证明题考研

证明题考研（9篇）

1.证明题考研 篇一

考研数学证明题三大解题方法

纵观近十年考研数学真题，大家会发现：几乎每一年的试题中都会有一个证明题，而且基本上都是应用中值定理来解决问题的。但是要参加硕士入学数学统一考试的同学所学专业要么是理工要么是经管，同学们在大学学习数学的时候对于逻辑推理方面的训练大多是不够的，这就导致数学考试中遇到证明推理题就发怵，以致简单的证明题得分率却极低。除了个别考研辅导书中有一些证明思路之外，大多数考研辅导书在这一方面没有花太大力气，本人自认为在推理证明方面有不凡的效绩，在此给大家简单介绍一些解决数学证明题的入手点，希望对有此隐患的同学有所帮助。

一、结合几何意义记住零点存在定理、中值定理、泰勒公式、极限存在的两个准则等基本原理，包括条件及结论。

知道基本原理是证明的基础，知道的程度（即就是对定理理解的深入程度）不同会导致不同的推理能力。如2006年数学一真题第16题（1）是证明极限的存在性并求极限。只要证明了极限存在，求值是很容易的，但是如果没有证明第一步，即使求出了极限值也是不能得分的。因为数学推理是环环相扣的，如果第一步未得到结论，那么第二步就是空中楼阁。这个题目非常简单，只用了极限存在的两个准则之一：单调有界数列必有极限。只要知道这个准则，该问题就能轻松解决，因为对于该题中的数列来说，“单调性”与“有界性”都是很好验证的。像这样直接可以利用基本原理的证明题并不是很多，更多的是要用到第二步。

二、借助几何意义寻求证明思路

一个证明题，大多时候是能用其几何意义来正确解释的，当然最为基础的是要正确理解题目文字的含义。如2007年数学一第19题是一个关于中值定理的证明题，可以在直角坐标系中画出满足题设条件的函数草图，再联系结论能够发现：两个函数除两个端点外还有一个函数值相等的点，那就是两个函数分别取最大值的点（正确审题：两个函数取得最大值的点不一定是同一个点）之间的一个点。这样很容易想到辅助函数F（x）=f（x）-g（x）有三个零点，两次应用罗尔中值定理就能得到所证结论。再如2005年数学一第18题（1）是关于零点存在定理的证明题，只要在直角坐标系中结合所给条件作出函数y=f（x）及y=1-x在[0，1]上的图形就立刻能看到两个函数图形有交点，这就是所证结论，重要的是写出推理过程。从图形也应该看到两函数在两个端点处大小关系恰好相反，也就是差函数在两个端点的值是异号的，零点存在定理保证了区间内有零点，这就证得所需结果。如果第二步实在无法完满解决问题的话，转第三步。

三、逆推

从结论出发寻求证明方法。如2004年第15题是不等式证明题，该题只要应用不等式证明的一般步骤就能解决问题：即从结论出发构造函数，利用函数的单调性推出结论。在判定函数的单调性时需借助导数符号与单调性之间的关系，正常情况只需一阶导的符号就可判断函数的单调性，非正常情况却出现的更多（这里所举出的例子就属非正常情况），这时需先用二阶导数的符号判定一阶导数的单调性，再用一阶导的符号判定原来函数的单调性，从而得所要证的结果。该题中可设F（x）=ln*x-ln*a-4（x-a）/e*，其中eF（a）就是所要证的不等式。

对于那些经常使用如上方法的同学来说，利用三步走就能轻松收获数学证明的12分，但对于从心理上就不自信能解决证明题的同学来说，却常常轻易丢失12分，后一部分同学请按“证明三步走”来建立自信心，以阻止考试分数的白白流失。

2.证明题考研 篇二

关键词：微分中值型命题,辅助函数,罗尔定理,拉格朗日中值定理

2013年全国硕士研究生入学考试数学 ( 一) 第18题: 设奇函数f ( x) 在[- 1, 1]上具有二阶导数, 且f ( 1) = 1, 证明:

( Ⅰ) 存在ξ∈ ( 0, 1) , 使得f' ( ξ) = 1;

( Ⅱ) 存在η∈ ( - 1, 1) , 使得f″ ( η) + f' ( η) = 1.

此题目为微分中值型命题 ( 已知函数f ( x) 的导函数f' ( x) 或包含f' ( x) 的一个函数式在指定区间内存在零点的问题统称为微分中值型命题) , 先给出标准答案.

证 ( Ⅰ) 因为f ( x) 是区间[- 1, 1]上的奇函数, 所以f ( 0) = 0. 因为函数f ( x) 在区间[0, 1]上可导, 根据拉格朗日中值定理, 存在ξ∈ ( 0, 1) , 使得f ( 1) - f ( 0) = f' ( ξ) .

又因为f ( 1) = 1, 所以f' ( ξ) = 1.

( Ⅱ) 因为f ( x) 是奇函数, 所以f' ( x) 是偶函数, 故f' ( - ξ) = f' ( ξ) = 1.

