφε

=ψ1－ψ0=∫10ψ′tdt. (3)

另一方面，利用Malliavin随机变分恒等式

δDF=kF与E［〈DF(ξ),u((ξ))〉］=E［DF(ξ)δu(ξ)］，易知∫10ψ′(t)dt可以表示为：

∫10ψ′tdt=∫10ddtEφtFn+1－tεdt

=∫10EddtφtFn+1－tεdt

=12k∫10Eφ″tFn+1－tε‖DFn‖2dt

-12∫10Eφ″tFn+1－tεdt

=12∫10Eφ″tFn+1－tε•

1k‖DFn‖2－1dt. (4)

由式(3)和式(4)知

EφFn－Eφε

=12∫10Eφ″tFn+1－tε•

1k‖DFn‖2－1dt.(5)

两边取绝对值，并利用φ•的二阶导的有界性以及假设条件‖DFn‖2HL2(Ω)n→+

k，则有

EφFn－Eφε

=12∫10Eφ″tFn+1－tε•

1k‖DFn‖2－1dt→0.

故lim n→+

Eφ(Fn)=Eφ(ε)成立，即有当n→

时，Fn→N(0,σ2).

2）ⅰ)  ⅱ)

首先由参考文献Nualart（2006）知对于任意p≥2，有

EFnp≤ckEFn2， (6)

其中，ck∈R且与n独立.

式（4)结合假设条件lim n→+

EF2n=σ2可得当n→

时，

EFnp≤ckEFn2→ckσ2.(7)

则对于任意p≥2，有

sup nEFnp<+

.(8)

进一步根据假设当n→

时，Fn→η～N(0,σ2)，根据期望的连续性有EF4n→Eε4，从而要证明lim n→

EF4n→3σ2，只需证Eη4→3σ2即可.

令X～N(0,σ2)且Y=Xσ～N(0,1)，则对于任意n≥0，有

Eηn=EXn=σnEXσn=σnEYn.

另一方面，随机变量Y的特征函数可以表示为

φt=EeitY=e－t22=∑+

n=0－1nt2n2nn!

=∑+

n=01n!φn0tn=1－t22•1!+

t422•2!－t623•3!+…，

其中，φn00,n=2k+1，

－1k2k!2kk!,n=2k.

从而

EYn=φn0in=0,n=2k+1，

2k!2kk!=n!!,n=2k.(9)

令n=4，则有EYn=4!222!=3.

3）ⅱ)ⅲ) 见参考文献Nualart和Peccati(2005).[2]

4）ⅲ)ⅳ) 见参考文献Nualart和Ortiz-Latorre(2008).[3]

3应用实例

由定理1可知：若Fnn≥1为k≥2阶维纳混沌中平方可积随机变量序列.且lim n→+

EF2n→σ2，则如果要证明当n→

时，Fn→N(0,σ2).只需证明‖DFn‖2HL2(Ω)n→+

kσ2即可.该定理在证明统计量以及随机变量的函数满足中心极限定理时非常有用.下面给出该定理的应用例子.

首先由于林德伯格—勒维中心极限定理在概率中有着重要地位，是数理统计中大样本统计推断的理论基础.该定理说明如果现实生活中的某个量是由许多独立的因素影响叠加而成的，而其中偶然因素的影响又是一致得微小，则可以断定这个量近似服从正态分布.可采用定理1来证明该定理.

实例1(林德伯格—勒维定理) 设X1,X2,…,Xn,…是独立同分布的随机变量序列, 且

E(Xi)=μ,Var(Xi)=σ2,i=1,2,…,n,…

则∑ni=1Xi－nμσn→N(0,1).

证明 该定理表明：当n充分大时, n个具有相同期望和方差的独立同分布的随机变量之和近似服从正态分布.虽然在一般情况下, 很难求出X1+X2+…+Xn分布的具体形式, 但当n很大时, 可求出其近似分布.由定理结论有

∑ni=1Xi－μn→N(0,σ2).(10)

采用定理1来证明式(10).证明的关键在于找到合适的函数序列Fn∈Hk使得当n→

时：有EF2n→σ2且‖DFn‖22L2(Ω)kσ2.

