平行线相交线证明

平行线相交线证明（共14篇）

1.平行线相交线证明 篇一

相交线和平行线证明

一、选择题（每题3分，共45分）

1.如图(1)下列条件中，不能判断直线ｌ１∥ｌ２的是（）

Ａ.∠１＝∠３Ｂ.∠４＝∠５Ｃ.∠２＋∠４＝180°Ｄ.∠２＝∠３

2.如图(2)，ＡＢ∥ＣＤ∥ＥＦ，ＡＦ∥ＣＧ，则图中与∠Ａ（不包括∠Ａ）相等的角有（）Ａ.５个Ｂ.４个Ｃ.３个Ｄ.２个

（1）（2）（3）

3.同一平面内的四条直线满足a⊥b，b⊥c，c⊥d，则下列式子成立的是（）

A．a∥bB．b⊥dC．a⊥dD．b∥c

4．如图(3)，能判断直线AB∥CD的条件是（A、∠1=∠2B、∠3=∠4）C、∠1+∠3=180°D、∠3+∠4=180°

5.如果∠A和∠B的两边分别平行，那么∠A和∠B的关系是().A.相等B.互余或互补C.互补D.相等或互补

6.如下图，点E在BC的延长线上，下列条件中不能判定AB∥CD的是().A.∠3=∠4B.∠1=∠

2C.∠B=∠DCED.∠D+∠DAB=180°

7．如果两条直线被第三条直线所截，那么一组内错角的平分线（）

Ａ、互相垂直Ｂ、互相平行Ｃ、互相重合Ｄ、以上均不正确

8.如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角的平分线（）

A．互相平行B.互相垂直C.交角是锐角D.交角是钝角

9.如图，图中∠1与∠2是同位角的是()

⑴⑵

⑶⑷ A、⑵⑶B、⑵⑶⑷C、⑴⑵⑷D、⑶⑷

10.如图，AB∥CD，且∠BAP=60°-α，∠APC=45°+α，∠PCD=30°-α，则α=()

A、10°B、15°C、20°D、30° D

11．已知，如图，BE、CD交于点A，DE∥BC，∠DEB与∠BCD的平分线交于点F，则∠F为（）

A.180(BD)

B.D

1B

2C.B

D2

BD

2D.12、在同一平面内，两条直线的位置关系可能是（）。

A、相交或平行B、相交或垂直C、平行或垂直D、不能确定

13、如图，下列说法错误的是（）。

A、∠A与∠C是同旁内角B、∠1与∠3是同位角C、∠2与∠3是内错角D、∠3与∠B是同旁内角

14、三条直线相交于一点，构成的对顶角共有（）。A、3对B、4对C、5对D、6对

15、如图，∠1＝20°，AO⊥CO，点B、O、D在同一直线上，则∠2的度数为（）。A、70°B、20°C、110°D、160° 二.填空题（每空1分。共10分）

100，则2_______。

1、如图⑤，已知a//b，若150，则2_______；若3＝

c



ab

D

图⑤

B

（2）

C

第1题图第2题图第3题图第题图、如图（2），如果AB∥CD，BC∥AD，∠B=50°，则∠D=_______；

3、如图，已知AB∥CD，EF

⊥CD，FG平分∠EFD，则∠1与∠2的大小关系为_______。

4、如图10，直线a∥b，且∠1＝28°，∠2＝50°，则∠ABC＝_______。

5、如图，一张宽度相等的纸条，折叠后，若∠ABC＝120°，则∠1的度数为_____。

第5题图第6题图第7题图第8题图

6、如图，CD⊥AB于D，DE∥BC，∠1＝∠2，则FG与AB的位置关系是_____。

7、如图，AB∥EF，BC∥DE，则∠E+∠B的度数为________．

8、如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，O为垂足，如果∠EOD=38°则∠AOC=，∠COB=。

三.解答题（每题5分，共45分）

1、如图所示，AB∥ED，∠B＝48°,∠D＝42°, BC垂直于CD吗？下面给出两种添加辅助线的方法，请选择一种,对你作出的结论加以说明．

6、已知；如图AB // ED求证 B +  BCD +  D = 360°

7、如图，已知：AD⊥BC，EF⊥BC，∠E＝∠AGE。求证：AD平分∠BAC。

8、如图，已知C是线段AB上的一点，ADDC⊥CE。

9、如图ＡＢ∥ＣＤ，∠NCM＝90°，∠

2.平行线相交线证明 篇二

在证明线面平行的过程中, 我们通常采用第二种方法:将线面平行转化为线线平行的问题, 从而也将立体几何问题转化为平面几何问题。如此, 在平面中找到和已知直线平行的直线便成了解题的关键。教学过程中, 发现很多同学凭感觉去找那条直线。当然, 有时候数学的直觉对于解题好比是一把金钥匙, 它可以引导你顺利的解题。然而, 这种数学的直觉却是可遇不可求的, 能不能借助什么方法去找到那条关键直线而不是凭灵光一现呢?

一、理论依据

线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行, 经过这条直线的平面和这个平面相交, 那么这条线和交线平行。方法:找和已知直线、已知平面都相交的第三条直线, 则它和已知直线确定的平面与已知平面的交线就是平面内和已知直线平行的直线。 (如图1)

二、例题示范

如图2, 已知在三棱柱ABC-A1B1C1中, 点D是BC边上的中点。求证:A1B//平面AC1D。看完这个题目, 直觉就是想连接侧面AC1的另一条对角线A1C, 设对角线的交点为E, 连接DE, 这恰好是三角形A1BC的中位线, 从而实现了线段A1B的平移。为什么会想到这么作辅助线呢?除了这一种辅助线作法以外, 还有没有其他作辅助线的方法呢?下面我们就采用上面叙述的方法来做一做。在这个三棱柱中, 和线段A1B、平面AC1D都相交的线段有BC、A1C1、AB、A1A。其中, 每一条线段都可以和已知线段A1B构成一个新的平面, 通过找新平面和平面AC1D的交线, 从而实现线段A1B的平移。

方法一:确定线段BC, 它和线段A1B构成平面A1BC, 从而自然连接线段A1C。如图3所示, 连接A1C, 交AC1于点E, 连接DE (平面AC1D与A1BC的交线) , 则在三角形A1BC中, DE为其中位线, 有DE//A1B, 又因为A1B埭平面AC1D, DE奂平面AC1D, 所以A1B//平面AC1D。