令F ( x) =[f' ( x) - 1]ex, 则F ( x) 可导, 且F ( - ξ) =F ( ξ) = 0. 根据罗尔定理, 存在η∈ ( - ξ, ξ)  ( - 1, 1) , 使得F' ( η) = 0. 又由F' ( η) =[f″ ( η) + f' ( η) - 1]eη, 且eη≠0, 得f″ ( η) + f' ( η) = 1.

从标准答案来看, ( Ⅰ) 的解答是简洁的, 下面对 ( Ⅰ) 进行分析并利用构造辅助函数的方法给出证明, 从而解决了很多学生对标准答案里 ( Ⅱ) 中函数由来的疑问. 而构造辅助函数法是解决微分中值型命题的非常有效的方法.

分析注意对任何ξ∈ ( 0, 1) ,

因此, 只需要构造辅助函数G ( x) = f ( x) - x, 证明G ( x) 在 ( 0, 1) 内某点处导数为零即可. 这个结果正是罗尔定理的结论, 下面利用罗尔定理证明 ( Ⅰ) .

证 ( Ⅰ) 因为f ( x) 是区间[- 1, 1]上的奇函数, 所以f ( 0) = 0. 构造辅助函数G ( x) = f ( x) - x, 则因为G ( x) 在区间[0, 1]上可导, 且G ( 0) = 0 = G ( 1) , 根据罗尔定理, 存在ξ∈ ( 0, 1) , 使得G' ( ξ) = 0, 即f' ( ξ) - 1 = 0, 所以f' ( ξ) = 1.

罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情况, 此题目也可以对G ( x) 在[0, 1]上利用拉格朗日中值定理来证明.

证 ( Ⅰ) 因为f ( x) 是区间[- 1, 1]上的奇函数, 所以f ( 0) = 0. 构造辅助函数G ( x) = f ( x) - x, 则因为G ( x) 在区间[0, 1]上可导, 根据拉格朗日中值定理, 存在ξ∈ ( 0, 1) , 使得G ( 1) - G ( 0) = G' ( ξ) , 即f' ( ξ) - 1 = 0, 从而f' ( ξ) = 1.

从对 ( Ⅰ) 的证明中可以看出构造辅助函数, 再利用微分中值定理是解决此类微分中值型命题的重要方法.

对于此题中的 (Ⅱ) , 标准答案中出现的辅助函数F ( x) =[f' ( x) -1]ex, 先来分析一下它的得来. 注意对任何η∈ ( -1, 1) ,

其中R ( x) 是在[- 1, 1]上可导, 而且当x∈ ( - 1, 1) 时满足如下条件的任一函数:

R ( x) = R' ( x) , 又 R ( x) ≠0.

解微分方程可得R ( x) = Cex, 取C = 1, 故选辅助函数F ( x) =[f' ( x) - 1]ex, 在[- ξ, ξ]上利用罗尔定理, 可得本题结论成立.

当然, 本题构造的辅助函数并不唯一, 在分析过程中[f″ ( x) + f' ( x) -1]x = η= 0也等价于[f' ( x) + f ( x) - x]'x = η=0, 因此可以构造辅助函数F ( x) = f' ( x) + f ( x) - x, 下面给出了四个新的函数来证明 ( Ⅱ) .

构造函数1: 证 ( Ⅱ) 令F ( x) = f' ( x) + f ( x) - x, 则F ( x) 在[- 1, 1]可导. 因为f ( x) 是奇函数, 所以f' ( x) 是偶函数, 故F ( 1) = f' ( 1) = f' ( - 1) = F ( - 1) . 根据罗尔定理知, 存在η∈ ( - 1, 1) , 使得F' ( η) = 0, 从而有f″ ( η) +f' ( η) = 1.

构造函数2: 证 ( Ⅱ) 令F ( x) = f' ( x) + f ( x) x∈[- 1, 1], F ( x) 在[- 1, 1]可导. 又因为f ( x) 是奇函数, 所以f' ( x) 是偶函数, 故f' ( 1) = f' ( - 1) . 对F ( x) 在区间[- 1, 1]上根据拉格朗日中值定理, 存在η∈ ( - 1, 1) , 使得故得证.

构造函数3: 证 ( Ⅱ) 令F ( x) = f'' ( x) + f' ( x) - 1, 因为f ( x) 是奇函数, 所以f' ( x) 是偶函数, 由 (Ⅰ) 的结论有f' ( - ξ) =f' ( ξ) = 1, 且f″ ( x) 是奇函数, F ( ξ) = f'' ( ξ) + f' ( ξ) - 1 = f'' ( ξ) , F ( - ξ) = f'' ( - ξ) + f' ( - ξ) - 1 = - f'' ( ξ) , 根据达布中值定理可得存在η∈ ( - 1, 1) , 使得F ( η) = 0, 从而有f″ ( η) +f' ( η) = 1.