对于任意k≥1，令ξi=Xi－μ,i=1,2,…,n，则ξi为独立且服从标准正态分布的随机变量.进一步令Fn=1nhkξ1+hkξ2+…+hkξn，这里k≥1且hk•为厄米多项式(详见参考文献Nualart (2006)).另一方面，

EF2n=E1nhkξ1+hkξ2+…+hkξn2

=1nnEh2kξ1=1k!=σ2. （11)

同时根据导数算子的定义知，对于1≤i≤n，有DiFn=0,…,1nh′kξi,0…0，故

‖DFn‖22=D1Fn2+D2Fn2+…+

DnFn2→Eh2k－1ξ1

=1k－1!=kσ2.(12)

由式(11)和式(12)知EF2n→σ2且‖DFn‖22L2(Ω)kσ2成立，从而林德伯格—勒维定理证毕.

实例 2(高斯移动平均)考虑独立高斯时间序列Znn≥0，满足EZn=0且

VarZn=σ21－λ,n=0；

σ2,n≥1，

这里λ2<1.再定义迭代过程

X0=Z01－λ2,Xn=λXn－1+1－λ2Zn,n≥1.

则Xn可以表示为

Xn=∑nj=0cn－jZj .

其中cn－j=λn－j.易证Xn是平稳遍历时间序列且满足

EX0=0,

VarXn=1.

下面证明∑ni=1Xin→N(0,1).利用定理1，需要构造合理的Fn，令

Fn=1nhkX0+hkX1+…+hkXn，

其中，k≥1且hk•为厄米多项式(详见参考文献Nualart (2006))，则显然Fn∈Hk，且有

EF2n=E1nhkX0+hkX1+…+hkXn2

=1nnEh2kX1=1k!=σ2，

以及

‖DFn‖22=D1Fn2+D2Fn2+…+DnFn2

→Eh2k－1X1=1k－1!=kσ2.

根据定理1知Fn→N(0,1).取k=1以及利用厄米多项式h1x=x知∑ni=1Xin→N(0,1).

实例 3 (带漂移项的布朗运动)20世纪初，Bachelier采用带漂移的布朗运动来刻画股票的价格行为模式，即：

St=s0+σBt，t∈0,T.

显然St为均值为S0，方差为σ2的高斯过程.固定观察间隔h，得到观察量Sh,…，Sjh，…，Snh,令 t=h,…，jh,…,nh′，Bt=Bh,…，Bjh,…,Bnh′，S0=s0,…，s0，…，sn′与S=Sh,…Sjh…Snh′.从而该随机向量的联合分布密度函数可以表示为

LS;σ2=2π－n2Γ－12•

exp－12S－S0′Γ－1S－S0，(13)

其中，

Γ=［Cov［Si,Sj］］i,j=1,2,…,n=σ2［Cov ［Bi, Bj］］i,j=1,2,…,n =σ2［i∧j］i,j=1,2,…,n.

对式(13)两边取对数，并对σ2求导可得其极大似然估计量

2=1nS′Γ－1St′Γ－1t－t′Γ－1Y2t′Γ－1t.(14)

于是利用定理1得出由式(14)给出的估计量的中心极限定理.令

Fn=1σ2n22－σ2

=1σ2n21nS′Γ－1St′Γ－1t－t′Γ－1Y2t′Γ－1t－σ2，

显然有

lim n→

EFn=E1σ2n2σ^2－σ22

=1σ4n2σ4nnn+2－2n+2+3+σ4－2σ2n－1nσ2

=1.(15)

另一方面将St=s0+σBt代入式(15)并对其求Malliavin导数可得

DFn=12n2DB′tΓ－1Bt－2t′Γ－1Btt′Γ－1DBtt′Γ－1t，(16)

其中

DBt=(1［0,h］(s),1［0,2h］(s),…,1［0,nh］(s))′.由式(16)知

‖DFn‖2H=2n‖DB′tΓ－1Bt‖2H+t′Γ－1Bt2‖t′Γ－1DBt‖2Ht′Γ－1t2－2t′Γ－1DBt〈DB′tΓ－1Bt,t′Γ－1DBt〉Ht′Γ－1t

=2nB′tΓ－1Bt－t′Γ－1Bt2t′Γ－1t=22σ2. (17)

根据式(15)和式(17)，结合定理1知

Fn=1σ2n2σ^2－σ2～N0,1

4结 论

本文主要采用了新的方法证明了关于高斯过程函数的中心极限定理，并将给出了该定理的具体应用.虽然本文只给出了一维情况下的中心极限定理，但对于多维情况，可以得到类似的结论.当然，除了研究高斯过程函数的几乎处处中心极限定理之外，对高斯过程函数的几乎处处大偏差性质、几乎处处局部中心极限定理及几乎处处中心极限定理收敛度等问题需进一步研究.

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