等式约束优化问题

等式约束优化问题（共8篇）

1.等式约束优化问题 篇一

专题：等式约束条件下不等式的范围问题

1.求解等式约束条件下不等式的范围问

题，关键在于对等式条件的应用。主要分为三类方法：

 代入消元法：转化为二次函数或

对勾函数等的值域问题。 三角换元法：引入三角函数新

元，将问题转化为三角函数的值5.域问题。

 均值不等式：综合应用等式和待

求式，转化为均值不等式的问题。

6.典型题例——等式条件下不等式的范围问题：

1.设a，bRb2

7.，且a2

2

1，求yab2的最大值。

8.2.设x0，y0，且(x1)(y1)4，求xy的最小值。

9.3.（06重庆理科）若设a，b，cR且

a(abc)bc42，则

2abc的最小值为？

A.31B.

1C.22D.22 4.（07重庆）若a是12b与12b的等

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比中项，则

2ab

a2b的最大值为？

A.22

15B.4 C.55D.22

已知a0，b0，且

1a3

b

1，则a2b的最小值为？

A.726B.23 C.72D.14

设a，bR，且a22b2

6则ab的最小值为？

已知设x0，y0，且

2x3

y

2，则xy的最小值是？ 已知设x0，y0，且

xy4xy12，则xy的最小值是？

已

知

3a22b25，试求

y(2a21)(b22)的最大值。

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2.等式约束优化问题 篇二

在式 (1) 中, 为决策向量, X为可行域, S为决策空间。一般地, S为X中的n维长方体, f (x) 为目标函数, gi (x) ≤0为第i个不等式约束条件, hj (x) =0为第j个等式约束条件, X在S中的补集为问题 (1) 的不可行域, 可行域中的解称为可行解, 不可行域中的解称为不可行解。

差分进化算法 (differential evolution, DE) [1,2]是一种随机的全局搜索算法。利用差分算法来求解约束优化问题, 由于约束的存在, 往往在种群进行搜索时, 种群中的个体大都在不可行区域进行盲目地搜索, 导致求解问题的效率不高;在种群进化到一定的代数后, 种群个体进入可行区域时, 由于其差分选择算子是由种群进行一对一选择的, 没有利用个体的适应度信息, 加快种群向最优个体进行搜索。利用种群中的不可行解比率的信息, 构建约束处理准则, 并根据不可行解比率选择不同的差分算子, 以此得到一种基于不可行解比率的改进差分算法。

1 差分算法及其约束差分算法

1.1 差分算法[1—6]

差分进化算法是一种群智能体进化的算法, 在进化过程中, 会维持父种群和子种群两个种群, 种群的代沟模型是子个体与父个体进行比较、选择生成下一代种群的个体, 实行贪婪行为的一种算法。初始种群为决策空间S内的均匀随机数产生的个体Xi, 0构成, 在进化的过程中每一代G的每个个体Xi, G称为目标矢量 (target vector) 。DE根据父代个体间的矢量进行变异 (mutation) 、交叉 (crossover) 和选择 (selection) 操作, 其中变异操作产生变异矢量 (mutant vector) Vi, G= (vi1, G, vi2, G, …, vim, G) , 变异矢量与目标矢量交叉生成试验矢量 (trial vector) Ui, G= (ui1, G, ui2, G, …, uim, G) , 试验矢量再与目标矢量通过选择操作产生下一代个体Xi, G+1。

1.1.1 变异操作

差分进化算法的变异操作通常有如下5种策略实现[7]。

式中, 下标r1、r2、r3、r4、r5为5个互不相等并且不等于i的处于[1, NP]范围内的均匀随机整数, F∈[0, 2]为差分矢量的尺度因子, Xbest, G为第G代种群中具有最佳适应度的个体。上述5种策略中, 等式右边的第一个矢量通常称为基矢量 (base vector) , 后面带F因子的矢量称为差分矢量 (difference vector) 。

此外, 还有其他一些变异操作, 如“DE/current to rand/1”:

该变异操作算子被认为是一个旋转不变 (rotation-invariant) 策略。

1.1.2 交叉操作

变异操作完成后, 对目标矢量Xi, G和变异矢量Vi, G进行如下“二名制的 (binominal) ”交叉操作, 生成试验矢量Ui, G= (ui, 1, G, ui, 2, G, …, ui, D, G) 。

式 (8) 中, i=1, 2, …, NP, j=1, 2, …, D, jrand为[1, D]内的随机整数, randj (0, 1) 表示为确定试验矢量Ui, G第j维时产生的一个[0, 1]内的均匀随机实数;CR∈[0, 1) 为交叉概率常数;jrand以确保试验矢量Ui, G不同于其相应的目标矢量Xi, G;n为问题空间维数。

1.1.3 选择操作

通过变异、交叉操作后, 判断试验矢量Ui, G每一维是否超出优化问题参数空间的搜索空间, 并将超出的各维用搜索空间的相应维内的均匀随机数进行初始化。然后, 进行如下“贪婪 (greedy) ”选择操作, 得到下一代个体Xi, G+1。

在该公式中, 假设所求优化问题为最小化问题, f (·) 为适应度函数。

1.2 差分算法约束处理准则

与全局优化问题不同, 约束优化问题中所得到的解个体必须是在可行区域内的最优值, 因此需要在算法运行时, 对约束条件的处理策略, 在进化算法领域内, 针对约束条件的处理, 现今所流行的做法是依据一定的偏好选择种群中的可行解, 其中DEB[8]的三条优先比较准则由于不带有参数, 能够使算法较快地接近可行区域, 因而是比较常用的。其准则是:

1) 可行解优于不可行解。

2) 可行解中适应值优的占优。

3) 不可行解中违反约束程度小的个体占优。

在使用差分进化算法求解约束优化问题时, 也需要对约束条件进行处理, 其中Storn[1]提供了一种利用DE算法来解决COPs的方法。该方法首先对约束条件进行放松, 使得初始种群中所有解都变成可行解。随后, 在进化的每一代中, 约束条件放松程度不断收紧, 同时要求种群中所有个体仍然是当前约束条件下的可行解。这个过程不断迭代, 一直到约束条件放松程度为0, 则得到最优解的解为满足约束条件的问题的最优解。然而, 该算法并不适合处理等式约束。Lin等人[9]使用混合DE算法来解决COPs, 其约束处理准则是利用了拉格朗日法, 将原始目标函数和约束条件合起来构造一个新的目标函数, 进而使约束优化问题转化为无约束优化问题。其在标准DE算法中设计了一些新算子处理种群多样性过大或者过小的问题。Mezura等人[10]也提出了一种DE算法解决COPs, 为了增强DE算法的搜索能力, 该算法允许种群中一个父节点产生多个子孙节点;为处理约束条件, 基于概率决定是使用可行解优先的选择标准, 还是使用目标函数优先的选择标准。选择算子的改变使得种群保持一定数量不可行解, 从而维持了种群分布。

值得指出的是约束优化问题的可行区域的大小根据问题的不同而显示出较大的差异, 固定地使用某种约束处理准则是不合适的, 但是可以得到种群中在可行域不可行区域的比率信息, 从而知道种群中的个体是否在可行区域中进行搜索, 不仅可以指导差分算法采取合适的策略进行选择, 而且指导差分算法选择合适的算子进行搜索。有鉴于此, 提出了求解约束优化问题的不可行比率差分算法。

2 求解约束优化问题的不可行比率差分算法

上文已经提出, 解决约束优化问题的关键是约束处理策略, 采用固定的约束处理策略对于求解约束优化问题是不合适的, 合适的动态罚函数方法的参数又比较难以取得[3,7]。现在采取的约束差分算法是基于种群的不可行解在种群中的比率来进行的, 其原因如下。

