几何证明初步（精选12篇）
1.几何证明初步 篇一
第十一章 几何证明初步知识点整理
1.定义：用来说明一个名词含义的语句叫做定义.2.命题：对事情进行判断的语句叫做命题.每个命题都由条件和结论两部分组成.条件是已知事项,结论是由已知事项推断出的事项.一般地,命题可以写成“如果„„,那么„„”的形式,其中“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,那么它就不是命题.例如,下列句子都不是命题:(1)你喜欢数学吗?(2)作线段AB=CD.⑶清新的空气；⑷不许讲话。3.正确的命题称为真命题,不正确的的命题称为假命题.4.反例：要指出一个命题是假命题，只要能举出一个例子，使它具备命题的条件，而不符合命题的结论就可以了。这种例子称为反例。
5.公理：人类经过长期实践后公认为正确的命题,作为判断其他命题的依据。这些公认为正确的命题叫做公理。
证明:除了公理外,其它真命题的正确性都通过推理的方法证实.推理的过程称为证明.定理:经过证明的真命题称为定理.本套教材以下列基本事实作为公理： 1.两点确定一条直线。
2.过直线外一点可以作且只能作一条直线与已知直线平行。3.两直线平行,同位角相等。
4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。5.判断三角形全等的方法：SAS ASA SSS。6.全等三角形的对应角相等，对应边相等。
7.在等式或不等式中,一个量可以用它的等量来代替.例如,如果a=b,b=c,那么a=c,这一性质也看作公理,称为“等量代换”.判断：
所有的命题都是公理。所有的真命题都是定理。所有的定理是真命题。所有的公理是真命题。
6.在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。Eg:(1)两条直线平行，内错角相等．
(2)如果两个实数相等，那么它们的平方相等．(3)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．(4)全等三角形的对应角相等．
注意: 一个命题是真命题,它的逆命题却不一定是真命题.如果一个定理的逆命题也是真命题，那么这个逆命题就是原来定理的逆定理！（勾股定理和它的逆定理）
7.三角形内角和定理：三角形三个角的内角和等于180° 推论一：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。推论二：三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。8.直角三角形的两个锐角互余。有两角互余的三角形是直角三角形。三角形的外角和等于360°。
9.反证法：先提出与命题的结论相反的假设,推出矛盾,从而证明命题成立.这种证明的方法叫做反证法.反证法的步骤：否定结论—推出矛盾—肯定结论 Eg:
1、“a＜b”的反面应是（）（A）a≠＞b（B）a ＞b（C）a=b（D）a=b或a ＞b
2、用反证法证明命题“三角形中最多有一个是直角”时，应如何假设？ ___________________________________
3、写出下列各结论的反面：
（1）a//b（2）a≥0（3）b是正数（4）a⊥b(5)至多有一个（6）至少有一个 常用的互为否定的表述方式：
都是——不都是；大于——不大于；至少有一个——一个也没有；至少有三个——至多有两个；至少有n个——至多有(n-1)个；至多有一个——至少有两个
2.几何证明初步 篇二
中学数学新课标将原初中平面几何中的部分内容, 移到高中作为选讲内容.其中有些是现行初中课标教材删减的内容, 如:直角三角形中的射影定理, 圆的弦切角、相交弦、切割线定理.查阅2009年实施课标高考的各省平面几何选作题, 发现初中生也都能做.
例1 (2009年广东文) 如图1, 点A、B、C是圆O上的点, 且AB=4, ∠ACB=30°, 则圆O的面积等于__.
解法1: (利用圆周角与圆心角的关系) 连结OA、OB, 因为∠ACB=30°, 所以∠AOB=60°, △AOB为等边三角形.因此圆O半径 r=OB=AB=4, 从而圆O的面积S=πr2=16π.
解法2: (用三角形中的正弦定理) 设△ABC外接圆圆O半径为 r, 则由正弦定理有
得 r=4.故圆O面积S=πr2=16π.
例2 (2009年广东理) 如图2, 点A、B、C是圆O上的点, 且AB=4, ∠ACB=45°, 则圆O的面积等于__.
简析:可参考例1的两种解法, 求得圆O的半径
点评:以上两例, 在初中平面几何中也属于基本题.可见高考题中的题目也有简单题, 甚至连初中生也很容易做出.
例3 (2009年江苏卷) 如图3, 在四边形ABCD中, △ABC≌△BAD.求证:AB//CD.
证明1:由△ABC≌△BAD, 得∠ACB=∠BDA, 则A、B、C、D四点共圆, 因而∠CAB=∠CDB.
再由△ABC≌△BAD, 又得∠CAB=∠DBA.
所以∠CDB=∠DBA, 从而AB//CD.
证明2:同上证得A、B、C、D四点共圆, 得∠ADC+∠ABC=180°.
又由全等三角形得∠DAB=∠ABC,
则∠ADC+∠DAB=180°, 所以AB//CD.
点评:证明1和证明2的关键是利用了四点共圆, 则同弧所对的圆周角相等.再由内错角或同旁内角的方法证得两线平行.实际上, 本例还有多种证法, 如分别由两个全等三角形的顶点C、D作底边AB上的高, 由高相等, 立得结论;又如过对角线的交点作AB的垂线, 可证四边形关于这条垂线成轴对称.
例4 (2009年宁夏海南) 如图4, 已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于H, ∠B=60°, F在AC上, 且AE=AF. (1) 证明:B、D、H、E四点共圆; (2) 证明:CE平分∠DEF.
证明: (1) 在△ABC中, 由∠B=60°, 知
∠BAC+∠ACB=120°.