方法二:确定线段A1C1, 它和线段A1B构成平面A1BC1, 过点B作BG//AC, 交AD的延长线于点G, 连接C1G (平面AC1D与A1BC1的交线) 。实际上, 此时可将三棱柱补全为一平行六面体, 如图4所示。则有C1G//A1B, 因为A1B埭平面AC1D, C1G奂平A面AC1D, 所以A1B//平面AC1D。

方法三:确定线段AB或A1A, 它和线段A1B构成平面A1B, 恰为三棱柱的侧面。延长B1B, C1D交于点J, 连接AJ (平面AC1D与A1B的交线) 。实际上, 此时可将三棱柱纵向拉升为原来的两个, 如图5所示。在JB1C1中, BD//1/2B1C1, 则BJ=BB1=AA1, 又BB1//AA1, 所以BJ//AA1, 即四边形AA1BJ是平行四边形, 所以AJ//A1B, 因为A1B埭平面AC1D, AJ奂平面AC1D, 所以A1B//平面AC1D。

三、小结

3.梳理相交线与平行线 篇三

在同一平面内，任意画两条直线，只可能有相交和平行两种情况.

对于相交，同学们不仅要知道邻补角、对顶角，而且要知道“三线八角”；对于平行，同学们不仅要知道平行线的判定，而且要知道平行线的性质.

一、生活中的平行

在生活中，大量物品的设计中运用了平行，

你能说出它们的原理吗？你能通过自己的方法，利用生活中随处可见的材料“做”平行线吗？你能用平行解决生活中的小问题吗？

1.交通中的平行，

衣食住行，正常的生活运转中自然是少不了交通了，表1展示了交通中的平行.

人行横道指的是在车行道上用斑马线等标线或其他方法标示的、规定行人横穿车道的步行范围，斑马线是保证人们安全行走的必要交通标线，通常采用白色矩形平行排列的方式，如图1所示.这样的标线比较整齐，容易划定行人行走的安全区域，并且比较醒目，

如果不采用平行线的画法会怎么样呢？如果用相交线，那么，就会出现图2的样子，显得比较乱，也不能有效划定行人行走的安全区域.

随着生活水平的提高，越来越多的人掌握了驾驶车辆的技能，在倒车中也应用着平行，图3是一辆车倒人车库的简图，

试想一下，如果车在车库门口停到了合适的距离，但是车身没有与墙壁保持平行，会出现什么样的情况呢？就会出现图4的情况，在车缓慢进入车库时，车身会与墙壁相碰撞.

2.物品中的平行.

表2展示了物品中的平行.你能分析出它们在设计中是怎样应用平行的吗？

铝合金窗的上窗架和下窗架是平行的（如图5），这样是为了确保矩形玻璃能顺利地被推拉.

在潜望镜中，两个镜面是平行放置的，如图6所示.光线进入遇到镜面，然后反射到另一个镜面，进而再反射进入人眼，

由镜面反射可知，∠1与∠2相等，∠3与∠4相等.由于两个镜面是平行放置的，故∠2与∠3相等.于是，∠1=∠2=∠3=∠4，入射光线和反射到人眼的光线就是平行的，这样通过潜望镜所看见的物体形状不发生改变.

二、动手“做”平行线

利用身边的一些东西，我们可以轻松地“做”平行线.下面是A同学“做”平行线的过程，看你是否可以得到一些启发.

1.猜想.

怎样用最简单的方法，用最少的材料“做”平行线？

我们已经学过：同位角相等，两直线平行.据此能否在纸上折出平行线呢？

接下来要做的活动可以分解为：

①折出一个角.

②再折出另一个角，使其与已折出的角相等.

2.动手制作.

如表3中图7～图10所示.

你能试着像A同学一样折出相互平行的折痕吗？

其实，我们身边有很多东西（比如纸、量角器、直尺、三角板……），借助这些东西，我们可以“做”平行线，

反思整个过程，如果想要折出平行线，我们就要在头脑中思考这样的问题：

平行线具有什么样的特征？

应该利用什么东西来进行怎样的操作才能“做”平行线？

“做”平行线后，怎样证明所“做”的两条线是平行的？

看过A同学“做”平行线的整个过程，想必你也深受启发吧！

想一想，还有什么样的方法能够“做”平行线呢？

我们可以利用“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行”（即“同位角相等，两直线平行”），也可以利用“内错角相等，两直线平行”或“同旁内角互补，两直线平行”等“做”平行线，

选定理论依据后，想一想利用什么东西“做”平行线，比如：纸、量角器、三角板……

4.相交线与平行线的综合证明题训练 篇四

班级：姓名：

一、填空

1、完成下列推理过程：如图，已知∠A=∠F，∠C=∠D。试说明DB∥EC。A 证明：∵∠A=∠F（）

∴AC∥DF（）∴∠（）

E 又∵∠C=∠D（）

∴∠1=∠C（）∴BD∥CE（）B

F

C

2、如图，已知AB∥CD，求∠B+∠BED+∠D的度数。

解：过点E作EF∥AB

∵EF∥AB（）A B

∴∠B+∠1=180（）

又∵AB∥CD（）

F E ∴EF∥CD（）

2∴∠D+∠2=1800（）C D

∴∠B+∠1+∠2+∠D=360（）又∵∠1+∠2=∠BED（）∴∠B+∠BED+∠D=3600（）

3、如图，已知AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，∠1=∠2。求证：BE∥CF 证明：∵AB⊥BC，CD⊥BC（）

∴AB∥CD（）F

∴∠ABC=∠BCD()又∵∠1=∠2()

∴∠ABC—∠1=∠BCD—∠2（）∴∠3=∠4（）

∴BE∥CF()

D C

二、综合题

1、如图，已知∠B=400，∠1=1400，试判断AB与CD是

6、已知：如图，直线AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于

B 否平行？请说明理由。点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P.试求∠P的大小.A BC D2、已知AB//DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，求∠BCD.A