构造函数4: 证 ( Ⅱ) 令F ( x) = exf' ( x) , L ( x) = ex, 由 ( Ⅰ) 结论以及f' ( x) 是偶函数, f' ( - ξ) = f' ( ξ) = 1. F ( x) , L ( x) 在[- ξ, ξ]上可导, 故对F ( x) , L ( x) 在[- ξ, ξ]上利用柯西中值定理, 存在η∈ ( - ξ, ξ)  ( - 1, 1) , 使得

从而可得eηf″ ( η) + eηf' ( η) = eη, 且eη≠0, 故得f″ ( η) +f' ( η) = 1.

上述构造的辅助函数要比标准答案简单, 也更利于学生的理解, 但无论怎样, 构造辅助函数法解决此类微分中值型命题是有效的、可行的, 但同时要注意解决思路. 找到合适的辅助函数是解题关键, 同时在哪个区间上考虑哪个中值定理, 要根据不同的问题进行分析, 例如在此题目 ( Ⅱ) 中, 选用辅助函数F ( x) =[f' ( x) - 1]ex在区间[- 1, 1]上利用微分中值定理是无法证明出结论的.

参考文献

[1]刘西垣, 李永乐, 范培华.数学复习全书 (数学3) [M].北京:中国政法大学出版社, 2013.

[2]李正元, 李永乐, 范培华.数学历年试题解析 (数学一) [M].北京:中国政法大学出版社, 2013.

3.证明题考研 篇三

1-1. (改编)已知数列{an}中,a1=-,前n项和Sn满足Sn++2=an(n≥2),计算S1,S2,S3,S4,并猜想Sn的表达式.

1-2. (改编)对于任意正整数n,猜想2n-1与(n+1)2的大小关系.

2. (人教A版选修1-2第2.2节“直接证明与间接证明”例6)已知,≠k+(k∈Z),且sinθ+cosθ=2sin,sinθcosθ=sin2,求证:=.

2-1. (改编)求证:+>2+.

2-2. (改编)求证:当一个圆与一个正方形的周长相等时,这个圆的面积比正方形的面积大.

3. (人教A版选修1-2第2.2节“直接证明与间接证明”例8)已知直线a,b和平面α,如果aα,bα,且a∥b,求证:a∥α.

3-1. (改编)设{an}是公比为q(q≠0)的等比数列,Sn是它的前n项和,求证:数列{Sn}不是等比数列.

3-2. (改编)若a,b,c均为实数,且a=x2-2y+,b=y2-2z+,c=z2-2x+,求证:a,b,c中至少有一个大于0.

3-3. (改编)已知函数f(x)是R上的增函数,a,b∈R,对命题“若a+b≥0,则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”,写出其逆命题,判断其真假并证明你的结论.

4. (人教B版选修2-2第2.3.2点“数学归纳法应用举例”例1)用数学归纳法证明:12+22+32+…+n2=.

4-1. (改编)设a0为常数,且an=3n-1-2an-1(n∈N*),证明:an=[3n+(-1)n-1•2n]+(-1)n•2na0(n≥1).

4-2. (改编)数列{an}满足a1=1,且an+1=1+an

+(n≥1),用数学归纳法证明:an≥2(n≥2).

5. (人教B版选修1-2第3.2.2点“复数的乘法和除法”例2)求证:

(1) z•=|z|2=||2;

(2) 2=()2;

(3) =•.

5-1. (改编)设复数z=,求1+z+z2+…+z2006的值.

5-2. (改编)设z为纯虚数,且|z-1|=|-1+i|,求z的值.

1-1. 由S1=-,S2=-,S3=-,S4=-,S5=

-,猜想Sn=-.

1-2. 当n≤6时,2n-1<(n+1)2;当n=7时,2n-1=(n+1)2;当n=8时,2n-1>(n+1)2(n∈N*).

2-1. 提示:用分析法,两边平方,逐步推导即可.

2-2. 设圆和正方形的周长均为l,则圆的面积为π2,正方形的面积为2.

只需证明π2>2,只需证明>.

两边同乘以正数,得>,即只需证明4>π.

因为上式是成立的,所以原命题得证.

3-1. 假设{Sn}为等比数列,则S2 2=S1S3,整理可得(1+q)2=1+q+q2,即q=0,与q≠0矛盾.

3-2. 设a,b,c都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0,则a+b+c≤0.而a+b+c=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3>0,这与假设矛盾.

3-3. 逆命题是:若“f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+b≥0”.它是真命题.

证明如下:假设a+b<0,则a<-b,b<-a.

又因为f(x)是R上的增函数,所以f(a)

4-1. 当n=1时,由已知a1=1-2a0=(3+2)-2a0,即等式成立;

假设当n=k(k≥1)时,等式成立,即ak=[3k+

(-1)k-12k]+(-1)k2ka0,

那么当n=k+1时,ak+1=3k-2ak=[3k+1+(-1)k2k+1]+(-1)k+12k+1a0,即等式也成立.

综上可知,等式对任意n∈N*成立.