又AD、CE是角平分线, 所以∠HAC+∠ACH=60°, 则∠AHC=120°.
于是∠EHD=∠AHC=120°.
因为∠EHD+∠B=180°, 所以B、D、H、E四点共圆.
(2) 由B、D、H、E四点共圆, 得∠AHE=∠B=60°.
再连结BH, 知BH平分∠B, 则
∠HED=∠HBD=30°.
又由AE=AF, AH平分∠EAF, 得AH⊥EF, 则∠HEF=30°.
可见∠HED=∠HEF=30°, 所以CE平分∠DEF.
点评:对于 (1) 小题, 也可利用三角形的外角关系来证∠BDH+∠BEH=180°.另外, (1) 小题的结论为 (2) 小题的证明提供了重要条件, 这是系列问中常见的情形.应注意在解证后一小题时, 不要忽视前一小题的结论.
例5 (2009年辽宁省) 如图5, 已知△ABC中, AB=AC, D是△ABC外接圆劣弧
解: (1) 由条件知ABCD是圆内接四边形, 则∠CDF=∠ABC, ∠EDF=∠ADB=∠ACB.
又AB=AC, 知∠ABC=∠ACB, 故∠CDF=∠EDF, 从而AD的延长线DF平分∠CDE.
(2) 如图6, 设△ABC外接圆的圆心为O, 连结AO并延长交BC于H.由AB=AC, 知AH⊥BC.连结OC, 则∠OCA=∠OAC=15°.又∠ACB=75°, 则∠OCH=60°.设圆半径为 r, 则
评析:上述各例都与圆有关.这是因为圆可与全等三角形, 相似三角形, 四边形等知识交汇, 构建成综合性较强的试题, 从而能较全面地考查学生分析探究、综合归纳、逻辑推理能力.下面一组高考题供研习.
1. (2008年广东) 已知PA是圆O的切线, 切点为A, PA=2, AC是圆O的直径, PC与圆O交于点B, PB=1, 则圆O的半径R=__.
2. (2008年宁夏、海南) 如图7, 过圆O外一点M作它的一条切线, 切点为A, 过点A作直线AP垂直直线OM, 垂足为P. (1) 证明:OM·OP=OA2; (2) N为线段AP上一点, 直线NB垂直直线ON, 且交圆O于点B.过点B的切线交直线ON于K.证明:∠OKM=90°.
3. (2008年江苏) 如图8, 设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E, ∠BAC的平分线与BC交于点D.求证:ED2=EC·EB.
4. (2007年广东) 如图9, 圆O的直径AB=6, C为圆周上一点, BC=3.过C作圆的切线 l, 过A作 l 的垂线AD, AD分别与直线 l、圆交于点D、E, 则∠DAC=__, 线段AE的长为__.
5. (2007年宁夏、海南) 如图10, 已知AP是⊙O的切线, P为切点, AC是⊙O的割线, 与⊙O交于B、C两点, 圆心O在∠PAC内部, 点M是BC的中点. (1) 证明A, P, O, M四点共圆; (2) 求∠OAM+∠APM的大小.
练习题提示与答案:
1.连AB, 用特殊直角三角形;也可用切割线定理.答:
2.用直角三角形中射影定理.
3.用切割线定理.
4.用Rt△AEB≌Rt△BAC, 30°, 3.
5. (1) 连OP、OM, 用对角互补; (2) 90°.
3.谈“立体几何初步”的学习 篇三
无论是日常生活用品， 还是各种建筑物，它们都是人类生产制造的“产品”。这些产品从数学角度来看，都蕴涵了丰富的三维空间图形。立体几何就是研究三维空间中物体的形状，大小和位置关系的一门数学学科。那么，如何才能学好立体几何这门学科呢？
一、认识各种空间几何体，培养空间想象力。
我们要想设计出一些新颖别致的空间几何体，首先必须了解一些简单几何体的结构特征。为此，我们要先学习两个重要的概念，即平移和旋转。所谓平移，是指按照确定的方向移动相同的距离。譬如，一个点在平移过程中留下的轨迹是一条线段；一条线段在平移过程中留下的轨迹是一个平行四边形；那么，一个平面多边形在平移过程中留下的轨迹就是一个空间几何体，我们称之为棱柱。当棱柱的一个底面收缩为一个点时，所形成的空间几何体我们把它称为棱锥。如果再用一个与棱锥底面平行的平面去截棱锥，那么截面与底面之间的部分，我们把它命名为棱台。棱柱、棱锥、棱台都是由一些平面多边形围成的几何体，它们统称为多面体。另一个重要的概念是旋转，当任意一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转一周所形成的曲面，我们称之为旋转面，封闭的旋转面围成的几何体称为旋转体。当这条平面曲线是特殊的平面图形，如矩形、直角三角形、直角梯形和半圆时，所得的旋转体分别就是圆柱、圆锥、圆台和球。多面体和旋转体都是简单几何体。懂得了这些简单几何体的形成过程和结构特征，我们就可以充分地发挥想象力，任意地进行组合与嫁接，从而形成各种各样的空间图形了。
一旦有了对空间几何体的设计之后，紧接着遇到的问题就是如何把空间几何体在二维空间——平面上表示出来，让技术工人理解并把它们制作出来。这就涉及到如何绘制空间几何体的问题。
意大利数学家、艺术家阿尔贝蒂于1435年发表《论绘画》，阐述了最早的数学透视法原理，引入了投影线和截景等概念。所谓数学透视法就是把三维的现实世界真实地绘制在二维的画布上，再现自然风光和人物情态。天才艺术家达芬奇在绘画实践中娴熟地运用了数学透视法，并撰写了一本谈透视法的书《绘画专论》，在他的倡导下，学习和应用透视法成为欧洲画家们的自觉行动。我国清代宫廷画师年希尧通过向意大利画家郎世宁学习透视知识，于1729年出版《视学》一书，其中最精彩的部分就是图形。他把图形分两大类：直观图和平面图。直观图又分为轴测图和透视图，平面图分为二视图和三视图，其原理与现代的工程制图完全一致。
在立体几何中，我们既要学习在工程制图中被广泛采用的利用正投影绘制空间图形的三视图，又要学习利用斜二测画法绘制空间图形的直观图。通过了解空间图形的两种不同表现形式，可以提高我们作图、识图、运用图形语言进行交流的能力，进而发展我们的空间想象力。
二、洞察空间点线面的位置关系，培养演绎证明能力。
在设计和绘制空间几何体的过程中，还常常会遇到如下的各种各样的技术和细节上的要求，譬如：
①你制造的桌子的桌面是否平整呢？如何保证桌子的四条腿与平整的地面吻合呢？如何判断放置的桌面是水平的呢?