1) 不可行比率在某种程度上动态反映了种群在可行域的进化状态, 可行区域的大小都是相对于当前进化种群的状态而言的。如果种群都是可行解, 即使约束区域很小, 相对于搜索或者下一代生成的个体而言, 有很大的概率是在可行域的;如果种群中存在大量的不可行解, 即使约束区域较大, 种群产生的下一代个体仍然有很大概率是在不可行域, 那么种群仍然在不可行区域搜索。针对种群个体的不同状态使用不同的约束处理准则就能较好地解决约束优化问题。

2) 不可行比率能够指导差分算法如何进行搜索。因为不可行比率在某种程度上包含了算法需要采取操作的先验知识。不可行解比率较大时, 表明种群存在着大量的不可行解, 此时选择具有较快收敛速度的差分算子, 使种群快速地向可行区域进行有效地搜索;不可行比率较小时种群都在可行区域里面, 此时使种群具有较好的分布进行全局搜索是必要的。

不可行比率定义如下:

算法的总框架如下:

下面介绍我们算法的具体操作。

2.1 差分算子的选择

一般情况下面, “DE/best/1”、“DE/best/2”和“DE/current to best/1”通常具有较快的收敛速度, 但对于多峰问题往往容易陷入局部极值而出现早熟现象;“DE/rand/1”往往具有较慢的收敛速度, 但具有更强的全局探索 (exploration) 能力, 因而适合于解决多峰问题;相对于一个差分矢量而言, 两个差分矢量的变异策略往往能增加个体扰动强度, 因而具有更好的全局探索能力。因此在NFrate较大时, 此时种群中不可行解较多, 需要使种群快速地向可行区域搜索, 故选择DE/best/2;在NFrate较小时, 种群存在大量的可行解, 选择更强的全局探索能力的“DE/rand/1”选择算子。

差分算子算法如下

需要注意的是差分算子利用好的适应值的个体减去差的适应值的个体能够得到好的梯度信息, 因此本文中总是使Xr2, G中适应值大于Xr3, G的适应值。

2.2 不可行个体的约束处理准则

当不可行比率NFrate较大时, 代表了种群大量的解远离于可行区域, 我们直接使用占优准则使种群快速向可行区域搜索。当种群的大量个体已经是可行解时, 不可行解比率较小, 算法需要的是对可行区域进行全局搜索, 由于约束条件的存在, 直接比较适应值大小时能够在一定程度上提高算法的分布度;当NFrate处于大和小两者之间时, 种群以一定的概率保有不可行个体。

其算法如下:

应用占优原则比较适应值;

直接比较适应值;

以1-NFrate概率直接比较适应值, 以NFrate应用占优原则比较适应值。

需要注意的是算法中的最优个体一直使用占优原则进行比较, 这是因为差分算法其本质上是保优的算法, 但是用不可行比率处理准则时, 可能会将搜索到的满足约束的可行个体丢掉。

3 仿真实验与分析

将本文的算法 (no feasible solution rate based on deferential evolution for constrained optimization problem, NFRDE) 用于求解约束优化问题, 针对13个Benchmark函数50次独立实验统计结果与HDE[9]和Diversity-DE[10]实验统计结果比较如表1所示。

由表1可知, NFRDE算法对13个benchmark函数基本都能搜寻到目前已知最优解或其非常接近的区域。通过与HDE和Diversity-DE的结果相比较可知, NFRDE算法在G09和G10上较HDE算法更接近于最优解, 中值也更优;相较于目前文献中解决COPs问题最优秀的改进DE算法Diversity-DE只在G02函数上的最优、中值、及鲁棒性都较其更好, 在G13上表现基本相当, 其在G10上相较而言未搜索到最优解, 但其方差较Diversity-DE要差。通过比较可知, 在解决约束优化问题上NFRDE算法是具有其优势的。

4 结语

使用差分算法解决约束优化问题, 与其他差分约束优化算法不同的是, 算法不但利用种群中不可行个体在整个种群中的比率信息设计约束处理准则, 而且根据不可行解比率来选择不同种类的差分算子, 从而达到快速由不可行区域进入可行区域, 并进行全局搜索的效果。将该算法应用于13个benchmark测试函数, 结果表明NFRDE在解决约束优化问题时具有较好的效率。在下一步的研究工作中, 将进一步考虑差分算子配合局部搜索算法, 对约束优化问题进行求解, 并将其用于多目标约束优化问题。

参考文献

[1] Storn R, Price K.Differential evolution——a simple and efficient heuristic for global of optimization over continuous spaces.Journal of Global Optimization, 1997;11 (4) :341—359

[2] Das S, Suganthan P N.Differential evolution:a survey of the stateof-the-art.IEEE Transaction on Evolutionary Computation, 2011;15 (1) :4—31

[3] Mezura-Montes, C A, Coello C.Constraint-handling in nature-inspired numerical optimization:Past, present and future.Swarm and Evolutionary Computation, 2011;1 (4) :173—194

[4] Gong Wenyin, Cai Zhihua, Ling X, et al.Enhanced differential evolution with adaptive strategies for numerical optimization.IEEE Trans Syst Man Cybern.B Cybern, 2011;41 (2) :397—413

[5] 王勇, 蔡自兴, 周育人, 等.约束优化进化算法.软件学报, 2009;20 (1) :11—29

[6] Lampinen J.The 2002 Congress on Evolutionary Computation (CEC2002) .Piscataway:IEEE Service Center, 2002

[7] Wang Y, Cai Z, Zhang Q.Differential evolution with composite trial vector generation strategies and control parameters.IEEE Transaction on Evolutionary Computation, 2011;15 (1) :55—66

[8] Deb K.An efficient constraint handling method for genetic algorithms.Computer Methods in Applied Mechanics and Engineerin, 2000;186 (2-4) :311—338

[9] Lin Y C, Hwang K S, Wang F S.The 2002 Congress on Evolutionary Computation (CEC 2002) .Piscataway:IEEE Service Center, 2002

3.等式约束优化问题 篇三

摘要： 结合子空间思想和LiuStorey （LS）共轭梯度法，提出了求解大规模非负约束优化问题的可行共轭梯度算法，并分析了算法在Armijo型线性搜索下的全局收敛性. 数值实例表明该算法是有效的.

关键词：非负约束优化； 子空间； 共轭梯度法； 全局收敛性

中图分类号：O221.2文献标识码：A

非负约束优化问题广泛存在于许多学科及工程应用领域中， 如： 非线性回归分析、金融投资、大地测量、卫星导航等， 并且有关的数据处理是非常庞大的， 呈现的问题通常是大规模的. 因此， 研究求解这些问题的高效算法具有重要的现实意义. 非负约束优化问题的一般形式

这里l和u是Rn中的有界向量.许多研究集中于求解大规模有界约束问题（3）， 人们提出了如谱梯度投影法、有限记忆拟牛顿法和共轭梯度法等有效算法＼[1， 4， 6＼].尽管问题（1）可以看作问题（3）的特殊情形， 但不知这些方法能否经过适当的修改被用来求解非负约束问题.

众所周知，共轭梯度法及其修正形式是求解大规模无约束问题min f（x）， x∈Rn的有效方法＼[2， 7-8＼].因此， 人们设想用共轭梯度法的思想求解约束问题. 文献＼[6＼]研究了用共轭梯度的思想求解有界约束问题（3）， 通过求解一个约束子问题来计算搜索方向， 作者证明了在 Wolfe型线性搜索下所提出的方法是收敛的.然而已有研究表明在该研究上存在许多的困难[5].

在本文中，我们研究用共轭梯度型方法求解非负约束问题 （1）. 结合已有求解有界约束问题的子空间思想[4]和求解无约束问题的LiuStorey （LS）共轭梯度法[3]，提出了一个求解问题（1）的可行LS共轭梯度法， 与文献＼[6＼]的方法比较， 本文提出的方法的优点是无需求解子问题， 并且在Armijo搜索下具有全局收敛性， 节省大量计算.