C

C

P

D3、如图，AD⊥BC于D点，EF⊥BC于点F，且EF交于

点G，交CA延长线于点E，∠1=∠2.求证：AD平分∠BAC。

AC7、如图，已知AB∥CD，试判断∠BED与∠B和∠D有何

数量关系？并证明呢的结论。

B

D

F D4、如图，已知DF∥AC，∠D=∠C，求证：∠1=∠2.FB C5、已知：如图，AB∥DE，CM平分∠BCE，CN⊥CM．求证：∠B＝2∠DCN．

8、已知：如图，AD∥BC，∠BAD＝∠BCD，AF平分∠BAD，CE平分∠BCD．求证：AF∥EC．

5.平行线相交线证明 篇五

一、平行线之间的基本图

1、如图已知，AB∥CD.AF,CF分别是EAB、ECD的角平分线，F是两条角平分线的交点； E F B1求证：FAEC.2D2、已知AB//CD，此时A、AEF、EFC和C的关系又如何？你能找出其中的规律吗？

E

D3、将题变为如下图：AB//CD

C

此时A、AEF、EFD和D的关系又如何？你能找出其中的规律吗？

4、如图，AB//CD，那么A、C与AEC有什么关系？

ED

ED

C

这一部分习题会了，就可以有很大提高了！-------董老师

二、两组平行线的证明题【找出连接两组平行线的角】

1.已知：如图，CD平分∠ACB，AC∥DE，∠DCE=∠FEB，求证：EF平分∠DEB．

C

E

B3、已知：如图2-96,DE⊥AO于E,BO⊥AO,FC⊥AB于C，∠1=∠2,求证：DO⊥

AB.3、如图，已知EF⊥AB，∠3=∠B，∠1=∠2，求证：CD⊥AB。

4、已知AD⊥BC，FG⊥BC，垂足分别为D、G，且∠1=∠2，猜想∠BDE与∠C有怎样的大小关系？试说明理由.三、两组平行线构造平行四边形

1．已知：如图，AB是一条直线，∠C = ∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于G． 求证：AB∥CD ．

这一部分习题会了，就可以有很大提高了！-------董老师

2、如图，E点为DF上的点，B为AC上的点，∠1=∠2，∠C=∠D，求证DF∥AC．

3、如图，M、N、T和A、B、C分别在同一直线上，且∠1=∠3，∠P=∠T，求证：∠M=∠R。

四、证特殊角

D

F

A

(第22题)

B C1、AB∥CD，∠BAC的平分线和∠ACD的平分线交于点E，则∠AEC的度数是．

2、AB∥CD，直线EF与AB、CD分别相交于E、F两点，EP平分∠AEF，过点F作PFEP垂足为P，若∠PEF＝300，则∠PFC＝_____．

这一部分习题会了，就可以有很大提高了！-------董老师

图图8

3．已知：如图，AB∥DE，CM平分∠BCE，CN⊥CM．求证：∠B＝2∠DCN．

4.如图已知直线a∥b，AB平分∠MAD，AC平分∠NAD，DE⊥AC于E，求证：∠1=

∠2．

五、寻找角之间的关系

1、如图2-97,已知：∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6.求证:AD∥BC.2、已知，如图，BCE、AFE是直线，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4。求证：AD∥BE。

D C

E

6.相交线与平行线(难题) 篇六

A D

1、如图，要把角钢（1）弯成120°的钢架（2），则在角钢（1）上截去的缺口是_____度。

BC

第1题第2题第3题

2、（2009年崇左）如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若150°，则AEF=

（），250°，3、（2009年新疆）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，130°

则3的度数等于（）

4、（2007年·福州中考）（阅读理解题）直线AC∥BD，连结AB，直线AC,BD及线段AB把平面分

成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连结PA,PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角．）

（1）当动点P落在第①部分时，求证：∠APB =∠PAC +∠PBD；

（2）当动点P落在第②部分时，∠APB =∠PAC +∠PBD是否成立（直接回答成立或不成立）？

（3）当动点P在第③部分时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．

校址：新余市渝水区五一北路红海名仕公馆258号（城北青少年宫旁）校区联系电话：

0790--63663885、(2009年金华市)如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=32o，那么∠

2第6题

第5题

6、光线a照射到平面镜CD上，然后在平面镜 AB和CD之间来回反射，这时光线的入射角等于反射角，即∠1＝∠6，∠5＝∠3，∠2＝∠4。若已知∠1=55°，∠3=75°，那么∠2等于（）

7、如图是我们生活中经常接触的小刀，刀柄外形是一个直角梯形（下底挖去一小半圆），刀片上、下是平行的，转动刀片时会形成∠

1、∠2，求∠1+∠2的度数。

8、如图1－26所示．AE∥BD，∠1=3∠2，∠2=25°，求∠C．

9、如图，直线AB、CD被直线EF所截，∠AEF+∠CFE=180°，∠1=∠2，则图中的∠H与∠G相等吗？说明你的理由.(12分)

E

G

H10、（动手操作实验题）如图所示是小明自制对顶角的“小仪器”示意图：（1）将直角三角板ABC的AC边延长且使AC固定；

（2）另一个三角板CDE的直角顶点与前一个三角板直角顶点重合；

（3）延长DC，∠PCD与∠ACF就是一组对顶角，已知∠1=30°，∠ACF为多少？

11、把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=45°，则∠2的度数为（）

A、115° B、120° C、145° D、135°

第11题第12题第13题

12、（2011•天水）如图，将三角板的直角顶点放在两条平行线a、b中的直线b上，如果∠1=40°，则∠2的度数是（）

A、30° B、45° C、40° D、50°

13、（2011•泰安）如图，l∥m，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在直线m上，若∠β=20°，则∠α的度数为（）

A、25° B、30° C、20° D、35°

14、（2011•江汉区）如图，AB∥EF∥CD，∠ABC=46°，∠CEF=154°，则∠BCE等于（）A、23° B、16° C、20° D、26°

15、（2011•恩施州）将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α=43°，则∠β的度数是（）

A、43° B、47° C、30° D、60°

16、如图，已知l1∥l2，MN分别和直线l1、l2交于点A、B，ME分别和直线l1、l2交于点C、D，点P在MN上（P点与A、B、M三点不重合）．

（1）如果点P在A、B两点之间运动时，∠α、∠β、∠γ之间有何数量关系请说明理由；（2）如果点P在A、B两点外侧运动时，∠α、∠β、∠γ有何数量关系（只须写出结论）．

17、实验证明,平面镜反射光线的规律是:射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等.(1)如图,一束光线m射到平面镜a上,被a反射到平面镜b上,又被b反射.若被b反射出的光线n与光线m平行,且∠1=50°,则∠2=°，∠3=°.(2)在(1)中,若∠1=55°,则∠3=°;若∠1=40°,则∠3=°.(3)由(1)、(2),请你猜想:当两平面镜a、b的夹角∠3=°时,可以使任何射到平面镜

a上的光线m,经过平面镜a、b的两次反射后,入射光线m与反射光线n平行.你能说明理由

吗?

a

31m

b

n18、潜望镜中的两个镜子MN和PQ是互相平行的，如图所示，光线AB经镜面反射后，∠1=∠2，∠3=∠4，试说明，进入的光线AB与射出的光线CD平行吗？为什么？

7.平行线相交线证明 篇七

四年级学生的思维特点是以形象思维为主逐步向抽象思维过渡, 具体形象的事物更易引起他们学习与探究的兴趣.因此, 我在教学《平行与相交》时, 设计丰富、合理的学习活动, 让学生在观察中感悟平行与相交, 在操作中深化对平行的理解, 在思辨中提升空间想象能力.