②照相机的支架应该设计几条腿较好呢?自行车应该安装几只撑脚呢?
③如何才能使蜗杆到蜗轮的传动方向恰好是 呢?
④一个长方体木块 ，要经过平面 内的一点 和棱 将木块锯开，应该怎样画线呢?
⑤如何判断竖起的旗杆与地面垂直呢?
⑥我国发射的第一颗人造地球卫星——东方红1号轨道平面的倾斜角为 是什么意思？
要想圆满地解决上述问题，我们必须认真学习三维空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，其中，最重要的两种位置关系就是平行和垂直。空间的点、线、面的位置关系通过公理、定义、判定定理和性质定理，共同组成了下图中的“平行三角形”和“垂直三角形”。通过这两个“三角形”关系，可以自由地实现直线与直线，直线与平面，平面与平面的平行或垂直关系的转化，这是我们进行演绎证明的主要依据，也是学好立体几何的重点和难点。掌握这两个“三角形”关系中定理，主要是以我们熟悉的长方体模型为载体，通过直观感知、操作确认和归纳证明等途径来达到的。
三、了解空间几何体的表面积和体积公式，培养运算求解能力。
在设计空间几何体的过程中，除了会遇到一些技术和细节问题以外，还会涉及到空间几何体的体积大小和用料最省问题，譬如：
①边长为 的正方形薄铁片，以四条边为底边向内剪去四个相等的等腰三角形，然后拼接成正四棱锥模型，如何裁剪才能使正四棱锥的体积最大？
②两个边长为4的正方形纸片，将第1个剪拼成一个正四棱柱模型，将第2个剪拼成一个正四棱锥模型，使它们的全面积都等于原正方形的面积，试计算你所制作的两个模型的体积.
③一根长5 ，底面半径为1 的圆柱形钢管，现用一根铁丝在钢管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，那么，所需要的铁丝最短长度是多少？
要想解决上述问题，就必须研究空间几何体的表面积和体积。对于空间几何体的表面积问题，主要是抓住空间几何体的平面展开图，分析展开图的形状，把空间问题化归为平面问题，利用割补方法加以解决。其中，多面体可以沿着某些棱将它剪开而成平面图形。旋转体的侧面可以沿其母线剪开后展在平面上，展开图的面积就是它们的侧面积，但是球的表面是不可展的。对于空间几何体的体积问题，主要是以长方体体积公式和祖暅原理为工具进行推导。祖暅原理是我国齐梁时代的数学家，祖冲之的儿子祖暅首先提出的一条原理，即两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等。祖暅不仅提出这一原理，而且应用它成功地推导出球的体积公式，体现了我国古代数学的辉煌成就。
4.《几何的初步认识》的教案 篇四
复习近平面图形的认识
教学目标：通过复习使同学进一步理解角、垂直与平行、三角形和四边形的概念，掌握它们的特征和性质，以和各图形的联系。‘
教学过程：
直线、射线、线段。
提问：1）分别说一说什么叫直线、射线、线段？
直线、射线和线段有什么区别？
完成123页上面的“做一做”。（同学笔做）
角
提问：1）什么叫做角？
2）角的大小与什么有关？
整理：把表中的空格填写完整。
完成123页下面“做一做”的1题、2题。
锐角
直角
钝角
平角
周角
大于0°
小于90°
垂直与平行
提问：
1）在同一平面内，两条直线的相互位置有哪几种情况？
2）什么样的两条直线叫做互相垂直？
什么样的两条直线叫做互相平行？
回答：下面几组直线中，哪组的两条直线互相垂直？哪组的两条直线互相平
完成教材124页的“做一做”
三角形。
提问：
1）什么叫做三角形？
2）在下面的三角形中，顶点A的对边是指哪一条边？
先笔做：以顶点A的对边为底，画出三角形的高，并标出底和高。（前页一幅图）
在下面的表中填写三角形的名称和各自的特征。
名称
图形
特征
回答：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的联系与区别。
四边形
提问：什么叫四边形？
回答：看图说出下面各图的特点，再说一说图中各字母表示什么
想一想：为什么说长方形、正方形都是特殊的平行四边形？为什么说正方形是特殊的长方形？
5.小学几何直角的初步认识教案 篇五
在小学几何中，对图形图形的认识是几何数学的基础，学好几何数学有助于提升数学的解析能力，下面是小学几何直角的初步认识教案，一起来看看是怎么启蒙小学生学习关于直角的知识的吧!