4-2. 当n=2时,a2=2≥2,不等式成立;

假设当n=k(k≥2)时,不等式成立,即ak≥2(k≥2),

那么当n=k+1时,有ak+1=1+ak+≥1+×2+=2++>2(k≥2),即不等式也成立.

综上可知,an≥2对所有n≥2成立.

5-1. z=i,原式=i.

5-2. 设z=bi,则|z-1|=|-1+bi|=.

4.证明题考研 篇四

2018考研数学 中值定理证明题技巧

在考研数学中，有关中值定理的证明题型是一个重要考点，也是一个让很多同学感到比较困惑的考点，不少同学在读完题目后不知从何下手，不会分析证明，找不到思路，之所以会出现这样的情况，主要是因为这些同学对中值定理证明题型的特点缺乏清晰的认识，对其分析和证明方法没有完全理解和掌握，为了协助这样的同学克服这方面的困难，下面本文对这类题的特点和证明方法做些分析总结，供各位考生参考。

一、中值定理证明题的特点

中值定理证明题主要有以下一些特点：

1.中值定理证明题常常需要作辅助函数；

2.中值定理证明题经常在一个题中需要结合运用三个知识点，分别是：连续函数在闭区间上的性质（包括最大值和最小值定理、零点定理和介质定理），微分中值定理和积分中值定理；

3.中值定理证明题可能需要在一个问题的证明中反复运用同一个微分中值定理两次甚至三次，比如罗尔中值定理或拉格朗日中值定理；

4.从历年考研数学真题变化规律来看，证明中用得最多的主要是罗尔中值定理和拉格朗日中值定理，而泰勒中值定理和柯西中值定理则用得很少。

二、中值定理证明题的常用方法

中值定理证明题有不同的类型，对不同的类型需要运用不同的方法，主要的和常用的方法包括以下几种：

1.如果题目条件中出现关于函数值的等式，而函数是连续的，则可能需要运用连续函数在闭区间上的性质进行证明；对导数是连续的情况也可以对导函数运用连续函数的性质；

2.如果题目条件中出现关于定积分的等式，则可能需要运用积分中值定理；

3.对于以下这类问题一般使用罗尔中值定理进行证明：

6、如果是要证明两函数差值比的中值等式，或证明两函数导数比的中值等式，则可能需要利用柯西中值定理进行证明。

5.证明题考研 篇五

2017考研已经拉开序幕，很多考生不知道如何选择适合自己的考研复习资料。中公考研辅导老师为考生准备了考研数学方面的建议，希望可以助考生一臂之力。同时中公考研特为广大学子推出考研集训营、专业课辅导、精品网课、vip1对1等课程，针对每一个科目要点进行深入的指导分析，欢迎各位考生了解咨询。

1极限的四则运算法则

2极限的脱帽定理

3无穷小的定阶定理

4函数连续性定理的证明

5函数奇偶性与周期性的证明

6费马定理、柯西定理及牛顿莱布尼茨定理的证明

7洛必达法则证明

8函数凹凸性判定法则的证明

9不等式的证明与方程根的证明

10含有一个中值或者两个中值的证明

11关于定积分等式与不等式的证明

12定积分重要性质与结论的证明

13曲线积分与路径无关性的证明(数学一)

14格林公式与高斯定理的证明(数学一)

15证明常数项级数的收敛性

16矩阵秩的相关证明

17证明向量小组线性无关

18证明方程组的基础解系及性质

19证明两个矩阵相似与合同的方法

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20证明矩阵是正定矩阵的方法

21证明函数为随机变量的分布函数的方法

22证明两个随机变量相互独立与不相关

23证明一个统计量服从卡方分布、t分布及F分布

24证明一个估计量为无偏估计!

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6.考研数学 一招击破证明题之关键 篇六

研究生考试网 更新：2012-5-4 编辑：静子

对于非数学专业的理工经管类考生来说，考研数学考试中的证明题常常让他们不知所措。证明题考查了考生了逻辑推理能力，每一步推理必须严密，环环相扣，步步逼近结论。看老师对一个题目的证明非常容易，但如果给出一个没有证明过程的题目，考生要寻找证明方法常不那么简单。汤老师对考研常出证明题的中值定理部分专门归纳了全面的专题，以方便考生对症筛选证明方法，实用且高效。

2008与2009年连续考查教材中的定理证明，2010年没有证明题目，2011年证明题出自北大版数学分析习题集中，是关于不等式的证明，但并不难。细数历史，考研数学对证明题的要求并不高，只要掌握基本的推理能力，研读教材中重要定理的证明方法，对等式与不等式的证明掌握常用的方法及处理技巧应不在话下。

人的学习过程与数学历史的发展惊人的相似。数学理论的发展常常是结论早早得出，但对其正确性的证明往往滞后，有时甚至滞后上百年时间。人在学习数学的时候也会出现类似状况，接受其结论，对其推理过程的理解会延迟理解，特别是高等数学，它与初等数学中形象思维占核心位置的情况完全不同。

7.一道不等式证明题的研究 篇七

这里, 笔者结合一道不等式的证明题的思维过程, 具体谈谈不等式证明的相关要点.