湖南大学学报（自然科学版）2014年

第7期刘陶文等：求解非负约束优化问题的可行LS共轭梯度法

证由KKT条件（2）以及（10）即可验证定理结论成立.

证毕

引理1和定理1表明， 当dk=0时， xk必定是问题 （1）的一个KKT点， 而当dk≠0 时，必有gTkdk<0， 即dk≠0是f（x）在xk处的一个下降可行方向.

2算法结构及其收敛性分析

3数值实验

在这一节，将所提出的算法应用于大地测量中数据处理问题[9]. 对一理想边坡因地质断层构成一可能的滑体， 按地质学知识， 滑体只能沿底盘向东北方向偏下移动. 选定三个基点， 其坐标分别为A（500.00， 0， 100.00）， B（0.00， -500.00， 150.00）， C（500.00， 500.00， 200.00）. 在滑体上， 取监测点P （0， 0， 100.00）， 分别在基点A，B，C处用边前方交会监测P点的位移（x，y，-z）， AP，BP和CP为3个观测边， 且有先验信息x，y，z>0. 设观测向量为L∈R3， 则有相应的误差方程：

L+V=（|AP|， |BP|， |CP|）T，

其中V为观察噪声向量. 设A，B，C 3个边观测的一次观测值分别为500.04， 502.52， 714.13. 试估计P点的位移（x， y， -z）.

当P点有位移（x， y， -z）时， 观测向量L的误差方程为：

L+V=|AP||BP||CP|=

现在用可行LS共轭梯度法来求解问题（16）. 在算法1中， 取初始点（x0， y0， z0）=（1， 1， 1）以及常数ρ=0.5， σ=0.001， ε=0.01. 算法1在7次迭代后求得P点位移估计（，，）=（0.022 0，0，-0.053 1）， 显然这一估计比文献＼[9＼]中的线性最小二乘估计（0.024 6，0，-0.064 0）更接近于实际的位移（0.004，0.02，-0.005）， 而且可以依据需要增加迭代次数提高精度.

参考文献

[1]BIRGIN E G， MARTINEZ J M， RAYDAN M. Nonmonotone spectral projection gradient methods on convex sets ＼[J＼]. SIAM Journal on Optimization， 2000， 10（1）： 1196-1211.

＼[2＼]DAI Y， YUAN Y. Nonlinear conjugate gradient methods ＼[M＼]. Shanghai： Shanghai Science and Technology Publisher， 2000.

＼[3＼]LIU Y， STOREY C. Efficient generated conjugate gradient algorithms Part 1： Theory ＼[J＼]. Journal of Optimization Theory and Applications， 1991， 69（1）： 129-137.

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＼[6＼]PYTLAK R. An efficient algorithmfor largescale nonlinear programming problems with simple bounds on the variables ＼[J＼]. SIAM Journal on Optimization， 1998， 8（2）： 532-560.

＼[7＼]ZHANG L， ZHOU W J， LI D H. A descent modified PolakRebièrePolyak conjugate gradient method and its global convergence ＼[J＼]. IMA Journal of Numerical Analysis， 2006， 26（4）： 629-640.

＼[8＼]ZHANG L， JIAN S Y. Further studies on the WeiYaoLiu nonlinear conjugate gradient method ＼[J＼]. Applied Mathematics and Computation， 2013， 219 （14）： 7616-7621.

＼[9＼]宋迎春， 朱建军， 罗德仁，等. 附非负约束平差模型的最小二乘估计 ＼[J＼]. 武汉大学学报： 信息科学版， 2008， 33（9）： 907-909.

SONG Yingcun， ZHU Jianjun， LUO Deren，et al. Leastsquares estimation of nonnegative constrained adjustment model ＼[J＼]. Geomatics and Information Science of Wuhan University：Information and Science， 2008， 33（9）： 907-909 .（In Chinese）

摘要： 结合子空间思想和LiuStorey （LS）共轭梯度法，提出了求解大规模非负约束优化问题的可行共轭梯度算法，并分析了算法在Armijo型线性搜索下的全局收敛性. 数值实例表明该算法是有效的.

关键词：非负约束优化； 子空间； 共轭梯度法； 全局收敛性

中图分类号：O221.2文献标识码：A

非负约束优化问题广泛存在于许多学科及工程应用领域中， 如： 非线性回归分析、金融投资、大地测量、卫星导航等， 并且有关的数据处理是非常庞大的， 呈现的问题通常是大规模的. 因此， 研究求解这些问题的高效算法具有重要的现实意义. 非负约束优化问题的一般形式

这里l和u是Rn中的有界向量.许多研究集中于求解大规模有界约束问题（3）， 人们提出了如谱梯度投影法、有限记忆拟牛顿法和共轭梯度法等有效算法＼[1， 4， 6＼].尽管问题（1）可以看作问题（3）的特殊情形， 但不知这些方法能否经过适当的修改被用来求解非负约束问题.

众所周知，共轭梯度法及其修正形式是求解大规模无约束问题min f（x）， x∈Rn的有效方法＼[2， 7-8＼].因此， 人们设想用共轭梯度法的思想求解约束问题. 文献＼[6＼]研究了用共轭梯度的思想求解有界约束问题（3）， 通过求解一个约束子问题来计算搜索方向， 作者证明了在 Wolfe型线性搜索下所提出的方法是收敛的.然而已有研究表明在该研究上存在许多的困难[5].

在本文中，我们研究用共轭梯度型方法求解非负约束问题 （1）. 结合已有求解有界约束问题的子空间思想[4]和求解无约束问题的LiuStorey （LS）共轭梯度法[3]，提出了一个求解问题（1）的可行LS共轭梯度法， 与文献＼[6＼]的方法比较， 本文提出的方法的优点是无需求解子问题， 并且在Armijo搜索下具有全局收敛性， 节省大量计算.

湖南大学学报（自然科学版）2014年

第7期刘陶文等：求解非负约束优化问题的可行LS共轭梯度法

证由KKT条件（2）以及（10）即可验证定理结论成立.

证毕

引理1和定理1表明， 当dk=0时， xk必定是问题 （1）的一个KKT点， 而当dk≠0 时，必有gTkdk<0， 即dk≠0是f（x）在xk处的一个下降可行方向.

2算法结构及其收敛性分析

3数值实验

在这一节，将所提出的算法应用于大地测量中数据处理问题[9]. 对一理想边坡因地质断层构成一可能的滑体， 按地质学知识， 滑体只能沿底盘向东北方向偏下移动. 选定三个基点， 其坐标分别为A（500.00， 0， 100.00）， B（0.00， -500.00， 150.00）， C（500.00， 500.00， 200.00）. 在滑体上， 取监测点P （0， 0， 100.00）， 分别在基点A，B，C处用边前方交会监测P点的位移（x，y，-z）， AP，BP和CP为3个观测边， 且有先验信息x，y，z>0. 设观测向量为L∈R3， 则有相应的误差方程：

L+V=（|AP|， |BP|， |CP|）T，

其中V为观察噪声向量. 设A，B，C 3个边观测的一次观测值分别为500.04， 502.52， 714.13. 试估计P点的位移（x， y， -z）.

当P点有位移（x， y， -z）时， 观测向量L的误差方程为：

L+V=|AP||BP||CP|=

现在用可行LS共轭梯度法来求解问题（16）. 在算法1中， 取初始点（x0， y0， z0）=（1， 1， 1）以及常数ρ=0.5， σ=0.001， ε=0.01. 算法1在7次迭代后求得P点位移估计（，，）=（0.022 0，0，-0.053 1）， 显然这一估计比文献＼[9＼]中的线性最小二乘估计（0.024 6，0，-0.064 0）更接近于实际的位移（0.004，0.02，-0.005）， 而且可以依据需要增加迭代次数提高精度.