小学几何直角的初步认识教案
教学目的：
1. 使学生初步认识直角。
2. 会用三角板判断直角和画直角。
教学重点;
能认识辨别直角，会画直角
教学难点：
判断直角
教具、学具准备：教师给每个学生准备一张画有锐角、直角、钝角的纸。学生准备手帕、教科书、纸盒、练习本、纸。
教学过程：
一、复习
教师在黑板上分别画出锐角、直角、钝角，边画边说：“我们已经认识了角，角的大小是不一样的，我画的三个角的大小就不一样。”画完后，要学生分别指出三个角的顶点与边，教师—一写上。
教师指着直角说：“大家看，这个角是不是跟其他两个角不太一样?这就是我们今天要学习的内容。”
二、新课
1. 教学直角的初步认识。
教师让学生在手帕、教科书与练习本封面上找出各有几个角?并且跟黑板上的直角进行比较。
使学生发现手帕、教科书与练习本封面上的角，跟黑板上教师指出的角的形状、大小差不多。
教师说：“在手帕、教科书与练习本封面上找到的角，跟黑板上的角(指着直角)是一样的，这样的角叫做直角。我们可以用一种符号把它表示出来。”教师在直角上画出直角的符号。
教师让学生拿出三角板着一看，指出哪一个角是直角。然后，让学生拿出纸，仿照书上的方法折出直角。
教师发给学生画有三个角的纸，让学生用三角板上的直角来判断纸上画的.角哪一个是直角。教师说：“先将顶点和顶点合在一起，再将三角板上的一条边跟角的一条边合在一起，再看另一边是否合在一起。”让学生自己操作，教师巡视，及时纠正错误。然后，引导学生说出：如果另一条边和三角板的一边也合在一起，这个角就是直角;如果不合在一起，这个角就不是直角。最后，让学生检查自己折出的角、教科书封面上的角是否都是直角。
2. 做教科书第42页的题目。
第4题让学生独立用三角板上的直角来检查题里的角是不是直角。然后让学生回答。
3. 教学画直角。
教师：“我们已学过怎样画角。那么，怎样画直角呢?”教师边画边说：“先画一条边，将三角板上直角的顶点跟这条边的左端合在一起，使三角板上的一条边和这条边也合在一起;再从顶点出发，沿着三角板的另一边画出角的另一边，这样就能画出一个直角。”然后，让学生用三角板在方格纸上画直角，再说一说是怎样画的。
三、巩固练习
1、做一做第1题，让学生充分列举自己所知道的物品中的直角，还要让一部分学生来判断是否正确。
2、第2题，在方格纸上画直角。要让学生用三角板上的直角去检验一下。
3、第42页第5题，可以让学有余力的学生在钉子板上做。没有钉子板的也可以用直尺或三角板在书上画出所加的线段。
4、第42页第7题，让学有余力的学生自己在带来的纸盒上找直角，看谁能找得又快又全。(正方体和长方体的盒子上各有24个直角。)这道题也可以作为一个数学游戏，让学生分组进行比赛。
四、小结
6.圆锥侧面积的几何证明和积分证明 篇六
一、几何证明：
二、如上图所示为一圆锥的侧面展开平面图，有L`=
22ll①
ι`=2πr=αι
s=πι2
2②
因为αι=2πr,带入中②，得s=πrι
二、积分证明：
如上图，y=kx绕x轴旋转成为圆锥，在距离原点x的地方取微量dx，设在x处圆锥底面半径为r,且有r=kx侧有圆锥底周长l=2πkx,以此处周长近似表达x处所切得的微量的面积的底边长，则其高度h=dxkdx=kdx
ds=2πkxkdx
x
2s= 2πkxkdx=πkx222222k③ 2
22因为ι=xr=kx带入③中得： 2
S=π
7.几何证明题教学五步骤 篇七
【题目】如图1, 已知, 在△ABC中, AB=AC, E是AC延长线的一点, 点F在AB上, 并且BF=CE, 连接FE交BC于D, 求证:FD=DE.
在教学时, 按以下五个步骤进行.
一、首先引导学生认真审题
要求学生根据题意、对照图形把题目中的已知条件和求证的结论, 用自己的语言说出来, 明确这道题已经告诉了什么, 将要求我们干什么, 这是解题的基础.
学生在说的过程中, 有可能叙述不流畅、不完整, 或者照本宣读, 此时教师要适时引导, 逐步培养学生善于抓住重点和关键词, 力争做到简明扼要.
二、引导学生认真分析题目结论成立的条件
根据已有的知识, 组织学生讨论两条线段在什么情形下才能相等, 通过学生陈述, 把所有可能的情况都罗列出来, 并加以归纳总结.这样不但使学生更加明确判断两条线段相等的先决条件, 而且也使学生对已学过的相关知识得到了进一步的巩固.
三、引导学生针对具体问题进行具体分析, 把解题的思路和方法准确地叙述出来
在解答这道题时, 根据线段FD和DE在图形中所在的具体位置, 虽然直接找不出判断这两条线段相等的条件, 但可以通过添加辅助线的方法进行铺垫, 把FD和DE设置到一定的图形中, 创造出解决问题的条件.例如以下四种不同添加辅助线的方法, 就有不同的解题思路和方法.
方法一是过F点作FH∥AE交BC于点H;方法二是过E点作EP∥AB交BC的延长线于点P, 两者都是把所求证的两条线段设置在一组三角形中, 利用全等三角形的性质来证明.
方法三是过F点作FM∥BC交AC于点M;方法四是过E点作EN∥BC交AB的延长线于点N, 两者都是把所求证的两条线段设置在同一个三角形中, 利用三角形中位线的性质来证明.