例题, m≠n, 求证:|f (m) -f (n) |<|m-n|.

这道证明题, 在各类教材辅导用书中出现的概率比较大.其原因有三:一是作为试题, 该题在考查相关知识点的考卷中出现的频率高;二是考生对该题普遍出现“动手率高、得分率低”的怪状, 有一定的指导价值;三是二次根式是学生的薄弱环节, 对提高学生的数学运算能力大有帮助.

面对这道习题, 学生理所当然地首先考虑比较法.众所周知, 比较法的关键在于对“差”或“比”进行变形, 变形的方法较多, 常用的有配方法、因式分解法、有理化法.本题求差还是求比?观察到两边都是绝对值, 利用求比也就比较合乎常理了.

1. 求比法.

因为m≠n, 所以|m-n|>0, 且, 于是|f (m) -f (n) |<|m-n|.

没选求差法, 因为m≠n, 所以, 所以原命题成立.

证明可再次使用平方求差法, 也可使用其他行之有效的方法.

2. 变形的求差法.

因为设a= (1, m) , b= (1, n) , 因为m≠n, 所以向量a与b不平行, 于是||a-b||<|a-b|, 又, , |a-b|=|m-n|, 所以一代入, 就是所证的不等式了. (这一证法的关键在于将与向量的模关联起来.因而这一解法又称向量法.)

分析法在数学中有一种通俗而形象的说法, 叫作“执果索因法”, 其要求是每一步要可逆, 多适用于含无理式的不等式的证明.不等式的证明, 一般用分析法探索、用综合法表达.二者互相辅助, 对学生的逻辑思维的培养极有帮助.

3. 分析综合法.

, 至此有两种方法, 一种将变形为, 利用m≠n得证, 另一种是对1+mn的正负进行讨论:1+mn≤0时, 明显成立;1+mn>0时, (*) 式.

到此为止, 该题的常规思维结束.还有哪些特殊方法呢?我们仍然从思维联想的角度来探讨.

二次根式的和或差, 常从分母有理化 (或分子有理化) 进行尝试, 会得到, 由于目标中有|m-n|, 势必在分离后, 转证, 于是放缩法就自然地找到了.

4. 放缩法.

因为m≠n.所.

数学上, 的形式, 容易让人联想到直线的斜率, 本题就会归结为对函数的单调性和凹凸性的分析, 导数法的产生就在意料之中了.

5. 导数法.

因为, , 所以函数f (x) 是以 (0, 1) 为顶点、关于y轴对称的凹函数, 于是m≠n时, 斜率 (用到) .

如果能将f (m) -f (n) 与∫ntF (x) dx (其中F (x) 为f (x) 的导函数) 进行挂钩, 思维水平真让人叹为观止了.结合导数法易知, (难想到, 故从略.)

同样将、与或进行思维联想, 就会对△OAB (其中A (m, 1) 、B (n, 1) ) 着手分析, 借助于“两边之和大于第三边”, 也能轻而易举地证出本题 (与向量法类似, 从略) .

8.考研英语阅读题型解析之词汇题 篇八

题型特征

词汇题有一个明显的特征：题干中明确指出原文中的一个单词、短语或句子，要求考生从给出的选项中选出能够诠释其意思的一项。通常情况下，要求解释的单词、短语或句子在原文中会用下划线标出，并且题干中通常会有括号说明其所在的段落及行数。词汇题的命题模式通常包括以下几种。

①The phrase/word/sentence “...” (in line ...) most probably means …

②By “...”, the writer (probably) means …

③What does the author probably mean by “...” in paragraph ...?

④The phrase/word/sentence suggests …

⑤From the passage, we can infer that the word “...” is …

⑥According to the passage, what is “...” ?

⑦When the author says that ..., he means …

题型类别

从考查形式上看，词汇题可以分为四类：①对大纲内常见词汇的生僻含义的考查；②对超纲词汇含义的考查；③对代词所指代内容的考查；④句子理解题。下面我们就针对词汇题的这四类形式，分别分析其相应的解题思路和做题方法。

1.大纲词汇

考生根据题型特征判断出某道题为词汇题后，首先要判断题干中所考查的单词、短语是否为大纲词汇。如果是大纲词汇，那么该题目考查的通常不是其常用意思或字面意思。一起来看下面这道真题。

真题演练1

When it comes to the slowing economy, Ellen Spero isn’t biting her nails just yet. But the 47-year-old manicurist isn’t cutting, filling or polishing as many nails as she’d like to, either. Most of her clients spend $12 to $50 weekly, but last month two longtime customers suddenly stopped showing up. Spero blames the softening economy. “I’m a good economic indicator,” she says. “I provide a service that people can do without when they’re concerned about saving some dollars.” So Spero is downscaling, shopping at middle-brow Dillard’s department store near her suburban Cleveland home, instead of Neiman Marcus. “I don’t know if other clients are going to abandon me, too”, she says. (2004年考研英语阅读理解真题Text 3第一段)

51.By “Ellen Spero isn’t biting her nails just yet” (Line 1, Paragraph 1), the author means ________.