参考文献

[1]BIRGIN E G， MARTINEZ J M， RAYDAN M. Nonmonotone spectral projection gradient methods on convex sets ＼[J＼]. SIAM Journal on Optimization， 2000， 10（1）： 1196-1211.

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＼[3＼]LIU Y， STOREY C. Efficient generated conjugate gradient algorithms Part 1： Theory ＼[J＼]. Journal of Optimization Theory and Applications， 1991， 69（1）： 129-137.

＼[4＼]NI Q， YUAN Y. A subspace limited memory quasiNewton algorithm for largescale nonlinear bound constrained optimization ＼[J＼]. Mathematics of Computation， 1997， 66（220）： 1509-1520.

＼[5＼]NOCEDAL J. Conjugate gradient methods and nonlinear optimization， In： Linear and nonlinear conjugate gradientRelated method ＼[M＼]. Philadelphia， SIAM Press， 1996， 9-23.

＼[6＼]PYTLAK R. An efficient algorithmfor largescale nonlinear programming problems with simple bounds on the variables ＼[J＼]. SIAM Journal on Optimization， 1998， 8（2）： 532-560.

＼[7＼]ZHANG L， ZHOU W J， LI D H. A descent modified PolakRebièrePolyak conjugate gradient method and its global convergence ＼[J＼]. IMA Journal of Numerical Analysis， 2006， 26（4）： 629-640.

＼[8＼]ZHANG L， JIAN S Y. Further studies on the WeiYaoLiu nonlinear conjugate gradient method ＼[J＼]. Applied Mathematics and Computation， 2013， 219 （14）： 7616-7621.

＼[9＼]宋迎春， 朱建军， 罗德仁，等. 附非负约束平差模型的最小二乘估计 ＼[J＼]. 武汉大学学报： 信息科学版， 2008， 33（9）： 907-909.

SONG Yingcun， ZHU Jianjun， LUO Deren，et al. Leastsquares estimation of nonnegative constrained adjustment model ＼[J＼]. Geomatics and Information Science of Wuhan University：Information and Science， 2008， 33（9）： 907-909 .（In Chinese）

摘要： 结合子空间思想和LiuStorey （LS）共轭梯度法，提出了求解大规模非负约束优化问题的可行共轭梯度算法，并分析了算法在Armijo型线性搜索下的全局收敛性. 数值实例表明该算法是有效的.

关键词：非负约束优化； 子空间； 共轭梯度法； 全局收敛性

中图分类号：O221.2文献标识码：A

非负约束优化问题广泛存在于许多学科及工程应用领域中， 如： 非线性回归分析、金融投资、大地测量、卫星导航等， 并且有关的数据处理是非常庞大的， 呈现的问题通常是大规模的. 因此， 研究求解这些问题的高效算法具有重要的现实意义. 非负约束优化问题的一般形式

这里l和u是Rn中的有界向量.许多研究集中于求解大规模有界约束问题（3）， 人们提出了如谱梯度投影法、有限记忆拟牛顿法和共轭梯度法等有效算法＼[1， 4， 6＼].尽管问题（1）可以看作问题（3）的特殊情形， 但不知这些方法能否经过适当的修改被用来求解非负约束问题.

众所周知，共轭梯度法及其修正形式是求解大规模无约束问题min f（x）， x∈Rn的有效方法＼[2， 7-8＼].因此， 人们设想用共轭梯度法的思想求解约束问题. 文献＼[6＼]研究了用共轭梯度的思想求解有界约束问题（3）， 通过求解一个约束子问题来计算搜索方向， 作者证明了在 Wolfe型线性搜索下所提出的方法是收敛的.然而已有研究表明在该研究上存在许多的困难[5].

在本文中，我们研究用共轭梯度型方法求解非负约束问题 （1）. 结合已有求解有界约束问题的子空间思想[4]和求解无约束问题的LiuStorey （LS）共轭梯度法[3]，提出了一个求解问题（1）的可行LS共轭梯度法， 与文献＼[6＼]的方法比较， 本文提出的方法的优点是无需求解子问题， 并且在Armijo搜索下具有全局收敛性， 节省大量计算.

湖南大学学报（自然科学版）2014年

第7期刘陶文等：求解非负约束优化问题的可行LS共轭梯度法

证由KKT条件（2）以及（10）即可验证定理结论成立.

证毕

引理1和定理1表明， 当dk=0时， xk必定是问题 （1）的一个KKT点， 而当dk≠0 时，必有gTkdk<0， 即dk≠0是f（x）在xk处的一个下降可行方向.

2算法结构及其收敛性分析

3数值实验

在这一节，将所提出的算法应用于大地测量中数据处理问题[9]. 对一理想边坡因地质断层构成一可能的滑体， 按地质学知识， 滑体只能沿底盘向东北方向偏下移动. 选定三个基点， 其坐标分别为A（500.00， 0， 100.00）， B（0.00， -500.00， 150.00）， C（500.00， 500.00， 200.00）. 在滑体上， 取监测点P （0， 0， 100.00）， 分别在基点A，B，C处用边前方交会监测P点的位移（x，y，-z）， AP，BP和CP为3个观测边， 且有先验信息x，y，z>0. 设观测向量为L∈R3， 则有相应的误差方程：

L+V=（|AP|， |BP|， |CP|）T，

其中V为观察噪声向量. 设A，B，C 3个边观测的一次观测值分别为500.04， 502.52， 714.13. 试估计P点的位移（x， y， -z）.

当P点有位移（x， y， -z）时， 观测向量L的误差方程为：

L+V=|AP||BP||CP|=

现在用可行LS共轭梯度法来求解问题（16）. 在算法1中， 取初始点（x0， y0， z0）=（1， 1， 1）以及常数ρ=0.5， σ=0.001， ε=0.01. 算法1在7次迭代后求得P点位移估计（，，）=（0.022 0，0，-0.053 1）， 显然这一估计比文献＼[9＼]中的线性最小二乘估计（0.024 6，0，-0.064 0）更接近于实际的位移（0.004，0.02，-0.005）， 而且可以依据需要增加迭代次数提高精度.

参考文献

[1]BIRGIN E G， MARTINEZ J M， RAYDAN M. Nonmonotone spectral projection gradient methods on convex sets ＼[J＼]. SIAM Journal on Optimization， 2000， 10（1）： 1196-1211.

＼[2＼]DAI Y， YUAN Y. Nonlinear conjugate gradient methods ＼[M＼]. Shanghai： Shanghai Science and Technology Publisher， 2000.

＼[3＼]LIU Y， STOREY C. Efficient generated conjugate gradient algorithms Part 1： Theory ＼[J＼]. Journal of Optimization Theory and Applications， 1991， 69（1）： 129-137.

＼[4＼]NI Q， YUAN Y. A subspace limited memory quasiNewton algorithm for largescale nonlinear bound constrained optimization ＼[J＼]. Mathematics of Computation， 1997， 66（220）： 1509-1520.

＼[5＼]NOCEDAL J. Conjugate gradient methods and nonlinear optimization， In： Linear and nonlinear conjugate gradientRelated method ＼[M＼]. Philadelphia， SIAM Press， 1996， 9-23.

＼[6＼]PYTLAK R. An efficient algorithmfor largescale nonlinear programming problems with simple bounds on the variables ＼[J＼]. SIAM Journal on Optimization， 1998， 8（2）： 532-560.

＼[7＼]ZHANG L， ZHOU W J， LI D H. A descent modified PolakRebièrePolyak conjugate gradient method and its global convergence ＼[J＼]. IMA Journal of Numerical Analysis， 2006， 26（4）： 629-640.

＼[8＼]ZHANG L， JIAN S Y. Further studies on the WeiYaoLiu nonlinear conjugate gradient method ＼[J＼]. Applied Mathematics and Computation， 2013， 219 （14）： 7616-7621.