理清解题思路, 设计最佳解题方案, 这是解决问题的关键.因此, 教师在要求学生巩固好已学知识的前提下, 指导学生掌握解题程序, 善于挖掘和创设条件, 通过转化、推理, 把复杂的、生疏的问题转化为简单的、熟悉的, 有的放矢地寻求正确的解题途径, 理清思路, 确定方案, 解决问题.
四、引导学生陈述并写出题目的解答过程
解题思路确定后, 无论选择哪种方法, 都要求学生从添加辅助元素开始, 利用已知条件, 正确、合理、简捷、清楚、完整地表达出问题的解决过程.这就要求理顺思路, 有理有据地按照逻辑规律, 由已知条件出发, 逐步推演、转化, 进行有序、合理、正确的推理, 建立起已知到结论的清楚、简明、完善的道路, 以实现问题的解决, 过程陈述力争达到完美.在此基础上, 再让学生把证明过程完整地书写出来, 每一步都要做到有根有据、有条有理、规范有序、严谨详尽无遗漏.
五、指导学生检查和反思题目解答的全过程
检查和反思是学生对自身活动进行回顾、思考、总结、评价、调节的过程, 对巩固所学知识、提高分析和解决问题的能力有着不可忽视的作用.教学反思意在通过对题目解答过程的回顾, 组织学生认真思考我们所确定选择的思路和方法是否可行, 推理是否合乎逻辑, 是否还有其他的解法, 对解题过程陈述是否做到了尽善尽美, 书写是否严谨完整, 进而再总结出解题的一般规律并加以推广, 使学生进一步掌握解题的方法和技巧, 养成良好习惯, 提高学习能力.
8.“几何图形初步”的学习要点 篇八
扎实掌握“几何图形初步”的核心内容，是学好“图形与几何”的关键，对于初中数学学习至关重要。
一、了解“几何图形初步”的学习目标，掌握与之适应的学习方法
“几何图形初步”的基本内容涵盖了点、线、面、角等，这些内容是几何学的核心组成要素。通过学习，需要我们努力达成如下目标：
1.通过实物和具体模型，了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和点等。
2.会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义。
3.掌握基本事实：两点确定一条直线。
4.掌握基本事实：两点之间线段最短。
5.理解两点间距离的意义，能度量两点间的距离.
6.理解角的概念，能比较角的大小。
7.认识度、分、秒，会对度、分、秒进行简单的换算，并会计算角的和、差。
恰当的方法是学好“几何图形初步”的利器，为此，我们需要掌握以下学习方法：
1.重视概念，仔细体会其数学本质，杜绝机械记忆，重视对概念的理解，可以结合图形或图形间的转化理解概念，例如，可以结合我们的活动经验来理解几何的概念，将笔在纸上轻轻一点，就形成了一个点，将这个点按照一个方向一直运动就形成了射线，将这条射线围绕着起始点进行旋转，就形成了角，这样结合活动在运动中理解几何概念，不失为一个好方法.
2.充分利用生活经验，深化对于几何基本事实的理解，对于本章的一些内容，不仅需要我们理解概念，而且需要我们认识“两点确定一条直线”“两点之间线段最短”等重要的基本事实，这些基本事实是数千年以来人类不断积淀的生活经验，需要我们还原生活，从几何学的角度进行再次提升，“两点确定一条直线”其实是“在墙上钉木条（如果忽略摩擦力），用两根钉子，就能钉牢”等生活经验的进一步提炼，而“两点之间线段最短”几乎被许多生物的本能反应所诠释，无论是狗扑食，还是鸟儿被惊飞，生物的本能促使它们都选择最快捷的途径。
3.借助图形理解概念——这是几何学不同于代数学的关键点之一，例如，钝角的定义是“大于直角且小于180°的角”，但是在实际观察中发现，很多同学都会漏掉小于180°的角这个重要条件，如果通过图1来理解定义，就不会出现类似的问题了。
4.注意培养看图、画图的能力，本章与以往的代数学习的重要差别之一就是几何直观能力，表现在图形上就是识图、辨图、画图的能力，同学们首先要学会看简单图形，将简单图形的画法、基本特征、性质铭记于心，逐渐养成在复杂图形中寻找简单图形，将复杂图形分解为若干个简单图形的习惯。
图形的发展推进了人类生活上产的进程
就人类的发展而言。图形的出现远远早于文字，而数学起源于人类生产生活的需要，“图形与几何”的产生就是源于面积测量的需要，相传4000年前，古埃及的尼罗河每年洪水泛滥，淹没两岸的土地，也带来肥沃的淤泥，洪水退后，土地的界线便不再分明，当时的人们为了重新测出被洪水淹没的土地的界线，每年总要进行土地测量，古埃及人积累了许多土地测量方面的知识，积淀了几何学初步的丰富经验。
我国对几何学的研究也有悠久的历史，在公元前1000年前，我国处于黑陶文化时期，陶器上的花纹就有菱形、正方形等许多几何图形，公元前500年，在墨翟所著的《墨经》里有几何图形的相关知识，《九章算术》里记载了土地面积和物体体积的计算方法，《周髀算经》里记载了直角三角形三边之间的关系，这就是著名的勾股定理，也被称为“商高定理”，祖冲之的圆周率也是著称于世的，还有我国古代数学家刘徽、王孝通等，都对几何学做出了重大贡献。
随着工农业生产和科学技术的不断发展，几何学的知识也越来越丰富，研究的方面也越来越多，因此，“图形与几何”是为了解决现实问题而存在的，对于我们的生活是必要的。
三、实现世界中存在多姿多彩的几何图形
几何图形是由现实世界的实物抽象而来的，几何图形装点着我们的大千世界，在现实世界中，存在着各种各样的几何图形，有的是简单的几何图形，有的是由简单几何图形复合而成的复杂几何图形。
有些几何图形（如线段、角、三角形、长方形、圆等）的各部分都在同一平面内，它们是平面图形，有些几何图形（如长方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形。
我们生活的世界完全可以说是一个图形的世界。图2和图3就是笔者在生活中拍摄的照片，从中可以发现很多的几何图形，其中，既有平面图形也有立体图形，例如，平面图形：圆、长方形、钝角、直角等，立体图形：球、圆台等，你也可以试着找一找，看看还能找出哪些几何图形。
只要我们仔细观察，认识思考，就会发现几何图形无处不在。
几何直观能力是指借助于见到的（或想象出来的）几何图形，对数学的研究对象（即空间形式和数量关系）进行直接感知、整体把握的能力，借助于直观形象的图形，我们可以简捷明快地分析和解决数学问题，通过本章的学习，期望你初步认识图形，感受图形世界的美妙，体会图形世界的内在规律——它们都是由一些基本图形组成的。
当然。仅仅找到它们是不够的，我们更应该去思考：用所学的几何图形知识，可以解决哪些问题呢？
四、动手制作立体图形，积累几何操作的直接经验，发展空间观念