A.Spero can hardly maintain her business B.Spero is too much engaged in her work

C.Spero has grown out of her bad habit D.Spero is not in a desperate situation

解析：这道题表面上是考查句子的意思，实则考查短语biting her nails的含义。这一短语中的单词都是考生熟悉的大纲词汇，但对于整个短语的含义，考生未必熟悉。笔者建议考生结合上下文，采用排除法来解题。下面我们来一一分析选项。由于选项C是对isn’t biting her nails这一短语的字面解释，可直接排除。接下来，考生可利用第一句话和第二句话之间存在的转折关系来解题。首先来看选项A。如果选项A为正确答案，则第一句话想表达的意思为：“由于经济发展放缓，Ellen Spero的生意难以为继。”这一层意思无法与第二句话中所表达的意思(Ellen Spero的客户正在减少)构成转折关系，由此排除A项。同理，B选项所表达的意思(Ellen Spero的工作更加忙碌)也无法与第二句话构成转折关系，可迅速排除。由此得出正确答案为选项D。

对于词汇题中考查的大纲词汇来说，如果考生无法通过上下文的逻辑关系来解题，那么也可以通过一些微观的阅读技巧(如标点符号)来判断词义。解题时常用到的特殊标点符号有以下三种：

①冒号。冒号前后是从抽象到具体的关系，读懂冒号后面的具体内容就能明白冒号前的单词或短语的意思。

②破折号。破折号有解释说明的作用，破折号后面的内容通常用来解释其前面的内容。

③分号。分号前后表示并列关系，包括结构的并列和语义的并列。因此，只要两句话用分号隔开，那么这两句话表达的意思应该是一致的，由此考生可以根据一个分句的意思判断另一个分句中所考查的词汇的意思。

真题演练2

For any job search, you should start with a narrow concept—what you think you want to do—then broaden it. “None of these programs do that,” says another expert. “There’s no career counseling implicit in all of this.” Instead, the best strategy is to use the agent as a kind of tip service to keep abreast of jobs in a particular database; when you get E-mail, consider it a reminder to check the database again. “I would not rely on agents for finding everything that is added to a database that might interest me,” says the author of a job-searching guide. (2004年考研英语阅读理解真题Text 1第三段)

43.The expression “tip service” (Line 4, Paragraph 3) most probably means ________.

A．advisory B．compensation

C．interactionD．reminder

解析：根据题干括号里的信息提示，考生可以将答案信息定位至原文第三段第四句话：“Instead, the best strategy is to use the agent as a kind of tip service to keep abreast of jobs in a particular database; when you get E-mail, consider it a reminder to check the database again.”这句话中包含两个分句，中间用分号连接，由此可以判断两个分句为并列关系，它们想表达的意思是一致的。考生可以看出，第一个分句中的“to keep abreast of jobs in a particular database”与第二个分句中的“to check the database again”的意思是对应的，那么，很显然，第一个分句中的tip service与第二个分句中的reminder是对应的，故本题的正确答案为选项D。

真题演练3

We live in a society in which the medical and social use of substances (drugs) is pervasive: an aspirin to quiet a headache, some wine to be sociable, coffee to get going in the morning, a cigarette for the nerves. When do these socially acceptable and apparently constructive uses of a substance become misuses? First of all, most substances taken in excess will produce negative effects such as poisoning or intense perceptual distortions. Repeated use of a substance can also lead to physical addiction or substance dependence. Dependence is marked first by an increased tolerance, with more and more of the substance required to produce the desired effect, and then by the appearance of unpleasant withdrawal symptoms when the substance is discontinued. (1997年考研英语阅读理解真题Text 3第二段)

60.The word “pervasive” (Line 1, Paragraph 2) might mean ________.

A．widespread B．overwhelming C．piercing D．fashionable

解析：根据题干括号里的信息提示，考生可将答案信息定位至原文第二段第一句话。在这句话中，本题要考查的pervasive一词后出现了冒号，因此考生可以通过理解冒号后的内容来推断pervasive的意思。冒号后的内容为“an aspirin to quiet a headache, some wine to be sociable, coffee to get going in the morning, a cigarette for the nerves”，作者通过列举这些物质来表明它们已被用于日常生活中的方方面面。由此考生不难看出，pervasive在这里是想表达“分布广泛的，普遍的”之意。因此选项A为正确答案。

2.超纲词汇

考研英语阅读理解中通常会有2%～3%的超纲词汇。在早些年的考研英语阅读理解中，对于一些超纲且专业性较强的词汇，命题者会给出中文解释，例如1991年考研英语阅读理解Passage 1中的chlorophyll (叶绿素)和carbohydrates (碳水化合物)；1992年Passage 2中的inertia (惯性)和Passage 3中的hockey (曲棍球)；1993年Passage 1中的babbling (咿呀学语)、Passage 2中的bureaucratic (官僚主义的)和Passage 3中的monopoly (垄断)等。但是后来，命题者取消了这种为超纲词汇加注的形式，目的就在于鼓励考生去猜测词汇的含义。考生应该明白的一点是，不管所考的超纲词汇有多专业或多生僻，它一般都不会影响考生对全文的理解，考生通常能够根据构词法或者上下文推测出这一词汇的含义。