＼[9＼]宋迎春， 朱建军， 罗德仁，等. 附非负约束平差模型的最小二乘估计 ＼[J＼]. 武汉大学学报： 信息科学版， 2008， 33（9）： 907-909.

4.等式约束优化问题 篇四

求解约束最优化问题KKT系统的BFGS方法

利用Fischer-Burmeister函数,将约束最优化问题KKT系统转化为等价的`非光滑方程组,利用广义导数,给出一个求解该非光滑方程组的BFGS方法.其子问题是一个系数阵为正定对称阵的线性方程组.为保证全局收敛性,我们引进了一个适当的线性搜索,它使得效益函数近似下降.在适当的条件下,我们证明了算法是适定的,并具有全局收敛性和超线性收敛性.

作 者：张继伟 王仙桃 作者单位：湖南大学,数学与计量经济学院,湖南,长沙,410082刊 名：湖南大学学报(自然科学版) ISTIC EI PKU英文刊名：JOURNAL OF HUNAN UNIVERSITY(NATURAL SCIENCES)年，卷(期)：30(3)分类号：O221.1关键词：KKT系统 BFGS方法 全局收敛 超线性收敛 广义导数 半光滑

5.不等式主题层面问题 篇五

不等式主题层面问题：

不等式是刻画不等关系的数学模型，研究不等式可以帮助学生更深刻的认识和掌握事物之间的运动变化及其相应的规律，同时，不等式的知识的广泛应用可以帮助学生进一步体验数学的应用价值，有助于激发学生学习的兴趣，增强学生的数学应用意识与解决实际问题的能力.不等式与方程、函数和导数有着很重要的联系，不等式在讨论方程或方程组的解的情况，研究函数的定义域、值域、单调性、最值、解决线性规划问题等方面都有很重要的意义和用途，不等式是进一步学习数学知识的基础.本环节在数学的学习中有着承上启下的作用.第一个阶段是学生在初中对不等式的概念以及一元一次不等式（组）的简单解法，这个阶段学生对不等式有了感性的认识，学会了解决最简单的有关不等式的问题.第二阶段是对均值定理、一元二次不等式的解法及简单的线性规划问题，在这一阶段，学生对不等式的性质有了理性的认识，并初步了解了证明不等式的方法，进一步增强了应用不等式解决实际问题的意识，为今后的学习打下了良好的基础.第三阶段是对比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法的学习与应用，并对绝对值不等式和柯西不等式的实质有了进一步的掌握，从数学思维训练和渗透数学思想方法的角度进行了强化.在本环节中通过对典型例题的分析和一些实际问题的探索性解答，可以使学生对相关概念和结论的认识更加理性化，并体会蕴含在其中的数学思想，例如一元二次不等式的求解就是建立函数图像和方程的解之间的相互联系，而在简单的线性规划问题中更是从点和数的对应、线和方程的对应过度到了平面区域与不等式（组）的对应，从而使学生体会到了数形结合思想在实际问题中应用的重要性.本环节还突出了发展学生应用数学的意识.当今时代，数学应用的巨大发展就是数学发展的显著特点.在社会生活的方方面面，数学都发挥了无可比拟的重要作用，高中数学课程整式顺应了这个发展的趋势，使学生体验了数学在解决实际问题中的作用，并体现了数学与其他学科在实际生活中的联系，在本环节中“不等式的实际应用”和“二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题”都是为了体验数学在实际生活中的应用环节.对于促进学生逐步形成和发展教学应用意识，提高实践能力，都有非常重要的意义.

6.不等式基本问题梳理(期末用) 篇六

一、不等式的基本性质：

1、①对称性；传递性；③移项原理；推论④同向不等式可加性；⑤变向原理；

推论1°⑥正的同向不等式可乘性；推论2°⑦正的不等式可乘方；

⑧正的不等式可开方；⑨绝对值的三角不等式；推论⑩|a1+a2+…+an|≤|a1|+|a1|+…+|an|

2、重要方法及对应的题型：

（1）比较大小：①求差后配方：高调P2例1（1）、P413；②求差后分解因式：高调P411；14；③求差后分子有理化：高调P2例2；④求差后分类讨论：高调P3例3；思考

3、P9例3；⑤求商法：高调P9例

1、例2；⑥乘方后比较被开方数：高调P6例

3、思考3；P106。⑦对于选填题，还可用特值法：高调P48、9①、P8 1、6； P286。⑧利用函数的性质：P104、12。

（2）性质的应用：①判断命题的正误：高调P5例

1、思考

1、P10 1、11。②证明不等式：高调P7例4、5；思考4。③求范围：高调 P7例

6、思考

5、P9例

4、P107。（3）不等式的应用：高调 P3例4。

二、均值不等式：

1、n

a2a2111

n

a1a2a3aa1a2ana2

12n

n

n



n

a1a2an

调几算平，从小到（当且仅当a1=a2=……=an时取等号）

2、重要方法及对应的题型：

（1）比较大小：高调 P11—12例

1、例

2、思考2。

（2）证明不等式：高调 P13例4、5、思考4；P1414；P19例

1、思考1。（3）求特殊式子或函数的最值：

①换元法：高调 P15例

1、思考1；P16例3（1）。②相乘展开法：高调 P17例4（1）、思考4（1）P187、8。P214、8③凑配系数法：高调 P17例4（2）、思考4（2）。④利用双钩函数：高调 P16例3（2）、思考3。P186⑤多次同向放缩：高调P20例

2、思考2。（4）求范围：高调P17例4（3）思考4（3）、P1812、P2111。（5）恒成立：高调P20例

3、思考

3、P212。

（6）不等式的应用：高调 P17例

5、P1814、P2113。P24例

4、P257。P53例5，课本P13——14例4。

三、不等式的证明方法：

1、比较法：高调 P22——23例

1、例

2、例3。P2511、课本P322、4。

2、综合法：①利用均值不等式：高调 P22思考

1、P2510、课本P29例

1、P328、P332、利用a2+b2+c2≥ab+bc+ac：高调 P26例

1、例2，思考1、2；P268。

③利用柯西不等式：高调 P188，高调 P216，高调 P2510、P34例

2、课本P335。

3、分析法：课本P16例7，P17练习3，高调 P29例

1、思考1；P30例

2、思考2。

4、向量法：利用向量的性质，||||||，或||||≤||≤||||；高调 P31例

5、P51思考4。

5、利用函数的单调性或三角代换：高调P33例1，思考1，P5111；课本P12例

2、P189。

四、不等式的解法及应用：

1、整式不等式：高调 P37例

1、思考1；P38例

2、思考2；P39思考4（2）、P403、14；P45例1。

2、分式不等式：高调P39例

4、P482、4、5、6。

3、无理不等式：高调P46例

3、例5。（注意用图像法）

4、指对数不等式：高调P47例4，思考4、5，P4811、12、13。

5、换元法解不等式：高调P437、10，P47思考5，P4812、13。

6、应用：①与二次有关的问题：高调P38例3及思考3；高调P52例2、3。②解不等式的问题：高调P39例5，思考5，P4016，高调P542。③不等式解集的端点是对应方程的根：高调P42例

2、思考1（4）、2（1）。P485。

五、含绝对值的不等式：

1、解法：①零点分段讨论，高调P41例1（3），思考1（3）。②平方法：高调P41例1（4）。

③图像法：高调P41例1，P42思考2（2）。

2、证明：高调P50例3，思考3，P5110。

3、绝对值不等式等号成立条件的应用：高调P49例1，思考1（2）④，P511。

7.巧用均值不等式,优化解题思路 篇七

均值不等式:若a1, a2, …, an>0, 则$\frac{2}{\frac{1}{a{}_1}+\frac{1}{a{}_2}+\cdots +\frac{1}{a{}_n}}\le \sqrt[n]{a{}_{1}a{}_2\cdots +a{}_n}\le \frac{a{}_1+a{}_2+\cdots a{}_n}{n}\le \sqrt{\frac{a{}_1^2+a{}_2^2+\cdots +a{}_n^2}{n}}$. (当且仅当a1=a2=…=an时取“=”号)

对于某些条件极值的问题, 只要灵活应用均值不等式, 往往有事倍功半的效果.下面举例说明.