一、在观察中感知, 建立表象

情景1观察校园中4个景物:栏杆、球门正面、跑道、球门侧面.

教师结合手势说明在“同一平面内”的两条直线.

学生仿照说一说平面上的两条直线

操作演示:两个盒子摞在一起, 看一看, 摸一摸, 进一步认识“同一平面”.

设计意图“同一平面”是一个抽象的空间概念, 学生很难理解.怎样才能突破“同一平面”的教学, 使学生建立准确的空间观念呢?教学时我选取了校园中学生熟悉的、典型的4个画面:栏杆、球门、操场、跑道, 让学生结合具体生活情境, 说说在哪个面上的哪两条线, 形象感知同一平面.之所以选这4个画面, 有以下几点思考: (1) 能激发学生学习的兴趣、强烈的探究欲望.球门、操场是学生最向往的活动场所, 在这样的地方产生的数学问题怎能不引起学生的好奇与兴趣? (2) 加强了数学与生活的联系, 使学生认识到数学来源于生活; (3) 所表现的平面有实有虚, 能够打破学生头脑中固有的实实在在的面, 扩展空间范围, 更全面、科学地建立“平面”的概念.这是学生首次感知“平面”, 初步建立“平面”的表象.

然后, 设计了一个直观演示的操作活动:把两个盒子摞在一起, 让学生判断两条线是否在同一平面内.当学生说不在时, 让学生来摸一摸, 用亲身体验纠正错误认识.但个别学生的认识并不能代表所有的学生, 怎么办?接下来轻轻转动了其中一个盒子, 精彩瞬间出现, 所有的孩子都看到了两个平面.现在的两个平面折射出刚才的“同一平面”, 同时, 学生也会认识到, 同一平面可能是一个完整的面, 也可能是两个面拼成的, 更加深刻的理解“同一平面”, 建立“平面”的清晰表象.

二、在分类中探究, 丰富表象

情景2观察四组直线并分类. (图略) 学生独立思考后组织交流.讨论:判断相交、不相交看的是什么?举例想象:如下两条直线延长下去, 结果会怎样?

说明:在同一平面内, 不相交的两条直线叫做互相平行.

设计意图教师利用多媒体课件, 出示四组直线, 学生很容易从图形的表面现象确定分类的标准:看两条直线有没有连在一起.通过教师的引导, 使学生初步认识相交与不相交.然后通过举例, 让学生讨论这组直线是否相交, 借助想象把抽象的概念变成形象的直观图形, 使学生明白“不能被某些事物的表面现象所迷惑, 而要深入事物的本质”.在此基础上, 联系 (2) (3) 两组直线不相交的位置关系, 说明互相平行的意义, 认识平行线.教学时, 根据知识的特点, 把学生有意义的接受学习与主动的探究学习相结合.

学生认识了“平行”, 建立了“平行”的准确表象后, 引导学生举出生活中平行线的例子, 把数学学习再次反馈到现实生活中, 使学生积累更多的感性认识, 丰富平行的表象.

三、在操作中创造, 深化表象

情景3下面每个图形中哪些线段是互相平行的?各有几组?

学生用手势表示每个图形中找到几组平行线, 并说说怎样想的.

设计意图这个练习设计可以体现在以下几方面特点: (1) 练习形式趣味性强, 孩子们就像玩“石头、剪子、布”的游戏, 把每组的答案用手势表示出来, 全然没有单调、枯燥的感觉. (2) 给学生充足的观察、思考空间, 每判断一个图形前, 老师都会给学生一段时间观察、思考, 保证每名学生都能积极投入到练习活动中, 提高练习的效率. (3) 有效利用生成资源, 当学生出手后, 所有的答案都一目了然, 同时可以及时利用学生的错误资源, 让学生展示自己的想法, 组织学生开展精彩的辩论, 同学们在主动参与辨错的过程中, 逐渐认识问题的实质, 加深了对平行线的理解与掌握, 培养了学生空间想象能力和自我反思能力, 发展了空间观念. (4) 充分发挥多媒体的辅助作用, 用不同的颜色突出平行线, 给学生直观的视觉感受; (5) 尊重学生, 构建和谐、有生命力的数学课堂.当学生出现错误时, 教师没有急于点拨或代替、包办, 而是把解决问题的主动权还给学生.

情景4分组活动:做平行线.

组织交流: (1) 小棒摆; (2) 钉板围; (3) 画; (4) 折……

设计意图中年级学生的思维正处于形象思维向抽象思维过渡的阶段, 他们还不能完全脱离实际操作去进行思维活动.通过给学生提供不同的探究材料, 让学生开展小组合作学习, 采用小组活动, 能让学生找到不同的答案, 使动手操作成为学生创新的源泉.组织学生讨论时, 注意充分展示学生的各种作品:有的摆、有的折、有的画、有的围等等, 使学生进一步加深了对平行线的理解.

四、在生活中应用, 拓宽表象

新课的结束, 并不意味着学习的终结.课结束时, 让学生带着数学的眼光, 去观察路上、家中有没有平行线?为什么生活中有那么多平行, 平行有什么作用呢?我们的数学教学应由课内走向课外, 由书本走向生活, 引领学生带着数学的眼光走进“生活世界”, 体验数学的应用价值.

8.“相交线与平行线”考点归类解析 篇八

一、考查相交线、对顶角

例1 （2011年广西柳州）如图1，在所标识的角中，互为对顶角的两个角是（ ）.

A. ∠2和∠3 B. ∠1和∠3

C. ∠1和∠4 D. ∠1和∠2

解析：根据对顶角的概念，只有相交线才能有对顶角，所以∠2和∠3是对顶角.