真题演练1

In spite of “endless talk of difference”, American society is an amazing machine for homogenizing people. There is “the democratizing uniformity of dress and discourse ...” (2006年考研英语阅读理解真题Text 3第一段)

21. The word “homogenizing” (Paragraph 1) most probably means ________.

A．identifying B．associating C．assimilating D．monopolizing

解析：有些考生一看到homogenizing这样的难词便心中恐慌，不知该如何解题。实际上，对于这类超纲词汇，考生可以尝试通过构词法来解题，即通过分析生词的词根、前缀和后缀来推测词义。以homogenizing为例，考生可以将其分成四部分：homo—gene—ize—ing。对于homo-这一前缀，考生应该不陌生，因为homosexual意为“同性恋的”，据此可以推断前缀homo-相当于same，意为“相同的”。而gene一词意为“基因”，由此考生可以推测出homogenizing一词的大致意思为“基因相同的”。通过这一方法，考生可以轻松得出正确答案为选项C。

即使不熟悉构词法，考生依然可以通过分析上下文来解题，这也是最为可靠的方法。在本题中，原文第一句话中的in spite of表明这句话存在转折关系，因此前半句话中的difference与后半句话中的homogenizing应该表达相反的意思，而通过分析四个选项，只有选项C与difference意义相反，因此选项C为正确答案。

真题演练2

What might account for this strange phenomenon？Here are a few guesses: a) certain astrological signs confer superior soccer skills. b) winter-born babies tend to have higher oxygen capacity which increases soccer stamina. c) soccer mad parents are more likely to conceive children in springtime at the annual peak of soccer mania. d) none of the above. (2007年考研英语阅读理解真题Text 1第二段)

22. The word “mania” (Line 4, Paragraph 2) most probably means________.

A．funB．crazeC．hysteriaD．excitement

解析：这道题考查的mania一词无法通过构词法来推测其意思，这时我们就只能通过分析上下文来解题了。Mania一词位于第二段的c)句中，这句话的意思为“热爱足球的父母更可能在春季怀孕，这时正值足球 的高峰期”。考生可利用排除法，将四个选项代入空格中，看其意思是否符合上下文的逻辑。通过验证四个选项，考生可以发现，选项A与选项D的意思都不太符合逻辑，因而可将答案锁定在B和C两项。由于选项C为超纲词汇，而通常情况下，命题者不会设置“用超纲词汇解释超纲词汇”的题目，可排除C项。将选项B的意思代入空格处，符合逻辑，因此选项B为正确答案。

3.代词

词汇题中常常考查代词(如it、these、that)在上下文中指代的内容。确定代词指代内容的方法为：回到原文，以代词为分界线向上搜索，找到离代词最近的名词、名词性词组或句子，将其替换至代词所在的句子中，看句意是否符合上下文逻辑，是否通顺；若不符合逻辑，则继续向上搜索验证，直至找到正确答案。

真题演练

The researchers’ argument stems from a simple observation about social influence, with the exception of a few celebrities like Oprah Winfrey—whose outsize presence is primarily a function of media, not interpersonal, influence—even the most influential members of a population simply don’t interact with that many others. Yet it is precisely these non-celebrity influentials who, according to the two-step-flow theory, are supposed to drive social epidemics by influencing their friends and colleagues directly. For a social epidemic to occur, however, each person so affected must then influence his or her own acquaintances, who must in turn influence theirs, and so on; and just how many others pay attention to each of these people has little to do with the initial influential. If people in the network just two degrees removed from the initial influential prove resistant, for example, the cascade of change won’t propagate very far or affect many people. (2010年考研英语阅读理解真题Text 3第四段)

34. The underlined phrase “these people” in paragraph 4 refers to the ones who________.

A．stay outside the network of social influenceB ．have little contact with the source of influence

C．are influenced and then influence others D．are influenced by the initial influential

解析：这道题考查these people指代的内容。考生应首先回到原文找到该划线词，然后向上搜索。因为these people指代的是人，所以考生可以以该词组为界，向上搜索表示人的名词、名词性词组或句子。通过验证可知，these people指代的是其所在句子的第一个分句中的each person，即“那些被影响并影响别人的人”，由此可知这道题的正确答案为选项C。

4.句子理解

词汇题中的句子理解题要求考生理解整句话的意思，但通常仅依靠句子本身很难判断其含义，因此考生依然要根据上下文的逻辑关系来推测句子意思。

真题演练

Everybody loves a fat pay rise. Yet pleasure at your own can vanish if you learn that a colleague has been given a bigger one. Indeed, if he has a reputation for slacking, you might even be outraged. Such behaviour is regarded as “all too human”, with the underlying assumption that other animals would not be capable of this finely developed sense of grievance. But a study by Sarah Brosnan and Frans de Waal of Emory University in Atlanta, Georgia, which has just been published in Nature, suggests that it is all too monkey, as well. (2005年考研英语阅读理解真题Text 1第一段)

22.The statement “it is all too monkey” (Last line, Paragraph 1) implies that ________.