1.求最值

例1 如果a+b+c=1, 那么$\sqrt{3a+1}+\sqrt{3b+1}+\sqrt{3c+1}$的最大值是.

解$\because a+b+c=1,\therefore \sqrt{3a+1},\sqrt{3b+1},\sqrt{3c+1}>0.$

$\begin{array}{l}\text{因}\text{此},\text{有}\frac{\sqrt{3a+1}+\sqrt{3b+1}+\sqrt{3c+1}}{3}\\ \le \sqrt{\frac{(\sqrt{3a+1}){}^2+(\sqrt{3b+1}){}^2+(\sqrt{3c+1}){}^2}{3}}\\ =\sqrt{\frac{3(a+b+c)+3}{3}}=\sqrt{2}\\ \Rightarrow \sqrt{3a+1}+\sqrt{3b+1}+\sqrt{3c+1}\le 3\sqrt{2}.\end{array}$

当且仅当$\sqrt{3a+1}=\sqrt{3b+1}=\sqrt{3c+1}$, 即$a=b=c=\frac{1}{3}$时取“=”号.故原式的最大值是$3\sqrt{2}.$

例2 函数$f(x)=\sqrt{1994-x}+\sqrt{x-1993}$的值域是.

解$f(x)=\sqrt{1994-x}+\sqrt{x-1993}$的定义域为Df=[1993, 1994], f (1993) =f (1994) =1.

当1993<x<1994时, $\sqrt{1994-x},\sqrt{x-1993}>0,$

$\begin{array}{l}\therefore \text{有}\frac{\sqrt{1994-x}+\sqrt{x-1993}}{2}\\ \le \sqrt{\frac{(\sqrt{1994-x}){}^2+(\sqrt{x-1993}){}^2}{2}}\\ \le \frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \sqrt{1994-x}+\sqrt{x-1993}\le \sqrt{2}.\end{array}$

$\begin{array}{l}\text{又}[f(x)]{}^2=1+2\sqrt{1994-x}\cdot \sqrt{x-1993}\ge 1,\\ \therefore f(x)\ge 1.\text{故}\text{所}\text{求}\text{函}\text{数}\text{值}\text{域}\text{是}[1,\sqrt{2}].\end{array}$

例3 若a>b>0, 则$a+\frac{1}{b(a-b)}$的最小值是.

解$a+\frac{1}{b(a-b)}=(a-b)+b+\frac{1}{b(a-b)}\ge 3\sqrt[3]{(a-b)\cdot b\cdot \frac{1}{b(a-b)}}=3$.故原式的最小值是3.

2.证明不等式

例4 已知a, b, c为不全相等的正数, 求证:$\frac{b+c-a}{a}+\frac{c+a-b}{b}+\frac{a+b-c}{c}>3.$

证明 左边$=\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)+\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)-3.$

∵a, b, c为不全相等的正数, $\therefore \frac{b}{a}+\frac{a}{b}\ge 2\sqrt{\frac{b}{a}+\frac{a}{b}}=2.$

同理, $\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\ge 2,\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\ge 2$, 且上面三式不能同时取等号.

$\therefore \left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)+\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)-3>6-3=3,$

即$\frac{b+c-a}{a}+\frac{c+a-b}{b}+\frac{a+b-c}{c}>3.$

例5 已知a, b, c都是正数, 且a+b+c=1, 求证:

$(1)a{}^2+b{}^2+c{}^2\ge \frac{1}{3}$;$(2)\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\le \sqrt{3}.$

$\begin{array}{l}\text{证}\text{明}(1)\because a,b,c\in (0,+\infty ),\\ \therefore a{}^2+\frac{1}{9}\ge \frac{2a}{3},b{}^2+\frac{1}{9}\ge \frac{2b}{3},c{}^2+\frac{1}{9}\ge \frac{2c}{3}.\\ \therefore \left(a{}^2+\frac{1}{9}\right)+\left(b{}^2+\frac{1}{9}\right)+\left(c{}^2+\frac{1}{9}\right)\ge \frac{2}{3}(a+b+c)=\frac{2}{3}.\\ \therefore a{}^2+b{}^2+c{}^2\ge \frac{1}{3}.\\ (2)\because a,b,c\in (0,+\infty ),\\ \therefore \sqrt{a\cdot \frac{1}{3}}\le \frac{a+\frac{1}{3}}{2},\sqrt{b\cdot \frac{1}{3}}\le \frac{b+\frac{1}{3}}{2},\sqrt{c\cdot \frac{1}{3}}\le \frac{c+\frac{1}{3}}{2}.\\ \therefore \sqrt{a\cdot \frac{1}{3}}+\sqrt{b\cdot \frac{1}{3}}+\sqrt{c\cdot \frac{1}{3}}\le \frac{a+\frac{1}{3}}{2}+\frac{b+\frac{1}{3}}{2}+\frac{c+\frac{1}{3}}{2}\\ =\frac{1}{2}(a+b+c)+\frac{1}{2}=1,\end{array}$

即$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{3}}\le 1$.故$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\le \sqrt{3}.$

点评 主要是巧妙地借用了a, b, c的平均数$\frac{1}{3}$, 而“=”号就在$a=b=c=\frac{1}{3}$时取的.

例6 已知a, b, c∈R, 求证:$\sqrt{a{}^2+b{}^2}+\sqrt{b{}^2+c{}^2}+\sqrt{c{}^2+a{}^2}\ge \sqrt{2}(a+b+c).$

$\begin{array}{l}\text{证}\text{明}\because \frac{a{}^2+b{}^2}{2}\ge \left(\frac{a+b}{2}\right){}^2,\\ \therefore \sqrt{a{}^2+b{}^2}\ge \frac{\sqrt{2}}{2}|a+b|\ge \frac{\sqrt{2}}{2}(a+b).\end{array}$

同理, $\sqrt{b{}^2+c{}^2}\ge \frac{\sqrt{2}}{2}(b+c),\sqrt{c{}^2+a{}^2}\ge \frac{\sqrt{2}}{2}(c+a).$

三式相加, 得

$\sqrt{a{}^2+b{}^2}+\sqrt{b{}^2+c{}^2}+\sqrt{c{}^2+a{}^2}\ge \sqrt{2}(a+b+c).$

从上面的例子可以看出, 关键要创设均值不等式成立的条件 (一正、二定、三相等) , 转生僻为熟知, 化无理为有理, 变被动为主动, 最后一招定乾坤.从而优化了解题思路.