故选A.

点评：在中学数学中，我们要学习很多角，这些角的概念是今后学习的基础，理解这些角的概念，牢记它们的特征，是解题的基础.

二、考查平行线的性质

例2 （2011年湖南邵阳）如图2所示，AB∥CD，MN分别交AB、CD于点F、E.已知∠1＝35°，则∠2＝________.

解析：由平行线的性质“两直线平行，同位角相等”，易得∠2＝∠1＝35°.

点评：平行线的性质是平行直线所具有的特征.

三、考查垂线的概念

例3 （2011年广西梧州）如图3，直线EO⊥CD，垂足为点O，AB平分∠EOD，则∠BOD的度数为（ ）.

A．120°B．130°C．135°D．140°

解析：根据垂直的定义，直线EO⊥CD，所以∠EOD＝90°；

最后由平角定义可知，∠BOD＝180°－45°＝135°．故选C.

点评：本题考查了垂线的性质和角平分线的有关知识.如何将两直线垂直转化为角之间的关系，这其中渗透了化归与转化的思想.

四、 考查直线平行、垂直的综合应用

例4 （2011年四川广安）如图4所示，直线 a∥b．直线c与直线a、b分别相交于点A、点B， AM⊥b，垂足为点M，若∠1＝58°，则∠2＝___________.

解析：因为AM⊥b，直线a∥b．所以AM⊥a，所以∠1＋∠2＝90°.又∠1＝58°，则∠2＝32°.

点评：在解答有关相交线、平行线中角的问题时，应先理清所求的角与图形中的其它各角的关系，再利用平行线、垂线的性质及对顶角的性质求解.

五、 考查图形的平移

例5 （2011年湖南郴州）作图题：如图5-1，在方格纸中，将△ABC向右平移3个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1．

解析：如图5-2所示.

根据平移的性质确定三角形平移后三个顶点的对应点，然后依次连接对应点即可．

点评：平移的结果是由平移的方向和平移的距离决定的. 在判断时，找某一特殊点，它和它的对应点的关系与整个图形的平移关系是一致的.本题是考查同学们动手能力、观察能力的好素材，此类题是近几年中考命题的热点.

练习：

1.（2011年陕西）如图6，AC∥BD，AE平分∠BAC交BD于点E .若∠1＝64°则 ∠2＝___________．

2. （2011年山东德州）如图7，直线l1∥l2， ∠1＝40°，∠2＝75°，则∠3等于________.

A.55° B. 60° C.65° D.70°

3. （2011年山东日照）如图8，已知直线AB∥CD，∠C＝125°，∠A＝45°，那么∠E的大小为（ ）.

A.70° B. 80° C.90° D.100°

4. （2010年湖北孝感）如图9，直线AB、CD相交于点O，OT⊥AB于O，CE∥AB交CD于点C，若∠ECO＝30°，则∠DOT＝（ ）.

A.30° B.45° C. 60° D. 120°

5. （2011年河北）如图10，∠1＋∠2＝（ ）.

A．60° B．90° C．110° D．180°

6. （2011年浙江衢州）如图11，直尺一边 AB与量角器的零刻度线CD平行，若量角器的一条刻度线OF的读数为70°，OF与AB交于点 E,那么∠AEF＝______度.

7. （2011年山东聊城）如图12，已知a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）.

A．40° B．50° C．120° D．130°

参考答案：

1.∵∠1＋∠BAC＝180°,∠1＝64°, ∴∠BAC＝116°． ∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE＝58°． ∵AC∥BD， ∴∠CAE＋∠2＝180°． ∴∠2＝180°－58°＝122°．

2.C； 3.B； 4.C； 5.B； 6.70； 7.D.

9.平行线与相交线基础知识 篇九

第二章平行线与相交线

一、余角与补角

1、如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角，简称为互余，称其中一个角是另一个角的余角。

2、如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角，简称为互补，称其中一个角是另一个角的补角。

3、余角和补角的性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。

二、对顶角

1、两条直线相交成四个角，其中不相邻的两个角是对顶角。

2、一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。

3、对顶角的性质：对顶角相等。

三、同位角、内错角、同旁内角

1、两条直线被第三条直线所截，形成了8个角。

2、同位角：两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫做同位角。

3、内错角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，这样的一对角叫做内错角。

4、同旁内角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫同旁内角。

四、平行线的判定方法

1、同位角相等，两直线平行。

2、内错角相等，两直线平行。

3、同旁内角互补，两直线平行。

4、在同一平面内，如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行。

5、在同一平面内，如果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线平行。

五、平行线的性质

1、两直线平行，同位角相等。

2、两直线平行，内错角相等。

3、两直线平行，同旁内角互补。

六、尺规作线段和角

1、在几何里，只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图。

10.相交线与平行线知识点 篇十

● 相交线

1.相交线：在同一平面内，相交的两条直线。-----特点：有一个交点

2.对顶角----特点：（1）有一个公共定点（2）两边互为反向延长线

-----性质：对顶角相等

-----N条直线相交有N（N—1）对对顶角

3.邻补角----特点：（1）有一个公共定点（2）有一条公共边（3另一边互为反向延长线

-----性质：邻补角互补（和为180°）

-----N条直线相交有2N（N—1）对邻补角

4.垂线：同一平面内，两条直线相交，所成的夹角均为90°时，称这两条直线互相垂直。

---性质：（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直

（2）垂线段最短

----点到直线的距离：就是点到直线的垂线段的长度。

●平行线

1.平行线：在同一平面内，不相交的两条直线。-----特点：没有交点

2.平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

推论----如果有一条直线与其它两条直线平行，那么另外两条直线也平行。

3.三线八角

形成方式-------两条直线被第三条直线所截（这两条直线不一定平行）名称-----同位角（4对）内错角（2对）同旁内角（2对）（成对出现）

4.平行线的判定方法----（1）同位角相等，两直线平行

（2）内错角相等，两直线平行

（3）同旁内角互补，两直线平行

（4）如果两条直线分别与第三条直线平行，那么这

两条直线也互相平行。

5.平行线的性质-------（1）两直线平行，同位角相等

（2）两直线平行，内错角相等

（3）两直线平行，同旁内角互补

6.两条平行线间的距离-----就是两条平行线间的垂线段的长度。

● 命题

1.定义：判断一件事情的语句

2.组成----(1)题设（如果……）（2）结论(那么……)