“图形与几何”的应用之一就是设计制作文化用品和家居用品，这些物品是人们生活中必不可少的工具，它们在帮我们解决生活问题的同时也美化了生活环境，图4、图5是我们生活中常见的小家具——收纳凳，它们既可以帮我们收纳物品，也可以供人们休息。
原本一个收纳用的箱子，经人们稍加设计，就变得更有用了，现在市面上一般都是正方体的收纳凳（图4）和正八棱柱的收纳凳（图5），
nlc202309012325
1.发现数学问题，
能否用已经学过的知识来开发出新样式的收纳凳呢？
我们一起来研究如何制作一个正五棱柱的收纳凳。
2.提出数学问题，
将我们待解决的问题——“制作一个正五棱柱的收纳凳”，转化成数学问题——“如何制作一个正五棱柱”。
3.分析问题，
观察正五棱柱，它有什么样的特点呢？可以发现正五棱柱的上表面和下表面是一样的正五边形，侧面都是一样的矩形，并且这些矩形都有一边与正五边形的边长相等。
4.解决问题。
（1）设计正五棱柱的展开图，
不难分析，展开图需要满足这样的条件：上表面和下表面至少要有一条边与侧面连接，而侧面之间则不必完全连接。
正五棱柱的展开图大致分为两类：
当侧面都连在一起时，只要两个一样的正五边形在侧面所连成的大矩形的两侧即可（如图6所示）：
当侧面和侧面不连接在一起时，那么有一个正五边形就会和每一个侧面都连接，另一个正五边形和其中的一个侧面的矩形连接即可（如图7所示）。
这两类展开图均可组成正五棱柱，
（2）任选一个第一步中可以组成正五棱柱的展开图（如图8），将展开图按连接线折起，用胶粘住，一个正五棱柱就做好了。
5.几何知识的拓展应用。
经过前面发现问题、提出问题、分析问题、解决问题四步，我们就能够做一个正五棱柱了，细心的同学可以发现，笔筒是生活中的物品，它与正五棱柱是有区别的，这就引起我们注意了，将所学的数学知识应用于实际生活时，应该根据具体情况做一些处理。
我们要做正五棱柱的收纳凳，还要注意下面几个问题。
（1）用一些承重能力强的材料，按照上面的步骤制作两个不完整的正五棱柱（一个没有下表面，另一个没有上表面，并且没有下表面的正五棱柱要比没有上表面的正五棱柱大一点），我们就可以仿照制作正五棱柱的步骤去制作没有上表面（或下表面）的正五棱柱。
（2）将这两个不完整的正五棱柱套在一起。
（3）创意加工：给两个不完整的正五棱柱先穿上“美丽的衣服”，然后进行精心“化妆”、适当镂空，再加些小饰物，一个正五棱柱的收纳凳就大功告成了。
能力拓展：经历了上面的过程，你不妨想一想圆柱体、正三棱柱、长方体的收纳凳或者笔筒应该如何制作，利用类似的图形，你还可以做什么样的富有创意的小物品呢？
懂得了数学知识，我们也可以自己做各种有创意的家具了！只要认真思考，数学会带给我们无尽的惊喜！认识和了解了几何图形之后，我们会发现数学知识很有用，可以帮我们解决生活中的问题，能够让生活更美好，为我们的生活增光添彩。
同学们还能发现图形的哪些应用呢？
练一练
1.图9、图10、图11可以折成什么样的立体图形呢？
2.图12是正六棱柱的展开图（不完整），如果要用这个展开图折成一个正六棱柱，需要添上什么图形，在哪添，共有几种添法？
3.图13是正六棱柱的展开图（不完整），要补充完整，需要添上什么样的图形，可以添在什么位置上，共有几种添法？
参考答案：
1.图9：三棱锥；图10：圆锥；图11：正六棱柱。
2.添一个和图12中一样的正六边形。共有6种添法，位置略。
3.需要添上和图13中一样的正六边形，共有6种添法，位置略。
9.初二几何证明 篇九
（2）如图（2）,Rt△ABC中，∠B=90°，M、N分别是AB、BC上的点，且AMBC,BMCN，连接AN、CM相交于点P.请你猜想∠APM=°，并写出你的推理过程.24．如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合．三角板的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G.（1）求证：EFEG；
（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若ABa，BCb，求
EF的值． EG
24.问题1：如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=CD，点M，N分别在AD，CD上，若∠MBN=1∠ABC，试探究线段MN，AM，CN有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不用证明；
21∠ABC仍然成立，请你进一步探究线段MN，AM，CN又有怎样的数量关系？写出2问题2：如图2，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，点M，N分别在DA，CD的延长线上，若∠MBN=
你的猜想，并给予证明.5.（丰台区）在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点O放在斜边AC上，将三角板绕点O旋转．
（1）当点O为AC中点时，①如图1，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，连接EF，猜想线段AE、CF与EF之间存在的等量关系（无需证明）；
②如图2，三角板的两直角边分别交AB，BC延长线于E、F两点，连接EF，判断①中的猜想是否成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（2）当点O不是AC中点时，如图3,，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，若AO1，AC
4求OE的值．
OF
E
B F C 图1 图2 图3 F B F CA A
24． 已知：四边形ABCD是正方形，点E在CD边上，点F在AD边上，且AF＝DE．
（1）如图1，判断AE与BF有怎样的位置关系？写出你的结果，并加以证明；
（2）如图2，对角线AC与BD交于点O． BD，AC分别与AE，BF交于点G，点H．
①求证：OG＝OH；
②连接OP，若AP＝4，OP
AB的长．
图
1（1）答：
证明：
9.（房山区）（1）如图1，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，且满足BE=CF，联结AE、BF交于点H..请直接写出线段AE与BF的数量关系和位置关系；