8.等式约束优化问题 篇八

作为全国政治中心、文化中心、国际交往中心、科技创新中心及北方经济中心，北京的产业布局应摆脱“环境保护—关停并转”的被动发展思路，转而主动适应各类国土功能区生态环境承载特征，围绕集约紧凑、绿色低碳、创新驱动、区域协同的战略目标，通过合理的区域布局实现产业生态化和生态产业化，形成资源利用效率提高、产业结构转型升级、产业发展可持续的共赢局面。

一、主体功能区视角下的北京产业现状

（一）较早提出“区域主体功能”理念

2011年6月，国务院印发《全国主体功能区规划》将京津冀地区确定为国家层面的优化开发区域，功能定位为：“‘三北地区的重要枢纽和出海通道，全国科技创新与技术研发基地，全国现代服务业、先进制造业、高新技术产业和战略性新兴产业基地，我国北方的经济中心”。

北京“区域主体功能”的发展理念则形成较早。2005 年，北京市委、市政府出台了《关于区县功能定位及评价指标的指导意见》，在全国范围内率先探索。之后北京相继出台一系列政策，奠定了主体功能区发展战略。2012年，《北京市主体功能区规划》将全市划分为四大功能区：（1）首都功能核心区涵盖东城、西城、崇文和宣武四个区（即区划调整后东城、西城），承担着国家政治文化中心、金融管理中心和国际交往中心的职能， 并发展会展、体育、医疗、商业和旅游等现代服务业；（2）城市功能拓展区涵盖朝阳、海淀、丰台和石景山四个区， 是国家高新技术产业基地， 国内外知名的高等教育机构、科研机构、传媒机构和医疗机构的集聚区；（3）城市发展新区涵盖通州、顺义、大兴、昌平、房山五个区和亦庄开发区， 是北京发展高新技术产业、现代制造业和现代农业的主要载体；（4）生态涵养发展区涵盖门头沟、平谷、密云、怀柔、延庆五个区县， 是北京的生态屏障和水源保护地。

（二）初步形成产业差异化布局

自2005年起，北京市各主体功能区依据自然资源、生产要素集聚程度、政务功能定位、历史文化财富积累等条件，充分挖掘自身比较优势，初步形成具有鲜明城市功能定位和首都经济发展趋向的差异化产业布局。

第一，首都功能核心区立足于高端服务业。该区域服务业高度发达，其增加值占全市半数以上。东城区重点打造王府井现代化商业中心、东二环中央商务服务区以及雍和宫中关村科技园区、国家中医药综合发展试验区，发展前门、龙潭湖和南中轴三大产业集聚区。西城区积极推进金融街西扩，加快发展西单商贸服务业、中关村德胜科技园、什刹海等传统风貌旅游业。

第二，城市功能拓展区主攻高新技术产业。该区域信息技术、科技服务产业的产值占到了全市七成，教育业和文体娱乐业也成为主要带动力量。海淀区依托中关村国家自主创新示范区壮大高科技产业。朝阳区借力CBD东扩，拓展金融后台服务等产业。丰台区发展丽泽金融商务服务区、丰台科技园区、大红门服装商务区等三四环都市型产业。石景山在首钢搬迁以后，以数字娱乐为特色的文化创意产业初见规模。

第三，城市发展新区发力于高端制造业。该区域承接产业转移和人口迁徙为途径，近年来重大制造业项目陆续实施，先进制造业和生产性服务业不断互动发展，投资、消费、工业产值的增速均排在四个功能区之首，工业增加值已达全市六成以上。

第四，生态涵养发展区坚持发展生态产业。该区域注重生态资源涵养，在生态资源保护基础上因地制宜发展培育生态产业、体育健身产业等，初步形成了环境友好型、资源节约型为特点的现代都市农业和观光旅游业为主导的产业结构。

（三）现代产业体系特征大体显现

一是产业结构趋于合理。北京三次产业比重从2004年1.4∶30.9∶67.7调整为2013年0.8∶22.3∶76.9，服务业特别是现代服务业发展迅速，金融业、租赁与商务服务业、信息传输、计算机服务业和软件业、科学研究、技术服务和地质勘察业迅速崛起。随着政策导向，优化开发区聚焦现代服务业，重点开发区域集聚现代制造业，限制开发区域则是以生态环境保护为主。

二是各功能区主导产业特色明显。（1）全市现代服务业主要集中于首都功能核心区和城市功能拓展区，而工业主要集中于城市发展新区和城市功能拓展区。（2）首都功能核心区和城市功能拓展区产业层次较高，现代服务业产值占全市半数以上，已进入信息社会的服务经济时代。（3）城市发展新区以高端制造业为主，工业附加值比率较高。（4）生态涵养区在发展农业和相关工业方面比较优势明显。

三是产业集聚效应初步显现。首都功能核心区形成了以金融街、西单商业区和王府井商业区为代表的产业集聚区。城市功能拓展区形成了以北京商务中心区（CBD）、中关村科技园区海淀数字园和正在建设中的奥运体育文化旅游区为代表的产业集聚区。城市发展新区形成了以北京经济技术开发区、天竺空港工业开发区和林河工业开发区为代表的产业集聚区。生态涵养发展区，一方面，发展平谷大桃生产基地、怀柔冷水鱼养殖专业区、京郊文化旅游休闲产业带；另一方面， 培养石龙工业开发区、兴谷工业开发区、雁栖工业开发区、延庆的经济技术开发区等产业园区。

四是功能区内和区域间产业联系加强。从单个功能区看：首都功能核心区主要表现为现代服务业内部各行业的融合；城市功能拓展区主要表现为生产性服务业与高新技术产业协调；城市发展新区主要表现为工业与现代服务业的联动；生态涵养发展区突出表现为农业与现代服务业的互动。从跨区域看，“功能核心区的商务服务业—功能拓展区的信息技术孵化产业—发展新区的制造业—生态涵养区的会展业”的区域主导产业分布格局，大致符合了现代产业经济中生产网络跨功能区分解和有机互动的规律。

二、存在产业可持续发展吃力的问题

北京市产业结构布局已呈现良好发展态势，但是依据各区“生态足迹”和“生态承载力”核算结果以及实地调研，均发现北京产业结构和布局仍在可持续发展面临挑战。（核算各区情况时，最新公开可得数据为2011年；另外，篇幅原因计算过程略）。endprint

首先，北京生态消耗已远远超出生态承载力。2011年全市人均生态足迹（反映人类生产生活对生态的消耗）为0.2338公顷，生态承载力为0.1862公顷，生态赤字0.0476公顷，赤字占承载力26%。产业活动影响最为严重，与其直接相关的人均化石能源消耗0.1140公顷，占人均生态足迹49%，远超出发达国家30%水平。其中，首都功能核心区受政府服务功能偏重、商贸商务设施密集等因素驱使，人均能源消耗0.1165公顷；虽然中关村科技园科技创新实力持续提升，但中小企业过多、科技成果产业化步伐不快、科技贡献率仍低等因素，使得城市功能拓展区人均能源0.0935公顷；城市发展新区消耗严重，人均能源消耗0.1636公顷，明显处于粗放增长状态；生态涵养发展区情况稍好，人均能源消耗0.0823。

其次，服务经济水平有待进一步提升。从资源环境消耗角度看，服务业具有较强的可持续发展能力。2012年北京市第三产业万元增加值能耗为0.262吨标准煤，远低于第二产业0.624吨标准煤。不过，北京服务经济并未充分发展，在推动全市可持续发展方面仍大有可为。全市而言，总部经济推动了金融业大发展，IT服务、科研技术服务、教育等则相对发展不够，而虚拟泡沫助推了房地产业，2012年上述产业占现代服务业比重依次为27%、13%、7%、13%。分区域看，功能核心区集中在金融业，科技服务等发展较为滞后；功能拓展区情况不错，与科技创新有关的生产性服务业健康发展；发展新区高端制造业发展并未有效地拉动配套的生产者服务业聚集；生态涵养区农业服务化水平较低。

再次，区域主导产业存在一定程度不清晰。在现有四个主体功能区中，由于存在区域间接壤地带，致使小部地区产业结构不明确，存在重复建设情况，影响了规模经济和产业集聚效应的发挥。比如，每个功能区都有中关村科技园的分园，这一点很值得商榷。再如，生态涵养区工业占比达到48%，致使其生态足迹的水平较高。这一方面与各功能区的规划布局、资源条件、物质财富循环积累的历史发展路径有关；另一方面， 也与首都功能核心区和城市功能拓展区有效实施工业生产梯度向外转移与扩散有关。这一问题的实质， 是资源利用的非集约化、非最大效用化以及产业布局的分散化和规模不经济。