3.分类----（1）真命题(2)假命题

●平移

1.定义：一个图形沿着一定的方向平行移动。

2.特点----（1）平移后图形的形状、大小不变，位置改变

（2）对应点所连接的线段平行（或在同一直线上），对应角相等。

关键知识点：教你用倒推法做证明题

1.已知：如图，BAPAPD180，12。

求证：EF

ABE

F

CPD

CD，2，练习

已知：如图，12，3B，AC//DE，且B、C、D在一条直线上。求证：AE//BD

A

1E2

11.《平行线与相交线》单元检测题B 篇十一

1． 如果∠A ＝ 35°18′，那么∠A的余角等于[ ]．

2． 如图1，AB∥CD，∠1 ＝ 120°，则∠2 ＝ [ ]，∠3 ＝ [ ]，∠4 ＝[ ]．

3． 如图2，由∠4 ＝ ∠8，可知[ ]∥[ ]，理由是[ ]．若已知∠2 ＋ ∠3 ＋ ∠4 ＋ ∠5 ＝ 180°，则[ ]∥[ ]，理由是[ ]．

4． 如图3，OP∥QR，QR∥ST，若∠2 ＝ 100°，∠3 ＝ 110°，则∠1 ＝ ＿＿＿＿＿．

5． 如图4，DH∥EG∥BC，DC∥EF，那么与∠BFE相等的角（不包括∠BFE本身）的个数为＿＿＿＿＿．

6． 已知∠AOB ＝ 40°，OC平分∠AOB，则∠AOC的补角等于[ ]．

7． 如图5，若∠B＝[ ]，则AD∥BC．

8． 如图6，AB∥CD，∠B＝120°，∠C＝25°，则∠E＝[ ]．

二、选择题

9． 两平行直线被第三条直线所截，同位角的平分线（）．

A． 互相重合B． 互相平行C． 互相垂直 D． 相交

10． 如果∠1与∠2互补，∠1与∠3互余，那么（）．

A． ∠2 ＞∠ 3B． ∠2 ＝ ∠3 C． ∠2 ＜ ∠3D． ∠2 ≥ ∠3

11． 如图7，三条直线a、b、c相交于一点，则∠1 ＋ ∠2 ＋ ∠3 ＝ （）．

A． 360°B． 180°C． 120°D． 90°

12． 如图8，如果AD∥BC，则有①∠A ＋ ∠B ＝ 180°；②∠B ＋ ∠C ＝ 180°；③∠C ＋ ∠D ＝ 180°．上述结论中，正确的是（）．

A． 只有①B． 只有②C． 只有③D． 只有①和③

13． 如图9，AB∥CD，那么∠1 ＋ ∠2 ＋ ∠3 ＝ （）．

A． 180°B． 360°C． 540°D． 720°

14． 下列作图语句中，错误的是（）．

A． 过点A、点B作直线AB B． 在射线AB上截取AC ＝ a

C． 以点O为圆心作弧 D． 以O为圆心，OA长为半径作弧

15． 如果一个角的补角是150°，那么这个角的余角的度数是（）．

A． 30°B． 60°C． 90°D． 120°

16． 一个人骑自行车前行时，两次拐弯后，仍按原方向前进，这两次拐弯的角度是（）．

A． 向右拐30°，再向右拐30°

B． 向右拐30°，再向右拐60°

C． 向右拐30°，再向左拐30°

D． 向右拐30°，再向左拐60°

17． 如图10，OB⊥OD，OC⊥OA，∠BOC ＝ 32°，那么∠AOD等于（）．

A． 148°B． 132°

C． 128° D． 90°

三、解答题

18． 如图11，∠1 ＝ 35°，AB⊥CD，垂足为O，EF经过点O．求∠BOE、∠2、∠3的度数．

19． 如图12，已知线段AB、∠α、∠β，求作一条线段等于线段AB，分别过点A、点B作∠CAB ＝ ∠α、∠CBA＝∠β．（不写作法，保留作图痕迹）

20．已知一个角的余角的补角比这个角的补角的大90°，则这个角等于多少度？

21． 如图13，CD∥AB，∠DCB＝70°，∠CBF＝20°，∠EFB＝130°．问：直线EF与AB有怎样的位置关系？为什么？

12.平行线相交线证明 篇十二

(一判断题(每题2分,共10分

1.过线段外一点画线段的垂线,那么这条垂线一定是中垂线(2.如果两个角互为补角,那么它们的角平分线一定互相垂直……………………(3.两条直线不平行,同旁内角不互补………………………………………………(4.错误地判断一件事情的语句不叫命题……………………………………………（5.如图,AB∥CD,那么∠B+∠F+∠D=∠E+∠G…………………………（(二填空题(每小题2分,共18分

6.如图,当∠1=∠时,AB∥DC;当∠D+∠=180°时,AB∥DC;当∠B=∠时,AB∥CD.7.如图,AB∥CD,AD∥BC,∠B=60°,∠EDA=50°.则∠CDF=.8.如图,O是△ABC内一点,OD∥AB,OE∥BC,OF∥AC,∠B=45°,∠C=75°, 则∠DOE=,∠EOF=,∠FOD=.9.两个角的两边分别平行,其中一个角比另一个角的3倍少20°.则这两个角的度数分

别是.10.如图,AB∥EF∥CD,EG平分∠BEF,∠B+∠BED+∠D=192°, ∠B-∠D=24°,则∠GEF=.11.如图,AD∥BC,点O在AD上,BO、CO分别平分∠ABC、∠DCB,若 ∠A+∠D=m°.则∠BOC=______.12.有一条直的等宽纸带,按图(1折叠时,纸带重叠部分中的∠ =度.图(1 13.把命题“在同一平面内垂直于同一直线的两直线互相平行”写成“如果…那么…” 的形式是:如果______________,那么_____________.(三选择题(每小题3分,共21分

15.如图,已知直线AB与CD相交于点O,OE⊥CD.垂足为O,则图中∠AOE和 ∠DOB的关系是……………………………………………………………………((A同位角(B对顶角(C互为补角(D互为余角

16.如图,CD⊥AB,垂足为D,AC⊥BC,垂足为C.图中线段的长能表示点到直线(或线段距离的线段有…………………………………………………………((A1条(B3条(C5条(D7条