（2）如图2，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，联结BF，过点E作EG⊥BF于点H，交AD于点G，试判断线段BF与GE的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，在（2）的条件下，联结GF、HD.求证：①FG+BE
②∠HGF=∠HDF.图2 B AGDG
B
第24题图1 FB
E第24题图2 F
B
10.几何证明题方法 篇十
初中几何证明技巧（分类）
证明两线段相等
1.两全等三角形中对应边相等。
2.同一三角形中等角对等边。
3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。
4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。
5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。
6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。
7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。
8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。*9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。
*10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。
11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。*12.两圆的内（外）公切线的长相等。
13.等于同一线段的两条线段相等。
证明两个角相等
1.两全等三角形的对应角相等。
2.同一三角形中等边对等角。
3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。
4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。
5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。
*6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
*7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
8.相似三角形的对应角相等。
*9.圆的内接四边形的外角等于内对角。
10.等于同一角的两个角相等。
证明两条直线互相垂直
1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。
2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。
3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。
4.邻补角的平分线互相垂直。
5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。
6.两条直线相交成直角则两直线垂直。
7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。
8.利用勾股定理的逆定理。
9.利用菱形的对角线互相垂直。
*10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。
*11.利用半圆上的圆周角是直角。
证明两直线平行
1.垂直于同一直线的各直线平行。
2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。
3.平行四边形的对边平行。
4.三角形的中位线平行于第三边。
5.梯形的中位线平行于两底。
6.平行于同一直线的两直线平行。
7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。
证明线段的和差倍分
1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等。
2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段。
3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等。
4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段。
5.利用一些定理（三角形的中位线、含 30 度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三 角形的重心、相似三角形的性质等）。
证明 角的和差倍分
1.与证明线段的和、差、倍、分思路相同。
2.利用角平分线的定义。
3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
证明线段不等
1.同一三角形中，大角对大边。
2.垂线段最短。
3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
4.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等，则夹角大的第三边大。*5.同圆或等圆中，弧大弦大，弦心距小。
6.全量大于它的任何一部分。
证明两角的不等
1.同一三角形中，大边对大角。
2.三角形的外角大于和它不相邻的任一内角。
3.在两个三角形中有两边分别相等，第三边不等，第三边大的，两边的夹角也大。*4.同圆或等圆中，弧大则圆周角、圆心角大。
5.全量大于它的任何一部分。
证明比例式或等积式
1.利用相似三角形对应线段成比例。
2.利用内外角平分线定理。
3.平行线截线段成比例。
4.直角三角形中的比例中项定理即射影定理。
*5.与圆有关的比例定理---相交弦定理、切割线定理及其推论。
6.利用比利式或等积式化得。
证明四点共圆
*1.对角互补的四边形的顶点共圆。
*2.外角等于内对角的四边形内接于圆。
*3.同底边等顶角的三角形的顶点共圆（顶角在底边的同侧）。
*4.同斜边的直角三角形的顶点共圆。
*5.到顶点距离相等的各点共圆
知识归纳：