A．monkeys are also outraged by slack rivals

B．resenting unfairness is also monkeys’ nature

C．monkeys, like humans, tend to be jealous of each other

C．no animals other than monkeys can develop such emotions

9.巧用投影法,证明高考题 篇九

在立体几何证明中,当要证明“线面平行”时,根据其判定定理自然想到就是要证“线线平行”,即关键是在面内找一条与已知线平行的线.如何找?接下来我们就通过几个例子介绍一种通过“投影”来找这一条线的方法.

首先我们一起来看两道高考试题:

(2008年安徽卷(理科)第18题第1问)如图1,在四棱锥O-ABCD中,底面四边长为1的菱形,∠ABC=,OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA的中点,N为BC的中点,证明:直线MN∥平面OCD

要证MN∥平面OCD,关键是在面OCD内找一线与MN平行.此时不妨利用“投影法”.

视一束平行光线沿AD方向将线段MN投射到面OCD内.故过点M作ME∥AD交OD于点E,连接CE,如图2,则线段CE即为线段MN在平行光沿AD方向投射下在面OCD内的射影.利用平面几何知识,易证四边形MNCE为平行四边形,从而MN∥CE,问题得证.有时我们形象的称此法为“平行光源”法.

本题我们除了通过“平行光源”将线段MN投射到面OCD内外,还可以视点A为一点光源,将线段MN投射到面OCD上.故连结AN并延长交CD的延长线于点P,连结线段OP,如图3,则线段OP即为线段MN在点光源A投射下在面OCD内的射影.利用平面几何知识,易证点N也是线段BC的中点,则MN∥OP,问题得证.有时我们形象的称此方法为“点光源”法.

当然,此时我们也可以将点B视为一点光源,在面OCD内找到其射影,但本题不是很方便.接下来我们不妨再看一道模拟试题:

(2010年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查(一)第16题第1问)如图4,在四棱锥P-ABCD中,AB∥DC,DC=2AB,AP=AD,PB⊥AC,BD⊥AC,E为PD的中点.求证:AE∥平面PBC.

(平行光源法) 视一束平行光源沿着CD方向,将线段AE投射到面PBC内.故过点E作EG∥CD交PC点G,连结BG,如图5,则线段BG即为线段AE在平行光沿CD方向投射下在面PBC内的投射.利用平面几何知识,易证四边形AEGB为平行四边形,从而问题得证.

(点光源法) 将点D视为一点光源,将线段AE投射到面PBC内.故分别延长DA,CB交于点M,连结PM,如图6,则线段PM即为AE在点光源D投射下在面PBC内的投射.依题意易证点A为DM中点,故EA∥PM,从而问题得证.

最后我们再回归到课本:

(江苏教育出版社出版——数学课本必修2第37页第11题)如图7,在四棱锥P-ABCD中,M,N分别是AB,PC中点,若ABCD是平行四边形,求证:MN∥面PAD.

(平行光源法) 视一束平行光沿着CD方向将MN投射到面PAD上.故过点N作DC的平行线交PD于E,连结AE.如图8,则线段AE就为线段MN在平行光沿CD方向投射下在面PAD上的射影.利用平面几何知识,易证四边形AMNE为平行四边形,从而问题得证.

(点光源法) 将点C视为一点光源,线段MN投射到面PAD上.故连结CM并延长交DA的延长线于Q,连结PQ,如图9,则线段PQ即为线段MN在点光源C投射下在面PAD上的射影.此时易证点M也为线段CQ的中点,则MN∥PQ,从而问题得证.

纵观以上三道例题分析,我们不难发现:无论是“投影法”中的“点光源”法、还是“平行光源”法.都是反过来利用线面平行的性质定理找与已知直线平行的线.“点光源”法实质是过一点和已知直线作一面与已知面相交,则交线即为所需的线.此时又常利用三角形中位线或对应线段成比例等证明已知线与交线平行;“平行光源”法是沿某直线方向作一面与已知面相交,即交线就是所需的线.此时常是先证明四边形为平行四边形,再利用所证得出另一组对边平行,从而证明已知线与交线平行.当然,何时选用“点光源”法还是“平行光源法”,要根据题目中已知条件,何种找线方便的原则.

1. 如图10,四边形ABCD和ABEF均为平行四边形,M为对角线AC上的点,N为对角线FB上的点,且有AM∶FN=AC∶FB,

求证:直线MN∥面CBE.

1. 法一(平行光源法) 分别过点M,N作AB的平行线,分被交CB于H,EB于G,连接GH.如图11,则线段GH即为线段MN在平行光沿AB方向投射下在面CBE内的射影.再利用平面几何知识得证.