17.若AO⊥BO,垂足为O,∠AOC︰∠AOB=2︰9,则∠BOC的度数等于……((A20°(B70°(C110°(D70°或110°

18.下列命题中,真命题是……………………………………………………………((A同位角相等工(B同旁内角相等,两直线平行

(C同旁内角互补(D同一平面内,平行于同一直线的两直线平行 【

20.如图,AD∥EF∥BC,且EG∥AC.那么图中与∠1相等的角(不包括∠1的个 数是………………………………………………………………………………((A2(B4(C5(D6

21.某人从A点出发向北偏东60°方向速到B点,再从B点出发向南偏西15°方向速

到C点,则∠ABC等于……………………………………………………………((A75°(B105°(C45°(D135°

【

(四解答题(本题5分

22.根据命题“角平分线上的点到角的两边距离相等”,画出图形,并结合图形写出已知、求证(不证明.五、计算题(第23、24题,每题5分.第25、26题每题6分,共22分 23.如图,AB∥CD∥PN,∠ABC=50°,∠CPN=150°.求∠BCP的度数.24.如图,∠CAB=100°,∠ABF=110°,AC∥PD,BF∥PE,求∠DPE的度数.25.如图,DB∥FG∥EC,∠ABD=60°,∠ACE=36°,AP平分∠BAC.求∠P AG的度数.26.如图,AB∥CD,∠1=115°,∠2=140°,求∠3的度数.(五证明题(每题6分,共24分

13.相交线与平行线知识点归纳 篇十三

一、相交线

1.相交线：两条直线相交，有且只有一个交点。（反之，若两条直线只有一个交点，则这两条直线相交。）

2.对顶角----特点：（1）有一个公共定点（2）两边互为反向延长线-----性质：对顶角相等

3.邻补角：两条直线相交，产生邻补角和对顶角的概念。要注意区分互为邻补角与互为补角的异同。

----特点：（1）有一个公共定点（2）有一条公共边（3另一边互为反向延长线

-----性质：邻补角互补（和为180°）

4.垂线：同一平面内，两条直线相交，所成的夹角均为90°时，称这两条直线互相垂直。

垂直是两直线相交的特殊情况。注意：两直线垂直，是互相垂直，即：若线a垂直线b，则线b垂直线a。

垂足：两条互相垂直的直线的交点叫垂足。垂直时，一定要用直角符号表示出来。

---性质：（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直（2）垂线段最短

----点到直线的距离：就是点到直线的垂线段的长度。

注：①、同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等；等角的对顶角相等。反过来亦成立。

②、表述邻补角、对顶角时，要注意相对性，即“互为”，要讲清谁是谁的邻补角或对顶角。

二、平行线

1.平行线：在同一平面内，不相交的两条直线。-----特点：没有交点，平行线永不相交。

2.平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

推论----如果有一条直线与其它两条直线平行，那么另外两条直线也平行。

3.三线六面八角：平面内，两条直线被第三条直线所截，将平面分成了六个部分，形成八个角

形成方式-------两条直线被第三条直线所截（这两条直线不一定平行，）

特别注意：① 三角形的三个内角均互为同旁内角；

② 同位角、内错角、同旁内角的称呼并不一定要建立在两条平行的直线被第三条直线所截的前提上才有的，这两条直线也可以不平行，也同样的有同位角、内错角、同旁内角。

名称-----同位角（4对）内错角（2对）同旁内角（2对）（成对出现）

4.平行线的判定方法----（1）同位角相等，两直线平行（2）内错角相等，两直线平行

（3）同旁内角互补，两直线平行（4）如果两条直线分别与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。一个重要结论：同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行。

5.平行线的性质-------（1）两直线平行，同位角相等

（2）两直线平行，内错角相等（3）两直线平行，同旁内角互补

6.两条平行线间的距离-----就是两条平行线间的垂线段的长度。

一个结论：平行线间的距离处处相等。

三、命题

判断一件事情的语句叫命题。命题包括“题设”和“结论”两部分，可写成“如果„„那么„„”的形式。

1.2.3.四、平移

1.2.定义：一个图形沿着一定的方向平行移动。特点----（1）平移后图形的形状、大小不变，位置改变 定义：判断一件事情的语句 组成----(1)题设（如果„„）（2）结论(那么„„)分类----（1）真命题(2)假命题

（2）对应点所连接的线段平行（或在同一直线上），对应角相等。

特征：发生平移时，新图形与原图形的形状、大小完全相同（即：对应线段、对应角均相等）； 对应点

之间的线段互相平行（或在同一直线上）且相等，均等于平移距离。

画法：掌握平移方向与平移距离，利用对应点（一般指图形的顶点）之间连线段平行、连线段相等性质

14.相交的爱情平行线 篇十四

素心第一次见到含笑，是在为朋友新开业的咖啡馆作专访的夜晚。

含笑和素心一样穿的是黑色，但两人的风格截然不同。素心是黑色粗框眼镜，长发在脑后束起，松松的黑色薄绒衫配绵软的及膝宽脚裤，流线型短靴。而含笑的高领黑色毛衣是贴身的，勾勒出纤细却不单薄的身体线条，她的长发挽了一个没有任何矫饰的髻，加上她总是微微昂着的头，很容易看出她的职业与舞蹈有关。

何为向两人彼此介绍说，这是我的未婚妻含笑，这是我的朋友素心。两个年轻女孩子相对一笑。

我看过你设计的衣服，很喜欢。含笑对素心说。那时她们正亲密地并肩坐在吧台前让何为的搭档顾方拍摄背影。今晚来的人都是咖啡馆主人的朋友，其实还没有正式开业，只是虚拟出一片热闹景象让时尚杂志的何为他们来做一个主题访问，算是帮朋友作的宣传。

素心啜一口黑咖啡，只是温婉地笑。她早听说何为的女友是芭蕾舞者，也一直在心里暗自想像那是个怎样美丽的女子，今日一见，含笑甚至超乎了她的想像。她不由得在心里有隐约的庆幸，现在顾方在身后按动快门拍下的只是背影。否则，一定会有相形见绌的悲哀。

那晚他们几个人聊天喝咖啡到很晚。顾方拍完杂志社需要的题材，仍然没有休息的意思，不断在素心和含笑周围走来走去对光拍摄。素心扬起脸对他说，你不休息一下吗。

顾方隔着镜头凝视片刻她干净的脸，又按下一次快门。

2.