1.几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作 用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。
2.掌握分析、证明几何问题的常用方法：（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐 步向前推进，直到问题的解决；（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再 把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于 表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。
11.几何定理的机器证明 篇十一
几千年来，人们解几何题的招数，层出不穷，争奇斗艳，概括起来，不外这4类：检验、搜索、归约和转换，50多年来，数学家和计算机科学家费尽心思，循循善诱，把个中奥秘向计算机传授，使得计算机解几何题的能力日新月异，大放光彩，除了灵机一动加辅助线，或千变万化的问题转换之外，前3种方法计算机都学得十分出色了，用机器帮助，以至在某种程度上代替学者研究几何，帮助乃至代替老师指导学生学习几何，已经从古老的梦想变为现实。
在几何定理机器证明中，采用代数方法，引进坐标，将几何定理的叙述用代数方程的形式重新表达，证明问题就转化成判定是否能从假设的代数方程推出结论的代数方程的问题，这样把几何问题代数化，自笛卡尔以来已是老生常谈，并无实质困难，然而代数化的过程，坐标点的选取和方程引进的次序都可能影响到后续证明的难度，甚至由于技术条件的限制，影响到证明是否可能完成，也就是说，几何问题化成纯代数问题之后，也并不见得一定容易，更不能说就能实现机械化了，这不仅是因为解决这些代数问题的计算量往往过大，令人望而却步，还因代表几何关系而出现的那些代数等式或不等式常常杂乱无章，使人手足无措，从这些杂乱无章的代数关系式中要找出一条途径，以达到所要证的结论，往往要用到高度的技巧，换句话说，即使你不怕计算，会用计算机来算，也不知道从何算起。
解几何题是思维的体操，是十分有吸引力的智力活动之一，图形的直观简明，推理的曲折严谨，思路的新颖巧妙，常给人以美的享受，许多青少年数学爱好者，往往首先是对几何有了浓厚的兴趣，用计算机证明几何问题，如果仅限于用平凡而繁琐的数值计算代替巧妙而难于入手的综合推理，则未免大煞风景，通过计算机的大量计算判断命题为真，确实是证明了定理，这是有严谨理论基础的，但这样的证明写出来只是一大堆令人眼花缭乱的算式、数字或符号，既没有直观的几何意义，又难于理解和检验，这跟几何教科书上十行八行就说得明明白白的传统风格的证明大相径庭，如果计算机给出的这一堆难于理解和检验的数据也算是几何问题的解答，这种解答只能叫做不可读的解答。
12.初中几何常用的直角证明方法小结 篇十二
1.利用高线或垂直得到直角。
这是最简单的直角证明方法, 学生需要注意的是图形中的高线或垂直带来的往往不止一个直角, 结合题意合理判断究竟该使用哪一个直角才是更应该掌握的。
2.在△ABC中, 如果∠A+∠B=90°, 那么∠C=90°。
从角度出发, 在△ABC中, ∠A+∠B=90°的条件结合三角形的内角和定理可以很轻易地得到另一个角是直角。
3.在△ABC中, 如果a2+b2=c2, 那么△ABC是直角三角形。
从边出发, 使用勾股定理的逆定理也能帮助我们证明一个三角形是直角三角形, 从而得到直角。
例1: (2011·湛江) 如图1, 抛物线y=x2+bx+c的顶点为D (-1, -4) , 与y轴交于点C (0, -3) , 与x轴交于A、B两点 (点A在点B的左侧) 。
(1) 求抛物线的解析式。
(2) 连接AC、CD、AD, 试证明△ACD为直角三角形。
(3) 若点E在抛物线的对称轴上, 抛物线上是否存在点F, 使以A、B、E、F为顶点的四边形为平行四边形?若存在, 求出所有满足条件的点F的坐标;若不存在, 请说明理由。
此题也是贵州省安顺市2011年的中考试题, 在第二问中结合二次函数考查了利用勾股定理的逆定理证明直角三角形这一知识点。
解:在第一问中可轻易求出A (-3, 0) , 利用勾股定理可以很快求出AC2=18, CD2=2, AD2=20。
因为在△ACD中, AC2=18, CD2=2, AD2=20,
所以AC2+CD2=AD2,
所以△ACD是直角三角形。
4.若两直线平行, 那么产生的一对同旁内角的角平分线互相垂直。
例2:如图2, 已知AB//CD, AE、CE分别是∠BAC、∠ACD的平分线, 直线AE⊥CE吗?
证明:因为AB//CD,
所以∠BAC+∠ACD=180°,
因为AE、CE分别是∠BAC、∠ACD的平分线,
所以
所以
所以AE⊥CE。
掌握好这个模型, 那么处理其他相关的这一类型的题目就能事半功倍了。
5.一对邻补角的角平分线互相垂直。
例3:如图3, 已知:AB、CD相交于O, OE、OF分别平分∠AOC, ∠AOD,
求证:OE⊥OF。
证明:因为OE平分∠AOC, OF平分∠AOD,
所以
因为∠AOC+∠AOD=180°,
所以
所以OE⊥OF。
据我观察, 这一模型特别容易出现在证明矩形的题中。
例4: (2010·安顺) 如图4, 在△ABC中, AB=AC, AD⊥BC, 垂足为点D, AN是△ABC外角∠CAM的平分线, CE⊥AN, 垂足为点E,
(1) 求证:
四边形ADCE为矩形;
(2) 当△ABC满足什么条件时, 四边形ADCE是一个正方形?并给出证明。
如果大家对这个模型掌握得好, 相信不用我多说第一问就能很快做出解答, 同时中学平面几何中矩形的证明方法学生也能得以加强和巩固。
6.在△ABC中, 如果一边上的中线等于这条边的一半, 那么△ABC是直角三角形。
例5:如图5, 在△ACD中CD平分AB, 且CD=AD=BD,
求证:△ABC是直角三角形。
证明:因为AD=CD,
所以∠A=∠1。
同理∠2=∠B。
因为∠2+∠B+∠A+∠1=180°,
即2 (∠1+∠2) =180°,
所以∠1+∠2=90°,
即∠ACB=90°。
所以△ABC是直角三角形。
【几何证明初步】推荐阅读：
几何证明计算题07-05
几何证明与计算专题09-25
几何证明的分析和书写07-04
立体几何证明平行专题07-07
八上几何证明题解析07-10
几何证明选讲试题08-03
高考立体几何证明垂直09-14
平面几何证明拔高题09-22
几何证明选讲第一讲：相似三角形07-25