最后，区域产业联动效应并不强。虽然北京初步形成了各功能区主导产业联动布局，但是北京市内金融服务、科技创新、高新园区孵化、高端制造生产、商务服务等产业链各环节并未有机整合，各功能区在某环节形成的竞争优势并未在“北京智造”产业链上有机整合起来，而更多体现为金融服务全国、科研成果转化率低、制造业嵌入跨国公司主导的全球产业链低端等“市外产业链”某环节。当然，作为全国政经科文中心且处于全球化和信息社会大背景下，北京诸产业确实具有服务全国的职能属性，不过各功能区产业有效联动方能形成区域内生增长动力，亟需打造“部分环节市内闭合”、创新驱动、集约低耗的产业发展格局。

三、优化北京产业布局的基本思路

基于上文分析，建议北京产业布局优化的基本思路是产业生态化和生态产业化。即从两方面入手，一是降低生态足迹，在现有产业基础下通过产业转移和产业升级以及鼓励低耗能产业发展等方式降低生态消耗，提高生态使用效率，即产业生态化；二是提高生态承载力，积极扶持各种能够将环境优化、提高环境质量的产业，通过价格、产业、市场等手段让生态资源发挥经济效益，利用生态资源优势，在环境保护前提下创造价值，即生态产业化。

（一）优化开发区—首都功能核心区

东西城两个城区已经是北京市开发强度最高的完全城市化的地区，人口密集，交通发达，基础设施条件好，金融服务和商务服务高度聚集，需要进一步提高首都功能拓展区既有资源的使用效率，走产业生态化道路。具体来讲，进一步发挥金融街作为首都经济名片的作用，围绕服务实体经济、支撑科技创新、推动金融领域改革，打造高端特色金融产业；稳步提升传统商业服务业和生产性服务业，支持东二环高端服务业发展带；引导传统文化的传承融合，打造前门、什刹海、天桥等传统特色文化街区。同时，严格控制旧城区新建住宅开发项目，改造积极引导旧城人口适度外迁；加强绿地系统、公交系统、步行系统建设，探索现有资源的利用效率，特别是推动智慧城市建设。

（二）重点开发区—城市功能拓展区和城市发展新区

重点开发区域包含的两部分城市功能拓展区和城市发展新区，两个区域由于存在一定的差异性，因此开发程度也应所有区别。城市功能拓展区包括朝阳、海淀、石景山、丰台四个区域，城市功能拓展区要以海淀为模板，探索科技创新引领产业发展道路，在科研活动市场化、初创企业孵化、科技金融服务、产权交易、科研成果产业化等方面锐意进取，不断以高新技术产业、高端制造业和生产性服务业推进可持续发展。

城市发展新区的重点是新城建设，最要紧的是加强临空经济区和北京经济技术开发区等基本成熟的产业功能区建设，并增进同首都功能核心区金融、商务以及城市功能拓展区创新资源的产业链联动，通过打造现代制造业集聚区、创新成果落地区、金融服务试验区，在资源环境约束下实现产业发展。

（三）限制开发区—生态涵养区

生态涵养发展区是首都生态屏障和重要水源保护地，是北京市的限制开发区域，虽然目前仍然为生态盈余，但是生态足迹压力已经非常明显，产业结构优化势在必行。由于其本身生态资源就非常良好，是“两型”产业发展建设的示范区，因此生态涵养区发展战略可以是生态产业化。强调生态优先，坚持把环境保护作为产业发展前提，进一步优化区域生态开发布局，完善生态调节与水资源涵养功能；赋予生态资源经济属性，重点扶持旅游休闲、会议会展、文化创意、绿色能源等低碳高附加值产业；加快制造业、重化工业等高耗能高污染行业节能改造，执行最严格的生态环境监控与惩处。建立生态友好型产业体系，促进生态和产业协调发展。

四、资源约束下北京市产业布局优化的建议措施endprint

基于上述思路，建议在坚持政府与市场相结合、市场为主、企业响应的原则上，积极引导北京三次产业错位发展、协调发展、可持续发展。

（一）促进创新一体化，提升中关村引领作用

一是把握全球化和信息社会条件下产业创新规律，加强全市创新资源统筹布局与规划，通过中关村创新资源辐射带动，促使北京成为吸引全球创新要素洼地；二是依据各功能区功能定位与产业竞争优势，鼓励中关村企业将研发、小试、中试、量产等创新链活动合理布局，形成各区域协同创新的差异化布局；三是鼓励全球各地各类人才凭借科技成果在中关村创业，探索个人所得税、境外投资、返程投资、关键设备进口等方面优惠政策；四是加快建设中关村国家科技金融创新中心，支持符合条件企业特别是民营资本发起设立自担风险服务科技创新的银行，完善包括科技成果评估、信贷、担保，创业投资，多层次资本市场等在内的科技金融服务体系；五是发挥市场在配置资源过程中决定性作用，支持企业家、科技管理人才、技术装备、各类资本、知识产权等创新支撑要素自由流动，不断继续释放改革红利，进一步破解制约科技创新自由流动的各种障碍。

（二）鼓励金融创新，进一步服务经济民生

一是鼓励全市金融机构更好地服务实体经济。引导银行开展“批量化、模式化、简单化”的小微企业贷款服务模式，发行风险可控的小微企业金融债；深化科技金融服务和创业金融服务，鼓励“创业贷”专属信贷产品和专为创业者打造的“创业卡”信用卡等产品不断涌现；积极实施产业倾斜政策，在支持中关村科技金融创新基础上，加大对文化创意产业、节能环保、智慧城市等产业支持力度。二是引导全市金融机构通过技术创新和业务创新方式，大幅度提升同市民生活息息相关的各类金融服务，特别是鼓励信息技术在金融领域深化应用衍生的各类互联网金融业务，允许符合条件机构开通直销银行业务，利用互联网、移动互联网技术、电子自助设备等信息化手段，为客户提供安全、简捷、实惠的金融服务产品。三是在必要的金融监管前提下，采取开放包容态度，大力支持各类金融机构和准金融企业发展。支持互联网金融、社区银行、小额信贷、消费金融、融资租赁、风险担保等新兴业态发展，覆盖低收入者、小微企业、个人经营者等大型金融机构无暇顾及或不愿涉足领域，倒逼金融服务体系改革。

（三）协同京津冀，实现区域产业有机调整

围绕打造北方经济中心，做强国家科技创新中心，促进华北地区传统制造业、生产性服务业、战略性新兴产业协同发展，引领京津冀实施创新驱动、绿色高效、有序协同的战略需要，抓紧明确三地城市功能定位、产业协作对接、城市布局互补、设施配套完善、交通体系互联互通等重大事项，创新体制机制，形成合力，推动北京和天津、河北之间的货物、服务、资金、人员、信息等双向流动自由化，重点夯实生产贸易供应链、金融供应链和基础设施供应链，提升上下游、产供销、内外贸互联互通的一体化效率，积极促进京津冀产业协同发展，共同打造新的首都经济圈，探索生态文明建设有效路径，推动区域经济长效发展。

（四）外迁优势资源，促进各功能区协调发展

全市各级政府要积极推动首都功能核心区的教育、医疗、科技、政策、文化等优势资源向城市功能拓展区和城市发展新区外迁，以此带动相关产业和人口转移，形成符合特大城市产业发展规律，首都功能核心区提供金融、信息、商务等生产性服务，城市功能拓展区提供科技创新、教育科研、高技术产业，城市发展新区在低碳环保和集约发展基础上提供产能承接，共同打造与首都功能定位相适应的现代产业体系，促进三次产业可持续发展。

（五）发展园区经济，不断提高产业集聚水平

通过加强工业园区、特色科技园、特色产业基地等园区建设，进一步优化提升北京各类主体功能区的主导产业集聚水平。一是按照高标准规划、高起点建设、高强度投入、高效能管理、高效益产出的原则，提升工业园区集约化水平。二是根据城市建设规划，实施“三旧”改造，促进工业提升发展，腾出土地用于发展先进制造业、高新技术产业以及现代服务业，再造产业发展空间。

〔本文获国家自科基金（编号71203040）和北京社科联支持〕