那年春天快要结束的时候，何为和含笑举行了婚礼。

新娘的婚纱相当别致，纯白的露肩贴身长裙，襟前腰间裙裾上点缀着手工制作的精致花苞。

这些花的名字是含笑，和你的名字一样。素心在化妆间为含笑拉上背部的拉链时轻声说。含笑对着镜子满脸幸福笑意，没有注意到她身后，素心眼睛里充满温和的创痛。负责婚礼摄影的是顾方。他在镜头里注视着新婚夫妇神采飞扬的眼神，以及郁郁微笑的素心。

我认识他这么久。她喃喃自语。

感情是不分先来后到的。顾方说。

素心仰起脸看着天，久久不改变姿势．因为一旦低头，眼泪必将夺眶而出。

3.

何为婚后第二年，素心换了一家公司，北上到了另一个城市。

顾方也到那个北方城市开设了一家摄影工作室，他有时会去帮素心的现场秀作摄影师，因为工作的关系，也经常回到何为的城市。

他们好吗？素心常在不经意间问起何为与含笑。

还好。含笑很忙，经常出国演出，何为现在是主编了，顾方答道。这时他每每想问，可是，你好吗?但总是没有说出口，素心仍是爱穿黑色，仍是淡定的神情，只是会偶然掠过一丝忧伤，如果不仔细看她，无从察觉。

4.

高中同学聚会的时候，素心回到了她曾经逃离的江南。同学会无非就是吃吃喝喝然后去唱卡拉OK，素心不喜欢唱歌，坐在喧闹一角与何为说话。

你还好吗?她问何为。

挺好的，何为说，就是可惜没有孩子。

素心想起安然的职业，她一定不愿意生育，因为那样一来，舞蹈生命势必受损。

何为那天喝了不少酒，素心只好送他回家，这是她第一次去他们的家。

进门后她扶何为在客厅沙发上躺下，想去浴室拿毛巾为他擦脸，却错开了卧室的门，卧室里放的是一张大床和一张显然与房间风格不太一致的小床，原来何为夫妇已经分床，她错愕地轻轻关上门。

那一夜，她悉心照顾他，他开始酒醒，在她面前失声痛哭，含笑已经不爱我了。他说。

她把他的头放在自己怀里轻轻抚摸，他的痛楚似乎传达给了她，她开始无声地哭泣。何为不知所措地昏乱地褪去了她的衣服，她也穿黑衣，但是她和含笑，是多么不同。

她在狂乱中低喊他的名字，一遍又一遍。

5.

她回到北方三个月以后，一天夜里，何为打来电话。

含笑把离婚协议书留给了我就又去了法国。他说，我快要疯了。

她在电话里低声安慰他，她说，你把含笑的联系方式给我让我和她谈谈，我会好好劝她的。

他说，谢谢你素心，你是我最重要的朋友。

他们都没有提那晚的事，仿佛从来没有发生过。

挂上电话她轻轻抚摸自己的腹部，还感觉不到什么异样，这时她怀孕三个月。

6.

含笑没有回来。何为坚持不肯在离婚协议书上签字，这样的僵持状态过了几个月后，含笑在一个雨天回到了何为身边，没有解释和道歉。何为在电话里对素心说，不管怎样，她能回来我便已经心满意足了。

素心开始设计孕妇装，因为她发现在所有的商场里居然都找不到一件优雅的孕妇服装。本来这最初是为了自己而作的设计，却很快成了一个受到业内外瞩目的系列。

她生产那天顾方正好来她家做客，她的阵痛袭来，他将她送到医院。她在被送进产室前握住他的手，疼痛已经让她无法言语。

要不要告诉他?顾方抓紧她的手问。他们都没有谈论过孩子的父亲，但彼此都很清楚那只可能是一个人。

素心摇头。

7.

她生了一个男孩，取名心生，随她姓。单身母亲有太多不足为外人道的苦与乐，她只是默默承受，顾方时来看她，为母子拍照。

何为这时已经离开杂志社，在一家广告公司作策划，据说他和含笑十分恩爱。

又过了四年。

素心被何为的一个电话在深夜惊醒。何为的声音很痛苦，含笑出事了，他说。含笑做一个高难度旋转动作时摔伤了，很有可能会落下残障，何为在之前的电话里告诉她，现在她不肯见任何人。

素心赶回她阔别五年的城市。

她陪着含笑作复健训练，她为含笑熬滋补的汤，她放下手边的工作，将心生托付给顾方，在这个城市留了三个月。

含笑终于重新能够站立行走。

何为夫妇送她到机场的时候．三个人相对无言了很久，最后何为说，素心，我们都欠你太多，无以回报。

你们不欠我什么，素心答道，祝你们白头偕老。她转身走入关卡．她的背影苗条依旧，她穿黑衣。

8.

她一下飞机就直奔顾方的家，她想念她的心生。顾方到楼下去买东西了，四岁的心生来开门，看见妈妈，扑进她怀里大哭。

母子拥抱良久之后，心生说，妈妈，我给你看样东西，不过不准告诉顾叔叔哦。

他拉着母亲到顾方的书房，从书橱下面的柜子里拿出一大本影集。

她翻开来看，然后呆住。

制作精良的大幅照片，四五十张，制作成一本厚重的书，每一张都是她。

她在咖啡馆里郁郁看着她爱的男人。

她低头凝思。

她不经意地微笑。

她穿着伴娘的裙子眼神恍惚。

她在时装发布会现场忙碌。

她抱着婴儿心生安详地笑。

她和幼儿心生在阳光下的草坪上玩耍。

她一页页翻过那些纪录了她的过往的照片，如同翻过岁月。这么多年以来，她以为自己所有的不过是隔岸的爱情，只能够默默地守望，却原来在她守望他人的同时，自己在不觉中被另一个人所守望。

她听到开门的声音，抬起头时，看见顾方站在门口，带着她熟悉的注视的神情。

她曾经在何为的婚礼上说，自己先认识何为的。那时顾方告诉她，感情不分先来后到。

原来这句话，另有所指。

她看着顾方，千头万绪却说不出话来。只是突然间感觉到莫名的安心。心生这时也看到了顾方，跑过去说顾叔叔是我给妈妈看的你不要怪她。顾方抚着心生的头微笑，说，我当然不会怪她．因为我爱你的妈妈。

素心坐在顾方书房地板上流下了眼泪，爱情的平行线，也会有相交的时候。